El estudio del signo de una función consiste en determinar para qué valores de la variable la función toma valores positivos, negativos o nulos.
Dicho de otro modo, dada una función \(f\), queremos establecer dónde se cumple:
\[ f(x)>0,\qquad f(x)=0,\qquad f(x)<0. \]
Este procedimiento es fundamental en el estudio de ecuaciones, inecuaciones, funciones polinómicas, funciones racionales y, en general, en el análisis del gráfico de una función.
Índice
- Qué significa estudiar el signo de una función
- Conjunto de positividad, negatividad y ceros
- Método general para el estudio del signo
- Estudio del signo de un producto
- Estudio del signo de una función racional
- Ceros de multiplicidad par e impar
- Factores siempre positivos o siempre negativos
- Ejemplo resuelto completo
- Errores frecuentes
Qué significa estudiar el signo de una función
Estudiar el signo de una función significa determinar en qué intervalos de su dominio la función es positiva, negativa o nula.
Desde el punto de vista geométrico:
- \(f(x)>0\) significa que la gráfica de la función se encuentra por encima del eje \(x\);
- \(f(x)<0\) significa que la gráfica de la función se encuentra por debajo del eje \(x\);
- \(f(x)=0\) significa que la gráfica corta o toca el eje \(x\).
Los ceros de la función son, por tanto, los puntos en los que la gráfica intersecta el eje de abscisas.
Conjunto de positividad, negatividad y ceros
Sea \(f\) una función definida en un dominio \(D_f\).
Se denomina conjunto de positividad al conjunto de valores \(x\in D_f\) para los que:
\[ f(x)>0. \]
Se denomina conjunto de negatividad al conjunto de valores \(x\in D_f\) para los que:
\[ f(x)<0. \]
Los ceros de la función son los valores del dominio para los que:
\[ f(x)=0. \]
Es importante destacar que los ceros deben pertenecer al dominio de la función. Un valor que anule un denominador, por ejemplo, no es un cero de la función: es un punto excluido del dominio.
Método general para el estudio del signo
El método general para estudiar el signo de una función algebraica se apoya en una serie de pasos fundamentales.
1. Determinar el dominio
El primer paso consiste en determinar el dominio \(D_f\), es decir, el conjunto de valores para los que la función está definida.
Por ejemplo, si:
\[ f(x)=\frac{x-1}{x+3}, \]
el denominador no puede ser nulo. Por tanto:
\[ x+3\neq 0, \]
lo que implica:
\[ x\neq -3. \]
El dominio es:
\[ D_f=\mathbb{R}\setminus\{-3\}. \]
2. Factorizar la función
Siempre que sea posible, conviene descomponer la función en factores simples.
Por ejemplo:
\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3). \]
La factorización permite estudiar por separado el signo de cada factor.
3. Hallar los ceros y los puntos excluidos
Los ceros de la función se obtienen igualando el numerador a cero o, en el caso de un producto, anulando al menos uno de los factores.
Los puntos excluidos se obtienen a partir de los valores que anulan el denominador o que hacen que la función no esté definida.
4. Ordenar los puntos críticos en la recta real
Los ceros y los puntos excluidos dividen la recta real en intervalos. En cada uno de ellos el signo de la función permanece constante, siempre que la función esté formada por factores continuos y no se anule en el interior del intervalo.
5. Construir la tabla de signos
Por último, se construye una tabla de signos, estudiando el signo de cada factor en cada intervalo y combinando después los resultados.
Estudio del signo de un producto
Consideremos una función escrita como producto de factores:
\[ f(x)=A(x)\cdot B(x). \]
El signo de \(f(x)\) depende del signo de ambos factores.
Recordemos las reglas fundamentales:
\[ (+)\cdot(+)=+,\qquad (-)\cdot(-)=+, \]
mientras que:
\[ (+)\cdot(-)=-,\qquad (-)\cdot(+)=-. \]
Por tanto, un producto es positivo cuando contiene un número par de factores negativos, y negativo cuando contiene un número impar de factores negativos.
