Ejercicios Resueltos sobre la División de Polinomios

\[ Q(x)=x+3,\quad R(x)=0 \]

Idea de resolución

El dividendo se factoriza como \((x+2)(x+3)\): la división será exacta. El algoritmo lo confirma en tan solo dos pasos.

Paso 1

Divido el término de mayor grado: \(x^2\div x=x\). Multiplico: \(x(x+2)=x^2+2x\). Cambio los signos y sumo: \(x^2\) se anula. Polinomio restante: \(3x+6\).

Paso 2

I divide: \(3x\div x=3\). Multiplico: \(3(x+2)=3x+6\). Cambio los signos: \(3x\) and \(6\) cancel. Resto: \(0\).

Esquema completo

Resultado

\[ \boxed{Q(x)=x+3,\quad R(x)=0} \]

Comprobación: \( (x+2)(x+3)=x^2+5x+6\;\checkmark \)

\[ Q(x)=x+3,\quad R(x)=0 \]

Idea de resolución

Reconocemos la forma \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) con \(a=x\) y \(b=3\). El término \(0x\) debe insertarse como marcador de posición.

Paso 1

I divide: \(x^2\div x=x\). Multiplico: \(x(x-3)=x^2-3x\). Cambio los signos: \(x^2\) se anula. Restante: \(3x-9\).

Paso 2

I divide: \(3x\div x=3\). Multiplico: \(3(x-3)=3x-9\). Cambio los signos: \(3x\) and \(-9\) cancel. Resto: \(0\).

Esquema completo

Resultado

\[ \boxed{Q(x)=x+3,\quad R(x)=0} \]

Comprobación: \( (x-3)(x+3)=x^2-9\;\checkmark \)

\[ Q(x)=x+3,\quad R(x)=0 \]

Idea de resolución

Como \(f(1)=1+2-3=0\), el teorema del resto garantiza que \((x-1)\) divide exactamente al dividendo.

Paso 1

I divide: \(x^2\div x=x\). Multiplico: \(x(x-1)=x^2-x\). Cambio los signos: \(x^2\) se anula. Restante: \(3x-3\).

Paso 2

I divide: \(3x\div x=3\). Multiplico: \(3(x-1)=3x-3\). Cambio los signos: todo se anula. Resto: \(0\).

Esquema completo

Resultado

\[ \boxed{Q(x)=x+3,\quad R(x)=0} \]

Comprobación: \( (x-1)(x+3)=x^2+2x-3\;\checkmark \)

\[ Q(x)=2x-3,\quad R(x)=0 \]

Idea de resolución

El coeficiente director del dividendo es \(2\): el primer término del cociente será \(2x\). La división es exacta porque \(f(-1)=0\).

Paso 1

I divide: \(2x^2\div x=2x\). Multiplico: \(2x(x+1)=2x^2+2x\). Cambio los signos: \(2x^2\) se anula. Restante: \(-3x-3\).

Paso 2

I divide: \(-3x\div x=-3\). Multiplico: \(-3(x+1)=-3x-3\). Cambio los signos: todo se anula. Resto: \(0\).

Esquema completo

Resultado

\[ \boxed{Q(x)=2x-3,\quad R(x)=0} \]

Comprobación: \( (x+1)(2x-3)=2x^2-x-3\;\checkmark \)

\[ Q(x)=x+1,\quad R(x)=2 \]

Idea de resolución

Por el teorema del resto, \(R=f(1)=1+1=2\neq0\): la división no es exacta. El término \(0x\) debe insertarse como marcador de posición.

Paso 1

I divide: \(x^2\div x=x\). Multiplico: \(x(x-1)=x^2-x\). Cambio los signos: \(x^2\) se anula. Restante: \(x+1\).

Paso 2

I divide: \(x\div x=1\). Multiplico: \(1\cdot(x-1)=x-1\). Cambio los signos: \(x\) se anula; \(1+1=2\). Como \(\deg 0<1\), nos detenemos.

