La división de polinomios es una de las operaciones fundamentales del álgebra. Permite escribir un polinomio como producto de otro polinomio por un cociente, más un posible resto.
A primera vista puede parecer una técnica puramente mecánica. En realidad, la división de polinomios es una herramienta teórica central: permite estudiar la divisibilidad, identificar factores, aplicar el teorema del resto, comprender la regla de Ruffini y relacionar las raíces de un polinomio con su factorización.
La idea subyacente es similar a la de la división entera: dados un dividendo y un divisor, se buscan un cociente y un resto. En el caso de los polinomios, sin embargo, la magnitud que rige el proceso no es el valor numérico, sino el grado.
Índice
- Definición Formal
- Significado del Cociente y del Resto
- División Larga de Polinomios
- Ejemplo Resuelto con Esquema
- Teorema de la División Euclidiana
- Divisibilidad de Polinomios
- Teorema del Resto
- Regla de Ruffini
- La Regla de Ruffini Paso a Paso
- Errores Frecuentes
- Ejercicios Resueltos
- Conclusión
Definición Formal
Sean \(A(x)\) y \(B(x)\) dos polinomios, con \(B(x)\neq 0\). Dividir \(A(x)\) entre \(B(x)\) significa encontrar dos polinomios \(Q(x)\) y \(R(x)\), llamados respectivamente cociente y resto, tales que \(A(x)=B(x)Q(x)+R(x)\), con la condición:
\[ R(x)=0 \quad \text{o bien} \quad \deg R(x)<\deg B(x) \]
El polinomio \(A(x)\) se llama dividendo, el polinomio \(B(x)\) se llama divisor, \(Q(x)\) es el cociente y \(R(x)\) es el resto.
La condición sobre el grado del resto es esencial. Si el resto tuviese grado mayor o igual que el del divisor, aún sería posible continuar la división. El proceso termina únicamente cuando lo que queda tiene grado estrictamente menor que el del divisor, es decir, cuando ya no puede seguir dividiéndose mediante el mismo procedimiento.
Por ejemplo, \(x^2+3x+2=(x+1)(x+2)+0\). En esta igualdad el dividendo es \(x^2+3x+2\), el divisor es \(x+1\), el cociente es \(x+2\) y el resto es \(0\). Como el resto es nulo, la división es exacta.
Significado del Cociente y del Resto
La identidad \(A(x)=B(x)Q(x)+R(x)\) expresa que el polinomio \(A(x)\) se descompone en dos partes: una parte que es múltiplo del divisor \(B(x)\), a saber \(B(x)Q(x)\), y una parte residual, a saber \(R(x)\).
El cociente \(Q(x)\) representa la porción del dividendo que puede obtenerse multiplicando el divisor por otro polinomio. El resto \(R(x)\), en cambio, representa lo que queda después de restar del dividendo todas las contribuciones posibles construidas a partir del divisor.
La analogía con la división entera es útil. Por ejemplo, \(17=5\cdot 3+2\). Aquí \(17\) es el dividendo, \(5\) es el divisor, \(3\) es el cociente y \(2\) es el resto. El resto debe ser menor que el divisor.
En la división de polinomios ocurre algo análogo, pero la condición no se refiere al valor numérico del resto, sino a su grado:
\[ \deg R(x)<\deg B(x) \]
Este es el principio que convierte a la división de polinomios en una verdadera división euclidiana.
División Larga de Polinomios
El método más general para dividir dos polinomios es la división larga. Es el procedimiento que se utiliza cuando el divisor tiene cualquier grado, no necesariamente \(1\).
Antes de comenzar, es importante escribir los polinomios ordenados según las potencias decrecientes de \(x\). Si falta algún término, debe incluirse con coeficiente \(0\).
Por ejemplo, el polinomio:
\[ x^4-3x+2 \]
debe escribirse como:
\[ x^4+0x^3+0x^2-3x+2 \]
Esta escritura no modifica el polinomio, pero hace más claro el esquema de la división e impide errores de alineación.
La idea de la división larga consiste en eliminar progresivamente el término de mayor grado del dividendo. En cada paso se toma el término principal del polinomio restante y se divide entre el término principal del divisor.
