Las operaciones con límites de sucesiones permiten calcular el límite de una sucesión obtenida al combinar dos sucesiones más sencillas mediante la suma, la diferencia, el producto o el cociente.
La idea fundamental es la siguiente: si dos sucesiones \((a_n)\) y \((b_n)\) tienen límite finito, entonces, bajo hipótesis adecuadas, las sucesiones obtenidas mediante operaciones algebraicas término a término entre \(a_n\) y \(b_n\) también tienen límite, y dicho límite se calcula aplicando las mismas operaciones a los límites.
Consideremos el caso en que
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=A \qquad\text{y}\qquad \lim_{n\to+\infty}b_n=B, \]
con \(A,B\in\mathbb{R}\). Estudiaremos, pues, las operaciones con límites finitos de sucesiones reales convergentes.
Conviene precisar desde el principio que las reglas algebraicas sobre límites no pueden aplicarse automáticamente en presencia de formas indeterminadas, como \(+\infty-\infty\), \(0\cdot\infty\), \(\displaystyle \frac{0}{0}\) o \(\displaystyle \frac{\infty}{\infty}\). En estos casos es necesario un estudio específico.
Índice
- Operaciones con límites de sucesiones
- Límite de la suma
- Límite de la diferencia
- Límite del producto
- Límite del cociente
- Observaciones sobre las formas indeterminadas
- Ejemplos de operaciones con límites
Operaciones con límites de sucesiones
Sean \((a_n)\) y \((b_n)\) dos sucesiones reales convergentes, es decir, tales que
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=A, \qquad \lim_{n\to+\infty}b_n=B, \]
con \(A,B\in\mathbb{R}\).
Bajo estas hipótesis se verifican las siguientes reglas:
\[ \lim_{n\to+\infty}(a_n+b_n)=A+B, \]
\[ \lim_{n\to+\infty}(a_n-b_n)=A-B, \]
\[ \lim_{n\to+\infty}(a_n b_n)=AB. \]
Además, si \(B\neq0\), entonces \(b_n\neq0\) a partir de un cierto término y también se verifica
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{A}{B}. \]
La condición \(B\neq0\) en el límite del cociente es esencial. En efecto, si el límite del denominador fuese \(0\), no podría concluirse en general que el cociente tenga límite finito.
Las secciones siguientes demuestran rigurosamente estas propiedades a partir de la definición de límite de una sucesión.
Límite de la suma
Sean \((a_n)\) y \((b_n)\) dos sucesiones reales tales que
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=A \qquad\text{y}\qquad \lim_{n\to+\infty}b_n=B, \]
con \(A,B\in\mathbb{R}\). Entonces
\[ \lim_{n\to+\infty}(a_n+b_n)=A+B. \]
Demostración. Queremos demostrar que, para todo \(\varepsilon>0\), existe \(N\in\mathbb{N}\) tal que, para todo \(n\geq N\), se cumple
\[ |(a_n+b_n)-(A+B)|<\varepsilon. \]
Observemos que
\[ (a_n+b_n)-(A+B)=(a_n-A)+(b_n-B). \]
Aplicando la desigualdad triangular, obtenemos
\[ |(a_n+b_n)-(A+B)| = |(a_n-A)+(b_n-B)| \leq |a_n-A|+|b_n-B|. \]
Como \(a_n\to A\), para \(\displaystyle \frac{\varepsilon}{2}>0\) existe \(N_1\in\mathbb{N}\) tal que, para todo \(n\geq N_1\),
\[ |a_n-A|<\frac{\varepsilon}{2}. \]
Como \(b_n\to B\), para \(\displaystyle \frac{\varepsilon}{2}>0\) existe \(N_2\in\mathbb{N}\) tal que, para todo \(n\geq N_2\),
\[ |b_n-B|<\frac{\varepsilon}{2}. \]
Tomemos
\[ N=\max\{N_1,N_2\}. \]
Entonces, para todo \(n\geq N\), se cumplen ambas desigualdades anteriores. En consecuencia,
\[ |(a_n+b_n)-(A+B)| \leq |a_n-A|+|b_n-B| < \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon. \]
Por definición de límite,
\[ \lim_{n\to+\infty}(a_n+b_n)=A+B. \]
Límite de la diferencia
Sean \((a_n)\) y \((b_n)\) dos sucesiones reales tales que
