Una colección progresiva de 20 ejercicios resueltos sobre fracciones algebraicas, diseñada para aprender a determinar correctamente las condiciones de existencia, simplificar fracciones, realizar operaciones y evitar los errores más frecuentes.
En cada ejercicio, el objetivo central no es solo realizar los cálculos, sino comprender por qué cada paso está justificado. Las fracciones algebraicas dependen esencialmente del denominador: antes de transformarlas, siempre es necesario determinar para qué valores están definidas.
Ejercicio 1 — nivel ★☆☆☆☆
Determinar las condiciones de existencia de la fracción:
\[ \frac{x+1}{x-3} \]
Resultado
\[ x\neq 3 \]
Resolución
Una fracción algebraica está definida únicamente cuando el denominador es distinto de cero. Debemos entonces imponer:
\[ x-3\neq 0. \]
Resolviendo la condición obtenemos:
\[ x\neq 3. \]
Esto significa que la fracción está definida para todos los números reales excepto \(3\).
El dominio es, por tanto:
\[ \mathbb{R}\setminus\{3\}. \]
Ejercicio 2 — nivel ★☆☆☆☆
Determinar el dominio de la fracción:
\[ \frac{2x-1}{x^2-9} \]
Resultado
\[ x\neq -3, \qquad x\neq 3 \]
Resolución
El denominador de la fracción debe ser distinto de cero:
\[ x^2-9\neq 0. \]
Para estudiar esta condición, factorizamos el polinomio:
\[ x^2-9=(x-3)(x+3). \]
La condición se convierte entonces en:
\[ (x-3)(x+3)\neq 0. \]
Un producto es distinto de cero si y solo si ninguno de sus factores es nulo. Debemos pues imponer:
\[ x-3\neq 0 \qquad \text{y} \qquad x+3\neq 0. \]
Obtenemos:
\[ x\neq 3, \qquad x\neq -3. \]
El dominio de la fracción es:
\[ \mathbb{R}\setminus\{-3,3\}. \]
Ejercicio 3 — nivel ★☆☆☆☆
Simplificar la fracción:
\[ \frac{x^2-4}{x^2+4x+4} \]
Resultado
\[ \frac{x-2}{x+2}, \qquad x\neq -2 \]
Resolución
Para simplificar una fracción algebraica debemos primero factorizar el numerador y el denominador.
El numerador es una diferencia de cuadrados:
\[ x^2-4=(x-2)(x+2). \]
El denominador es un cuadrado perfecto:
\[ x^2+4x+4=(x+2)^2. \]
La fracción se convierte entonces en:
\[ \frac{x^2-4}{x^2+4x+4} = \frac{(x-2)(x+2)}{(x+2)^2}. \]
Antes de simplificar debemos imponer la condición de existencia:
\[ (x+2)^2\neq 0. \]
De donde:
\[ x+2\neq 0, \qquad x\neq -2. \]
Ahora podemos simplificar el factor común \(x+2\):
\[ \frac{(x-2)(x+2)}{(x+2)^2} = \frac{x-2}{x+2}. \]
Por tanto:
\[ \frac{x^2-4}{x^2+4x+4} = \frac{x-2}{x+2}, \qquad x\neq -2. \]
La condición \(x\neq -2\) debe mantenerse también después de la simplificación.
Ejercicio 4 — nivel ★☆☆☆☆
Simplificar:
\[ \frac{3x^2}{6x} \]
Resultado
\[ \frac{x}{2}, \qquad x\neq 0 \]
Resolución
Incluso cuando una fracción algebraica parece muy sencilla, la primera comprobación concierne siempre al denominador. En este caso el denominador es:
\[ 6x. \]
Una fracción está definida únicamente si el denominador es distinto de cero, por lo que debemos imponer:
\[ 6x\neq 0. \]
Como \(6\) es distinto de cero, el producto \(6x\) se anula únicamente cuando \(x=0\). Por tanto:
\[ x\neq 0. \]
Ahora podemos proceder a la simplificación. Escribimos el numerador poniendo de manifiesto sus factores:
\[ 3x^2=3\cdot x\cdot x. \]
El denominador también puede escribirse como:
\[ 6x=6\cdot x. \]
Luego:
\[ \frac{3x^2}{6x} = \frac{3\cdot x\cdot x}{6\cdot x}. \]
El factor \(x\) aparece tanto en el numerador como en el denominador. Podemos simplificarlo porque ya hemos establecido que \(x\neq 0\). Si \(x\) fuera igual a cero, el denominador inicial se anularía y la fracción no tendría sentido.
Queda:
\[ \frac{3x}{6}. \]
Ahora simplificamos el coeficiente numérico:
\[ \frac{3x}{6}=\frac{x}{2}. \]
Luego:
\[ \frac{3x^2}{6x} = \frac{x}{2}, \qquad x\neq 0. \]
La condición \(x\neq 0\) debe mantenerse. En efecto, la fracción inicial no está definida para \(x=0\), mientras que la expresión \(\frac{x}{2}\) sí lo estaría. Sin la condición de existencia perderíamos, por tanto, información esencial.
