Estudio de Funciones: Ejercicios Resueltos

Recta creciente con un cero en \(x=2\), sin asíntotas, sin extremos.

Dominio y simetrías

La función es un polinomio de primer grado, por lo que está definida para todo valor real: \(\mathcal{D}=\mathbb{R}\). Para verificar las simetrías calculamos \(f(-x)=-2x-4\): esto no coincide ni con \(f(x)=2x-4\) ni con \(-f(x)=-2x+4\), así que la función no es ni par ni impar.

Intersecciones con los ejes

Con el eje \(y\) calculamos \(f(0)=2\cdot0-4=-4\), de modo que la gráfica corta al eje \(y\) en el punto \((0,-4)\). Con el eje \(x\) imponemos \(f(x)=0\):

\[ 2x-4=0 \implies x=2 \]

El único cero es \(x=2\), es decir, el punto \((2,0)\).

Estudio del signo

Como el coeficiente de \(x\) es positivo, la función es negativa a la izquierda del cero y positiva a la derecha:

\[ f(x) > 0 \iff x > 2 \qquad f(x) < 0 \iff x < 2 \]

Límites y asíntotas

Al tratarse de un polinomio, \(\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\) y \(\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty\). No existen asíntotas de ningún tipo.

Primera derivada y monotonía

Calculamos \(f'(x)=2\). Como la derivada es constantemente positiva, la función es estrictamente creciente en todo \(\mathbb{R}\) y no posee ni máximos ni mínimos.

Segunda derivada y concavidad

Tenemos \(f''(x)=0\) en todas partes: la gráfica no tiene puntos de inflexión y nunca cambia de concavidad.

Resultado

\[ \boxed{f \text{ es una recta creciente con cero en } x=2} \]

Gráfica de la Función

Parábola par con vértice \((0,-4)\), ceros en \(x=\pm2\), mínimo absoluto en \(x=0\).

Dominio y simetrías

El dominio es \(\mathbb{R}\). Como \(f(-x)=(-x)^2-4=x^2-4=f(x)\), la función es par: la gráfica es simétrica respecto al eje \(y\), por lo que basta estudiarla para \(x\geq0\) y luego reflejar.

Intersecciones con los ejes

La gráfica corta al eje \(y\) en el punto \((0,-4)\). Los ceros se obtienen resolviendo \(x^2-4=0\), de donde \(x^2=4\) y por tanto \(x=\pm2\): la gráfica atraviesa el eje \(x\) en los puntos \((\pm2,0)\).

Estudio del signo

La expresión \(x^2-4=(x-2)(x+2)\) es un producto de dos factores lineales. El signo cambia en los puntos \(x=-2\) y \(x=2\):

\[ f(x) > 0 \iff x < -2 \text{ o bien } x > 2 \qquad f(x) < 0 \iff -2 < x < 2 \]

Límites y asíntotas

El término dominante es \(x^2\), así que \(\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=+\infty\). No existen asíntotas.

Primera derivada y monotonía

Calculamos \(f'(x)=2x\), que se anula en \(x=0\). Para \(x<0\) la derivada es negativa (función decreciente), para \(x>0\) es positiva (función creciente). El punto \(x=0\) es, por consiguiente, un mínimo absoluto, con \(f(0)=-4\).

Segunda derivada y concavidad

Se tiene \(f''(x)=2>0\) en todas partes: la parábola es siempre cóncava hacia arriba (con forma de U) y no presenta puntos de inflexión.

Resultado

\[ \boxed{\text{mínimo absoluto en }(0,-4),\quad \text{ceros en }x=\pm2} \]

Gráfica de la Función

Función impar con un máximo local en \((-1,2)\), un mínimo local en \((1,-2)\) y un punto de inflexión en el origen.

Dominio y simetrías

El dominio es \(\mathbb{R}\). Como \(f(-x)=-x^3+3x=-(x^3-3x)=-f(x)\), la función es impar: la gráfica es simétrica respecto al origen. Esto reduce el trabajo a la mitad: estudiaremos el comportamiento para \(x\geq0\) y luego reflejaremos.

Intersecciones con los ejes

La gráfica pasa por el origen \((0,0)\). Para hallar los demás ceros factorizamos:

\[ x^3-3x = x(x^2-3) = 0 \implies x=0,\quad x=\sqrt{3},\quad x=-\sqrt{3} \]

Estudio del signo

La función se escribe como \(f(x)=x(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})\). Los tres factores cambian de signo respectivamente en \(x=-\sqrt{3}\), \(x=0\) y \(x=\sqrt{3}\):

\[ f(x)>0 \iff -\sqrt{3} < x < 0 \text{ o bien } x > \sqrt{3} \]

Límites y asíntotas

Como todo polinomio de grado impar con coeficiente director positivo, \(f(x)\to+\infty\) cuando \(x\to+\infty\) y \(f(x)\to-\infty\) cuando \(x\to-\infty\). No hay asíntotas.

Primera derivada y monotonía

Calculamos \(f'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x-1)(x+1)\). La derivada se anula en \(x=-1\) y \(x=1\). El signo de \(f'\) se determina observando que el coeficiente \(3>0\) y las raíces son \(\pm1\):

El punto \(x=-1\) es un máximo local con \(f(-1)=2\), el punto \(x=1\) es un mínimo local con \(f(1)=-2\).

Segunda derivada y puntos de inflexión

Calculamos \(f''(x)=6x\), que se anula en \(x=0\). Para \(x<0\) se tiene \(f''<0\) (cóncava hacia abajo), para \(x>0\) se tiene \(f''>0\) (cóncava hacia arriba): la concavidad cambia en \(x=0\), por lo que el origen es un punto de inflexión.

Resultado

\[ \boxed{\max(-1,\,2),\quad \min(1,\,-2),\quad \text{inflexión en }(0,0)} \]

Gráfica Cartesiana

Función impar, dominio \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\), asíntotas \(x=0\) e \(y=0\), estrictamente decreciente en cada rama.

Dominio y simetrías

La función no está definida en \(x=0\), por lo que \(\mathcal{D}=\mathbb{R}\setminus\{0\}\). Como \(f(-x)=\tfrac{1}{-x}=-\tfrac{1}{x}=-f(x)\), la función es impar y la gráfica es simétrica respecto al origen.

Intersecciones con los ejes y signo

La ecuación \(\tfrac{1}{x}=0\) carece de soluciones, así que no hay ceros. El valor \(f(0)\) no está definido, por lo que tampoco existe intersección con el eje \(y\). El signo es inmediato: la función tiene el mismo signo que el denominador \(x\), de modo que

\[ f(x)>0 \iff x>0 \qquad f(x)<0 \iff x<0 \]

Límites y asíntotas

Calculemos los límites en los extremos del dominio. Al aproximarnos a cero:

\[ \lim_{x\to0^+}\frac{1}{x}=+\infty \qquad \lim_{x\to0^-}\frac{1}{x}=-\infty \]

Por tanto el eje \(y\) (recta \(x=0\)) es una asíntota vertical. En el infinito:

\[ \lim_{x\to\pm\infty}\frac{1}{x}=0 \]

Por lo que el eje \(x\) (recta \(y=0\)) es una asíntota horizontal.

Primera derivada y monotonía

Calculamos \(f'(x)=-\tfrac{1}{x^2}\). Puesto que \(x^2>0\) para todo \(x\neq0\), la derivada es siempre negativa: la función es estrictamente decreciente en \((-\infty,0)\) y en \((0,+\infty)\). No tiene extremos.

Segunda derivada y concavidad

Calculamos \(f''(x)=\tfrac{2}{x^3}\). Para \(x>0\) la segunda derivada es positiva (cóncava hacia arriba), para \(x<0\) es negativa (cóncava hacia abajo). No existen puntos de inflexión en el dominio, ya que \(x=0\) no pertenece a \(\mathcal{D}\).

Resultado

\[ \boxed{\text{asíntota vertical }x=0,\quad \text{asíntota horizontal }y=0} \]

Gráfica Cartesiana

Dominio \(\mathbb{R}\setminus\{1\}\), asíntota vertical \(x=1\), asíntota oblicua \(y=x+1\), máximo local en \((0,0)\) y mínimo local en \((2,4)\).

Dominio y simetrías

La función está definida para todo \(x\) que no anule el denominador: \(\mathcal{D}=\mathbb{R}\setminus\{1\}\). La función no presenta simetrías (ni par ni impar).