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=A \qquad\text{y}\qquad \lim_{n\to+\infty}b_n=B, \]
con \(A,B\in\mathbb{R}\). Entonces
\[ \lim_{n\to+\infty}(a_n-b_n)=A-B. \]
Demostración. Queremos demostrar que, para todo \(\varepsilon>0\), existe \(N\in\mathbb{N}\) tal que, para todo \(n\geq N\), se cumple
\[ |(a_n-b_n)-(A-B)|<\varepsilon. \]
Observemos que
\[ (a_n-b_n)-(A-B)=(a_n-A)-(b_n-B). \]
Aplicando la desigualdad triangular, obtenemos
\[ |(a_n-b_n)-(A-B)|=|(a_n-A)-(b_n-B)|\leq |a_n-A|+|b_n-B|. \]
Como \(a_n\to A\), para \(\displaystyle \frac{\varepsilon}{2}>0\) existe \(N_1\in\mathbb{N}\) tal que, para todo \(n\geq N_1\),
\[ |a_n-A|<\frac{\varepsilon}{2}. \]
Como \(b_n\to B\), para \(\displaystyle \frac{\varepsilon}{2}>0\) existe \(N_2\in\mathbb{N}\) tal que, para todo \(n\geq N_2\),
\[ |b_n-B|<\frac{\varepsilon}{2}. \]
Tomemos
\[ N=\max\{N_1,N_2\}. \]
Entonces, para todo \(n\geq N\),
\[ |(a_n-b_n)-(A-B)|\leq |a_n-A|+|b_n-B|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon. \]
Por definición de límite,
\[ \lim_{n\to+\infty}(a_n-b_n)=A-B. \]
Límite del producto
Sean \((a_n)\) y \((b_n)\) dos sucesiones reales tales que
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=A \qquad\text{y}\qquad \lim_{n\to+\infty}b_n=B, \]
con \(A,B\in\mathbb{R}\). Entonces
\[ \lim_{n\to+\infty}(a_n b_n)=AB. \]
Demostración. Queremos demostrar que, para todo \(\varepsilon>0\), existe \(N\in\mathbb{N}\) tal que, para todo \(n\geq N\), se cumple
\[ |a_n b_n-AB|<\varepsilon. \]
Escribamos la diferencia en una forma conveniente:
\[ a_n b_n-AB = a_n b_n-A b_n+A b_n-AB. \]
Por tanto,
\[ a_n b_n-AB = (a_n-A)b_n+A(b_n-B). \]
Aplicando la desigualdad triangular, obtenemos
\[ |a_n b_n-AB| \leq |a_n-A|\,|b_n|+|A|\,|b_n-B|. \]
Utilicemos ahora el hecho de que toda sucesión convergente está acotada a partir de un cierto término. Como \(b_n\to B\), aplicando la definición de límite con \(\varepsilon=1\), existe \(N_0\in\mathbb{N}\) tal que, para todo \(n\geq N_0\),
\[ |b_n-B|<1. \]
De donde
\[ |b_n| = |b_n-B+B| \leq |b_n-B|+|B| < |B|+1. \]
Así pues, a partir de un cierto término,
\[ |b_n|<|B|+1. \]
Fijemos ahora \(\varepsilon>0\). Como \(a_n\to A\), existe \(N_1\in\mathbb{N}\) tal que, para todo \(n\geq N_1\),
\[ |a_n-A|<\frac{\varepsilon}{2(|B|+1)}. \]
Como \(b_n\to B\), existe \(N_2\in\mathbb{N}\) tal que, para todo \(n\geq N_2\),
\[ |b_n-B|<\frac{\varepsilon}{2(|A|+1)}. \]
Tomemos
\[ N=\max\{N_0,N_1,N_2\}. \]
Entonces, para todo \(n\geq N\), tenemos
\[ |b_n|<|B|+1, \qquad |a_n-A|<\frac{\varepsilon}{2(|B|+1)} \]
y
\[ |b_n-B|<\frac{\varepsilon}{2(|A|+1)}. \]
Por lo tanto,
\[ |a_n-A|\,|b_n| < \frac{\varepsilon}{2(|B|+1)}(|B|+1) = \frac{\varepsilon}{2}. \]
Además,
\[ |A|\,|b_n-B| \leq |A|\frac{\varepsilon}{2(|A|+1)} = \frac{|A|}{|A|+1}\cdot\frac{\varepsilon}{2} < \frac{\varepsilon}{2}. \]
En consecuencia,
\[ |a_n b_n-AB| \leq |a_n-A|\,|b_n|+|A|\,|b_n-B| < \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon. \]
Por definición de límite,
\[ \lim_{n\to+\infty}(a_n b_n)=AB. \]
Límite del cociente
Sean \((a_n)\) y \((b_n)\) dos sucesiones reales tales que
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=A \qquad\text{y}\qquad \lim_{n\to+\infty}b_n=B, \]
con \(A,B\in\mathbb{R}\) y \(B\neq0\). Entonces \(b_n\neq0\) a partir de un cierto término y se verifica
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{A}{B}. \]
Demostración. Como \(b_n\to B\) y \(B\neq0\), el número
\[ \frac{|B|}{2} \]
es positivo.
