Una colección progresiva de ejercicios resueltos paso a paso para aprender a determinar el dominio, aplicar correctamente las propiedades de los logaritmos y verificar las soluciones obtenidas.
Ejercicio 1 — nivel ★☆☆☆☆
\[ \log_2 x = 3 \]
Resultado
\[ x=8 \]
Resolución
Dominio
El argumento del logaritmo debe ser positivo: \[ x>0 \]
Resolución
Pasamos de la forma logarítmica a la forma exponencial: \[ \log_2 x=3 \iff x=2^3 \]
Por lo tanto: \[ x=8 \]
Verificación
La solución cumple la condición del dominio, ya que: \[ 8>0 \]
Además: \[ \log_2 8=3 \]
Por lo tanto: \[ \boxed{x=8} \]
Ejercicio 2 — nivel ★☆☆☆☆
\[ \log_3(x-1)=2 \]
Resultado
\[ x=10 \]
Resolución
Dominio
El argumento del logaritmo debe ser positivo: \[ x-1>0 \] \[ x>1 \]
Resolución
Transformamos la ecuación logarítmica en su forma exponencial: \[ \log_3(x-1)=2 \iff x-1=3^2 \]
Entonces: \[ x-1=9 \] \[ x=10 \]
Verificación
La solución pertenece al dominio, ya que: \[ 10>1 \]
Además: \[ \log_3(10-1)=\log_3 9=2 \]
Por lo tanto: \[ \boxed{x=10} \]
Ejercicio 3 — nivel ★☆☆☆☆
\[ \log_{10}(2x)=1 \]
Resultado
\[ x=5 \]
Resolución
Dominio
El argumento del logaritmo debe ser positivo: \[ 2x>0 \] \[ x>0 \]
Resolución
Pasamos de la forma logarítmica a la forma exponencial: \[ \log_{10}(2x)=1 \iff 2x=10^1 \]
Entonces: \[ 2x=10 \] \[ x=5 \]
Verificación
La solución cumple la condición del dominio, ya que: \[ 5>0 \]
Además: \[ \log_{10}(2\cdot 5)=\log_{10}10=1 \]
Por lo tanto: \[ \boxed{x=5} \]
Ejercicio 4 — nivel ★★☆☆☆
\[ \log_2(x+3)=\log_2 7 \]
Resultado
\[ x=4 \]
Resolución
Dominio
El argumento del logaritmo debe ser positivo: \[ x+3>0 \] \[ x>-3 \]
Resolución
Los dos logaritmos tienen la misma base. Como la función logarítmica es inyectiva, podemos igualar los argumentos: \[ x+3=7 \]
Resolvemos: \[ x=4 \]
Verificación
La solución cumple la condición del dominio, ya que: \[ 4>-3 \]
Además: \[ \log_2(4+3)=\log_2 7 \]
Por lo tanto: \[ \boxed{x=4} \]
Ejercicio 5 — nivel ★★☆☆☆
\[ \log_5(3x-1)=\log_5(x+7) \]
Resultado
\[ x=4 \]
Resolución
Dominio
Los argumentos de los logaritmos deben ser positivos: \[ 3x-1>0 \] \[ x>\frac{1}{3} \] y \[ x+7>0 \] \[ x>-7 \]
Por lo tanto, el dominio es: \[ x>\frac{1}{3} \]
Resolución
Los logaritmos tienen la misma base. Igualamos los argumentos: \[ 3x-1=x+7 \]
Resolvemos: \[ 2x=8 \] \[ x=4 \]
Verificación
La solución cumple la condición del dominio, ya que: \[ 4>\frac{1}{3} \]
Además: \[ 3\cdot 4-1=11 \] \[ 4+7=11 \] de modo que los dos logaritmos tienen el mismo argumento.