Si \(\deg A(x)<\deg B(x)\), la división ya ha terminado: \(Q(x)=0\) y \(R(x)=A(x)\). Si en cambio \(\deg A(x)\geq \deg B(x)\), se procede dividiendo el término principal del dividendo entre el término principal del divisor. El resultado se convierte en el primer término del cociente. A continuación se multiplica el divisor por ese término y se resta el producto del dividendo.
Ejemplo Resuelto con Esquema
Dividamos \(2x^3+3x^2-5x+1\) entre \(x-2\). El dividendo ya está escrito con los términos en orden decreciente:
\[ 2x^3+3x^2-5x+1 \]
Buscamos dos polinomios \(Q(x)\) y \(R(x)\) tales que:
\[ 2x^3+3x^2-5x+1=(x-2)Q(x)+R(x) \]
Primer paso
Dividimos el término principal del dividendo entre el término principal del divisor:
\[ \frac{2x^3}{x}=2x^2 \]
El primer término del cociente es \(2x^2\). Multiplicamos el divisor por \(2x^2\):
\[ 2x^2(x-2)=2x^3-4x^2 \]
Para restar este polinomio del dividendo, cambiamos el signo de todos sus términos y sumamos:
\[ -(2x^3-4x^2)=-2x^3+4x^2 \]
Incluimos también los términos que faltan para mantener la alineación de las columnas:
\[ -2x^3+4x^2+0x+0 \]
| \(2x^3\) | \(+3x^2\) | \(-5x\) | \(+1\) | \(x-2\) |
| \(-2x^3\) | \(+4x^2\) | \(0x\) | \(0\) | \(2x^2\) |
| \(0x^3\) | \(+7x^2\) | \(-5x\) | \(+1\) |
Tras la suma, el término \(2x^3\) se anula y queda el resto parcial:
\[ 7x^2-5x+1 \]
Segundo paso
Repetimos el procedimiento sobre el resto parcial. Dividimos su término principal entre el término principal del divisor:
\[ \frac{7x^2}{x}=7x \]
El segundo término del cociente es \(7x\), por lo que el cociente parcial pasa a ser:
\[ 2x^2+7x \]
Multiplicamos el divisor por \(7x\):
\[ 7x(x-2)=7x^2-14x \]
Cambiamos de signo para restar:
\[ -(7x^2-14x)=-7x^2+14x \]
Añadimos el término independiente que falta:
\[ -7x^2+14x+0 \]
| \(2x^3\) | \(+3x^2\) | \(-5x\) | \(+1\) | \(x-2\) |
| \(-2x^3\) | \(+4x^2\) | \(0x\) | \(0\) | \(2x^2+7x\) |
| \(0x^3\) | \(+7x^2\) | \(-5x\) | \(+1\) | |
| \(-7x^2\) | \(+14x\) | \(0\) | ||
| \(0x^2\) | \(+9x\) | \(+1\) |
Tras la suma queda el nuevo resto parcial:
\[ 9x+1 \]
Tercer paso
Dividimos el término principal del nuevo resto parcial entre el término principal del divisor:
\[ \frac{9x}{x}=9 \]
El tercer término del cociente es \(9\), de modo que el cociente queda:
\[ 2x^2+7x+9 \]
Multiplicamos el divisor por \(9\):
\[ 9(x-2)=9x-18 \]
Cambiamos de signo para restar:
\[ -(9x-18)=-9x+18 \]
| \(2x^3\) | \(+3x^2\) | \(-5x\) | \(+1\) | \(x-2\) |
| \(-2x^3\) | \(+4x^2\) | \(0x\) | \(0\) | \(2x^2+7x+9\) |
| \(0x^3\) | \(+7x^2\) | \(-5x\) | \(+1\) | |
| \(-7x^2\) | \(+14x\) | \(0\) | ||
| \(0x^2\) | \(+9x\) | \(+1\) | ||
| \(-9x\) | \(+18\) | |||
| \(0x\) | \(+19\) |
El resto final es:
\[ R(x)=19 \]
Como el divisor \(x-2\) tiene grado \(1\) y el resto \(19\) tiene grado \(0\), se tiene:
\[ \deg 19=0<1=\deg(x-2) \]
La división ha concluido.
