Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones que deben satisfacerse de manera simultánea.
Resolver un sistema significa, por tanto, determinar los valores de las incógnitas que hacen verdaderas todas las ecuaciones del sistema al mismo tiempo.
Los sistemas representan una de las herramientas fundamentales del álgebra, ya que permiten modelizar condiciones simultáneas y aparecen en numerosos contextos matemáticos, geométricos y aplicados.
Desde el punto de vista geométrico, un sistema lineal con dos incógnitas describe, en general, la intersección de dos rectas en el plano cartesiano.
Índice
- Qué es un sistema de ecuaciones
- Forma general de un sistema lineal
- Sistema compatible determinado, incompatible e indeterminado
- Método de sustitución
- Método de reducción (o eliminación)
- Algoritmo de eliminación gaussiana
- Sistemas lineales con tres incógnitas
- Interpretación geométrica
- Determinante del sistema y Teorema de Cramer
- Sistemas con parámetro
- Sistemas no lineales
- Errores frecuentes
Qué es un sistema de ecuaciones
Consideremos dos ecuaciones en las mismas incógnitas:
\[ \begin{cases} x+y=5\\ x-y=1 \end{cases} \]
Ninguna de las dos ecuaciones debe estudiarse por separado: queremos encontrar los valores de \(x\) e \(y\) que satisfacen ambas simultáneamente.
En este caso:
\[ x=3,\qquad y=2 \]
porque:
\[ 3+2=5 \]
y al mismo tiempo:
\[ 3-2=1. \]
El par ordenado:
\[ (3,2) \]
es, por tanto, la solución del sistema.
En general, una solución de un sistema es un par, una terna o un conjunto de valores que hace verdaderas todas las ecuaciones del sistema.
Forma general de un sistema lineal
Un sistema lineal con dos incógnitas tiene, en general, la forma:
\[ \begin{cases} a_1x+b_1y=c_1\\ a_2x+b_2y=c_2 \end{cases} \]
donde:
- \(x\) e \(y\) son las incógnitas;
- \(a_1,a_2,b_1,b_2\) son los coeficientes;
- \(c_1,c_2\) son los términos independientes.
Se habla de sistema lineal porque las incógnitas aparecen únicamente en primer grado.
Por ejemplo:
\[ \begin{cases} 2x+3y=7\\ x-y=4 \end{cases} \]
es un sistema lineal.
En cambio:
\[ \begin{cases} x+y=5\\ x^2+y^2=13 \end{cases} \]
no es lineal, porque aparece el término:
\[ x^2. \]
Sistema compatible determinado, incompatible e indeterminado
Un sistema puede tener:
- una única solución;
- ninguna solución;
- infinitas soluciones.
Sistema compatible determinado
Un sistema es compatible determinado cuando tiene una única solución.
Por ejemplo:
\[ \begin{cases} x+y=5\\ x-y=1 \end{cases} \]
tiene solución única:
\[ x=3,\qquad y=2. \]
Sistema incompatible
Un sistema es incompatible cuando no admite ninguna solución.
Por ejemplo:
\[ \begin{cases} x+y=2\\ x+y=5 \end{cases} \]
es incompatible, porque una misma suma no puede ser simultáneamente igual a \(2\) y a \(5\).
Sistema compatible indeterminado
Un sistema es compatible indeterminado cuando admite infinitas soluciones.
Por ejemplo:
\[ \begin{cases} x+y=4\\ 2x+2y=8 \end{cases} \]
contiene en realidad dos ecuaciones equivalentes.
Todos los pares que satisfacen:
\[ x+y=4 \]
son, por tanto, soluciones del sistema.
Método de sustitución
El método de sustitución consiste en despejar una variable en una de las ecuaciones y sustituirla en la otra.
Ejemplo
Resolvamos:
\[ \begin{cases} x-2y=0\\ x+y=6 \end{cases} \]
De la primera ecuación:
\[ x=2y. \]
Sustituyendo en la segunda:
\[ 2y+y=6. \]
Obtenemos:
\[ 3y=6. \]
luego:
\[ y=2. \]
Finalmente:
\[ x=2\cdot 2=4. \]
La solución del sistema es:
\[ (x,y)=(4,2). \]
Cuándo conviene usar este método
El método de sustitución resulta especialmente conveniente cuando una variable tiene coeficiente \(1\) o \(-1\), ya que puede despejarse con rapidez.
Método de reducción (o eliminación)
El método de reducción (también llamado método de eliminación) consiste en hacer iguales u opuestos los coeficientes de una variable mediante los principios de equivalencia, con el fin de eliminarla sumando o restando las ecuaciones miembro a miembro.
