En esta colección presentamos 20 inecuaciones de grado superior resueltas, ordenadas por dificultad creciente. Cada ejercicio muestra cómo factorizar el polinomio, determinar las raíces, estudiar el signo de los factores y obtener correctamente el conjunto solución.
El principio fundamental es siempre el mismo: una inecuación polinomial se resuelve estudiando el signo del polinomio. Cuando el polinomio está factorizado, el signo global se obtiene combinando el signo de cada factor.
Ejercicio 1 — nivel ★☆☆☆☆
Resolver la inecuación:
\[ x^3-x>0 \]
Solución
\[ x\in(-1,0)\cup(1,+\infty) \]
Desarrollo
Factorizamos el polinomio sacando factor común \(x\):
\[ x^3-x=x(x^2-1) \]
La diferencia de cuadrados \(x^2-1\) se factoriza como:
\[ x^2-1=(x-1)(x+1) \]
Con lo que la inecuación se convierte en:
\[ x(x-1)(x+1)>0 \]
Las raíces son:
\[ x=-1,\qquad x=0,\qquad x=1 \]
Estos valores dividen la recta real en los intervalos:
\[ (-\infty,-1),\quad (-1,0),\quad (0,1),\quad (1,+\infty) \]
Estudiamos el signo del producto \(x(x-1)(x+1)\):
| Intervalo | Signo del producto |
|---|---|
| \((-\infty,-1)\) | \(-\) |
| \((-1,0)\) | \(+\) |
| \((0,1)\) | \(-\) |
| \((1,+\infty)\) | \(+\) |
La inecuación exige que el producto sea positivo, es decir:
\[ x(x-1)(x+1)>0 \]
Seleccionamos, pues, los intervalos con signo positivo. Al ser la inecuación estricta, los ceros no se incluyen.
La solución es:
\[ x\in(-1,0)\cup(1,+\infty) \]
Ejercicio 2 — nivel ★☆☆☆☆
Resolver la inecuación:
\[ x^3-4x\leq 0 \]
Solución
\[ x\in(-\infty,-2]\cup[0,2] \]
Desarrollo
Sacamos factor común \(x\):
\[ x^3-4x=x(x^2-4) \]
Factorizamos la diferencia de cuadrados:
\[ x^2-4=(x-2)(x+2) \]
Obtenemos:
\[ x(x-2)(x+2)\leq 0 \]
Las raíces son:
\[ x=-2,\qquad x=0,\qquad x=2 \]
Estudiamos el signo del producto en los cuatro intervalos determinados por las raíces.
| Intervalo | Signo |
|---|---|
| \((-\infty,-2)\) | \(-\) |
| \((-2,0)\) | \(+\) |
| \((0,2)\) | \(-\) |
| \((2,+\infty)\) | \(+\) |
La inecuación exige:
\[ x(x-2)(x+2)\leq 0 \]
Debemos tomar los intervalos en los que el producto es negativo o nulo.
Como la inecuación contiene el símbolo \(\leq\), incluimos también los ceros.
La solución es:
\[ x\in(-\infty,-2]\cup[0,2] \]
Ejercicio 3 — nivel ★☆☆☆☆
Resolver la inecuación:
\[ x^3-9x\geq 0 \]
Solución
\[ x\in[-3,0]\cup[3,+\infty) \]
Desarrollo
Sacamos factor común \(x\):
\[ x^3-9x=x(x^2-9) \]
Factorizamos:
\[ x^2-9=(x-3)(x+3) \]
La inecuación se convierte en:
\[ x(x-3)(x+3)\geq 0 \]
Las raíces son:
\[ -3,\qquad 0,\qquad 3 \]
Al ser todas raíces simples, el signo cambia al atravesar cada una de ellas.
| Intervalo | Signo |
|---|---|
| \((-\infty,-3)\) | \(-\) |
| \((-3,0)\) | \(+\) |
| \((0,3)\) | \(-\) |
| \((3,+\infty)\) | \(+\) |
La inecuación exige signo positivo o nulo.