Por la convergencia de \((b_n)\) hacia \(B\), existe \(N_0\in\mathbb{N}\) tal que, para todo \(n\geq N_0\),
\[ |b_n-B|<\frac{|B|}{2}. \]
De la desigualdad triangular inversa se sigue que
\[ |b_n|=|B+(b_n-B)|\geq |B|-|b_n-B|. \]
Por tanto, para todo \(n\geq N_0\),
\[ |b_n|>|B|-\frac{|B|}{2}=\frac{|B|}{2}. \]
En particular, \(b_n\neq0\) para todo \(n\geq N_0\). Esto muestra que el cociente \(\frac{a_n}{b_n}\) está bien definido a partir de un cierto término.
Estimemos ahora la diferencia entre el cociente y el límite esperado:
\[ \left|\frac{a_n}{b_n}-\frac{A}{B}\right|. \]
Reduciendo a común denominador, obtenemos
\[ \left|\frac{a_n}{b_n}-\frac{A}{B}\right| = \left|\frac{B a_n-A b_n}{B b_n}\right|. \]
Sumando y restando \(AB\) en el numerador,
\[ B a_n-A b_n = B a_n-AB+AB-A b_n. \]
Por tanto,
\[ B a_n-A b_n = B(a_n-A)+A(B-b_n). \]
Aplicando la desigualdad triangular,
\[ |B a_n-A b_n| \leq |B|\,|a_n-A|+|A|\,|B-b_n|. \]
Como
\[ |B-b_n|=|b_n-B|, \]
obtenemos
\[ |B a_n-A b_n| \leq |B|\,|a_n-A|+|A|\,|b_n-B|. \]
En consecuencia,
\[ \left|\frac{a_n}{b_n}-\frac{A}{B}\right| \leq \frac{|B|\,|a_n-A|+|A|\,|b_n-B|}{|B|\,|b_n|}. \]
Para \(n\geq N_0\), sabemos que
\[ |b_n|>\frac{|B|}{2}. \]
Por lo tanto,
\[ |B|\,|b_n| > |B|\cdot\frac{|B|}{2} = \frac{|B|^2}{2}. \]
Así pues, para todo \(n\geq N_0\),
\[ \left|\frac{a_n}{b_n}-\frac{A}{B}\right| \leq \frac{2}{|B|^2} \left( |B|\,|a_n-A|+|A|\,|b_n-B| \right). \]
Fijemos ahora \(\varepsilon>0\). Como \(a_n\to A\), existe \(N_1\in\mathbb{N}\) tal que, para todo \(n\geq N_1\),
\[ |a_n-A|<\frac{\varepsilon |B|}{4}. \]
Como \(b_n\to B\), existe \(N_2\in\mathbb{N}\) tal que, para todo \(n\geq N_2\),
\[ |b_n-B|<\frac{\varepsilon |B|^2}{4(|A|+1)}. \]
Tomemos
\[ N=\max\{N_0,N_1,N_2\}. \]
Entonces, para todo \(n\geq N\), se cumplen todas las estimaciones anteriores. En particular,
\[ |B|\,|a_n-A| < |B|\cdot\frac{\varepsilon |B|}{4} = \frac{\varepsilon |B|^2}{4}. \]
Además,
\[ |A|\,|b_n-B| \leq |A|\frac{\varepsilon |B|^2}{4(|A|+1)} = \frac{|A|}{|A|+1}\cdot\frac{\varepsilon |B|^2}{4} < \frac{\varepsilon |B|^2}{4}. \]
Sumando,
\[ |B|\,|a_n-A|+|A|\,|b_n-B| < \frac{\varepsilon |B|^2}{4} + \frac{\varepsilon |B|^2}{4} = \frac{\varepsilon |B|^2}{2}. \]
Por lo tanto,
\[ \left|\frac{a_n}{b_n}-\frac{A}{B}\right| < \frac{2}{|B|^2}\cdot\frac{\varepsilon |B|^2}{2} = \varepsilon. \]
Por definición de límite,
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{A}{B}. \]
Observaciones sobre las formas indeterminadas
Las reglas anteriores se han demostrado en el caso en que las sucesiones \((a_n)\) y \((b_n)\) tienen límites reales finitos. En este contexto, las operaciones se comportan de manera natural:
\[ a_n\to A,\quad b_n\to B \quad\Longrightarrow\quad a_n+b_n\to A+B, \]
\[ a_n b_n\to AB, \]
y, si \(B\neq0\),
\[ \frac{a_n}{b_n}\to\frac{A}{B}. \]
Sin embargo, hay que tener cuidado cuando aparecen límites infinitos o cocientes en los que el denominador tiende a cero. En estos casos no siempre es posible aplicar directamente las reglas algebraicas.
