Regla de Ruffini: Ejercicios Resueltos

\[ x^2 - 5x + 6 \]

Idea resolutiva

El divisor es un binomio de primer grado de la forma \(x - a\): en estos casos la regla de Ruffini es la herramienta más eficiente. En lugar de efectuar la división entre polinomios en su forma extendida, se trabaja exclusivamente sobre los coeficientes del dividendo, reduciendo notablemente el número de operaciones.

Identificación del valor a utilizar

El divisor es \(x - 1\). En la regla de Ruffini se utiliza el valor que anula al divisor: \[ x - 1 = 0 \;\Rightarrow\; x = 1 \] Por lo tanto: \[ a = 1 \]

Escritura de los coeficientes

El polinomio ya está ordenado en potencias decrecientes: \[ x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \] Los coeficientes asociados son: \[ 1 \quad -6 \quad 11 \quad -6 \]

Construcción del esquema de Ruffini

Se coloca el valor \(a = 1\) a la izquierda y se escriben los coeficientes en la fila superior:

\[ \begin{array}{r|rrrr} 1 & 1 & -6 & 11 & -6 \end{array} \]

Aplicación paso a paso de la regla

Paso 1: se traslada el primer coeficiente a la fila inferior sin modificarlo.

\[ 1 \]

Paso 2: se multiplica el valor recién escrito por \(a = 1\) y se coloca el resultado debajo del siguiente coeficiente:

\[ 1 \cdot 1 = 1 \]

Paso 3: se suman los valores presentes en la columna:

\[ -6 + 1 = -5 \]

Paso 4: se repite el procedimiento: se multiplica el valor obtenido por \(1\) y se suma:

\[ -5 \cdot 1 = -5 \] \[ 11 + (-5) = 6 \]

Paso 5: se ejecuta el último paso:

\[ 6 \cdot 1 = 6 \] \[ -6 + 6 = 0 \]

Esquema completo

\[ \begin{array}{r|rrrr} 1 & 1 & -6 & 11 & -6 \\ & & 1 & -5 & 6 \\ \hline & 1 & -5 & 6 & 0 \end{array} \]

Interpretación del resultado

Los valores obtenidos en la fila inferior, excepto el último, representan los coeficientes del polinomio cociente: \[ x^2 - 5x + 6 \]

El último valor es el resto de la división: \[ r = 0 \] Como el resto es nulo, la división es exacta.

Resultado

\[ \boxed{x^2 - 5x + 6} \]

Conclusión

Al ser nulo el resto, el polinomio inicial es divisible por \(x - 1\) y se puede escribir como: \[ x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = (x - 1)(x^2 - 5x + 6) \]

\[ x^2 - 5x + 4 \]

Idea resolutiva

Reconocemos que el divisor es un binomio lineal de la forma \(x - a\). Esto nos permite aplicar el teorema de Ruffini: en lugar de desarrollar la división columna por columna entre polinomios, basta con disponer los coeficientes del dividendo en una tabla y ejecutar una secuencia alterna de multiplicaciones y sumas.

Identificación del valor a utilizar

El divisor es \(x - 2\), ya escrito en la forma canónica \(x - a\): no es necesaria ninguna reescritura. El valor que anula al divisor se obtiene directamente: \[ x - 2 = 0 \;\Rightarrow\; x = 2 \] Por lo tanto: \[ a = 2 \]

Escritura de los coeficientes

El polinomio ya está ordenado en potencias decrecientes: \[ x^3 - 7x^2 + 14x - 8 \] Los coeficientes asociados son: \[ 1 \quad -7 \quad 14 \quad -8 \]

Construcción del esquema de Ruffini

Se coloca el valor \(a = 2\) a la izquierda y se escriben los coeficientes en la fila superior:

\[ \begin{array}{r|rrrr} 2 & 1 & -7 & 14 & -8 \end{array} \]

Aplicación paso a paso de la regla

Paso 1: se traslada el primer coeficiente a la fila inferior sin modificarlo.

\[ 1 \]

Paso 2: se multiplica el valor recién escrito por \(a = 2\) y se coloca el resultado debajo del siguiente coeficiente:

\[ 1 \cdot 2 = 2 \]

Paso 3: se suman los valores presentes en la columna:

\[ -7 + 2 = -5 \]

Paso 4: se repite el procedimiento: se multiplica el valor obtenido por \(2\) y se suma:

\[ -5 \cdot 2 = -10 \] \[ 14 + (-10) = 4 \]

Paso 5: se ejecuta el último paso:

\[ 4 \cdot 2 = 8 \] \[ -8 + 8 = 0 \]

Esquema completo

\[ \begin{array}{r|rrrr} 2 & 1 & -7 & 14 & -8 \\ & & 2 & -10 & 8 \\ \hline & 1 & -5 & 4 & 0 \end{array} \]

Interpretación del resultado

Los valores obtenidos en la fila inferior, excepto el último, representan los coeficientes del polinomio cociente: \[ x^2 - 5x + 4 \]

El último valor es el resto de la división: \[ r = 0 \] Como el resto es nulo, la división es exacta.

Resultado

\[ \boxed{x^2 - 5x + 4} \]

Conclusión

Al ser nulo el resto, el polinomio inicial es divisible por \(x - 2\) y se puede escribir como: \[ x^3 - 7x^2 + 14x - 8 = (x - 2)(x^2 - 5x + 4) \]

\[ x^2 - x - 2 \]

Idea resolutiva

El divisor es un binomio lineal. Antes de aplicar la regla de Ruffini conviene prestar atención al signo: el divisor no es de la forma \(x - a\) con \(a\) positivo, sino \(x + 3\). Es por tanto necesario identificar correctamente la raíz del divisor, es decir, el valor de \(x\) que lo anula, para no incurrir en errores de signo durante el procedimiento.

Identificación del valor a utilizar

El divisor es \(x + 3\). Como la regla de Ruffini exige la forma \(x - a\), reescribimos el divisor poniendo de manifiesto el signo: \[ x + 3 = x - (-3) \] El valor que anula al divisor es entonces: \[ x + 3 = 0 \;\Rightarrow\; x = -3 \] Por lo tanto: \[ a = -3 \]

Escritura de los coeficientes

El polinomio ya está ordenado en potencias decrecientes: \[ x^3 + 2x^2 - 5x - 6 \] Los coeficientes asociados son: \[ 1 \quad 2 \quad -5 \quad -6 \]

Construcción del esquema de Ruffini

Se coloca el valor \(a = -3\) a la izquierda y se escriben los coeficientes en la fila superior:

\[ \begin{array}{r|rrrr} -3 & 1 & 2 & -5 & -6 \end{array} \]

Aplicación paso a paso de la regla

Paso 1: se traslada el primer coeficiente a la fila inferior sin modificarlo.

\[ 1 \]

Paso 2: se multiplica el valor recién escrito por \(a = -3\) y se coloca el resultado debajo del siguiente coeficiente:

\[ 1 \cdot (-3) = -3 \]

Paso 3: se suman los valores presentes en la columna:

\[ 2 + (-3) = -1 \]

Paso 4: se repite el procedimiento: se multiplica el valor obtenido por \(-3\) y se suma:

\[ -1 \cdot (-3) = 3 \] \[ -5 + 3 = -2 \]

Paso 5: se ejecuta el último paso:

\[ -2 \cdot (-3) = 6 \] \[ -6 + 6 = 0 \]

Esquema completo

\[ \begin{array}{r|rrrr} -3 & 1 & 2 & -5 & -6 \\ & & -3 & 3 & 6 \\ \hline & 1 & -1 & -2 & 0 \end{array} \]

Interpretación del resultado

Los valores obtenidos en la fila inferior, excepto el último, representan los coeficientes del polinomio cociente: \[ x^2 - x - 2 \]

El último valor es el resto de la división: \[ r = 0 \] Como el resto es nulo, la división es exacta.