Incluimos, pues, los ceros y tomamos los intervalos positivos:
\[ x\in[-3,0]\cup[3,+\infty) \]
Ejercicio 4 — nivel ★★☆☆☆
Resolver la inecuación:
\[ x^3+2x^2-3x<0 \]
Solución
\[ x\in(-\infty,-3)\cup(0,1) \]
Desarrollo
Sacamos factor común \(x\):
\[ x^3+2x^2-3x=x(x^2+2x-3) \]
Factorizamos el trinomio:
\[ x^2+2x-3=(x+3)(x-1) \]
Así pues:
\[ x(x+3)(x-1)<0 \]
Las raíces son:
\[ x=-3,\qquad x=0,\qquad x=1 \]
Estudiamos el signo:
| Intervalo | Signo |
|---|---|
| \((-\infty,-3)\) | \(-\) |
| \((-3,0)\) | \(+\) |
| \((0,1)\) | \(-\) |
| \((1,+\infty)\) | \(+\) |
La inecuación exige que el producto sea negativo.
Al ser el símbolo \(<\), los ceros no se incluyen.
La solución es:
\[ x\in(-\infty,-3)\cup(0,1) \]
Ejercicio 5 — nivel ★★☆☆☆
Resolver la inecuación:
\[ x^4-5x^2+4\leq 0 \]
Solución
\[ x\in[-2,-1]\cup[1,2] \]
Desarrollo
La inecuación contiene únicamente potencias pares de \(x\). Realizamos el cambio de variable:
\[ t=x^2 \]
Obtenemos:
\[ t^2-5t+4\leq 0 \]
Factorizamos el trinomio:
\[ t^2-5t+4=(t-1)(t-4) \]
Así pues:
\[ (t-1)(t-4)\leq 0 \]
El producto es menor o igual que cero cuando:
\[ 1\leq t\leq 4 \]
Como \(t=x^2\), debemos resolver:
\[ 1\leq x^2\leq 4 \]
Esta doble desigualdad equivale a:
\[ |x|\geq 1 \qquad \text{e} \qquad |x|\leq 2 \]
Por tanto:
\[ x\in[-2,-1]\cup[1,2] \]
Ejercicio 6 — nivel ★★☆☆☆
Resolver la inecuación:
\[ x^4-1>0 \]
Solución
\[ x\in(-\infty,-1)\cup(1,+\infty) \]
Desarrollo
Factorizamos el polinomio como diferencia de cuadrados:
\[ x^4-1=(x^2-1)(x^2+1) \]
Factorizamos de nuevo:
\[ x^2-1=(x-1)(x+1) \]
Con lo que:
\[ x^4-1=(x-1)(x+1)(x^2+1) \]
Observamos que:
\[ x^2+1>0 \qquad \forall x\in\mathbb{R} \]
Por tanto, el signo del producto depende únicamente de:
\[ (x-1)(x+1) \]
La inecuación resulta entonces equivalente a:
\[ (x-1)(x+1)>0 \]
El producto es positivo fuera de los ceros \(-1\) y \(1\):
\[ x<-1 \qquad \text{o} \qquad x>1 \]
Al ser la inecuación estricta, los ceros no se incluyen.
La solución es:
\[ x\in(-\infty,-1)\cup(1,+\infty) \]
Ejercicio 7 — nivel ★★☆☆☆
Resolver la inecuación:
\[ (x-2)^2(x+1)<0 \]
Solución
\[ x\in(-\infty,-1) \]
Desarrollo
El polinomio ya está escrito como producto de factores:
\[ (x-2)^2(x+1)<0 \]
Las raíces son:
\[ x=2 \qquad \text{y} \qquad x=-1 \]
La raíz \(x=2\) tiene multiplicidad \(2\), por lo que no produce cambio de signo.
El factor \((x-2)^2\) es siempre no negativo y se anula únicamente para \(x=2\).
Para \(x\neq 2\), su signo es positivo. Así pues, fuera de \(x=2\), el signo del producto depende del factor:
\[ x+1 \]
Se tiene:
\[ x+1<0 \iff x<-1 \]
Además, al ser la inecuación estricta, los ceros no se incluyen.
La solución es:
\[ x\in(-\infty,-1) \]
Ejercicio 8 — nivel ★★☆☆☆
Resolver la inecuación:
\[ (x+2)^2(x-3)\geq 0 \]
Solución
\[ x\in\{-2\}\cup[3,+\infty) \]
Desarrollo
La inecuación es:
\[ (x+2)^2(x-3)\geq 0 \]
Las raíces son:
\[ x=-2 \qquad \text{y} \qquad x=3 \]
El factor \((x+2)^2\) es un cuadrado, luego:
\[ (x+2)^2\geq 0 \qquad \forall x\in\mathbb{R} \]
Se anula únicamente para \(x=-2\), mientras que es positivo para todo \(x\neq -2\).
