Ejercicio del 15/04/2026 - 09:00 — nivel ★☆☆☆☆
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \quad f(x)=2x+1 \]
Resultado
La función es biyectiva.
Desarrollo
Inyectividad
Para verificar si la función es inyectiva, supongamos que dos elementos tienen la misma imagen:
\[ f(x_1)=f(x_2) \implies 2x_1+1=2x_2+1 \]
Cancelando el término constante se obtiene:
\[ 2x_1=2x_2 \implies x_1=x_2 \]
Por lo tanto, elementos distintos nunca comparten la misma imagen: la función es inyectiva.
Sobreyectividad
Para determinar si es sobreyectiva, tomamos un número real \(y\) cualquiera y comprobamos si existe un \(x\) tal que \(f(x)=y\):
\[ y=2x+1 \]
Despejando \(x\):
\[ x=\frac{y-1}{2} \]
Este valor es siempre real, de modo que todo número real es imagen de algún elemento del dominio. La función es sobreyectiva.
Conclusión
Al ser a la vez inyectiva y sobreyectiva, la función es biyectiva.
\[ \boxed{f \text{ es biyectiva}} \]
Ejercicio del 15/04/2026 - 09:30 — nivel ★☆☆☆☆
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \quad f(x)=x^2 \]
Resultado
Ni inyectiva ni sobreyectiva (sobre \(\mathbb{R}\)).
Desarrollo
Inyectividad
Basta exhibir dos elementos distintos con la misma imagen. Por ejemplo:
\[ f(1)=1, \qquad f(-1)=1 \]
Como \(1\neq -1\) y sus imágenes coinciden, la función no es inyectiva.
Sobreyectividad
El cuadrado de cualquier número real es siempre no negativo:
\[ x^2 \ge 0 \quad \forall x\in\mathbb{R} \]
Por consiguiente, el recorrido de la función está contenido en \([0,+\infty)\). En particular, ningún número negativo es imagen de algún \(x\).
La función no es sobreyectiva sobre \(\mathbb{R}\).
Conclusión
\[ \boxed{f \text{ no es ni inyectiva ni sobreyectiva}} \]
Ejercicio del 15/04/2026 - 10:00 — nivel ★☆☆☆☆
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \quad f(x)=x^3 \]
Resultado
La función es biyectiva.
Desarrollo
Inyectividad
Supongamos que:
\[ f(x_1)=f(x_2) \implies x_1^3=x_2^3 \]
Como la función cúbica es estrictamente creciente, esta igualdad implica necesariamente:
\[ x_1=x_2 \]
Por lo tanto, la función es inyectiva.
Sobreyectividad
Tomemos cualquier \(y\in\mathbb{R}\) y consideremos la ecuación:
\[ y=x^3 \]
Esta ecuación siempre tiene solución real:
\[ x=\sqrt[3]{y} \]
Esto muestra que todo número real es imagen de algún \(x\), así que la función es sobreyectiva.
Conclusión
\[ \boxed{f \text{ es biyectiva}} \]
Ejercicio del 15/04/2026 - 10:30 — nivel ★☆☆☆☆
\[ f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}, \quad f(n)=n+1 \]
Resultado
Inyectiva pero no sobreyectiva.
Desarrollo
Inyectividad
Supongamos que dos números naturales tienen la misma imagen:
\[ f(n_1)=f(n_2) \implies n_1+1=n_2+1 \]
De donde se deduce inmediatamente:
\[ n_1=n_2 \]
La función es por tanto inyectiva.
Sobreyectividad
El valor \(0\) (o \(1\), según la definición de \(\mathbb{N}\)) no es imagen de ningún número natural.
En efecto, no existe ningún \(n\in\mathbb{N}\) tal que \(n+1=0\).
Por lo tanto, la función no es sobreyectiva.
