Recopilación de ejercicios sobre el estudio del signo de funciones polinómicas y racionales. Resoluciones paso a paso con esquemas de signos y análisis de los ceros, del dominio y de los posibles puntos excluidos.
El estudio del signo consiste en determinar para qué valores de la variable una función es positiva, negativa o nula. Para ello se analizan los factores, se localizan los ceros, se excluyen los valores que no pertenecen al dominio y se completa una tabla de signos.
Ejercicio 1 — nivel ★★☆☆☆
\[ f(x) = (x-3)(x+1) \]
Resultado
\[ f(x) > 0 \text{ para } x < -1 \text{ o } x > 3\]
\[ f(x) = 0 \text{ para } x=-1,\,3\]
\[ f(x) < 0 \text{ para } -1 < x < 3 \]
Desarrollo
Ceros
Los ceros se obtienen anulando cada factor: \(x=-1\) y \(x=3\).
Esquema de signos
Conclusión
La función es positiva fuera del intervalo comprendido entre los dos ceros y negativa entre ellos.
Ejercicio 2 — nivel ★★☆☆☆
\[ f(x) = -(x+2)(x-4) \]
Resultado
\[ f(x) > 0 \text{ para } -2 < x < 4\]
\[ f(x) < 0 \text{ para } x < -2 \text{ o } x > 4 \]
Desarrollo
Observación
El factor \(-1\) invierte el signo del producto \((x+2)(x-4)\).
Ceros
Los ceros son \(x=-2\) y \(x=4\).
Esquema de signos
Conclusión
Por la presencia del signo menos inicial, la función es positiva entre los dos ceros y negativa fuera de ellos.
Ejercicio 3 — nivel ★★☆☆☆
\[ f(x) = x^2 - 5x + 6 \]
Resultado
\[ f(x) > 0 \text{ para } x < 2 \text{ o } x > 3\]
\[ f(x) < 0 \text{ para } 2 < x < 3 \]
Desarrollo
Factorización
\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3) \]
Ceros
Los ceros son \(x=2\) y \(x=3\).
Esquema de signos
Conclusión
La función es positiva para \(x<2\) o \(x>3\), y negativa para \(2<x<3\).
Ejercicio 4 — nivel ★★☆☆☆
\[ f(x) = -x^2+x+6 \]
Resultado
\[ f(x) > 0 \text{ para } -2 < x < 3\]
\[ f(x) < 0 \text{ para } x < -2 \text{ o } x > 3 \]
Desarrollo
Factorización
\[ -x^2+x+6=-(x^2-x-6)=-(x-3)(x+2) \]
Ceros
Los ceros son \(x=-2\) y \(x=3\).
Esquema de signos
Conclusión
La función es positiva entre los ceros y negativa fuera de ellos.
Ejercicio 5 — nivel ★★★☆☆
\[ f(x) = (x+1)(x-2)(x-5) \]
Resultado
\[ f(x) > 0 \text{ para } -1 < x < 2 \text{ o } x > 5\]
\[ f(x) < 0 \text{ para } x < -1 \text{ o } 2 < x < 5 \]
Desarrollo
Ceros
Los ceros son \(x=-1\), \(x=2\) y \(x=5\).
Observación
Como todos los ceros son simples, el signo cambia al atravesar cada uno de ellos.
Esquema de signos
Conclusión
Se seleccionan los intervalos donde el signo total de \(f(x)\) es positivo o negativo.
Ejercicio 6 — nivel ★★★☆☆
\[ f(x) = \frac{x-1}{x+3} \]
Resultado
\[ f(x) > 0 \text{ para } x < -3 \text{ o } x > 1\]
\[ f(x) < 0 \text{ para } -3 < x < 1 \]
Desarrollo
Dominio
El denominador se anula en \(x=-3\), por tanto \(x\neq -3\).
Cero
El numerador se anula en \(x=1\), que es el cero de la función.
Esquema de signos
Conclusión
El punto \(x=-3\) queda excluido del dominio, mientras que \(x=1\) es un cero de la función.