Por lo tanto: \[ \boxed{x=4} \]
Ejercicio 6 — nivel ★★☆☆☆
\[ \log_2 x+\log_2 4=5 \]
Resultado
\[ x=8 \]
Resolución
Dominio
El único argumento que contiene la incógnita debe ser positivo: \[ x>0 \]
Resolución
Calculamos el logaritmo conocido: \[ \log_2 4=2 \]
La ecuación se convierte en: \[ \log_2 x+2=5 \]
Entonces: \[ \log_2 x=3 \]
Pasamos a la forma exponencial: \[ x=2^3=8 \]
Verificación
La solución cumple la condición del dominio, ya que: \[ 8>0 \]
Además: \[ \log_2 8+\log_2 4=3+2=5 \]
Por lo tanto: \[ \boxed{x=8} \]
Ejercicio 7 — nivel ★★☆☆☆
\[ \log_3 x+\log_3(x-2)=1 \]
Resultado
\[ x=3 \]
Resolución
Dominio
Los argumentos deben ser positivos: \[ x>0 \] \[ x-2>0 \]
Por lo tanto: \[ x>2 \]
Resolución
Aplicamos la propiedad del producto de logaritmos: \[ \log_a A+\log_a B=\log_a(AB) \]
Obtenemos: \[ \log_3[x(x-2)]=1 \]
Pasamos a la forma exponencial: \[ x(x-2)=3^1 \] \[ x(x-2)=3 \]
Desarrollamos: \[ x^2-2x=3 \] \[ x^2-2x-3=0 \]
Factorizamos: \[ (x-3)(x+1)=0 \]
Entonces: \[ x=3 \quad \text{o} \quad x=-1 \]
Verificación
El dominio exige \(x>2\). Por lo tanto: \[ x=-1 \] se descarta, mientras que \[ x=3 \] es aceptable.
En efecto: \[ \log_3 3+\log_3(3-2)=1+0=1 \]
Por lo tanto: \[ \boxed{x=3} \]
Ejercicio 8 — nivel ★★☆☆☆
\[ \log_2(x+1)+\log_2(x-1)=3 \]
Resultado
\[ x=3 \]
Resolución
Dominio
Los argumentos deben ser positivos: \[ x+1>0 \Rightarrow x>-1 \] \[ x-1>0 \Rightarrow x>1 \]
Por lo tanto: \[ x>1 \]
Resolución
Aplicamos la propiedad del producto: \[ \log_2(x+1)+\log_2(x-1)=\log_2[(x+1)(x-1)] \]
Entonces: \[ \log_2(x^2-1)=3 \]
Pasamos a la forma exponencial: \[ x^2-1=2^3 \] \[ x^2-1=8 \] \[ x^2=9 \]
Por lo tanto: \[ x=-3 \quad \text{o} \quad x=3 \]
Verificación
El dominio exige \(x>1\), por lo que \(x=-3\) se descarta.
Para \(x=3\): \[ \log_2(3+1)+\log_2(3-1)=\log_2 4+\log_2 2=2+1=3 \]
Por lo tanto: \[ \boxed{x=3} \]
Ejercicio 9 — nivel ★★★☆☆
\[ \log_4(x+6)-\log_4 x=1 \]
Resultado
\[ x=2 \]
Resolución
Dominio
Los argumentos deben ser positivos: \[ x+6>0 \] \[ x>0 \]
La condición más restrictiva es: \[ x>0 \]
Resolución
Aplicamos la propiedad del cociente: \[ \log_a A-\log_a B=\log_a\left(\frac{A}{B}\right) \]
Obtenemos: \[ \log_4\left(\frac{x+6}{x}\right)=1 \]
Pasamos a la forma exponencial: \[ \frac{x+6}{x}=4^1 \] \[ \frac{x+6}{x}=4 \]
Como en el dominio \(x>0\), podemos multiplicar por \(x\): \[ x+6=4x \]
Resolvemos: \[ 6=3x \] \[ x=2 \]
Verificación
La solución cumple la condición del dominio, ya que: \[ 2>0 \]