Conclusión
\[ \boxed{f \text{ es inyectiva pero no sobreyectiva}} \]
Ejercicio del 15/04/2026 - 11:00 — nivel ★☆☆☆☆
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \quad f(x)=5 \]
Resultado
Ni inyectiva ni sobreyectiva.
Desarrollo
Inyectividad
La función asigna a todo número real el mismo valor:
\[ f(x)=5 \quad \forall x\in\mathbb{R} \]
Luego elementos distintos comparten la misma imagen. La función no es inyectiva.
Sobreyectividad
El recorrido de la función se reduce al único valor \(5\):
\[ \operatorname{Im}(f)=\{5\} \]
Como este conjunto no coincide con \(\mathbb{R}\), la función no es sobreyectiva.
Conclusión
\[ \boxed{f \text{ no es ni inyectiva ni sobreyectiva}} \]
Ejercicio del 15/04/2026 - 11:30 — nivel ★★☆☆☆
\[ f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}, \quad f(n)=2n \]
Resultado
Inyectiva pero no sobreyectiva.
Desarrollo
Inyectividad
Supongamos:
\[ f(n_1)=f(n_2) \implies 2n_1=2n_2 \]
Dividiendo entre \(2\) se obtiene:
\[ n_1=n_2 \]
La función es por tanto inyectiva.
Sobreyectividad
Los valores que toma la función son exactamente los enteros pares:
\[ \operatorname{Im}(f)=\{2n \mid n\in\mathbb{Z}\} \]
Los enteros impares no son imagen de ningún elemento del dominio, así que la función no es sobreyectiva.
Conclusión
\[ \boxed{f \text{ es inyectiva pero no sobreyectiva}} \]
Ejercicio del 15/04/2026 - 12:00 — nivel ★★☆☆☆
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \quad f(x)=x^2+1 \]
Resultado
Ni inyectiva ni sobreyectiva.
Desarrollo
Inyectividad
Al igual que en el caso de \(x^2\), se tiene:
\[ f(1)=2,\qquad f(-1)=2 \]
Elementos distintos tienen la misma imagen, por lo que la función no es inyectiva.
Sobreyectividad
Se observa que:
\[ x^2 \ge 0 \implies x^2+1 \ge 1 \]
Por tanto:
\[ \operatorname{Im}(f)=[1,+\infty) \]
Los números menores que \(1\) nunca son alcanzados, así que la función no es sobreyectiva.
Conclusión
\[ \boxed{f \text{ no es ni inyectiva ni sobreyectiva}} \]
Ejercicio del 15/04/2026 - 12:30 — nivel ★★☆☆☆
\[ f:\mathbb{R}\to[0,+\infty), \quad f(x)=x^2 \]
Resultado
Sobreyectiva pero no inyectiva.
Desarrollo
Inyectividad
Como ya se vio:
\[ f(1)=f(-1)=1 \]
con \(1\neq -1\), por lo que la función no es inyectiva.
Sobreyectividad
Ahora el codominio es \([0,+\infty)\). Sea \(y\ge 0\); comprobamos si existe \(x\) tal que:
\[ y=x^2 \]
Esta ecuación siempre tiene solución real:
\[ x=\pm\sqrt{y} \]
De modo que todo elemento del codominio es efectivamente alcanzado, y la función es sobreyectiva.
Conclusión
\[ \boxed{f \text{ es sobreyectiva pero no inyectiva}} \]
Ejercicio del 15/04/2026 - 13:00 — nivel ★★☆☆☆
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \quad f(x)= \begin{cases} x & x\ge 0 \\ -x & x<0 \end{cases} \]
Resultado
Ni inyectiva ni sobreyectiva.
Desarrollo
Interpretación
Esta función coincide con el valor absoluto:
\[ f(x)=|x| \]
Inyectividad
Por ejemplo:
\[ f(1)=1,\qquad f(-1)=1 \]
con elementos distintos del dominio. La función no es inyectiva.