Por ejemplo, las expresiones del tipo
\[ +\infty-\infty, \qquad 0\cdot\infty, \qquad \frac{0}{0}, \qquad \frac{+\infty}{+\infty} \]
se denominan formas indeterminadas. El término «indeterminada» significa que el mero conocimiento de los límites de las partes por separado no basta para determinar el límite de la expresión global.
Por ejemplo, si \(a_n\to+\infty\) y \(b_n\to+\infty\), el límite de \(a_n-b_n\) no queda determinado automáticamente. Puede ser un número real, puede ser \(+\infty\), puede ser \(-\infty\), o puede no existir.
Del mismo modo, si \(a_n\to0\) y \(b_n\to0\), el cociente
\[ \frac{a_n}{b_n} \]
puede comportarse de manera diferente según las sucesiones consideradas.
Por ejemplo,
\[ \frac{\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \frac{1}{n}}=1 \]
para todo \(n\in\mathbb{N}_{\ge 1}\), luego el límite es \(1\). En cambio,
\[ \frac{\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \frac{1}{n^2}}=n, \]
y por tanto el límite es \(+\infty\).
Esto muestra que la mera información de que «el numerador tiende a \(0\)» y «el denominador tiende a \(0\)» no basta para determinar el límite del cociente.
Por este motivo, las reglas para las operaciones con límites deben aplicarse únicamente cuando se cumplen las hipótesis de los teoremas correspondientes.
Ejemplos de operaciones con límites
Ejemplo 1 (límite de una suma). Consideremos la sucesión
\[ c_n=\frac{1}{n}+\frac{n}{n+1}, \qquad n\in\mathbb{N}_{\ge 1}. \]
Sabemos que
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}=0 \]
y
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n}{n+1}=1. \]
Por el límite de la suma,
\[ \lim_{n\to+\infty} \left( \frac{1}{n}+\frac{n}{n+1} \right) = 0+1 = 1. \]
Ejemplo 2 (límite de una diferencia). Consideremos la sucesión
\[ c_n=\frac{n}{n+1}-\frac{1}{n}, \qquad n\in\mathbb{N}_{\ge 1}. \]
Como
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n}{n+1}=1 \]
y
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}=0, \]
por el límite de la diferencia obtenemos
\[ \lim_{n\to+\infty} \left( \frac{n}{n+1}-\frac{1}{n} \right) = 1-0 = 1. \]
Ejemplo 3 (límite de un producto). Consideremos la sucesión
\[ c_n= \left(2+\frac{1}{n}\right) \left(3-\frac{1}{n}\right), \qquad n\in\mathbb{N}_{\ge 1}. \]
Tenemos
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(2+\frac{1}{n}\right)=2 \]
y
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(3-\frac{1}{n}\right)=3. \]
Por el límite del producto,
\[ \lim_{n\to+\infty} \left(2+\frac{1}{n}\right) \left(3-\frac{1}{n}\right) = 2\cdot3 = 6. \]
Ejemplo 4 (límite de un cociente). Consideremos la sucesión
\[ c_n= \frac{2+\displaystyle \frac{1}{n}}{3-\displaystyle \frac{1}{n}}, \qquad n\in\mathbb{N}_{\ge 1}. \]
El numerador tiende a \(2\), pues
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(2+\frac{1}{n}\right)=2. \]
El denominador tiende a \(3\), pues
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(3-\frac{1}{n}\right)=3. \]
Puesto que el límite del denominador es distinto de cero, podemos aplicar el límite del cociente:
\[ \lim_{n\to+\infty} \frac{2+\displaystyle \frac{1}{n}}{3-\displaystyle \frac{1}{n}} = \frac{2}{3}. \]
Ejemplo 5 (atención al cociente con denominador que tiende a cero). Consideremos la sucesión
\[ c_n=\frac{\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \frac{1}{n}}, \qquad n\in\mathbb{N}_{\ge 1}. \]
El numerador y el denominador tienden ambos a \(0\), pues
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}=0. \]
Sin embargo, no podemos aplicar directamente el teorema sobre el límite del cociente, porque el límite del denominador es \(0\).
En este caso, simplificando, obtenemos
\[ c_n=1 \]
para todo \(n\in\mathbb{N}_{\ge 1}\), luego
\[ \lim_{n\to+\infty}c_n=1. \]
Este ejemplo muestra que una forma del tipo \(\displaystyle \frac{0}{0}\) debe estudiarse por separado: no es posible determinar su límite aplicando automáticamente la regla del cociente, porque el límite del denominador es igual a \(0\).
En conclusión, las operaciones con límites permiten calcular muchos límites de sucesiones de manera sencilla y rigurosa, siempre que se respeten las hipótesis de los teoremas. En particular, para el límite del cociente es indispensable que el límite del denominador sea distinto de cero.