Colección de ejercicios sobre sistemas de ecuaciones con los métodos de sustitución, eliminación y reducción. Incluye sistemas de 2 y 3 incógnitas, casos particulares (compatibles indeterminados / incompatibles) y algunos sistemas no lineales sencillos.
Antes de empezar, recuerda los métodos principales:
• Sustitución: despeja una variable y reemplázala en la otra ecuación.
• Eliminación: multiplica las ecuaciones para que los coeficientes de una variable sean iguales u opuestos, y luego suma o resta.
• Reducción: lleva el sistema a forma escalonada (resulta útil con tres variables).
Comprueba siempre las soluciones sustituyéndolas en las ecuaciones originales.
Ejercicio 1 — nivel ★★☆☆☆
\[ \begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases} \]
Resultado
\( x = 3 \quad y = 2 \)
Desarrollo
Método de eliminación (suma)
Sumando miembro a miembro se elimina \( y \):
\( (x + y) + (x - y) = 5 + 1 \implies 2x = 6 \implies x = 3 \)
Sustituyendo en la primera ecuación: \( 3 + y = 5 \implies y = 2 \).
Comprobación
\( 3 + 2 = 5 \) y \( 3 - 2 = 1 \)
Resultado: \(\boxed{x = 3 \quad y = 2}\)
Ejercicio 2 — nivel ★★☆☆☆
\[ \begin{cases} x - 2y = 0 \\ x + y = 6 \end{cases} \]
Resultado
\( x = 4 \quad y = 2 \)
Desarrollo
Método de sustitución
De la primera ecuación obtenemos \( x = 2y \). Reemplazando en la segunda:
\( 2y + y = 6 \implies 3y = 6 \implies y = 2 \), de donde \( x = 4 \).
Comprobación
\( 4 - 4 = 0 \) y \( 4 + 2 = 6 \)
Resultado: \(\boxed{x = 4 \quad y = 2}\)
Ejercicio 3 — nivel ★★☆☆☆
\[ \begin{cases} 3x + y = 10 \\ x + 3y = 6 \end{cases} \]
Resultado
\( x = 3 \quad y = 1 \)
Desarrollo
Método de sustitución
Despejando en la primera: \( y = 10 - 3x \). Reemplazando en la segunda:
\( x + 3(10 - 3x) = 6 \implies x + 30 - 9x = 6 \implies -8x = -24 \implies x = 3 \)
A continuación, \( y = 10 - 9 = 1 \).
Comprobación
\( 9 + 1 = 10 \) y \( 3 + 3 = 6 \)
Resultado: \(\boxed{x = 3 \quad y = 1}\)
Ejercicio 4 — nivel ★★☆☆☆
\[ \begin{cases} 5x + 2y = 14 \\ x + y = 4 \end{cases} \]
Resultado
\( x = 2 \quad y = 2 \)
Desarrollo
Método de sustitución
Despejando en la segunda: \( x = 4 - y \). Reemplazando en la primera:
\( 5(4 - y) + 2y = 14 \implies 20 - 5y + 2y = 14 \implies -3y = -6 \implies y = 2 \)
Por tanto, \( x = 4 - 2 = 2 \).
Comprobación
\( 10 + 4 = 14 \) y \( 2 + 2 = 4 \)
Resultado: \(\boxed{x = 2 \quad y = 2}\)
Ejercicio 5 — nivel ★★★☆☆
\[ \begin{cases} 2x - 3y = 1 \\ 4x + y = 9 \end{cases} \]
Resultado
\( x = 2 \quad y = 1 \)
Desarrollo
Método de eliminación
Multiplicamos la segunda ecuación por 3 para que los coeficientes de \( y \) queden opuestos:
\( \begin{cases} 2x - 3y = 1 \\ 12x + 3y = 27 \end{cases} \)
Sumando: \( 14x = 28 \implies x = 2 \). De ahí \( y = 1 \).