Esquema completo

Resultado

\[ \boxed{Q(x)=x+1,\quad R(x)=2} \]

Comprobación: \( (x-1)(x+1)+2=x^2+1\;\checkmark \)

\[ Q(x)=x^2+2x+4,\quad R(x)=0 \]

Idea de resolución

Fórmula: \(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\) con \(a=x,\;b=2\). Los términos \(0x^2\) y \(0x\) deben insertarse como marcadores de posición.

Paso 1

I divide: \(x^3\div x=x^2\). Multiplico: \(x^2(x-2)=x^3-2x^2\). Cambio los signos: \(x^3\) se anula. Restante: \(2x^2-8\).

Paso 2

I divide: \(2x^2\div x=2x\). Multiplico: \(2x(x-2)=2x^2-4x\). Cambio los signos: \(2x^2\) se anula. Restante: \(4x-8\).

Paso 3

I divide: \(4x\div x=4\). Multiplico: \(4(x-2)=4x-8\). Cambio los signos: todo se anula. Resto: \(0\).

Esquema completo

Resultado

\[ \boxed{Q(x)=x^2+2x+4,\quad R(x)=0} \]

Comprobación: \( (x-2)(x^2+2x+4)=x^3-8\;\checkmark \)

\[ Q(x)=x^2-x+1,\quad R(x)=0 \]

Idea de resolución

Fórmula: \(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\) con \(a=x,\;b=1\). Comprobación rápida: \(f(-1)=-1+1=0\).

Paso 1

I divide: \(x^3\div x=x^2\). Multiplico: \(x^2(x+1)=x^3+x^2\). Cambio los signos: \(x^3\) se anula. Restante: \(-x^2+1\).

Paso 2

I divide: \(-x^2\div x=-x\). Multiplico: \(-x(x+1)=-x^2-x\). Cambio los signos: \(-x^2\) se anula. Restante: \(x+1\).

Paso 3

I divide: \(x\div x=1\). Multiplico: \(1\cdot(x+1)=x+1\). Cambio los signos: todo se anula. Resto: \(0\).

Esquema completo

Resultado

\[ \boxed{Q(x)=x^2-x+1,\quad R(x)=0} \]

Comprobación: \( (x+1)(x^2-x+1)=x^3+1\;\checkmark \)

\[ Q(x)=x^2+x+2,\quad R(x)=3 \]

Idea de resolución

Falta el término \(x^2\): se inserta como \(0x^2\). Por el teorema del resto, \(f(1)=1+1+1=3\neq0\), así que el resto es \(3\).

Paso 1

I divide: \(x^3\div x=x^2\). Multiplico: \(x^2(x-1)=x^3-x^2\). Cambio los signos: \(x^3\) se anula. Restante: \(x^2+x+1\).

Paso 2

I divide: \(x^2\div x=x\). Multiplico: \(x(x-1)=x^2-x\). Cambio los signos: \(x^2\) se anula. Restante: \(2x+1\).

Paso 3

I divide: \(2x\div x=2\). Multiplico: \(2(x-1)=2x-2\). Cambio los signos: \(2x\) se anula; \(1+2=3\). Como \(\deg 0<1\), nos detenemos.

Esquema completo

Resultado

\[ \boxed{Q(x)=x^2+x+2,\quad R(x)=3} \]

Comprobación: \( (x-1)(x^2+x+2)+3=x^3+x+1\;\checkmark \)

\[ Q(x)=x^2-2x+1,\quad R(x)=0 \]

Idea de resolución

El dividendo es \((x-1)^3\). Dividir por \((x-1)\) da \((x-1)^2=x^2-2x+1\). Comprobación: \(f(1)=0\).

Paso 1

I divide: \(x^3\div x=x^2\). Multiplico: \(x^2(x-1)=x^3-x^2\). Cambio los signos: \(x^3\) se anula. Restante: \(-2x^2+3x-1\).

Paso 2

I divide: \(-2x^2\div x=-2x\). Multiplico: \(-2x(x-1)=-2x^2+2x\). Cambio los signos: \(-2x^2\) se anula. Restante: \(x-1\).

Paso 3

I divide: \(x\div x=1\). Multiplico: \(1\cdot(x-1)=x-1\). Cambio los signos: todo se anula. Resto: \(0\).

