En esta página veremos cómo calcular la derivada de la función potencia utilizando dos formas equivalentes del cociente incremental: una en la variable \(h\), con \(h\to 0\), y otra en la variable \(x\), con \(x\to x_0\).
Sea \(n\in\mathbb{N}\setminus\{0\}\) y consideremos la función potencia:
\[ f(x)=x^n \]
Las dos formas del cociente incremental son:
\[ \lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^n-x^n}{h} \qquad , \qquad \lim_{x\to x_0}\frac{x^n-x_0^n}{x-x_0} \]
Índice
- Límite del cociente incremental para \( h\to 0 \)
- Límite del cociente incremental para \( x\to x_0 \)
Límite del cociente incremental para \( h\to 0 \)
Calculemos la derivada de la función potencia mediante la definición del cociente incremental:
\[ f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \]
Sustituyendo \(f(x)=x^n\), obtenemos:
\[ f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{(x+h)^n-x^n}{h} \]
Aplicamos ahora el teorema del binomio:
\[ (x+h)^n = x^n + nx^{n-1}h + \frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h^2 + \cdots + h^n \]
Sustituyendo el desarrollo binomial en el cociente incremental:
\[ f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{ x^n + nx^{n-1}h + \frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h^2 + \cdots + h^n - x^n }{h} \]
Simplificando los términos \(x^n\):
\[ f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{ nx^{n-1}h + \frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h^2 + \cdots + h^n }{h} \]
Dividiendo cada término entre \(h\):
\[ f'(x) = \lim_{h\to 0} \left( nx^{n-1} + \frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h + \frac{n(n-1)(n-2)}{6}x^{n-3}h^2 + \cdots + h^{n-1} \right) \]
Al pasar al límite cuando \(h\to 0\), todos los términos que contienen potencias positivas de \(h\) tienden a \(0\). Por tanto:
\[ f'(x) = nx^{n-1} \]
Concluimos entonces que:
\[ \frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1} \qquad , \qquad \forall x\in\mathbb{R} \]
Límite del cociente incremental para \( x\to x_0 \)
Calculemos ahora la derivada de la función potencia en la forma:
\[ f'(x_0) = \lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \]
Sustituyendo \(f(x)=x^n\):
\[ f'(x_0) = \lim_{x\to x_0} \frac{x^n-x_0^n}{x-x_0} \]
El numerador es una diferencia de potencias. Utilizamos entonces la factorización:
\[ x^n-x_0^n = (x-x_0) \left( x^{n-1} + x^{n-2}x_0 + \cdots + x_0^{n-1} \right) \]
Sustituyendo en el cociente incremental:
\[ f'(x_0) = \lim_{x\to x_0} \frac{ (x-x_0) \left( x^{n-1} + x^{n-2}x_0 + \cdots + x_0^{n-1} \right) }{x-x_0} \]
Simplificando el factor \(x-x_0\):
\[ f'(x_0) = \lim_{x\to x_0} \left( x^{n-1} + x^{n-2}x_0 + \cdots + x_0^{n-1} \right) \]
Al pasar al límite cuando \(x\to x_0\), cada término tiende a \(x_0^{\,n-1}\). Como aparecen \(n\) términos iguales a \(x_0^{\,n-1}\), obtenemos:
\[ f'(x_0) = nx_0^{\,n-1} \]
En conclusión:
\[ f'(x) = nx^{n-1} \qquad , \qquad \forall x\in\mathbb{R} \]