Comprobación
\( 4 - 3 = 1 \) y \( 8 + 1 = 9 \)
Resultado: \(\boxed{x = 2 \quad y = 1}\)
Ejercicio 6 — nivel ★★★☆☆
\[ \begin{cases} 3x + 2y = 12 \\ 5x - 2y = 4 \end{cases} \]
Resultado
\( x = 2 \quad y = 3 \)
Desarrollo
Método de eliminación
Los coeficientes de \( y \) ya son opuestos. Sumando ambas ecuaciones:
\( 8x = 16 \implies x = 2 \). De ahí \( y = 3 \).
Comprobación
\( 6 + 6 = 12 \) y \( 10 - 6 = 4 \)
Resultado: \(\boxed{x = 2 \quad y = 3}\)
Ejercicio 7 — nivel ★★★☆☆
\[ \begin{cases} \dfrac{x}{3} + y = 3 \\ x + \dfrac{y}{2} = 4 \end{cases} \]
Resultado
\( x = 3 \quad y = 2 \)
Desarrollo
Eliminación de los denominadores
Primera ecuación ×3: \( x + 3y = 9 \)
Segunda ecuación ×2: \( 2x + y = 8 \)
Despejando en la primera: \( x = 9 - 3y \). Sustituyendo: \( 2(9 - 3y) + y = 8 \implies y = 2 \), por lo que \( x = 3 \).
Comprobación
\( 1 + 2 = 3 \) y \( 3 + 1 = 4 \)
Resultado: \(\boxed{x = 3 \quad y = 2}\)
Ejercicio 8 — nivel ★★★☆☆
\[ \begin{cases} 4x - 3y = -1 \\ 2x + 5y = 19 \end{cases} \]
Resultado
\( x = 2 \quad y = 3 \)
Desarrollo
Método de eliminación
Segunda ecuación ×2: \( 4x + 10y = 38 \). Restando la primera:
\( 13y = 39 \implies y = 3 \). Y entonces \( x = 2 \).
Comprobación
\( 8 - 9 = -1 \) y \( 4 + 15 = 19 \)
Resultado: \(\boxed{x = 2 \quad y = 3}\)
Ejercicio 9 — nivel ★★★☆☆
\[ \begin{cases} 2x + 3y = 6 \\ 4x + 6y = 12 \end{cases} \]
Resultado
Infinitas soluciones
Desarrollo
Análisis del sistema
Si multiplicamos la primera por 2 obtenemos exactamente la segunda: las dos ecuaciones son equivalentes (representan la misma recta).
El sistema es compatible indeterminado. Soluciones: \( x = \frac{6 - 3t}{2} \), \( y = t \) con \( t \in \mathbb{R} \).
Resultado: \(\boxed{\text{Infinitas soluciones: } x = \dfrac{6-3t}{2},\ y = t \ (t \in \mathbb{R})}\)
Ejercicio 10 — nivel ★★★☆☆
\[ \begin{cases} 3x - y = 5 \\ 6x - 2y = 8 \end{cases} \]
Resultado
Sin solución
Desarrollo
Análisis del sistema
Multiplicando la primera por 2: \( 6x - 2y = 10 \), que contradice la segunda ecuación.
Las rectas son paralelas y distintas → sistema incompatible.
Resultado: \(\boxed{\text{Sistema incompatible — no tiene solución}}\)
Ejercicio 11 — nivel ★★★☆☆
\[ \begin{cases} \dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{3} = 4 \\ \dfrac{x}{4} - \dfrac{y}{6} = 0 \end{cases} \]
Resultado
\( x = 4 \quad y = 6 \)
Desarrollo
Eliminación de los denominadores
Primera ecuación ×6: \( 3x + 2y = 24 \)
Segunda ecuación ×12: \( 3x - 2y = 0 \)
Método de eliminación
Sumando ambas ecuaciones se elimina \( y \):
\( 6x = 24 \implies x = 4 \)
Sustituyendo en la segunda: \( 12 - 2y = 0 \implies y = 6 \).
