Una colección completa de 20 ejercicios resueltos sobre conjuntos numéricos: naturales, enteros, racionales, irracionales y reales. Cada ejercicio muestra cómo identificar correctamente los conjuntos a los que pertenece un número, explicando el razonamiento paso a paso.
Recordemos la cadena fundamental de inclusiones:
\[ \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \]
Además, el conjunto de los números irracionales es:
\[ \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \]
Ejercicio 1 — nivel ★☆☆☆☆
Clasifica el siguiente número:
\[ 7 \]
Resultado
\[ 7 \in \mathbb{N},\quad 7 \in \mathbb{Z},\quad 7 \in \mathbb{Q},\quad 7 \in \mathbb{R} \]
Resolución
Análisis del número
El número \(7\) es un entero positivo. Dado que pertenece al conjunto de los números naturales, se tiene:
\[ 7 \in \mathbb{N} \]
Pertenencia a los conjuntos más amplios
Todo número natural es también un número entero, luego:
\[ 7 \in \mathbb{Z} \]
Además, todo entero puede escribirse como fracción con denominador \(1\):
\[ 7=\frac{7}{1} \]
Por tanto, \(7\) es también racional:
\[ 7 \in \mathbb{Q} \]
Finalmente, todo número racional es un número real:
\[ 7 \in \mathbb{R} \]
Ejercicio 2 — nivel ★☆☆☆☆
Clasifica el siguiente número:
\[ -3 \]
Resultado
\[ -3 \in \mathbb{Z},\quad -3 \in \mathbb{Q},\quad -3 \in \mathbb{R} \]
\[ -3 \notin \mathbb{N} \]
Resolución
Exclusión de los números naturales
El número \(-3\) es negativo. Los números naturales son los que se utilizan para contar:
\[ \mathbb{N}=\{0,1,2,3,\dots\} \]
Por tanto:
\[ -3 \notin \mathbb{N} \]
Pertenencia a los enteros
El conjunto de los números enteros contiene los números naturales, sus opuestos y el cero:
\[ \mathbb{Z}=\{\dots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\dots\} \]
Así pues:
\[ -3 \in \mathbb{Z} \]
Pertenencia a los racionales y a los reales
Puesto que:
\[ -3=\frac{-3}{1} \]
el número \(-3\) es racional y, en consecuencia, también es real.
Ejercicio 3 — nivel ★☆☆☆☆
Clasifica el siguiente número:
\[ \frac{5}{2} \]
Resultado
\[ \frac{5}{2} \in \mathbb{Q},\quad \frac{5}{2} \in \mathbb{R} \]
\[ \frac{5}{2} \notin \mathbb{N},\quad \frac{5}{2} \notin \mathbb{Z} \]
Resolución
Verificación de la forma racional
Un número es racional si puede escribirse en la forma:
\[ \frac{a}{b},\quad a,b\in\mathbb{Z},\quad b\neq 0 \]
El número dado ya está expresado como cociente de dos enteros:
\[ \frac{5}{2} \]
por lo que:
\[ \frac{5}{2}\in\mathbb{Q} \]
Exclusión de los naturales y de los enteros
Calculando su valor decimal:
\[ \frac{5}{2}=2{,}5 \]
El número no es entero, de modo que no pertenece ni a \(\mathbb{N}\) ni a \(\mathbb{Z}\).
Ejercicio 4 — nivel ★★☆☆☆
Clasifica el siguiente número:
\[ \sqrt{2} \]
Resultado
\[ \sqrt{2}\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \]
Resolución
Análisis de la raíz
El número \(\sqrt{2}\) es la raíz cuadrada de \(2\). Como \(2\) no es un cuadrado perfecto, su raíz no es un número entero.
Naturaleza irracional
El número \(\sqrt{2}\) es el ejemplo clásico de número irracional: no puede expresarse como cociente de dos enteros.