Ejercicio 5 — nivel ★★☆☆☆
Simplificar:
\[ \frac{x^2+5x}{x^2-25} \]
Resultado
\[ \frac{x}{x-5}, \qquad x\neq -5,\ 5 \]
Resolución
Para simplificar una fracción algebraica debemos transformar el numerador y el denominador en productos. Solo así podemos identificar posibles factores comunes.
Consideremos el numerador:
\[ x^2+5x. \]
Los dos términos tienen en común el factor \(x\). Sacándolo como factor común, obtenemos:
\[ x^2+5x=x(x+5). \]
Consideremos ahora el denominador:
\[ x^2-25. \]
Se trata de una diferencia de cuadrados, ya que:
\[ 25=5^2. \]
Por tanto:
\[ x^2-25=x^2-5^2=(x-5)(x+5). \]
La fracción puede entonces reescribirse así:
\[ \frac{x^2+5x}{x^2-25} = \frac{x(x+5)}{(x-5)(x+5)}. \]
Antes de simplificar el factor común \(x+5\), debemos determinar las condiciones de existencia de la fracción inicial. El denominador debe ser distinto de cero:
\[ x^2-25\neq 0. \]
Usando la factorización recién hallada, esta condición se convierte en:
\[ (x-5)(x+5)\neq 0. \]
Un producto es distinto de cero si ninguno de sus factores es nulo. Luego:
\[ x-5\neq 0 \qquad \text{y} \qquad x+5\neq 0. \]
De donde:
\[ x\neq 5 \qquad \text{y} \qquad x\neq -5. \]
Ahora podemos simplificar el factor común \(x+5\):
\[ \frac{x(x+5)}{(x-5)(x+5)} = \frac{x}{x-5}. \]
Por tanto:
\[ \frac{x^2+5x}{x^2-25} = \frac{x}{x-5}, \qquad x\neq -5,\ 5. \]
El valor \(x=-5\) debe permanecer excluido aunque el factor \(x+5\) haya sido eliminado de la expresión final. La simplificación cambia la forma de la fracción, pero no modifica el dominio de la fracción inicial.
Ejercicio 6 — nivel ★★☆☆☆
Simplificar:
\[ \frac{x^2-3x}{x^2-6x+9} \]
Resultado
\[ \frac{x}{x-3}, \qquad x\neq 3 \]
Resolución
Para simplificar correctamente la fracción, debemos primero factorizar el numerador y el denominador.
Comencemos por el numerador:
\[ x^2-3x. \]
Ambos términos contienen el factor \(x\). Sacándolo como factor común, obtenemos:
\[ x^2-3x=x(x-3). \]
Consideremos ahora el denominador:
\[ x^2-6x+9. \]
Este trinomio es un cuadrado perfecto. En efecto:
\[ (x-3)^2=x^2-6x+9. \]
Por tanto:
\[ x^2-6x+9=(x-3)^2. \]
La fracción se convierte en:
\[ \frac{x^2-3x}{x^2-6x+9} = \frac{x(x-3)}{(x-3)^2}. \]
Antes de simplificar debemos imponer la condición de existencia. El denominador inicial no puede ser igual a cero:
\[ x^2-6x+9\neq 0. \]
Como:
\[ x^2-6x+9=(x-3)^2, \]
la condición se convierte en:
\[ (x-3)^2\neq 0. \]
Un cuadrado es distinto de cero si y solo si su base es distinta de cero. Luego:
\[ x-3\neq 0. \]
De donde:
\[ x\neq 3. \]
Ahora podemos simplificar un factor \(x-3\):
\[ \frac{x(x-3)}{(x-3)^2} = \frac{x}{x-3}. \]
Obtenemos pues:
\[ \frac{x^2-3x}{x^2-6x+9} = \frac{x}{x-3}, \qquad x\neq 3. \]
La condición \(x\neq 3\) no es un detalle secundario: para \(x=3\) el denominador de la fracción inicial se anula, por lo que ese valor no puede ser admitido.
Ejercicio 7 — nivel ★★☆☆☆
Reducir al mismo denominador:
\[ \frac{2}{x} \qquad \text{y} \qquad \frac{3}{x+1} \]
Resultado
\[ \frac{2(x+1)}{x(x+1)} \qquad \text{y} \qquad \frac{3x}{x(x+1)}, \qquad x\neq -1,\ 0 \]
Resolución
Reducir dos fracciones al mismo denominador significa transformarlas en fracciones equivalentes con un denominador común. Esta operación es indispensable, por ejemplo, cuando se desea sumar o restar fracciones algebraicas.