Resultado final
Del esquema leemos el cociente:
\[ Q(x)=2x^2+7x+9 \]
y el resto:
\[ R(x)=19 \]
Por tanto:
\[ 2x^3+3x^2-5x+1=(x-2)(2x^2+7x+9)+19 \]
Verificamos el resultado desarrollando el segundo miembro:
\[ (x-2)(2x^2+7x+9)+19 \]
\[ =2x^3+7x^2+9x-4x^2-14x-18+19 \]
\[ =2x^3+3x^2-5x+1 \]
La división es correcta.
Teorema de la División Euclidiana
Teorema. Sean \(A(x)\) y \(B(x)\) dos polinomios, con \(B(x)\neq 0\). Entonces existen y son únicos dos polinomios \(Q(x)\) y \(R(x)\) tales que \(A(x)=B(x)Q(x)+R(x)\), con:
\[ R(x)=0 \quad \text{o bien} \quad \deg R(x)<\deg B(x) \]
Este resultado se conoce como el teorema de la división euclidiana para polinomios (también llamado algoritmo de la división). La existencia queda garantizada por el algoritmo de la división larga; la unicidad significa que, fijados el dividendo y el divisor, no pueden existir dos cocientes ni dos restos distintos que satisfagan las condiciones del teorema.
Idea de la demostración de la unicidad
Supongamos que existen dos representaciones:
\[ A(x)=B(x)Q_1(x)+R_1(x) \]
y:
\[ A(x)=B(x)Q_2(x)+R_2(x) \]
con \(\deg R_1(x)<\deg B(x)\) y \(\deg R_2(x)<\deg B(x)\). Restando miembro a miembro obtenemos:
\[ B(x)(Q_1(x)-Q_2(x))=R_2(x)-R_1(x) \]
Si \(Q_1(x)\neq Q_2(x)\), el miembro izquierdo tendría grado al menos \(\deg B(x)\), mientras que el miembro derecho tendría grado menor que \(\deg B(x)\), lo que es imposible. Por tanto \(Q_1(x)=Q_2(x)\) y en consecuencia \(R_1(x)=R_2(x)\).
Divisibilidad de Polinomios
La división permite definir de manera rigurosa la divisibilidad de polinomios. Se dice que \(B(x)\) divide a \(A(x)\), y se escribe \(B(x)\mid A(x)\), si existe un polinomio \(Q(x)\) tal que:
\[ A(x)=B(x)Q(x) \]
En términos de división:
\[ B(x)\mid A(x) \quad \iff \quad R(x)=0 \]
Cuando el resto es cero, la división se llama exacta. En este caso \(B(x)\) es un factor de \(A(x)\), y \(A(x)\) es un múltiplo de \(B(x)\).
Teorema del Resto
Teorema del resto. Cuando un polinomio \(P(x)\) se divide entre \(x-a\), el resto de la división es \(P(a)\).
En efecto, por el teorema de la división euclidiana podemos escribir:
\[ P(x)=(x-a)Q(x)+R(x) \]
Como el divisor \(x-a\) tiene grado \(1\), el resto debe ser una constante, que denotamos \(r\):
\[ P(x)=(x-a)Q(x)+r \]
Sustituyendo \(x=a\), obtenemos:
\[ P(a)=(a-a)Q(a)+r=r \]
Por tanto, el resto de la división entre \(x-a\) es \(P(a)\). De ello se deduce de inmediato:
\[ x-a\mid P(x) \quad \iff \quad P(a)=0 \]
Es decir, \(a\) es una raíz de \(P(x)\) si y solo si \(x-a\) es un factor de \(P(x)\).
Regla de Ruffini
La regla de Ruffini es un método abreviado para dividir un polinomio entre un binomio de primer grado de la forma:
\[ x-a \]
No se trata de una técnica distinta de la división larga: la regla de Ruffini es simplemente una notación más compacta del mismo algoritmo. En lugar de trabajar con todos los monomios, se utilizan únicamente los coeficientes del polinomio.
Antes de aplicar la regla de Ruffini, el polinomio debe escribirse en forma completa con las potencias de \(x\) en orden decreciente. Si falta algún término, hay que incluirlo con coeficiente \(0\).
Por ejemplo:
\[ x^3-4x+1=x^3+0x^2-4x+1 \]
Los coeficientes a utilizar son:
\[ 1,\ 0,\ -4,\ 1 \]
Si el divisor es \(x-a\), el número que se escribe a la izquierda en el esquema es \(a\). Así, \(x-3\Rightarrow 3\), mientras que \(x+3=x-(-3)\Rightarrow -3\).