Resultado

\[ \boxed{x^2 - x - 2} \]

Conclusión

Al ser nulo el resto, el polinomio inicial es divisible por \(x + 3\) y se puede escribir como: \[ x^3 + 2x^2 - 5x - 6 = (x + 3)(x^2 - x - 2) \]

\[ x^2 - 4x + 3 \]

Idea resolutiva

También en este caso el divisor es lineal con signo positivo delante de la constante, exactamente como en el ejercicio anterior. Recordemos que la regla de Ruffini exige introducir en el esquema no el término independiente del divisor, sino la raíz del divisor, es decir, el valor de \(x\) que lo anula: un error de signo en esta fase se propagaría a todos los pasos sucesivos.

Identificación del valor a utilizar

El divisor es \(x + 2\). Lo reescribimos en la forma \(x - a\): \[ x + 2 = x - (-2) \] El valor que anula al divisor es: \[ x + 2 = 0 \;\Rightarrow\; x = -2 \] Por lo tanto: \[ a = -2 \]

Escritura de los coeficientes

El polinomio ya está ordenado en potencias decrecientes: \[ x^3 - 2x^2 - 5x + 6 \] Los coeficientes asociados son: \[ 1 \quad -2 \quad -5 \quad 6 \]

Construcción del esquema de Ruffini

Se coloca el valor \(a = -2\) a la izquierda y se escriben los coeficientes en la fila superior:

\[ \begin{array}{r|rrrr} -2 & 1 & -2 & -5 & 6 \end{array} \]

Aplicación paso a paso de la regla

Paso 1: se traslada el primer coeficiente a la fila inferior sin modificarlo.

\[ 1 \]

Paso 2: se multiplica el valor recién escrito por \(a = -2\) y se coloca el resultado debajo del siguiente coeficiente:

\[ 1 \cdot (-2) = -2 \]

Paso 3: se suman los valores presentes en la columna:

\[ -2 + (-2) = -4 \]

Paso 4: se repite el procedimiento: se multiplica el valor obtenido por \(-2\) y se suma:

\[ -4 \cdot (-2) = 8 \] \[ -5 + 8 = 3 \]

Paso 5: se ejecuta el último paso:

\[ 3 \cdot (-2) = -6 \] \[ 6 + (-6) = 0 \]

Esquema completo

\[ \begin{array}{r|rrrr} -2 & 1 & -2 & -5 & 6 \\ & & -2 & 8 & -6 \\ \hline & 1 & -4 & 3 & 0 \end{array} \]

Interpretación del resultado

Los valores obtenidos en la fila inferior, excepto el último, representan los coeficientes del polinomio cociente: \[ x^2 - 4x + 3 \]

El último valor es el resto de la división: \[ r = 0 \] Como el resto es nulo, la división es exacta.

Resultado

\[ \boxed{x^2 - 4x + 3} \]

Conclusión

Al ser nulo el resto, el polinomio inicial es divisible por \(x + 2\) y se puede escribir como: \[ x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = (x + 2)(x^2 - 4x + 3) \]

\[ 2x^2 + x - 6 \]

Idea resolutiva

El divisor es de la forma \(x - a\), por lo que se puede aplicar la regla de Ruffini. Vale la pena observar que el coeficiente principal del dividendo es \(2\) y no \(1\): esto no supone ningún obstáculo, dado que la regla opera sobre los coeficientes tal como vienen dados, sea cual sea su valor. Bastará con escribirlos correctamente en el esquema.

Identificación del valor a utilizar

El divisor es \(x - 1\), que ya está en la forma canónica \(x - a\). El valor que anula al divisor es: \[ x - 1 = 0 \;\Rightarrow\; x = 1 \] Por lo tanto: \[ a = 1 \]

Escritura de los coeficientes

El polinomio ya está ordenado en potencias decrecientes: \[ 2x^3 - x^2 - 7x + 6 \] Los coeficientes asociados son: \[ 2 \quad -1 \quad -7 \quad 6 \]

Construcción del esquema de Ruffini

Se coloca el valor \(a = 1\) a la izquierda y se escriben los coeficientes en la fila superior:

\[ \begin{array}{r|rrrr} 1 & 2 & -1 & -7 & 6 \end{array} \]

Aplicación paso a paso de la regla

Paso 1: se traslada el primer coeficiente a la fila inferior sin modificarlo.

\[ 2 \]

Paso 2: se multiplica el valor recién escrito por \(a = 1\) y se coloca el resultado debajo del siguiente coeficiente:

\[ 2 \cdot 1 = 2 \]

Paso 3: se suman los valores presentes en la columna:

\[ -1 + 2 = 1 \]

Paso 4: se repite el procedimiento: se multiplica el valor obtenido por \(1\) y se suma:

\[ 1 \cdot 1 = 1 \] \[ -7 + 1 = -6 \]

Paso 5: se ejecuta el último paso:

\[ -6 \cdot 1 = -6 \] \[ 6 + (-6) = 0 \]

Esquema completo

\[ \begin{array}{r|rrrr} 1 & 2 & -1 & -7 & 6 \\ & & 2 & 1 & -6 \\ \hline & 2 & 1 & -6 & 0 \end{array} \]

Interpretación del resultado

Los valores obtenidos en la fila inferior, excepto el último, representan los coeficientes del polinomio cociente. Como el dividendo era de grado 3 con coeficiente principal \(2\), el cociente es de grado 2 con coeficiente principal \(2\): \[ 2x^2 + x - 6 \]

El último valor es el resto de la división: \[ r = 0 \] Como el resto es nulo, la división es exacta.

Resultado

\[ \boxed{2x^2 + x - 6} \]

Conclusión

Al ser nulo el resto, el polinomio inicial es divisible por \(x - 1\) y se puede escribir como: \[ 2x^3 - x^2 - 7x + 6 = (x - 1)(2x^2 + x - 6) \]

\[ x^2 - 6x + 8 \]

Idea resolutiva

El divisor es de la forma \(x - a\), de modo que aplicamos la regla de Ruffini. Conviene recordar que el grado del polinomio cociente es siempre exactamente uno menos que el grado del dividendo: al dividir un polinomio de grado 3 por un binomio de grado 1, esperamos un cociente de grado 2. Esto nos permite verificar a simple vista que el resultado sea coherente.