Intersecciones con los ejes y signo

La única intersección con los ejes es el origen \((0,0)\). Como el numerador \(x^2\) es siempre no negativo, el signo de \(f(x)\) coincide con el del denominador: \[ f(x) > 0 \iff x > 1 \qquad f(x) < 0 \iff x < 1 \; (x \neq 0) \]

Asíntotas

Asíntota vertical: \[ \lim_{x\to1^+} \frac{x^2}{x-1} = +\infty, \quad \lim_{x\to1^-} \frac{x^2}{x-1} = -\infty \] La recta \(x=1\) es una asíntota vertical.

Asíntota oblicua: Como el grado del numerador supera en una unidad al del denominador, efectuamos la división de polinomios: \[ \frac{x^2}{x-1} = x + 1 + \frac{1}{x-1} \] Cuando \(x \to \pm\infty\), el término fraccionario tiende a cero. Por tanto, la recta \(y = x + 1\) es la asíntota oblicua.

Primera derivada y monotonía

Calculamos la primera derivada: \[ f'(x) = \frac{2x(x-1) - x^2(1)}{(x-1)^2} = \frac{x^2 - 2x}{(x-1)^2} = \frac{x(x-2)}{(x-1)^2} \] La derivada se anula en \(x=0\) y \(x=2\). Estudiando su signo:

Tenemos un máximo local en \(M(0,0)\) y un mínimo local en \(m(2,4)\).

Resultado final

\[ \boxed{\text{Asíntota oblicua: } y=x+1; \quad \text{Máx}(0,0); \quad \text{Mín}(2,4)} \]

Gráfica de la Función

Función impar, dominio \(\mathbb{R}\setminus\{\pm1\}\), asíntotas verticales \(x=\pm1\), asíntota horizontal \(y=0\), estrictamente decreciente en cada intervalo del dominio.

Dominio y simetrías

El denominador \(x^2-1=(x-1)(x+1)\) se anula en \(x=\pm1\), por lo que \(\mathcal{D}=\mathbb{R}\setminus\{-1,1\}\). Como \(f(-x)=\tfrac{-x}{x^2-1}=-f(x)\), la función es impar.

Intersecciones con los ejes y signo

El único cero es \(x=0\), con \(f(0)=0\). Para estudiar el signo analizamos el numerador y el denominador por separado. El denominador \((x-1)(x+1)\) es positivo para \(|x|>1\) y negativo para \(|x|<1\):

\[ f(x)>0 \iff \frac{x}{(x-1)(x+1)}>0 \iff x\in(-1,0)\cup(1,+\infty) \]

Límites y asíntotas

Calculemos los límites en los puntos excluidos. En \(x=1\): el numerador vale \(1\) y el denominador tiende a \(0\), por lo que \(f(x)\to\pm\infty\): asíntota vertical \(x=1\). Análogamente \(x=-1\) es asíntota vertical.

Cuando \(x\to\pm\infty\): el grado del numerador es inferior al del denominador, así que

\[ \lim_{x\to\pm\infty}\frac{x}{x^2-1}=0 \]

El eje \(x\) es una asíntota horizontal \(y=0\).

Primera derivada y monotonía

Aplicando la regla del cociente:

\[ f'(x)=\frac{(x^2-1)-x\cdot2x}{(x^2-1)^2}=\frac{-x^2-1}{(x^2-1)^2} \]

El numerador \(-(x^2+1)\) es siempre negativo (ya que \(x^2+1\geq1>0\)), y el denominador es siempre positivo. Por tanto \(f'(x)<0\) en todo el dominio: la función es estrictamente decreciente en cada intervalo y no tiene extremos.

Resultado

\[ \boxed{f \text{ estrictamente decreciente en cada intervalo del dominio, sin extremos}} \]

Gráfica de la Función

Función par, dominio \((-\infty,-2]\cup[2,+\infty)\), ceros en \(x=\pm2\), asíntotas oblicuas \(y=\pm x\).

Dominio y simetrías

La expresión dentro de la raíz debe ser no negativa: \(x^2-4\geq0\) si y solo si \((x-2)(x+2)\geq0\), es decir, \(x\leq-2\) o \(x\geq2\). El dominio es, por tanto, \(\mathcal{D}=(-\infty,-2]\cup[2,+\infty)\). Como \(f(-x)=\sqrt{(-x)^2-4}=\sqrt{x^2-4}=f(x)\), la función es par.

Intersecciones con los ejes y signo

Los extremos del dominio \(x=\pm2\) son los únicos ceros, ya que en esos puntos el argumento de la raíz vale cero. No hay intersección con el eje \(y\) porque \(0\notin\mathcal{D}\). La función es no negativa por construcción: \(f(x)\geq0\) siempre.

Asíntotas oblicuas

Para \(x\to+\infty\) calculamos primero la pendiente:

\[ m=\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{x^2-4}}{x}=\lim_{x\to+\infty}\sqrt{1-\frac{4}{x^2}}=1 \]

Y luego la ordenada al origen:

\[ q=\lim_{x\to+\infty}(f(x)-x)=\lim_{x\to+\infty}(\sqrt{x^2-4}-x)=\lim_{x\to+\infty}\frac{(x^2-4)-x^2}{\sqrt{x^2-4}+x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{-4}{\sqrt{x^2-4}+x}=0 \]

La asíntota cuando \(x\to+\infty\) es \(y=x\). Por simetría (función par), cuando \(x\to-\infty\) la asíntota es \(y=-x\).

Primera derivada y monotonía

Calculamos \(f'(x)=\dfrac{2x}{2\sqrt{x^2-4}}=\dfrac{x}{\sqrt{x^2-4}}\). Para \(x>2\) el numerador es positivo: la función es creciente. Para \(x<-2\) el numerador es negativo: la función es decreciente. Los puntos \(x=\pm2\) son mínimos absolutos con \(f(\pm2)=0\).

Resultado

\[ \boxed{\text{mínimos en }(\pm2,0),\quad \text{asíntotas oblicuas }y=\pm x} \]

Gráfica de la Función

Dominio \(\mathbb{R}\), cero en \(x=0\), máximo en \((1,e^{-1})\), punto de inflexión en \((2,2e^{-2})\), asíntota horizontal \(y=0\).

Dominio y simetrías

La función está definida en \(\mathbb{R}\). No es ni par ni impar.

Intersecciones con los ejes y signo

Se tiene \(f(0)=0\). Como \(e^{-x}>0\) para todo \(x\), el signo de \(f\) coincide con el de \(x\):

\[ f(x)>0 \iff x>0 \qquad f(x)<0 \iff x<0 \]

Límites y asíntotas

Cuando \(x\to+\infty\), la exponencial decreciente \(e^{-x}\) tiende a cero mucho más rápido de lo que \(x\) crece, así que \(f(x)\to0\): existe la asíntota horizontal \(y=0\). En cambio, cuando \(x\to-\infty\), \(e^{-x}\to+\infty\) y \(x\to-\infty\), por lo que \(f(x)\to-\infty\).

Primera derivada y monotonía

Aplicando la regla del producto:

\[ f'(x)=1\cdot e^{-x}+x\cdot(-e^{-x})=e^{-x}(1-x) \]

Como \(e^{-x}>0\) siempre, el signo de \(f'\) depende de \((1-x)\):

El punto \(x=1\) es un máximo absoluto con \(f(1)=e^{-1}\).

Segunda derivada y puntos de inflexión

Calculamos:

\[ f''(x)=-e^{-x}(1-x)+e^{-x}(-1)=e^{-x}(x-2) \]

Como \(e^{-x}>0\), el signo de \(f''\) depende de \((x-2)\): la función es cóncava hacia abajo para \(x<2\) y cóncava hacia arriba para \(x>2\). En \(x=2\) cambia la concavidad: el punto \((2,2e^{-2})\) es un punto de inflexión.

Resultado

\[ \boxed{\max(1,e^{-1}),\quad \text{inflexión en }(2,2e^{-2}),\quad \text{asíntota }y=0} \]

Gráfica de la Función

Función par, dominio \((-\infty,-1)\cup(1,+\infty)\), asíntotas verticales \(x=\pm1\), ceros en \(x=\pm\sqrt{2}\), cóncava hacia abajo.

Dominio y simetrías

El logaritmo está definido solo para argumento estrictamente positivo: hay que resolver \(x^2-1>0\), esto es, \((x-1)(x+1)>0\), que se cumple para \(x<-1\) o \(x>1\). El dominio es \(\mathcal{D}=(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)\). Como \(f(-x)=\ln(x^2-1)=f(x)\), la función es par.

Intersecciones con los ejes

No hay intersecciones con el eje \(y\) porque \(0\notin\mathcal{D}\). Para hallar los ceros imponemos \(\ln(x^2-1)=0\), es decir, \(x^2-1=1\), de donde \(x^2=2\) y por tanto \(x=\pm\sqrt{2}\).