Esquema completo

Resultado

\[ \boxed{Q(x)=x^2-2x+1,\quad R(x)=0} \]

Comprobación: \( (x-1)^3\div(x-1)=(x-1)^2=x^2-2x+1\;\checkmark \)

\[ Q(x)=x-1,\quad R(x)=-1 \]

Idea de resolución

Por el teorema del resto, \(R=f(2)=4-6+1=-1\neq0\). El cociente tiene grado \(1\).

Paso 1

I divide: \(x^2\div x=x\). Multiplico: \(x(x-2)=x^2-2x\). Cambio los signos: \(x^2\) se anula. Restante: \(-x+1\).

Paso 2

I divide: \(-x\div x=-1\). Multiplico: \(-1\cdot(x-2)=-x+2\). Cambio los signos: \(-x\) se anula; \(1-2=-1\). Como \(\deg 0<1\), nos detenemos.

Esquema completo

Resultado

\[ \boxed{Q(x)=x-1,\quad R(x)=-1} \]

Comprobación: \( (x-2)(x-1)-1=x^2-3x+1\;\checkmark \)

\[ Q(x)=x^2+2x+1,\quad R(x)=0 \]

Idea de resolución

\(f(1)=1+1-1-1=0\): la división es exacta. El cociente \(x^2+2x+1=(x+1)^2\) es un cuadrado perfecto.

Paso 1

I divide: \(x^3\div x=x^2\). Multiplico: \(x^2(x-1)=x^3-x^2\). Cambio los signos: \(x^3\) se anula. Restante: \(2x^2-x-1\).

Paso 2

I divide: \(2x^2\div x=2x\). Multiplico: \(2x(x-1)=2x^2-2x\). Cambio los signos: \(2x^2\) se anula. Restante: \(x-1\).

Paso 3

I divide: \(x\div x=1\). Multiplico: \(1\cdot(x-1)=x-1\). Cambio los signos: todo se anula. Resto: \(0\).

Esquema completo

Resultado

\[ \boxed{Q(x)=x^2+2x+1,\quad R(x)=0} \]

Comprobación: \( (x-1)(x+1)^2=x^3+x^2-x-1\;\checkmark \)

\[ Q(x)=2x^2-4x+5,\quad R(x)=-9 \]

Idea de resolución

Falta el término \(x^2\): se inserta como \(0x^2\). El teorema del resto da \(f(-2)=-16+6+1=-9\): esto confirma el resto.

Paso 1

I divide: \(2x^3\div x=2x^2\). Multiplico: \(2x^2(x+2)=2x^3+4x^2\). Cambio los signos: \(2x^3\) se anula. Restante: \(-4x^2-3x+1\).

Paso 2

I divide: \(-4x^2\div x=-4x\). Multiplico: \(-4x(x+2)=-4x^2-8x\). Cambio los signos: \(-4x^2\) se anula. Restante: \(5x+1\).

Paso 3

I divide: \(5x\div x=5\). Multiplico: \(5(x+2)=5x+10\). Cambio los signos: \(5x\) se anula; \(1-10=-9\). Como \(\deg 0<1\), nos detenemos.

Esquema completo

Resultado

\[ \boxed{Q(x)=2x^2-4x+5,\quad R(x)=-9} \]

Comprobación: \( (x+2)(2x^2-4x+5)-9=2x^3-3x+1\;\checkmark \)

\[ Q(x)=x+2,\quad R(x)=0 \]

Idea de resolución

El divisor \(x^2-1=(x-1)(x+1)\) tiene grado 2: el cociente tendrá grado \(3-2=1\) y el resto como máximo grado \(1\).

Paso 1

I divide: \(x^3\div x^2=x\). Multiplico: \(x(x^2-1)=x^3-x\). Cambio los signos: \(x^3\) and \(-x\) se anulan. Restante: \(2x^2-2\).

Paso 2

I divide: \(2x^2\div x^2=2\). Multiplico: \(2(x^2-1)=2x^2-2\). Cambio los signos: todo se anula. Resto: \(0\).

