Las inecuaciones con parámetro son inecuaciones en las que, además de la incógnita, aparece una letra que representa un número real fijo pero no especificado. La principal dificultad no radica únicamente en resolver la inecuación respecto a la incógnita, sino en comprender cómo varía el conjunto de soluciones al cambiar el valor del parámetro.
Por esta razón, una inecuación con parámetro no produce, en general, una única respuesta: exige una discusión por casos, en la que se distinguen los valores del parámetro que modifican el signo, el grado de la inecuación o el número de soluciones.
Índice
- Incógnita y parámetro
- Por qué es necesaria la discusión por casos
- Inecuaciones lineales con parámetro
- Inecuaciones de segundo grado con parámetro
- Discriminante y número de raíces reales
- Concavidad y signo del trinomio
- Casos degenerados
- Ejemplo lineal resuelto
- Ejemplo cuadrático completo
- Cuadro resumen
- Errores más frecuentes
- Procedimiento general
Incógnita y parámetro
En una inecuación con parámetro es fundamental distinguir con precisión el papel de cada letra que aparece.
La incógnita es la variable respecto a la cual se resuelve la inecuación. El parámetro, en cambio, se trata como un número real fijo, aunque desconocido.
Por ejemplo:
\[ (k-1)x+2>0 \]
es una inecuación en la incógnita \(x\), mientras que \(k\) es el parámetro.
Durante la resolución, \(k\) se comporta como una constante; sin embargo, el resultado final debe contemplar todos los posibles valores reales de \(k\).
Esto significa que el conjunto solución no se expresará únicamente en función de \(x\), sino que se describirá distinguiendo los distintos casos del parámetro.
Por qué es necesaria la discusión por casos
La discusión por casos surge del hecho de que ciertas operaciones algebraicas dependen del signo de expresiones que contienen el parámetro.
Consideremos la inecuación:
\[ (k-1)x>2 \]
Para despejar \(x\), habría que dividir ambos miembros por \(k-1\). Sin embargo, el signo de \(k-1\) no se conoce de antemano.
Si:
\[ k-1>0 \]
es decir, si \(k>1\), podemos dividir sin cambiar el sentido de la desigualdad:
\[ x>\frac{2}{k-1} \]
Si en cambio:
\[ k-1<0 \]
es decir, si \(k<1\), al dividir por una cantidad negativa debemos invertir el sentido de la desigualdad:
\[ x<\frac{2}{k-1} \]
Queda por último el caso:
\[ k-1=0 \]
es decir:
\[ k=1 \]
En este caso la inecuación se convierte en:
\[ 0\cdot x>2 \]
esto es:
\[ 0>2 \]
que es una proposición falsa. Por tanto, para \(k=1\), la inecuación no tiene solución.
La solución completa es, en consecuencia:
\[ \begin{cases} x>\dfrac{2}{k-1}, & k>1,\\[6pt] x<\dfrac{2}{k-1}, & k<1,\\[6pt] S=\emptyset, & k=1. \end{cases} \]
Este sencillo ejemplo ilustra el principio fundamental: cuando se opera con cantidades que dependen del parámetro, es indispensable saber si son positivas, negativas o nulas.
Inecuaciones lineales con parámetro
Una inecuación lineal con parámetro tiene generalmente la forma:
\[ a(k)x+b(k)>0 \]
donde \(a(k)\) y \(b(k)\) son expresiones que dependen del parámetro.
El elemento clave es el coeficiente de la incógnita:
\[ a(k) \]
Si \(a(k)>0\), se puede dividir por \(a(k)\) sin cambiar el sentido. Si \(a(k)<0\), el sentido debe invertirse. Si \(a(k)=0\), la inecuación pierde la incógnita y se convierte en una inecuación numérica.
En forma general:
\[ a(k)x+b(k)>0 \]
equivale, cuando \(a(k)\neq0\), a:
\[ a(k)x>-b(k) \]
De modo que:
\[ \begin{cases} x>-\dfrac{b(k)}{a(k)}, & a(k)>0,\\[8pt] x<-\dfrac{b(k)}{a(k)}, & a(k)<0. \end{cases} \]
El caso \(a(k)=0\) debe tratarse por separado, ya que la inecuación se reduce a:
\[ b(k)>0 \]
Si esta proposición es verdadera, cualquier valor real de \(x\) es solución; si es falsa, no existe ninguna solución.
