Una guía práctica sobre las ecuaciones de primer grado con desarrollos detallados: aprende a despejar la incógnita, calcular el m.c.m. y manejar los paréntesis. Incluye la comprobación de los resultados y el análisis de las ecuaciones determinadas, imposibles e indeterminadas.
Ejercicio 1 — nivel ★☆☆☆☆
\[ 2x + 5 = 11 \]
Resultado
\[ x = 3 \]
Resolución
Idea resolutiva
Para resolver una ecuación de primer grado se despeja la incógnita: se trasladan los términos independientes al segundo miembro y se divide por el coeficiente de la incógnita.
Despeje de la incógnita
Restamos \(5\) a ambos miembros:
\[ 2x = 11 - 5 = 6 \]
División por el coeficiente
\[ x = \frac{6}{2} = 3 \]
Comprobación
\[ 2 \cdot 3 + 5 = 11 \checkmark \]
Resultado
\[ \boxed{x = 3} \]
Ejercicio 2 — nivel ★☆☆☆☆
\[ 3x - 7 = 2 \]
Resultado
\[ x = 3 \]
Resolución
Idea resolutiva
Se traslada el término independiente al segundo miembro y se divide por el coeficiente de la incógnita.
Despeje de la incógnita
Sumamos \(7\) a ambos miembros:
\[ 3x = 2 + 7 = 9 \]
División por el coeficiente
\[ x = \frac{9}{3} = 3 \]
Comprobación
\[ 3 \cdot 3 - 7 = 2 \checkmark \]
Resultado
\[ \boxed{x = 3} \]
Ejercicio 3 — nivel ★☆☆☆☆
\[ 5x = -20 \]
Resultado
\[ x = -4 \]
Resolución
Idea resolutiva
La ecuación ya está en la forma \(ax = b\): basta con dividir ambos miembros por el coeficiente de la incógnita.
División por el coeficiente
\[ x = \frac{-20}{5} = -4 \]
Comprobación
\[ 5 \cdot (-4) = -20 \checkmark \]
Resultado
\[ \boxed{x = -4} \]
Ejercicio 4 — nivel ★★☆☆☆
\[ 4x + 3 = 2x + 11 \]
Resultado
\[ x = 4 \]
Resolución
Idea resolutiva
La incógnita aparece en ambos miembros. Se agrupan los términos en \(x\) a la izquierda y los términos independientes a la derecha.
Agrupación de los términos en \(x\)
Restamos \(2x\) a ambos miembros:
\[ 2x + 3 = 11 \]
Despeje de la incógnita
\[ 2x = 8 \implies x = 4 \]
Comprobación
\[ 4 \cdot 4 + 3 = 19 \qquad 2 \cdot 4 + 11 = 19 \checkmark \]
Resultado
\[ \boxed{x = 4} \]
Ejercicio 5 — nivel ★★☆☆☆
\[ 7x - 5 = 3x + 7 \]
Resultado
\[ x = 3 \]
Resolución
Idea resolutiva
Se agrupan los términos en \(x\) en el primer miembro y los términos independientes en el segundo.
Agrupación de los términos en \(x\)
Restamos \(3x\) a ambos miembros:
\[ 4x - 5 = 7 \]
Despeje de la incógnita
\[ 4x = 12 \implies x = 3 \]
Comprobación
\[ 7 \cdot 3 - 5 = 16 \qquad 3 \cdot 3 + 7 = 16 \checkmark \]
Resultado
\[ \boxed{x = 3} \]
Ejercicio 6 — nivel ★★☆☆☆
\[ 3(x + 4) = 18 \]
Resultado
\[ x = 2 \]
Resolución
Idea resolutiva
Primero se eliminan los paréntesis aplicando la propiedad distributiva con el factor \(3\), después se despeja la incógnita.
Aplicación de la propiedad distributiva
\[ 3x + 12 = 18 \]
Despeje de la incógnita
\[ 3x = 6 \implies x = 2 \]
Comprobación
\[ 3(2 + 4) = 3 \cdot 6 = 18 \checkmark \]
Resultado
\[ \boxed{x = 2} \]
Ejercicio 7 — nivel ★★☆☆☆
\[ 2(3x - 1) = 4(x + 2) \]
Resultado
\[ x = 5 \]
Resolución
Idea resolutiva
Se aplica la propiedad distributiva en ambos miembros y, a continuación, se agrupan los términos en \(x\) a la izquierda y los términos independientes a la derecha.