Además: \[ \log_4(2+6)-\log_4 2=\log_4 8-\log_4 2=\log_4 4=1 \]
Por lo tanto: \[ \boxed{x=2} \]
Ejercicio 10 — nivel ★★★☆☆
\[ \log_2(x+2)-\log_2(x-1)=2 \]
Resultado
\[ x=2 \]
Resolución
Dominio
Los argumentos deben ser positivos: \[ x+2>0 \Rightarrow x>-2 \] \[ x-1>0 \Rightarrow x>1 \]
Por lo tanto: \[ x>1 \]
Resolución
Aplicamos la propiedad del cociente: \[ \log_2(x+2)-\log_2(x-1)=\log_2\left(\frac{x+2}{x-1}\right) \]
Entonces: \[ \log_2\left(\frac{x+2}{x-1}\right)=2 \]
Pasamos a la forma exponencial: \[ \frac{x+2}{x-1}=2^2 \] \[ \frac{x+2}{x-1}=4 \]
Como en el dominio \(x>1\), entonces \(x-1>0\), por lo que podemos multiplicar por \(x-1\): \[ x+2=4(x-1) \]
Desarrollamos: \[ x+2=4x-4 \] \[ 6=3x \] \[ x=2 \]
Verificación
La solución cumple la condición del dominio, ya que: \[ 2>1 \]
Además: \[ \log_2(2+2)-\log_2(2-1)=\log_2 4-\log_2 1=2-0=2 \]
Por lo tanto: \[ \boxed{x=2} \]
Ejercicio 11 — nivel ★★★☆☆
\[ \log_3(x^2-4)=2 \]
Resultado
\[ x=-\sqrt{13} \quad \text{o} \quad x=\sqrt{13} \]
Resolución
Dominio
El argumento del logaritmo debe ser positivo: \[ x^2-4>0 \]
Factorizamos: \[ x^2-4=(x-2)(x+2) \]
Entonces: \[ (x-2)(x+2)>0 \]
El producto es positivo cuando los dos factores tienen el mismo signo: \[ x<-2 \quad \text{o} \quad x>2 \]
Resolución
Pasamos de la forma logarítmica a la forma exponencial: \[ \log_3(x^2-4)=2 \iff x^2-4=3^2 \]
Entonces: \[ x^2-4=9 \] \[ x^2=13 \]
Por lo tanto: \[ x=-\sqrt{13} \quad \text{o} \quad x=\sqrt{13} \]
Verificación
Ambas soluciones cumplen la condición del dominio, ya que: \[ -\sqrt{13}<-2 \] y \[ \sqrt{13}>2 \]
Además, en ambos casos: \[ x^2=13 \] de modo que: \[ \log_3(x^2-4)=\log_3(13-4)=\log_3 9=2 \]
Por lo tanto: \[ \boxed{x=-\sqrt{13} \quad \text{o} \quad x=\sqrt{13}} \]
Ejercicio 12 — nivel ★★★☆☆
\[ \log_2(x^2-5x+6)=1 \]
Resultado
\[ x=1 \quad \text{o} \quad x=4 \]
Resolución
Dominio
El argumento del logaritmo debe ser positivo: \[ x^2-5x+6>0 \]
Factorizamos el trinomio: \[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3) \]
Entonces: \[ (x-2)(x-3)>0 \]
El producto es positivo fuera del intervalo comprendido entre las dos raíces: \[ x<2 \quad \text{o} \quad x>3 \]
Resolución
Pasamos a la forma exponencial: \[ \log_2(x^2-5x+6)=1 \iff x^2-5x+6=2^1 \]
Entonces: \[ x^2-5x+6=2 \]
Trasponemos todo al primer miembro: \[ x^2-5x+4=0 \]
Factorizamos: \[ (x-1)(x-4)=0 \]
Entonces: \[ x=1 \quad \text{o} \quad x=4 \]
Verificación
Ambas soluciones cumplen la condición del dominio: \[ 1<2 \] y \[ 4>3 \]
Verificamos en la ecuación inicial.