Inecuaciones de segundo grado con parámetro
Una inecuación de segundo grado con parámetro tiene la forma:
\[ a(k)x^2+b(k)x+c(k)>0 \]
o, más en general:
\[ a(k)x^2+b(k)x+c(k)\gtrless 0 \]
En este caso la discusión es más detallada, porque el parámetro puede influir en tres aspectos distintos:
- el grado de la inecuación;
- el número de raíces reales;
- la concavidad de la parábola.
Antes de aplicar la teoría de las inecuaciones de segundo grado, hay que verificar si:
\[ a(k)=0 \]
pues en tal caso el término cuadrático desaparece y la inecuación deja de ser de segundo grado.
Solo cuando:
\[ a(k)\neq0 \]
tiene sentido estudiar el discriminante del trinomio.
Discriminante y número de raíces reales
Cuando la inecuación es efectivamente de segundo grado, el discriminante es:
\[ \Delta(k)=b(k)^2-4a(k)c(k) \]
El discriminante determina cuántas raíces reales tiene el trinomio.
Caso \(\Delta(k)<0\)
El trinomio no tiene raíces reales. La parábola no corta al eje de abscisas.
En este caso el trinomio mantiene el mismo signo en toda la recta real, y ese signo coincide con el del coeficiente del término cuadrático.
Así:
- si \(a(k)>0\), el trinomio es siempre positivo;
- si \(a(k)<0\), el trinomio es siempre negativo.
Caso \(\Delta(k)=0\)
El trinomio tiene una raíz real doble:
\[ x_0=-\frac{b(k)}{2a(k)} \]
La parábola es tangente al eje de abscisas sin llegar a cortarlo.
En este caso el trinomio tiene el mismo signo que \(a(k)\) para todo \(x\neq x_0\), y se anula en \(x=x_0\).
Por este motivo, en las inecuaciones estrictas la raíz doble queda excluida; en las no estrictas, se incluye si es compatible con el sentido de la desigualdad.
Caso \(\Delta(k)>0\)
El trinomio tiene dos raíces reales distintas:
\[ x_1=\frac{-b(k)-\sqrt{\Delta(k)}}{2a(k)}, \qquad x_2=\frac{-b(k)+\sqrt{\Delta(k)}}{2a(k)} \]
Tras ordenarlas de modo que:
\[ x_1
el signo del trinomio se estudia atendiendo a la concavidad de la parábola.
Concavidad y signo del trinomio
El signo de \(a(k)\) determina la concavidad de la parábola.
Si:
\[ a(k)>0 \]
la parábola tiene concavidad hacia arriba. Cuando existen dos raíces reales distintas, el trinomio es positivo fuera de las raíces y negativo entre ellas:
\[ P(x)>0 \quad\Longleftrightarrow\quad x\in(-\infty,x_1)\cup(x_2,+\infty) \]
y:
\[ P(x)<0 \quad\Longleftrightarrow\quad x\in(x_1,x_2) \]
Si en cambio:
\[ a(k)<0 \]
la parábola tiene concavidad hacia abajo. El comportamiento se invierte: el trinomio es positivo entre las raíces y negativo fuera de ellas.
Es decir:
\[ P(x)>0 \quad\Longleftrightarrow\quad x\in(x_1,x_2) \]
y:
\[ P(x)<0 \quad\Longleftrightarrow\quad x\in(-\infty,x_1)\cup(x_2,+\infty) \]
Esto pone de manifiesto por qué el discriminante no basta por sí solo: conocer cuántas raíces existen no es suficiente. Hay que saber también si la parábola tiene concavidad hacia arriba o hacia abajo.
Casos degenerados
Se produce un caso degenerado cuando el coeficiente del término de mayor grado se anula.
Por ejemplo, en la inecuación:
\[ (k-2)x^2+x+1>0 \]
el coeficiente del término cuadrático es:
\[ k-2 \]
Si:
\[ k=2 \]
la inecuación se convierte en:
\[ x+1>0 \]
es decir, una inecuación lineal.
Si en cambio:
\[ k\neq2 \]
la inecuación sigue siendo de segundo grado y puede estudiarse mediante el discriminante y la concavidad.
Los casos degenerados deben tratarse antes de estudiar el discriminante, ya que este último solo es aplicable a trinomios efectivamente cuadráticos.