Comprobación
\( \dfrac{4}{2} + \dfrac{6}{3} = 2 + 2 = 4 \) y \( \dfrac{4}{4} - \dfrac{6}{6} = 1 - 1 = 0 \)
Resultado: \(\boxed{x = 4 \quad y = 6}\)
Ejercicio 12 — nivel ★★★☆☆
\[ \begin{cases} 7x - 2y = 16 \\ 3x + 4y = 2 \end{cases} \]
Resultado
\( x = 2 \quad y = -1 \)
Desarrollo
Método de eliminación
Multiplicamos la primera ecuación por 2 para hacer opuestos los coeficientes de \( y \):
\( \begin{cases} 14x - 4y = 32 \\ 3x + 4y = 2 \end{cases} \)
Sumando: \( 17x = 34 \implies x = 2 \).
Sustituyendo en la segunda: \( 6 + 4y = 2 \implies y = -1 \).
Comprobación
\( 14 + 2 = 16 \) y \( 6 - 4 = 2 \)
Resultado: \(\boxed{x = 2 \quad y = -1}\)
Ejercicio 13 — nivel ★★★☆☆
\[ \begin{cases} 4x + 3y = 17 \\ 5x - 2y = 4 \end{cases} \]
Resultado
\( x = 2 \quad y = 3 \)
Desarrollo
Método de eliminación (doble multiplicación)
Para eliminar \( y \), multiplicamos la primera ecuación por 2 y la segunda por 3:
\( \begin{cases} 8x + 6y = 34 \\ 15x - 6y = 12 \end{cases} \)
Sumando: \( 23x = 46 \implies x = 2 \).
Sustituyendo en la primera: \( 8 + 3y = 17 \implies y = 3 \).
Comprobación
\( 8 + 9 = 17 \) y \( 10 - 6 = 4 \)
Resultado: \(\boxed{x = 2 \quad y = 3}\)
Ejercicio 14 — nivel ★★★☆☆
\[ \begin{cases} 2(x + 1) - y = 5 \\ x - (y - 3) = 4 \end{cases} \]
Resultado
\( x = 2 \quad y = 1 \)
Desarrollo
Simplificación previa
Desarrollando los paréntesis:
\( 2x + 2 - y = 5 \implies 2x - y = 3 \)
\( x - y + 3 = 4 \implies x - y = 1 \)
Método de eliminación
Restando la segunda de la primera:
\( (2x - y) - (x - y) = 3 - 1 \implies x = 2 \)
Y, en consecuencia, \( y = x - 1 = 1 \).
Comprobación
\( 2(3) - 1 = 5 \) y \( 2 - (1 - 3) = 4 \)
Resultado: \(\boxed{x = 2 \quad y = 1}\)
Ejercicio 15 — nivel ★★★☆☆
\[ \begin{cases} -2x + 3y = -1 \\ 5x - y = 9 \end{cases} \]
Resultado
\( x = 2 \quad y = 1 \)
Desarrollo
Método de sustitución
Despejando en la segunda: \( y = 5x - 9 \). Sustituyendo en la primera:
\( -2x + 3(5x - 9) = -1 \implies -2x + 15x - 27 = -1 \implies 13x = 26 \implies x = 2 \)
Y entonces \( y = 10 - 9 = 1 \).
Comprobación
\( -4 + 3 = -1 \) y \( 10 - 1 = 9 \)
Resultado: \(\boxed{x = 2 \quad y = 1}\)
Ejercicio 16 — nivel ★★★★☆
Un padre tiene 30 años más que su hijo. Dentro de 10 años la edad del padre será el doble que la del hijo. Determinar las edades actuales.
Resultado
Padre: 50 años; hijo: 20 años
Desarrollo
Planteamiento del sistema
Llamamos \( p \) a la edad del padre y \( h \) a la del hijo:
\[ \begin{cases} p = h + 30 \\ p + 10 = 2(h + 10) \end{cases} \]
Método de sustitución
Reemplazando \( p = h + 30 \) en la segunda:
\( (h + 30) + 10 = 2h + 20 \implies h + 40 = 2h + 20 \implies h = 20 \)
Por tanto, \( p = 20 + 30 = 50 \).