Ejercicio 7 — nivel ★★★☆☆
\[ f(x) = x^3 - 4x \]
Resultado
\[ f(x) > 0 \text{ para } -2 < x < 0 \text{ o } x > 2\]
\[ f(x) < 0 \text{ para } x < -2 \text{ o } 0 < x < 2 \]
Desarrollo
Factorización
\[ x^3-4x=x(x^2-4)=x(x-2)(x+2) \]
Ceros
Los ceros son \(x=-2\), \(x=0\) y \(x=2\).
Esquema de signos
Conclusión
La función cambia de signo en cada cero porque todos los factores aparecen con multiplicidad impar.
Ejercicio 8 — nivel ★★★☆☆
\[ f(x) = \frac{x^2-4}{x-1} \]
Resultado
\[ f(x) > 0 \text{ para } -2 < x < 1 \text{ o } x > 2\]
\[ f(x) < 0 \text{ para } x < -2 \text{ o } 1 < x < 2 \]
Desarrollo
Factorización
\[ f(x)=\frac{(x-2)(x+2)}{x-1} \]
Dominio
El denominador se anula en \(x=1\), por tanto \(x\neq 1\).
Esquema de signos
Conclusión
Los ceros son \(x=-2\) y \(x=2\); el punto \(x=1\) se excluye del dominio.
Ejercicio 9 — nivel ★★★☆☆
\[ f(x) = (2x+1)(x-3)^2 \]
Resultado
\[ f(x) > 0 \text{ para } x > -\tfrac{1}{2},\ x \neq 3\]
\[ f(x) < 0 \text{ para } x < -\tfrac{1}{2} \]
Desarrollo
Ceros
Los ceros son \(x=-\tfrac{1}{2}\) y \(x=3\). El cero \(x=3\) es doble.
Observación
El factor \((x-3)^2\) es siempre no negativo y no cambia el signo al atravesar \(x=3\).
Esquema de signos
Conclusión
La función es positiva para \(x>-\tfrac{1}{2}\), excepto en \(x=3\), donde vale cero.
Ejercicio 10 — nivel ★★★☆☆
\[ f(x) = \frac{(x+2)(x-1)}{x(x-4)} \]
Resultado
\[ f(x) > 0 \text{ para } x < -2 \text{ o } 0 < x < 1 \text{ o } x > 4\]
\[ f(x) < 0 \text{ para } -2 < x < 0 \text{ o } 1 < x < 4 \]
Desarrollo
Dominio
El denominador se anula en \(x=0\) y \(x=4\), por tanto \(x\neq 0\) y \(x\neq 4\).
Ceros
Los ceros de la función son \(x=-2\) y \(x=1\).
Esquema de signos
Conclusión
Los valores \(x=0\) y \(x=4\) no pertenecen al dominio; los valores \(x=-2\) y \(x=1\) anulan la función.
Ejercicio 11 — nivel ★★★★☆
\[ f(x) = x^4 - 5x^2 + 4 \]
Resultado
\[ f(x) > 0 \text{ para } x < -2,\ -1 < x < 1,\ x > 2\]
\[ f(x) < 0 \text{ para } -2 < x < -1 \text{ o } 1 < x < 2 \]
Desarrollo
Factorización
\[ x^4-5x^2+4=(x^2-1)(x^2-4)=(x-1)(x+1)(x-2)(x+2) \]
Ceros
Los ceros son \(x=-2\), \(x=-1\), \(x=1\) y \(x=2\).
Esquema de signos
Conclusión
La función es positiva en los intervalos donde el número de factores negativos es par.
Ejercicio 12 — nivel ★★★★☆
\[ f(x) = \frac{x^2-3x+2}{x^2+x-6} \]
Resultado
\[ f(x) > 0 \text{ para } x < -3 \text{ o } 1 < x < 2 \text{ o } x > 2\]
\[ f(x) < 0 \text{ para } -3 < x < 1 \]
Desarrollo
Factorización
\[ f(x)=\frac{(x-1)(x-2)}{(x+3)(x-2)} \]
Dominio
El denominador se anula en \(x=-3\) y \(x=2\), por tanto \(x\neq -3\) y \(x\neq 2\).
