En esta página veremos cómo calcular la derivada de la función exponencial utilizando dos formas equivalentes del cociente incremental: una en la variable \(h\), con \(h\to 0\), y otra en la variable \(x\), con \(x\to x_0\).
Sea \(a>0\), con \(a\neq 1\), y consideremos la función exponencial:
\[ f(x)=a^x \]
Las dos formas del cociente incremental son:
\[ \lim_{h\to 0}\frac{a^{x+h}-a^x}{h} \qquad , \qquad \lim_{x\to x_0}\frac{a^x-a^{x_0}}{x-x_0} \]
Índice
Cociente incremental para \( h\to 0 \)
Calculemos la derivada de la función exponencial como límite del cociente incremental:
\[ f'(x_0) = \lim_{h\to 0} \frac{a^{x_0+h}-a^{x_0}}{h} \]
Utilizamos la propiedad de las potencias:
\[ a^{x_0+h} = a^{x_0}\cdot a^h \]
Sustituyendo en el cociente incremental:
\[ f'(x_0) = \lim_{h\to 0} \frac{a^{x_0}a^h-a^{x_0}}{h} \]
Factorizamos \(a^{x_0}\):
\[ f'(x_0) = a^{x_0} \lim_{h\to 0} \frac{a^h-1}{h} \]
El límite notable de la función exponencial es:
\[ \lim_{h\to 0} \frac{a^h-1}{h} = \ln(a) \]
Por lo tanto:
\[ f'(x_0) = a^{x_0}\ln(a) \]
Cociente incremental para \( x\to x_0 \)
Apliquemos ahora la definición de derivada en la forma:
\[ f'(x_0) = \lim_{x\to x_0} \frac{a^x-a^{x_0}}{x-x_0} \]
Reescribimos \(a^x\) como:
\[ a^x = a^{x_0}\cdot a^{x-x_0} \]
Sustituyendo:
\[ f'(x_0) = \lim_{x\to x_0} \frac{a^{x_0}a^{x-x_0}-a^{x_0}}{x-x_0} \]
Factorizando \(a^{x_0}\):
\[ f'(x_0) = a^{x_0} \lim_{x\to x_0} \frac{a^{x-x_0}-1}{x-x_0} \]
Introducimos la variable auxiliar:
\[ u=x-x_0 \]
Como \(x\to x_0\), se tiene:
\[ u\to 0 \]
Por tanto, el límite se convierte en:
\[ \lim_{u\to 0} \frac{a^u-1}{u} \]
Por el límite notable de la función exponencial:
\[ \lim_{u\to 0} \frac{a^u-1}{u} = \ln(a) \]
Obtenemos entonces:
\[ f'(x_0) = a^{x_0}\ln(a) \]
En conclusión, la derivada de la función exponencial es:
\[ f'(x) = a^x\ln(a) \qquad , \qquad \forall x\in\mathbb{R} \]