Ejemplo
Resolvamos:
\[ \begin{cases} 3x+2y=12\\ 5x-2y=4 \end{cases} \]
Los coeficientes de \(y\) ya son opuestos:
\[ 2y \qquad \text{y} \qquad -2y. \]
Sumando miembro a miembro:
\[ (3x+2y)+(5x-2y)=12+4. \]
obtenemos:
\[ 8x=16. \]
De donde:
\[ x=2. \]
Sustituyendo en la primera ecuación:
\[ 3\cdot 2+2y=12. \]
es decir:
\[ 6+2y=12. \]
Obtenemos:
\[ y=3. \]
Doble multiplicación
Si los coeficientes no son ya opuestos, se pueden multiplicar las ecuaciones por números no nulos adecuados.
Por ejemplo:
\[ \begin{cases} 4x+3y=17\\ 5x-2y=4 \end{cases} \]
podemos multiplicar:
- la primera ecuación por \(2\);
- la segunda ecuación por \(3\).
Obtenemos:
\[ \begin{cases} 8x+6y=34\\ 15x-6y=12 \end{cases} \]
Sumando:
\[ 23x=46. \]
luego:
\[ x=2. \]
Algoritmo de eliminación gaussiana
Cuando los sistemas presentan tres o más incógnitas, la aplicación no sistemática de la reducción puede volverse compleja. Se recurre entonces al algoritmo de eliminación gaussiana, un método ordenado que transforma progresivamente el sistema en otro equivalente de forma «escalonada», eliminando las variables de manera sucesiva.
Sistemas lineales con tres incógnitas
Un sistema lineal con tres incógnitas tiene, en general, la forma:
\[ \begin{cases} a_1x+b_1y+c_1z=d_1\\ a_2x+b_2y+c_2z=d_2\\ a_3x+b_3y+c_3z=d_3 \end{cases} \]
En general, el algoritmo consiste en combinar las ecuaciones de dos en dos para eliminar la misma variable y reducirse a un sistema más pequeño. Sin embargo, en casos con simetrías particulares, los cálculos pueden simplificarse notablemente al eliminar varias incógnitas al mismo tiempo.
Ejemplo
Consideremos el siguiente sistema simétrico:
\[ \begin{cases} x+y+z=6\\ x-y+z=2\\ x+y-z=0 \end{cases} \]
Restando la segunda ecuación a la primera, las incógnitas \(x\) y \(z\) se eliminan mutuamente:
\[ (x+y+z) - (x-y+z) = 6 - 2 \implies 2y=4. \]
Luego:
\[ y=2. \]
Del mismo modo, restando la tercera ecuación a la primera:
\[ (x+y+z) - (x+y-z) = 6 - 0 \implies 2z=6. \]
De donde:
\[ z=3. \]
Basta ahora sustituir los valores hallados de \(y\) y \(z\) en la primera ecuación original para obtener la última incógnita:
\[ x+2+3=6. \]
Obtenemos:
\[ x=1. \]
La solución del sistema es la terna ordenada:
\[ (x,y,z)=(1,2,3). \]
Interpretación geométrica
En los sistemas lineales con dos incógnitas, cada ecuación de primer grado representa una recta en el plano cartesiano. Resolver el sistema equivale a determinar la intersección geométrica entre dichas rectas.
Rectas secantes
Si las rectas tienen distinta pendiente, se cortan en un único punto. Las coordenadas de dicho punto constituyen la única solución común: el sistema es, por tanto, compatible determinado.
Rectas paralelas y distintas
Si las rectas tienen la misma pendiente pero distinta ordenada al origen, son paralelas y no tienen ningún punto en común. El sistema no admite soluciones y es, por tanto, incompatible.
Rectas coincidentes
Si las ecuaciones son equivalentes, las dos rectas se superponen, compartiendo infinitos puntos. El sistema admite infinitas soluciones y es, por tanto, compatible indeterminado.
Determinante del sistema y Teorema de Cramer
Consideremos un sistema lineal escrito en forma estándar:
\[ \begin{cases} a_1x+b_1y=c_1\\ a_2x+b_2y=c_2 \end{cases} \]
Se define como determinante del sistema (o determinante principal \(\Delta\)) el valor asociado a la matriz de coeficientes:
\[ \Delta= \begin{vmatrix} a_1 & b_1\\ a_2 & b_2 \end{vmatrix} =a_1b_2-a_2b_1. \]
Para analizar completamente el sistema sin recurrir a tanteos, introducimos también los determinantes parciales \(\Delta_x\) y \(\Delta_y\), obtenidos sustituyendo la columna de los términos independientes en lugar de los coeficientes de la variable correspondiente:
\[ \Delta_x= \begin{vmatrix} c_1 & b_1\\ c_2 & b_2 \end{vmatrix} =c_1b_2-c_2b_1 \qquad \text{y} \qquad \Delta_y= \begin{vmatrix} a_1 & c_1\\ a_2 & c_2 \end{vmatrix} =a_1c_2-a_2c_1 \]
El Teorema de Cramer permite clasificar el sistema según los valores de estos determinantes:
- Si \(\Delta \neq 0\): el sistema es siempre compatible determinado y la única solución se obtiene mediante las fórmulas: \[ x = \frac{\Delta_x}{\Delta}, \qquad y = \frac{\Delta_y}{\Delta} \]
- Si \(\Delta = 0\) y al menos uno de \(\Delta_x\) o \(\Delta_y\) es distinto de cero: el sistema es incompatible (rectas paralelas y distintas).