Aplicación de la propiedad distributiva
\[ 6x - 2 = 4x + 8 \]
Agrupación y despeje
\[ 2x = 10 \implies x = 5 \]
Comprobación
\[ 2(3 \cdot 5 - 1) = 2 \cdot 14 = 28 \qquad 4(5 + 2) = 4 \cdot 7 = 28 \checkmark \]
Resultado
\[ \boxed{x = 5} \]
Ejercicio 8 — nivel ★★☆☆☆
\[ \frac{x}{2} + 3 = 7 \]
Resultado
\[ x = 8 \]
Resolución
Idea resolutiva
Primero se despeja el término que contiene la fracción y, después, se multiplica por el denominador.
Despeje del término fraccionario
\[ \frac{x}{2} = 4 \]
Eliminación del denominador
Multiplicamos ambos miembros por \(2\):
\[ x = 8 \]
Comprobación
\[ \frac{8}{2} + 3 = 4 + 3 = 7 \checkmark \]
Resultado
\[ \boxed{x = 8} \]
Ejercicio 9 — nivel ★★★☆☆
\[ \frac{x}{3} + \frac{x}{6} = 5 \]
Resultado
\[ x = 10 \]
Resolución
Idea resolutiva
Para eliminar los denominadores se multiplica todo por el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de \(3\) y \(6\), que es \(6\).
Multiplicación por el m.c.m.
\[ 6 \cdot \frac{x}{3} + 6 \cdot \frac{x}{6} = 6 \cdot 5 \implies 2x + x = 30 \]
Agrupación y solución
\[ 3x = 30 \implies x = 10 \]
Comprobación
\[ \frac{10}{3} + \frac{10}{6} = \frac{20}{6} + \frac{10}{6} = \frac{30}{6} = 5 \checkmark \]
Resultado
\[ \boxed{x = 10} \]
Ejercicio 10 — nivel ★★★☆☆
\[ \frac{2x - 1}{3} = \frac{x + 2}{2} \]
Resultado
\[ x = 8 \]
Resolución
Idea resolutiva
Se multiplica todo por el m.c.m. de los denominadores, que es \(6\), para eliminar las fracciones.
Multiplicación por el m.c.m.
\[ 2(2x-1) = 3(x+2) \]
Distributiva y agrupación
\[ 4x - 2 = 3x + 6 \implies x = 8 \]
Comprobación
\[ \frac{2 \cdot 8 - 1}{3} = \frac{15}{3} = 5 \qquad \frac{8 + 2}{2} = \frac{10}{2} = 5 \checkmark \]
Resultado
\[ \boxed{x = 8} \]
Ejercicio 11 — nivel ★★★☆☆
\[ 5(x - 2) - 3(x + 1) = 7 \]
Resultado
\[ x = 10 \]
Resolución
Idea resolutiva
Se aplica la propiedad distributiva en ambos paréntesis, prestando atención al signo del segundo término, y luego se simplifica.
Aplicación de la propiedad distributiva
\[ 5x - 10 - 3x - 3 = 7 \]
Reducción de términos semejantes
\[ 2x - 13 = 7 \]
Despeje de la incógnita
\[ 2x = 20 \implies x = 10 \]
Comprobación
\[ 5(10 - 2) - 3(10 + 1) = 40 - 33 = 7 \checkmark \]
Resultado
\[ \boxed{x = 10} \]
Ejercicio 12 — nivel ★★★☆☆
\[ \frac{x + 1}{4} - \frac{x - 1}{6} = 1 \]
Resultado
\[ x = 7 \]
Resolución
Idea resolutiva
El m.c.m. de \(4\) y \(6\) es \(12\). Se multiplica todo por \(12\) para eliminar las fracciones.
Multiplicación por el m.c.m.
\[ 3(x+1) - 2(x-1) = 12 \]
Distributiva y agrupación
\[ 3x + 3 - 2x + 2 = 12 \implies x + 5 = 12 \implies x = 7 \]
Comprobación
\[ \frac{7+1}{4} - \frac{7-1}{6} = \frac{8}{4} - \frac{6}{6} = 2 - 1 = 1 \checkmark \]
Resultado
\[ \boxed{x = 7} \]
Ejercicio 13 — nivel ★★★☆☆
\[ 3x - 2(x - 4) = 3(x + 2) - 6 \]
Resultado
\[ x = 4 \]
Resolución
Idea resolutiva
Se aplica la propiedad distributiva en los dos miembros y, después, se agrupan los términos en \(x\) a la izquierda y los términos independientes a la derecha.
