Raccolta di esercizi sui sistemi di equazioni con metodi di sostituzione, eliminazione e riduzione. Include sistemi a 2 e 3 incognite, casi particolari (indeterminati/impossibili) e alcuni sistemi non lineari semplici.
Prima di iniziare, ricorda i metodi principali:
• Sostituzione: isola una variabile e sostituiscila nell'altra equazione.
• Eliminazione: moltiplica le equazioni per rendere i coefficienti di una variabile uguali o opposti, poi somma o sottrai.
• Riduzione: trasforma il sistema in forma scalinata (utile con tre variabili).
Verifica sempre le soluzioni sostituendole nelle equazioni originali.
Esercizio 1 — livello ★★☆☆☆
\[ \begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases} \]
Risultato
\( x = 3 \quad y = 2 \)
Svolgimento
Metodo di eliminazione (somma)
Sommando membro a membro si elimina \( y \):
\( (x + y) + (x - y) = 5 + 1 \implies 2x = 6 \implies x = 3 \)
Sostituendo nella prima equazione: \( 3 + y = 5 \implies y = 2 \).
Verifica
\( 3 + 2 = 5 \) e \( 3 - 2 = 1 \)
Risultato: \(\boxed{x = 3 \quad y = 2}\)
Esercizio 2 — livello ★★☆☆☆
\[ \begin{cases} x - 2y = 0 \\ x + y = 6 \end{cases} \]
Risultato
\( x = 4 \quad y = 2 \)
Svolgimento
Metodo di sostituzione
Dalla prima equazione: \( x = 2y \). Sostituendo nella seconda:
\( 2y + y = 6 \implies 3y = 6 \implies y = 2 \), quindi \( x = 4 \).
Verifica
\( 4 - 4 = 0 \) e \( 4 + 2 = 6 \)
Risultato: \(\boxed{x = 4 \quad y = 2}\)
Esercizio 3 — livello ★★☆☆☆
\[ \begin{cases} 3x + y = 10 \\ x + 3y = 6 \end{cases} \]
Risultato
\( x = 3 \quad y = 1 \)
Svolgimento
Metodo di sostituzione
Dalla prima: \( y = 10 - 3x \). Sostituendo nella seconda:
\( x + 3(10 - 3x) = 6 \implies x + 30 - 9x = 6 \implies -8x = -24 \implies x = 3 \)
Poi \( y = 10 - 9 = 1 \).
Verifica
\( 9 + 1 = 10 \) e \( 3 + 3 = 6 \)
Risultato: \(\boxed{x = 3 \quad y = 1}\)
Esercizio 4 — livello ★★☆☆☆
\[ \begin{cases} 5x + 2y = 14 \\ x + y = 4 \end{cases} \]
Risultato
\( x = 2 \quad y = 2 \)
Svolgimento
Metodo di sostituzione
Dalla seconda: \( x = 4 - y \). Sostituendo nella prima:
\( 5(4 - y) + 2y = 14 \implies 20 - 5y + 2y = 14 \implies -3y = -6 \implies y = 2 \)
Poi \( x = 4 - 2 = 2 \).
Verifica
\( 10 + 4 = 14 \) e \( 2 + 2 = 4 \)
Risultato: \(\boxed{x = 2 \quad y = 2}\)
Esercizio 5 — livello ★★★☆☆
\[ \begin{cases} 2x - 3y = 1 \\ 4x + y = 9 \end{cases} \]
Risultato
\( x = 2 \quad y = 1 \)
Svolgimento
Metodo di eliminazione
Moltiplichiamo la seconda equazione per 3 per rendere i coefficienti di \( y \) opposti:
\( \begin{cases} 2x - 3y = 1 \\ 12x + 3y = 27 \end{cases} \)
Sommando: \( 14x = 28 \implies x = 2 \). Poi \( y = 1 \).