Identificación del valor a utilizar

El divisor es \(x - 3\), que ya está en la forma canónica \(x - a\). El valor que anula al divisor es: \[ x - 3 = 0 \;\Rightarrow\; x = 3 \] Por lo tanto: \[ a = 3 \]

Escritura de los coeficientes

El polinomio ya está ordenado en potencias decrecientes: \[ x^3 - 9x^2 + 26x - 24 \] Los coeficientes asociados son: \[ 1 \quad -9 \quad 26 \quad -24 \]

Construcción del esquema de Ruffini

Se coloca el valor \(a = 3\) a la izquierda y se escriben los coeficientes en la fila superior:

\[ \begin{array}{r|rrrr} 3 & 1 & -9 & 26 & -24 \end{array} \]

Aplicación paso a paso de la regla

Paso 1: se traslada el primer coeficiente a la fila inferior sin modificarlo.

\[ 1 \]

Paso 2: se multiplica el valor recién escrito por \(a = 3\) y se coloca el resultado debajo del siguiente coeficiente:

\[ 1 \cdot 3 = 3 \]

Paso 3: se suman los valores presentes en la columna:

\[ -9 + 3 = -6 \]

Paso 4: se repite el procedimiento: se multiplica el valor obtenido por \(3\) y se suma:

\[ -6 \cdot 3 = -18 \] \[ 26 + (-18) = 8 \]

Paso 5: se ejecuta el último paso:

\[ 8 \cdot 3 = 24 \] \[ -24 + 24 = 0 \]

Esquema completo

\[ \begin{array}{r|rrrr} 3 & 1 & -9 & 26 & -24 \\ & & 3 & -18 & 24 \\ \hline & 1 & -6 & 8 & 0 \end{array} \]

Interpretación del resultado

Los valores obtenidos en la fila inferior, excepto el último, representan los coeficientes del polinomio cociente: \[ x^2 - 6x + 8 \]

El último valor es el resto de la división: \[ r = 0 \] Como el resto es nulo, la división es exacta.

Resultado

\[ \boxed{x^2 - 6x + 8} \]

Conclusión

Al ser nulo el resto, el polinomio inicial es divisible por \(x - 3\) y se puede escribir como: \[ x^3 - 9x^2 + 26x - 24 = (x - 3)(x^2 - 6x + 8) \]

\[ x^2 + 3x - 4 \]

Idea resolutiva

El divisor es \(x + 1\), un caso particular en el que la raíz vale \(-1\). En la regla de Ruffini esto significa que en cada paso se multiplica por \(-1\), es decir, simplemente se cambia el signo del valor actual antes de sumarlo al siguiente coeficiente. Es un caso cómodo desde el punto de vista del cálculo, pero requiere de todos modos atención: la alternancia de signos puede generar errores si se procede con prisa.

Identificación del valor a utilizar

El divisor es \(x + 1 = x - (-1)\). El valor que anula al divisor es: \[ x + 1 = 0 \;\Rightarrow\; x = -1 \] Por lo tanto: \[ a = -1 \]

Escritura de los coeficientes

El polinomio ya está ordenado en potencias decrecientes: \[ x^3 + 4x^2 - x - 4 \] Los coeficientes asociados son: \[ 1 \quad 4 \quad -1 \quad -4 \]

Construcción del esquema de Ruffini

Se coloca el valor \(a = -1\) a la izquierda y se escriben los coeficientes en la fila superior:

\[ \begin{array}{r|rrrr} -1 & 1 & 4 & -1 & -4 \end{array} \]

Aplicación paso a paso de la regla

Paso 1: se traslada el primer coeficiente a la fila inferior sin modificarlo.

\[ 1 \]

Paso 2: se multiplica el valor recién escrito por \(a = -1\) y se coloca el resultado debajo del siguiente coeficiente:

\[ 1 \cdot (-1) = -1 \]

Paso 3: se suman los valores presentes en la columna:

\[ 4 + (-1) = 3 \]

Paso 4: se repite el procedimiento: se multiplica el valor obtenido por \(-1\) y se suma:

\[ 3 \cdot (-1) = -3 \] \[ -1 + (-3) = -4 \]

Paso 5: se ejecuta el último paso:

\[ -4 \cdot (-1) = 4 \] \[ -4 + 4 = 0 \]

Esquema completo

\[ \begin{array}{r|rrrr} -1 & 1 & 4 & -1 & -4 \\ & & -1 & -3 & 4 \\ \hline & 1 & 3 & -4 & 0 \end{array} \]

Interpretación del resultado

Los valores obtenidos en la fila inferior, excepto el último, representan los coeficientes del polinomio cociente: \[ x^2 + 3x - 4 \]

El último valor es el resto de la división: \[ r = 0 \] Como el resto es nulo, la división es exacta.

Resultado

\[ \boxed{x^2 + 3x - 4} \]

Conclusión

Al ser nulo el resto, el polinomio inicial es divisible por \(x + 1\) y se puede escribir como: \[ x^3 + 4x^2 - x - 4 = (x + 1)(x^2 + 3x - 4) \]

\[ x^2 - x - 6 \]

Idea resolutiva

La presencia de un binomio lineal en el denominador sugiere el uso de la regla de Ruffini. Vale la pena compararla mentalmente con la división larga entre polinomios: esta última requeriría reescribir varias veces los términos del dividendo y restar polinomios enteros, mientras que Ruffini lo reduce todo a una fila de multiplicaciones y sumas escalares. La compacidad del esquema es particularmente ventajosa cuando los coeficientes son numéricamente elevados.

Identificación del valor a utilizar

El divisor es \(x - 4\), que ya está en la forma canónica \(x - a\). El valor que anula al divisor es: \[ x - 4 = 0 \;\Rightarrow\; x = 4 \] Por lo tanto: \[ a = 4 \]

Escritura de los coeficientes

El polinomio ya está ordenado en potencias decrecientes: \[ x^3 - 5x^2 - 2x + 24 \] Los coeficientes asociados son: \[ 1 \quad -5 \quad -2 \quad 24 \]

Construcción del esquema de Ruffini

Se coloca el valor \(a = 4\) a la izquierda y se escriben los coeficientes en la fila superior:

\[ \begin{array}{r|rrrr} 4 & 1 & -5 & -2 & 24 \end{array} \]

Aplicación paso a paso de la regla

Paso 1: se traslada el primer coeficiente a la fila inferior sin modificarlo.

\[ 1 \]

Paso 2: se multiplica el valor recién escrito por \(a = 4\) y se coloca el resultado debajo del siguiente coeficiente:

\[ 1 \cdot 4 = 4 \]

Paso 3: se suman los valores presentes en la columna:

\[ -5 + 4 = -1 \]

Paso 4: se repite el procedimiento: se multiplica el valor obtenido por \(4\) y se suma:

\[ -1 \cdot 4 = -4 \] \[ -2 + (-4) = -6 \]

Paso 5: se ejecuta el último paso:

\[ -6 \cdot 4 = -24 \] \[ 24 + (-24) = 0 \]

Esquema completo

\[ \begin{array}{r|rrrr} 4 & 1 & -5 & -2 & 24 \\ & & 4 & -4 & -24 \\ \hline & 1 & -1 & -6 & 0 \end{array} \]

Interpretación del resultado

Los valores obtenidos en la fila inferior, excepto el último, representan los coeficientes del polinomio cociente: \[ x^2 - x - 6 \]

El último valor es el resto de la división: \[ r = 0 \] Como el resto es nulo, la división es exacta.