Su desarrollo decimal es infinito y no periódico:
\[ \sqrt{2}=1{,}4142135\dots \]
Por tanto:
\[ \sqrt{2}\notin\mathbb{Q} \]
Sin embargo, \(\sqrt{2}\) es un número real, de modo que:
\[ \sqrt{2}\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \]
Ejercicio 5 — nivel ★★☆☆☆
Clasifica el siguiente número:
\[ 0 \]
Resultado
\[ 0\in\mathbb{N},\quad 0\in\mathbb{Z},\quad 0\in\mathbb{Q},\quad 0\in\mathbb{R} \]
Resolución
El papel del cero
Según la convención más extendida en la enseñanza matemática, el cero pertenece al conjunto de los números naturales:
\[ 0\in\mathbb{N} \]
Pertenencia a los demás conjuntos
El cero es también un número entero:
\[ 0\in\mathbb{Z} \]
Además, puede escribirse como fracción:
\[ 0=\frac{0}{1} \]
luego es racional:
\[ 0\in\mathbb{Q} \]
Al ser racional, es también real.
Ejercicio 6 — nivel ★★☆☆☆
Clasifica el siguiente número:
\[ -\frac{7}{4} \]
Resultado
\[ -\frac{7}{4}\in\mathbb{Q},\quad -\frac{7}{4}\in\mathbb{R} \]
Resolución
Forma fraccionaria
El número dado es una fracción con numerador y denominador enteros:
\[ -\frac{7}{4} \]
Como el denominador es distinto de cero, el número es racional:
\[ -\frac{7}{4}\in\mathbb{Q} \]
Por qué no es entero
Calculando su valor decimal:
\[ -\frac{7}{4}=-1{,}75 \]
El número no es entero, por lo que no pertenece a \(\mathbb{Z}\) ni, en consecuencia, a \(\mathbb{N}\).
Ejercicio 7 — nivel ★★☆☆☆
Clasifica el siguiente número:
\[ \pi \]
Resultado
\[ \pi\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \]
Resolución
Naturaleza del número \(\pi\)
El número \(\pi\) es un número real de gran importancia en geometría, definido como el cociente entre la longitud de una circunferencia y su diámetro.
Irracionalidad
El número \(\pi\) no puede expresarse como cociente de dos enteros. Su desarrollo decimal es infinito y no periódico:
\[ \pi=3{,}14159265\dots \]
Por tanto:
\[ \pi\notin\mathbb{Q} \]
Como \(\pi\) pertenece a la recta real, concluimos:
\[ \pi\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \]
Ejercicio 8 — nivel ★★☆☆☆
Clasifica el siguiente número:
\[ \sqrt{16} \]
Resultado
\[ \sqrt{16}=4 \]
\[ 4\in\mathbb{N},\quad 4\in\mathbb{Z},\quad 4\in\mathbb{Q},\quad 4\in\mathbb{R} \]
Resolución
Cálculo de la raíz
Antes de clasificar el número, conviene simplificarlo:
\[ \sqrt{16}=4 \]
En efecto:
\[ 4^2=16 \]
Clasificación
Como \(4\) es un número natural, pertenece también a todos los conjuntos siguientes:
\[ 4\in\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R} \]
Ejercicio 9 — nivel ★★★☆☆
Clasifica el siguiente número:
\[ 0{,}\overline{3} \]
Resultado
\[ 0{,}\overline{3}\in\mathbb{Q},\quad 0{,}\overline{3}\in\mathbb{R} \]
Resolución
Decimal periódico
El número \(0{,}\overline{3}\) es un decimal periódico puro, ya que la cifra \(3\) se repite indefinidamente:
\[ 0{,}\overline{3}=0{,}3333\dots \]
Conversión a fracción
Todo decimal exacto o periódico es un número racional. En este caso:
\[ 0{,}\overline{3}=\frac{1}{3} \]
Por tanto:
\[ 0{,}\overline{3}\in\mathbb{Q} \]
Al ser racional, pertenece también a \(\mathbb{R}\).