Para \(x\neq -2\), el signo del producto depende, pues, del factor:
\[ x-3 \]
Se tiene:
\[ x-3\geq 0 \iff x\geq 3 \]
Además, el producto también se anula para \(x=-2\). Como la inecuación contiene el símbolo \(\geq\), debemos incluir también dicho valor.
La solución es:
\[ x\in\{-2\}\cup[3,+\infty) \]
Ejercicio 9 — nivel ★★★☆☆
Resolver la inecuación:
\[ x^4-6x^2+8>0 \]
Solución
\[ x\in(-\infty,-2)\cup(-\sqrt{2},\sqrt{2})\cup(2,+\infty) \]
Desarrollo
La inecuación contiene únicamente potencias pares de \(x\). Realizamos el cambio de variable:
\[ t=x^2 \]
Obtenemos:
\[ t^2-6t+8>0 \]
Factorizamos el trinomio:
\[ t^2-6t+8=(t-2)(t-4) \]
Así pues:
\[ (t-2)(t-4)>0 \]
El producto es positivo fuera de los ceros \(2\) y \(4\), luego:
\[ t<2 \qquad \text{o} \qquad t>4 \]
Como \(t=x^2\), debemos resolver:
\[ x^2<2 \qquad \text{o} \qquad x^2>4 \]
La primera desigualdad da:
\[ -\sqrt{2}<x<\sqrt{2} \]
La segunda desigualdad da:
\[ x<-2 \qquad \text{o} \qquad x>2 \]
Reuniendo los resultados, obtenemos:
\[ x\in(-\infty,-2)\cup(-\sqrt{2},\sqrt{2})\cup(2,+\infty) \]
Ejercicio 10 — nivel ★★★☆☆
Resolver la inecuación:
\[ x^4-10x^2+9\geq 0 \]
Solución
\[ x\in(-\infty,-3]\cup[-1,1]\cup[3,+\infty) \]
Desarrollo
Realizamos el cambio de variable:
\[ t=x^2 \]
La inecuación se convierte en:
\[ t^2-10t+9\geq 0 \]
Factorizamos el trinomio:
\[ t^2-10t+9=(t-1)(t-9) \]
Así pues:
\[ (t-1)(t-9)\geq 0 \]
El producto es no negativo cuando:
\[ t\leq 1 \qquad \text{o} \qquad t\geq 9 \]
Como \(t=x^2\), obtenemos:
\[ x^2\leq 1 \qquad \text{o} \qquad x^2\geq 9 \]
Resolvemos:
\[ x^2\leq 1 \iff -1\leq x\leq 1 \]
y:
\[ x^2\geq 9 \iff x\leq -3 \quad \text{o} \quad x\geq 3 \]
Así, la solución es:
\[ x\in(-\infty,-3]\cup[-1,1]\cup[3,+\infty) \]
Ejercicio 11 — nivel ★★★☆☆
Resolver la inecuación:
\[ x^3-3x^2-4x+12\geq 0 \]
Solución
\[ x\in[-2,2]\cup[3,+\infty) \]
Desarrollo
Factorizamos por agrupación:
\[ x^3-3x^2-4x+12=x^2(x-3)-4(x-3) \]
Sacamos factor común \(x-3\):
\[ x^2(x-3)-4(x-3)=(x-3)(x^2-4) \]
Factorizamos la diferencia de cuadrados:
\[ x^2-4=(x-2)(x+2) \]
Con lo que la inecuación se convierte en:
\[ (x-3)(x-2)(x+2)\geq 0 \]
Las raíces son:
\[ x=-2,\qquad x=2,\qquad x=3 \]
Estudiamos el signo del producto.
| Intervalo | Signo |
|---|---|
| \((-\infty,-2)\) | \(-\) |
| \((-2,2)\) | \(+\) |
| \((2,3)\) | \(-\) |
| \((3,+\infty)\) | \(+\) |
La inecuación exige signo positivo o nulo. Como el símbolo es \(\geq\), incluimos también los ceros.
La solución es:
\[ x\in[-2,2]\cup[3,+\infty) \]
Ejercicio 12 — nivel ★★★☆☆
Resolver la inecuación:
\[ x^3+3x^2-4\leq 0 \]
Solución
\[ x\in(-\infty,1] \]
Desarrollo
Buscamos una raíz entera del polinomio:
\[ P(x)=x^3+3x^2-4 \]
Comprobamos \(x=1\):
\[ P(1)=1+3-4=0 \]
Luego \(x=1\) es una raíz y \(x-1\) es un factor del polinomio.