Resultado

\[ \boxed{x^2 - x - 6} \]

Conclusión

Al ser nulo el resto, el polinomio inicial es divisible por \(x - 4\) y se puede escribir como: \[ x^3 - 5x^2 - 2x + 24 = (x - 4)(x^2 - x - 6) \]

\[ x^2 - x - 6 \]

Idea resolutiva

El divisor \(x + 4\) tiene signo positivo delante de la constante, igual que en los casos \(x + 3\) y \(x + 2\) ya tratados. La regla de Ruffini se aplica de forma idéntica, pero conviene reiterar el razonamiento: no se introduce \(+4\) en el esquema, sino la raíz del divisor, es decir, el valor \(x = -4\) que lo anula. Confundir el término independiente del divisor con su raíz es el error más frecuente al aplicar esta técnica.

Identificación del valor a utilizar

El divisor es \(x + 4 = x - (-4)\). El valor que anula al divisor es: \[ x + 4 = 0 \;\Rightarrow\; x = -4 \] Por lo tanto: \[ a = -4 \]

Escritura de los coeficientes

El polinomio ya está ordenado en potencias decrecientes: \[ x^3 + 3x^2 - 10x - 24 \] Los coeficientes asociados son: \[ 1 \quad 3 \quad -10 \quad -24 \]

Construcción del esquema de Ruffini

Se coloca el valor \(a = -4\) a la izquierda y se escriben los coeficientes en la fila superior:

\[ \begin{array}{r|rrrr} -4 & 1 & 3 & -10 & -24 \end{array} \]

Aplicación paso a paso de la regla

Paso 1: se traslada el primer coeficiente a la fila inferior sin modificarlo.

\[ 1 \]

Paso 2: se multiplica el valor recién escrito por \(a = -4\) y se coloca el resultado debajo del siguiente coeficiente:

\[ 1 \cdot (-4) = -4 \]

Paso 3: se suman los valores presentes en la columna:

\[ 3 + (-4) = -1 \]

Paso 4: se repite el procedimiento: se multiplica el valor obtenido por \(-4\) y se suma:

\[ -1 \cdot (-4) = 4 \] \[ -10 + 4 = -6 \]

Paso 5: se ejecuta el último paso:

\[ -6 \cdot (-4) = 24 \] \[ -24 + 24 = 0 \]

Esquema completo

\[ \begin{array}{r|rrrr} -4 & 1 & 3 & -10 & -24 \\ & & -4 & 4 & 24 \\ \hline & 1 & -1 & -6 & 0 \end{array} \]

Interpretación del resultado

Los valores obtenidos en la fila inferior, excepto el último, representan los coeficientes del polinomio cociente: \[ x^2 - x - 6 \]

El último valor es el resto de la división: \[ r = 0 \] Como el resto es nulo, la división es exacta.

Resultado

\[ \boxed{x^2 - x - 6} \]

Conclusión

Al ser nulo el resto, el polinomio inicial es divisible por \(x + 4\) y se puede escribir como: \[ x^3 + 3x^2 - 10x - 24 = (x + 4)(x^2 - x - 6) \]

\[ 2x^2 + 7x + 3 \]

Idea resolutiva

El divisor es de la forma \(x - a\), de modo que se puede aplicar la regla de Ruffini. El dividendo tiene coeficiente principal \(2\): conviene observar que dicho valor se traslada invariado como primer elemento de la fila inferior del esquema, y determina el coeficiente principal del cociente. En otras palabras, el cociente de un polinomio con coeficiente principal \(k\) dividido por un binomio mónico tendrá también coeficiente principal \(k\).

Identificación del valor a utilizar

El divisor es \(x - 2\), que ya está en la forma canónica \(x - a\). El valor que anula al divisor es: \[ x - 2 = 0 \;\Rightarrow\; x = 2 \] Por lo tanto: \[ a = 2 \]

Escritura de los coeficientes

El polinomio ya está ordenado en potencias decrecientes: \[ 2x^3 + 3x^2 - 11x - 6 \] Los coeficientes asociados son: \[ 2 \quad 3 \quad -11 \quad -6 \]

Construcción del esquema de Ruffini

Se coloca el valor \(a = 2\) a la izquierda y se escriben los coeficientes en la fila superior:

\[ \begin{array}{r|rrrr} 2 & 2 & 3 & -11 & -6 \end{array} \]

Aplicación paso a paso de la regla

Paso 1: se traslada el primer coeficiente a la fila inferior sin modificarlo.

\[ 2 \]

Paso 2: se multiplica el valor recién escrito por \(a = 2\) y se coloca el resultado debajo del siguiente coeficiente:

\[ 2 \cdot 2 = 4 \]

Paso 3: se suman los valores presentes en la columna:

\[ 3 + 4 = 7 \]

Paso 4: se repite el procedimiento: se multiplica el valor obtenido por \(2\) y se suma:

\[ 7 \cdot 2 = 14 \] \[ -11 + 14 = 3 \]

Paso 5: se ejecuta el último paso:

\[ 3 \cdot 2 = 6 \] \[ -6 + 6 = 0 \]

Esquema completo

\[ \begin{array}{r|rrrr} 2 & 2 & 3 & -11 & -6 \\ & & 4 & 14 & 6 \\ \hline & 2 & 7 & 3 & 0 \end{array} \]

Interpretación del resultado

Los valores obtenidos en la fila inferior, excepto el último, representan los coeficientes del polinomio cociente. El coeficiente principal \(2\) del dividendo aparece invariado como primer coeficiente del cociente: \[ 2x^2 + 7x + 3 \]

El último valor es el resto de la división: \[ r = 0 \] Como el resto es nulo, la división es exacta.

Resultado

\[ \boxed{2x^2 + 7x + 3} \]

Conclusión

Al ser nulo el resto, el polinomio inicial es divisible por \(x - 2\) y se puede escribir como: \[ 2x^3 + 3x^2 - 11x - 6 = (x - 2)(2x^2 + 7x + 3) \]

\[ x^2 + 2x - 8 \]

Idea resolutiva

Antes de aplicar la regla de Ruffini, conviene recordar el teorema sobre el que se fundamenta: el teorema del resto afirma que el resto de la división de un polinomio \(p(x)\) por \((x - a)\) es igual a \(p(a)\). En particular, si \(p(a) = 0\), entonces el resto es nulo y \((x - a)\) es un divisor exacto. Ruffini no hace más que volver mecánico y compacto el cálculo del cociente y del resto que este teorema garantiza.

