Ejercicios resueltos sobre operaciones con conjuntos: una colección progresiva de 20 ejercicios para aprender a calcular correctamente unión, intersección, diferencia y complementario. Cada ejercicio se resuelve paso a paso, con explicaciones pensadas para aclarar el significado lógico de cada operación.
Recordemos las definiciones fundamentales:
\[ A \cup B=\{x \mid x \in A \ \text{o} \ x \in B\} \]
\[ A \cap B=\{x \mid x \in A \ \text{y} \ x \in B\} \]
\[ A \setminus B=\{x \mid x \in A \ \text{y} \ x \notin B\} \]
\[ A^c=U \setminus A \]
Ejercicio 1 — nivel ★☆☆☆☆
Dados los conjuntos
\[ A=\{1,2,3\}, \qquad B=\{3,4,5\} \]
Calcular:
\[ A \cup B \]
Resultado
\[ A \cup B=\{1,2,3,4,5\} \]
Resolución
La operación que se pide es la unión. La unión \(A \cup B\) contiene todos los elementos que pertenecen al menos a uno de los dos conjuntos.
Empezamos por los elementos de \(A\):
\[ A=\{1,2,3\} \]
Añadimos a continuación los elementos de \(B\):
\[ B=\{3,4,5\} \]
El elemento \(3\) aparece tanto en \(A\) como en \(B\), pero en los conjuntos los elementos no se repiten. Por este motivo lo escribimos una sola vez.
Por tanto:
\[ A \cup B=\{1,2,3,4,5\} \]
Ejercicio 2 — nivel ★☆☆☆☆
Dados los conjuntos
\[ A=\{1,2,3,4\}, \qquad B=\{3,4,5,6\} \]
Calcular:
\[ A \cap B \]
Resultado
\[ A \cap B=\{3,4\} \]
Resolución
La operación que se pide es la intersección. La intersección \(A \cap B\) contiene únicamente los elementos que pertenecen simultáneamente a \(A\) y a \(B\).
Observamos los elementos de \(A\):
\[ A=\{1,2,3,4\} \]
y los elementos de \(B\):
\[ B=\{3,4,5,6\} \]
Los elementos \(1\) y \(2\) pertenecen sólo a \(A\), por lo que no forman parte de la intersección. Los elementos \(5\) y \(6\) pertenecen sólo a \(B\), por lo que tampoco forman parte de la intersección.
Los únicos elementos presentes en ambos conjuntos son \(3\) y \(4\). Por tanto:
\[ A \cap B=\{3,4\} \]
Ejercicio 3 — nivel ★☆☆☆☆
Dados los conjuntos
\[ A=\{1,2,3,4,5\}, \qquad B=\{2,4,6\} \]
Calcular:
\[ A \setminus B \]
Resultado
\[ A \setminus B=\{1,3,5\} \]
Resolución
La operación que se pide es la diferencia entre conjuntos. La diferencia \(A \setminus B\) contiene los elementos que pertenecen a \(A\), pero no pertenecen a \(B\).
Partimos entonces de \(A\):
\[ A=\{1,2,3,4,5\} \]
Debemos eliminar de \(A\) todos los elementos que se encuentran también en \(B\). Como:
\[ B=\{2,4,6\} \]
los elementos de \(A\) que aparecen también en \(B\) son \(2\) y \(4\).
Quitando \(2\) y \(4\) de \(A\), quedan:
\[ 1,3,5 \]
Por tanto:
\[ A \setminus B=\{1,3,5\} \]
Ejercicio 4 — nivel ★☆☆☆☆
Dados los conjuntos
\[ A=\{a,b,c,d\}, \qquad B=\{b,d,e\} \]
Calcular:
\[ B \setminus A \]
Resultado
\[ B \setminus A=\{e\} \]
Resolución
La diferencia \(B \setminus A\) contiene los elementos que pertenecen a \(B\), pero no pertenecen a \(A\).