La Regla de Ruffini Paso a Paso
Dividamos \( P(x)=x^3-6x^2+11x-6 \) entre \( x-1 \).
Como el divisor es \(x-1\), el número que se escribe a la izquierda del esquema es \(1\). El polinomio está completo y sus coeficientes son:
\[ 1,\ -6,\ 11,\ -6 \]
Esquema inicial
\[ \begin{array}{r|rrr|r} 1 & 1 & -6 & 11 & -6 \\ & & & & \\ \hline & & & & \end{array} \]
Primer paso
Se baja el primer coeficiente sin modificarlo:
\[ \begin{array}{r|rrr|r} 1 & 1 & -6 & 11 & -6 \\ & & & & \\ \hline & 1 & & & \end{array} \]
Segundo paso
Multiplicamos \(1\cdot 1=1\), escribimos el resultado bajo el siguiente coeficiente y sumamos:
\[ -6+1=-5 \]
\[ \begin{array}{r|rrr|r} 1 & 1 & -6 & 11 & -6 \\ & & 1 & & \\ \hline & 1 & -5 & & \end{array} \]
Tercer paso
Multiplicamos \(1\cdot(-5)=-5\), escribimos el resultado bajo el siguiente coeficiente y sumamos:
\[ 11+(-5)=6 \]
\[ \begin{array}{r|rrr|r} 1 & 1 & -6 & 11 & -6 \\ & & 1 & -5 & \\ \hline & 1 & -5 & 6 & \end{array} \]
Cuarto paso
Multiplicamos \(1\cdot 6=6\), escribimos el resultado bajo el último coeficiente y sumamos:
\[ -6+6=0 \]
El esquema completo es:
\[ \begin{array}{r|rrr|r} 1 & 1 & -6 & 11 & -6 \\ & & 1 & -5 & 6 \\ \hline & 1 & -5 & 6 & 0 \end{array} \]
Lectura del resultado
Los valores de la fila inferior, salvo el último, son los coeficientes del polinomio cociente:
\[ Q(x)=x^2-5x+6 \]
El último valor es el resto de la división:
\[ R=0 \]
Como el resto es nulo, la división es exacta:
\[ x^3-6x^2+11x-6=(x-1)(x^2-5x+6) \]
Errores Frecuentes
1. Olvidar los términos que faltan
Al utilizar la división larga o la regla de Ruffini, el polinomio debe estar completo. Si falta alguna potencia de \(x\), hay que añadirla con coeficiente \(0\).
2. Equivocarse con el signo del divisor
Si el divisor es \(x-a\), el número que se emplea en el esquema de Ruffini es \(a\). Por tanto \(x-3\Rightarrow 3\), mientras que \(x+3=x-(-3)\Rightarrow -3\).
3. Detenerse antes de tiempo
En la división larga hay que continuar hasta que el resto tenga grado estrictamente menor que el del divisor. Si el resto aún tiene grado mayor o igual, la división no ha terminado.
4. Confundir el resto con un coeficiente del cociente
En el esquema de Ruffini, el último número de la fila inferior es el resto, no un coeficiente del cociente. Por ello conviene separarlo visualmente con una línea vertical.
5. Aplicar la regla de Ruffini a divisores inadecuados
La regla de Ruffini, en su forma estándar, se aplica directamente solo a divisores de la forma \(x-a\). Para divisores como \(x^2+1\) hay que recurrir a la división larga.
Ejercicios Resueltos
Ejercicio 1. Dividir \(x^2+5x+6\) entre \(x+2\).
Solución. Como \(x+2=x-(-2)\), aplicamos la regla de Ruffini con \(-2\):
\[ \begin{array}{r|rr|r} -2 & 1 & 5 & 6 \\ & & -2 & -6 \\ \hline & 1 & 3 & 0 \end{array} \]
Por tanto \(Q(x)=x+3\) y \(R=0\). Luego \(x^2+5x+6=(x+2)(x+3)\).
Ejercicio 2. Dividir \(x^2+1\) entre \(x-1\).
Solución. Completamos el polinomio: \(x^2+1=x^2+0x+1\). Aplicamos la regla de Ruffini con \(1\):
\[ \begin{array}{r|rr|r} 1 & 1 & 0 & 1 \\ & & 1 & 1 \\ \hline & 1 & 1 & 2 \end{array} \]
Por tanto \(Q(x)=x+1\) y \(R=2\). En efecto, \(x^2+1=(x-1)(x+1)+2\).