Verifica
\( 4 - 3 = 1 \) e \( 8 + 1 = 9 \)
Risultato: \(\boxed{x = 2 \quad y = 1}\)
Esercizio 6 — livello ★★★☆☆
\[ \begin{cases} 3x + 2y = 12 \\ 5x - 2y = 4 \end{cases} \]
Risultato
\( x = 2 \quad y = 3 \)
Svolgimento
Metodo di eliminazione
I coefficienti di \( y \) sono già opposti. Sommando le equazioni:
\( 8x = 16 \implies x = 2 \). Poi \( y = 3 \).
Verifica
\( 6 + 6 = 12 \) e \( 10 - 6 = 4 \)
Risultato: \(\boxed{x = 2 \quad y = 3}\)
Esercizio 7 — livello ★★★☆☆
\[ \begin{cases} \dfrac{x}{3} + y = 3 \\ x + \dfrac{y}{2} = 4 \end{cases} \]
Risultato
\( x = 3 \quad y = 2 \)
Svolgimento
Eliminazione delle frazioni
Prima equazione ×3: \( x + 3y = 9 \)
Seconda equazione ×2: \( 2x + y = 8 \)
Dalla prima: \( x = 9 - 3y \). Sostituendo: \( 2(9 - 3y) + y = 8 \implies y = 2 \), quindi \( x = 3 \).
Verifica
\( 1 + 2 = 3 \) e \( 3 + 1 = 4 \)
Risultato: \(\boxed{x = 3 \quad y = 2}\)
Esercizio 8 — livello ★★★☆☆
\[ \begin{cases} 4x - 3y = -1 \\ 2x + 5y = 19 \end{cases} \]
Risultato
\( x = 2 \quad y = 3 \)
Svolgimento
Metodo di eliminazione
Seconda equazione ×2: \( 4x + 10y = 38 \). Sottraendo la prima:
\( 13y = 39 \implies y = 3 \). Poi \( x = 2 \).
Verifica
\( 8 - 9 = -1 \) e \( 4 + 15 = 19 \)
Risultato: \(\boxed{x = 2 \quad y = 3}\)
Esercizio 9 — livello ★★★☆☆
\[ \begin{cases} 2x + 3y = 6 \\ 4x + 6y = 12 \end{cases} \]
Risultato
Infinite soluzioni
Svolgimento
Analisi del sistema
Moltiplicando la prima per 2 si ottiene la seconda: le equazioni sono equivalenti (stessa retta).
Il sistema è indeterminato. Soluzioni: \( x = \frac{6 - 3t}{2} \), \( y = t \) con \( t \in \mathbb{R} \).
Risultato: \(\boxed{\text{Infinite soluzioni: } x = \dfrac{6-3t}{2},\ y = t \ (t \in \mathbb{R})}\)
Esercizio 10 — livello ★★★☆☆
\[ \begin{cases} 3x - y = 5 \\ 6x - 2y = 8 \end{cases} \]
Risultato
Nessuna soluzione
Svolgimento
Analisi del sistema
Moltiplicando la prima per 2: \( 6x - 2y = 10 \), che contraddice la seconda equazione.
Le rette sono parallele e distinte → sistema impossibile.
Risultato: \(\boxed{\text{Sistema impossibile — nessuna soluzione}}\)
Esercizio 11 — livello ★★★☆☆
\[ \begin{cases} \dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{3} = 4 \\ \dfrac{x}{4} - \dfrac{y}{6} = 0 \end{cases} \]
Risultato
\( x = 4 \quad y = 6 \)
Svolgimento
Eliminazione delle frazioni
Prima equazione ×6: \( 3x + 2y = 24 \)
Seconda equazione ×12: \( 3x - 2y = 0 \)
Metodo di eliminazione
Sommando le due equazioni si elimina \( y \):
\( 6x = 24 \implies x = 4 \)
Sostituendo nella seconda: \( 12 - 2y = 0 \implies y = 6 \).