Signo

El logaritmo es positivo cuando su argumento es mayor que \(1\), es decir, cuando \(x^2-1>1\), o sea \(|x|>\sqrt{2}\). Es negativo para \(1<|x|<\sqrt{2}\).

Asíntotas

Al aproximarnos a \(x=1^+\), el argumento \(x^2-1\to0^+\), por lo que \(\ln(x^2-1)\to-\infty\): la recta \(x=1\) es una asíntota vertical. Por simetría, también lo es \(x=-1\). Para \(x\to+\infty\) la función tiende a \(+\infty\): no hay asíntotas horizontales.

Primera derivada y monotonía (para \(x>1\))

Derivando mediante la regla de la cadena:

\[ f'(x)=\frac{1}{x^2-1}\cdot2x=\frac{2x}{x^2-1} \]

Para \(x>1\), tanto el numerador \(2x\) como el denominador \(x^2-1\) son positivos, así que \(f'(x)>0\): la función es creciente en \((1,+\infty)\). Por simetría, es decreciente en \((-\infty,-1)\). No hay extremos locales.

Segunda derivada y concavidad

Calculamos:

\[ f''(x)=\frac{2(x^2-1)-2x\cdot2x}{(x^2-1)^2}=\frac{-2x^2-2}{(x^2-1)^2}=\frac{-2(x^2+1)}{(x^2-1)^2} \]

Como \(x^2+1>0\) siempre, se cumple \(f''(x)<0\) en todo el dominio: la gráfica es en todas partes cóncava hacia abajo y no presenta puntos de inflexión.

Resultado

\[ \boxed{\text{ceros en }x=\pm\sqrt{2},\quad \text{asíntotas }x=\pm1,\quad \text{cóncava hacia abajo}} \]

Gráfica de la Función

Dominio \(\mathbb{R}\setminus\{-1,1\}\), "hueco" en \(x=1\), asíntota vertical \(x=-1\), asíntota horizontal \(y=1\), cero en \(x=2\), estrictamente creciente.

Simplificación preliminar

Antes de proceder conviene factorizar numerador y denominador:

\[ f(x)=\frac{(x-1)(x-2)}{(x-1)(x+1)} \]

El factor \((x-1)\) es común: cancelándolo obtenemos la forma reducida \(g(x)=\dfrac{x-2}{x+1}\), válida para \(x\neq1\). En \(x=1\) la función original no está definida, pero el límite existe y es finito:

\[ \lim_{x\to1}f(x)=\frac{1-2}{1+1}=-\frac{1}{2} \]

Se trata de una discontinuidad evitable.

Dominio

El denominador original se anula en \(x=\pm1\), por lo que \(\mathcal{D}=\mathbb{R}\setminus\{-1,1\}\).

Intersecciones con los ejes y signo

Con el eje \(y\): \(f(0)=\tfrac{0-2}{0+1}=-2\). Con el eje \(x\): el numerador reducido se anula en \(x=2\), único cero de la función. El signo se estudia en la forma reducida: \(\dfrac{x-2}{x+1}>0\) para \(x<-1\) o \(x>2\).

Asíntotas

Asíntota vertical. En \(x=-1\) el denominador reducido se anula mientras que el numerador vale \(-3\neq0\): la recta \(x=-1\) es una asíntota vertical. (En \(x=1\), por el contrario, está el hueco, no una asíntota.)

Asíntota horizontal. Para \(x\to\pm\infty\) se tiene:

\[ \lim_{x\to\pm\infty}\frac{x-2}{x+1}=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{1-2/x}{1+1/x}=1 \]

La recta \(y=1\) es una asíntota horizontal.

Primera derivada y monotonía

Derivando la forma reducida con la regla del cociente:

\[ f'(x)=\frac{1\cdot(x+1)-(x-2)\cdot1}{(x+1)^2}=\frac{3}{(x+1)^2} \]

Como \((x+1)^2>0\) siempre, se tiene \(f'(x)>0\) en todo el dominio: la función es estrictamente creciente en \((-\infty,-1)\), en \((-1,1)\) y en \((1,+\infty)\). No presenta ningún extremo.

Resultado

\[ \boxed{\text{hueco en }x=1,\quad \text{asíntotas }x=-1\text{ e }y=1,\quad \text{cero en }x=2} \]

Gráfica de la Función

Parábola con ceros en \(x=-1\) y \(x=3\), mínimo absoluto en \((1,-4)\).

Dominio y simetrías

El dominio es \(\mathbb{R}\). La función no es ni par ni impar. El eje de simetría de la parábola es la recta vertical \(x=1\), obtenida mediante la fórmula \(x_V = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2} = 1\).

Intersecciones con los ejes

Con el eje \(y\): calculamos \(f(0) = -3\), obteniendo el punto \((0,-3)\).
Con el eje \(x\): resolviendo \(x^2-2x-3=0\) (factorizando como \((x-3)(x+1)=0\) o mediante la fórmula resolvente), se obtienen los puntos \(x=-1\) y \(x=3\).

Estudio del signo

Como el coeficiente de \(x^2\) es positivo (\(a=1\)), la parábola tiene la concavidad hacia arriba. La función es positiva para valores externos a los ceros y negativa para valores internos: \[ f(x) > 0 \iff x < -1 \lor x > 3 \qquad f(x) < 0 \iff -1 < x < 3 \]

Límites y asíntotas

Al tratarse de un polinomio de segundo grado: \[ \lim_{x\to\pm\infty} f(x) = +\infty \] No existen asíntotas horizontales, verticales ni oblicuas.

Primera derivada y monotonía

La primera derivada es \(f'(x) = 2x - 2\). Imponiendo \(f'(x) = 0\) hallamos el punto estacionario en \(x=1\). Estudiando el signo de la derivada (\(2x-2 > 0 \implies x > 1\)), se confirma que la función decrece para \(x < 1\) y crece para \(x > 1\). El punto \(V(1, -4)\) es el mínimo absoluto de la función.

Segunda derivada y concavidad

Se tiene \(f''(x) = 2\). Al ser la segunda derivada constantemente positiva, la función presenta siempre concavidad hacia arriba y no posee puntos de inflexión.

Resultado final

\[ \boxed{\text{Ceros: } x=-1, 3; \quad \text{Mínimo absoluto: } (1,-4)} \]

Gráfica de la Función

Ceros en \(x=0\) y \(x=3\) (doble), máximo local en \((1,4)\), mínimo local en \((3,0)\), punto de inflexión en \((2,2)\).

Dominio y simetrías

El dominio es \(\mathbb{R}\). La función no es ni par ni impar.

Intersecciones con los ejes

Con el eje \(y\): \(f(0)=0\). Sacando factor común \(x\) obtenemos \(f(x)=x(x^2-6x+9)=x(x-3)^2\): los ceros son \(x=0\) y \(x=3\). Como \(x=3\) es un cero de multiplicidad dos, la gráfica toca el eje \(x\) en ese punto sin atravesarlo.

Estudio del signo

Del producto \(x(x-3)^2\), el factor \((x-3)^2\) es siempre no negativo. El signo de \(f\) depende, por tanto, únicamente de \(x\):

\[ f(x)>0 \iff x>0,\;x\neq3 \qquad f(x)<0 \iff x<0 \]

Límites y asíntotas

Como toda cúbica con coeficiente director positivo, \(f(x)\to+\infty\) cuando \(x\to+\infty\) y \(f(x)\to-\infty\) cuando \(x\to-\infty\). No existen asíntotas.

Primera derivada y monotonía

Calculamos \(f'(x)=3x^2-12x+9=3(x^2-4x+3)=3(x-1)(x-3)\), que se anula en \(x=1\) y \(x=3\).

El punto \(x=1\) es un máximo local con \(f(1)=1-6+9=4\). El punto \(x=3\) es un mínimo local con \(f(3)=0\): la gráfica toca el eje \(x\) con tangente horizontal.

Segunda derivada y puntos de inflexión

Calculamos \(f''(x)=6x-12=6(x-2)\), que se anula en \(x=2\). La segunda derivada es negativa para \(x<2\) (cóncava hacia abajo) y positiva para \(x>2\) (cóncava hacia arriba): el punto \((2,\,f(2))=(2,\,8-24+18)=(2,2)\) es un punto de inflexión.

Resultado

\[ \boxed{\max(1,4),\quad \min(3,0),\quad \text{inflexión en }(2,2)} \]

Gráfica de la Función

Dominio \(\mathbb{R}\setminus\{2\}\), asíntota vertical \(x=2\), asíntota horizontal \(y=1\), cero en \(x=-1\), estrictamente decreciente en cada rama.