Esquema completo

Resultado

\[ \boxed{Q(x)=x+2,\quad R(x)=0} \]

Comprobación: \( (x^2-1)(x+2)=x^3+2x^2-x-2\;\checkmark \)

\[ Q(x)=2x+1,\quad R(x)=-2x+8 \]

Idea de resolución

El divisor tiene grado 2 y el dividendo grado 3: el cociente tendrá grado \(1\). El resto tiene grado como máximo \(1\), es decir, es de la forma \(ax+b\).

Paso 1

I divide: \(2x^3\div x^2=2x\). Multiplico: \(2x(x^2-x-2)=2x^3-2x^2-4x\). Cambio los signos: \(2x^3\) se anula. Restante: \(x^2-3x+6\).

Paso 2

I divide: \(x^2\div x^2=1\). Multiplico: \(x^2-x-2\). Cambio los signos: \(x^2\) se anula. Restante: \(-2x+8\). Como \(\deg 1<2\), nos detenemos.

Esquema completo

Resultado

\[ \boxed{Q(x)=2x+1,\quad R(x)=-2x+8} \]

Comprobación: \( (x^2-x-2)(2x+1)+(-2x+8)=2x^3-x^2-7x+6\;\checkmark \)

\[ Q(x)=x^2-x+2,\quad R(x)=-3 \]

Idea de resolución

Falta el término \(x^3\): se inserta como \(0x^3\). El cociente tendrá grado \(4-2=2\). El resto es una constante.

Paso 1

I divide: \(x^4\div x^2=x^2\). Multiplico: \(x^2(x^2+x+1)=x^4+x^3+x^2\). Cambio los signos: \(x^4\) and \(x^3\) se anulan. Restante: \(-x^3+x^2+x-1\).

Paso 2

I divide: \(-x^3\div x^2=-x\). Multiplico: \(-x(x^2+x+1)=-x^3-x^2-x\). Cambio los signos: \(-x^3\), \(x^2\) and \(x\) se anulan. Restante: \(2x^2+2x-1\).

Paso 3

I divide: \(2x^2\div x^2=2\). Multiplico: \(2(x^2+x+1)=2x^2+2x+2\). Cambio los signos: \(2x^2\) and \(2x\) se anulan; \(-1-2=-3\). Como \(\deg 0<2\), nos detenemos.

Esquema completo

Resultado

\[ \boxed{Q(x)=x^2-x+2,\quad R(x)=-3} \]

Comprobación: \( (x^2+x+1)(x^2-x+2)-3=x^4+2x^2+x-1\;\checkmark \)

\[ Q(x)=x^2-4,\quad R(x)=0 \]

Idea de resolución

Faltan los términos \(x^3\) y \(x\): se insertan como \(0x^3\) y \(0x\). Reconocemos \(x^4-5x^2+4=(x^2-1)(x^2-4)\).

Paso 1

I divide: \(x^4\div x^2=x^2\). Multiplico: \(x^2(x^2-1)=x^4-x^2\). Cambio los signos: \(x^4\) se anula. Restante: \(-4x^2+4\).

Paso 2

I divide: \(-4x^2\div x^2=-4\). Multiplico: \(-4(x^2-1)=-4x^2+4\). Cambio los signos: todo se anula. Resto: \(0\).

Esquema completo

Resultado

\[ \boxed{Q(x)=x^2-4,\quad R(x)=0} \]

Comprobación: \( (x^2-1)(x^2-4)=x^4-5x^2+4\;\checkmark \)

\[ Q(x)=3x-5,\quad R(x)=9x-9 \]

Idea de resolución

Grado del dividendo 3, grado del divisor 2: cociente de grado \(1\), resto de grado como máximo \(1\). El resto no es nulo y debe calcularse completamente.

Paso 1

I divide: \(3x^3\div x^2=3x\). Multiplico: \(3x(x^2+x-1)=3x^3+3x^2-3x\). Cambio los signos: \(3x^3\) se anula. Restante: \(-5x^2+4x-4\).