Verifica
\( \dfrac{4}{2} + \dfrac{6}{3} = 2 + 2 = 4 \) e \( \dfrac{4}{4} - \dfrac{6}{6} = 1 - 1 = 0 \)
Risultato: \(\boxed{x = 4 \quad y = 6}\)
Esercizio 12 — livello ★★★☆☆
\[ \begin{cases} 7x - 2y = 16 \\ 3x + 4y = 2 \end{cases} \]
Risultato
\( x = 2 \quad y = -1 \)
Svolgimento
Metodo di eliminazione
Moltiplichiamo la prima equazione per 2 per rendere opposti i coefficienti di \( y \):
\( \begin{cases} 14x - 4y = 32 \\ 3x + 4y = 2 \end{cases} \)
Sommando: \( 17x = 34 \implies x = 2 \).
Sostituendo nella seconda: \( 6 + 4y = 2 \implies y = -1 \).
Verifica
\( 14 + 2 = 16 \) e \( 6 - 4 = 2 \)
Risultato: \(\boxed{x = 2 \quad y = -1}\)
Esercizio 13 — livello ★★★☆☆
\[ \begin{cases} 4x + 3y = 17 \\ 5x - 2y = 4 \end{cases} \]
Risultato
\( x = 2 \quad y = 3 \)
Svolgimento
Metodo di eliminazione (doppia moltiplicazione)
Per eliminare \( y \), moltiplichiamo la prima equazione per 2 e la seconda per 3:
\( \begin{cases} 8x + 6y = 34 \\ 15x - 6y = 12 \end{cases} \)
Sommando: \( 23x = 46 \implies x = 2 \).
Sostituendo nella prima: \( 8 + 3y = 17 \implies y = 3 \).
Verifica
\( 8 + 9 = 17 \) e \( 10 - 6 = 4 \)
Risultato: \(\boxed{x = 2 \quad y = 3}\)
Esercizio 14 — livello ★★★☆☆
\[ \begin{cases} 2(x + 1) - y = 5 \\ x - (y - 3) = 4 \end{cases} \]
Risultato
\( x = 2 \quad y = 1 \)
Svolgimento
Semplificazione preliminare
Sviluppando le parentesi:
\( 2x + 2 - y = 5 \implies 2x - y = 3 \)
\( x - y + 3 = 4 \implies x - y = 1 \)
Metodo di eliminazione
Sottraendo la seconda dalla prima:
\( (2x - y) - (x - y) = 3 - 1 \implies x = 2 \)
Poi \( y = x - 1 = 1 \).
Verifica
\( 2(3) - 1 = 5 \) e \( 2 - (1 - 3) = 4 \)
Risultato: \(\boxed{x = 2 \quad y = 1}\)
Esercizio 15 — livello ★★★☆☆
\[ \begin{cases} -2x + 3y = -1 \\ 5x - y = 9 \end{cases} \]
Risultato
\( x = 2 \quad y = 1 \)
Svolgimento
Metodo di sostituzione
Dalla seconda: \( y = 5x - 9 \). Sostituendo nella prima:
\( -2x + 3(5x - 9) = -1 \implies -2x + 15x - 27 = -1 \implies 13x = 26 \implies x = 2 \)
Poi \( y = 10 - 9 = 1 \).
Verifica
\( -4 + 3 = -1 \) e \( 10 - 1 = 9 \)
Risultato: \(\boxed{x = 2 \quad y = 1}\)
Esercizio 16 — livello ★★★★☆
Un padre ha 30 anni più del figlio. Tra 10 anni l'età del padre sarà il doppio di quella del figlio. Determinare le età attuali.
Risultato
Padre: 50 anni, figlio: 20 anni
Svolgimento
Impostazione del sistema
Indichiamo con \( p \) l'età del padre e con \( f \) quella del figlio:
\[ \begin{cases} p = f + 30 \\ p + 10 = 2(f + 10) \end{cases} \]
Metodo di sostituzione
Sostituendo \( p = f + 30 \) nella seconda:
\( (f + 30) + 10 = 2f + 20 \implies f + 40 = 2f + 20 \implies f = 20 \)
Quindi \( p = 20 + 30 = 50 \).
