Un sistema de inecuaciones está formado por dos o más inecuaciones que deben verificarse simultáneamente.
Resolver un sistema de inecuaciones consiste en determinar todos y únicamente los valores de la incógnita que satisfacen al mismo tiempo cada condición impuesta por el sistema.
Desde el punto de vista de la teoría de conjuntos, la solución de un sistema se obtiene intersectando los conjuntos solución de cada inecuación por separado.
Índice
- Definición de sistema de inecuaciones
- Principio fundamental
- Intersección de los conjuntos solución
- Interpretación gráfica en la recta real
- Sistemas de inecuaciones lineales
- Sistemas con inecuaciones de segundo grado
- Sistemas con inecuaciones fraccionarias
- Ejemplo completo con estudio del signo
- Sistemas imposibles y sistemas siempre verificados
- Errores más comunes
- Esquema general de resolución
Definición de sistema de inecuaciones
Un sistema de inecuaciones es un conjunto de condiciones expresadas mediante inecuaciones que deben verificarse simultáneamente para la misma incógnita.
Por ejemplo:
\[ \begin{cases} x-1>0,\\ 2x+3\le 7. \end{cases} \]
Una solución del sistema es un número real que hace verdaderas ambas inecuaciones a la vez.
No basta con satisfacer una sola condición: todas las inecuaciones del sistema deben verificarse de forma simultánea.
Si denotamos con:
\[ S_1 \]
el conjunto solución de la primera inecuación y con:
\[ S_2 \]
el conjunto solución de la segunda, entonces la solución del sistema será:
\[ S=S_1\cap S_2. \]
Principio fundamental
El principio fundamental de los sistemas de inecuaciones establece que:
el conjunto solución de un sistema es la intersección de los conjuntos solución de cada una de las inecuaciones que lo componen.
Este principio se desprende directamente del significado de la palabra «sistema»: todas las condiciones deben ser verdaderas al mismo tiempo.
Para resolver correctamente un sistema conviene, por tanto:
- resolver por separado cada inecuación;
- determinar los correspondientes conjuntos solución;
- calcular la intersección final.
El error más frecuente consiste precisamente en omitir este último paso.
Intersección de los conjuntos solución
Consideremos el sistema:
\[ \begin{cases} x>1,\\ x\le 4. \end{cases} \]
La primera inecuación tiene como solución:
\[ S_1=(1,+\infty). \]
La segunda inecuación tiene como solución:
\[ S_2=(-\infty,4]. \]
La solución del sistema es:
\[ S=S_1\cap S_2. \]
Buscamos, por tanto, los números que pertenecen simultáneamente a ambos conjuntos.
Obtenemos:
\[ S=(1,4]. \]
En efecto:
- los números deben ser estrictamente mayores que \(1\);
- y al mismo tiempo menores o iguales que \(4\).
La intersección representa, pues, la parte común de los dos conjuntos solución.
Interpretación gráfica en la recta real
En los sistemas de inecuaciones resulta muy útil representar los conjuntos solución sobre la recta real.
Esto permite visualizar de inmediato la parte común de las soluciones.
Consideremos:
\[ \begin{cases} x\ge -2,\\ x<3. \end{cases} \]
La primera inecuación representa todos los números mayores o iguales que \(-2\).
El símbolo:
\[ \ge \]
indica que el extremo pertenece al conjunto solución.
La segunda inecuación representa, en cambio, todos los números menores que \(3\).
El símbolo:
\[ < \]
indica que \(3\) no pertenece a la solución.
Al intersectar obtenemos:
\[ [-2,3). \]
Gráficamente, esta solución corresponde a la parte de la recta comprendida entre \(-2\) y \(3\), incluyendo el primer extremo pero excluyendo el segundo.
Sistemas de inecuaciones lineales
Los sistemas más sencillos son los formados por inecuaciones de primer grado.
Consideremos:
\[ \begin{cases} 2x-1>3,\\ x+4\le 9. \end{cases} \]
Resolvemos la primera inecuación:
\[ 2x-1>3. \]
Sumando \(1\) a ambos miembros:
\[ 2x>4. \]
Dividiendo entre \(2\), obtenemos:
\[ x>2. \]
Resolvemos ahora la segunda inecuación:
\[ x+4\le 9. \]
Restando \(4\), obtenemos:
\[ x\le 5. \]
Debemos, por tanto, intersectar:
\[ x>2 \]
con:
\[ x\le 5. \]
Obtenemos:
\[ S=(2,5]. \]
La solución está formada por todos los números estrictamente mayores que \(2\) y al mismo tiempo menores o iguales que \(5\).
Sistemas con inecuaciones de segundo grado
Un sistema puede contener también inecuaciones cuadráticas.
Consideremos:
\[ \begin{cases} x^2-4>0,\\ x-1\le 0. \end{cases} \]
Resolvemos la primera inecuación:
\[ x^2-4>0. \]
Factorizamos la diferencia de cuadrados:
\[ x^2-4=(x-2)(x+2). \]
Obtenemos así:
\[ (x-2)(x+2)>0. \]
Un producto es estrictamente positivo cuando los factores tienen el mismo signo.
Estudiamos, por tanto, el signo del producto en los distintos intervalos determinados por los ceros de los factores.