Ejemplo lineal resuelto
Consideremos la inecuación:
\[ (k+2)x-1\leq0 \]
La incógnita es \(x\), mientras que \(k\) es el parámetro.
Pasamos el término independiente al segundo miembro:
\[ (k+2)x\leq1 \]
A partir de aquí, el desarrollo depende del signo de \(k+2\).
Caso \(k+2>0\)
Si:
\[ k>-2 \]
podemos dividir sin cambiar el sentido de la desigualdad:
\[ x\leq\frac{1}{k+2} \]
Caso \(k+2<0\)
Si:
\[ k<-2 \]
al dividir por una cantidad negativa debemos invertir el sentido:
\[ x\geq\frac{1}{k+2} \]
Caso \(k+2=0\)
Si:
\[ k=-2 \]
la inecuación se convierte en:
\[ 0\cdot x-1\leq0 \]
esto es:
\[ -1\leq0 \]
que es verdadera para todo \(x\in\mathbb{R}\).
La solución completa es, por tanto:
\[ \begin{cases} x\leq\dfrac{1}{k+2}, & k>-2,\\[8pt] x\geq\dfrac{1}{k+2}, & k<-2,\\[8pt] S=\mathbb{R}, & k=-2. \end{cases} \]
Ejemplo cuadrático completo
Consideremos la inecuación:
\[ (k-1)x^2+2x+1\geq0 \]
En este ejemplo el parámetro aparece en el coeficiente del término cuadrático. Hay que comprobar, en primer lugar, si la inecuación es efectivamente de segundo grado.
Caso degenerado: \(k=1\)
Si:
\[ k=1 \]
el término cuadrático se anula y la inecuación queda:
\[ 2x+1\geq0 \]
Despejando:
\[ 2x\geq-1 \]
luego:
\[ x\geq-\frac12 \]
Por tanto, para \(k=1\):
\[ S=\left[-\frac12,+\infty\right) \]
Caso cuadrático: \(k\neq1\)
Si \(k\neq1\), la inecuación es de segundo grado. El coeficiente del término cuadrático es:
\[ a=k-1 \]
El discriminante vale:
\[ \Delta=2^2-4(k-1)\cdot1 \]
es decir:
\[ \Delta=4-4k+4=8-4k \]
Estudiamos el signo del discriminante:
\[ \Delta>0 \quad\Longleftrightarrow\quad 8-4k>0 \quad\Longleftrightarrow\quad k<2 \]
\[ \Delta=0 \quad\Longleftrightarrow\quad k=2 \]
\[ \Delta<0 \quad\Longleftrightarrow\quad k>2 \]
Además, la concavidad depende del signo de \(k-1\):
\[ k-1>0 \quad\Longleftrightarrow\quad k>1 \]
y:
\[ k-1<0 \quad\Longleftrightarrow\quad k<1 \]
Los valores críticos del parámetro son, por tanto:
\[ k=1,\qquad k=2 \]
Hay que distinguir los casos:
\[ k<1,\qquad k=1,\qquad 1
Caso \(k<1\)
En este caso:
\[ k-1<0 \]
por lo que la parábola tiene concavidad hacia abajo.
Además, como \(k<1<2\), se tiene:
\[ \Delta>0 \]
El trinomio tiene dos raíces reales distintas. Dado que la concavidad es hacia abajo, el trinomio es positivo entre las raíces y negativo fuera de ellas.
Como la inecuación es:
\[ (k-1)x^2+2x+1\geq0 \]
la solución es:
\[ S=[x_1,x_2] \]
Caso \(1<k<2\)
En este caso:
\[ k-1>0 \]
por lo que la parábola tiene concavidad hacia arriba.
Además:
\[ \Delta>0 \]
ya que \(k<2\). El trinomio tiene, pues, dos raíces reales distintas.
Con concavidad hacia arriba, el trinomio es positivo fuera de las raíces y negativo entre ellas. Como la inecuación es no estricta, las raíces deben incluirse.
Por tanto:
\[ S=(-\infty,x_1]\cup[x_2,+\infty) \]
Caso \(k=2\)
Para \(k=2\), el discriminante es nulo:
\[ \Delta=0 \]
Además:
\[ k-1=1>0 \]
por lo que la parábola tiene concavidad hacia arriba.