Sobreyectividad
Como \(|x|\ge 0\), el recorrido es:
\[ \operatorname{Im}(f)=[0,+\infty) \]
Los números negativos no se alcanzan nunca, por lo que la función no es sobreyectiva sobre \(\mathbb{R}\).
Conclusión
\[ \boxed{f \text{ no es ni inyectiva ni sobreyectiva}} \]
Ejercicio del 15/04/2026 - 13:30 — nivel ★★☆☆☆
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \quad f(x)=e^x \]
Resultado
Inyectiva pero no sobreyectiva.
Desarrollo
Inyectividad
La función exponencial es estrictamente creciente en todo \(\mathbb{R}\). Esto significa que, si \(x_1<x_2\), entonces:
\[ e^{x_1} < e^{x_2} \]
En consecuencia, dos elementos distintos no pueden tener la misma imagen. La función es por tanto inyectiva.
Sobreyectividad
Observamos que:
\[ e^x > 0 \quad \forall x\in\mathbb{R} \]
Luego el recorrido de la función es:
\[ \operatorname{Im}(f)=(0,+\infty) \]
Los números negativos y el cero nunca son alcanzados, por lo que no todos los valores reales son imágenes.
La función no es sobreyectiva sobre \(\mathbb{R}\).
Conclusión
\[ \boxed{f \text{ es inyectiva pero no sobreyectiva}} \]
Ejercicio del 15/04/2026 - 14:00 — nivel ★★☆☆☆
\[ f:\mathbb{R}\to(0,+\infty), \quad f(x)=e^x \]
Resultado
La función es biyectiva.
Desarrollo
Inyectividad
Como ya se señaló, la función exponencial es estrictamente creciente en \(\mathbb{R}\), lo que implica que elementos distintos del dominio producen imágenes distintas.
La función es por tanto inyectiva.
Sobreyectividad
El codominio es \((0,+\infty)\). Sea \(y>0\); comprobamos si existe \(x\) tal que:
\[ y=e^x \]
Despejando:
\[ x=\ln(y) \]
Como el logaritmo natural está definido para todo \(y>0\), todo elemento del codominio es imagen de algún \(x\).
La función es sobreyectiva.
Conclusión
\[ \boxed{f \text{ es biyectiva}} \]
Ejercicio del 15/04/2026 - 14:30 — nivel ★★☆☆☆
\[ f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, \quad f(x)=\ln(x) \]
Resultado
La función es biyectiva.
Desarrollo
Inyectividad
El logaritmo natural es estrictamente creciente en su dominio \((0,+\infty)\), por lo que elementos distintos producen imágenes distintas.
La función es inyectiva.
Sobreyectividad
Sea \(y\in\mathbb{R}\). Consideremos:
\[ y=\ln(x) \]
Despejando:
\[ x=e^y \]
Como \(e^y>0\), siempre existe un valor del dominio cuya imagen es \(y\).
La función es por tanto sobreyectiva.
Conclusión
\[ \boxed{f \text{ es biyectiva}} \]
Ejercicio del 15/04/2026 - 15:00 — nivel ★★★☆☆
\[ f:[0,+\infty)\to\mathbb{R}, \quad f(x)=\sqrt{x} \]
Resultado
Inyectiva pero no sobreyectiva.
Desarrollo
Inyectividad
La función raíz cuadrada es creciente en \([0,+\infty)\), de modo que elementos distintos producen imágenes distintas.
Es por tanto inyectiva.
Sobreyectividad
Se tiene:
\[ \sqrt{x} \ge 0 \]
Así que el recorrido es \([0,+\infty)\), que no coincide con \(\mathbb{R}\).
Los números negativos nunca se alcanzan, por lo que la función no es sobreyectiva.
Conclusión
\[ \boxed{f \text{ es inyectiva pero no sobreyectiva}} \]
Ejercicio del 15/04/2026 - 15:30 — nivel ★★★☆☆
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \quad f(x)=x^3-x \]
Resultado
Sobreyectiva pero no inyectiva.