Dominio y simetrías

El denominador se anula en \(x=2\), por lo que \(\mathcal{D}=\mathbb{R}\setminus\{2\}\). La función no presenta simetrías (ni par ni impar).

Intersecciones con los ejes y signo

Con el eje \(y\): calculamos \(f(0) = \frac{1}{-2} = -0.5\).
Con el eje \(x\): igualamos el numerador \(x+1=0\), obteniendo \(x=-1\).

El estudio del signo del cociente conduce a: \[ f(x)>0 \iff x < -1 \lor x > 2 \qquad f(x)<0 \iff -1 < x < 2 \]

Asíntotas

Asíntota vertical: Calculemos los límites cuando \(x \to 2\): \[ \lim_{x\to2^+} \frac{x+1}{x-2} = +\infty, \quad \lim_{x\to2^-} \frac{x+1}{x-2} = -\infty \] La recta \(x=2\) es una asíntota vertical.

Asíntota horizontal: Como numerador y denominador tienen el mismo grado: \[ \lim_{x\to\pm\infty} \frac{x+1}{x-2} = 1 \] La recta \(y=1\) es una asíntota horizontal.

Primera derivada y monotonía

Usando la regla del cociente: \[ f'(x) = \frac{1\cdot(x-2) - (x+1)\cdot1}{(x-2)^2} = \frac{x-2-x-1}{(x-2)^2} = \frac{-3}{(x-2)^2} \] Como el numerador es una constante negativa y el denominador es un cuadrado siempre positivo, \(f'(x) < 0\) en todo el dominio. La función es estrictamente decreciente en \((-\infty, 2)\) y en \((2, +\infty)\).

Resultado final

\[ \boxed{\text{Asíntotas: } x=2, y=1; \quad \text{Cero: } x=-1; \quad \text{Decreciente}} \]

Gráfica de la Función

Función par, dominio \([-2,2]\), ceros en \(x=\pm2\), máximo absoluto en \((0,2)\), siempre cóncava hacia abajo.

Dominio y simetrías

El argumento de la raíz debe ser no negativo: \(4-x^2 \geq 0 \iff x^2 \leq 4 \iff |x| \leq 2\). El dominio es \(\mathcal{D}=[-2,2]\).
Como \(f(-x)=\sqrt{4-(-x)^2}=\sqrt{4-x^2}=f(x)\), la función es par (simétrica respecto al eje \(y\)). Geométricamente, representa la parte superior de la circunferencia \(x^2 + y^2 = 4\).

Intersecciones con los ejes y signo

Con el eje \(y\): \(f(0) = \sqrt{4} = 2\).
Con el eje \(x\): \(f(x) = 0 \iff 4-x^2 = 0 \iff x = \pm 2\).
La función es siempre no negativa (\(f(x) \geq 0\)) en su dominio.

Primera derivada y monotonía

Calculamos la primera derivada: \[ f'(x) = \frac{-2x}{2\sqrt{4-x^2}} = \frac{-x}{\sqrt{4-x^2}} \] La derivada se anula en \(x=0\). Estudiando su signo en el dominio abierto \((-2, 2)\): \[ f'(x) > 0 \iff -x > 0 \iff x < 0 \quad (\text{creciente}) \] \[ f'(x) < 0 \iff -x < 0 \iff x > 0 \quad (\text{decreciente}) \] El punto \((0,2)\) es un máximo absoluto. En los extremos \(x = \pm 2\), el límite de la derivada tiende a \(\infty\), lo que indica tangentes verticales.

Segunda derivada y concavidad

Calculamos la segunda derivada: \[ f''(x) = \frac{-1 \cdot \sqrt{4-x^2} - (-x) \cdot \frac{-x}{\sqrt{4-x^2}}}{4-x^2} = \frac{-(4-x^2) - x^2}{(4-x^2)\sqrt{4-x^2}} = \frac{-4}{(4-x^2)^{3/2}} \] Como el denominador es siempre positivo y el numerador es \(-4\), se tiene \(f''(x) < 0\) para todo \(x \in (-2,2)\). La función presenta siempre concavidad hacia abajo.

Resultado final

\[ \boxed{\text{Semicircunferencia: Máx}(0,2), \text{ Ceros } x=\pm 2, \text{ Cóncava hacia abajo}} \]

Gráfica de la Función

Función par, dominio \(\mathbb{R}\), siempre positiva, máximo absoluto en \((0,1)\), asíntota horizontal \(y=0\), puntos de inflexión en \(\left(\pm\frac{\sqrt{2}}{2},\,e^{-1/2}\right)\).

Dominio y simetrías

El dominio es \(\mathbb{R}\). Como \(f(-x) = e^{-(-x)^2} = e^{-x^2} = f(x)\), la función es par: la gráfica es simétrica respecto al eje \(y\).

Intersecciones con los ejes y signo

Como la función exponencial es siempre positiva (\(e^{-x^2} > 0\)), no hay intersecciones con el eje \(x\).
La intersección con el eje \(y\) se encuentra en el punto \((0,1)\).

Límites y asíntotas

Calculamos el comportamiento en el infinito: \[ \lim_{x\to\pm\infty} e^{-x^2} = 0 \] El eje \(x\) (recta \(y=0\)) es una asíntota horizontal para la función.

Primera derivada y monotonía

Usando la regla de la cadena: \[ f'(x) = -2x \cdot e^{-x^2} \] El signo de la derivada depende únicamente del factor \(-2x\):

• \(f'(x) > 0\) para \(x < 0\) (función creciente)
• \(f'(x) < 0\) para \(x > 0\) (función decreciente)

El punto \((0,1)\) es un máximo absoluto.

Segunda derivada y concavidad

Derivando nuevamente \(f'(x)\) con la regla del producto: \[ f''(x) = -2 \cdot e^{-x^2} + (-2x) \cdot (-2x \cdot e^{-x^2}) = e^{-x^2}(4x^2 - 2) = 2e^{-x^2}(2x^2 - 1) \] Los puntos de inflexión se encuentran donde \(2x^2 - 1 = 0\), esto es, \(x = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}\).
La concavidad es hacia arriba para \(x < -\frac{\sqrt{2}}{2}\) y \(x > \frac{\sqrt{2}}{2}\), mientras que es hacia abajo en el intervalo central.

Resultado final

\[ \boxed{\text{Máx}(0,1); \quad \text{Inflexiones: } \left(\pm\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{\sqrt{e}}\right); \quad \text{Asíntota: } y=0} \]

Gráfica de la Función

Dominio \((0,+\infty)\), cero en \(x=1\), máximo absoluto en \((e,\,e^{-1})\), punto de inflexión en \((e^{3/2},\,\frac{3}{2}e^{-3/2})\), asíntotas \(x=0\) e \(y=0\).

Dominio y simetrías

La función está definida para \(x > 0\) debido al logaritmo. El denominador \(x\) no se anula en el dominio, por lo que \(\mathcal{D}=(0,+\infty)\). No presenta simetrías respecto al origen ni al eje \(y\).

Intersecciones con los ejes y signo

Con el eje \(x\): imponemos \(\ln x = 0\), de donde \(x=1\).
El signo de \(f(x)\) depende solo del numerador, ya que el denominador es siempre positivo en el dominio: \[ f(x) > 0 \iff x > 1 \qquad f(x) < 0 \iff 0 < x < 1 \]

Límites y asíntotas

Asíntota vertical: Cuando \(x \to 0^+\), el numerador tiende a \(-\infty\) y el denominador a \(0^+\), por tanto: \[ \lim_{x\to 0^+} \frac{\ln x}{x} = -\infty \] La recta \(x=0\) es una asíntota vertical.

Asíntota horizontal: Cuando \(x \to +\infty\), por la jerarquía de los infinitos (el crecimiento lineal prevalece sobre el logarítmico): \[ \lim_{x\to +\infty} \frac{\ln x}{x} = 0 \] La recta \(y=0\) es una asíntota horizontal.

Primera derivada y monotonía

Aplicando la regla del cociente: \[ f'(x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2} \] La derivada se anula para \(\ln x = 1\), o sea \(x=e\).
Estudiando el signo: \(f'(x) > 0\) para \(x < e\) (creciente) y \(f'(x) < 0\) para \(x > e\) (decreciente).
El punto \((e, e^{-1})\) es un máximo absoluto.