Ejemplo
Estudiemos el signo de:
\[ f(x)=(x+1)(x-3). \]
Los ceros son:
\[ x+1=0 \Rightarrow x=-1, \qquad x-3=0 \Rightarrow x=3. \]
Los puntos \(-1\) y \(3\) dividen la recta real en los intervalos:
\[ (-\infty,-1),\qquad (-1,3),\qquad (3,+\infty). \]
Estudiamos el signo de cada factor:
\[ \begin{array}{c|ccc} x & (-\infty,-1) & (-1,3) & (3,+\infty)\\ \hline x+1 & - & + & +\\ x-3 & - & - & +\\ \hline f(x) & + & - & + \end{array} \]
Por lo tanto:
\[ f(x)>0 \text{ para } x<-1 \text{ o bien } x>3, \]
\[ f(x)=0 \text{ para } x=-1 \text{ y } x=3, \]
\[ f(x)<0 \text{ para } -1<x<3. \]
Estudio del signo de una función racional
Una función racional tiene la forma:
\[ f(x)=\frac{A(x)}{B(x)}. \]
En este caso hay que distinguir con especial cuidado:
- los ceros del numerador, que pueden ser ceros de la función;
- los ceros del denominador, que son puntos excluidos del dominio.
Una fracción es positiva cuando numerador y denominador tienen el mismo signo:
\[ \frac{+}{+}=+,\qquad \frac{-}{-}=+. \]
Es negativa cuando numerador y denominador tienen signo opuesto:
\[ \frac{+}{-}=-,\qquad \frac{-}{+}=-. \]
Ejemplo
Estudiemos el signo de:
\[ f(x)=\frac{x-1}{x+3}. \]
El denominador se anula para:
\[ x+3=0 \Rightarrow x=-3. \]
Por tanto:
\[ x\neq -3. \]
El numerador se anula para:
\[ x-1=0 \Rightarrow x=1. \]
Estudiamos el signo en los intervalos determinados por \(-3\) y \(1\):
\[ (-\infty,-3),\qquad (-3,1),\qquad (1,+\infty). \]
La tabla de signos es:
\[ \begin{array}{c|ccc} x & (-\infty,-3) & (-3,1) & (1,+\infty)\\ \hline x-1 & - & - & +\\ x+3 & - & + & +\\ \hline f(x) & + & - & + \end{array} \]
Por lo tanto:
\[ f(x)>0 \text{ para } x<-3 \text{ o bien } x>1, \]
\[ f(x)=0 \text{ para } x=1, \]
\[ f(x)<0 \text{ para } -3<x<1. \]
El punto \(x=-3\), en cambio, no es un cero: está excluido del dominio.
Ceros de multiplicidad par e impar
Un aspecto fundamental en el estudio del signo es la multiplicidad de los ceros.
Consideremos un factor de la forma:
\[ (x-a)^m. \]
El número \(m\) se denomina multiplicidad del cero \(x=a\).
Multiplicidad impar
Si \(m\) es impar, el factor cambia de signo al atravesar \(x=a\).
Por ejemplo:
\[ (x-2)^3 \]
es negativo para \(x<2\) y positivo para \(x>2\).
En efecto:
\[ (x-2)^3<0 \text{ para } x<2, \]
mientras que:
\[ (x-2)^3>0 \text{ para } x>2. \]
Multiplicidad par
Si \(m\) es par, el factor no cambia de signo al atravesar \(x=a\).
Por ejemplo:
\[ (x-2)^2 \]
es siempre no negativo:
\[ (x-2)^2\ge 0 \]
para todo \(x\in\mathbb{R}\), y se anula únicamente para \(x=2\).
En particular:
\[ (x-2)^2>0 \text{ para } x\neq 2. \]
Por esta razón, en una tabla de signos, un cero de multiplicidad par no produce un cambio de signo.
Factores siempre positivos o siempre negativos
Algunos factores no cambian nunca de signo.