Ejercicio 3. Usar el teorema del resto para determinar el resto de la división de \(P(x)=x^3-4x+7\) entre \(x-2\).
Solución. El resto es \(P(2)\). Como \(P(x)=x^3+0x^2-4x+7\), calculamos:
\[ P(2)=2^3+0\cdot 2^2-4\cdot 2+7=8-8+7=7 \]
El resto es \(7\).
Ejercicio 4. Determinar si \(x-3\) divide a \(P(x)=x^3-6x^2+11x-6\).
Solución. Por el teorema del resto, \(x-3\) divide a \(P(x)\) si y solo si \(P(3)=0\). Calculamos:
\[ P(3)=27-54+33-6=0 \]
Por tanto \(x-3\mid P(x)\).
Ejercicio 5. Dividir \(2x^3-x^2+4x-3\) entre \(x+1\).
Solución. Como \(x+1=x-(-1)\), aplicamos la regla de Ruffini con \(-1\):
\[ \begin{array}{r|rrr|r} -1 & 2 & -1 & 4 & -3 \\ & & -2 & 3 & -7 \\ \hline & 2 & -3 & 7 & -10 \end{array} \]
Por tanto \(Q(x)=2x^2-3x+7\) y \(R=-10\). Luego:
\[ 2x^3-x^2+4x-3=(x+1)(2x^2-3x+7)-10 \]
Ejercicio 6. Determinar el valor de \(k\) para que \(x-2\) divida a \(P(x)=x^3+kx^2-4x+4\).
Solución. Se debe cumplir \(P(2)=0\). Calculamos:
\[ P(2)=8+4k-8+4=4k+4 \]
Imponiendo \(4k+4=0\) se obtiene \(k=-1\).
Ejercicio 7. Dividir \(x^4-1\) entre \(x^2+1\).
Solución. Como el divisor no es de la forma \(x-a\), la regla de Ruffini no es aplicable directamente. Usamos la división larga. Completamos el dividendo:
\[ x^4-1=x^4+0x^3+0x^2+0x-1 \]
Se obtiene:
\[ Q(x)=x^2-1,\qquad R(x)=0 \]
Por tanto:
\[ x^4-1=(x^2+1)(x^2-1) \]
Ejercicio 8. Dividir \(x^3-4x+1\) entre \(x+2\) usando la regla de Ruffini.
Solución. Completamos el polinomio:
\[ x^3-4x+1=x^3+0x^2-4x+1 \]
Como \(x+2=x-(-2)\), aplicamos la regla de Ruffini con \(-2\):
\[ \begin{array}{r|rrr|r} -2 & 1 & 0 & -4 & 1 \\ & & -2 & 4 & 0 \\ \hline & 1 & -2 & 0 & 1 \end{array} \]
Por tanto \(Q(x)=x^2-2x\) y \(R=1\). Luego:
\[ x^3-4x+1=(x+2)(x^2-2x)+1 \]
Ejercicio 9. Sea \(P(x)\) un polinomio. Demostrar que \(x-a\) divide a \(P(x)-P(a)\).
Demostración. Consideremos \(H(x)=P(x)-P(a)\). Por el teorema del resto, \(x-a\) divide a \(H(x)\) si y solo si \(H(a)=0\). Pero:
\[ H(a)=P(a)-P(a)=0 \]
Por tanto:
\[ x-a\mid P(x)-P(a) \]
Conclusión
La división de polinomios es mucho más que un procedimiento de cálculo. A través de la división larga se comprende cómo un polinomio puede reducirse progresivamente eliminando sus términos de mayor grado; a través de la regla de Ruffini se aprecia cómo el mismo procedimiento puede abreviarse cuando el divisor es de la forma \(x-a\).
El teorema de la división euclidiana garantiza que el cociente y el resto existen y son únicos. El teorema del resto muestra además que, al dividir entre \(x-a\), el resto es simplemente \(P(a)\). De aquí nace el vínculo fundamental entre raíces, factores y divisibilidad.
Por este motivo, dominar la división de polinomios supone comprender uno de los mecanismos centrales del álgebra: la capacidad de descomponer, analizar y reconstruir los polinomios a partir de su estructura interna.