Para \(x=1\): \[ \log_2(1^2-5\cdot 1+6)=\log_2 2=1 \]
Para \(x=4\): \[ \log_2(4^2-5\cdot 4+6)=\log_2 2=1 \]
Por lo tanto: \[ \boxed{x=1 \quad \text{o} \quad x=4} \]
Ejercicio 13 — nivel ★★★★☆
\[ \log_2 x+\log_2(x+2)=\log_2 15 \]
Resultado
\[ x=3 \]
Resolución
Dominio
Los argumentos de los logaritmos deben ser positivos: \[ x>0 \] y \[ x+2>0 \]
La condición más restrictiva es: \[ x>0 \]
Resolución
Aplicamos la propiedad del producto de logaritmos: \[ \log_2 x+\log_2(x+2)=\log_2[x(x+2)] \]
La ecuación se convierte en: \[ \log_2[x(x+2)]=\log_2 15 \]
Como los logaritmos tienen la misma base, igualamos los argumentos: \[ x(x+2)=15 \]
Desarrollamos: \[ x^2+2x=15 \] \[ x^2+2x-15=0 \]
Factorizamos: \[ (x+5)(x-3)=0 \]
Entonces: \[ x=-5 \quad \text{o} \quad x=3 \]
Verificación
El dominio exige \(x>0\), por lo que \(x=-5\) se descarta.
Para \(x=3\): \[ \log_2 3+\log_2(3+2)=\log_2 3+\log_2 5=\log_2 15 \]
Por lo tanto: \[ \boxed{x=3} \]
Ejercicio 14 — nivel ★★★★☆
\[ \log_3(x+1)+\log_3(x+3)=2 \]
Resultado
\[ x=-2+\sqrt{10} \]
Resolución
Dominio
Los argumentos deben ser positivos: \[ x+1>0 \Rightarrow x>-1 \] \[ x+3>0 \Rightarrow x>-3 \]
Por lo tanto, el dominio es: \[ x>-1 \]
Resolución
Aplicamos la propiedad del producto: \[ \log_3(x+1)+\log_3(x+3)=\log_3[(x+1)(x+3)] \]
Obtenemos: \[ \log_3[(x+1)(x+3)]=2 \]
Pasamos a la forma exponencial: \[ (x+1)(x+3)=3^2 \] \[ (x+1)(x+3)=9 \]
Desarrollamos: \[ x^2+4x+3=9 \] \[ x^2+4x-6=0 \]
Aplicamos la fórmula resolvente: \[ x=\frac{-4\pm\sqrt{4^2-4\cdot 1\cdot(-6)}}{2} \] \[ x=\frac{-4\pm\sqrt{16+24}}{2} \] \[ x=\frac{-4\pm\sqrt{40}}{2} \] \[ x=\frac{-4\pm 2\sqrt{10}}{2} \] \[ x=-2\pm\sqrt{10} \]
Verificación
El dominio exige \(x>-1\).
La solución \[ x=-2-\sqrt{10} \] es menor que \(-1\), por lo que se descarta.
La solución \[ x=-2+\sqrt{10} \] es mayor que \(-1\), por lo que es aceptable.