Dividiendo \(x^3+3x^2+0x-4\) entre \(x-1\), obtenemos:
\[ x^3+3x^2-4=(x-1)(x^2+4x+4) \]
El trinomio se factoriza como cuadrado perfecto:
\[ x^2+4x+4=(x+2)^2 \]
Así pues:
\[ x^3+3x^2-4=(x-1)(x+2)^2 \]
La inecuación se convierte en:
\[ (x-1)(x+2)^2\leq 0 \]
El factor \((x+2)^2\) es siempre no negativo y se anula únicamente para \(x=-2\).
Para \(x\neq -2\), el signo del producto depende del factor \(x-1\).
Se tiene:
\[ x-1\leq 0 \iff x\leq 1 \]
No obstante, hay que razonar con cuidado: para \(x<1\) el factor \(x-1\) es negativo, mientras que \((x+2)^2\) es positivo, salvo en el punto \(x=-2\), donde el producto vale cero.
Además, para \(x=1\) el producto es nulo.
Por tanto, la inecuación se satisface para todos los valores \(x\leq 1\).
La solución correcta es:
\[ x\in(-\infty,1] \]
Ejercicio 13 — nivel ★★★★☆
Resolver la inecuación:
\[ x^4-2x^3-x^2+2x\geq 0 \]
Solución
\[ x\in(-\infty,-1]\cup[0,1]\cup[2,+\infty) \]
Desarrollo
Factorizamos sacando factor común \(x\):
\[ x^4-2x^3-x^2+2x=x(x^3-2x^2-x+2) \]
Factorizamos el polinomio cúbico por agrupación:
\[ x^3-2x^2-x+2=x^2(x-2)-1(x-2) \]
Sacando factor común \(x-2\), obtenemos:
\[ x^3-2x^2-x+2=(x-2)(x^2-1) \]
Factorizamos:
\[ x^2-1=(x-1)(x+1) \]
Con lo que:
\[ x^4-2x^3-x^2+2x=x(x-2)(x-1)(x+1) \]
La inecuación se convierte en:
\[ x(x-2)(x-1)(x+1)\geq 0 \]
Las raíces son:
\[ -1,\qquad 0,\qquad 1,\qquad 2 \]
Estudiamos el signo del producto.
| Intervalo | Signo |
|---|---|
| \((-\infty,-1)\) | \(+\) |
| \((-1,0)\) | \(-\) |
| \((0,1)\) | \(+\) |
| \((1,2)\) | \(-\) |
| \((2,+\infty)\) | \(+\) |
Atención: el signo de la tabla debe verificarse con un valor de prueba. Por ejemplo, para \(x=3\), todos los factores son positivos, de modo que el signo en el último intervalo es efectivamente positivo. Al ser todas las raíces simples, el signo cambia al atravesar cada una de ellas.
La inecuación exige:
\[ x(x-2)(x-1)(x+1)\geq 0 \]
Debemos tomar los intervalos con signo positivo o nulo.
La solución es:
\[ x\in(-\infty,-1]\cup[0,1]\cup[2,+\infty) \]
Ejercicio 14 — nivel ★★★★☆
Resolver la inecuación:
\[ x^5-x^4-4x^3+4x^2<0 \]
Solución
\[ x\in(-\infty,-2)\cup(1,2) \]
Desarrollo
Sacamos factor común \(x^2\):
\[ x^5-x^4-4x^3+4x^2=x^2(x^3-x^2-4x+4) \]
Factorizamos el polinomio entre paréntesis por agrupación:
\[ x^3-x^2-4x+4=x^2(x-1)-4(x-1) \]
Sacando factor común \(x-1\), obtenemos:
\[ x^3-x^2-4x+4=(x-1)(x^2-4) \]
Factorizamos la diferencia de cuadrados:
\[ x^2-4=(x-2)(x+2) \]
Con lo que:
\[ x^5-x^4-4x^3+4x^2=x^2(x-1)(x-2)(x+2) \]
La inecuación se convierte en:
\[ x^2(x-1)(x-2)(x+2)<0 \]
Las raíces son:
\[ -2,\qquad 0,\qquad 1,\qquad 2 \]
El valor \(x=0\) tiene multiplicidad \(2\), ya que proviene del factor \(x^2\). Por tanto, en \(x=0\) el signo no cambia.
Las demás raíces tienen multiplicidad impar, por lo que el signo cambia al atravesarlas.