Esta vez el conjunto de partida es \(B\), no \(A\). En efecto:
\[ B=\{b,d,e\} \]
Debemos quitar de \(B\) los elementos que pertenecen también a \(A\). Como:
\[ A=\{a,b,c,d\} \]
los elementos \(b\) y \(d\) están presentes tanto en \(B\) como en \(A\), por lo que quedan excluidos.
El único elemento de \(B\) que no pertenece a \(A\) es \(e\). Por tanto:
\[ B \setminus A=\{e\} \]
Ejercicio 5 — nivel ★★☆☆☆
Sea
\[ U=\{1,2,3,4,5,6,7,8\} \]
y sea
\[ A=\{2,4,6,8\} \]
Calcular:
\[ A^c \]
Resultado
\[ A^c=\{1,3,5,7\} \]
Resolución
La operación que se pide es el complementario de \(A\) respecto al conjunto universal \(U\).
El complementario \(A^c\) contiene todos los elementos del universal \(U\) que no pertenecen a \(A\). En símbolos:
\[ A^c=U \setminus A \]
El conjunto universal es:
\[ U=\{1,2,3,4,5,6,7,8\} \]
El conjunto \(A\) es:
\[ A=\{2,4,6,8\} \]
Debemos por tanto quitar de \(U\) los elementos \(2,4,6,8\). Quedan los elementos impares:
\[ 1,3,5,7 \]
Por tanto:
\[ A^c=\{1,3,5,7\} \]
Ejercicio 6 — nivel ★★☆☆☆
Dados los conjuntos
\[ A=\{x \in \mathbb{N} \mid 1 \le x \le 6\} \]
y
\[ B=\{2,4,6,8\} \]
Calcular:
\[ A \cap B \]
Resultado
\[ A \cap B=\{2,4,6\} \]
Resolución
Antes de efectuar la operación, conviene escribir explícitamente el conjunto \(A\), que está definido por comprensión.
La expresión
\[ A=\{x \in \mathbb{N} \mid 1 \le x \le 6\} \]
se lee: «\(A\) es el conjunto de los números naturales \(x\) tales que \(x\) está comprendido entre \(1\) y \(6\), ambos inclusive». Enumerando los elementos obtenemos:
\[ A=\{1,2,3,4,5,6\} \]
El conjunto \(B\) está, en cambio, escrito por extensión:
\[ B=\{2,4,6,8\} \]
Debemos calcular la intersección \(A \cap B\), es decir, el conjunto de los elementos que pertenecen simultáneamente a \(A\) y a \(B\).
Comparemos los elementos:
- \(2 \in A\) y \(2 \in B\): pertenece a la intersección;
- \(4 \in A\) y \(4 \in B\): pertenece a la intersección;
- \(6 \in A\) y \(6 \in B\): pertenece a la intersección;
- \(8 \in B\), pero \(8 \notin A\) porque \(8 > 6\): no pertenece a la intersección.
Por tanto:
\[ A \cap B=\{2,4,6\} \]
Ejercicio 7 — nivel ★★☆☆☆
Dados los conjuntos
\[ A=\{1,3,5,7\}, \qquad B=\{2,3,5,8\} \]
Calcular:
\[ A \cup B \]
Resultado
\[ A \cup B=\{1,2,3,5,7,8\} \]
Resolución
La operación solicitada es la unión entre \(A\) y \(B\). La unión contiene todos los elementos que pertenecen al menos a uno de los dos conjuntos.
Partimos de los elementos de \(A\):
\[ A=\{1,3,5,7\} \]
Ahora observamos los elementos de \(B\):
\[ B=\{2,3,5,8\} \]
Los elementos \(3\) y \(5\) ya están presentes en \(A\), por lo que no deben repetirse. Los elementos nuevos que aporta \(B\) son \(2\) y \(8\).