Segunda derivada y puntos de inflexión

Derivando una vez más: \[ f''(x) = \frac{-\frac{1}{x} \cdot x^2 - (1 - \ln x) \cdot 2x}{x^4} = \frac{-x - 2x + 2x \ln x}{x^4} = \frac{2\ln x - 3}{x^3} \] La segunda derivada se anula para \(\ln x = 3/2\), es decir, \(x = e^{3/2}\). En este punto la función presenta una inflexión, pasando de cóncava (hacia abajo) a convexa (hacia arriba).

Resultado final

\[ \boxed{\text{Máx}(e, 1/e); \quad \text{Inflexión: } (e^{3/2}, 3/2e^{-3/2}); \quad \text{Asíntotas: } x=0, y=0} \]

Gráfica de la Función

Dominio \(\mathbb{R}\), cero doble en \(x=0\), mínimo en \((0,0)\), máximo en \((2,4e^{-2})\), puntos de inflexión en \((2\pm\sqrt{2},\,f(2\pm\sqrt{2}))\), asíntota \(y=0\).

Dominio y simetrías

El dominio es \(\mathbb{R}\). La función no es ni par ni impar.

Intersecciones con los ejes y signo

El único cero es \(x=0\) (doble, ya que \(e^{-x}>0\) siempre). La gráfica toca el eje \(x\) en el origen sin atravesarlo: \(f(x)\geq0\) para todo \(x\).

Límites y asíntotas

Cuando \(x\to+\infty\), la exponencial decreciente domina al polinomio: \(f(x)\to0\), por lo que \(y=0\) es una asíntota horizontal. En cambio, cuando \(x\to-\infty\), \(e^{-x}\to+\infty\) y \(x^2\to+\infty\): \(f(x)\to+\infty\).

Primera derivada y monotonía

Aplicando la regla del producto:

\[ f'(x)=2x\cdot e^{-x}+x^2\cdot(-e^{-x})=e^{-x}(2x-x^2)=e^{-x}\cdot x(2-x) \]

Como \(e^{-x}>0\), el signo de \(f'\) depende del producto \(x(2-x)\):

El punto \(x=0\) es un mínimo con \(f(0)=0\), el punto \(x=2\) es un máximo con \(f(2)=4e^{-2}\).

Segunda derivada y puntos de inflexión

Derivando \(f'(x)=e^{-x}(2x-x^2)\):

\[ f''(x)=-e^{-x}(2x-x^2)+e^{-x}(2-2x)=e^{-x}(x^2-4x+2) \]

Se anula para \(x^2-4x+2=0\), esto es, \(x=2\pm\sqrt{2}\). En ambos puntos cambia la concavidad: se obtienen dos puntos de inflexión en \(x_1=2-\sqrt{2}\approx0{,}59\) y \(x_2=2+\sqrt{2}\approx3{,}41\).

Resultado

\[ \boxed{\min(0,0),\quad \max(2,4e^{-2}),\quad \text{inflexiones en }x=2\pm\sqrt{2},\quad \text{asíntota }y=0} \]

Gráfica de la Función

Función par, dominio \(\mathbb{R}\), ceros en \(x=\pm1\), mínimo absoluto en \((0,-1)\), asíntota horizontal \(y=1\), puntos de inflexión en \(\left(\pm\frac{\sqrt{3}}{3},\,-\frac{1}{2}\right)\).

Dominio y simetrías

El denominador \(x^2+1\) es siempre mayor o igual que \(1\), por lo que nunca se anula. El dominio es \(\mathcal{D}=\mathbb{R}\).
Como \(f(-x) = \frac{(-x)^2-1}{(-x)^2+1} = f(x)\), la función es par (simétrica respecto al eje \(y\)).

Intersecciones con los ejes y signo

Con el eje \(y\): \(f(0) = \frac{-1}{1} = -1\).
Con el eje \(x\): \(x^2-1=0 \implies x = \pm 1\).
El signo de la función es positivo para \(|x| > 1\) y negativo para \(-1 < x < 1\).

Asíntotas

No hay asíntotas verticales. Verifiquemos el comportamiento en el infinito: \[ \lim_{x\to\pm\infty} \frac{x^2-1}{x^2+1} = 1 \] La recta \(y=1\) es una asíntota horizontal. Como \(f(x) = 1 - \frac{2}{x^2+1}\), la función permanece siempre por debajo de la asíntota.

Primera derivada y monotonía

Aplicando la regla del cociente: \[ f'(x) = \frac{2x(x^2+1) - (x^2-1)(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{2x^3+2x-2x^3+2x}{(x^2+1)^2} = \frac{4x}{(x^2+1)^2} \] El signo de \(f'(x)\) lo determina el numerador \(4x\):

• \(f'(x) < 0\) para \(x < 0\) (decreciente)
• \(f'(x) > 0\) para \(x > 0\) (creciente)

El punto \((0, -1)\) es un mínimo absoluto.

Segunda derivada y puntos de inflexión

Calculamos \(f''(x)\): \[ f''(x) = \frac{4(x^2+1)^2 - 4x[2(x^2+1) \cdot 2x]}{(x^2+1)^4} = \frac{4(x^2+1) - 16x^2}{(x^2+1)^3} = \frac{4(1-3x^2)}{(x^2+1)^3} \] La segunda derivada se anula para \(1-3x^2 = 0 \implies x = \pm\frac{1}{\sqrt{3}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{3}\).
En estos puntos (\(x \approx \pm 0{,}58\)) se encuentran dos puntos de inflexión con ordenada \(y = -1/2\).

Resultado final

\[ \boxed{\text{Mín}(0,-1); \quad \text{Asíntota } y=1; \quad \text{Inflexiones } \left(\pm\frac{\sqrt{3}}{3}, -\frac{1}{2}\right)} \]

Gráfica de la Función

Dominio \((0,+\infty)\), sin ceros (función siempre positiva), mínimo absoluto en \((1,1)\), siempre cóncava hacia arriba.

Dominio y simetrías

Por la presencia del logaritmo, debe ser \(x > 0\). El dominio es, por tanto, \(\mathcal{D}=(0,+\infty)\). La función no presenta simetrías.

Intersecciones con los ejes y signo

No existen intersecciones con el eje \(y\) (\(0 \notin \mathcal{D}\)). En cuanto a los ceros, la ecuación \(x = \ln x\) no admite soluciones reales (la recta \(y=x\) está siempre por encima de la curva \(y=\ln x\)). Veremos con el estudio del mínimo que la función es siempre positiva.

Límites y asíntotas

Asíntota vertical: Cuando \(x \to 0^+\), obtenemos \(0 - (-\infty) = +\infty\). La recta \(x=0\) es una asíntota vertical.
Comportamiento en el infinito: Cuando \(x \to +\infty\), por la jerarquía de los infinitos, la componente lineal prevalece sobre la logarítmica: \[ \lim_{x\to +\infty} (x - \ln x) = +\infty \] No existen asíntotas horizontales ni oblicuas.

Primera derivada y monotonía

Calculamos la primera derivada: \[ f'(x) = 1 - \frac{1}{x} = \frac{x-1}{x} \] Como \(x > 0\), el signo depende únicamente de \(x-1\):

• \(f'(x) < 0\) para \(0 < x < 1\) (decreciente)
• \(f'(x) > 0\) para \(x > 1\) (creciente)

El punto \((1,1)\) es un mínimo absoluto. Siendo la ordenada del mínimo positiva (\(y=1\)), se confirma que la función no tiene ceros.

Segunda derivada y concavidad

Calculamos la segunda derivada: \[ f''(x) = \frac{1}{x^2} \] Al ser \(1/x^2\) siempre positivo en el dominio, la función presenta concavidad hacia arriba constante y no tiene puntos de inflexión.

Resultado final

\[ \boxed{\text{Mín}(1,1); \quad \text{Asíntota: } x=0; \quad \text{Siempre positiva}} \]

Gráfica de la Función

Dominio \(\mathbb{R}\setminus\{-1\}\), asíntota vertical \(x=-1\), asíntota oblicua \(y=x-3\), máximo local en \((-3,-8)\), mínimo local en \((1,0)\).

Dominio y simetrías

La función está definida para todo \(x\) tal que el denominador sea no nulo: \(\mathcal{D}=\mathbb{R}\setminus\{-1\}\). No hay simetrías evidentes.

Intersecciones y Signo

La intersección con el eje \(y\) es \(f(0) = 1\). 
La única intersección con el eje \(x\) ocurre en \(x=1\). Como el numerador es un cuadrado perfecto, el cero es doble: la gráfica es tangente al eje \(x\) sin atravesarlo. 
El signo de la función depende exclusivamente del denominador: \(f(x) > 0\) para \(x > -1\) y \(f(x) < 0\) para \(x < -1\).