Además, por la resolución sabemos que: \[ (x+1)(x+3)=9 \] de modo que: \[ \log_3(x+1)+\log_3(x+3)=\log_3 9=2 \]
Por lo tanto: \[ \boxed{x=-2+\sqrt{10}} \]
Ejercicio 15 — nivel ★★★★☆
\[ \log_2(x+4)-\log_2(x-2)=1 \]
Resultado
\[ x=8 \]
Resolución
Dominio
Los argumentos deben ser positivos: \[ x+4>0 \Rightarrow x>-4 \] \[ x-2>0 \Rightarrow x>2 \]
Por lo tanto: \[ x>2 \]
Resolución
Aplicamos la propiedad del cociente: \[ \log_2(x+4)-\log_2(x-2)=\log_2\left(\frac{x+4}{x-2}\right) \]
Entonces: \[ \log_2\left(\frac{x+4}{x-2}\right)=1 \]
Pasamos a la forma exponencial: \[ \frac{x+4}{x-2}=2^1 \] \[ \frac{x+4}{x-2}=2 \]
Como en el dominio \(x>2\), entonces \(x-2>0\). Podemos por tanto multiplicar por \(x-2\): \[ x+4=2(x-2) \]
Desarrollamos: \[ x+4=2x-4 \] \[ x=8 \]
Verificación
La solución cumple la condición del dominio, ya que: \[ 8>2 \]
Además: \[ \log_2(8+4)-\log_2(8-2)=\log_2 12-\log_2 6=\log_2 2=1 \]
Por lo tanto: \[ \boxed{x=8} \]
Ejercicio 16 — nivel ★★★★☆
\[ \log x+\log(x-9)=1 \]
Resultado
\[ x=10 \]
Resolución
Dominio
Cuando la base no se indica, entendemos el logaritmo decimal: \[ \log x=\log_{10}x \]
Los argumentos deben ser positivos: \[ x>0 \] \[ x-9>0 \Rightarrow x>9 \]
Por lo tanto, el dominio es: \[ x>9 \]
Resolución
Aplicamos la propiedad del producto: \[ \log x+\log(x-9)=\log[x(x-9)] \]
Obtenemos: \[ \log[x(x-9)]=1 \]
Pasamos a la forma exponencial en base \(10\): \[ x(x-9)=10^1 \] \[ x(x-9)=10 \]
Desarrollamos: \[ x^2-9x=10 \] \[ x^2-9x-10=0 \]
Factorizamos: \[ (x-10)(x+1)=0 \]
Entonces: \[ x=10 \quad \text{o} \quad x=-1 \]
Verificación
El dominio exige \(x>9\), por lo que \(x=-1\) se descarta.
Para \(x=10\): \[ \log 10+\log(10-9)=\log 10+\log 1=1+0=1 \]
Por lo tanto: \[ \boxed{x=10} \]
Ejercicio 17 — nivel ★★★★★
\[ \log_2(x-1)+\log_2(x+1)=\log_2(2x+6) \]
Resultado
\[ x=1+2\sqrt{2} \]
Resolución
Dominio
Los argumentos deben ser positivos: \[ x-1>0 \Rightarrow x>1 \] \[ x+1>0 \Rightarrow x>-1 \] \[ 2x+6>0 \Rightarrow x>-3 \]
Por lo tanto, el dominio es: \[ x>1 \]
Resolución
Aplicamos la propiedad del producto en el primer miembro: \[ \log_2(x-1)+\log_2(x+1)=\log_2[(x-1)(x+1)] \]
La ecuación se convierte en: \[ \log_2[(x-1)(x+1)]=\log_2(2x+6) \]
Como los logaritmos tienen la misma base, igualamos los argumentos: \[ (x-1)(x+1)=2x+6 \]
Desarrollamos: \[ x^2-1=2x+6 \] \[ x^2-2x-7=0 \]
Aplicamos la fórmula resolvente: \[ x=\frac{2\pm\sqrt{(-2)^2-4\cdot 1\cdot(-7)}}{2} \] \[ x=\frac{2\pm\sqrt{4+28}}{2} \] \[ x=\frac{2\pm\sqrt{32}}{2} \] \[ x=1\pm 2\sqrt{2} \]
Verificación
El dominio exige \(x>1\).
La solución \[ x=1-2\sqrt{2} \] es menor que \(1\), por lo que se descarta.
La solución \[ x=1+2\sqrt{2} \] es mayor que \(1\), por lo que es aceptable.