Verifica
Differenza attuale: \( 50 - 20 = 30 \). Tra 10 anni: \( 60 = 2 \cdot 30 \) ✓
Risultato: \(\boxed{\text{Padre } 50 \text{ anni}, \text{ figlio } 20 \text{ anni}}\)
Esercizio 17 — livello ★★★★☆
\[ \begin{cases} 7x + 3y = 27 \\ 2x + 5y = 16 \end{cases} \]
Risultato
\( x = 3 \quad y = 2 \)
Svolgimento
Metodo di eliminazione (doppia moltiplicazione)
Per eliminare \( y \), moltiplichiamo la prima per 5 e la seconda per 3:
\( \begin{cases} 35x + 15y = 135 \\ 6x + 15y = 48 \end{cases} \)
Sottraendo: \( 29x = 87 \implies x = 3 \).
Sostituendo nella prima originale: \( 21 + 3y = 27 \implies y = 2 \).
Verifica
\( 21 + 6 = 27 \) e \( 6 + 10 = 16 \)
Risultato: \(\boxed{x = 3 \quad y = 2}\)
Esercizio 18 — livello ★★★★☆
\[ \begin{cases} x + y + z = 6 \\ x - y + z = 2 \\ x + y - z = 0 \end{cases} \]
Risultato
\( x = 1 \quad y = 2 \quad z = 3 \)
Svolgimento
Metodo di eliminazione
Sottraendo la seconda dalla prima:
\( (x + y + z) - (x - y + z) = 6 - 2 \implies 2y = 4 \implies y = 2 \)
Sottraendo la terza dalla prima:
\( (x + y + z) - (x + y - z) = 6 - 0 \implies 2z = 6 \implies z = 3 \)
Sostituendo nella prima: \( x + 2 + 3 = 6 \implies x = 1 \).
Verifica
\( 1 + 2 + 3 = 6 \) ✓, \( 1 - 2 + 3 = 2 \) ✓, \( 1 + 2 - 3 = 0 \) ✓
Risultato: \(\boxed{x = 1 \quad y = 2 \quad z = 3}\)
Esercizio 19 — livello ★★★★☆
\[ \begin{cases} x + 2y + z = 7 \\ 2x + y + z = 8 \\ x + y + 2z = 9 \end{cases} \]
Risultato
\( x = 2 \quad y = 1 \quad z = 3 \)
Svolgimento
Metodo di eliminazione
Sottraendo la prima dalla seconda:
\( x - y = 1 \quad (\text{A}) \)
Sottraendo la prima dalla terza:
\( -y + z = 2 \implies z = y + 2 \quad (\text{B}) \)
Sostituendo \( z = y + 2 \) e \( x = y + 1 \) (da A) nella prima equazione:
\( (y + 1) + 2y + (y + 2) = 7 \implies 4y + 3 = 7 \implies y = 1 \)
Quindi \( x = 2 \) e \( z = 3 \).
Verifica
\( 2 + 2 + 3 = 7 \) ✓, \( 4 + 1 + 3 = 8 \) ✓, \( 2 + 1 + 6 = 9 \) ✓
Risultato: \(\boxed{x = 2 \quad y = 1 \quad z = 3}\)
Esercizio 20 — livello ★★★★☆
\[ \begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x + y - z = 1 \\ x - y + 2z = 5 \end{cases} \]
Risultato
\( x = 1 \quad y = 2 \quad z = 3 \)
Svolgimento
Metodo di riduzione
Sottraendo la prima dalla seconda:
\( x - 2z = -5 \implies x = 2z - 5 \quad (\text{A}) \)
Sommando la prima e la terza:
\( 2x + 3z = 11 \quad (\text{B}) \)
Sostituendo (A) in (B): \( 2(2z - 5) + 3z = 11 \implies 7z = 21 \implies z = 3 \).