Los denominadores de las dos fracciones son:
\[ x \qquad \text{y} \qquad x+1. \]
Antes de construir el denominador común, determinemos las condiciones de existencia. Debemos imponer:
\[ x\neq 0 \qquad \text{y} \qquad x+1\neq 0. \]
La segunda condición equivale a:
\[ x\neq -1. \]
Las condiciones globales son pues:
\[ x\neq 0, \qquad x\neq -1. \]
Como los denominadores \(x\) y \(x+1\) no tienen factores comunes, el mínimo común denominador es su producto:
\[ x(x+1). \]
Consideremos la primera fracción:
\[ \frac{2}{x}. \]
Para obtener el denominador \(x(x+1)\), debemos multiplicar numerador y denominador por el factor que falta, \(x+1\):
\[ \frac{2}{x} = \frac{2(x+1)}{x(x+1)}. \]
Consideremos ahora la segunda fracción:
\[ \frac{3}{x+1}. \]
En este caso el factor que falta es \(x\), luego:
\[ \frac{3}{x+1} = \frac{3x}{x(x+1)}. \]
Las dos fracciones reducidas al mismo denominador son pues:
\[ \frac{2(x+1)}{x(x+1)} \qquad \text{y} \qquad \frac{3x}{x(x+1)}, \qquad x\neq -1,\ 0. \]
Las condiciones de existencia garantizan que los factores usados en los denominadores no sean nulos. Por esta razón, las transformaciones realizadas producen fracciones equivalentes en el dominio común.
Ejercicio 8 — nivel ★★☆☆☆
Calcular:
\[ \frac{1}{x-2}+\frac{3}{x+2} \]
Resultado
\[ \frac{4(x-1)}{(x-2)(x+2)}, \qquad x\neq -2,\ 2 \]
Resolución
Para sumar dos fracciones algebraicas con distinto denominador, debemos primero reducirlas al mismo denominador. Antes de realizar cualquier transformación, sin embargo, determinemos las condiciones de existencia.
Los denominadores son:
\[ x-2 \qquad \text{y} \qquad x+2. \]
Debemos entonces imponer:
\[ x-2\neq 0 \qquad \text{y} \qquad x+2\neq 0. \]
De estas condiciones obtenemos:
\[ x\neq 2 \qquad \text{y} \qquad x\neq -2. \]
El denominador común más conveniente es el producto de los dos denominadores:
\[ (x-2)(x+2). \]
En la primera fracción falta el factor \(x+2\). Multiplicamos entonces numerador y denominador por \(x+2\):
\[ \frac{1}{x-2} = \frac{x+2}{(x-2)(x+2)}. \]
En la segunda fracción falta el factor \(x-2\). Multiplicamos numerador y denominador por \(x-2\):
\[ \frac{3}{x+2} = \frac{3(x-2)}{(x-2)(x+2)}. \]
Ahora las dos fracciones tienen el mismo denominador, de modo que podemos sumar los numeradores y conservar el denominador común:
\[ \frac{1}{x-2}+\frac{3}{x+2} = \frac{x+2+3(x-2)}{(x-2)(x+2)}. \]
Desarrollamos el numerador:
\[ x+2+3(x-2)=x+2+3x-6. \]
Reducimos los términos semejantes:
\[ x+2+3x-6=4x-4. \]
Por tanto:
\[ \frac{1}{x-2}+\frac{3}{x+2} = \frac{4x-4}{(x-2)(x+2)}. \]
Podemos sacar factor \(4\) en el numerador:
\[ 4x-4=4(x-1). \]
Luego:
\[ \frac{1}{x-2}+\frac{3}{x+2} = \frac{4(x-1)}{(x-2)(x+2)}, \qquad x\neq -2,\ 2. \]
No hay simplificaciones adicionales, ya que el factor \(x-1\) no aparece en el denominador. Las condiciones \(x\neq -2\) y \(x\neq 2\) deben en cambio mantenerse indicadas, pues provienen de los denominadores iniciales.
Ejercicio 9 — nivel ★★☆☆☆
Calcular:
\[ \frac{x}{x+1}-\frac{1}{x-1} \]
Resultado
\[ \frac{x^2-2x-1}{(x+1)(x-1)}, \qquad x\neq -1,\ 1 \]
Resolución
La expresión contiene una diferencia entre fracciones algebraicas. Como siempre, comenzamos por las condiciones de existencia, es decir, por los valores que no pueden asignarse a la variable.
Los denominadores son:
\[ x+1 \qquad \text{y} \qquad x-1. \]
Debemos imponer:
\[ x+1\neq 0 \qquad \text{y} \qquad x-1\neq 0. \]
Luego:
\[ x\neq -1 \qquad \text{y} \qquad x\neq 1. \]
El denominador común es:
\[ (x+1)(x-1). \]
En la primera fracción falta el factor \(x-1\), luego:
\[ \frac{x}{x+1} = \frac{x(x-1)}{(x+1)(x-1)}. \]
En la segunda fracción falta el factor \(x+1\), luego:
\[ \frac{1}{x-1} = \frac{x+1}{(x+1)(x-1)}. \]
Ahora podemos restar los numeradores. Es importante conservar los paréntesis, ya que el signo menos se distribuye sobre todo el numerador de la segunda fracción:
\[ \frac{x}{x+1}-\frac{1}{x-1} = \frac{x(x-1)-(x+1)}{(x+1)(x-1)}. \]
Desarrollamos el numerador:
\[ x(x-1)-(x+1)=x^2-x-x-1. \]
Reducimos los términos semejantes:
\[ x^2-x-x-1=x^2-2x-1. \]
Obtenemos pues:
\[ \frac{x}{x+1}-\frac{1}{x-1} = \frac{x^2-2x-1}{(x+1)(x-1)}. \]
El numerador no contiene ni el factor \(x+1\) ni el factor \(x-1\), por lo que no es posible simplificar.