Aplicación de la propiedad distributiva
\[ 3x - 2x + 8 = 3x + 6 - 6 \implies x + 8 = 3x \]
Despeje de la incógnita
\[ 8 = 2x \implies x = 4 \]
Comprobación
\[ 3 \cdot 4 - 2(4-4) = 12 \qquad 3(4+2) - 6 = 12 \checkmark \]
Resultado
\[ \boxed{x = 4} \]
Ejercicio 14 — nivel ★★★★☆
\[ \frac{3x - 2}{5} + \frac{x + 1}{2} = \frac{7x - 1}{10} + 1 \]
Resultado
\[ x = 2 \]
Resolución
Idea resolutiva
El m.c.m. de \(5\), \(2\) y \(10\) es \(10\). Se multiplica todo por \(10\).
Multiplicación por el m.c.m.
\[ 2(3x-2) + 5(x+1) = (7x-1) + 10 \]
Aplicación de la propiedad distributiva
\[ 6x - 4 + 5x + 5 = 7x + 9 \]
Reducción de términos semejantes
\[ 11x + 1 = 7x + 9 \implies 4x = 8 \implies x = 2 \]
Comprobación
\[ \frac{3 \cdot 2-2}{5} + \frac{2+1}{2} = \frac{4}{5} + \frac{3}{2} = \frac{8}{10} + \frac{15}{10} = \frac{23}{10} \]
\[ \frac{7 \cdot 2-1}{10} + 1 = \frac{13}{10} + \frac{10}{10} = \frac{23}{10} \checkmark \]
Resultado
\[ \boxed{x = 2} \]
Ejercicio 15 — nivel ★★★★☆
\[ 4(2x + 1) - 3(x - 2) = 2(x + 5) + 7 \]
Resultado
\[ x = \dfrac{7}{3} \]
Resolución
Idea resolutiva
Se aplica la propiedad distributiva a todos los factores de los dos miembros y, a continuación, se reducen los términos semejantes.
Aplicación de la propiedad distributiva
\[ 8x + 4 - 3x + 6 = 2x + 10 + 7 \]
Reducción de términos semejantes
\[ 5x + 10 = 2x + 17 \]
Despeje de la incógnita
\[ 3x = 7 \implies x = \frac{7}{3} \]
Comprobación
\[ 4\!\left(\frac{14}{3}+1\right) - 3\!\left(\frac{7}{3}-2\right) = 4 \cdot \frac{17}{3} - 3 \cdot \frac{1}{3} = \frac{68-3}{3} = \frac{65}{3} \]
\[ 2\!\left(\frac{7}{3}+5\right)+7 = \frac{44}{3}+\frac{21}{3} = \frac{65}{3} \checkmark \]
Resultado
\[ \boxed{x = \frac{7}{3}} \]
Ejercicio 16 — nivel ★★★★☆
\[ \frac{x - 3}{2} - \frac{2x + 1}{5} = \frac{x}{10} - 2 \]
Resultado
Ecuación imposible — sin solución.
Resolución
Idea resolutiva
El m.c.m. de \(2\), \(5\) y \(10\) es \(10\). Se multiplica todo por \(10\).
Multiplicación por el m.c.m.
\[ 5(x-3) - 2(2x+1) = x - 20 \]
Aplicación de la propiedad distributiva
\[ 5x - 15 - 4x - 2 = x - 20 \implies x - 17 = x - 20 \]
Análisis del resultado
Restamos \(x\) a ambos miembros:
\[ -17 = -20 \]
Se obtiene una contradicción: la ecuación es imposible y no admite ninguna solución.
Resultado
\[ \boxed{\text{Ecuación imposible — sin solución}} \]
Ejercicio 17 — nivel ★★★★☆
\[ 3(x + 2) - 2(x + 3) = x \]
Resultado
Ecuación indeterminada — infinitas soluciones (\(x \in \mathbb{R}\)).
Resolución
Idea resolutiva
Se aplica la propiedad distributiva y se reducen los términos semejantes.