Identificación del valor a utilizar

El divisor es \(x - 3\), que ya está en la forma canónica \(x - a\). El valor que anula al divisor es: \[ x - 3 = 0 \;\Rightarrow\; x = 3 \] Por lo tanto: \[ a = 3 \]

Escritura de los coeficientes

El polinomio ya está ordenado en potencias decrecientes: \[ x^3 - x^2 - 14x + 24 \] Los coeficientes asociados son: \[ 1 \quad -1 \quad -14 \quad 24 \]

Construcción del esquema de Ruffini

Se coloca el valor \(a = 3\) a la izquierda y se escriben los coeficientes en la fila superior:

\[ \begin{array}{r|rrrr} 3 & 1 & -1 & -14 & 24 \end{array} \]

Aplicación paso a paso de la regla

Paso 1: se traslada el primer coeficiente a la fila inferior sin modificarlo.

\[ 1 \]

Paso 2: se multiplica el valor recién escrito por \(a = 3\) y se coloca el resultado debajo del siguiente coeficiente:

\[ 1 \cdot 3 = 3 \]

Paso 3: se suman los valores presentes en la columna:

\[ -1 + 3 = 2 \]

Paso 4: se repite el procedimiento: se multiplica el valor obtenido por \(3\) y se suma:

\[ 2 \cdot 3 = 6 \] \[ -14 + 6 = -8 \]

Paso 5: se ejecuta el último paso:

\[ -8 \cdot 3 = -24 \] \[ 24 + (-24) = 0 \]

Esquema completo

\[ \begin{array}{r|rrrr} 3 & 1 & -1 & -14 & 24 \\ & & 3 & 6 & -24 \\ \hline & 1 & 2 & -8 & 0 \end{array} \]

Interpretación del resultado

Los valores obtenidos en la fila inferior, excepto el último, representan los coeficientes del polinomio cociente: \[ x^2 + 2x - 8 \]

El último valor es el resto de la división: \[ r = 0 \] Como el resto es nulo, la división es exacta.

Resultado

\[ \boxed{x^2 + 2x - 8} \]

Conclusión

Al ser nulo el resto, el polinomio inicial es divisible por \(x - 3\) y se puede escribir como: \[ x^3 - x^2 - 14x + 24 = (x - 3)(x^2 + 2x - 8) \]

\[ x^2 - 6x + 5 \]

Idea resolutiva

Aplicamos la regla de Ruffini y, al final, comprobaremos el resultado del modo más directo posible: desarrollando el producto \((x + 2)(x^2 - 6x + 5)\) y verificando que se obtiene el polinomio de partida. Este hábito de verificación —rápido de ejecutar— permite detectar de inmediato eventuales errores de cálculo cometidos durante el esquema.

Identificación del valor a utilizar

El divisor es \(x + 2 = x - (-2)\). El valor que anula al divisor es: \[ x + 2 = 0 \;\Rightarrow\; x = -2 \] Por lo tanto: \[ a = -2 \]

Escritura de los coeficientes

El polinomio ya está ordenado en potencias decrecientes: \[ x^3 - 4x^2 - 7x + 10 \] Los coeficientes asociados son: \[ 1 \quad -4 \quad -7 \quad 10 \]

Construcción del esquema de Ruffini

Se coloca el valor \(a = -2\) a la izquierda y se escriben los coeficientes en la fila superior:

\[ \begin{array}{r|rrrr} -2 & 1 & -4 & -7 & 10 \end{array} \]

Aplicación paso a paso de la regla

Paso 1: se traslada el primer coeficiente a la fila inferior sin modificarlo.

\[ 1 \]

Paso 2: se multiplica el valor recién escrito por \(a = -2\) y se coloca el resultado debajo del siguiente coeficiente:

\[ 1 \cdot (-2) = -2 \]

Paso 3: se suman los valores presentes en la columna:

\[ -4 + (-2) = -6 \]

Paso 4: se repite el procedimiento: se multiplica el valor obtenido por \(-2\) y se suma:

\[ -6 \cdot (-2) = 12 \] \[ -7 + 12 = 5 \]

Paso 5: se ejecuta el último paso:

\[ 5 \cdot (-2) = -10 \] \[ 10 + (-10) = 0 \]

Esquema completo

\[ \begin{array}{r|rrrr} -2 & 1 & -4 & -7 & 10 \\ & & -2 & 12 & -10 \\ \hline & 1 & -6 & 5 & 0 \end{array} \]

Interpretación del resultado

Los valores obtenidos en la fila inferior, excepto el último, representan los coeficientes del polinomio cociente: \[ x^2 - 6x + 5 \]

El último valor es el resto de la división: \[ r = 0 \] Como el resto es nulo, la división es exacta.

Resultado

\[ \boxed{x^2 - 6x + 5} \]

Conclusión

Al ser nulo el resto, el polinomio inicial es divisible por \(x + 2\) y se puede escribir como: \[ x^3 - 4x^2 - 7x + 10 = (x + 2)(x^2 - 6x + 5) \]

\[ 3x^2 + x - 2 \]

Idea resolutiva

También en este caso el divisor es de la forma \(x - a\) y se aplica la regla de Ruffini. El coeficiente principal del dividendo es \(3\): en los pasos intermedios los productos serán múltiplos de \(3\), lo cual no incrementa la dificultad del método, pero exige no descuidar ningún factor. Es buena práctica, con coeficientes no unitarios, releer cada multiplicación antes de proceder al paso siguiente.

Identificación del valor a utilizar

El divisor es \(x - 2\), que ya está en la forma canónica \(x - a\). El valor que anula al divisor es: \[ x - 2 = 0 \;\Rightarrow\; x = 2 \] Por lo tanto: \[ a = 2 \]

Escritura de los coeficientes

El polinomio ya está ordenado en potencias decrecientes: \[ 3x^3 - 5x^2 - 4x + 4 \] Los coeficientes asociados son: \[ 3 \quad -5 \quad -4 \quad 4 \]

Construcción del esquema de Ruffini

Se coloca el valor \(a = 2\) a la izquierda y se escriben los coeficientes en la fila superior:

\[ \begin{array}{r|rrrr} 2 & 3 & -5 & -4 & 4 \end{array} \]

Aplicación paso a paso de la regla

Paso 1: se traslada el primer coeficiente a la fila inferior sin modificarlo.

\[ 3 \]

Paso 2: se multiplica el valor recién escrito por \(a = 2\) y se coloca el resultado debajo del siguiente coeficiente:

\[ 3 \cdot 2 = 6 \]

Paso 3: se suman los valores presentes en la columna:

\[ -5 + 6 = 1 \]

Paso 4: se repite el procedimiento: se multiplica el valor obtenido por \(2\) y se suma:

\[ 1 \cdot 2 = 2 \] \[ -4 + 2 = -2 \]

Paso 5: se ejecuta el último paso:

\[ -2 \cdot 2 = -4 \] \[ 4 + (-4) = 0 \]

Esquema completo

\[ \begin{array}{r|rrrr} 2 & 3 & -5 & -4 & 4 \\ & & 6 & 2 & -4 \\ \hline & 3 & 1 & -2 & 0 \end{array} \]

Interpretación del resultado

Los valores obtenidos en la fila inferior, excepto el último, representan los coeficientes del polinomio cociente. El coeficiente principal \(3\) del dividendo se conserva invariado como primer coeficiente del cociente: \[ 3x^2 + x - 2 \]

El último valor es el resto de la división: \[ r = 0 \] Como el resto es nulo, la división es exacta.