Reuniendo todos los elementos sin repeticiones, obtenemos:
\[ A \cup B=\{1,2,3,5,7,8\} \]
Ejercicio 8 — nivel ★★☆☆☆
Dados los conjuntos
\[ A=\{1,2,3,4,5\}, \qquad B=\{4,5,6,7\} \]
Calcular:
\[ (A \cup B) \setminus A \]
Resultado
\[ (A \cup B) \setminus A=\{6,7\} \]
Resolución
La expresión contiene dos operaciones. Hay que respetar los paréntesis y calcular antes:
\[ A \cup B \]
La unión entre \(A\) y \(B\) contiene todos los elementos presentes al menos en uno de los dos conjuntos:
\[ A \cup B=\{1,2,3,4,5,6,7\} \]
Ahora debemos calcular:
\[ (A \cup B) \setminus A \]
Esto significa que partimos del conjunto \(A \cup B\) y quitamos todos los elementos que pertenecen a \(A\).
Como:
\[ A=\{1,2,3,4,5\} \]
eliminando \(1,2,3,4,5\) del conjunto \(\{1,2,3,4,5,6,7\}\), quedan:
\[ 6,7 \]
Por tanto:
\[ (A \cup B) \setminus A=\{6,7\} \]
Ejercicio 9 — nivel ★★★☆☆
Dados los conjuntos
\[ A=\{1,2,3,4\}, \qquad B=\{3,4,5,6\} \]
Calcular:
\[ (A \cap B) \cup \{7\} \]
Resultado
\[ (A \cap B) \cup \{7\}=\{3,4,7\} \]
Resolución
También en este caso debemos calcular antes lo que se encuentra entre paréntesis:
\[ A \cap B \]
La intersección contiene los elementos comunes a \(A\) y \(B\). Como:
\[ A=\{1,2,3,4\} \]
y
\[ B=\{3,4,5,6\} \]
los elementos comunes son \(3\) y \(4\). Por tanto:
\[ A \cap B=\{3,4\} \]
Ahora debemos unir este conjunto con \(\{7\}\):
\[ (A \cap B) \cup \{7\}=\{3,4\} \cup \{7\} \]
La unión añade el elemento \(7\), porque no estaba ya presente.
Por tanto:
\[ (A \cap B) \cup \{7\}=\{3,4,7\} \]
Ejercicio 10 — nivel ★★★☆☆
Dados los conjuntos
\[ A=\{1,2,3,4,5,6\}, \qquad B=\{2,4,6\} \]
Calcular:
\[ A \setminus B \]
Resultado
\[ A \setminus B=\{1,3,5\} \]
Resolución
Debemos calcular la diferencia \(A \setminus B\). Esto significa que debemos conservar sólo los elementos de \(A\) que no pertenecen a \(B\).
El conjunto \(A\) es:
\[ A=\{1,2,3,4,5,6\} \]
El conjunto \(B\) es:
\[ B=\{2,4,6\} \]
Los elementos \(2,4,6\) pertenecen a \(A\), pero pertenecen también a \(B\). Por este motivo deben ser excluidos de la diferencia.
Los elementos de \(A\) que no pertenecen a \(B\) son, en cambio, \(1,3,5\).
Por tanto:
\[ A \setminus B=\{1,3,5\} \]
Ejercicio 11 — nivel ★★★☆☆
Sea
\[ U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\} \]
y sean
\[ A=\{1,2,3,4,5\}, \qquad B=\{4,5,6,7\} \]
Calcular:
\[ (A \cup B)^c \]
Resultado
\[ (A \cup B)^c=\{8,9,10\} \]
Resolución
La expresión requiere primero calcular la unión \(A \cup B\), después el complementario del resultado respecto a \(U\).
Calculamos la unión:
\[ A \cup B=\{1,2,3,4,5,6,7\} \]
Ahora debemos hallar el complementario de \(A \cup B\), es decir, todos los elementos de \(U\) que no pertenecen a la unión.
El conjunto universal es:
\[ U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\} \]
La unión \(A \cup B\) contiene:
\[ 1,2,3,4,5,6,7 \]
Los elementos del universal que quedan fuera de la unión son:
\[ 8,9,10 \]
Por tanto:
\[ (A \cup B)^c=\{8,9,10\} \]
Ejercicio 12 — nivel ★★★☆☆
Sea
\[ U=\{1,2,3,4,5,6,7,8\} \]
y sean
\[ A=\{1,2,3,4\}, \qquad B=\{3,4,5,6\} \]
Calcular:
\[ A^c \cap B^c \]
Resultado
\[ A^c \cap B^c=\{7,8\} \]
Resolución
Debemos calcular la intersección entre los complementarios de \(A\) y \(B\). Procedamos con orden.