- Si \(\Delta = 0\), \(\Delta_x = 0\) y \(\Delta_y = 0\): el sistema es compatible indeterminado (rectas coincidentes).
Sistemas con parámetro
En algunos sistemas aparece un parámetro, es decir, una letra que representa un número real arbitrario no especificado. Discutir un sistema literal significa establecer cómo varía la naturaleza del sistema al cambiar el valor del parámetro.
Por ejemplo:
\[ \begin{cases} x+y=6\\ 2x+ky=12 \end{cases} \]
Despejando \(x\) en la primera ecuación:
\[ x=6-y. \]
Sustituyendo en la segunda:
\[ 2(6-y)+ky=12. \]
Desarrollando:
\[ 12-2y+ky=12. \]
Agrupando los términos en \(y\):
\[ (k-2)y=0. \]
A partir de aquí realizamos la discusión del sistema:
- si \(k\neq 2\), el coeficiente de \(y\) es distinto de cero, por lo que podemos dividir ambos miembros y obtener una única solución. El sistema es compatible determinado;
- si \(k=2\), la ecuación se convierte en \(0y=0\), que es siempre verdadera (\(0=0\)). El sistema admite infinitas soluciones y es, por tanto, compatible indeterminado.
Sistemas no lineales
Un sistema se denomina no lineal cuando al menos una de las ecuaciones que lo forman no es de primer grado (es decir, presenta incógnitas multiplicadas entre sí o elevadas a potencias superiores a uno).
Por ejemplo:
\[ \begin{cases} x+y=5\\ x^2+y^2=13 \end{cases} \]
En estos casos, el método de sustitución resulta casi siempre el enfoque más directo y seguro.
De la primera ecuación despejamos:
\[ y=5-x. \]
Sustituyendo esta expresión en la ecuación de segundo grado:
\[ x^2+(5-x)^2=13. \]
Desarrollando el cuadrado del binomio:
\[ x^2+25-10x+x^2=13. \]
Simplificando y escribiendo la ecuación de segundo grado en forma estándar:
\[ 2x^2-10x+12=0. \]
Dividiendo todos los términos entre el factor común \(2\):
\[ x^2-5x+6=0. \]
Factorizando el trinomio (buscando dos números cuya suma sea \(-5\) y cuyo producto sea \(6\)):
\[ (x-2)(x-3)=0. \]
Por la regla del producto nulo obtenemos dos valores distintos para \(x\):
\[ x=2 \qquad \text{o} \qquad x=3. \]
Sustituyendo cada valor en la expresión \(y=5-x\), obtenemos las respectivas ordenadas. Las soluciones del sistema son los pares ordenados:
\[ (2,3) \qquad \text{y} \qquad (3,2). \]
Errores frecuentes
Errores de signo
Los errores más habituales se producen al transponer términos de un miembro a otro o al gestionar el signo menos delante de los paréntesis en las sustituciones.
Eliminación incompleta (Principio de igualdad)
Al aplicar el principio de equivalencia para multiplicar una ecuación completa, se olvida con frecuencia multiplicar también el término independiente del segundo miembro.
Sustitución incorrecta sin paréntesis
Cuando se sustituye una expresión compuesta (un binomio o trinomio) en lugar de una variable, es imprescindible encerrarla entre paréntesis para no cometer errores con los coeficientes externos.
Por ejemplo, si:
\[ x=2y+1, \]
la expresión completa debe introducirse protegida de este modo:
\[ (2y+1). \]
Omisión de la verificación final
Una vez concluidos los cálculos, es siempre recomendable comprobar el resultado sustituyendo los valores numéricos hallados en ambas ecuaciones originales para verificar la corrección de las igualdades.
Sistemas incompatibles o indeterminados no reconocidos
Si durante los pasos algebraicos las variables se cancelan por completo y se llega a una igualdad evidentemente falsa del tipo:
\[ 0=5, \]
el sistema no admite soluciones y es incompatible.
Si, en cambio, se llega a una identidad siempre verdadera del tipo:
\[ 0=0, \]
el sistema admite infinitas soluciones y es compatible indeterminado.
En conclusión, los sistemas de ecuaciones constituyen una de las herramientas fundamentales del álgebra, ya que permiten describir condiciones simultáneas e interpretar geométricamente intersecciones entre rectas, planos y curvas. El dominio de los métodos de sustitución y reducción, así como el enfoque sistemático de Gauss y Cramer, resulta esencial tanto en el estudio preuniversitario como en los desarrollos posteriores del álgebra lineal y el análisis matemático.