Allora \( x = 6 - 5 = 1 \) e dalla prima \( y = 6 - 1 - 3 = 2 \).
Verifica
\( 1 + 2 + 3 = 6 \) ✓, \( 2 + 2 - 3 = 1 \) ✓, \( 1 - 2 + 6 = 5 \) ✓
Risultato: \(\boxed{x = 1 \quad y = 2 \quad z = 3}\)
Esercizio 21 — livello ★★★★☆
\[ \begin{cases} x + 2y + z = 8 \\ 2x + y + 3z = 9 \\ 3x + 4y + 2z = 20 \end{cases} \]
Risultato
\( x = 4 \quad y = \dfrac{11}{5} \quad z = -\dfrac{2}{5} \)
Svolgimento
Eliminazione di \( x \)
Calcoliamo \( 2 \cdot \text{Eq}_1 - \text{Eq}_2 \) per eliminare \( x \):
\( 2(x + 2y + z) - (2x + y + 3z) = 16 - 9 \implies 3y - z = 7 \quad (\text{A}) \)
Calcoliamo \( 3 \cdot \text{Eq}_1 - \text{Eq}_3 \):
\( 3(x + 2y + z) - (3x + 4y + 2z) = 24 - 20 \implies 2y + z = 4 \quad (\text{B}) \)
Risoluzione del sistema 2×2
Sommando (A) e (B):
\( 5y = 11 \implies y = \dfrac{11}{5} \)
Da (B): \( z = 4 - 2 \cdot \dfrac{11}{5} = \dfrac{20 - 22}{5} = -\dfrac{2}{5} \).
Dalla prima equazione originale: \( x = 8 - 2y - z = 8 - \dfrac{22}{5} + \dfrac{2}{5} = 8 - 4 = 4 \).
Verifica
Eq. 1: \( 4 + \dfrac{22}{5} - \dfrac{2}{5} = 4 + 4 = 8 \) ✓
Eq. 2: \( 8 + \dfrac{11}{5} - \dfrac{6}{5} = 8 + 1 = 9 \) ✓
Eq. 3: \( 12 + \dfrac{44}{5} - \dfrac{4}{5} = 12 + 8 = 20 \) ✓
Risultato: \(\boxed{x = 4 \quad y = \dfrac{11}{5} \quad z = -\dfrac{2}{5}}\)
Esercizio 22 — livello ★★★★★
\[ \begin{cases} 2x + y - z = 5 \\ x + 3y + 2z = 8 \\ 3x + 2y + 4z = 15 \end{cases} \]
Risultato
\( x = \dfrac{67}{25} \quad y = \dfrac{23}{25} \quad z = \dfrac{32}{25} \)
Svolgimento
Eliminazione di \( z \)
Calcoliamo \( 2 \cdot \text{Eq}_1 + \text{Eq}_2 \) per eliminare \( z \):
\( 2(2x + y - z) + (x + 3y + 2z) = 10 + 8 \implies 5x + 5y = 18 \quad (\text{A}) \)
Calcoliamo \( 4 \cdot \text{Eq}_1 + \text{Eq}_3 \):
\( 4(2x + y - z) + (3x + 2y + 4z) = 20 + 15 \implies 11x + 6y = 35 \quad (\text{B}) \)
Risoluzione del sistema 2×2
Da (A): \( x + y = \dfrac{18}{5} \), quindi \( y = \dfrac{18}{5} - x \).
Sostituendo in (B):
\( 11x + 6\left(\dfrac{18}{5} - x\right) = 35 \implies 11x + \dfrac{108}{5} - 6x = 35 \implies 5x = 35 - \dfrac{108}{5} = \dfrac{67}{5} \)
Quindi \( x = \dfrac{67}{25} \).
Allora \( y = \dfrac{18}{5} - \dfrac{67}{25} = \dfrac{90 - 67}{25} = \dfrac{23}{25} \).
Dalla prima equazione: \( z = 2x + y - 5 = \dfrac{134}{25} + \dfrac{23}{25} - \dfrac{125}{25} = \dfrac{32}{25} \).