Ejercicio 10 — nivel ★★★☆☆
Clasifica el siguiente número:
\[ 3+\sqrt{2} \]
Resultado
\[ 3+\sqrt{2}\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \]
Resolución
Análisis de los términos
El número \(3\) es racional, ya que:
\[ 3=\frac{3}{1} \]
En cambio, el número \(\sqrt{2}\) es irracional:
\[ \sqrt{2}\notin\mathbb{Q} \]
Suma de un racional y un irracional
La suma de un número racional y un número irracional es siempre irracional.
En efecto, si \(3+\sqrt{2}\) fuera racional, restando el número racional \(3\) se obtendría:
\[ (3+\sqrt{2})-3=\sqrt{2} \]
lo que haría racional a \(\sqrt{2}\), en contradicción con lo ya sabido.
Por tanto:
\[ 3+\sqrt{2}\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \]
Ejercicio 11 — nivel ★★★☆☆
Clasifica el siguiente número:
\[ 2+\frac{1}{2} \]
Resultado
\[ 2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2} \]
\[ \frac{5}{2}\in\mathbb{Q},\quad \frac{5}{2}\in\mathbb{R} \]
Resolución
Suma de los términos
Expresamos \(2\) como fracción con denominador \(2\):
\[ 2=\frac{4}{2} \]
Entonces:
\[ 2+\frac{1}{2}=\frac{4}{2}+\frac{1}{2}=\frac{5}{2} \]
Clasificación
El número \(\frac{5}{2}\) es una fracción de enteros con denominador no nulo. Por tanto:
\[ \frac{5}{2}\in\mathbb{Q} \]
No es un entero, puesto que:
\[ \frac{5}{2}=2{,}5 \]
Ejercicio 12 — nivel ★★★☆☆
Clasifica el siguiente número:
\[ \sqrt{18} \]
Resultado
\[ \sqrt{18}=3\sqrt{2} \]
\[ \sqrt{18}\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \]
Resolución
Simplificación del radical
Descomponemos \(18\) extrayendo un cuadrado perfecto:
\[ 18=9\cdot 2 \]
Entonces:
\[ \sqrt{18}=\sqrt{9\cdot 2}=\sqrt{9}\sqrt{2}=3\sqrt{2} \]
Clasificación
El número \(\sqrt{2}\) es irracional. Al multiplicarlo por el racional no nulo \(3\), el resultado sigue siendo irracional.
Por tanto:
\[ 3\sqrt{2}\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \]
Ejercicio 13 — nivel ★★★☆☆
Clasifica el siguiente número:
\[ \frac{\sqrt{4}}{2} \]
Resultado
\[ \frac{\sqrt{4}}{2}=1 \]
\[ 1\in\mathbb{N},\quad 1\in\mathbb{Z},\quad 1\in\mathbb{Q},\quad 1\in\mathbb{R} \]
Resolución
Cálculo de la raíz
Calculamos primero la raíz cuadrada:
\[ \sqrt{4}=2 \]
Sustituyendo:
\[ \frac{\sqrt{4}}{2}=\frac{2}{2}=1 \]
Clasificación
El número \(1\) es natural. Por consiguiente, pertenece también a los enteros, a los racionales y a los reales:
\[ 1\in\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R} \]
Ejercicio 14 — nivel ★★★★☆
Clasifica el siguiente número:
\[ \sqrt{5}+\sqrt{3} \]
Resultado
\[ \sqrt{5}+\sqrt{3}\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \]
Resolución
Análisis de los radicales
Los números \(5\) y \(3\) no son cuadrados perfectos, por lo que:
\[ \sqrt{5}\notin\mathbb{Q},\quad \sqrt{3}\notin\mathbb{Q} \]
Atención: la suma de dos irracionales puede ser racional
Conviene destacar un punto delicado: el hecho de que \(\sqrt{5}\) y \(\sqrt{3}\) sean ambos irracionales no es suficiente para concluir que su suma sea irracional. Basta el siguiente contraejemplo:
\[ (1+\sqrt{2})+(1-\sqrt{2})=2\in\mathbb{Q} \]
Para demostrar que \(\sqrt{5}+\sqrt{3}\) es irracional es necesario un razonamiento por reducción al absurdo.
