Las propiedades de los logaritmos permiten transformar expresiones complejas en formas más simples mediante las reglas del producto, del cociente y de la potencia. En esta colección se proponen 20 ejercicios de dificultad progresiva con resolución detallada y comentada.
Ejercicio 1 — nivel ★☆☆☆☆
\[ \log_2(4 \cdot 8) \]
Resultado
\[ 5 \]
Resolución
Aplicamos la propiedad del logaritmo de un producto:
\[ \log_2(4 \cdot 8) = \log_2 4 + \log_2 8 \]
Calculamos cada logaritmo por separado: \[ \log_2 4 = 2, \quad \log_2 8 = 3 \]
Sumamos los resultados: \[ 2 + 3 = 5 \]
Ejercicio 2 — nivel ★☆☆☆☆
\[ \log_3\left(\frac{81}{3}\right) \]
Resultado
\[ 3 \]
Resolución
Empleamos la propiedad del cociente:
\[ \log_3\left(\frac{81}{3}\right) = \log_3 81 - \log_3 3 \]
Calculamos los logaritmos: \[ \log_3 81 = 4, \quad \log_3 3 = 1 \]
Restamos: \[ 4 - 1 = 3 \]
Ejercicio 3 — nivel ★☆☆☆☆
\[ \log_5(25^3) \]
Resultado
\[ 6 \]
Resolución
Aplicamos la propiedad de la potencia:
\[ \log_5(25^3) = 3\log_5 25 \]
Como \(25 = 5^2\), se tiene:
\[ \log_5 25 = 2 \]
Por tanto:
\[ 3 \cdot 2 = 6 \]
Ejercicio 4 — nivel ★★☆☆☆
\[ \log_2\sqrt{32} \]
Resultado
\[ \frac{5}{2} \]
Resolución
Reescribimos la raíz como potencia:
\[ \sqrt{32} = 32^{1/2} \]
Descomponemos el 32:
\[ 32 = 2^5 \]
De modo que:
\[ (2^5)^{1/2} = 2^{5/2} \]
Aplicamos el logaritmo:
\[ \log_2(2^{5/2}) = \frac{5}{2} \]
Ejercicio 5 — nivel ★★☆☆☆
\[ \log_3\left(\frac{1}{27}\right) \]
Resultado
\[ -3 \]
Resolución
Escribimos 27 como potencia de 3:
\[ 27 = 3^3 \Rightarrow \frac{1}{27} = 3^{-3} \]
Aplicamos el logaritmo:
\[ \log_3(3^{-3}) = -3 \]
Ejercicio 6 — nivel ★★☆☆☆
\[ \ln(e^2 \cdot \sqrt{e}) \]
Resultado
\[ \frac{5}{2} \]
Resolución
Reescribimos la raíz como potencia:
\[ \sqrt{e} = e^{1/2} \]
Aplicamos la propiedad del producto:
\[ e^2 \cdot e^{1/2} = e^{5/2} \]
Por último, aplicamos el logaritmo natural:
\[ \ln(e^{5/2}) = \frac{5}{2} \]
Ejercicio 7 — nivel ★★☆☆☆
\[ \log(100x) \]
Resultado
\[ 2 + \log x \]
Resolución
Aplicamos la propiedad del logaritmo de un producto:
\[ \log(100x) = \log 100 + \log x \]
Calculamos el valor del logaritmo numérico:
\[ \log 100 = 2 \]
Sustituyendo, obtenemos:
\[ 2 + \log x \]
Ejercicio 8 — nivel ★★★☆☆
\[ 2\log a + 3\log b \]
Resultado
\[ \log(a^2 b^3) \]
Resolución
Empleamos la propiedad de la potencia de los logaritmos:
\[ 2\log a = \log(a^2), \quad 3\log b = \log(b^3) \]
Reescribimos la expresión:
\[ \log(a^2) + \log(b^3) \]
Aplicamos la propiedad del producto:
\[ \log(a^2 b^3) \]
Ejercicio 9 — nivel ★★★☆☆
\[ \log_b\left(\frac{x^2}{y}\right) \]
Resultado
\[ 2\log_b x - \log_b y \]
Resolución
Aplicamos la propiedad del cociente:
\[ \log_b\left(\frac{x^2}{y}\right) = \log_b(x^2) - \log_b(y) \]
Empleamos la propiedad de la potencia:
\[ \log_b(x^2) = 2\log_b x \]
Sustituimos:
\[ 2\log_b x - \log_b y \]
Ejercicio 10 — nivel ★★★☆☆
\[ \log_4 8 \]
Resultado
\[ \frac{3}{2} \]
Resolución
Aplicamos la fórmula del cambio de base:
\[ \log_4 8 = \frac{\log_2 8}{\log_2 4} \]
Calculamos los logaritmos:
\[ \log_2 8 = 3, \quad \log_2 4 = 2 \]
Dividimos:
\[ \frac{3}{2} \]
Ejercicio 11 — nivel ★★★☆☆
\[ \log_2 6 + \log_2 4 - \log_2 3 \]
Resultado
\[ 3 \]
Resolución
Aplicamos las propiedades de la suma y de la diferencia:
\[ \log_2 6 + \log_2 4 = \log_2(24) \]
Restamos el tercer logaritmo:
\[ \log_2\left(\frac{24}{3}\right) \]
Simplificamos:
\[ \log_2 8 = 3 \]
Ejercicio 12 — nivel ★★★★☆
\[ \log_b \sqrt[3]{\frac{a}{b}} \]
Resultado
\[ \frac{1}{3}\log_b a - \frac{1}{3} \]
Resolución
Reescribimos la raíz como potencia:
\[ \sqrt[3]{\frac{a}{b}} = \left(\frac{a}{b}\right)^{1/3} \]
Aplicamos la propiedad de la potencia:
\[ \log_b\left(\frac{a}{b}\right)^{1/3} = \frac{1}{3}\log_b\left(\frac{a}{b}\right) \]
Empleamos la propiedad del cociente:
\[ \log_b a - \log_b b \]
Como \(\log_b b = 1\), sustituimos:
\[ \frac{1}{3}(\log_b a - 1) \]
Ejercicio 13 — nivel ★★★★☆
\[ \frac{1}{2}\log x - 2\log y - 3\log z \]
Resultado
\[ \log\left(\frac{\sqrt{x}}{y^2 z^3}\right) \]
Resolución
Aplicamos la propiedad de la potencia:
\[ \frac{1}{2}\log x = \log(x^{1/2}), \quad 2\log y = \log(y^2), \quad 3\log z = \log(z^3) \]
Reescribimos la expresión:
\[ \log(x^{1/2}) - \log(y^2) - \log(z^3) \]
Aplicamos las propiedades de los logaritmos:
\[ \log\left(\frac{x^{1/2}}{y^2 z^3}\right) \]
Ejercicio 14 — nivel ★★★★☆
\[ \log_2(x^2 - 1) - \log_2(x - 1) \]
Resultado
\[ \log_2(x+1), \quad x>1 \]
Resolución
Aplicamos la propiedad del cociente:
\[ \log_2\left(\frac{x^2 - 1}{x - 1}\right) \]
Factorizamos la diferencia de cuadrados:
\[ x^2 - 1 = (x-1)(x+1) \]
Simplificamos:
\[ \log_2(x+1) \]
Ejercicio 15 — nivel ★★★★☆
\[ \log_{1/2} 16 \]
Resultado
\[ -4 \]
Resolución
Aplicamos el cambio de base:
\[ \log_{1/2} 16 = \frac{\log_2 16}{\log_2(1/2)} \]
Calculamos los valores:
\[ \log_2 16 = 4, \quad \log_2(1/2) = -1 \]
Dividimos:
\[ -4 \]
Ejercicio 16 — nivel ★★★★★
\[ e^{-2\ln x} \]
Resultado
\[ \frac{1}{x^2} \]
Resolución
Empleamos la propiedad:
\[ -2\ln x = \ln(x^{-2}) \]
Reescribimos la expresión:
\[ e^{\ln(x^{-2})} \]
Simplificamos:
\[ x^{-2} = \frac{1}{x^2} \]
Ejercicio 17 — nivel ★★★★★
\[ \log \sqrt{x\sqrt{x}} \]
Resultado
\[ \frac{3}{4}\log x \]
Resolución
Reescribimos la raíz interior como potencia:
\[ \sqrt{x} = x^{1/2} \]
La expresión se transforma en:
\[ \sqrt{x \cdot x^{1/2}} \]
Sumamos los exponentes:
\[ x \cdot x^{1/2} = x^{3/2} \]
Aplicamos la raíz:
\[ (x^{3/2})^{1/2} = x^{3/4} \]
Aplicamos el logaritmo:
\[ \log(x^{3/4}) = \frac{3}{4}\log x \]
Ejercicio 18 — nivel ★★★★★
\[ (\log_3 5)(\log_5 9) \]
Resultado
\[ 2 \]
Resolución
Aplicamos la fórmula del cambio de base:
\[ \log_3 5 = \frac{\ln 5}{\ln 3}, \quad \log_5 9 = \frac{\ln 9}{\ln 5} \]
Multiplicamos las expresiones:
\[ \frac{\ln 5}{\ln 3} \cdot \frac{\ln 9}{\ln 5} \]
Simplificamos el factor común \(\ln 5\):
\[ \frac{\ln 9}{\ln 3} \]
Como \(9 = 3^2\), obtenemos:
\[ \log_3 9 = 2 \]
Ejercicio 19 — nivel ★★★★★
\[ \ln\left(\frac{e^x}{1+e^x}\right) \]
Resultado
\[ x - \ln(1+e^x) \]
Resolución
Aplicamos la propiedad del logaritmo de un cociente:
\[ \ln\left(\frac{e^x}{1+e^x}\right) = \ln(e^x) - \ln(1+e^x) \]
Simplificamos el primer término:
\[ \ln(e^x) = x \]
Obtenemos así:
\[ x - \ln(1+e^x) \]
Ejercicio 20 — nivel ★★★★★
\[ \log_b\left(\frac{1}{\sqrt[n]{b^m}}\right) \]
Resultado
\[ -\frac{m}{n} \]
Resolución
Reescribimos la raíz como potencia:
\[ \sqrt[n]{b^m} = b^{m/n} \]
Por tanto:
\[ \frac{1}{\sqrt[n]{b^m}} = b^{-m/n} \]
Aplicamos el logaritmo:
\[ \log_b(b^{-m/n}) = -\frac{m}{n} \]