Por tanto:
\[ \frac{x}{x+1}-\frac{1}{x-1} = \frac{x^2-2x-1}{(x+1)(x-1)}, \qquad x\neq -1,\ 1. \]
Ejercicio 10 — nivel ★★☆☆☆
Calcular:
\[ \frac{x^2-1}{x}\cdot \frac{2x}{x+1} \]
Resultado
\[ 2(x-1), \qquad x\neq -1,\ 0 \]
Resolución
En un producto de fracciones algebraicas casi siempre conviene factorizar los polinomios antes de multiplicar. De este modo podemos identificar inmediatamente posibles factores comunes y simplificar los cálculos.
Antes, no obstante, determinemos las condiciones de existencia. Los denominadores presentes son:
\[ x \qquad \text{y} \qquad x+1. \]
Debemos entonces imponer:
\[ x\neq 0 \qquad \text{y} \qquad x+1\neq 0. \]
La segunda condición equivale a:
\[ x\neq -1. \]
Luego las condiciones de existencia son:
\[ x\neq 0, \qquad x\neq -1. \]
Consideremos ahora el producto:
\[ \frac{x^2-1}{x}\cdot \frac{2x}{x+1}. \]
El numerador \(x^2-1\) es una diferencia de cuadrados:
\[ x^2-1=(x-1)(x+1). \]
Sustituyendo esta factorización, obtenemos:
\[ \frac{x^2-1}{x}\cdot \frac{2x}{x+1} = \frac{(x-1)(x+1)}{x}\cdot \frac{2x}{x+1}. \]
En este punto podemos simplificar el factor \(x+1\), que aparece en el numerador de la primera fracción y en el denominador de la segunda.
Esta simplificación es válida porque en el dominio hemos impuesto \(x+1\neq 0\), es decir, \(x\neq -1\).
También podemos simplificar el factor \(x\), que aparece en el denominador de la primera fracción y en el numerador de la segunda. Esta operación también es válida porque hemos impuesto \(x\neq 0\).
Tras las simplificaciones queda:
\[ 2(x-1). \]
Por tanto:
\[ \frac{x^2-1}{x}\cdot \frac{2x}{x+1} = 2(x-1), \qquad x\neq -1,\ 0. \]
Aunque el resultado final sea un polinomio, las condiciones de existencia no deben olvidarse: la expresión inicial no estaba definida para \(x=0\) ni para \(x=-1\).
Ejercicio 11 — nivel ★★★☆☆
Calcular:
\[ \frac{x^2-4}{x^2-2x}:\frac{x+2}{x} \]
Resultado
\[ 1, \qquad x\neq -2,\ 0,\ 2 \]
Resolución
La expresión contiene una división entre fracciones algebraicas. En estos casos es necesario comprobar no solo que los denominadores sean distintos de cero, sino también que la fracción divisor sea distinta de cero.
El denominador de la primera fracción es:
\[ x^2-2x. \]
Lo factorizamos sacando \(x\) como factor común:
\[ x^2-2x=x(x-2). \]
Debemos entonces imponer:
\[ x(x-2)\neq 0. \]
De donde:
\[ x\neq 0, \qquad x\neq 2. \]
El denominador de la segunda fracción es también \(x\), por lo que encontramos de nuevo la condición:
\[ x\neq 0. \]
Ahora debemos considerar una condición adicional: la fracción \(\frac{x+2}{x}\) es el divisor. Como no se puede dividir entre cero, debe cumplirse:
\[ \frac{x+2}{x}\neq 0. \]
En el dominio en que \(x\neq 0\), una fracción es igual a cero si y solo si su numerador es igual a cero. Debemos entonces imponer:
\[ x+2\neq 0. \]
De donde:
\[ x\neq -2. \]
Las condiciones globales son:
\[ x\neq -2,\qquad x\neq 0,\qquad x\neq 2. \]
Ahora podemos transformar la división en multiplicación por la fracción recíproca:
\[ \frac{x^2-4}{x^2-2x}:\frac{x+2}{x} = \frac{x^2-4}{x^2-2x}\cdot \frac{x}{x+2}. \]
Factorizamos los polinomios presentes:
\[ x^2-4=(x-2)(x+2) \]
y
\[ x^2-2x=x(x-2). \]
Sustituyendo, obtenemos:
\[ \frac{x^2-4}{x^2-2x}\cdot \frac{x}{x+2} = \frac{(x-2)(x+2)}{x(x-2)}\cdot \frac{x}{x+2}. \]
En este punto podemos simplificar los factores comunes. El factor \(x-2\) aparece en el numerador y en el denominador, el factor \(x+2\) aparece en el numerador y en el denominador, y lo mismo ocurre con \(x\).