El complementario de \(A\) está formado por los elementos de \(U\) que no pertenecen a \(A\):
\[ A^c=U \setminus A \]
Como:
\[ A=\{1,2,3,4\} \]
obtenemos:
\[ A^c=\{5,6,7,8\} \]
Del mismo modo:
\[ B^c=U \setminus B \]
Como:
\[ B=\{3,4,5,6\} \]
obtenemos:
\[ B^c=\{1,2,7,8\} \]
Ahora calculamos la intersección:
\[ A^c \cap B^c=\{5,6,7,8\} \cap \{1,2,7,8\} \]
Los elementos comunes a los dos complementarios son \(7\) y \(8\). Por tanto:
\[ A^c \cap B^c=\{7,8\} \]
Ejercicio 13 — nivel ★★★★☆
Sea
\[ U=\{1,2,3,4,5,6,7,8\} \]
y sean
\[ A=\{1,2,3,4\}, \qquad B=\{3,4,5,6\} \]
verificar que:
\[ (A \cup B)^c=A^c \cap B^c \]
Resultado
\[ (A \cup B)^c=A^c \cap B^c=\{7,8\} \]
Resolución
Para verificar la identidad, calculamos por separado el primer miembro y el segundo miembro.
Empezamos por el primer miembro:
\[ (A \cup B)^c \]
Calculamos antes la unión:
\[ A \cup B=\{1,2,3,4,5,6\} \]
Ahora tomamos el complementario respecto a \(U\):
\[ (A \cup B)^c=U \setminus (A \cup B) \]
es decir:
\[ (A \cup B)^c=\{7,8\} \]
Calculamos ahora el segundo miembro:
\[ A^c \cap B^c \]
El complementario de \(A\) es:
\[ A^c=\{5,6,7,8\} \]
El complementario de \(B\) es:
\[ B^c=\{1,2,7,8\} \]
Intersecamos los dos complementarios:
\[ A^c \cap B^c=\{5,6,7,8\} \cap \{1,2,7,8\} \]
Los elementos comunes son \(7\) y \(8\). Por tanto:
\[ A^c \cap B^c=\{7,8\} \]
Los dos miembros han dado el mismo conjunto:
\[ (A \cup B)^c=A^c \cap B^c=\{7,8\} \]
La identidad queda verificada. Se trata de la primera ley de De Morgan.
Ejercicio 14 — nivel ★★★★☆
Sea
\[ U=\{1,2,3,4,5,6,7,8\} \]
y sean
\[ A=\{1,2,3,4\}, \qquad B=\{3,4,5,6\} \]
verificar que:
\[ (A \cap B)^c=A^c \cup B^c \]
Resultado
\[ (A \cap B)^c=A^c \cup B^c=\{1,2,5,6,7,8\} \]
Resolución
También aquí comparamos el primer miembro y el segundo miembro.
Calculamos antes el primer miembro:
\[ (A \cap B)^c \]
La intersección entre \(A\) y \(B\) contiene los elementos comunes:
\[ A \cap B=\{3,4\} \]
El complementario de \(A \cap B\) contiene todos los elementos de \(U\) distintos de \(3\) y \(4\):
\[ (A \cap B)^c=\{1,2,5,6,7,8\} \]
Calculamos ahora el segundo miembro:
\[ A^c \cup B^c \]
Tenemos:
\[ A^c=\{5,6,7,8\} \]
y:
\[ B^c=\{1,2,7,8\} \]
Haciendo la unión de los dos complementarios obtenemos:
\[ A^c \cup B^c=\{5,6,7,8\} \cup \{1,2,7,8\} \]
es decir:
\[ A^c \cup B^c=\{1,2,5,6,7,8\} \]
Los dos miembros coinciden:
\[ (A \cap B)^c=A^c \cup B^c \]
La identidad queda verificada. Se trata de la segunda ley de De Morgan.