Resultado

\[ \boxed{3x^2 + x - 2} \]

Conclusión

Al ser nulo el resto, el polinomio inicial es divisible por \(x - 2\) y se puede escribir como: \[ 3x^3 - 5x^2 - 4x + 4 = (x - 2)(3x^2 + x - 2) \]

\[ x^2 + x - 2 \]

Idea resolutiva

El divisor es \(x + 4\), con término independiente de mayor valor absoluto que en los casos anteriores. En la regla de Ruffini esto se traduce en productos intermedios más grandes: conviene ejecutar cada multiplicación con cuidado, ya que un error sobre un valor elevado produce desviaciones más visibles en la fila final. Desde el punto de vista del procedimiento no cambia nada: se identifica la raíz \(a = -4\) y se procede como siempre.

Identificación del valor a utilizar

El divisor es \(x + 4 = x - (-4)\). El valor que anula al divisor es: \[ x + 4 = 0 \;\Rightarrow\; x = -4 \] Por lo tanto: \[ a = -4 \]

Escritura de los coeficientes

El polinomio ya está ordenado en potencias decrecientes: \[ x^3 + 5x^2 + 2x - 8 \] Los coeficientes asociados son: \[ 1 \quad 5 \quad 2 \quad -8 \]

Construcción del esquema de Ruffini

Se coloca el valor \(a = -4\) a la izquierda y se escriben los coeficientes en la fila superior:

\[ \begin{array}{r|rrrr} -4 & 1 & 5 & 2 & -8 \end{array} \]

Aplicación paso a paso de la regla

Paso 1: se traslada el primer coeficiente a la fila inferior sin modificarlo.

\[ 1 \]

Paso 2: se multiplica el valor recién escrito por \(a = -4\) y se coloca el resultado debajo del siguiente coeficiente:

\[ 1 \cdot (-4) = -4 \]

Paso 3: se suman los valores presentes en la columna:

\[ 5 + (-4) = 1 \]

Paso 4: se repite el procedimiento: se multiplica el valor obtenido por \(-4\) y se suma:

\[ 1 \cdot (-4) = -4 \] \[ 2 + (-4) = -2 \]

Paso 5: se ejecuta el último paso:

\[ -2 \cdot (-4) = 8 \] \[ -8 + 8 = 0 \]

Esquema completo

\[ \begin{array}{r|rrrr} -4 & 1 & 5 & 2 & -8 \\ & & -4 & -4 & 8 \\ \hline & 1 & 1 & -2 & 0 \end{array} \]

Interpretación del resultado

Los valores obtenidos en la fila inferior, excepto el último, representan los coeficientes del polinomio cociente: \[ x^2 + x - 2 \]

El último valor es el resto de la división: \[ r = 0 \] Como el resto es nulo, la división es exacta.

Resultado

\[ \boxed{x^2 + x - 2} \]

Conclusión

Al ser nulo el resto, el polinomio inicial es divisible por \(x + 4\) y se puede escribir como: \[ x^3 + 5x^2 + 2x - 8 = (x + 4)(x^2 + x - 2) \]

\[ 2x^2 - 3x - 2 \]

Idea resolutiva

Además de proporcionar cociente y resto, la regla de Ruffini es una herramienta de factorización: cada vez que el resto es nulo, el polinomio se escribe como producto del divisor por el cociente. Si además el cociente obtenido es factorizable —por ejemplo mediante la fórmula cuadrática— se obtiene la descomposición completa en factores irreducibles del polinomio de partida. En este ejercicio el cociente \(2x^2 - 3x - 2\) es un trinomio que se puede factorizar ulteriormente, pero ello queda fuera del objetivo actual.

Identificación del valor a utilizar

El divisor es \(x - 3\), que ya está en la forma canónica \(x - a\). El valor que anula al divisor es: \[ x - 3 = 0 \;\Rightarrow\; x = 3 \] Por lo tanto: \[ a = 3 \]

Escritura de los coeficientes

El polinomio ya está ordenado en potencias decrecientes: \[ 2x^3 - 9x^2 + 7x + 6 \] Los coeficientes asociados son: \[ 2 \quad -9 \quad 7 \quad 6 \]

Construcción del esquema de Ruffini

Se coloca el valor \(a = 3\) a la izquierda y se escriben los coeficientes en la fila superior:

\[ \begin{array}{r|rrrr} 3 & 2 & -9 & 7 & 6 \end{array} \]

Aplicación paso a paso de la regla

Paso 1: se traslada el primer coeficiente a la fila inferior sin modificarlo.

\[ 2 \]

Paso 2: se multiplica el valor recién escrito por \(a = 3\) y se coloca el resultado debajo del siguiente coeficiente:

\[ 2 \cdot 3 = 6 \]

Paso 3: se suman los valores presentes en la columna:

\[ -9 + 6 = -3 \]

Paso 4: se repite el procedimiento: se multiplica el valor obtenido por \(3\) y se suma:

\[ -3 \cdot 3 = -9 \] \[ 7 + (-9) = -2 \]

Paso 5: se ejecuta el último paso:

\[ -2 \cdot 3 = -6 \] \[ 6 + (-6) = 0 \]

Esquema completo

\[ \begin{array}{r|rrrr} 3 & 2 & -9 & 7 & 6 \\ & & 6 & -9 & -6 \\ \hline & 2 & -3 & -2 & 0 \end{array} \]

Interpretación del resultado

Los valores obtenidos en la fila inferior, excepto el último, representan los coeficientes del polinomio cociente: \[ 2x^2 - 3x - 2 \]

El último valor es el resto de la división: \[ r = 0 \] Como el resto es nulo, la división es exacta.

Resultado

\[ \boxed{2x^2 - 3x - 2} \]

Conclusión

Al ser nulo el resto, el polinomio inicial es divisible por \(x - 3\) y se puede escribir como: \[ 2x^3 - 9x^2 + 7x + 6 = (x - 3)(2x^2 - 3x - 2) \]

\[ x^2 + x - 6 \]

Idea resolutiva

El dividendo \(x^3 - 7x + 6\) no contiene el término en \(x^2\): se trata de un polinomio con un término ausente. Antes de aplicar la regla de Ruffini es indispensable explicitar el coeficiente nulo correspondiente, introduciendo \(0\) en la posición de \(x^2\) dentro del esquema. Olvidar este detalle llevaría a asociar cada coeficiente a la potencia equivocada, invalidando todo el cálculo.