Verifica
Eq. 2: \( \dfrac{67}{25} + \dfrac{69}{25} + \dfrac{64}{25} = \dfrac{200}{25} = 8 \) ✓
Eq. 3: \( \dfrac{201}{25} + \dfrac{46}{25} + \dfrac{128}{25} = \dfrac{375}{25} = 15 \) ✓
Risultato: \(\boxed{x = \dfrac{67}{25} \quad y = \dfrac{23}{25} \quad z = \dfrac{32}{25}}\)
Esercizio 23 — livello ★★★★★
\[ \begin{cases} x + y = 6 \\ 2x + ky = 12 \end{cases} \]
Risultato
Dipende dal valore di \( k \)
Svolgimento
Analisi con parametro
Sostituendo \( x = 6 - y \): \( (k - 2)y = 0 \).
- Se \( k \neq 2 \): soluzione unica \( x = 6 \), \( y = 0 \)
- Se \( k = 2 \): infinite soluzioni (\( x = 6 - t \), \( y = t \))
Risultato: \(\boxed{\text{Determinato se } k \neq 2;\ \text{Indeterminato se } k=2}\)
Esercizio 24 — livello ★★★★★
\[ \begin{cases} x + y = 5 \\ x^2 + y^2 = 13 \end{cases} \]
Risultato
\( (x,y) = (2,3) \) oppure \( (3,2) \)
Svolgimento
Metodo combinato
\( y = 5 - x \). Sostituendo: \( x^2 + (5 - x)^2 = 13 \implies x^2 - 5x + 6 = 0 \).
Soluzioni: \( x=2 \) (\( y=3 \)) e \( x=3 \) (\( y=2 \)).
Risultato: \(\boxed{(x,y)=(2,3)\ \text{oppure}\ (3,2)}\)
Esercizio 25 — livello ★★★★★
\[ \begin{cases} x + y + 2z = 9 \\ 2x - y + z = 8 \\ x + 2y - z = 6 \end{cases} \]
Risultato
\( x = \dfrac{49}{12} \quad y = \dfrac{7}{4} \quad z = \dfrac{19}{12} \)
Svolgimento
Eliminazione di \( y \)
Sommando \( \text{Eq}_1 + \text{Eq}_2 \) si elimina \( y \):
\( (x + y + 2z) + (2x - y + z) = 9 + 8 \implies 3x + 3z = 17 \quad (\text{A}) \)
Calcoliamo \( 2 \cdot \text{Eq}_2 + \text{Eq}_3 \) per eliminare ancora \( y \):
\( 2(2x - y + z) + (x + 2y - z) = 16 + 6 \implies 5x + z = 22 \quad (\text{B}) \)
Risoluzione del sistema 2×2
Da (A): \( z = \dfrac{17 - 3x}{3} \). Sostituendo in (B):
\( 5x + \dfrac{17 - 3x}{3} = 22 \implies 15x + 17 - 3x = 66 \implies 12x = 49 \implies x = \dfrac{49}{12} \)
Allora \( z = \dfrac{17 - \frac{49}{4}}{3} = \dfrac{\frac{68 - 49}{4}}{3} = \dfrac{19}{12} \).
Dalla prima equazione originale:
\( y = 9 - x - 2z = 9 - \dfrac{49}{12} - \dfrac{38}{12} = \dfrac{108 - 87}{12} = \dfrac{21}{12} = \dfrac{7}{4} \)
Verifica
Eq. 2: \( \dfrac{98}{12} - \dfrac{21}{12} + \dfrac{19}{12} = \dfrac{96}{12} = 8 \) ✓
Eq. 3: \( \dfrac{49}{12} + \dfrac{42}{12} - \dfrac{19}{12} = \dfrac{72}{12} = 6 \) ✓
Risultato: \(\boxed{x = \dfrac{49}{12} \quad y = \dfrac{7}{4} \quad z = \dfrac{19}{12}}\)