Ejercicio 15 — nivel ★★★★☆
Dados los conjuntos
\[ A=\{1,2,3,4,5\}, \qquad B=\{4,5,6,7\} \]
Calcular:
\[ (A \setminus B) \cup (B \setminus A) \]
Resultado
\[ (A \setminus B) \cup (B \setminus A)=\{1,2,3,6,7\} \]
Resolución
La expresión está formada por dos diferencias y, después, por una unión.
Calculamos antes:
\[ A \setminus B \]
Esta diferencia contiene los elementos de \(A\) que no pertenecen a \(B\). Como \(4\) y \(5\) pertenecen también a \(B\), deben ser excluidos.
Por tanto:
\[ A \setminus B=\{1,2,3\} \]
Calculamos ahora:
\[ B \setminus A \]
Esta diferencia contiene los elementos de \(B\) que no pertenecen a \(A\). Los elementos \(4\) y \(5\) están presentes también en \(A\), por lo que quedan excluidos.
Quedan:
\[ B \setminus A=\{6,7\} \]
Por último, hacemos la unión:
\[ (A \setminus B) \cup (B \setminus A)=\{1,2,3\} \cup \{6,7\} \]
Por tanto:
\[ (A \setminus B) \cup (B \setminus A)=\{1,2,3,6,7\} \]
Este conjunto contiene los elementos que pertenecen a uno solo de los dos conjuntos, pero no a ambos.
Ejercicio 16 — nivel ★★★★☆
Dados los conjuntos
\[ A=\{1,2,3,4,5,6\}, \qquad B=\{2,4,6\}, \qquad C=\{1,2,7\} \]
Calcular:
\[ (A \cap B) \cup C \]
Resultado
\[ (A \cap B) \cup C=\{1,2,4,6,7\} \]
Resolución
La expresión contiene primero una intersección y después una unión. Empezamos por el paréntesis:
\[ A \cap B \]
La intersección contiene los elementos comunes a \(A\) y \(B\). Observemos que:
\[ B=\{2,4,6\} \]
y todos estos elementos pertenecen también a \(A\), porque:
\[ A=\{1,2,3,4,5,6\} \]
Por tanto:
\[ A \cap B=\{2,4,6\} \]
Ahora debemos unir este resultado con \(C\):
\[ (A \cap B) \cup C=\{2,4,6\} \cup \{1,2,7\} \]
En la unión escribimos todos los elementos sin repeticiones. El elemento \(2\) aparece en ambos conjuntos, por lo que se escribe una sola vez.
Obtenemos:
\[ (A \cap B) \cup C=\{1,2,4,6,7\} \]
Ejercicio 17 — nivel ★★★★★
Sea
\[ U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\} \]
y sean
\[ A=\{1,2,3,4,5\}, \qquad B=\{4,5,6,7\} \]
calcular:
\[ (A \cap B)^c \cap A \]
Resultado
\[ (A \cap B)^c \cap A=\{1,2,3\} \]
Resolución
Debemos calcular una expresión compuesta. Procedamos respetando el orden de las operaciones.
Calculamos antes:
\[ A \cap B \]
Los elementos comunes a \(A\) y \(B\) son \(4\) y \(5\). Por tanto:
\[ A \cap B=\{4,5\} \]
Ahora calculamos el complementario de este conjunto respecto a \(U\):
\[ (A \cap B)^c=U \setminus \{4,5\} \]
Como:
\[ U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\} \]
quitando \(4\) y \(5\), obtenemos:
\[ (A \cap B)^c=\{1,2,3,6,7,8,9\} \]
Por último, debemos intersecar este conjunto con \(A\):
\[ (A \cap B)^c \cap A=\{1,2,3,6,7,8,9\} \cap \{1,2,3,4,5\} \]
Los elementos comunes son \(1,2,3\).