Asíntotas

Asíntota vertical: Como \(\lim_{x\to -1} f(x) = \infty\), la recta \(x=-1\) es una asíntota vertical.

Asíntota oblicua: Efectuando la división de polinomios o notando que: \[ f(x) = \frac{x^2-2x+1}{x+1} = x - 3 + \frac{4}{x+1} \] Se deduce inmediatamente que la recta \(y = x - 3\) es la asíntota oblicua.

Primera derivada y monotonía

Calculamos \(f'(x)\) aplicando la regla del cociente: \[ f'(x) = \frac{2(x-1)(x+1) - (x-1)^2}{(x+1)^2} = \frac{(x-1)(x+3)}{(x+1)^2} \] Los ceros de la derivada son \(x=1\) y \(x=-3\). Estudiando el signo del producto del numerador:

• Creciente en \((-\infty, -3)\) y \((1, +\infty)\)
• Decreciente en \((-3, -1)\) y \((-1, 1)\)

Tenemos un máximo local en \((-3, -8)\) y un mínimo local en \((1, 0)\).

Resultado final

\[ \boxed{\text{Asíntotas: } x=-1, y=x-3; \quad \text{Máx}(-3,-8); \quad \text{Mín}(1,0)} \]

Gráfica de la Función

Función impar, dominio \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\), asíntotas \(x=0\) e \(y=x\), máximo local en \((-1,-2)\) y mínimo local en \((1,2)\).

Dominio y simetrías

La función no está definida para \(x=0\), por lo que \(\mathcal{D}=\mathbb{R}\setminus\{0\}\).
Verifiquemos la simetría: \(f(-x) = -x + \frac{1}{-x} = -(x + \frac{1}{x}) = -f(x)\).
La función es impar: la gráfica es simétrica respecto al origen de coordenadas.

Intersecciones y signo

No hay intersecciones con el eje \(x\) ya que \(x + \frac{1}{x} = 0 \implies x^2 + 1 = 0\), que no admite soluciones reales. 
El signo de la función coincide con el de \(x\): positiva para \(x > 0\) y negativa para \(x < 0\).

Asíntotas

Asíntota vertical: \(\lim_{x\to 0^\pm} f(x) = \pm\infty\). La recta \(x=0\) es una asíntota vertical.
Asíntota oblicua: Como cuando \(x \to \infty\) el término \(\frac{1}{x}\) tiende a cero, la función se aproxima indefinidamente a la recta \(y=x\).

Primera derivada y monotonía

Calculamos la derivada: \[ f'(x) = 1 - \frac{1}{x^2} = \frac{x^2 - 1}{x^2} \] La derivada se anula en \(x = \pm 1\). Estudiando su signo:

• Creciente para \(x < -1\) y \(x > 1\)
• Decreciente para \(-1 < x < 0\) y \(0 < x < 1\)

Se tiene un máximo local en \((-1, -2)\) y un mínimo local en \((1, 2)\).

Segunda derivada y concavidad

\[ f''(x) = \frac{2}{x^3} \] La concavidad es hacia arriba para \(x > 0\) y hacia abajo para \(x < 0\). No hay puntos de inflexión, ya que \(x=0\) no pertenece al dominio.

Resultado final

\[ \boxed{\text{Asíntotas: } x=0, y=x; \quad \text{Máx}(-1,-2); \quad \text{Mín}(1,2)} \]

Gráfica de la Función

Función par, dominio \(\mathbb{R}\), cero en \(x=0\), mínimo absoluto en \((0,0)\), puntos de inflexión en \((\pm1,\,\ln 2)\).

Dominio y simetrías

El argumento del logaritmo \(x^2+1\) es siempre mayor o igual que \(1\), así que la función está definida en toda la recta real: \(\mathcal{D}=\mathbb{R}\).
Como \(f(-x) = \ln((-x)^2+1) = \ln(x^2+1) = f(x)\), la función es par (simétrica respecto al eje \(y\)).

Intersecciones y signo

La única intersección con los ejes se halla en el origen \((0,0)\), ya que \(\ln(x^2+1)=0 \iff x^2+1=1 \iff x=0\).
La función es siempre no negativa (\(f(x) \geq 0\)) porque el argumento del logaritmo es siempre \(\geq 1\).

Límites y asíntotas

Cuando \(x \to \pm\infty\), \(f(x) \to +\infty\).
No hay asíntotas verticales (dominio \(\mathbb{R}\)) ni horizontales. Al comprobar la asíntota oblicua, se observa que \(\lim_{x\to \infty} f(x)/x = 0\), por lo que tampoco existen asíntotas oblicuas.

Primera derivada y monotonía

Aplicando la regla de la cadena: \[ f'(x) = \frac{2x}{x^2+1} \] El signo de \(f'(x)\) depende solo del numerador \(2x\):

• Decreciente para \(x < 0\)
• Creciente para \(x > 0\)

El origen \((0,0)\) es un punto de mínimo absoluto.

Segunda derivada y concavidad

Usando la regla del cociente: \[ f''(x) = \frac{2(x^2+1) - 2x(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{2 - 2x^2}{(x^2+1)^2} = \frac{2(1-x^2)}{(x^2+1)^2} \] La segunda derivada se anula en \(x = \pm 1\).
La concavidad es hacia arriba para \(-1 < x < 1\) y hacia abajo para \(|x| > 1\). Los puntos \((\pm 1, \ln 2)\) son puntos de inflexión.

Resultado final

\[ \boxed{\text{Mín}(0,0); \quad \text{Inflexiones: } (\pm 1, \ln 2) \approx (\pm 1;\, 0{,}69)} \]

Gráfica de la Función

Dominio \(\mathbb{R}\), función siempre positiva (sin ceros), mínimo absoluto en \((0,1)\), siempre cóncava hacia arriba.

Dominio y simetrías

La función se compone de la suma de una exponencial y un polinomio, ambos definidos en todas partes. Por consiguiente, \(\mathcal{D}=\mathbb{R}\). No hay simetrías (ni par ni impar).

Intersecciones y Signo

La intersección con el eje \(y\) es \(f(0) = e^0 - 0 = 1\). 
En cuanto a los ceros, la ecuación \(e^x = x\) no admite soluciones reales. Como veremos con el estudio del mínimo, el valor más pequeño que toma la función es \(1\), lo que garantiza que \(f(x) > 0\) para todo \(x\).

Límites y asíntotas

En \(+\infty\): \(\lim_{x\to +\infty} (e^x - x) = +\infty\), pues la exponencial es un infinito de orden superior al de la recta.
En \(-\infty\): \(\lim_{x\to -\infty} (e^x - x) = 0 - (-\infty) = +\infty\).
No hay asíntotas horizontales ni verticales. Pese a la divergencia, tampoco hay asíntotas oblicuas.

Primera derivada y monotonía

Calculamos la derivada: \[ f'(x) = e^x - 1 \] Estudiemos el signo de \(f'(x)\):

• \(f'(x) > 0 \iff e^x > 1 \iff x > 0\)
• \(f'(x) < 0 \iff e^x < 1 \iff x < 0\)

La función decrece en \((-\infty, 0)\) y crece en \((0, +\infty)\). El punto \((0, 1)\) es un mínimo absoluto.

Segunda derivada y concavidad

\[ f''(x) = e^x \] Como \(e^x > 0\) para todo \(x \in \mathbb{R}\), la función es siempre cóncava hacia arriba (convexa) y no tiene puntos de inflexión.

Resultado final

\[ \boxed{\text{Mín}(0,1); \quad \text{Siempre positiva}; \quad \text{Concavidad hacia arriba}} \]

Gráfica de la Función

Dominio \((0, +\infty)\), cero en \(x=1\), mínimo absoluto en \(\left(\frac{1}{e}, -\frac{1}{e}\right)\), siempre cóncava hacia arriba.

Dominio y simetrías

La presencia del logaritmo impone \(x > 0\). Por tanto, \(\mathcal{D}=(0, +\infty)\). La función no presenta simetrías respecto al eje \(y\) ni al origen.

Intersecciones y Signo

La única intersección con el eje \(x\) se obtiene para \(x\ln x = 0\). Como \(x=0\) queda fuera del dominio, la única solución es \(\ln x = 0 \implies x = 1\). 
Dado que para \(x > 0\) el signo de \(f(x)\) depende solamente del logaritmo:

• \(f(x) < 0\) para \(0 < x < 1\)
• \(f(x) > 0\) para \(x > 1\)

Límites y comportamiento en la frontera

En \(0^+\): \(\lim_{x\to 0^+} x\ln x\) es una forma indeterminada \(0 \cdot \infty\). 
Aplicando la regla de L'Hôpital a \(\frac{\ln x}{1/x}\), obtenemos \(\lim_{x\to 0^+} (-x) = 0\). 
La gráfica "nace" desde el origen (punto de acumulación), pero el origen no está incluido en la gráfica.