Desarrollo
Inyectividad
La función no es monótona en todo \(\mathbb{R}\). Por ejemplo, existen valores distintos con la misma imagen (la gráfica presenta un perfil en «S»).
La función no es inyectiva.
Sobreyectividad
Al ser un polinomio de grado impar, se tiene:
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty, \qquad \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty \]
Además la función es continua, de modo que, por el teorema del valor intermedio, toma todos los valores reales.
Es por tanto sobreyectiva.
Conclusión
\[ \boxed{f \text{ es sobreyectiva pero no inyectiva}} \]
Ejercicio del 15/04/2026 - 16:00 — nivel ★★★☆☆
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \quad f(x)=ax+1 \]
Resultado
Biyectiva si y solo si \(a\neq 0\).
Desarrollo
Inyectividad
Supongamos:
\[ ax_1+1=ax_2+1 \implies ax_1=ax_2 \]
Si \(a\neq 0\), dividiendo se obtiene \(x_1=x_2\), así que la función es inyectiva. Si \(a=0\), la función es constante y por tanto no es inyectiva.
Sobreyectividad
Despejando \(x\) de \(y=ax+1\):
\[ x=\frac{y-1}{a} \]
Esta solución existe para todo \(y\) únicamente cuando \(a\neq 0\).
Conclusión
\[ \boxed{f \text{ es biyectiva} \iff a\neq 0} \]
Ejercicio del 15/04/2026 - 16:30 — nivel ★★★☆☆
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \quad f(x)=x^2+ax \]
Resultado
Nunca inyectiva sobre \(\mathbb{R}\).
Desarrollo
Inyectividad
Se trata de un polinomio de segundo grado cuya gráfica es una parábola, por lo que no es monótona en todo \(\mathbb{R}\).
En consecuencia, siempre existen dos elementos distintos con la misma imagen.
La función no es inyectiva para ningún valor de \(a\).
Conclusión
\[ \boxed{f \text{ nunca es inyectiva}} \]
Ejercicio del 15/04/2026 - 17:00 — nivel ★★★☆☆
\[ f:\mathbb{R}\setminus\{1\}\to\mathbb{R}, \quad f(x)=\frac{1}{x-1} \]
Resultado
Inyectiva pero no sobreyectiva.
Desarrollo
Inyectividad
Supongamos:
\[ \frac{1}{x_1-1}=\frac{1}{x_2-1} \]
De donde se deduce:
\[ x_1-1=x_2-1 \implies x_1=x_2 \]
La función es por tanto inyectiva.
Sobreyectividad
La función nunca toma el valor \(0\), ya que una fracción con numerador \(1\) no puede ser nula.
Por lo tanto:
\[ 0 \notin \operatorname{Im}(f) \]
La función no es sobreyectiva sobre \(\mathbb{R}\).
Conclusión
\[ \boxed{f \text{ es inyectiva pero no sobreyectiva}} \]
Ejercicio del 15/04/2026 - 17:30 — nivel ★★★☆☆
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \quad f(x)=\arctan(x) \]
Resultado
Inyectiva pero no sobreyectiva.
Desarrollo
Inyectividad
La función arcotangente es estrictamente creciente en \(\mathbb{R}\), por lo que es inyectiva.
Sobreyectividad
Se tiene:
\[ \operatorname{Im}(f)=\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right) \]
Este intervalo no coincide con \(\mathbb{R}\), por lo que la función no es sobreyectiva.
Conclusión
\[ \boxed{f \text{ es inyectiva pero no sobreyectiva}} \]
Inyectividad
En los dos subintervalos la función es creciente y los recorridos de ambas ramas no se solapan.
La función es por tanto inyectiva.