Estudiamos el signo del producto. Como \(x=0\) tiene multiplicidad par, el signo no cambia al atravesarlo. En cambio, al atravesar las raíces simples \(-2\), \(1\) y \(2\), el signo sí cambia.
| Intervalo | Signo |
|---|---|
| \((-\infty,-2)\) | \(-\) |
| \((-2,0)\) | \(+\) |
| \((0,1)\) | \(+\) |
| \((1,2)\) | \(-\) |
| \((2,+\infty)\) | \(+\) |
La inecuación exige signo negativo. Como el símbolo es \(<\), los ceros no se incluyen.
La solución es:
\[ x\in(-\infty,-2)\cup(1,2) \]
Ejercicio 15 — nivel ★★★★☆
Resolver la inecuación:
\[ (x-1)^3(x+2)^2\leq 0 \]
Solución
\[ x\in(-\infty,1] \]
Desarrollo
La inecuación ya está escrita como producto de factores:
\[ (x-1)^3(x+2)^2\leq 0 \]
Las raíces son:
\[ x=1,\qquad x=-2 \]
La raíz \(x=1\) tiene multiplicidad \(3\), es decir, multiplicidad impar, y el signo cambia al atravesarla.
La raíz \(x=-2\) tiene multiplicidad \(2\), es decir, multiplicidad par, y el signo no cambia al atravesarla.
Observamos además que:
\[ (x+2)^2\geq 0 \]
para todo \(x\in\mathbb{R}\). Para \(x\neq -2\), este factor es positivo. Así pues, fuera del cero \(x=-2\), el signo del producto depende del factor:
\[ (x-1)^3 \]
Como una potencia impar conserva el signo de la base, se tiene:
\[ (x-1)^3<0 \iff x<1 \]
Además, el producto se anula para \(x=-2\) y para \(x=1\). Como la inecuación contiene el símbolo \(\leq\), los ceros deben incluirse.
Por tanto, la solución es:
\[ x\in(-\infty,1] \]
Ejercicio 16 — nivel ★★★★☆
Resolver la inecuación:
\[ x^6-7x^3+6>0 \]
Solución
\[ x\in(-\infty,1)\cup(\sqrt[3]{6},+\infty) \]
Desarrollo
El polinomio contiene las potencias \(x^6\) y \(x^3\). Realizamos el cambio de variable:
\[ t=x^3 \]
Entonces:
\[ x^6=(x^3)^2=t^2 \]
La inecuación se convierte en:
\[ t^2-7t+6>0 \]
Factorizamos el trinomio:
\[ t^2-7t+6=(t-1)(t-6) \]
Así pues:
\[ (t-1)(t-6)>0 \]
El producto es positivo cuando los dos factores tienen el mismo signo, es decir:
\[ t<1 \qquad \text{o} \qquad t>6 \]
Volviendo a la variable \(x\), obtenemos:
\[ x^3<1 \qquad \text{o} \qquad x^3>6 \]
Como la función \(x\mapsto x^3\) es estrictamente creciente en \(\mathbb{R}\), podemos extraer la raíz cúbica sin cambiar el sentido de las desigualdades:
\[ x<1 \qquad \text{o} \qquad x>\sqrt[3]{6} \]
Al ser la inecuación estricta, los extremos no se incluyen.
La solución es:
\[ x\in(-\infty,1)\cup(\sqrt[3]{6},+\infty) \]
Ejercicio 17 — nivel ★★★★☆
Resolver la inecuación:
\[ x^4-16x^2<0 \]
Solución
\[ x\in(-4,0)\cup(0,4) \]
Desarrollo
Sacamos factor común \(x^2\):
\[ x^4-16x^2=x^2(x^2-16) \]
Factorizamos la diferencia de cuadrados:
\[ x^2-16=(x-4)(x+4) \]
La inecuación se convierte en:
\[ x^2(x-4)(x+4)<0 \]
Las raíces son:
\[ x=-4,\qquad x=0,\qquad x=4 \]
El valor \(x=0\) es una raíz de multiplicidad \(2\), ya que proviene del factor \(x^2\). Por tanto, en \(x=0\) el signo no cambia.
Además:
\[ x^2\geq 0 \]
para todo \(x\in\mathbb{R}\), y es positivo para \(x\neq 0\). Fuera de \(x=0\), el signo del producto depende, pues, de:
\[ (x-4)(x+4) \]
El producto \((x-4)(x+4)\) es negativo entre las dos raíces:
\[ -4<x<4 \]
Sin embargo, debemos excluir \(x=0\), pues en ese punto el producto vale \(0\), mientras que la inecuación exige un valor estrictamente negativo.