Observación
El factor \((x-2)\) aparece tanto en el numerador como en el denominador. Por eso \(x=2\) no es un cero de la función, sino un punto excluido.
Esquema de signos
Conclusión
La función se anula solo en \(x=1\). El punto \(x=2\) queda excluido del dominio.
Ejercicio 13 — nivel ★★★★☆
\[ f(x) = (x^2-1)(x^2-9) \]
Resultado
\[ f(x) > 0 \text{ para } x < -3,\ -1 < x < 1,\ x > 3\]
\[ f(x) < 0 \text{ para } -3 < x < -1,\ 1 < x < 3 \]
Desarrollo
Factorización
\[ (x^2-1)(x^2-9)=(x-1)(x+1)(x-3)(x+3) \]
Ceros
Los ceros son \(x=-3\), \(x=-1\), \(x=1\) y \(x=3\).
Esquema de signos
Conclusión
La función es positiva cuando los dos factores cuadráticos tienen el mismo signo.
Ejercicio 14 — nivel ★★★★☆
\[ f(x) = \frac{x^3-x}{x^2-4} \]
Resultado
\[ f(x) > 0 \text{ para } -2 < x < -1,\ 0 < x < 1,\ x > 2\]
\[ f(x) < 0 \text{ para } x < -2,\ -1 < x < 0,\ 1 < x < 2 \]
Desarrollo
Factorización
\[ f(x)=\frac{x(x-1)(x+1)}{(x-2)(x+2)} \]
Dominio
El denominador se anula en \(x=-2\) y \(x=2\), por tanto \(x\neq -2\) y \(x\neq 2\).
Ceros
Los ceros son \(x=-1\), \(x=0\) y \(x=1\).
Esquema de signos
Conclusión
Se excluyen \(x=-2\) y \(x=2\); los demás puntos críticos se tratan como ceros del numerador.
Ejercicio 15 — nivel ★★★★☆
\[ f(x) = x^2(x-2)(x+3) \]
Resultado
\[ f(x) > 0 \text{ para } x < -3 \text{ o } x > 2\]
\[ f(x) < 0 \text{ para } -3 < x < 0 \text{ o } 0 < x < 2 \]
Desarrollo
Ceros
Los ceros son \(x=-3\), \(x=0\) y \(x=2\).
Observación
El cero \(x=0\) es doble, por lo que el signo no cambia al atravesarlo.
Esquema de signos
Conclusión
La función conserva el signo al pasar por \(x=0\), porque el factor correspondiente tiene exponente par.
Ejercicio 16 — nivel ★★★★★
\[ f(x) = \frac{x^2(x+1)}{(x-1)^2(x+2)} \]
Resultado
\[ f(x) > 0 \text{ para } x < -2,\ -1 < x < 0,\ 0 < x < 1,\ x > 1\]
\[ f(x) < 0 \text{ para } -2 < x < -1 \]
Desarrollo
Dominio
El denominador se anula en \(x=-2\) y \(x=1\), por tanto \(x\neq -2\) y \(x\neq 1\).
Ceros
Los ceros son \(x=-1\) y \(x=0\). El cero \(x=0\) es doble.
Observación
Los factores \(x^2\) y \((x-1)^2\) no cambian el signo. El polo \(x=1\) es doble, pero sigue siendo un punto excluido del dominio.
Esquema de signos
Conclusión
La función se anula en \(x=-1\) y \(x=0\); los valores \(x=-2\) y \(x=1\) quedan excluidos.
Ejercicio 17 — nivel ★★★★★
\[ f(x) = \frac{x^4-1}{x^3-x} \]
Resultado
\[ f(x) > 0 \text{ para } 0 < x < 1 \text{ o } x > 1\]
\[ f(x) < 0 \text{ para } x < -1 \text{ o } -1 < x < 0 \]
Desarrollo
Factorización
\[ x^4-1=(x^2-1)(x^2+1)=(x-1)(x+1)(x^2+1) \]
\[ x^3-x=x(x^2-1)=x(x-1)(x+1) \]
Dominio
El denominador se anula en \(x=-1\), \(x=0\) y \(x=1\), por tanto \(x\neq -1\), \(x\neq 0\), \(x\neq 1\).