En \(+\infty\): \(\lim_{x\to +\infty} x\ln x = +\infty\). La función crece más rápido que una recta, por lo que no hay asíntotas oblicuas.

Primera derivada y monotonía

Calculamos la derivada del producto: \[ f'(x) = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1 \] La derivada se anula para \(\ln x = -1 \implies x = e^{-1} = \frac{1}{e}\).

• Decreciente en \((0, 1/e)\)
• Creciente en \((1/e, +\infty)\)

El punto \(\left(\frac{1}{e}, -\frac{1}{e}\right)\) es un mínimo absoluto.

Segunda derivada y concavidad

\[ f''(x) = \frac{1}{x} \] Siendo \(x > 0\), la segunda derivada es siempre positiva. La función es siempre cóncava hacia arriba.

Resultado final

\[ \boxed{\text{Mín}\left(\frac{1}{e}, -\frac{1}{e}\right); \quad \text{Cero: } x=1; \quad \lim_{x\to 0^+} f(x) = 0} \]

Gráfica de la Función

Función impar, dominio \(\mathbb{R}\), máximo local en \((1, 1/2)\), mínimo local en \((-1, -1/2)\), asíntota horizontal \(y=0\), puntos de inflexión en \((0,0)\) y \((\pm\sqrt{3}, \pm\frac{\sqrt{3}}{4})\).

Dominio y simetrías

El denominador \(x^2+1\) nunca se anula en el campo real (\(x^2+1 \geq 1\)). Por tanto, \(\mathcal{D}=\mathbb{R}\). 
Verifiquemos la simetría: \(f(-x) = \frac{-x}{(-x)^2+1} = -\frac{x}{x^2+1} = -f(x)\). 
La función es impar: la gráfica presenta simetría central respecto al origen.

Intersecciones y Signo

La gráfica corta a los ejes solamente en el origen \((0,0)\). 
Como el denominador es siempre positivo, el signo de la función depende solo del numerador: \(f(x) > 0\) para \(x > 0\) y \(f(x) < 0\) para \(x < 0\).

Asíntotas

No hay asíntotas verticales. 
Calculemos el límite cuando \(x \to \infty\): \[ \lim_{x\to \pm\infty} \frac{x}{x^2+1} = 0 \] El eje de abscisas (recta \(y=0\)) es una asíntota horizontal.

Primera derivada y monotonía

Aplicando la regla del cociente: \[ f'(x) = \frac{1(x^2+1) - x(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{1-x^2}{(x^2+1)^2} \] Los ceros de la derivada son \(x = \pm 1\). Estudiando el signo del numerador \((1-x)(1+x)\):

• Creciente para \(-1 < x < 1\)
• Decreciente para \(x < -1\) y \(x > 1\)

Tenemos un mínimo local en \((-1, -1/2)\) y un máximo local en \((1, 1/2)\).

Segunda derivada y puntos de inflexión

Calculamos la segunda derivada: \[ f''(x) = \frac{-2x(x^2+1)^2 - (1-x^2)[2(x^2+1) \cdot 2x]}{(x^2+1)^4} = \frac{2x(x^2-3)}{(x^2+1)^3} \] La segunda derivada se anula en \(x = 0\) y \(x = \pm \sqrt{3}\). 
En estos tres puntos cambia la concavidad, identificando tres puntos de inflexión:

• \(F_1(0, 0)\)
• \(F_{2,3}(\pm\sqrt{3}, \pm\frac{\sqrt{3}}{4})\) con ordenada \(\approx \pm 0{,}43\)

Resultado final

\[ \boxed{\text{Máx}(1, 1/2); \quad \text{Mín}(-1, -1/2); \quad \text{3 Inflexiones}} \]

Gráfica de la Función

Dominio \((0, +\infty)\), cero en \(x=1\), mínimo absoluto en \(\left(\frac{1}{\sqrt{e}}, -\frac{1}{2e}\right)\), punto de inflexión en \(\left(e^{-3/2}, -\frac{3}{2e^3}\right)\).

Dominio y simetrías

El dominio viene dictado por la condición de existencia del logaritmo: \(\mathcal{D}=(0, +\infty)\). La función no presenta simetrías.

Intersecciones y Signo

La única intersección con el eje \(x\) se produce para \(x^2\ln x = 0 \implies \ln x = 0 \implies x = 1\). 
Como \(x^2 > 0\) en todo el dominio, el signo de \(f(x)\) lo determina exclusivamente \(\ln x\):

\(f(x) < 0\) para \(x \in (0, 1)\)

\(f(x) > 0\) para \(x \in (1, +\infty)\)

Comportamiento en la frontera

En \(0^+\): \(\lim_{x\to 0^+} x^2\ln x = 0\) (por la jerarquía de los infinitos o por L'Hôpital). La gráfica "se cierra" en el origen. 
En \(+\infty\): \(\lim_{x\to +\infty} x^2\ln x = +\infty\). El crecimiento es superior al de cualquier recta, por lo que no hay asíntotas oblicuas.

Primera derivada y monotonía

\[ f'(x) = 2x\ln x + x^2 \cdot \frac{1}{x} = x(2\ln x + 1) \] Estudiamos \(f'(x) \geq 0\): como \(x > 0\), resolvemos \(2\ln x + 1 \geq 0 \implies \ln x \geq -1/2 \implies x \geq e^{-1/2}\).

• Decreciente en \((0, 1/\sqrt{e})\)
• Creciente en \((1/\sqrt{e}, +\infty)\)

El punto \(\left(\frac{1}{\sqrt{e}}, -\frac{1}{2e}\right)\) es un mínimo absoluto.

Segunda derivada y concavidad

\[ f''(x) = (2\ln x + 1) + x \cdot \frac{2}{x} = 2\ln x + 3 \] Se anula para \(\ln x = -3/2 \implies x = e^{-3/2}\). 
La función es cóncava hacia abajo para \(x < e^{-3/2}\) y cóncava hacia arriba para \(x > e^{-3/2}\). 
El punto \(F(e^{-3/2}, -3/2e^3)\) es un punto de inflexión.

Resultado final

\[ \boxed{\text{Mín}\left(\frac{1}{\sqrt{e}}, -\frac{1}{2e}\right); \quad \text{Inflexión: } x=e^{-1{,}5} \approx 0{,}22} \]

Gráfica de la Función

Dominio \((0, +\infty)\), asíntota vertical \(x=0\), mínimo absoluto en \((1, 2)\), punto de inflexión en \(\left(3, \frac{4\sqrt{3}}{3}\right)\).

Dominio y simetrías

La condición de existencia de la raíz en el denominador impone \(x > 0\). Por tanto, \(\mathcal{D}=(0, +\infty)\). La función no presenta simetrías, ya que el dominio no es simétrico respecto al origen.

Intersecciones y Signo

No existen intersecciones con el eje \(y\) (\(0 \notin \mathcal{D}\)). 
No hay intersecciones con el eje \(x\), pues \(x+1=0 \implies x=-1\), que queda fuera del dominio. 
Como tanto numerador como denominador son siempre positivos para \(x > 0\), la función es siempre positiva.

Límites y asíntotas

En \(0^+\): \(\lim_{x\to 0^+} \frac{x+1}{\sqrt{x}} = \frac{1}{0^+} = +\infty\). La recta \(x=0\) es una asíntota vertical. 
En \(+\infty\): \(\lim_{x\to +\infty} \frac{x+1}{\sqrt{x}} = +\infty\). 
Verifiquemos la asíntota oblicua: \(m = \lim_{x\to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x\to +\infty} \frac{x+1}{x\sqrt{x}} = 0\). No hay asíntotas oblicuas (la función crece como \(\sqrt{x}\)).

Primera derivada y monotonía

Reescribiendo \(f(x) = x^{1/2} + x^{-1/2}\), la derivada resulta más sencilla: \[ f'(x) = \frac{1}{2}x^{-1/2} - \frac{1}{2}x^{-3/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{2x\sqrt{x}} = \frac{x-1}{2x\sqrt{x}} \] El signo depende solamente de \(x-1\):

• Decreciente en \((0, 1)\)
• Creciente en \((1, +\infty)\)

El punto \((1, 2)\) es un mínimo absoluto.

Segunda derivada y concavidad

\[ f''(x) = -\frac{1}{4}x^{-3/2} + \frac{3}{4}x^{-5/2} = \frac{-x+3}{4x^2\sqrt{x}} \] La segunda derivada se anula en \(x = 3\).