Demostración por reducción al absurdo
Supongamos, por el contrario, que existe un número racional \(q\in\mathbb{Q}\) tal que:
\[ \sqrt{5}+\sqrt{3}=q \]
Elevando al cuadrado ambos miembros:
\[ \left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)^2=q^2 \]
Desarrollando el primer miembro:
\[ 5+2\sqrt{15}+3=q^2 \]
es decir:
\[ 8+2\sqrt{15}=q^2 \]
Despejando el radical:
\[ \sqrt{15}=\frac{q^2-8}{2} \]
El segundo miembro es racional, pues se obtiene a partir de \(q\in\mathbb{Q}\) mediante operaciones que no salen de \(\mathbb{Q}\). Se seguiría entonces que \(\sqrt{15}\) es racional.
La irracionalidad de \(\sqrt{15}\)
Sin embargo, \(15\) no es un cuadrado perfecto, de modo que:
\[ \sqrt{15}\notin\mathbb{Q} \]
Hemos llegado a una contradicción: la hipótesis inicial es falsa.
Conclusión
Por tanto:
\[ \sqrt{5}+\sqrt{3}\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \]
Ejercicio 15 — nivel ★★★★☆
Clasifica el siguiente número:
\[ \left(\sqrt{2}\right)^2 \]
Resultado
\[ \left(\sqrt{2}\right)^2=2 \]
\[ 2\in\mathbb{N},\quad 2\in\mathbb{Z},\quad 2\in\mathbb{Q},\quad 2\in\mathbb{R} \]
Resolución
Simplificación de la expresión
Para todo número real no negativo \(a\) se cumple:
\[ \left(\sqrt{a}\right)^2=a \]
Aplicando esta propiedad con \(a=2\):
\[ \left(\sqrt{2}\right)^2=2 \]
Clasificación
Aunque \(\sqrt{2}\) es irracional, su cuadrado es el número natural \(2\). El resultado pertenece, pues, a todos los conjuntos:
\[ 2\in\mathbb{N},\quad 2\in\mathbb{Z},\quad 2\in\mathbb{Q},\quad 2\in\mathbb{R} \]
Ejercicio 16 — nivel ★★★★☆
Clasifica el siguiente número:
\[ \frac{1}{\sqrt{2}} \]
Resultado
\[ \frac{1}{\sqrt{2}}\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \]
Resolución
Racionalización del denominador
Racionalizamos el denominador:
\[ \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2} \]
Clasificación
El número \(\sqrt{2}\) es irracional. Al dividir un irracional entre el racional no nulo \(2\), el resultado sigue siendo irracional.