Comprobación
Diferencia actual: \( 50 - 20 = 30 \). Dentro de 10 años: \( 60 = 2 \cdot 30 \) ✓
Resultado: \(\boxed{\text{Padre: } 50 \text{ años; hijo: } 20 \text{ años}}\)
Ejercicio 17 — nivel ★★★★☆
\[ \begin{cases} 7x + 3y = 27 \\ 2x + 5y = 16 \end{cases} \]
Resultado
\( x = 3 \quad y = 2 \)
Desarrollo
Método de eliminación (doble multiplicación)
Para eliminar \( y \) multiplicamos la primera por 5 y la segunda por 3:
\( \begin{cases} 35x + 15y = 135 \\ 6x + 15y = 48 \end{cases} \)
Restando: \( 29x = 87 \implies x = 3 \).
Sustituyendo en la primera ecuación original: \( 21 + 3y = 27 \implies y = 2 \).
Comprobación
\( 21 + 6 = 27 \) y \( 6 + 10 = 16 \)
Resultado: \(\boxed{x = 3 \quad y = 2}\)
Ejercicio 18 — nivel ★★★★☆
\[ \begin{cases} x + y + z = 6 \\ x - y + z = 2 \\ x + y - z = 0 \end{cases} \]
Resultado
\( x = 1 \quad y = 2 \quad z = 3 \)
Desarrollo
Método de eliminación
Restando la segunda de la primera:
\( (x + y + z) - (x - y + z) = 6 - 2 \implies 2y = 4 \implies y = 2 \)
Restando la tercera de la primera:
\( (x + y + z) - (x + y - z) = 6 - 0 \implies 2z = 6 \implies z = 3 \)
Sustituyendo en la primera: \( x + 2 + 3 = 6 \implies x = 1 \).
Comprobación
\( 1 + 2 + 3 = 6 \) ✓, \( 1 - 2 + 3 = 2 \) ✓, \( 1 + 2 - 3 = 0 \) ✓
Resultado: \(\boxed{x = 1 \quad y = 2 \quad z = 3}\)
Ejercicio 19 — nivel ★★★★☆
\[ \begin{cases} x + 2y + z = 7 \\ 2x + y + z = 8 \\ x + y + 2z = 9 \end{cases} \]
Resultado
\( x = 2 \quad y = 1 \quad z = 3 \)
Desarrollo
Método de eliminación
Restando la primera de la segunda:
\( x - y = 1 \quad (\text{A}) \)
Restando la primera de la tercera:
\( -y + z = 2 \implies z = y + 2 \quad (\text{B}) \)
Sustituyendo \( z = y + 2 \) y \( x = y + 1 \) (de A) en la primera ecuación:
\( (y + 1) + 2y + (y + 2) = 7 \implies 4y + 3 = 7 \implies y = 1 \)
Por tanto, \( x = 2 \) y \( z = 3 \).
Comprobación
\( 2 + 2 + 3 = 7 \) ✓, \( 4 + 1 + 3 = 8 \) ✓, \( 2 + 1 + 6 = 9 \) ✓
Resultado: \(\boxed{x = 2 \quad y = 1 \quad z = 3}\)
Ejercicio 20 — nivel ★★★★☆
\[ \begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x + y - z = 1 \\ x - y + 2z = 5 \end{cases} \]
Resultado
\( x = 1 \quad y = 2 \quad z = 3 \)
Desarrollo
Método de reducción
Restando la primera de la segunda:
\( x - 2z = -5 \implies x = 2z - 5 \quad (\text{A}) \)
Sumando la primera y la tercera:
\( 2x + 3z = 11 \quad (\text{B}) \)
Sustituyendo (A) en (B): \( 2(2z - 5) + 3z = 11 \implies 7z = 21 \implies z = 3 \).
Entonces \( x = 6 - 5 = 1 \) y, de la primera ecuación, \( y = 6 - 1 - 3 = 2 \).