Paso 2

I divide: \(-5x^2\div x^2=-5\). Multiplico: \(-5(x^2+x-1)=-5x^2-5x+5\). Cambio los signos: \(-5x^2\) se anula. Restante: \(9x-9\). Como \(\deg 1<2\), nos detenemos.

Esquema completo

Resultado

\[ \boxed{Q(x)=3x-5,\quad R(x)=9x-9} \]

Comprobación: \( (x^2+x-1)(3x-5)+(9x-9)=3x^3-2x^2+x-4\;\checkmark \)

\[ Q(x)=x^2-2x-3,\quad R(x)=0 \]

Idea de resolución

El divisor \(x^2+x-2=(x-1)(x+2)\). Tanto \(f(1)\) como \(f(-2)\) son cero: la división es exacta. El cociente es a su vez factorizable.

Paso 1

I divide: \(x^4\div x^2=x^2\). Multiplico: \(x^2(x^2+x-2)=x^4+x^3-2x^2\). Cambio los signos: \(x^4\) se anula. Restante: \(-2x^3-5x^2+x+6\).

Paso 2

I divide: \(-2x^3\div x^2=-2x\). Multiplico: \(-2x(x^2+x-2)=-2x^3-2x^2+4x\). Cambio los signos: \(-2x^3\) se anula. Restante: \(-3x^2-3x+6\).

Paso 3

I divide: \(-3x^2\div x^2=-3\). Multiplico: \(-3(x^2+x-2)=-3x^2-3x+6\). Cambio los signos: todo se anula. Resto: \(0\).

Esquema completo

Resultado

\[ \boxed{Q(x)=x^2-2x-3,\quad R(x)=0} \]

Comprobación: \( (x^2+x-2)(x^2-2x-3)=x^4-x^3-7x^2+x+6\;\checkmark \)

\[ Q(x)=x^4+x^3+x^2+x+1,\quad R(x)=0 \]

Idea de resolución

Identidad de la serie geométrica: \(\displaystyle\frac{x^5-1}{x-1}=x^4+x^3+x^2+x+1\). Todos los términos intermedios del dividendo son cero.

Paso 1

I divide: \(x^5\div x=x^4\). Multiplico: \(x^4(x-1)=x^5-x^4\). Cambio los signos: \(x^5\) se anula. Restante: \(x^4-1\).

Paso 2

I divide: \(x^4\div x=x^3\). Multiplico: \(x^3(x-1)=x^4-x^3\). Cambio los signos: \(x^4\) se anula. Restante: \(x^3-1\).

Paso 3

I divide: \(x^3\div x=x^2\). Multiplico: \(x^2(x-1)=x^3-x^2\). Cambio los signos: \(x^3\) se anula. Restante: \(x^2-1\).

Paso 4

I divide: \(x^2\div x=x\). Multiplico: \(x(x-1)=x^2-x\). Cambio los signos: \(x^2\) se anula. Restante: \(x-1\).

Paso 5

I divide: \(x\div x=1\). Multiplico: \(1\cdot(x-1)=x-1\). Cambio los signos: todo se anula. Resto: \(0\).

Esquema completo

Resultado

\[ \boxed{Q(x)=x^4+x^3+x^2+x+1,\quad R(x)=0} \]

Comprobación: \( (x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)=x^5-1\;\checkmark \)

\[ Q(x)=x^2-1,\quad R(x)=0 \]

Idea de resolución

El dividendo se factoriza como \(x(x-2)(x^2-1)\) and the divisor as \(x(x-2)\): the division is exact in just two steps.

Paso 1

I divide: \(x^4\div x^2=x^2\). Multiplico: \(x^2(x^2-2x)=x^4-2x^3\). Cambio los signos: \(x^4\) and \(-2x^3\) se anulan. Restante: \(-x^2+2x\).

Paso 2

I divide: \(-x^2\div x^2=-1\). Multiplico: \(-1\cdot(x^2-2x)=-x^2+2x\). Cambio los signos: todo se anula. Resto: \(0\).

Esquema completo

Resultado

\[ \boxed{Q(x)=x^2-1,\quad R(x)=0} \]

Comprobación: \( x(x-2)(x^2-1)=x(x-2)(x-1)(x+1)\;\checkmark \)