Todas estas simplificaciones son válidas porque hemos excluido los valores que harían nulos dichos factores:
\[ x\neq 2,\qquad x\neq -2,\qquad x\neq 0. \]
Tras las simplificaciones queda:
\[ 1. \]
Luego:
\[ \frac{x^2-4}{x^2-2x}:\frac{x+2}{x} = 1, \qquad x\neq -2,\ 0,\ 2. \]
El resultado final es una constante, pero la expresión inicial no estaba definida para \(x=-2\), \(x=0\) y \(x=2\). Por ello las condiciones de existencia deben mantenerse indicadas.
Ejercicio 12 — nivel ★★★☆☆
Simplificar:
\[ \frac{x^2+2x+1}{x^2-1} \]
Resultado
\[ \frac{x+1}{x-1}, \qquad x\neq -1,\ 1 \]
Resolución
Para simplificar una fracción algebraica debemos primero factorizar el numerador y el denominador. Solo tras esta operación podemos identificar los factores comunes que se pueden simplificar.
Consideremos el numerador:
\[ x^2+2x+1. \]
Este trinomio es el cuadrado del binomio \(x+1\), en efecto:
\[ (x+1)^2=x^2+2x+1. \]
Por tanto:
\[ x^2+2x+1=(x+1)^2. \]
Consideremos ahora el denominador:
\[ x^2-1. \]
Se trata de una diferencia de cuadrados:
\[ x^2-1=x^2-1^2. \]
Aplicando la fórmula de la diferencia de cuadrados obtenemos:
\[ x^2-1=(x-1)(x+1). \]
La fracción se convierte en:
\[ \frac{x^2+2x+1}{x^2-1} = \frac{(x+1)^2}{(x-1)(x+1)}. \]
Antes de simplificar el factor común \(x+1\), debemos determinar las condiciones de existencia de la fracción inicial:
\[ x^2-1\neq 0. \]
Usando la factorización:
\[ x^2-1=(x-1)(x+1), \]
obtenemos:
\[ (x-1)(x+1)\neq 0. \]
Un producto es distinto de cero si y solo si ninguno de sus factores es nulo. Por tanto:
\[ x-1\neq 0 \qquad \text{y} \qquad x+1\neq 0. \]
De donde:
\[ x\neq 1 \qquad \text{y} \qquad x\neq -1. \]
Ahora podemos simplificar un factor \(x+1\):
\[ \frac{(x+1)^2}{(x-1)(x+1)} = \frac{x+1}{x-1}. \]
Por tanto:
\[ \frac{x^2+2x+1}{x^2-1} = \frac{x+1}{x-1}, \qquad x\neq -1,\ 1. \]
El valor \(x=-1\) debe permanecer excluido aunque el factor \(x+1\) haya sido simplificado. En efecto, la fracción inicial no estaba definida para \(x=-1\).
Ejercicio 13 — nivel ★★★☆☆
Calcular:
\[ \frac{2}{x-1}+\frac{x}{x^2-1} \]
Resultado
\[ \frac{3x+2}{x^2-1}, \qquad x\neq -1,\ 1 \]
Resolución
La expresión contiene una suma de fracciones algebraicas. Para sumar fracciones con distinto denominador, debemos primero llevarlas al mismo denominador.
Pero antes determinemos las condiciones de existencia. Los denominadores son:
\[ x-1 \qquad \text{y} \qquad x^2-1. \]
Debemos imponer:
\[ x-1\neq 0 \qquad \text{y} \qquad x^2-1\neq 0. \]
Factorizamos:
\[ x^2-1=(x-1)(x+1). \]
Las condiciones se convierten entonces en:
\[ x-1\neq 0 \qquad \text{y} \qquad (x-1)(x+1)\neq 0. \]
De aquí obtenemos:
\[ x\neq 1, \qquad x\neq -1. \]
El denominador común más conveniente es:
\[ x^2-1=(x-1)(x+1). \]
La segunda fracción ya tiene este denominador:
\[ \frac{x}{x^2-1}. \]
La primera fracción, en cambio, tiene denominador \(x-1\). Para obtener el denominador \((x-1)(x+1)\), debemos multiplicar numerador y denominador por \(x+1\):
\[ \frac{2}{x-1} = \frac{2(x+1)}{(x-1)(x+1)}. \]
Ahora podemos sumar:
\[ \frac{2}{x-1}+\frac{x}{x^2-1} = \frac{2(x+1)+x}{(x-1)(x+1)}. \]
Desarrollamos el numerador:
\[ 2(x+1)+x=2x+2+x. \]
Reducimos los términos semejantes:
\[ 2x+2+x=3x+2. \]
Por tanto:
\[ \frac{2}{x-1}+\frac{x}{x^2-1} = \frac{3x+2}{(x-1)(x+1)}. \]
Como \((x-1)(x+1)=x^2-1\), también podemos escribir:
\[ \frac{3x+2}{(x-1)(x+1)} = \frac{3x+2}{x^2-1}. \]
Luego:
\[ \frac{2}{x-1}+\frac{x}{x^2-1} = \frac{3x+2}{x^2-1}, \qquad x\neq -1,\ 1. \]
No podemos simplificar más, ya que el numerador \(3x+2\) no tiene factores comunes con el denominador.
Ejercicio 14 — nivel ★★★☆☆
Simplificar la expresión:
\[ \left(\frac{x}{x+2}-\frac{2}{x}\right)\cdot \frac{x(x+2)}{x-2} \]
Resultado
\[ \frac{x^2-2x-4}{x-2}, \qquad x\neq -2,\ 0,\ 2 \]
Resolución
La expresión contiene un paréntesis con una diferencia entre fracciones algebraicas y luego un producto. Antes de realizar los cálculos, debemos determinar las condiciones de existencia.
Los denominadores presentes son:
\[ x+2,\qquad x,\qquad x-2. \]
Debemos entonces imponer:
\[ x+2\neq 0,\qquad x\neq 0,\qquad x-2\neq 0. \]
De donde:
\[ x\neq -2,\qquad x\neq 0,\qquad x\neq 2. \]
Ahora simplificamos primero el paréntesis:
\[ \frac{x}{x+2}-\frac{2}{x}. \]
El denominador común es:
\[ x(x+2). \]
En la primera fracción falta el factor \(x\), luego:
\[ \frac{x}{x+2} = \frac{x^2}{x(x+2)}. \]
En la segunda fracción falta el factor \(x+2\), luego:
\[ \frac{2}{x} = \frac{2(x+2)}{x(x+2)}. \]
Restando las dos fracciones obtenemos:
\[ \frac{x}{x+2}-\frac{2}{x} = \frac{x^2-2(x+2)}{x(x+2)}. \]
Desarrollamos el numerador:
\[ x^2-2(x+2)=x^2-2x-4. \]
Por tanto el paréntesis es igual a:
\[ \frac{x^2-2x-4}{x(x+2)}. \]
La expresión inicial se convierte en:
\[ \frac{x^2-2x-4}{x(x+2)}\cdot \frac{x(x+2)}{x-2}. \]
Ahora podemos simplificar el factor común \(x(x+2)\), que aparece en el denominador de la primera fracción y en el numerador de la segunda.
Esta simplificación es válida porque en las condiciones de existencia ya hemos excluido \(x=0\) y \(x=-2\), es decir, los valores que anularían dichos factores.
Queda:
\[ \frac{x^2-2x-4}{x-2}. \]
No podemos simplificar más con \(x-2\), porque el numerador \(x^2-2x-4\) no tiene \(x-2\) como factor. En efecto, sustituyendo \(x=2\), se obtiene:
\[ 2^2-2\cdot 2-4=4-4-4=-4\neq 0. \]
Luego:
\[ \left(\frac{x}{x+2}-\frac{2}{x}\right)\cdot \frac{x(x+2)}{x-2} = \frac{x^2-2x-4}{x-2}, \qquad x\neq -2,\ 0,\ 2. \]
Ejercicio 15 — nivel ★★★☆☆
Resolver la ecuación fraccionaria:
\[ \frac{x+1}{x-3}=2 \]
Resultado
\[ S=\{7\} \]
Resolución
En una ecuación fraccionaria el primer paso consiste siempre en determinar las condiciones de existencia. En efecto, los valores que anulan los denominadores no pueden ser soluciones de la ecuación.
En este caso el denominador es:
\[ x-3. \]
Debemos entonces imponer:
\[ x-3\neq 0. \]
De donde:
\[ x\neq 3. \]
Ahora podemos resolver la ecuación:
\[ \frac{x+1}{x-3}=2. \]
Multiplicamos ambos miembros por \(x-3\). Esta operación es válida porque estamos trabajando en el dominio de la ecuación, donde \(x-3\neq 0\).
Obtenemos:
\[ x+1=2(x-3). \]
Desarrollamos el segundo miembro:
\[ x+1=2x-6. \]
Llevamos los términos en \(x\) a un lado y los términos independientes al otro:
\[ 1+6=2x-x. \]
Luego:
\[ 7=x. \]
Hemos encontrado el valor \(x=7\). Ahora debemos verificar que satisface la condición de existencia.
Como:
\[ 7\neq 3, \]
el valor encontrado es aceptable.
Por tanto:
\[ S=\{7\}. \]
Ejercicio 16 — nivel ★★★☆☆
Resolver la ecuación fraccionaria:
\[ \frac{x}{x-1}=\frac{2}{x-1} \]
Resultado
\[ S=\{2\} \]
Resolución
Antes de resolver la ecuación, determinemos las condiciones de existencia. El denominador es \(x-1\), por lo que debe ser distinto de cero:
\[ x-1\neq 0. \]
De donde:
\[ x\neq 1. \]
En el dominio de la ecuación los dos miembros tienen el mismo denominador:
\[ x-1. \]
Como este denominador es distinto de cero, podemos igualar los numeradores:
\[ x=2. \]
En este punto debemos comprobar si el valor encontrado es compatible con la condición de existencia.
La condición exige:
\[ x\neq 1. \]
Como \(2\neq 1\), el valor \(x=2\) es aceptable.
Luego el conjunto de soluciones es:
\[ S=\{2\}. \]
Ejercicio 17 — nivel ★★★★☆
Resolver la ecuación fraccionaria:
\[ \frac{x+2}{x-1}=\frac{3x}{x-1} \]
Resultado
\[ S=\varnothing \]
Resolución
Antes de resolver la ecuación debemos determinar las condiciones de existencia. Aunque los denominadores sean iguales, no podemos omitir este paso.
El denominador común es:
\[ x-1. \]
Debemos entonces imponer:
\[ x-1\neq 0. \]
De donde:
\[ x\neq 1. \]
En el dominio de la ecuación el denominador \(x-1\) es distinto de cero. Podemos entonces igualar los numeradores:
\[ x+2=3x. \]
Llevamos los términos en \(x\) a un lado:
\[ 2=3x-x. \]
Luego:
\[ 2=2x. \]
Dividiendo por \(2\), obtenemos:
\[ x=1. \]
El valor encontrado debe, sin embargo, compararse con la condición de existencia. Habíamos impuesto:
\[ x\neq 1. \]
El valor \(x=1\) no es pues aceptable, ya que anula el denominador inicial:
\[ 1-1=0. \]
En consecuencia, el valor encontrado debe ser descartado.
La ecuación no tiene solución:
\[ S=\varnothing. \]
Ejercicio 18 — nivel ★★★★☆
Resolver la ecuación fraccionaria:
\[ \frac{1}{x}+\frac{1}{x+1}=1 \]
Resultado
\[ S= \left\{ \frac{1-\sqrt{5}}{2}, \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right\} \]
Resolución
Comenzamos por las condiciones de existencia. Los denominadores presentes en la ecuación son:
\[ x \qquad \text{y} \qquad x+1. \]
Debemos entonces imponer:
\[ x\neq 0 \qquad \text{y} \qquad x+1\neq 0. \]
La segunda condición equivale a:
\[ x\neq -1. \]
Luego:
\[ x\neq 0, \qquad x\neq -1. \]
Ahora resolvemos la ecuación:
\[ \frac{1}{x}+\frac{1}{x+1}=1. \]
El denominador común es:
\[ x(x+1). \]
En el dominio de la ecuación este producto es distinto de cero. Podemos entonces multiplicar ambos miembros por \(x(x+1)\).
Multiplicando el primer término por \(x(x+1)\), obtenemos:
\[ \frac{1}{x}\cdot x(x+1)=x+1. \]
Multiplicando el segundo término por \(x(x+1)\), obtenemos:
\[ \frac{1}{x+1}\cdot x(x+1)=x. \]
Multiplicando el segundo miembro por \(x(x+1)\), obtenemos:
\[ 1\cdot x(x+1)=x(x+1). \]
La ecuación se convierte entonces en:
\[ x+1+x=x(x+1). \]
Sumamos los términos semejantes en el primer miembro:
\[ 2x+1=x(x+1). \]
Desarrollamos el segundo miembro:
\[ 2x+1=x^2+x. \]
Llevamos todos los términos al segundo miembro:
\[ 0=x^2+x-2x-1. \]
Reduciendo los términos semejantes:
\[ 0=x^2-x-1. \]
Debemos entonces resolver:
\[ x^2-x-1=0. \]
Aplicamos la fórmula resolutiva de la ecuación de segundo grado:
\[ x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}. \]
En este caso:
\[ a=1,\qquad b=-1,\qquad c=-1. \]
Por ello:
\[ x=\frac{-(-1)\pm\sqrt{(-1)^2-4\cdot 1\cdot(-1)}}{2\cdot 1}. \]
Simplificando:
\[ x=\frac{1\pm\sqrt{1+4}}{2}. \]
Luego:
\[ x=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}. \]
Debemos ahora verificar que los valores encontrados sean compatibles con las condiciones de existencia. Las condiciones eran:
\[ x\neq 0, \qquad x\neq -1. \]
Los dos valores
\[ \frac{1-\sqrt{5}}{2} \qquad \text{y} \qquad \frac{1+\sqrt{5}}{2} \]
no son ni \(0\) ni \(-1\), por lo que ambos son aceptables.
Por tanto:
\[ S= \left\{ \frac{1-\sqrt{5}}{2}, \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right\}. \]
Ejercicio 19 — nivel ★★★★☆
Simplificar:
\[ \frac{x^2-5x+6}{x^2-4}\cdot \frac{x+2}{x-3} \]
Resultado
\[ 1, \qquad x\neq -2,\ 2,\ 3 \]
Resolución
La expresión contiene un producto de fracciones algebraicas. Antes de efectuar el producto conviene factorizar todos los polinomios. No obstante, las condiciones de existencia deben determinarse a partir de los denominadores de la expresión inicial.
Los denominadores son:
\[ x^2-4 \qquad \text{y} \qquad x-3. \]
Debemos entonces imponer:
\[ x^2-4\neq 0 \qquad \text{y} \qquad x-3\neq 0. \]
Factorizamos el primer denominador:
\[ x^2-4=(x-2)(x+2). \]
La condición \(x^2-4\neq 0\) se convierte entonces en:
\[ (x-2)(x+2)\neq 0. \]
Un producto es distinto de cero si ninguno de sus factores es nulo. Luego:
\[ x-2\neq 0 \qquad \text{y} \qquad x+2\neq 0. \]
De donde:
\[ x\neq 2 \qquad \text{y} \qquad x\neq -2. \]
De la segunda condición obtenemos en cambio:
\[ x-3\neq 0 \qquad \Longrightarrow \qquad x\neq 3. \]
Las condiciones de existencia globales son pues:
\[ x\neq -2,\qquad x\neq 2,\qquad x\neq 3. \]
Pasemos ahora a la simplificación. Factorizamos el numerador de la primera fracción:
\[ x^2-5x+6. \]
Buscamos dos números cuyo producto sea \(6\) y cuya suma sea \(-5\). Dichos números son \(-2\) y \(-3\). Por tanto:
\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3). \]
Además, como ya se ha visto:
\[ x^2-4=(x-2)(x+2). \]
La expresión se convierte en:
\[ \frac{(x-2)(x-3)}{(x-2)(x+2)}\cdot \frac{x+2}{x-3}. \]
En este punto podemos simplificar los factores comunes.
El factor \(x-2\) aparece en el numerador y en el denominador de la primera fracción. Podemos simplificarlo porque hemos excluido \(x=2\).
El factor \(x+2\) aparece en el denominador de la primera fracción y en el numerador de la segunda. Podemos simplificarlo porque hemos excluido \(x=-2\).
El factor \(x-3\) aparece en el numerador de la primera fracción y en el denominador de la segunda. Podemos simplificarlo porque hemos excluido \(x=3\).
Tras estas simplificaciones no queda ningún factor variable:
\[ 1. \]
Por tanto:
\[ \frac{x^2-5x+6}{x^2-4}\cdot \frac{x+2}{x-3} = 1, \qquad x\neq -2,\ 2,\ 3. \]
Aunque el resultado final sea la constante \(1\), no podemos olvidar las condiciones de existencia. La expresión inicial, en efecto, no está definida para \(x=-2\), \(x=2\) y \(x=3\).
Ejercicio 20 — nivel ★★★★★
Simplificar la expresión:
\[ \left(\frac{x+1}{x^2-1}-\frac{1}{x-1}\right):\frac{x}{x+1} \]
Resultado
\[ 0, \qquad x\neq -1,\ 0,\ 1 \]
Resolución
Esta expresión contiene primero una diferencia entre fracciones algebraicas y luego una división por otra fracción. Por este motivo las condiciones de existencia deben determinarse con especial atención.
Los denominadores presentes son:
\[ x^2-1,\qquad x-1,\qquad x+1. \]
Debemos entonces imponer:
\[ x^2-1\neq 0,\qquad x-1\neq 0,\qquad x+1\neq 0. \]
Factorizamos:
\[ x^2-1=(x-1)(x+1). \]
Las condiciones sobre los denominadores conducen pues a:
\[ x\neq 1 \qquad \text{y} \qquad x\neq -1. \]
Existe, sin embargo, una condición adicional. La fracción
\[ \frac{x}{x+1} \]
es el divisor de la expresión. Dividir por una fracción equivale a multiplicar por su recíproca, pero esto solo es posible si la fracción divisor es distinta de cero.
Debemos entonces imponer:
\[ \frac{x}{x+1}\neq 0. \]
En el dominio en que \(x+1\neq 0\), una fracción es igual a cero si y solo si su numerador es igual a cero. Por tanto debemos excluir también:
\[ x=0. \]
Las condiciones globales son:
\[ x\neq -1,\qquad x\neq 0,\qquad x\neq 1. \]
Ahora trabajamos sobre el paréntesis:
\[ \frac{x+1}{x^2-1}-\frac{1}{x-1}. \]
Factorizamos el denominador de la primera fracción:
\[ x^2-1=(x-1)(x+1). \]
Luego:
\[ \frac{x+1}{x^2-1} = \frac{x+1}{(x-1)(x+1)}. \]
En el dominio de la expresión sabemos que \(x+1\neq 0\). Podemos entonces simplificar el factor común \(x+1\):
\[ \frac{x+1}{(x-1)(x+1)} = \frac{1}{x-1}. \]
El paréntesis se convierte en:
\[ \frac{1}{x-1}-\frac{1}{x-1}. \]
La diferencia entre dos fracciones iguales es cero:
\[ \frac{1}{x-1}-\frac{1}{x-1}=0. \]
La expresión inicial se reduce entonces a:
\[ 0:\frac{x}{x+1}. \]
Por las condiciones de existencia hemos impuesto que:
\[ \frac{x}{x+1}\neq 0. \]
Por tanto la división es válida y el resultado es:
\[ 0. \]
Luego:
\[ \left(\frac{x+1}{x^2-1}-\frac{1}{x-1}\right):\frac{x}{x+1} = 0, \qquad x\neq -1,\ 0,\ 1. \]
El resultado final es cero, pero la expresión inicial no está definida para \(x=-1\), \(x=0\) y \(x=1\). Estos valores deben por tanto permanecer excluidos.