Por ejemplo:
\[ x^2+1>0 \]
para todo \(x\in\mathbb{R}\), ya que \(x^2\ge 0\) y por tanto \(x^2+1\) es siempre estrictamente positivo.
También un cuadrado como:
\[ (x-3)^2 \]
es siempre no negativo:
\[ (x-3)^2\ge 0. \]
Se anula únicamente para \(x=3\), pero no cambia de signo al atravesar ese punto.
Estas observaciones son muy útiles porque permiten simplificar el estudio del signo.
Ejemplo resuelto completo
Estudiemos el signo de la función:
\[ f(x)=\frac{(x+1)^2(x-2)}{x^2(x+3)}. \]
Dominio
El denominador es:
\[ x^2(x+3). \]
Se anula para:
\[ x^2=0 \Rightarrow x=0, \]
o bien:
\[ x+3=0 \Rightarrow x=-3. \]
Por tanto:
\[ D_f=\mathbb{R}\setminus\{-3,0\}. \]
Ceros de la función
Los ceros se obtienen igualando el numerador a cero:
\[ (x+1)^2(x-2)=0. \]
De donde:
\[ x=-1,\qquad x=2. \]
El valor \(x=-1\) es un cero doble, pues aparece el factor \((x+1)^2\).
Estudio del signo de los factores
Los factores a considerar son:
\[ (x+1)^2,\qquad x-2,\qquad x^2,\qquad x+3. \]
Los factores \((x+1)^2\) y \(x^2\) son siempre no negativos y no cambian de signo.
El signo de la función depende, por tanto, de los factores \(x-2\) y \(x+3\), teniendo en cuenta los ceros y los puntos excluidos.
Los puntos críticos son:
\[ -3,\qquad -1,\qquad 0,\qquad 2. \]
La tabla de signos es:
\[ \begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty,-3) & (-3,-1) & (-1,0) & (0,2) & (2,+\infty)\\ \hline (x+1)^2 & + & + & + & + & +\\ x-2 & - & - & - & - & +\\ x^2 & + & + & + & + & +\\ x+3 & - & + & + & + & +\\ \hline f(x) & + & - & - & - & + \end{array} \]
Conclusión
La función es positiva para:
\[ x<-3 \text{ o bien } x>2. \]
La función es negativa para:
\[ -3<x<0 \text{ o bien } 0<x<2. \]
La función se anula para:
\[ x=-1,\qquad x=2. \]
Los puntos:
\[ x=-3,\qquad x=0 \]
están excluidos del dominio.
Errores frecuentes en el estudio del signo
Olvidar el dominio
En las funciones racionales, determinar el dominio es el primer paso. Un valor que anule el denominador debe quedar excluido, incluso si posteriormente se simplifica un factor.
Confundir ceros con puntos excluidos
Un cero de la función es un valor para el que \(f(x)=0\). Un punto excluido del dominio, en cambio, no pertenece a la función.
Por ejemplo, en la función:
\[ f(x)=\frac{x-1}{x+3}, \]
\(x=1\) es un cero, mientras que \(x=-3\) es un punto excluido del dominio.
Olvidar la multiplicidad de los ceros
Un cero de multiplicidad impar produce un cambio de signo. Un cero de multiplicidad par, en cambio, no lo produce.
Simplificar sin conservar las exclusiones
Consideremos:
\[ f(x)=\frac{(x-1)(x-2)}{(x+3)(x-2)}. \]
Para \(x\neq 2\), podemos simplificar el factor \(x-2\):
\[ f(x)=\frac{x-1}{x+3}. \]
Sin embargo, el valor \(x=2\) sigue estando excluido del dominio de la función original.
Este es un punto crucial: una simplificación puede modificar la expresión, pero no elimina las condiciones de existencia de la función de partida.
En conclusión, el estudio del signo es un procedimiento esencial para comprender el comportamiento de una función. El método correcto consiste en determinar el dominio, factorizar la expresión, identificar los ceros y los puntos excluidos, estudiar el signo de cada factor por separado y, finalmente, combinar toda la información en la tabla de signos.