Por tanto:
\[ (A \cap B)^c \cap A=\{1,2,3\} \]
Observemos que el resultado coincide con los elementos de \(A\) que no pertenecen también a \(B\).
Ejercicio 18 — nivel ★★★★★
Sea
\[ U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\} \]
y sean
\[ A=\{1,2,3,4,5\}, \qquad B=\{3,4,5,6,7\} \]
Calcular:
\[ (A^c \cup B^c)^c \]
Resultado
\[ (A^c \cup B^c)^c=\{3,4,5\} \]
Resolución
La expresión contiene complementarios, unión y, después, otro complementario. Procedamos con orden.
Calculamos antes el complementario de \(A\):
\[ A^c=U \setminus A \]
Como:
\[ A=\{1,2,3,4,5\} \]
obtenemos:
\[ A^c=\{6,7,8,9,10\} \]
Calculamos ahora el complementario de \(B\):
\[ B^c=U \setminus B \]
Como:
\[ B=\{3,4,5,6,7\} \]
obtenemos:
\[ B^c=\{1,2,8,9,10\} \]
Ahora calculamos la unión de los dos complementarios:
\[ A^c \cup B^c=\{6,7,8,9,10\} \cup \{1,2,8,9,10\} \]
es decir:
\[ A^c \cup B^c=\{1,2,6,7,8,9,10\} \]
Por último, calculamos el complementario de este conjunto:
\[ (A^c \cup B^c)^c=U \setminus \{1,2,6,7,8,9,10\} \]
Los elementos de \(U\) que no aparecen en \(\{1,2,6,7,8,9,10\}\) son:
\[ 3,4,5 \]
Por tanto:
\[ (A^c \cup B^c)^c=\{3,4,5\} \]
El resultado coincide con \(A \cap B\), como predice la ley de De Morgan.
Ejercicio 19 — nivel ★★★★★
Dados los conjuntos
\[ A=\{1,2,3,4\}, \qquad B=\{3,4,5,6\}, \qquad C=\{4,6,8\} \]
Calcular:
\[ (A \cup B) \cap C \]
Resultado
\[ (A \cup B) \cap C=\{4,6\} \]
Resolución
La expresión requiere primero calcular la unión entre \(A\) y \(B\), después la intersección con \(C\).
Calculamos la unión:
\[ A \cup B=\{1,2,3,4\} \cup \{3,4,5,6\} \]
En la unión incluimos todos los elementos presentes al menos en uno de los dos conjuntos, sin repeticiones:
\[ A \cup B=\{1,2,3,4,5,6\} \]
Ahora debemos calcular:
\[ (A \cup B) \cap C \]
es decir:
\[ \{1,2,3,4,5,6\} \cap \{4,6,8\} \]
La intersección contiene sólo los elementos comunes a los dos conjuntos. Los elementos comunes son \(4\) y \(6\).
El elemento \(8\) pertenece a \(C\), pero no pertenece a \(A \cup B\), por lo que no se incluye.
Por tanto:
\[ (A \cup B) \cap C=\{4,6\} \]
Ejercicio 20 — nivel ★★★★★
Dados dos conjuntos cualesquiera \(A\) y \(B\), demostrar la ley de absorción:
\[ A \cup (A \cap B)=A \]
Resultado
\[ A \cup (A \cap B)=A \]
Resolución
Queremos demostrar que:
\[ A \cup (A \cap B)=A \]
Consideremos el conjunto:
\[ A \cap B \]
Por definición, \(A \cap B\) contiene los elementos que pertenecen tanto a \(A\) como a \(B\).
En particular, todo elemento de \(A \cap B\) pertenece con seguridad a \(A\). Por tanto, \(A \cap B\) está contenido en \(A\):
\[ A \cap B \subseteq A \]
Observemos ahora la unión:
\[ A \cup (A \cap B) \]
Estamos uniendo \(A\) con un conjunto que ya está contenido en \(A\). Añadir a \(A\) elementos que ya están dentro de \(A\) no modifica el conjunto.
Por tanto:
\[ A \cup (A \cap B)=A \]
Esta propiedad se llama ley de absorción.