Aplicación de la propiedad distributiva
\[ 3x + 6 - 2x - 6 = x \]
Reducción de términos semejantes
\[ x = x \]
Análisis del resultado
La ecuación se reduce a una identidad verdadera para cualquier valor de \(x\). Se trata de una ecuación indeterminada: todo número real es solución.
Resultado
\[ \boxed{x \in \mathbb{R} \quad \text{(infinitas soluciones)}} \]
Ejercicio 18 — nivel ★★★★★
\[ \frac{2x + 1}{3} - \frac{x - 2}{4} + \frac{x}{6} = \frac{5x + 3}{12} + 1 \]
Resultado
\[ x = \dfrac{5}{2} \]
Resolución
Idea resolutiva
El m.c.m. de \(3\), \(4\), \(6\) y \(12\) es \(12\). Se multiplica todo por \(12\).
Multiplicación por el m.c.m.
\[ 4(2x+1) - 3(x-2) + 2x = (5x+3) + 12 \]
Aplicación de la propiedad distributiva
\[ 8x + 4 - 3x + 6 + 2x = 5x + 15 \]
Reducción de términos semejantes
\[ 7x + 10 = 5x + 15 \]
Despeje de la incógnita
\[ 2x = 5 \implies x = \frac{5}{2} \]
Comprobación
\[ \frac{2 \cdot \frac{5}{2}+1}{3} - \frac{\frac{5}{2}-2}{4} + \frac{\frac{5}{2}}{6} = \frac{6}{3} - \frac{\frac{1}{2}}{4} + \frac{5}{12} = 2 - \frac{1}{8} + \frac{5}{12} \]
\[ = \frac{48}{24} - \frac{3}{24} + \frac{10}{24} = \frac{55}{24} \]
\[ \frac{5 \cdot \frac{5}{2}+3}{12} + 1 = \frac{\frac{31}{2}}{12} + 1 = \frac{31}{24} + \frac{24}{24} = \frac{55}{24} \checkmark \]
Resultado
\[ \boxed{x = \frac{5}{2}} \]
Ejercicio 19 — nivel ★★★★★
\[ \frac{3(x-1)}{4} - \frac{2(x+3)}{6} = \frac{x-5}{12} + \frac{1}{3} \]
Resultado
\[ x = 5 \]
Resolución
Idea resolutiva
El m.c.m. de \(4\), \(6\), \(12\) y \(3\) es \(12\). Se multiplica todo por \(12\).
Multiplicación por el m.c.m.
\[ 3 \cdot 3(x-1) - 2 \cdot 2(x+3) = (x-5) + 4 \]
\[ 9(x-1) - 4(x+3) = x - 1 \]
Aplicación de la propiedad distributiva
\[ 9x - 9 - 4x - 12 = x - 1 \implies 5x - 21 = x - 1 \]
Despeje de la incógnita
\[ 4x = 20 \implies x = 5 \]
Comprobación
\[ \frac{3(5-1)}{4} - \frac{2(5+3)}{6} = 3 - \frac{8}{3} = \frac{1}{3} \]
\[ \frac{5-5}{12} + \frac{1}{3} = 0 + \frac{1}{3} = \frac{1}{3} \checkmark \]
Resultado
\[ \boxed{x = 5} \]
Ejercicio 20 — nivel ★★★★★
\[ \frac{x+2}{3} - \frac{3x-1}{9} + \frac{2(x-3)}{6} = \frac{5x+1}{18} + \frac{1}{2} \]
Resultado
\[ x = 14 \]
Resolución
Idea resolutiva
El m.c.m. de \(3\), \(9\), \(6\), \(18\) y \(2\) es \(18\). Se multiplica todo por \(18\).
Multiplicación por el m.c.m.
\[ 6(x+2) - 2(3x-1) + 6(x-3) = (5x+1) + 9 \]
Aplicación de la propiedad distributiva
\[ 6x + 12 - 6x + 2 + 6x - 18 = 5x + 10 \]
Reducción de términos semejantes
\[ 6x - 4 = 5x + 10 \]
Despeje de la incógnita
\[ x = 14 \]
Comprobación
\[ \frac{16}{3} - \frac{41}{9} + \frac{22}{6} = \frac{48}{9} - \frac{41}{9} + \frac{33}{9} = \frac{40}{9} \]
\[ \frac{71}{18} + \frac{9}{18} = \frac{80}{18} = \frac{40}{9} \checkmark \]
Resultado
\[ \boxed{x = 14} \]