La solución es:
\[ x\in(-4,0)\cup(0,4) \]
Ejercicio 18 — nivel ★★★★☆
Resolver la inecuación:
\[ (x^2-3x+2)(x^2+2x+5)\geq 0 \]
Solución
\[ x\in(-\infty,1]\cup[2,+\infty) \]
Desarrollo
Estudiamos por separado los dos factores:
\[ x^2-3x+2 \qquad \text{y} \qquad x^2+2x+5 \]
El primer trinomio se factoriza fácilmente:
\[ x^2-3x+2=(x-1)(x-2) \]
Consideremos ahora el segundo trinomio:
\[ x^2+2x+5 \]
Calculamos el discriminante:
\[ \Delta=2^2-4\cdot1\cdot5=4-20=-16 \]
El discriminante es negativo y el coeficiente de \(x^2\) es positivo. En consecuencia:
\[ x^2+2x+5>0 \qquad \forall x\in\mathbb{R} \]
La inecuación resulta entonces equivalente a:
\[ (x-1)(x-2)\geq 0 \]
El producto de dos factores lineales es no negativo fuera de los ceros:
\[ x\leq 1 \qquad \text{o} \qquad x\geq 2 \]
Como el símbolo es \(\geq\), incluimos también los ceros.
La solución es:
\[ x\in(-\infty,1]\cup[2,+\infty) \]
Ejercicio 19 — nivel ★★★★★
Resolver la inecuación:
\[ x^5-5x^4+6x^3\leq 0 \]
Solución
\[ x\in(-\infty,0]\cup[2,3] \]
Desarrollo
Sacamos factor común \(x^3\):
\[ x^5-5x^4+6x^3=x^3(x^2-5x+6) \]
Factorizamos el trinomio:
\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3) \]
Con lo que:
\[ x^5-5x^4+6x^3=x^3(x-2)(x-3) \]
La inecuación se convierte en:
\[ x^3(x-2)(x-3)\leq 0 \]
Las raíces son:
\[ x=0,\qquad x=2,\qquad x=3 \]
La raíz \(x=0\) tiene multiplicidad \(3\), es decir, multiplicidad impar, y el signo cambia al atravesarla.
También \(x=2\) y \(x=3\) son raíces simples, por lo que el signo cambia al atravesar cada una de ellas.
Estudiamos el signo en los distintos intervalos:
| Intervalo | Signo |
|---|---|
| \((-\infty,0)\) | \(-\) |
| \((0,2)\) | \(+\) |
| \((2,3)\) | \(-\) |
| \((3,+\infty)\) | \(+\) |
La inecuación exige:
\[ x^3(x-2)(x-3)\leq 0 \]
Debemos tomar los intervalos en los que el producto es negativo o nulo.
Como el símbolo es \(\leq\), incluimos también los ceros.
La solución es:
\[ x\in(-\infty,0]\cup[2,3] \]
Ejercicio 20 — nivel ★★★★★
Resolver la inecuación:
\[ x^4-3x^3-4x^2+12x\leq 0 \]
Solución
\[ x\in[-2,0]\cup[2,3] \]
Desarrollo
Sacamos factor común \(x\):
\[ x^4-3x^3-4x^2+12x=x(x^3-3x^2-4x+12) \]
Factorizamos el polinomio cúbico por agrupación:
\[ x^3-3x^2-4x+12=x^2(x-3)-4(x-3) \]
Sacamos factor común \(x-3\):
\[ x^2(x-3)-4(x-3)=(x-3)(x^2-4) \]
Factorizamos la diferencia de cuadrados:
\[ x^2-4=(x-2)(x+2) \]
Con lo que:
\[ x^4-3x^3-4x^2+12x=x(x-3)(x-2)(x+2) \]
La inecuación se convierte en:
\[ x(x-3)(x-2)(x+2)\leq 0 \]
Las raíces son:
\[ x=-2,\qquad x=0,\qquad x=2,\qquad x=3 \]
Todas las raíces son simples, por lo que el signo cambia al atravesar cada una de ellas.
Estudiamos el signo del producto:
| Intervalo | Signo |
|---|---|
| \((-\infty,-2)\) | \(+\) |
| \((-2,0)\) | \(-\) |
| \((0,2)\) | \(+\) |
| \((2,3)\) | \(-\) |
| \((3,+\infty)\) | \(+\) |
La inecuación exige signo negativo o nulo.
Como el símbolo es \(\leq\), incluimos también los ceros.
La solución es:
\[ x\in[-2,0]\cup[2,3] \]