Identificación del valor a utilizar

El divisor es \(x - 1\), que ya está en la forma canónica \(x - a\). El valor que anula al divisor es: \[ x - 1 = 0 \;\Rightarrow\; x = 1 \] Por lo tanto: \[ a = 1 \]

Escritura de los coeficientes

El polinomio escrito en forma completa, con el término ausente explicitado, es: \[ x^3 + 0x^2 - 7x + 6 \] Los coeficientes asociados, en orden, son: \[ 1 \quad 0 \quad -7 \quad 6 \]

Construcción del esquema de Ruffini

Se coloca el valor \(a = 1\) a la izquierda y se escriben los cuatro coeficientes —incluido el cero— en la fila superior:

\[ \begin{array}{r|rrrr} 1 & 1 & 0 & -7 & 6 \end{array} \]

Aplicación paso a paso de la regla

Paso 1: se traslada el primer coeficiente a la fila inferior sin modificarlo.

\[ 1 \]

Paso 2: se multiplica el valor recién escrito por \(a = 1\) y se coloca el resultado debajo del siguiente coeficiente:

\[ 1 \cdot 1 = 1 \]

Paso 3: se suman los valores presentes en la columna:

\[ 0 + 1 = 1 \]

Paso 4: se repite el procedimiento: se multiplica el valor obtenido por \(1\) y se suma:

\[ 1 \cdot 1 = 1 \] \[ -7 + 1 = -6 \]

Paso 5: se ejecuta el último paso:

\[ -6 \cdot 1 = -6 \] \[ 6 + (-6) = 0 \]

Esquema completo

\[ \begin{array}{r|rrrr} 1 & 1 & 0 & -7 & 6 \\ & & 1 & 1 & -6 \\ \hline & 1 & 1 & -6 & 0 \end{array} \]

Interpretación del resultado

Los valores obtenidos en la fila inferior, excepto el último, representan los coeficientes del polinomio cociente: \[ x^2 + x - 6 \]

El último valor es el resto de la división: \[ r = 0 \] Como el resto es nulo, la división es exacta.

Resultado

\[ \boxed{x^2 + x - 6} \]

Conclusión

Al ser nulo el resto, el polinomio inicial es divisible por \(x - 1\) y se puede escribir como: \[ x^3 - 7x + 6 = (x - 1)(x^2 + x - 6) \]

\[ x^2 - 5x + 6 \]

Idea resolutiva

Antes de iniciar el esquema, conviene comprobar rápidamente que \(x + 3\) sea efectivamente un divisor exacto, calculando \(p(-3)\) mentalmente: \((-3)^3 - 2(-3)^2 - 9(-3) + 18 = -27 - 18 + 27 + 18 = 0\). Esta comprobación previa, posibilitada por el teorema del resto, requiere pocos segundos y nos asegura que el esquema de Ruffini producirá un resto nulo. En cambio, si el resultado fuera distinto de cero, sabríamos de antemano que la división no es exacta, sin tener que completar todo el esquema.

Identificación del valor a utilizar

El divisor es \(x + 3 = x - (-3)\). El valor que anula al divisor es: \[ x + 3 = 0 \;\Rightarrow\; x = -3 \] Por lo tanto: \[ a = -3 \]

Escritura de los coeficientes

El polinomio ya está ordenado en potencias decrecientes: \[ x^3 - 2x^2 - 9x + 18 \] Los coeficientes asociados son: \[ 1 \quad -2 \quad -9 \quad 18 \]

Construcción del esquema de Ruffini

Se coloca el valor \(a = -3\) a la izquierda y se escriben los coeficientes en la fila superior:

\[ \begin{array}{r|rrrr} -3 & 1 & -2 & -9 & 18 \end{array} \]

Aplicación paso a paso de la regla

Paso 1: se traslada el primer coeficiente a la fila inferior sin modificarlo.

\[ 1 \]

Paso 2: se multiplica el valor recién escrito por \(a = -3\) y se coloca el resultado debajo del siguiente coeficiente:

\[ 1 \cdot (-3) = -3 \]

Paso 3: se suman los valores presentes en la columna:

\[ -2 + (-3) = -5 \]

Paso 4: se repite el procedimiento: se multiplica el valor obtenido por \(-3\) y se suma:

\[ -5 \cdot (-3) = 15 \] \[ -9 + 15 = 6 \]

Paso 5: se ejecuta el último paso:

\[ 6 \cdot (-3) = -18 \] \[ 18 + (-18) = 0 \]

Esquema completo

\[ \begin{array}{r|rrrr} -3 & 1 & -2 & -9 & 18 \\ & & -3 & 15 & -18 \\ \hline & 1 & -5 & 6 & 0 \end{array} \]

Interpretación del resultado

Los valores obtenidos en la fila inferior, excepto el último, representan los coeficientes del polinomio cociente: \[ x^2 - 5x + 6 \]

El último valor es el resto de la división: \[ r = 0 \] Como el resto es nulo, la división es exacta, tal como anticipaba la comprobación previa.

Resultado

\[ \boxed{x^2 - 5x + 6} \]

Conclusión

Al ser nulo el resto, el polinomio inicial es divisible por \(x + 3\) y se puede escribir como: \[ x^3 - 2x^2 - 9x + 18 = (x + 3)(x^2 - 5x + 6) \]

\[ 2x^2 - 5x + 2 \]

Idea resolutiva

Este ejercicio combina dos elementos ya tratados por separado: un divisor de la forma \(x + k\) con \(k > 0\) —que obliga a deducir una raíz negativa— y un coeficiente principal del dividendo distinto de \(1\). La regla de Ruffini gestiona ambas situaciones sin modificaciones del procedimiento; lo único que cambia es la mayor atención requerida al ejecutar productos que involucran simultáneamente números negativos y coeficientes enteros mayores que la unidad.

Identificación del valor a utilizar

El divisor es \(x + 3 = x - (-3)\). El valor que anula al divisor es: \[ x + 3 = 0 \;\Rightarrow\; x = -3 \] Por lo tanto: \[ a = -3 \]

Escritura de los coeficientes

El polinomio ya está ordenado en potencias decrecientes: \[ 2x^3 + x^2 - 13x + 6 \] Los coeficientes asociados son: \[ 2 \quad 1 \quad -13 \quad 6 \]

Construcción del esquema de Ruffini

Se coloca el valor \(a = -3\) a la izquierda y se escriben los coeficientes en la fila superior:

\[ \begin{array}{r|rrrr} -3 & 2 & 1 & -13 & 6 \end{array} \]

Aplicación paso a paso de la regla

Paso 1: se traslada el primer coeficiente a la fila inferior sin modificarlo.

\[ 2 \]

Paso 2: se multiplica el valor recién escrito por \(a = -3\) y se coloca el resultado debajo del siguiente coeficiente:

\[ 2 \cdot (-3) = -6 \]

Paso 3: se suman los valores presentes en la columna:

\[ 1 + (-6) = -5 \]

Paso 4: se repite el procedimiento: se multiplica el valor obtenido por \(-3\) y se suma:

\[ -5 \cdot (-3) = 15 \] \[ -13 + 15 = 2 \]

Paso 5: se ejecuta el último paso:

\[ 2 \cdot (-3) = -6 \] \[ 6 + (-6) = 0 \]

Esquema completo

\[ \begin{array}{r|rrrr} -3 & 2 & 1 & -13 & 6 \\ & & -6 & 15 & -6 \\ \hline & 2 & -5 & 2 & 0 \end{array} \]

Interpretación del resultado

Los valores obtenidos en la fila inferior, excepto el último, representan los coeficientes del polinomio cociente. El coeficiente principal \(2\) del dividendo aparece como primer coeficiente del cociente: \[ 2x^2 - 5x + 2 \]

El último valor es el resto de la división: \[ r = 0 \] Como el resto es nulo, la división es exacta.