El trinomio tiene una raíz doble. Como la parábola es cóncava hacia arriba, el trinomio es siempre mayor o igual que cero.
Dado que la inecuación exige:
\[ \geq0 \]
la solución es toda la recta real:
\[ S=\mathbb{R} \]
Caso \(k>2\)
En este caso:
\[ \Delta<0 \]
y:
\[ k-1>0 \]
La parábola tiene concavidad hacia arriba y no corta al eje de abscisas.
Por tanto, el trinomio es siempre positivo:
\[ (k-1)x^2+2x+1>0 \quad \forall x\in\mathbb{R} \]
Con mayor razón satisface la inecuación no estricta:
\[ (k-1)x^2+2x+1\geq0 \]
De modo que:
\[ S=\mathbb{R} \]
Resultado final
En resumen:
\[ \begin{cases} S=[x_1,x_2], & k<1,\\[6pt] S=\left[-\dfrac12,+\infty\right), & k=1,\\[8pt] S=(-\infty,x_1]\cup[x_2,+\infty), & 1
En los casos en que existen dos raíces distintas, \(x_1\) y \(x_2\) denotan las raíces del trinomio ordenadas de forma que:
\[ x_1
Cuadro resumen
Para las inecuaciones cuadráticas con parámetro, una vez tratados los eventuales casos degenerados, el comportamiento del trinomio se resume en el siguiente cuadro.
| Condición | Consecuencia |
|---|---|
| \(\Delta<0,\ a>0\) | El trinomio es siempre positivo |
| \(\Delta<0,\ a<0\) | El trinomio es siempre negativo |
| \(\Delta=0\) | Existe una raíz doble |
| \(\Delta>0,\ a>0\) | Positivo fuera de las raíces, negativo entre ellas |
| \(\Delta>0,\ a<0\) | Positivo entre las raíces, negativo fuera de ellas |
Errores más frecuentes
Dividir por una expresión que contiene el parámetro sin estudiar su signo
Si se divide por una cantidad que puede ser positiva, negativa o nula, es obligatorio distinguir todos los casos. De lo contrario, se corre el riesgo de no invertir el sentido cuando corresponde o, peor aún, de dividir por cero.
Olvidar los casos degenerados
Cuando el coeficiente del término de mayor grado se anula, la inecuación cambia de naturaleza. Una inecuación cuadrática puede pasar a ser lineal, y una lineal puede convertirse en una proposición numérica.
Estudiar únicamente el discriminante
El discriminante determina el número de raíces reales, pero no establece por sí solo el signo del trinomio. Siempre hay que considerar también la concavidad de la parábola.
Confundir inecuaciones estrictas y no estrictas
En las inecuaciones con \(>\) o \(<\), los ceros no se incluyen en la solución. En las que llevan \(\geq\) o \(\leq\), los ceros sí se incluyen, salvo que correspondan a valores no admitidos.
No ordenar correctamente los casos del parámetro
Cuando aparecen varios valores críticos del parámetro, hay que situarlos en la recta real y discutir los intervalos en el orden correcto. Así se evitan solapamientos, omisiones y casos duplicados.
Procedimiento general
Para resolver una inecuación con parámetro conviene seguir un procedimiento ordenado.
- Se identifica la incógnita y se distingue el parámetro.
- Se determinan los valores del parámetro que anulan coeficientes relevantes.
- Se tratan por separado los eventuales casos degenerados.
- Si la inecuación es lineal, se estudia el signo del coeficiente de la incógnita.
- Si la inecuación es cuadrática, se analiza el discriminante como función del parámetro.
- Se estudia la concavidad de la parábola a través del signo del coeficiente del término cuadrático.
- Se determina el signo de la expresión en cada caso.
- Se escribe el conjunto solución distinguiendo todos los valores o intervalos del parámetro.
Las inecuaciones con parámetro requieren orden y atención, porque cada valor particular del parámetro puede modificar la propia naturaleza del problema.
Una buena discusión no consiste en multiplicar los cálculos, sino en reconocer qué valores del parámetro alteran el grado de la inecuación, el sentido de las operaciones, el número de raíces reales o la concavidad de la parábola.
En este sentido, las inecuaciones con parámetro representan un paso importante: enseñan a no resolver mecánicamente, sino a examinar la estructura completa del problema.