Una colección progresiva de 20 ejercicios resueltos sobre el valor absoluto, diseñada para aprender a emplear correctamente la definición de módulo, su significado geométrico y las principales propiedades operativas.
En cada ejercicio, el valor absoluto no se trata como una simple regla mecánica para «quitar el signo menos», sino como una cantidad que mide una distancia. Por ello, cada paso se justifica con cuidado, distinguiendo los casos en que la expresión dentro del módulo es positiva, nula o negativa.
Los ejercicios parten del cálculo directo de valores absolutos numéricos y progresan gradualmente hacia expresiones literales, distancias en la recta real, simplificaciones con módulos y primeras ecuaciones con valor absoluto.
Ejercicio 1 — nivel ★☆☆☆☆
Calcular:
\[ |7| \]
Resultado
\[ |7|=7 \]
Resolución
El valor absoluto de un número real mide su distancia a \(0\) en la recta real. Dado que una distancia no puede ser negativa, el valor absoluto es siempre un número mayor o igual que cero.
En este caso, el número dentro del valor absoluto es \(7\). Como:
\[ 7>0, \]
debemos aplicar el primer caso de la definición:
\[ |x|=x \qquad \text{si } x\geq 0. \]
Por tanto:
\[ |7|=7. \]
Geométricamente, esto significa que el número \(7\) se encuentra a una distancia de \(7\) de \(0\) en la recta real.
Ejercicio 2 — nivel ★☆☆☆☆
Calcular:
\[ |-9| \]
Resultado
\[ |-9|=9 \]
Resolución
El número dentro del valor absoluto es \(-9\), es decir, un número negativo.
En este caso debemos aplicar la segunda rama de la definición de valor absoluto:
\[ |x|=-x \qquad \text{si } x<0. \]
Aquí \(x=-9\). Entonces:
\[ |-9|=-(-9). \]
Como el opuesto de \(-9\) es \(9\), obtenemos:
\[ |-9|=9. \]
Esto no significa que el valor absoluto «cambie siempre el signo». Significa, más bien, que devuelve la distancia del número a \(0\). El número \(-9\) se encuentra a \(9\) unidades de \(0\), de modo que su valor absoluto es \(9\).
Ejercicio 3 — nivel ★☆☆☆☆
Calcular:
\[ |0| \]
Resultado
\[ |0|=0 \]
Resolución
El valor absoluto de \(0\) es \(0\), porque \(0\) tiene distancia nula de sí mismo.
También podemos verificarlo directamente desde la definición. Como:
\[ 0\geq 0, \]
se aplica el primer caso:
\[ |x|=x \qquad \text{si } x\geq 0. \]
Sustituyendo \(x=0\), obtenemos:
\[ |0|=0. \]
Este ejemplo es importante porque muestra que el valor absoluto no devuelve siempre un número positivo, sino un número no negativo. En efecto, \(0\) no es positivo: es nulo.
Ejercicio 4 — nivel ★☆☆☆☆
Calcular:
\[ |3-8| \]
Resultado
\[ |3-8|=5 \]
Resolución
Antes de aplicar el valor absoluto, debemos calcular la expresión que se encuentra en su interior.
Tenemos:
\[ 3-8=-5. \]
Así, la expresión se convierte en:
\[ |3-8|=|-5|. \]
El número \(-5\) es negativo. Por definición, si \(x<0\), entonces:
\[ |x|=-x. \]
Aplicando esta regla a \(x=-5\), obtenemos:
\[ |-5|=-(-5)=5. \]
Por tanto:
\[ |3-8|=5. \]
El error que hay que evitar es escribir directamente \(|3-8|=3-8\). Eso sería incorrecto, porque primero hay que determinar si la expresión interior es positiva, nula o negativa.
Ejercicio 5 — nivel ★★☆☆☆
Calcular:
\[ |-4|+|6|-|{-2}| \]
Resultado
\[ |-4|+|6|-|{-2}|=8 \]
Resolución
La expresión contiene varios valores absolutos. Conviene calcularlos uno a uno, observando el signo de los números que aparecen en el interior de los módulos.
Consideremos el primer valor absoluto:
\[ |-4|. \]
Como \(-4\) es negativo, su valor absoluto es su opuesto:
\[ |-4|=4. \]
Consideremos ahora:
\[ |6|. \]
Como \(6\) es positivo, el valor absoluto coincide con el número mismo:
\[ |6|=6. \]
Finalmente:
\[ |{-2}|. \]
Como \(-2\) es negativo, tenemos:
\[ |{-2}|=2. \]
Sustituimos estos valores en la expresión inicial:
\[ |-4|+|6|-|{-2}|=4+6-2. \]
Efectuamos ahora los cálculos:
\[ 4+6-2=10-2=8. \]
Por tanto:
\[ |-4|+|6|-|{-2}|=8. \]
Este ejercicio muestra que el valor absoluto debe calcularse antes que las operaciones externas. Solo tras haber eliminado correctamente los módulos podemos efectuar sumas y restas.
Ejercicio 6 — nivel ★★☆☆☆
Calcular:
\[ |2-7|+|-3| \]
Resultado
\[ |2-7|+|-3|=8 \]
Resolución
Para calcular correctamente la expresión, debemos simplificar primero lo que se encuentra en el interior de los valores absolutos.
Consideremos el primer módulo:
\[ |2-7|. \]
Efectuamos la resta:
\[ 2-7=-5. \]
Entonces:
\[ |2-7|=|-5|. \]
Como \(-5\) es negativo, su valor absoluto es:
\[ |-5|=5. \]
Consideremos ahora el segundo valor absoluto:
\[ |-3|. \]
También \(-3\) es negativo, por lo que:
\[ |-3|=3. \]
Sustituyendo estos resultados en la expresión inicial, obtenemos:
\[ |2-7|+|-3|=5+3. \]
Efectuando la suma:
\[ 5+3=8. \]
Por tanto:
\[ |2-7|+|-3|=8. \]
Desde el punto de vista geométrico, los valores absolutos representan distancias en la recta real. Las distancias son siempre cantidades no negativas, razón por la cual los módulos se transforman en números positivos o nulos.
Ejercicio 7 — nivel ★★☆☆☆
Simplificar:
\[ |x| \qquad \text{sabiendo que } x<0 \]
Resultado
\[ |x|=-x \]
Resolución
La expresión contiene una variable, por lo que no podemos calcular directamente el valor absoluto como hicimos en los ejercicios numéricos. En su lugar, debemos utilizar la definición.
El enunciado nos dice que:
\[ x<0. \]
Esto significa que \(x\) es un número negativo.
Por definición:
\[ |x|= \begin{cases} x & \text{si } x\geq 0,\\ -x & \text{si } x<0. \end{cases} \]
Como nos encontramos en el caso \(x<0\), debemos aplicar la segunda rama de la definición:
\[ |x|=-x. \]
Es importante comprender el significado de esta expresión. Si \(x\) es negativo, entonces \(-x\) es positivo. Por ejemplo, si:
\[ x=-4, \]
entonces:
\[ |x|=-(-4)=4. \]
Por tanto:
\[ |x|=-x \qquad \text{cuando } x<0. \]
Ejercicio 8 — nivel ★★☆☆☆
Simplificar:
\[ |x-3| \qquad \text{sabiendo que } x>3 \]
Resultado
\[ |x-3|=x-3 \]
Resolución
Para eliminar el valor absoluto debemos estudiar el signo de la expresión que se encuentra en su interior.
En el interior del módulo aparece:
\[ x-3. \]
El enunciado nos dice que:
\[ x>3. \]
Restando \(3\) a ambos miembros de la inecuación, obtenemos:
\[ x-3>0. \]
Por tanto, la expresión dentro del valor absoluto es positiva.
Cuando una cantidad es positiva o nula, el valor absoluto coincide con la cantidad misma:
\[ |a|=a \qquad \text{si } a\geq 0. \]
Aplicando esta propiedad con \(a=x-3\), obtenemos:
\[ |x-3|=x-3. \]
Geométricamente, esto significa que para valores de \(x\) mayores que \(3\), la distancia entre \(x\) y \(3\) coincide simplemente con \(x-3\).
Ejercicio 9 — nivel ★★☆☆☆
Simplificar:
\[ |x-3| \qquad \text{sabiendo que } x<3 \]
Resultado
\[ |x-3|=3-x \]
Resolución
También en este ejercicio debemos estudiar el signo de la expresión que aparece dentro del módulo.
La expresión es:
\[ x-3. \]
El enunciado nos dice que:
\[ x<3. \]
Restando \(3\) a ambos miembros, obtenemos:
\[ x-3<0. \]
Por tanto, la expresión dentro del valor absoluto es negativa.
Cuando una cantidad es negativa, el valor absoluto es igual a su opuesto:
\[ |a|=-a \qquad \text{si } a<0. \]
Aplicando esta regla a \(a=x-3\), obtenemos:
\[ |x-3|=-(x-3). \]
Ahora eliminamos el paréntesis cambiando el signo a todos los términos:
\[ -(x-3)=-x+3. \]
También podemos escribir:
\[ -x+3=3-x. \]
Por tanto:
\[ |x-3|=3-x. \]
Este resultado es coherente con la interpretación geométrica del valor absoluto. Si \(x\) se encuentra a la izquierda de \(3\) en la recta real, la distancia entre \(x\) y \(3\) viene dada por \(3-x\).
Ejercicio 10 — nivel ★★★☆☆
Calcular:
\[ |{-3}\cdot 4| \]
Resultado
\[ |{-3}\cdot 4|=12 \]
Resolución
Podemos resolver el ejercicio de dos maneras distintas.
El primer método consiste en calcular primero el producto dentro del valor absoluto.
Tenemos:
\[ -3\cdot 4=-12. \]
Así:
\[ |{-3}\cdot 4|=|-12|. \]
Como \(-12\) es negativo:
\[ |-12|=12. \]
Por tanto, obtenemos:
\[ |{-3}\cdot 4|=12. \]
No obstante, también podemos utilizar la propiedad del valor absoluto del producto:
\[ |ab|=|a|\cdot |b|. \]
Aplicándola, obtenemos:
\[ |{-3}\cdot 4|=|{-3}|\cdot |4|. \]
Ahora:
\[ |{-3}|=3 \qquad \text{y} \qquad |4|=4. \]
Por tanto:
\[ |{-3}\cdot 4|=3\cdot 4=12. \]
Ambos métodos conducen al mismo resultado:
\[ |{-3}\cdot 4|=12. \]
Ejercicio 11 — nivel ★★★☆☆
Calcular:
\[ \left|\frac{-12}{3}\right| \]
Resultado
\[ \left|\frac{-12}{3}\right|=4 \]
Resolución
También en este ejercicio podemos proceder de dos maneras distintas.
El primer método consiste en calcular primero la división que aparece en el interior del valor absoluto.
Tenemos:
\[ \frac{-12}{3}=-4. \]
La expresión se convierte entonces en:
\[ \left|\frac{-12}{3}\right|=|-4|. \]
Como \(-4\) es negativo, su valor absoluto es su opuesto:
\[ |-4|=4. \]
Por tanto:
\[ \left|\frac{-12}{3}\right|=4. \]
No obstante, también podemos utilizar la propiedad del valor absoluto del cociente:
\[ \left|\frac{a}{b}\right|=\frac{|a|}{|b|} \qquad \text{con } b\neq 0. \]
Aplicando esta propiedad, obtenemos:
\[ \left|\frac{-12}{3}\right| = \frac{|-12|}{|3|}. \]
Ahora:
\[ |-12|=12 \qquad \text{y} \qquad |3|=3. \]
Por tanto:
\[ \frac{|-12|}{|3|} = \frac{12}{3}=4. \]
También con este método obtenemos:
\[ \left|\frac{-12}{3}\right|=4. \]
Ejercicio 12 — nivel ★★★☆☆
Simplificar:
\[ \sqrt{(-5)^2} \]
Resultado
\[ \sqrt{(-5)^2}=5 \]
Resolución
Este ejercicio es muy importante porque permite aclarar una de las propiedades fundamentales del valor absoluto:
\[ \sqrt{x^2}=|x|. \]
Muchos estudiantes escriben erróneamente:
\[ \sqrt{x^2}=x, \]
pero esta igualdad no es válida para todos los números reales. La raíz cuadrada principal devuelve siempre un número no negativo.
En nuestro caso:
\[ \sqrt{(-5)^2}=|-5|. \]
Calculamos ahora el valor absoluto:
\[ |-5|=5. \]
Por tanto:
\[ \sqrt{(-5)^2}=5. \]
También podemos verificar el resultado directamente:
\[ (-5)^2=25. \]
Por tanto:
\[ \sqrt{25}=5. \]
El resultado es \(5\), y no \(-5\), porque la raíz cuadrada principal es siempre no negativa.
Ejercicio 13 — nivel ★★★☆☆
Calcular la distancia entre los números:
\[ -2 \qquad \text{y} \qquad 5 \]
Resultado
\[ 7 \]
Resolución
La distancia entre dos números reales \(a\) y \(b\) se calcula mediante el valor absoluto de su diferencia:
\[ |a-b|. \]
En este ejercicio los dos números son:
\[ a=-2 \qquad \text{y} \qquad b=5. \]
Podemos escribir entonces:
\[ |-2-5|. \]
Efectuamos la resta:
\[ -2-5=-7. \]
Obtenemos:
\[ |-7|. \]
Como \(-7\) es negativo:
\[ |-7|=7. \]
Por tanto, la distancia entre \(-2\) y \(5\) es:
\[ 7. \]
Geométricamente, esto significa que en la recta real se necesitan \(7\) unidades para ir de \(-2\) a \(5\).
Ejercicio 14 — nivel ★★★☆☆
Simplificar:
\[ |x|^2 \]
Resultado
\[ |x|^2=x^2 \]
Resolución
Una propiedad fundamental del valor absoluto establece que:
\[ |x|^2=x^2. \]
Esta igualdad es válida para todo número real \(x\).
Para entender por qué, debemos distinguir dos casos.
Primer caso: \(x\geq 0\).
En este caso:
\[ |x|=x. \]
Elevando al cuadrado:
\[ |x|^2=x^2. \]
Segundo caso: \(x<0\).
En este caso:
\[ |x|=-x. \]
Elevando al cuadrado:
\[ |x|^2=(-x)^2. \]
Pero el cuadrado de un número y el cuadrado de su opuesto coinciden:
\[ (-x)^2=x^2. \]
Por tanto, también en este caso:
\[ |x|^2=x^2. \]
Podemos concluir entonces que:
\[ |x|^2=x^2 \]
para todo número real \(x\).
Ejercicio 15 — nivel ★★★★☆
Resolver:
\[ |x|=4 \]
Resultado
\[ S=\{-4,4\} \]
Resolución
La ecuación:
\[ |x|=4 \]
pide encontrar todos los números que tienen distancia \(4\) de \(0\) en la recta real.
Existen dos números con esta propiedad:
\[ 4 \qquad \text{y} \qquad -4. \]
En efecto:
\[ |4|=4 \]
y:
\[ |-4|=4. \]
Podemos escribir entonces:
\[ x=4 \qquad \text{o bien} \qquad x=-4. \]
El conjunto de soluciones es, pues:
\[ S=\{-4,4\}. \]
En general, cuando:
\[ |x|=a \qquad \text{con } a>0, \]
las soluciones son:
\[ x=\pm a. \]
Ejercicio 16 — nivel ★★★★☆
Resolver:
\[ |x|=0 \]
Resultado
\[ S=\{0\} \]
Resolución
El valor absoluto de un número representa su distancia a \(0\) en la recta real.
La ecuación:
\[ |x|=0 \]
pide entonces encontrar todos los números que tienen distancia nula de \(0\).
Existe un único número con esta propiedad:
\[ x=0. \]
En efecto:
\[ |0|=0. \]
Ningún otro número satisface la ecuación, porque el valor absoluto de un número distinto de cero es siempre estrictamente positivo.
Podemos concluir entonces que:
\[ S=\{0\}. \]
Ejercicio 17 — nivel ★★★★☆
Resolver:
\[ |x|=-3 \]
Resultado
\[ S=\varnothing \]
Resolución
El valor absoluto de un número real es siempre mayor o igual que cero. En efecto:
\[ |x|\geq 0 \]
para todo número real \(x\).
En la ecuación:
\[ |x|=-3 \]
el segundo miembro es negativo.
Esto es imposible, porque una distancia no puede ser negativa.
Por consiguiente, no existe ningún número real cuyo valor absoluto sea igual a \(-3\).
La ecuación no tiene soluciones:
\[ S=\varnothing. \]
Ejercicio 18 — nivel ★★★★☆
Resolver:
\[ |x-2|=5 \]
Resultado
\[ S=\{-3,7\} \]
Resolución
La ecuación:
\[ |x-2|=5 \]
expresa una distancia. En particular, \(|x-2|\) representa la distancia entre \(x\) y \(2\) en la recta real.
La ecuación pide entonces encontrar todos los números que distan \(5\) unidades de \(2\).
En la recta real existen dos posibilidades:
- el número se encuentra \(5\) unidades a la derecha de \(2\);
- el número se encuentra \(5\) unidades a la izquierda de \(2\).
Desde el punto de vista algebraico, esto equivale a resolver las dos ecuaciones:
\[ x-2=5 \]
o bien:
\[ x-2=-5. \]
Resolvemos la primera:
\[ x-2=5. \]
Sumando \(2\) a ambos miembros:
\[ x=7. \]
Resolvemos ahora la segunda:
\[ x-2=-5. \]
Sumando \(2\) a ambos miembros:
\[ x=-3. \]
Las soluciones de la ecuación son, pues:
\[ x=-3 \qquad \text{o bien} \qquad x=7. \]
Por tanto:
\[ S=\{-3,7\}. \]
Ejercicio 19 — nivel ★★★★★
Resolver:
\[ |2x-1|=7 \]
Resultado
\[ S=\left\{-3,4\right\} \]
Resolución
Cuando una ecuación tiene la forma:
\[ |A|=k \qquad \text{con } k>0, \]
debemos considerar dos posibilidades:
\[ A=k \]
o bien:
\[ A=-k. \]
En nuestro caso:
\[ A=2x-1 \qquad \text{y} \qquad k=7. \]
Debemos resolver, pues, las dos ecuaciones:
\[ 2x-1=7 \]
o bien:
\[ 2x-1=-7. \]
Resolvemos la primera:
\[ 2x-1=7. \]
Sumamos \(1\) a ambos miembros:
\[ 2x=8. \]
Dividiendo por \(2\):
\[ x=4. \]
Pasamos ahora a la segunda ecuación:
\[ 2x-1=-7. \]
Sumamos \(1\):
\[ 2x=-6. \]
Dividiendo por \(2\):
\[ x=-3. \]
Las soluciones de la ecuación son, pues:
\[ x=-3 \qquad \text{o bien} \qquad x=4. \]
Por tanto:
\[ S=\left\{-3,4\right\}. \]
Ejercicio 20 — nivel ★★★★★
Resolver:
\[ |x+4|=|x-2| \]
Resultado
\[ S=\{-1\} \]
Resolución
La ecuación:
\[ |x+4|=|x-2| \]
compara dos distancias.
El término:
\[ |x+4|=|x-(-4)| \]
representa la distancia entre \(x\) y \(-4\).
El término:
\[ |x-2| \]
representa, en cambio, la distancia entre \(x\) y \(2\).
La ecuación pide entonces encontrar el punto de la recta real que equidista de \(-4\) y de \(2\).
Intuitivamente, ese punto es el punto medio entre \(-4\) y \(2\).
Calculemos ahora la solución de manera algebraica.
Elevamos al cuadrado ambos miembros:
\[ |x+4|^2=|x-2|^2. \]
Como:
\[ |a|^2=a^2, \]
obtenemos:
\[ (x+4)^2=(x-2)^2. \]
Desarrollamos ambos cuadrados:
\[ x^2+8x+16=x^2-4x+4. \]
Eliminamos \(x^2\) de ambos miembros:
\[ 8x+16=-4x+4. \]
Llevamos los términos con \(x\) al primer miembro y los términos independientes al segundo:
\[ 8x+4x=4-16. \]
Obtenemos:
\[ 12x=-12. \]
Dividiendo por \(12\):
\[ x=-1. \]
Comprobamos:
\[ |-1+4|=|3|=3 \]
y:
\[ |-1-2|=|-3|=3. \]
Ambos miembros coinciden, por lo que la solución es correcta.
Por tanto:
\[ S=\{-1\}. \]