Una colección progresiva de 20 ejercicios resueltos sobre ecuaciones de grado superior, pensada para aprender a reconocer la estructura de una ecuación incluso antes de comenzar los cálculos. Cada ejercicio muestra no solo los pasos algebraicos, sino también la razón por la que puede aplicarse una determinada técnica.
Recordemos que una ecuación de grado superior es una ecuación polinómica de grado al menos \(3\). En la mayoría de los casos no se resuelve aplicando una fórmula general, sino intentando transformar el polinomio en un producto de factores más simples.
El principio fundamental es:
\[ A\cdot B=0 \quad \Longleftrightarrow \quad A=0 \ \text{o} \ B=0 \]
Por este motivo, el objetivo principal será siempre el mismo: factorizar el polinomio y después igualar a cero cada factor.
Ejercicio 1 — nivel ★☆☆☆☆
Resolver:
\[ x^3-5x^2=0 \]
Resultado
\[ S=\{0,5\} \]
Resolución
Observación inicial
La ecuación es de tercer grado, porque el mayor exponente de la variable es \(3\). Sin embargo, no debemos buscar inmediatamente fórmulas complicadas: primero hay que observar la estructura del polinomio.
Tenemos:
\[ x^3-5x^2=0 \]
Los dos términos \(x^3\) y \(-5x^2\) tienen un factor común. En efecto:
\[ x^3=x^2\cdot x \]
y:
\[ -5x^2=x^2\cdot(-5) \]
Extracción del factor común
Como ambos términos contienen \(x^2\), podemos factorizar \(x^2\):
\[ x^3-5x^2=x^2(x-5) \]
La ecuación se transforma entonces en:
\[ x^2(x-5)=0 \]
Aplicación del principio de anulación del producto
Ahora tenemos un producto igual a cero. Un producto es igual a cero si al menos uno de sus factores es igual a cero.
Por lo tanto:
\[ x^2=0 \]
o bien:
\[ x-5=0 \]
Resolución de las ecuaciones obtenidas
De la primera ecuación:
\[ x^2=0 \]
se deduce necesariamente:
\[ x=0 \]
De la segunda ecuación:
\[ x-5=0 \]
obtenemos:
\[ x=5 \]
Conclusión
Las soluciones de la ecuación son:
\[ S=\{0,5\} \]
Observemos que \(x=0\) proviene del factor \(x^2\). Sin embargo, en el conjunto solución lo escribimos una sola vez.
Ejercicio 2 — nivel ★☆☆☆☆
Resolver:
\[ x^4-9x^2=0 \]
Resultado
\[ S=\{-3,0,3\} \]
Resolución
Análisis de la estructura
La ecuación es:
\[ x^4-9x^2=0 \]
También en este caso los dos términos tienen un factor común. En efecto:
\[ x^4=x^2\cdot x^2 \]
y:
\[ -9x^2=x^2\cdot(-9) \]
Por tanto, podemos factorizar \(x^2\).
Primera factorización
Extrayendo \(x^2\), obtenemos:
\[ x^4-9x^2=x^2(x^2-9) \]
Así, la ecuación queda:
\[ x^2(x^2-9)=0 \]
Factorización adicional
El factor:
\[ x^2-9 \]
todavía no está completamente factorizado. Como \(9=3^2\), tenemos:
\[ x^2-9=x^2-3^2 \]
Aplicamos la fórmula de la diferencia de cuadrados:
\[ a^2-b^2=(a-b)(a+b) \]
En nuestro caso \(a=x\) y \(b=3\), por lo tanto:
\[ x^2-9=(x-3)(x+3) \]
Forma completamente factorizada
La ecuación se transforma en:
\[ x^2(x-3)(x+3)=0 \]
Ahora el polinomio está escrito como producto de factores.
Anulación de los factores
Por el principio de anulación del producto, debemos igualar cada factor a cero:
\[ x^2=0 \]
o bien:
\[ x-3=0 \]
o bien:
\[ x+3=0 \]
Resolución
De la primera ecuación:
\[ x^2=0 \]
se obtiene:
\[ x=0 \]
De la segunda:
\[ x-3=0 \]
se obtiene:
\[ x=3 \]
De la tercera:
\[ x+3=0 \]
se obtiene:
\[ x=-3 \]
Conclusión
Las soluciones son:
\[ S=\{-3,0,3\} \]
Ejercicio 3 — nivel ★☆☆☆☆
Resolver:
\[ x^3-8=0 \]
Resultado
\[ S=\{2\} \]
Resolución
Reconocimiento de la estructura
La ecuación es:
\[ x^3-8=0 \]
Aquí no hay un factor común que extraer. Sin embargo, podemos reconocer una diferencia de cubos, porque:
\[ 8=2^3 \]
Por tanto:
\[ x^3-8=x^3-2^3 \]
Fórmula de la diferencia de cubos
Recordemos la fórmula:
\[ a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) \]
En nuestro caso:
\[ a=x,\qquad b=2 \]
Por consiguiente:
\[ x^3-2^3=(x-2)(x^2+2x+4) \]
Ecuación factorizada
La ecuación se transforma en:
\[ (x-2)(x^2+2x+4)=0 \]
Ahora podemos igualar a cero cada factor.
Primer factor
Del factor:
\[ x-2=0 \]
obtenemos:
\[ x=2 \]
Segundo factor
Consideramos ahora:
\[ x^2+2x+4=0 \]
Esta es una ecuación de segundo grado. Para saber si tiene soluciones reales, calculamos el discriminante:
\[ \Delta=b^2-4ac \]
Aquí:
\[ a=1,\qquad b=2,\qquad c=4 \]
por tanto:
\[ \Delta=2^2-4\cdot1\cdot4 \]
es decir:
\[ \Delta=4-16=-12 \]
Como el discriminante es negativo, la ecuación no tiene soluciones reales.
Conclusión
La única solución real de la ecuación inicial es:
\[ S=\{2\} \]
Ejercicio 4 — nivel ★★☆☆☆
Resolver:
\[ x^4-16=0 \]
Resultado
\[ S=\{-2,2\} \]
Resolución
Primer reconocimiento
La ecuación es:
\[ x^4-16=0 \]
Observamos que \(x^4\) puede escribirse como un cuadrado:
\[ x^4=(x^2)^2 \]
Además:
\[ 16=4^2 \]
Por lo tanto, el polinomio es una diferencia de cuadrados:
\[ x^4-16=(x^2)^2-4^2 \]
Primera factorización
Aplicamos:
\[ a^2-b^2=(a-b)(a+b) \]
con:
\[ a=x^2,\qquad b=4 \]
Obtenemos:
\[ x^4-16=(x^2-4)(x^2+4) \]
Comprobación de la factorización
No debemos detenernos demasiado pronto. El factor:
\[ x^2-4 \]
sigue siendo una diferencia de cuadrados, porque:
\[ 4=2^2 \]
Entonces:
\[ x^2-4=(x-2)(x+2) \]
Forma final
La ecuación se transforma en:
\[ (x-2)(x+2)(x^2+4)=0 \]
Anulación de los factores
Igualamos cada factor a cero.
Del primer factor:
\[ x-2=0 \]
obtenemos:
\[ x=2 \]
Del segundo factor:
\[ x+2=0 \]
obtenemos:
\[ x=-2 \]
Queda:
\[ x^2+4=0 \]
es decir:
\[ x^2=-4 \]
Esta ecuación no tiene soluciones reales, porque el cuadrado de un número real no puede ser negativo.
Conclusión
Las soluciones reales son:
\[ S=\{-2,2\} \]
Ejercicio 5 — nivel ★★☆☆☆
Resolver:
\[ x^4-5x^2+4=0 \]
Resultado
\[ S=\{-2,-1,1,2\} \]
Resolución
Reconocimiento de la ecuación bicuadrada
La ecuación es:
\[ x^4-5x^2+4=0 \]
Observamos que solo aparecen:
\[ x^4,\qquad x^2,\qquad 1 \]
En cambio, no aparecen potencias impares de \(x\), como \(x^3\) o \(x\). Esto sugiere utilizar una sustitución.
Sustitución
Tomamos:
\[ y=x^2 \]
Entonces:
\[ x^4=(x^2)^2=y^2 \]
Sustituyendo en la ecuación inicial, obtenemos:
\[ y^2-5y+4=0 \]
Hemos transformado la ecuación de cuarto grado en una ecuación de segundo grado en la variable \(y\).
Resolución de la ecuación en \(y\)
Debemos resolver:
\[ y^2-5y+4=0 \]
Buscamos dos números cuyo producto sea \(4\) y cuya suma sea \(-5\). Esos números son \(-1\) y \(-4\), pues:
\[ (-1)(-4)=4 \]
y:
\[ -1-4=-5 \]
Por tanto:
\[ y^2-5y+4=(y-1)(y-4) \]
La ecuación queda:
\[ (y-1)(y-4)=0 \]
Por consiguiente:
\[ y-1=0 \]
o bien:
\[ y-4=0 \]
es decir:
\[ y=1 \qquad \text{o bien} \qquad y=4 \]
Vuelta a la variable inicial
Ahora debemos recordar que:
\[ y=x^2 \]
Por tanto, los dos valores obtenidos para \(y\) generan dos ecuaciones en \(x\).
De:
\[ y=1 \]
obtenemos:
\[ x^2=1 \]
luego:
\[ x=\pm1 \]
De:
\[ y=4 \]
obtenemos:
\[ x^2=4 \]
luego:
\[ x=\pm2 \]
Conclusión
Las soluciones son:
\[ x=-2,\quad x=-1,\quad x=1,\quad x=2 \]
Por tanto:
\[ S=\{-2,-1,1,2\} \]
Observación importante
En las ecuaciones bicuadradas hay que tener cuidado al volver de la variable \(y\) a la variable \(x\). De \(x^2=4\), por ejemplo, no se obtiene solo \(x=2\), sino también \(x=-2\).
Ejercicio 6 — nivel ★★☆☆☆
Resolver:
\[ x^6-9x^3=0 \]
Resultado
\[ S=\left\{0,\sqrt[3]{9}\right\} \]
Resolución
Análisis inicial
La ecuación es:
\[ x^6-9x^3=0 \]
El grado de la ecuación es \(6\), porque el mayor exponente de la variable es \(6\). Sin embargo, su estructura es bastante sencilla: ambos términos contienen una potencia común de \(x\).
En efecto:
\[ x^6=x^3\cdot x^3 \]
y:
\[ -9x^3=x^3\cdot(-9) \]
Extracción del factor común
Por tanto, podemos extraer \(x^3\) como factor común:
\[ x^6-9x^3=x^3(x^3-9) \]
La ecuación se convierte en:
\[ x^3(x^3-9)=0 \]
Principio del producto nulo
Ahora tenemos un producto igual a cero. Por tanto, al menos uno de los factores debe ser igual a cero:
\[ x^3=0 \]
o bien:
\[ x^3-9=0 \]
Resolución del primer factor
De la primera ecuación:
\[ x^3=0 \]
se obtiene:
\[ x=0 \]
En efecto, el único número real cuyo cubo es cero es precisamente \(0\).
Resolución del segundo factor
Consideramos ahora:
\[ x^3-9=0 \]
Pasamos \(9\) al segundo miembro:
\[ x^3=9 \]
Para despejar \(x\), extraemos la raíz cúbica:
\[ x=\sqrt[3]{9} \]
Esta es una solución real, porque todo número real admite una raíz cúbica real.
Conclusión
Las soluciones reales de la ecuación son:
\[ S=\left\{0,\sqrt[3]{9}\right\} \]
Ejercicio 7 — nivel ★★☆☆☆
Resolver:
\[ x^4+2x^2-3=0 \]
Resultado
\[ S=\{-1,1\} \]
Resolución
Reconocimiento de la forma
La ecuación es:
\[ x^4+2x^2-3=0 \]
Observamos que solo aparecen potencias pares de la variable:
\[ x^4,\qquad x^2,\qquad x^0 \]
Esto sugiere tratarla como una ecuación bicuadrada, es decir, como una ecuación de segundo grado respecto de \(x^2\).
Sustitución
Tomamos:
\[ y=x^2 \]
Entonces:
\[ x^4=(x^2)^2=y^2 \]
Sustituyendo en la ecuación inicial, obtenemos:
\[ y^2+2y-3=0 \]
Resolución de la ecuación en \(y\)
Debemos resolver:
\[ y^2+2y-3=0 \]
Buscamos dos números cuyo producto sea \(-3\) y cuya suma sea \(2\). Los números son \(3\) y \(-1\), pues:
\[ 3\cdot(-1)=-3 \]
y:
\[ 3+(-1)=2 \]
Por tanto:
\[ y^2+2y-3=(y+3)(y-1) \]
La ecuación queda:
\[ (y+3)(y-1)=0 \]
Por consiguiente:
\[ y+3=0 \]
o bien:
\[ y-1=0 \]
es decir:
\[ y=-3 \qquad \text{o bien} \qquad y=1 \]
Vuelta a la variable \(x\)
Recordemos que:
\[ y=x^2 \]
Por tanto, el valor \(y=-3\) conduce a:
\[ x^2=-3 \]
Esta ecuación no tiene soluciones reales, porque el cuadrado de un número real no puede ser negativo.
En cambio, el valor \(y=1\) conduce a:
\[ x^2=1 \]
de donde:
\[ x=\pm1 \]
Conclusión
Por tanto, las soluciones reales son:
\[ S=\{-1,1\} \]
Ejercicio 8 — nivel ★★☆☆☆
Resolver:
\[ x^3+3x^2-4x-12=0 \]
Resultado
\[ S=\{-3,-2,2\} \]
Resolución
Observación inicial
La ecuación es:
\[ x^3+3x^2-4x-12=0 \]
No hay un factor común a todos los términos. Sin embargo, los términos pueden agruparse de dos en dos de una forma útil.
Escribimos:
\[ x^3+3x^2-4x-12=(x^3+3x^2)+(-4x-12) \]
Factorización por agrupación
En el primer grupo:
\[ x^3+3x^2 \]
podemos extraer \(x^2\):
\[ x^3+3x^2=x^2(x+3) \]
En el segundo grupo:
\[ -4x-12 \]
podemos extraer \(-4\):
\[ -4x-12=-4(x+3) \]
Por tanto:
\[ x^3+3x^2-4x-12=x^2(x+3)-4(x+3) \]
Extracción del factor binomial común
Ahora aparece el mismo factor \((x+3)\) en ambos términos:
\[ x^2(x+3)-4(x+3) \]
Podemos extraer \((x+3)\):
\[ x^2(x+3)-4(x+3)=(x+3)(x^2-4) \]
Nueva descomposición
El factor:
\[ x^2-4 \]
es una diferencia de cuadrados:
\[ x^2-4=(x-2)(x+2) \]
Por tanto:
\[ x^3+3x^2-4x-12=(x+3)(x-2)(x+2) \]
Ecuación factorizada
La ecuación queda:
\[ (x+3)(x-2)(x+2)=0 \]
Anulación de los factores
Igualamos cada factor a cero:
\[ x+3=0 \]
o bien:
\[ x-2=0 \]
o bien:
\[ x+2=0 \]
Obtenemos respectivamente:
\[ x=-3,\qquad x=2,\qquad x=-2 \]
Conclusión
Las soluciones son:
\[ S=\{-3,-2,2\} \]
Ejercicio 9 — nivel ★★★☆☆
Resolver:
\[ x^3-6x^2+11x-6=0 \]
Resultado
\[ S=\{1,2,3\} \]
Resolución
Observación inicial
La ecuación es:
\[ x^3-6x^2+11x-6=0 \]
No se puede factorizar de forma inmediata mediante extracción de un factor común ni mediante productos notables. En estos casos, cuando el polinomio tiene coeficientes enteros, una estrategia natural consiste en buscar posibles raíces racionales.
Búsqueda de una raíz racional
Si un polinomio con coeficientes enteros admite una raíz entera, esta debe ser un divisor del término independiente. El término independiente es \(-6\), por lo que probamos entre los divisores de \(6\):
\[ \pm1,\quad \pm2,\quad \pm3,\quad \pm6 \]
Denotemos:
\[ P(x)=x^3-6x^2+11x-6 \]
Calculamos \(P(1)\):
\[ P(1)=1^3-6\cdot1^2+11\cdot1-6 \]
es decir:
\[ P(1)=1-6+11-6=0 \]
Por tanto, \(x=1\) es una raíz del polinomio.
Significado de la raíz encontrada
Si \(x=1\) es una raíz, entonces el polinomio es divisible por:
\[ x-1 \]
Esto significa que podemos escribir:
\[ x^3-6x^2+11x-6=(x-1)Q(x) \]
donde \(Q(x)\) es un polinomio de segundo grado.
División mediante la regla de Ruffini
Dividimos el polinomio entre \(x-1\). Los coeficientes del polinomio son:
\[ 1,\quad -6,\quad 11,\quad -6 \]
Aplicando la regla de Ruffini con la raíz \(1\), se obtiene como cociente:
\[ x^2-5x+6 \]
Por tanto:
\[ x^3-6x^2+11x-6=(x-1)(x^2-5x+6) \]
Factorización del trinomio de segundo grado
Ahora debemos factorizar:
\[ x^2-5x+6 \]
Buscamos dos números cuyo producto sea \(6\) y cuya suma sea \(-5\). Los números son \(-2\) y \(-3\), pues:
\[ (-2)(-3)=6 \]
y:
\[ -2-3=-5 \]
Por tanto:
\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3) \]
Forma completamente factorizada
La ecuación inicial se transforma en:
\[ (x-1)(x-2)(x-3)=0 \]
Aplicación del principio del producto nulo
Un producto es nulo si al menos uno de sus factores es nulo. Por tanto:
\[ x-1=0 \]
o bien:
\[ x-2=0 \]
o bien:
\[ x-3=0 \]
De aquí se obtiene:
\[ x=1,\qquad x=2,\qquad x=3 \]
Conclusión
Las soluciones de la ecuación son:
\[ S=\{1,2,3\} \]
Ejercicio 10 — nivel ★★★☆☆
Resolver:
\[ x^6-13x^3+36=0 \]
Resultado
\[ S=\left\{\sqrt[3]{4},\sqrt[3]{9}\right\} \]
Resolución
Reconocimiento de la estructura trinómica
La ecuación es:
\[ x^6-13x^3+36=0 \]
Observamos que los exponentes que aparecen son \(6\), \(3\) y \(0\). En particular:
\[ x^6=(x^3)^2 \]
Esto sugiere una sustitución análoga a la que se usa en las ecuaciones de segundo grado.
Sustitución
Tomamos:
\[ y=x^3 \]
Entonces:
\[ x^6=(x^3)^2=y^2 \]
Sustituyendo en la ecuación, obtenemos:
\[ y^2-13y+36=0 \]
Resolución de la ecuación en \(y\)
Factorizamos el trinomio:
\[ y^2-13y+36 \]
Buscamos dos números cuyo producto sea \(36\) y cuya suma sea \(-13\). Los números son \(-4\) y \(-9\), porque:
\[ (-4)(-9)=36 \]
y:
\[ -4-9=-13 \]
Por tanto:
\[ y^2-13y+36=(y-4)(y-9) \]
La ecuación queda:
\[ (y-4)(y-9)=0 \]
Por consiguiente:
\[ y=4 \qquad \text{o bien} \qquad y=9 \]
Vuelta a la variable inicial
Como hemos tomado:
\[ y=x^3 \]
debemos resolver:
\[ x^3=4 \]
o bien:
\[ x^3=9 \]
En el campo real, toda ecuación de la forma \(x^3=a\) tiene una única solución real:
\[ x=\sqrt[3]{a} \]
Así obtenemos:
\[ x=\sqrt[3]{4} \]
o bien:
\[ x=\sqrt[3]{9} \]
Conclusión
Las soluciones reales son:
\[ S=\left\{\sqrt[3]{4},\sqrt[3]{9}\right\} \]
Ejercicio 11 — nivel ★★★☆☆
Resolver:
\[ x^5-4x^3=0 \]
Resultado
\[ S=\{-2,0,2\} \]
Resolución
Análisis inicial
La ecuación es:
\[ x^5-4x^3=0 \]
El mayor exponente es \(5\), por lo que se trata de una ecuación de quinto grado. Sin embargo, no debemos dejarnos engañar por el grado: el polinomio tiene un factor común evidente.
En efecto:
\[ x^5=x^3\cdot x^2 \]
y:
\[ -4x^3=x^3\cdot(-4) \]
Extracción del factor común
Sacamos factor común \(x^3\):
\[ x^5-4x^3=x^3(x^2-4) \]
La ecuación se convierte en:
\[ x^3(x^2-4)=0 \]
Factorización del segundo factor
El factor:
\[ x^2-4 \]
es una diferencia de cuadrados, porque \(4=2^2\). Por tanto:
\[ x^2-4=(x-2)(x+2) \]
Así:
\[ x^5-4x^3=x^3(x-2)(x+2) \]
Forma factorizada de la ecuación
La ecuación se reescribe como:
\[ x^3(x-2)(x+2)=0 \]
Anulación de los factores
Ahora igualamos cada factor a cero:
\[ x^3=0 \]
o bien:
\[ x-2=0 \]
o bien:
\[ x+2=0 \]
De la primera ecuación obtenemos:
\[ x=0 \]
De la segunda:
\[ x=2 \]
De la tercera:
\[ x=-2 \]
Conclusión
Las soluciones son:
\[ S=\{-2,0,2\} \]
Aunque \(x=0\) procede del factor \(x^3\), en el conjunto de soluciones se escribe una sola vez.
Ejercicio 12 — nivel ★★★☆☆
Resolver:
\[ x^4-10x^2+9=0 \]
Resultado
\[ S=\{-3,-1,1,3\} \]
Resolución
Reconocimiento de la estructura
La ecuación es:
\[ x^4-10x^2+9=0 \]
Solo aparecen potencias pares de \(x\): \(x^4\), \(x^2\) y el término independiente. Esto indica que la ecuación es bicuadrada.
Sustitución
Tomamos:
\[ y=x^2 \]
Entonces:
\[ x^4=(x^2)^2=y^2 \]
Sustituyendo, obtenemos:
\[ y^2-10y+9=0 \]
Resolución de la ecuación en \(y\)
Buscamos dos números cuyo producto sea \(9\) y cuya suma sea \(-10\). Los números son \(-1\) y \(-9\), pues:
\[ (-1)(-9)=9 \]
y:
\[ -1-9=-10 \]
Por tanto:
\[ y^2-10y+9=(y-1)(y-9) \]
La ecuación queda:
\[ (y-1)(y-9)=0 \]
De aquí:
\[ y=1 \qquad \text{o bien} \qquad y=9 \]
Vuelta a la variable inicial
Como \(y=x^2\), debemos resolver:
\[ x^2=1 \]
o bien:
\[ x^2=9 \]
De la primera ecuación:
\[ x=\pm1 \]
De la segunda:
\[ x=\pm3 \]
Conclusión
Las soluciones son:
\[ S=\{-3,-1,1,3\} \]
Ejercicio 13 — nivel ★★★☆☆
Resolver:
\[ x^3+x^2-4x-4=0 \]
Resultado
\[ S=\{-2,-1,2\} \]
Resolución
Observación inicial
La ecuación es:
\[ x^3+x^2-4x-4=0 \]
No existe un factor común a los cuatro términos. En estos casos puede ser útil probar una factorización por agrupación, agrupando los términos de manera que aparezca el mismo factor.
Agrupación de los términos
Escribimos:
\[ x^3+x^2-4x-4=(x^3+x^2)+(-4x-4) \]
En el primer grupo podemos sacar factor común \(x^2\):
\[ x^3+x^2=x^2(x+1) \]
En el segundo grupo podemos sacar factor común \(-4\):
\[ -4x-4=-4(x+1) \]
Por tanto:
\[ x^3+x^2-4x-4=x^2(x+1)-4(x+1) \]
Extracción del factor común
Ahora ambos términos contienen el factor \((x+1)\):
\[ x^2(x+1)-4(x+1) \]
Sacando factor común \((x+1)\), obtenemos:
\[ x^2(x+1)-4(x+1)=(x+1)(x^2-4) \]
Factorización de la diferencia de cuadrados
El factor:
\[ x^2-4 \]
es una diferencia de cuadrados:
\[ x^2-4=(x-2)(x+2) \]
Por consiguiente:
\[ x^3+x^2-4x-4=(x+1)(x-2)(x+2) \]
Ecuación factorizada
La ecuación se convierte en:
\[ (x+1)(x-2)(x+2)=0 \]
Anulación de los factores
Igualamos cada factor a cero:
\[ x+1=0 \]
o bien:
\[ x-2=0 \]
o bien:
\[ x+2=0 \]
Obtenemos:
\[ x=-1,\qquad x=2,\qquad x=-2 \]
Conclusión
Las soluciones son:
\[ S=\{-2,-1,2\} \]
Ejercicio 14 — nivel ★★★★☆
Resolver:
\[ x^3-3x^2-4x+12=0 \]
Resultado
\[ S=\{-2,2,3\} \]
Resolución
Análisis del polinomio
La ecuación es:
\[ x^3-3x^2-4x+12=0 \]
Tampoco aquí hay un factor común a todos los términos. Por tanto, intentamos agrupar los términos de modo que aparezca un factor binomial común.
Factorización por agrupación
Agrupamos así:
\[ x^3-3x^2-4x+12=(x^3-3x^2)+(-4x+12) \]
En el primer grupo sacamos factor común \(x^2\):
\[ x^3-3x^2=x^2(x-3) \]
En el segundo grupo sacamos factor común \(-4\):
\[ -4x+12=-4(x-3) \]
Por tanto:
\[ x^3-3x^2-4x+12=x^2(x-3)-4(x-3) \]
Extracción del factor común
El factor común es \((x-3)\). Al sacarlo, queda:
\[ x^2(x-3)-4(x-3)=(x-3)(x^2-4) \]
Factorización completa
Como:
\[ x^2-4=(x-2)(x+2) \]
obtenemos:
\[ x^3-3x^2-4x+12=(x-3)(x-2)(x+2) \]
Resolución
La ecuación se convierte en:
\[ (x-3)(x-2)(x+2)=0 \]
Por el principio del producto nulo:
\[ x-3=0 \]
o bien:
\[ x-2=0 \]
o bien:
\[ x+2=0 \]
Por tanto:
\[ x=3,\qquad x=2,\qquad x=-2 \]
Conclusión
Escribiendo las soluciones en orden creciente:
\[ S=\{-2,2,3\} \]
Ejercicio 15 — nivel ★★★★☆
Resolver:
\[ x^4+x^2-6=0 \]
Resultado
\[ S=\{-\sqrt{2},\sqrt{2}\} \]
Resolución
Reconocimiento de la forma bicuadrada
La ecuación es:
\[ x^4+x^2-6=0 \]
Solo aparecen \(x^4\), \(x^2\) y el término independiente. Por eso podemos introducir una nueva variable:
\[ y=x^2 \]
De esta sustitución se deduce que:
\[ x^4=(x^2)^2=y^2 \]
Ecuación en la nueva variable
Sustituyendo \(x^2\) por \(y\) y \(x^4\) por \(y^2\), la ecuación se convierte en:
\[ y^2+y-6=0 \]
Así hemos transformado una ecuación de cuarto grado en una ecuación de segundo grado.
Factorización del trinomio
Buscamos dos números cuyo producto sea \(-6\) y cuya suma sea \(1\). Esos números son \(3\) y \(-2\), porque:
\[ 3\cdot(-2)=-6 \]
y:
\[ 3+(-2)=1 \]
Por tanto:
\[ y^2+y-6=(y+3)(y-2) \]
La ecuación se convierte en:
\[ (y+3)(y-2)=0 \]
Soluciones en \(y\)
Por el principio del producto nulo:
\[ y+3=0 \]
o bien:
\[ y-2=0 \]
Por tanto:
\[ y=-3 \qquad \text{o bien} \qquad y=2 \]
Vuelta a la variable \(x\)
Ahora recordamos que:
\[ y=x^2 \]
El valor \(y=-3\) produce:
\[ x^2=-3 \]
Esta ecuación no tiene soluciones reales, porque el cuadrado de un número real siempre es mayor o igual que cero.
En cambio, el valor \(y=2\) produce:
\[ x^2=2 \]
de donde:
\[ x=\pm\sqrt{2} \]
Conclusión
Las soluciones reales de la ecuación inicial son:
\[ S=\{-\sqrt{2},\sqrt{2}\} \]
Ejercicio 16 — nivel ★★★★☆
Resolver:
\[ x^3-2x^2-x+2=0 \]
Resultado
\[ S=\{-1,1,2\} \]
Resolución
Observación inicial
La ecuación es:
\[ x^3-2x^2-x+2=0 \]
No podemos extraer un factor común de todos los términos. Por eso probamos a agruparlos:
\[ x^3-2x^2-x+2=(x^3-2x^2)+(-x+2) \]
Factorización por agrupación
En el primer grupo extraemos \(x^2\):
\[ x^3-2x^2=x^2(x-2) \]
En el segundo grupo extraemos \(-1\):
\[ -x+2=-(x-2) \]
Por tanto:
\[ x^3-2x^2-x+2=x^2(x-2)-(x-2) \]
Extracción del binomio común
Ambos términos contienen el factor \((x-2)\). Al extraerlo, obtenemos:
\[ x^2(x-2)-(x-2)=(x-2)(x^2-1) \]
Factorización de la diferencia de cuadrados
El factor:
\[ x^2-1 \]
es una diferencia de cuadrados, porque:
\[ 1=1^2 \]
Por tanto:
\[ x^2-1=(x-1)(x+1) \]
En consecuencia:
\[ x^3-2x^2-x+2=(x-2)(x-1)(x+1) \]
Ecuación factorizada
La ecuación se convierte en:
\[ (x-2)(x-1)(x+1)=0 \]
Anulación de los factores
Igualamos cada factor a cero:
\[ x-2=0 \]
o bien:
\[ x-1=0 \]
o bien:
\[ x+1=0 \]
Obtenemos:
\[ x=2,\qquad x=1,\qquad x=-1 \]
Conclusión
Escribiendo las soluciones en orden creciente:
\[ S=\{-1,1,2\} \]
Ejercicio 17 — nivel ★★★★☆
Resolver:
\[ x^4-2x^3-7x^2+8x+12=0 \]
Resultado
\[ S=\{-2,-1,2,3\} \]
Resolución
Elección de la estrategia
El polinomio:
\[ x^4-2x^3-7x^2+8x+12 \]
no presenta un factor común evidente y no se reconoce inmediatamente como un producto notable. En estos casos podemos buscar raíces racionales.
Denotamos:
\[ P(x)=x^4-2x^3-7x^2+8x+12 \]
Búsqueda de una raíz entera
Como el término independiente es \(12\), las posibles raíces enteras deben buscarse entre los divisores de \(12\):
\[ \pm1,\quad \pm2,\quad \pm3,\quad \pm4,\quad \pm6,\quad \pm12 \]
Probamos con \(x=2\):
\[ P(2)=2^4-2\cdot2^3-7\cdot2^2+8\cdot2+12 \]
Calculamos cada término:
\[ 2^4=16,\qquad -2\cdot2^3=-16,\qquad -7\cdot2^2=-28,\qquad 8\cdot2=16 \]
Por tanto:
\[ P(2)=16-16-28+16+12=0 \]
Luego \(x=2\) es una raíz y el polinomio es divisible por \(x-2\).
Primera división por Ruffini
Dividiendo:
\[ x^4-2x^3-7x^2+8x+12 \]
entre \(x-2\), obtenemos:
\[ x^3-7x-6 \]
Por tanto:
\[ P(x)=(x-2)(x^3-7x-6) \]
Descomposición del polinomio cúbico
Ahora debemos descomponer:
\[ x^3-7x-6 \]
Buscamos otra raíz entera. Probamos con \(x=3\):
\[ 3^3-7\cdot3-6=27-21-6=0 \]
Por tanto, \(x=3\) es una raíz del polinomio cúbico y podemos dividir entre \(x-3\).
Segunda división por Ruffini
Dividiendo:
\[ x^3-7x-6 \]
entre \(x-3\), obtenemos:
\[ x^2+3x+2 \]
Así:
\[ x^3-7x-6=(x-3)(x^2+3x+2) \]
Descomposición final
Descomponemos:
\[ x^2+3x+2 \]
Buscamos dos números cuyo producto sea \(2\) y cuya suma sea \(3\). Son \(1\) y \(2\), por lo que:
\[ x^2+3x+2=(x+1)(x+2) \]
Por tanto, el polinomio inicial queda:
\[ P(x)=(x-2)(x-3)(x+1)(x+2) \]
Resolución de la ecuación
La ecuación se convierte en:
\[ (x-2)(x-3)(x+1)(x+2)=0 \]
Por el principio del producto nulo, se obtiene:
\[ x=2,\qquad x=3,\qquad x=-1,\qquad x=-2 \]
Conclusión
Escribiendo las soluciones en orden creciente:
\[ S=\{-2,-1,2,3\} \]
Ejercicio 18 — nivel ★★★★★
Resolver:
\[ x^6-7x^3-8=0 \]
Resultado
\[ S=\{-1,2\} \]
Resolución
Reconocimiento de la estructura
La ecuación es:
\[ x^6-7x^3-8=0 \]
Los exponentes que aparecen son \(6\), \(3\) y \(0\). Como:
\[ x^6=(x^3)^2 \]
podemos tratar la ecuación como una ecuación de segundo grado en la cantidad \(x^3\).
Sustitución
Ponemos:
\[ y=x^3 \]
Entonces:
\[ x^6=y^2 \]
La ecuación se convierte en:
\[ y^2-7y-8=0 \]
Resolución de la ecuación en \(y\)
Descomponemos:
\[ y^2-7y-8 \]
Buscamos dos números cuyo producto sea \(-8\) y cuya suma sea \(-7\). Son \(-8\) y \(1\), pues:
\[ (-8)\cdot1=-8 \]
y:
\[ -8+1=-7 \]
Por tanto:
\[ y^2-7y-8=(y-8)(y+1) \]
La ecuación se convierte en:
\[ (y-8)(y+1)=0 \]
Por tanto:
\[ y=8 \]
o bien:
\[ y=-1 \]
Vuelta a la variable \(x\)
Como:
\[ y=x^3 \]
obtenemos dos ecuaciones:
\[ x^3=8 \]
o bien:
\[ x^3=-1 \]
De la primera:
\[ x=\sqrt[3]{8}=2 \]
De la segunda:
\[ x=\sqrt[3]{-1}=-1 \]
Conclusión
Las soluciones reales son:
\[ S=\{-1,2\} \]
Ejercicio 19 — nivel ★★★★★
Resolver:
\[ (x-1)^2(x+2)=0 \]
Resultado
\[ S=\{-2,1\} \]
Resolución
Ecuación ya factorizada
La ecuación es:
\[ (x-1)^2(x+2)=0 \]
En este caso, el polinomio ya está escrito como producto de factores. Por tanto, no necesitamos descomponerlo más: podemos aplicar directamente el principio del producto nulo.
Anulación de los factores
Un producto es nulo si al menos uno de sus factores es nulo. Por tanto:
\[ (x-1)^2=0 \]
o bien:
\[ x+2=0 \]
Primer factor
De la primera ecuación:
\[ (x-1)^2=0 \]
se deduce que:
\[ x-1=0 \]
y, por tanto:
\[ x=1 \]
La potencia al cuadrado indica que la raíz \(x=1\) aparece dos veces en la factorización. Se dice entonces que \(x=1\) es una raíz doble.
Segundo factor
De la segunda ecuación:
\[ x+2=0 \]
obtenemos:
\[ x=-2 \]
Conclusión
Como conjunto de soluciones, cada valor se escribe una sola vez:
\[ S=\{-2,1\} \]
La multiplicidad de la raíz \(1\) es importante en el estudio de la gráfica del polinomio, pero no cambia el conjunto de soluciones.
Ejercicio 20 — nivel ★★★★★
Resolver:
\[ x^4-4x^3+4x^2=0 \]
Resultado
\[ S=\{0,2\} \]
Resolución
Análisis inicial
La ecuación es:
\[ x^4-4x^3+4x^2=0 \]
Todos los términos contienen al menos el factor \(x^2\). En efecto:
\[ x^4=x^2\cdot x^2 \]
\[ -4x^3=x^2\cdot(-4x) \]
\[ 4x^2=x^2\cdot4 \]
Extracción del factor común
Sacamos factor común \(x^2\):
\[ x^4-4x^3+4x^2=x^2(x^2-4x+4) \]
La ecuación se convierte en:
\[ x^2(x^2-4x+4)=0 \]
Reconocimiento del cuadrado de un binomio
Consideremos el trinomio:
\[ x^2-4x+4 \]
Es un cuadrado perfecto, porque:
\[ x^2-4x+4=x^2-2\cdot x\cdot2+2^2 \]
luego:
\[ x^2-4x+4=(x-2)^2 \]
Forma completamente factorizada
La ecuación queda:
\[ x^2(x-2)^2=0 \]
Anulación de los factores
Igualamos a cero los factores:
\[ x^2=0 \]
o bien:
\[ (x-2)^2=0 \]
De la primera ecuación:
\[ x=0 \]
De la segunda:
\[ x-2=0 \]
por tanto:
\[ x=2 \]
Conclusión
Las soluciones son:
\[ S=\{0,2\} \]
Ambas raíces tienen multiplicidad \(2\), porque aparecen mediante los factores cuadráticos \(x^2\) y \((x-2)^2\).