Resultado

\[ \boxed{2x^2 - 5x + 2} \]

Conclusión

Al ser nulo el resto, el polinomio inicial es divisible por \(x + 3\) y se puede escribir como: \[ 2x^3 + x^2 - 13x + 6 = (x + 3)(2x^2 - 5x + 2) \]

\[ x^2 + 2x - 3 \]

Idea resolutiva

Aplicar la regla de Ruffini no se limita a hallar cociente y resto: cuando el resto es nulo, \(a\) es una raíz del polinomio dividendo. En este ejercicio obtendremos el cociente \(x^2 + 2x - 3\), que también es factorizable como \((x - 1)(x + 3)\). Esto significa que \(x = 1\) es una raíz doble y \(x = -3\) es otra raíz, y la descomposición completa del polinomio inicial es \((x-1)^2(x+3)\). Ruffini es así el primer eslabón de una cadena de factorizaciones.

Identificación del valor a utilizar

El divisor es \(x - 1\), que ya está en la forma canónica \(x - a\). El valor que anula al divisor es: \[ x - 1 = 0 \;\Rightarrow\; x = 1 \] Por lo tanto: \[ a = 1 \]

Escritura de los coeficientes

El polinomio ya está ordenado en potencias decrecientes: \[ x^3 + x^2 - 5x + 3 \] Los coeficientes asociados son: \[ 1 \quad 1 \quad -5 \quad 3 \]

Construcción del esquema de Ruffini

Se coloca el valor \(a = 1\) a la izquierda y se escriben los coeficientes en la fila superior:

\[ \begin{array}{r|rrrr} 1 & 1 & 1 & -5 & 3 \end{array} \]

Aplicación paso a paso de la regla

Paso 1: se traslada el primer coeficiente a la fila inferior sin modificarlo.

\[ 1 \]

Paso 2: se multiplica el valor recién escrito por \(a = 1\) y se coloca el resultado debajo del siguiente coeficiente:

\[ 1 \cdot 1 = 1 \]

Paso 3: se suman los valores presentes en la columna:

\[ 1 + 1 = 2 \]

Paso 4: se repite el procedimiento: se multiplica el valor obtenido por \(1\) y se suma:

\[ 2 \cdot 1 = 2 \] \[ -5 + 2 = -3 \]

Paso 5: se ejecuta el último paso:

\[ -3 \cdot 1 = -3 \] \[ 3 + (-3) = 0 \]

Esquema completo

\[ \begin{array}{r|rrrr} 1 & 1 & 1 & -5 & 3 \\ & & 1 & 2 & -3 \\ \hline & 1 & 2 & -3 & 0 \end{array} \]

Interpretación del resultado

Los valores obtenidos en la fila inferior, excepto el último, representan los coeficientes del polinomio cociente: \[ x^2 + 2x - 3 \]

El último valor es el resto de la división: \[ r = 0 \] Como el resto es nulo, la división es exacta.

Resultado

\[ \boxed{x^2 + 2x - 3} \]

Conclusión

Al ser nulo el resto, el polinomio inicial es divisible por \(x - 1\) y se puede escribir como: \[ x^3 + x^2 - 5x + 3 = (x - 1)(x^2 + 2x - 3) \] Factorizando ulteriormente el cociente se obtiene la descomposición completa: \[ x^3 + x^2 - 5x + 3 = (x - 1)^2(x + 3) \]

\[ 3x^2 + 5x - 2 \]

Idea resolutiva

Llegados al vigésimo ejercicio, podemos hacer balance del método. La regla de Ruffini ha demostrado ser aplicable de manera uniforme con independencia del signo de la raíz, del valor absoluto de los coeficientes o del coeficiente principal del dividendo. La única condición necesaria sigue siendo que el divisor sea un binomio mónico de primer grado \(x - a\): cuando esta condición se cumple, el esquema de tres filas proporciona siempre cociente y resto de manera rápida y verificable.

Identificación del valor a utilizar

El divisor es \(x - 1\), que ya está en la forma canónica \(x - a\). El valor que anula al divisor es: \[ x - 1 = 0 \;\Rightarrow\; x = 1 \] Por lo tanto: \[ a = 1 \]

Escritura de los coeficientes

El polinomio ya está ordenado en potencias decrecientes: \[ 3x^3 + 2x^2 - 7x + 2 \] Los coeficientes asociados son: \[ 3 \quad 2 \quad -7 \quad 2 \]

Construcción del esquema de Ruffini

Se coloca el valor \(a = 1\) a la izquierda y se escriben los coeficientes en la fila superior:

\[ \begin{array}{r|rrrr} 1 & 3 & 2 & -7 & 2 \end{array} \]

Aplicación paso a paso de la regla

Paso 1: se traslada el primer coeficiente a la fila inferior sin modificarlo.

\[ 3 \]

Paso 2: se multiplica el valor recién escrito por \(a = 1\) y se coloca el resultado debajo del siguiente coeficiente:

\[ 3 \cdot 1 = 3 \]

Paso 3: se suman los valores presentes en la columna:

\[ 2 + 3 = 5 \]

Paso 4: se repite el procedimiento: se multiplica el valor obtenido por \(1\) y se suma:

\[ 5 \cdot 1 = 5 \] \[ -7 + 5 = -2 \]

Paso 5: se ejecuta el último paso:

\[ -2 \cdot 1 = -2 \] \[ 2 + (-2) = 0 \]

Esquema completo

\[ \begin{array}{r|rrrr} 1 & 3 & 2 & -7 & 2 \\ & & 3 & 5 & -2 \\ \hline & 3 & 5 & -2 & 0 \end{array} \]

Interpretación del resultado

Los valores obtenidos en la fila inferior, excepto el último, representan los coeficientes del polinomio cociente. El coeficiente principal \(3\) del dividendo se conserva invariado como primer coeficiente del cociente: \[ 3x^2 + 5x - 2 \]

El último valor es el resto de la división: \[ r = 0 \] Como el resto es nulo, la división es exacta.

Resultado

\[ \boxed{3x^2 + 5x - 2} \]

Conclusión

Al ser nulo el resto, el polinomio inicial es divisible por \(x - 1\) y se puede escribir como: \[ 3x^3 + 2x^2 - 7x + 2 = (x - 1)(3x^2 + 5x - 2) \]