Por tanto:
\[ \frac{\sqrt{2}}{2}\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \]
y en consecuencia:
\[ \frac{1}{\sqrt{2}}\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \]
Ejercicio 17 — nivel ★★★★☆
Clasifica el siguiente número:
\[ \sqrt{8}-\sqrt{2} \]
Resultado
\[ \sqrt{8}-\sqrt{2}=\sqrt{2} \]
\[ \sqrt{8}-\sqrt{2}\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \]
Resolución
Simplificación del primer radical
Descomponemos \(8\):
\[ 8=4\cdot 2 \]
Entonces:
\[ \sqrt{8}=\sqrt{4\cdot 2}=2\sqrt{2} \]
Reducción de la expresión
Sustituyendo en la expresión original:
\[ \sqrt{8}-\sqrt{2}=2\sqrt{2}-\sqrt{2}=\sqrt{2} \]
Clasificación
Como \(\sqrt{2}\) es irracional, la expresión dada también lo es:
\[ \sqrt{8}-\sqrt{2}\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \]
Ejercicio 18 — nivel ★★★★★
Clasifica el siguiente número:
\[ \frac{3+\sqrt{2}}{3} \]
Resultado
\[ \frac{3+\sqrt{2}}{3}\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \]
Resolución
Separación de la fracción
Separamos los dos términos del numerador:
\[ \frac{3+\sqrt{2}}{3}=\frac{3}{3}+\frac{\sqrt{2}}{3} \]
es decir:
\[ \frac{3+\sqrt{2}}{3}=1+\frac{\sqrt{2}}{3} \]
Naturaleza del término \(\frac{\sqrt{2}}{3}\)
Demostramos que \(\frac{\sqrt{2}}{3}\) es irracional. Supongamos por reducción al absurdo que es racional, es decir, que existe \(q\in\mathbb{Q}\) tal que:
\[ \frac{\sqrt{2}}{3}=q \]
Multiplicando ambos miembros por \(3\):
\[ \sqrt{2}=3q \]
Pero el producto de dos números racionales es racional, luego \(3q\in\mathbb{Q}\). Se tendría entonces \(\sqrt{2}\in\mathbb{Q}\), lo cual es una contradicción. Por tanto:
\[ \frac{\sqrt{2}}{3}\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \]
Suma de un racional y un irracional
Como se demostró en el Ejercicio 10, la suma de un número racional y un número irracional es siempre irracional.
Dado que \(1\in\mathbb{Q}\) y \(\frac{\sqrt{2}}{3}\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\), concluimos:
\[ 1+\frac{\sqrt{2}}{3}\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \]
y por tanto:
\[ \frac{3+\sqrt{2}}{3}\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \]
Ejercicio 19 — nivel ★★★★★
Clasifica el siguiente número:
\[ \sqrt{2}\cdot\sqrt{8} \]
Resultado
\[ \sqrt{2}\cdot\sqrt{8}=4 \]
\[ 4\in\mathbb{N},\quad 4\in\mathbb{Z},\quad 4\in\mathbb{Q},\quad 4\in\mathbb{R} \]
Resolución
Producto de radicales
Como los radicandos son no negativos, podemos aplicar la propiedad:
\[ \sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab} \]
Por tanto:
\[ \sqrt{2}\cdot\sqrt{8}=\sqrt{16} \]
y:
\[ \sqrt{16}=4 \]
Observación importante
Aunque los factores \(\sqrt{2}\) y \(\sqrt{8}\) son irracionales, su producto puede ser racional. En este caso el resultado es incluso un número natural.
Ejercicio 20 — nivel ★★★★★
Clasifica el siguiente número:
\[ \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \]
Resultado
\[ \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=1+\frac{\sqrt{6}}{2} \]
\[ \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \]
Resolución
Separación de la fracción
Dividimos cada término del numerador entre el denominador:
\[ \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \]
El primer término vale:
\[ \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=1 \]
luego:
\[ \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=1+\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \]
Racionalización
Racionalizamos el segundo término:
\[ \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2} \]
Por tanto:
\[ \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=1+\frac{\sqrt{6}}{2} \]
Clasificación final
El número \(\sqrt{6}\) es irracional, ya que \(6\) no es un cuadrado perfecto. En consecuencia, \(\frac{\sqrt{6}}{2}\) también es irracional.
La suma del racional \(1\) y el irracional \(\frac{\sqrt{6}}{2}\) es irracional.
Por tanto:
\[ \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \]
Conclusión
Para clasificar correctamente un número, conviene seguir siempre este orden:
- simplificar la expresión, si es posible;
- comprobar si el resultado es un número natural;
- comprobar si es un número entero;
- comprobar si puede escribirse como fracción;
- si no es racional pero pertenece a la recta real, clasificarlo como irracional.
La relación fundamental entre los conjuntos numéricos es:
\[ \mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R} \]
mientras que los números irracionales son exactamente los números reales que no son racionales:
\[ \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \]