Las inecuaciones de grado superior son inecuaciones polinómicas en las que aparece un polinomio de grado al menos \(3\). Resolverlas consiste en determinar para qué valores de la variable el polinomio toma valores positivos, negativos, no negativos o no positivos.
A diferencia de las inecuaciones lineales o cuadráticas, no existe una fórmula general inmediata que permita obtener la solución en un único paso. El problema se basa en cambio en el estudio del signo de un producto de factores.
Por este motivo, el paso fundamental consiste casi siempre en la factorización del polinomio:
\[ \text{factorizar el polinomio} \]
Una vez obtenida la factorización, la inecuación se reduce al estudio del signo de cada factor y a la construcción de la tabla de signos.
Índice
- Qué es una inecuación de grado superior
- Forma general
- Principio fundamental del estudio del signo
- Método general de resolución
- Multiplicidad de las raíces y cambio de signo
- Inecuaciones factorizables
- Inecuaciones con raíces múltiples
- Inecuaciones con factores cuadráticos
- Inecuaciones de grado impar
- Inecuaciones de grado par
- Método de la tabla de signos
- Errores más frecuentes
- Ejercicios resueltos
Qué es una inecuación de grado superior
Una inecuación de grado superior es una inecuación de la forma:
\[ P(x)>0, \qquad P(x)\geq0, \qquad P(x)<0, \qquad P(x)\leq0 \]
donde \(P(x)\) es un polinomio de grado al menos \(3\).
Por ejemplo:
\[ x^3-4x>0 \]
o bien:
\[ x^4-5x^2+4\leq0 \]
o también:
\[ x^5-2x^4-3x^3\geq0. \]
En todos estos casos el problema consiste en determinar en qué intervalos de la recta real el polinomio toma el signo requerido.
Forma general
Una inecuación polinómica de grado \(n\) puede escribirse en la forma:
\[ a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0 \gtrless 0 \]
con:
\[ a_n\neq0. \]
El grado de la inecuación coincide con el grado del polinomio.
Por ejemplo:
\[ x^5-3x^2+1>0 \]
es una inecuación de quinto grado.
Principio fundamental del estudio del signo
El principio fundamental es el siguiente:
el signo de un producto depende del signo de sus factores.
En consecuencia, para resolver una inecuación polinómica es esencial comprender cómo varía el signo de cada factor en los distintos intervalos de la recta real.
Por ejemplo:
\[ (x-2)(x+1)>0 \]
se cumple cuando:
- ambos factores son positivos;
- o bien ambos son negativos.
Por este motivo la estrategia general consiste en:
- factorizar el polinomio;
- estudiar el signo de cada factor;
- combinar los signos obtenidos.
Método general de resolución
El procedimiento estándar para resolver una inecuación de grado superior consta de cinco pasos fundamentales.
1. Llevar todo al primer miembro
La inecuación debe escribirse en la forma:
\[ P(x)\gtrless0. \]
2. Factorizar el polinomio
Se trata de descomponer el polinomio en factores:
\[ P(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\dots \]
Las técnicas principales son:
- extracción de factor común;
- productos notables;
- regla de Ruffini;
- búsqueda de raíces;
- cambios de variable.
3. Determinar los ceros
Se hallan los valores que anulan cada factor.
4. Construir la tabla de signos
Los ceros dividen la recta real en intervalos. En cada intervalo el signo del polinomio permanece constante.
5. Seleccionar los intervalos requeridos
Por último, se eligen los intervalos en los que el polinomio satisface la inecuación propuesta.
Multiplicidad de las raíces y cambio de signo
Un aspecto fundamental en el estudio de las inecuaciones polinómicas es la multiplicidad de las raíces.
Consideremos:
\[ (x-1)^2. \]
La raíz:
\[ x=1 \]
tiene multiplicidad \(2\).
En este caso el signo del polinomio no cambia al atravesar la raíz.
En efecto:
\[ (x-1)^2\geq0 \]
tanto a la izquierda como a la derecha de \(1\).
Por el contrario, una raíz de multiplicidad impar produce un cambio de signo.
Por ejemplo:
\[ (x-1)^3 \]
cambia de signo al atravesar:
\[ x=1. \]
En general:
- raíz de multiplicidad par \(\Rightarrow\) el signo no cambia;
- raíz de multiplicidad impar \(\Rightarrow\) el signo cambia.
Inecuaciones factorizables
Consideremos la inecuación:
\[ x^3-4x>0. \]
Factorización
Extraemos \(x\) como factor común:
\[ x(x^2-4)>0. \]
Descomponemos ahora la diferencia de cuadrados:
\[ x(x-2)(x+2)>0. \]
Estudio del signo
Los ceros del polinomio son:
\[ -2,\qquad0,\qquad2. \]
Construimos la tabla de signos:
| Intervalo | Signo |
|---|---|
| \((-\infty,-2)\) | \(-\) |
| \((-2,0)\) | \(+\) |
| \((0,2)\) | \(-\) |
| \((2,+\infty)\) | \(+\) |
Como buscamos:
\[ x(x-2)(x+2)>0, \]
la solución es:
\[ (-2,0)\cup(2,+\infty). \]
Inecuaciones con raíces múltiples
Consideremos:
\[ (x-1)^2(x+3)\geq0. \]
Los ceros son:
\[ x=1 \]
con multiplicidad \(2\), y:
\[ x=-3 \]
con multiplicidad \(1\).
Al atravesar \(x=-3\) el signo cambia, mientras que al atravesar \(x=1\) el signo no cambia.
La tabla de signos resulta por tanto:
| Intervalo | Signo |
|---|---|
| \((-\infty,-3)\) | \(-\) |
| \((-3,1)\) | \(+\) |
| \((1,+\infty)\) | \(+\) |
Como la inecuación es:
\[ (x-1)^2(x+3)\geq0, \]
incluimos también los ceros:
\[ [-3,+\infty). \]
Inecuaciones con factores cuadráticos
No todos los factores de un polinomio son necesariamente lineales.
Consideremos:
\[ (x^2-4)(x^2+1)>0. \]
El segundo factor:
\[ x^2+1 \]
es siempre positivo para todo número real:
\[ x^2+1>0 \qquad \forall x\in\mathbb{R}. \]
En consecuencia, el signo de la inecuación depende exclusivamente del factor:
\[ x^2-4. \]
Factorizamos:
\[ x^2-4=(x-2)(x+2). \]
Obtenemos entonces:
\[ (x-2)(x+2)>0, \]
cuya solución es:
\[ (-\infty,-2)\cup(2,+\infty). \]
Inecuaciones de grado impar
Los polinomios de grado impar con coeficiente principal positivo satisfacen:
\[ P(x)\to-\infty \qquad \text{cuando} \qquad x\to-\infty \]
y:
\[ P(x)\to+\infty \qquad \text{cuando} \qquad x\to+\infty. \]
Este comportamiento permite con frecuencia anticipar el signo global del polinomio.
Por ejemplo:
\[ x^3-1 \]
es negativo a la izquierda de la raíz \(x=1\) y positivo a la derecha.
Inecuaciones de grado par
Los polinomios de grado par con coeficiente principal positivo verifican en cambio:
\[ P(x)\to+\infty \]
tanto cuando:
\[ x\to-\infty \]
como cuando:
\[ x\to+\infty. \]
Esto explica por qué la tabla de signos de dichos polinomios tiende a comenzar y terminar con el mismo signo.
Método de la tabla de signos
La tabla de signos representa la herramienta central en la resolución de inecuaciones polinómicas.
El procedimiento consiste en:
- ordenar los ceros del polinomio;
- dividir la recta real en los intervalos correspondientes;
- determinar el signo de cada factor;
- multiplicar los signos obtenidos.
Es importante recordar que:
- una raíz de multiplicidad impar provoca un cambio de signo;
- una raíz de multiplicidad par no produce cambio de signo.
Errores más frecuentes
No completar la factorización
Muchos errores provienen de factorizaciones incompletas del polinomio.
Ignorar la multiplicidad de las raíces
Una raíz doble no produce inversión de signo.
Equivocarse en el signo de los intervalos
Conviene comprobar siempre el signo mediante valores de prueba.
Incluir erróneamente los ceros
En las inecuaciones estrictas:
\[ >,\qquad< \]
los ceros no pertenecen a la solución.
En las inecuaciones:
\[ \geq,\qquad\leq \]
los ceros deben en cambio incluirse.
Ejercicios resueltos
Ejemplo 1. Resolver:
\[ x^3-x^2-6x>0. \]
Factorización
Extraemos \(x\) como factor común:
\[ x(x^2-x-6)>0. \]
Factorizamos el trinomio:
\[ x(x-3)(x+2)>0. \]
Estudio del signo
Los ceros son:
\[ -2,\qquad0,\qquad3. \]
La tabla de signos proporciona:
\[ (-2,0)\cup(3,+\infty). \]
Ejemplo 2. Resolver:
\[ x^4-5x^2+4\leq0. \]
Cambio de variable
Hacemos:
\[ y=x^2. \]
Obtenemos:
\[ y^2-5y+4\leq0. \]
Factorizamos:
\[ (y-1)(y-4)\leq0. \]
Luego:
\[ 1\leq y\leq4. \]
Deshaciendo el cambio de variable:
\[ 1\leq x^2\leq4. \]
Obtenemos:
\[ x\in[-2,-1]\cup[1,2]. \]
Las inecuaciones de grado superior se resuelven mediante el estudio del signo de los polinomios.
La idea fundamental consiste en transformar el polinomio en un producto de factores y analizar el comportamiento del signo en los distintos intervalos de la recta real.
Por este motivo resultan fundamentales:
- la factorización de polinomios;
- el estudio de las raíces;
- la multiplicidad de los ceros;
- la tabla de signos.
Una vez dominadas estas herramientas, incluso inecuaciones aparentemente muy complejas pueden abordarse de manera sistemática, rigurosa y ordenada.