Comprobación
\( 1 + 2 + 3 = 6 \) ✓, \( 2 + 2 - 3 = 1 \) ✓, \( 1 - 2 + 6 = 5 \) ✓
Resultado: \(\boxed{x = 1 \quad y = 2 \quad z = 3}\)
Ejercicio 21 — nivel ★★★★☆
\[ \begin{cases} x + 2y + z = 8 \\ 2x + y + 3z = 9 \\ 3x + 4y + 2z = 20 \end{cases} \]
Resultado
\( x = 4 \quad y = \dfrac{11}{5} \quad z = -\dfrac{2}{5} \)
Desarrollo
Eliminación de \( x \)
Calculamos \( 2 \cdot \text{Ec.}_1 - \text{Ec.}_2 \) para eliminar \( x \):
\( 2(x + 2y + z) - (2x + y + 3z) = 16 - 9 \implies 3y - z = 7 \quad (\text{A}) \)
Calculamos \( 3 \cdot \text{Ec.}_1 - \text{Ec.}_3 \):
\( 3(x + 2y + z) - (3x + 4y + 2z) = 24 - 20 \implies 2y + z = 4 \quad (\text{B}) \)
Resolución del sistema 2×2
Sumando (A) y (B):
\( 5y = 11 \implies y = \dfrac{11}{5} \)
De (B): \( z = 4 - 2 \cdot \dfrac{11}{5} = \dfrac{20 - 22}{5} = -\dfrac{2}{5} \).
De la primera ecuación original: \( x = 8 - 2y - z = 8 - \dfrac{22}{5} + \dfrac{2}{5} = 8 - 4 = 4 \).
Comprobación
Ec. 1: \( 4 + \dfrac{22}{5} - \dfrac{2}{5} = 4 + 4 = 8 \) ✓
Ec. 2: \( 8 + \dfrac{11}{5} - \dfrac{6}{5} = 8 + 1 = 9 \) ✓
Ec. 3: \( 12 + \dfrac{44}{5} - \dfrac{4}{5} = 12 + 8 = 20 \) ✓
Resultado: \(\boxed{x = 4 \quad y = \dfrac{11}{5} \quad z = -\dfrac{2}{5}}\)
Ejercicio 22 — nivel ★★★★★
\[ \begin{cases} 2x + y - z = 5 \\ x + 3y + 2z = 8 \\ 3x + 2y + 4z = 15 \end{cases} \]
Resultado
\( x = \dfrac{67}{25} \quad y = \dfrac{23}{25} \quad z = \dfrac{32}{25} \)
Desarrollo
Eliminación de \( z \)
Calculamos \( 2 \cdot \text{Ec.}_1 + \text{Ec.}_2 \) para eliminar \( z \):
\( 2(2x + y - z) + (x + 3y + 2z) = 10 + 8 \implies 5x + 5y = 18 \quad (\text{A}) \)
Calculamos \( 4 \cdot \text{Ec.}_1 + \text{Ec.}_3 \):
\( 4(2x + y - z) + (3x + 2y + 4z) = 20 + 15 \implies 11x + 6y = 35 \quad (\text{B}) \)
Resolución del sistema 2×2
De (A): \( x + y = \dfrac{18}{5} \), por lo que \( y = \dfrac{18}{5} - x \).
Sustituyendo en (B):
\( 11x + 6\left(\dfrac{18}{5} - x\right) = 35 \implies 11x + \dfrac{108}{5} - 6x = 35 \implies 5x = 35 - \dfrac{108}{5} = \dfrac{67}{5} \)
Por tanto \( x = \dfrac{67}{25} \).
Entonces \( y = \dfrac{18}{5} - \dfrac{67}{25} = \dfrac{90 - 67}{25} = \dfrac{23}{25} \).
De la primera ecuación: \( z = 2x + y - 5 = \dfrac{134}{25} + \dfrac{23}{25} - \dfrac{125}{25} = \dfrac{32}{25} \).
Comprobación
Ec. 2: \( \dfrac{67}{25} + \dfrac{69}{25} + \dfrac{64}{25} = \dfrac{200}{25} = 8 \) ✓
Ec. 3: \( \dfrac{201}{25} + \dfrac{46}{25} + \dfrac{128}{25} = \dfrac{375}{25} = 15 \) ✓
Resultado: \(\boxed{x = \dfrac{67}{25} \quad y = \dfrac{23}{25} \quad z = \dfrac{32}{25}}\)
Ejercicio 23 — nivel ★★★★★
\[ \begin{cases} x + y = 6 \\ 2x + ky = 12 \end{cases} \]
Resultado
Depende del valor de \( k \)
Desarrollo
Discusión con parámetro
Sustituyendo \( x = 6 - y \): \( (k - 2)y = 0 \).
- Si \( k \neq 2 \): solución única \( x = 6 \), \( y = 0 \) (sistema compatible determinado)
- Si \( k = 2 \): infinitas soluciones \( (x = 6 - t,\ y = t) \) (sistema compatible indeterminado)
Resultado: \(\boxed{\text{Compatible determinado si } k \neq 2;\ \text{Compatible indeterminado si } k=2}\)
Ejercicio 24 — nivel ★★★★★
\[ \begin{cases} x + y = 5 \\ x^2 + y^2 = 13 \end{cases} \]
Resultado
\( (x,y) = (2,3) \) o bien \( (3,2) \)
Desarrollo
Método combinado
\( y = 5 - x \). Sustituyendo: \( x^2 + (5 - x)^2 = 13 \implies x^2 - 5x + 6 = 0 \).
Soluciones: \( x=2 \) (\( y=3 \)) y \( x=3 \) (\( y=2 \)).
Resultado: \(\boxed{(x,y)=(2,3)\ \text{o bien}\ (3,2)}\)
Ejercicio 25 — nivel ★★★★★
\[ \begin{cases} x + y + 2z = 9 \\ 2x - y + z = 8 \\ x + 2y - z = 6 \end{cases} \]
Resultado
\( x = \dfrac{49}{12} \quad y = \dfrac{7}{4} \quad z = \dfrac{19}{12} \)
Desarrollo
Eliminación de \( y \)
Sumando \( \text{Ec.}_1 + \text{Ec.}_2 \) eliminamos \( y \):
\( (x + y + 2z) + (2x - y + z) = 9 + 8 \implies 3x + 3z = 17 \quad (\text{A}) \)
Calculamos \( 2 \cdot \text{Ec.}_2 + \text{Ec.}_3 \) para eliminar de nuevo \( y \):
\( 2(2x - y + z) + (x + 2y - z) = 16 + 6 \implies 5x + z = 22 \quad (\text{B}) \)
Resolución del sistema 2×2
De (A): \( z = \dfrac{17 - 3x}{3} \). Sustituyendo en (B):
\( 5x + \dfrac{17 - 3x}{3} = 22 \implies 15x + 17 - 3x = 66 \implies 12x = 49 \implies x = \dfrac{49}{12} \)
Entonces \( z = \dfrac{17 - \frac{49}{4}}{3} = \dfrac{\frac{68 - 49}{4}}{3} = \dfrac{19}{12} \).
De la primera ecuación original:
\( y = 9 - x - 2z = 9 - \dfrac{49}{12} - \dfrac{38}{12} = \dfrac{108 - 87}{12} = \dfrac{21}{12} = \dfrac{7}{4} \)
Comprobación
Ec. 2: \( \dfrac{98}{12} - \dfrac{21}{12} + \dfrac{19}{12} = \dfrac{96}{12} = 8 \) ✓
Ec. 3: \( \dfrac{49}{12} + \dfrac{42}{12} - \dfrac{19}{12} = \dfrac{72}{12} = 6 \) ✓
Resultado: \(\boxed{x = \dfrac{49}{12} \quad y = \dfrac{7}{4} \quad z = \dfrac{19}{12}}\)