Por lo tanto: \[ \boxed{x=1+2\sqrt{2}} \]
Ejercicio 18 — nivel ★★★★★
\[ \log_3 x+\log_3(x+6)=\log_3(7x+18) \]
Resultado
\[ x=\frac{1+\sqrt{73}}{2} \]
Resolución
Dominio
Los argumentos deben ser positivos: \[ x>0 \] \[ x+6>0 \Rightarrow x>-6 \] \[ 7x+18>0 \Rightarrow x>-\frac{18}{7} \]
La condición más restrictiva es: \[ x>0 \]
Resolución
Aplicamos la propiedad del producto en el primer miembro: \[ \log_3 x+\log_3(x+6)=\log_3[x(x+6)] \]
Entonces: \[ \log_3[x(x+6)]=\log_3(7x+18) \]
Igualamos los argumentos: \[ x(x+6)=7x+18 \]
Desarrollamos: \[ x^2+6x=7x+18 \] \[ x^2-x-18=0 \]
Aplicamos la fórmula resolvente: \[ x=\frac{1\pm\sqrt{(-1)^2-4\cdot 1\cdot(-18)}}{2} \] \[ x=\frac{1\pm\sqrt{1+72}}{2} \] \[ x=\frac{1\pm\sqrt{73}}{2} \]
Verificación
El dominio exige \(x>0\).
La solución \[ x=\frac{1-\sqrt{73}}{2} \] es negativa, por lo que se descarta.
La solución \[ x=\frac{1+\sqrt{73}}{2} \] es positiva, por lo que es aceptable.
Por lo tanto: \[ \boxed{x=\frac{1+\sqrt{73}}{2}} \]
Ejercicio 19 — nivel ★★★★★
\[ \log_2(x+2)+\log_2(x-2)=\log_2 12 \]
Resultado
\[ x=4 \]
Resolución
Dominio
Los argumentos deben ser positivos: \[ x+2>0 \Rightarrow x>-2 \] \[ x-2>0 \Rightarrow x>2 \]
Por lo tanto: \[ x>2 \]
Resolución
Aplicamos la propiedad del producto: \[ \log_2(x+2)+\log_2(x-2)=\log_2[(x+2)(x-2)] \]
La ecuación se convierte en: \[ \log_2[(x+2)(x-2)]=\log_2 12 \]
Igualamos los argumentos: \[ (x+2)(x-2)=12 \]
Aplicamos el producto notable: \[ x^2-4=12 \] \[ x^2=16 \]
Entonces: \[ x=-4 \quad \text{o} \quad x=4 \]
Verificación
El dominio exige \(x>2\), por lo que \(x=-4\) se descarta.
Para \(x=4\): \[ \log_2(4+2)+\log_2(4-2)=\log_2 6+\log_2 2=\log_2 12 \]
Por lo tanto: \[ \boxed{x=4} \]
Ejercicio 20 — nivel ★★★★★
\[ \log_3(x-2)+\log_3(x+2)=2 \]
Resultado
\[ x=\sqrt{13} \]
Resolución
Dominio
Los argumentos deben ser positivos: \[ x-2>0 \Rightarrow x>2 \] \[ x+2>0 \Rightarrow x>-2 \]
Por lo tanto, el dominio es: \[ x>2 \]
Resolución
Aplicamos la propiedad del producto: \[ \log_3(x-2)+\log_3(x+2)=\log_3[(x-2)(x+2)] \]
Obtenemos: \[ \log_3[(x-2)(x+2)]=2 \]
Pasamos a la forma exponencial: \[ (x-2)(x+2)=3^2 \] \[ (x-2)(x+2)=9 \]
Aplicamos el producto notable: \[ x^2-4=9 \] \[ x^2=13 \]
Entonces: \[ x=-\sqrt{13} \quad \text{o} \quad x=\sqrt{13} \]
Verificación
El dominio exige \(x>2\), por lo que \(x=-\sqrt{13}\) se descarta.
Como: \[ \sqrt{13}>2 \] la solución \(x=\sqrt{13}\) es aceptable.
Además: \[ (\sqrt{13}-2)(\sqrt{13}+2)=13-4=9 \] de modo que: \[ \log_3(\sqrt{13}-2)+\log_3(\sqrt{13}+2)=\log_3 9=2 \]
Por lo tanto: \[ \boxed{x=\sqrt{13}} \]