Simplificación
Para \(x\neq -1\) y \(x\neq 1\), se obtiene:
\[ f(x)=\frac{(x-1)(x+1)(x^2+1)}{x(x-1)(x+1)}=\frac{x^2+1}{x} \]
Como \(x^2+1>0\) para todo número real \(x\), el signo depende solo de \(x\), respetando los puntos excluidos.
Esquema de signos
Conclusión
La función es positiva para \(x>0\), con \(x=1\) excluido, y negativa para \(x<0\), con \(x=-1\) excluido.
Ejercicio 18 — nivel ★★★★★
\[ f(x) = (x^2+2x-3)^2 \]
Resultado
\[ f(x) \geq 0 \text{ para todo } x\in\mathbb{R}\]
\[ f(x)=0 \text{ para } x=-3 \text{ y } x=1 \]
Desarrollo
Factorización
\[ x^2+2x-3=(x+3)(x-1) \]
Por tanto:
\[ f(x)=\big[(x+3)(x-1)\big]^2 \]
Ceros
Los ceros son \(x=-3\) y \(x=1\).
Observación
La función es el cuadrado de una expresión real. Por ello nunca puede ser negativa.
Esquema de signos
Conclusión
La función es positiva para todos los valores reales excepto en \(x=-3\) y \(x=1\), donde vale cero.
Ejercicio 19 — nivel ★★★★★
\[ f(x) = \frac{(x+1)^2(x-2)}{x^2(x+3)} \]
Resultado
\[ f(x) > 0 \text{ para } x < -3 \text{ o } x > 2\]
\[ f(x) < 0 \text{ para } -3 < x < -1,\ -1 < x < 0,\ 0 < x < 2 \]
Desarrollo
Dominio
El denominador es \(x^2(x+3)\). Por tanto, \(x\neq -3\) y \(x\neq 0\).
Ceros
Los ceros del numerador son \(x=-1\) y \(x=2\). El cero \(x=-1\) es doble.
Observación
Los factores \((x+1)^2\) y \(x^2\) no cambian el signo. El signo queda determinado por \(x-2\) y \(x+3\), respetando los puntos excluidos.
Esquema de signos
Conclusión
La función es positiva para \(x<-3\) o \(x>2\), negativa en los demás intervalos del dominio y nula en \(x=-1\) y \(x=2\).
Ejercicio 20 — nivel ★★★★★
\[ f(x) = \frac{x^3+x^2-4x-4}{x^2-x-2} \]
Resultado
\[ f(x) > 0 \text{ para } -2 < x < -1,\ -1 < x < 2,\ x > 2\]
\[ f(x) < 0 \text{ para } x < -2 \]
Desarrollo
Factorización del numerador
Agrupamos los términos:
\[ x^3+x^2-4x-4=x^2(x+1)-4(x+1) \]
\[ =(x+1)(x^2-4)=(x+1)(x-2)(x+2) \]
Factorización del denominador
\[ x^2-x-2=(x-2)(x+1) \]
Dominio
El denominador se anula en \(x=-1\) y \(x=2\), por tanto \(x\neq -1\) y \(x\neq 2\).
Simplificación
Para \(x\neq -1\) y \(x\neq 2\), se puede simplificar:
\[ f(x)=\frac{(x+1)(x-2)(x+2)}{(x-2)(x+1)}=x+2 \]
La función tiene el mismo signo que \(x+2\), pero los puntos \(x=-1\) y \(x=2\) quedan excluidos del dominio.
Esquema de signos
Conclusión
La función es negativa para \(x<-2\), positiva para \(x>-2\) respetando las exclusiones \(x=-1\) y \(x=2\), y se anula en \(x=-2\).