Sobreyectividad
El recorrido es:
\[ (-\infty,0)\cup[0,+\infty) = \mathbb{R} \]
Como el cero está incluido, se cubren todos los reales. Los valores negativos son alcanzados por la rama lineal y los no negativos por la rama cuadrática.
La función es por tanto sobreyectiva.
Conclusión
\[ \boxed{f \text{ es biyectiva}} \]
Ejercicio del 15/04/2026 - 18:30 — nivel ★★★☆☆
\[ f:A\to B,\quad A=\{1,2,3,4\},\quad B=\{a,b,c\} \] \[ f(1)=a,\quad f(2)=b,\quad f(3)=c,\quad f(4)=a \]
Resultado
Sobreyectiva pero no inyectiva.
Desarrollo
Inyectividad
Se observa que:
\[ f(1)=a,\qquad f(4)=a \]
con \(1\neq 4\), por lo que la función no es inyectiva.
Sobreyectividad
Todos los elementos de \(B\) son imagen de al menos un elemento de \(A\):
\[ a,b,c \in \operatorname{Im}(f) \]
La función es por tanto sobreyectiva.
Conclusión
\[ \boxed{f \text{ es sobreyectiva pero no inyectiva}} \]
Ejercicio del 15/04/2026 - 19:00 — nivel ★★★★☆
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \quad f(x)=x^3-3x \]
Resultado
Sobreyectiva pero no inyectiva.
Desarrollo
Inyectividad
La función no es monótona en todo \(\mathbb{R}\): presenta un máximo local y un mínimo local, por lo que existen elementos distintos con la misma imagen.
No es por tanto inyectiva.
Sobreyectividad
Al ser un polinomio de grado impar, se tiene:
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty,\quad \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty \]
Por continuidad, la función toma todos los valores reales.
Conclusión
\[ \boxed{f \text{ es sobreyectiva pero no inyectiva}} \]
Ejercicio del 15/04/2026 - 19:30 — nivel ★★★★☆
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \quad f(x)=\frac{x}{1+x^2} \]
Resultado
Ni inyectiva ni sobreyectiva.
Desarrollo
Inyectividad
La función no es monótona en todo \(\mathbb{R}\) (crece y luego decrece), por lo que existen elementos distintos con la misma imagen.
Sobreyectividad
Se puede verificar que:
\[ -\frac{1}{2} \le f(x) \le \frac{1}{2} \]
por lo que el recorrido es un intervalo acotado que no coincide con \(\mathbb{R}\).
Conclusión
\[ \boxed{f \text{ no es ni inyectiva ni sobreyectiva}} \]
Ejercicio del 15/04/2026 - 20:00 — nivel ★★★★☆
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \quad f(x)=\ln(x^2+1) \]
Resultado
Ni inyectiva ni sobreyectiva.
Desarrollo
Inyectividad
Como \(x^2\) es una función par, se tiene:
\[ f(x)=f(-x) \]
con \(x\neq -x\) (si \(x\neq 0\)), por lo que la función no es inyectiva.
Sobreyectividad
Se tiene:
\[ x^2+1 \ge 1 \implies \ln(x^2+1) \ge 0 \]
Por tanto:
\[ \operatorname{Im}(f)=[0,+\infty) \]
Los valores negativos nunca se alcanzan.
Conclusión
\[ \boxed{f \text{ no es ni inyectiva ni sobreyectiva}} \]
Ejercicio del 15/04/2026 - 20:30 — nivel ★★★★☆
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \quad f(x)=e^x+x \]
Resultado
La función es biyectiva.
Desarrollo
Inyectividad
La suma de dos funciones estrictamente crecientes es a su vez estrictamente creciente. Como \(e^x\) y \(x\) son ambas estrictamente crecientes, \(f(x)\) también lo es.
Sobreyectividad
Se tiene:
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty,\quad \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty \]
Al ser continua y tener límites opuestos en los extremos, la función toma todos los valores reales.
Conclusión
\[ \boxed{f \text{ es biyectiva}} \]