• Cóncava hacia arriba para \(0 < x < 3\)
• Cóncava hacia abajo para \(x > 3\)

El punto \(F(3, 4\sqrt{3}/3)\) es un punto de inflexión.

Resultado final

\[ \boxed{\text{Mín}(1,2); \quad \text{Inflexión: } x=3; \quad \text{Asíntota vertical: } x=0} \]

Gráfica de la Función

Función par, dominio \(\mathbb{R}\setminus\{\pm 1\}\), ceros en \(x=\pm 2\), asíntotas verticales \(x=\pm 1\), asíntota horizontal \(y=1\), mínimo local en \((0,4)\).

Dominio y simetrías

El denominador se anula para \(x^2-1=0 \implies x = \pm 1\). 
Por tanto, \(\mathcal{D}=\mathbb{R}\setminus\{-1, 1\}\). 
Como \(f(-x) = \frac{(-x)^2-4}{(-x)^2-1} = f(x)\), la función es par: la gráfica es simétrica respecto al eje \(y\).

Intersecciones y Signo

Eje \(y\): \(f(0) = \frac{-4}{-1} = 4\). El punto es \((0,4)\). 
Eje \(x\): \(x^2-4=0 \implies x = \pm 2\). Los puntos son \((\pm 2, 0)\). 
Signo: Estudiando el signo del numerador y del denominador, la función resulta positiva para \(x < -2\), \(-1 < x < 1\) y \(x > 2\). Es negativa en los intervalos \((-2, -1)\) y \((1, 2)\).

Asíntotas

Verticales: En las inmediaciones de \(x=1\), se tiene \(\lim_{x\to 1^-} f(x) = +\infty\) y \(\lim_{x\to 1^+} f(x) = -\infty\). Por simetría, lo mismo ocurre en \(x=-1\). Las rectas \(x = \pm 1\) son asíntotas verticales.
Horizontales: \(\lim_{x\to \pm\infty} \frac{x^2-4}{x^2-1} = 1\). La recta \(y = 1\) es la asíntota horizontal.

Primera derivada y monotonía

\[ f'(x) = \frac{2x(x^2-1) - 2x(x^2-4)}{(x^2-1)^2} = \frac{6x}{(x^2-1)^2} \] La derivada se anula solamente en \(x=0\).

• Decreciente para \(x < 0\) (excluyendo \(x=-1\))
• Creciente para \(x > 0\) (excluyendo \(x=1\))

El punto \((0, 4)\) es un mínimo local en la rama central de la función.

Segunda derivada y concavidad

\[ f''(x) = \frac{6(x^2-1)^2 - 6x \cdot 2(x^2-1) \cdot 2x}{(x^2-1)^4} = \frac{-6(3x^2+1)}{(x^2-1)^3} \] El numerador es siempre negativo (\(-6 \cdot \text{positivo}\)). El signo depende del denominador:

• Cóncava hacia arriba para \(-1 < x < 1\) (donde \(x^2-1 < 0\))
• Cóncava hacia abajo para \(|x| > 1\) (donde \(x^2-1 > 0\))

No hay puntos de inflexión.

Resultado final

\[ \boxed{\text{Asíntotas: } x=\pm 1, y=1; \quad \text{Mín}(0,4); \quad \text{Ceros: } \pm 2} \]

Gráfica de la Función

Función impar, dominio \(\mathbb{R}\), asíntota oblicua \(y=x\), puntos de inflexión en \(x=0\) y \(x=\pm\sqrt{3}\), función estrictamente creciente en todo el dominio.

Dominio y simetrías

El denominador \(1+x^2\) es siempre positivo, de modo que \(\mathcal{D}=\mathbb{R}\). 
Como \(f(-x) = \frac{(-x)^3}{1+(-x)^2} = -\frac{x^3}{1+x^2} = -f(x)\), la función es impar: simetría central respecto al origen.

Intersecciones y Signo

El único punto de intersección con los ejes es el origen \((0,0)\). 
El signo de la función sigue al del numerador \(x^3\): la función es positiva para \(x > 0\) y negativa para \(x < 0\).

Asíntota oblicua

Efectuando la división de polinomios (o bien sumando y restando \(x\) al numerador): \[ f(x) = \frac{x^3 + x - x}{1+x^2} = \frac{x(x^2+1) - x}{1+x^2} = x - \frac{x}{x^2+1} \] Cuando \(x \to \pm\infty\), el término \(\frac{x}{x^2+1}\) tiende a \(0\). 
Por tanto, la recta \(y = x\) es una asíntota oblicua. 
Dado que para \(x > 0\) restamos una cantidad positiva, la gráfica se mantiene por debajo de la asíntota para \(x\) positivos (y por encima para \(x\) negativos).

Primera derivada y monotonía

\[ f'(x) = \frac{3x^2(1+x^2) - x^3(2x)}{(1+x^2)^2} = \frac{3x^2 + 3x^4 - 2x^4}{(1+x^2)^2} = \frac{x^2(x^2+3)}{(1+x^2)^2} \] La derivada se anula solamente en \(x=0\) y es positiva para todo \(x \neq 0\). 
Por consiguiente, la función es estrictamente creciente en todo \(\mathbb{R}\). El punto \(x=0\) es un punto de inflexión con tangente horizontal.

Segunda derivada y concavidad

Derivando de nuevo la forma \(f'(x) = 1 - \frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}\) (o la derivada anterior): \[ f''(x) = \frac{2x(3-x^2)}{(1+x^2)^3} \] Los ceros de la segunda derivada son \(x = 0\) y \(x = \pm\sqrt{3}\).

• Cóncava hacia arriba para \(x < -\sqrt{3}\) y \(0 < x < \sqrt{3}\)
• Cóncava hacia abajo para \(-\sqrt{3} < x < 0\) y \(x > \sqrt{3}\)

Se tienen tres puntos de inflexión: \(F_1(0,0)\) y \(F_{2,3}(\pm\sqrt{3}, \pm\frac{3\sqrt{3}}{4})\).

Resultado final

\[ \boxed{\text{Asíntota: } y=x; \quad \text{Siempre creciente}; \quad \text{3 Inflexiones}} \]

Gráfica de la Función

Dominio \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\), asíntota vertical \(x=0\) (solo para \(x \to 0^+\)), asíntota horizontal \(y=1\), siempre decreciente, punto de inflexión en \(\left(-\frac{1}{2}, e^{-2}\right)\).

Dominio y simetrías

La función está definida para todo valor que no anule el denominador del exponente: \(\mathcal{D}=\mathbb{R}\setminus\{0\}\). 
No presenta simetrías pares ni impares, pues \(f(-x) = e^{-1/x}\), que es distinto tanto de \(f(x)\) como de \(-f(x)\).

Signo e intersecciones

Al tratarse de una exponencial, la función es siempre positiva (\(f(x) > 0\)) en su dominio. 
No existen ceros, ni intersecciones con el eje \(y\) (al estar \(x=0\) fuera del dominio).

Límites y asíntotas

Comportamiento en \(0\):

• \(\lim_{x\to 0^+} e^{1/x} = e^{+\infty} = +\infty\) (Asíntota vertical)
• \(\lim_{x\to 0^-} e^{1/x} = e^{-\infty} = 0\) (Punto límite)

Comportamiento en \(\pm\infty\):

• \(\lim_{x\to \pm\infty} e^{1/x} = e^0 = 1\) (Asíntota horizontal \(y=1\))

Primera derivada y monotonía

\[ f'(x) = e^{1/x} \cdot \left( -\frac{1}{x^2} \right) = -\frac{e^{1/x}}{x^2} \] Como \(e^{1/x} > 0\) y \(x^2 > 0\) para todo \(x \neq 0\), la derivada es siempre negativa. 
La función es estrictamente decreciente en ambos intervalos \((-\infty, 0)\) y \((0, +\infty)\).

Segunda derivada y concavidad

\[ f''(x) = \frac{e^{1/x}(1+2x)}{x^4} \] El signo depende del factor lineal \(1+2x\):

• \(f''(x) > 0\) para \(x > -1/2\) (con \(x \neq 0\)): cóncava hacia arriba.
• \(f''(x) < 0\) para \(x < -1/2\): cóncava hacia abajo.

Existe un punto de inflexión en \(x = -1/2\), con ordenada \(y = e^{-2} \approx 0{,}135\).

Resultado final

\[ \boxed{\text{Asíntotas: } x=0^+ \text{ e } y=1; \quad \text{Inflexión en } (-0{,}5; e^{-2})} \]

Gráfica de la Función