- si \(x<-2\), ambos factores son negativos y, por tanto, el producto es positivo;
- si \(-2
2\), los="" dos="" factores="" tienen="" signos="" opuestos="" y,="" por="" tanto,="" el="" producto="" es="" negativo;="" ="" li=""> - si \(x>2\), ambos factores son positivos y, por tanto, el producto es positivo.
La solución de la primera inecuación es, por tanto:
\[ (-\infty,-2)\cup(2,+\infty). \]
Resolvemos ahora la segunda inecuación:
\[ x-1\le 0. \]
Obtenemos:
\[ x\le 1. \]
Intersectamos ahora los dos conjuntos solución:
\[ \left[(-\infty,-2)\cup(2,+\infty)\right]\cap(-\infty,1]. \]
La intersección de los dos conjuntos solución es:
\[ S=(-\infty,-2). \]
En efecto, los números mayores que \(2\) no pueden pertenecer a la solución, puesto que deben ser simultáneamente menores o iguales que \(1\).
Sistemas con inecuaciones fraccionarias
En los sistemas con inecuaciones fraccionarias es preciso prestar especial atención a las condiciones de existencia.
Consideremos:
\[ \begin{cases} \dfrac{x+1}{x-2}>0,\\ x<5. \end{cases} \]
La fracción no está definida cuando el denominador se anula.
Debemos, por tanto, imponer:
\[ x\ne 2. \]
Estudiamos ahora el signo de la fracción:
\[ \frac{x+1}{x-2}>0. \]
Los ceros del numerador y del denominador son:
\[ x=-1, \qquad x=2. \]
Una fracción es estrictamente positiva cuando el numerador y el denominador son ambos positivos o ambos negativos.
Obtenemos, por tanto:
\[ x<-1 \qquad \text{o bien} \qquad x>2. \]
La segunda inecuación impone:
\[ x<5. \]
Al intersectar:
\[ (-\infty,-1)\cup(2,+\infty) \]
con:
\[ (-\infty,5), \]
obtenemos:
\[ S=(-\infty,-1)\cup(2,5). \]
El valor:
\[ x=5 \]
no pertenece a la solución, ya que la segunda inecuación impone la condición estricta:
\[ x<5. \]
Además:
\[ x=2 \]
debe excluirse, porque anula el denominador.
Ejemplo completo con estudio del signo
Consideremos el sistema:
\[ \begin{cases} \dfrac{x^2-4}{x-1}\ge 0,\\ x<3. \end{cases} \]
Factorizamos el numerador:
\[ x^2-4=(x-2)(x+2). \]
Obtenemos:
\[ \frac{(x-2)(x+2)}{x-1}\ge 0. \]
Los puntos críticos son:
\[ x=-2, \qquad x=1, \qquad x=2. \]
El valor:
\[ x=1 \]
debe excluirse, porque anula el denominador.
Estudiamos ahora el signo de la fracción en los distintos intervalos determinados por los puntos críticos.
- para \(x<-2\), la fracción es negativa;
- para \(-2
1\), la="" fracción="" es="" positiva;="" ="" li=""> - para \(1
2\), la="" fracción="" es="" negativa;="" ="" li=""> - para \(x>2\), la fracción es positiva.
Dado que la inecuación es:
\[ \ge 0, \]
debemos incluir también los ceros del numerador:
\[ x=-2, \qquad x=2. \]
La solución de la primera inecuación es, por tanto:
\[ [-2,1)\cup[2,+\infty). \]
La segunda inecuación impone:
\[ x<3. \]
Al intersectar obtenemos:
\[ S=[-2,1)\cup[2,3). \]
Sistemas imposibles y sistemas siempre verificados
Un sistema puede ser:
- imposible, si no admite ninguna solución;
- siempre verificado, si todos los números reales satisfacen el sistema.
Consideremos:
\[ \begin{cases} x>3,\\ x<1. \end{cases} \]
Ningún número real puede ser simultáneamente mayor que \(3\) y menor que \(1\).
La intersección es, por tanto, vacía:
\[ S=\varnothing. \]
Consideremos en cambio:
\[ \begin{cases} x^2+1>0,\\ x^2+2>0. \end{cases} \]
Dado que:
\[ x^2\ge 0 \]
para todo número real, ambas inecuaciones son siempre verdaderas.
La solución es, por tanto:
\[ S=\mathbb{R}. \]
Errores más comunes
En los sistemas de inecuaciones los errores más frecuentes son:
- olvidar intersectar los conjuntos solución;
- reunir las soluciones en lugar de intersectarlas;
- invertir erróneamente el sentido de la inecuación;
- omitir las condiciones de existencia en las inecuaciones fraccionarias;
- cometer errores en el estudio del signo.
Un error muy habitual consiste en olvidar que el sentido de la inecuación cambia cuando se multiplica o se divide por un número negativo.
Por ejemplo:
\[ -2x>4. \]
Al dividir entre \(-2\), hay que invertir el sentido:
\[ x<-2. \]
Escribir:
\[ x>-2 \]
sería incorrecto.
Esquema general de resolución
En general, para resolver correctamente un sistema de inecuaciones conviene seguir siempre este esquema:
- resolver por separado cada inecuación;
- determinar con precisión los conjuntos solución;
- representar las soluciones sobre la recta real cuando sea conveniente;
- calcular la intersección de los conjuntos obtenidos;
- expresar el resultado final en forma de intervalo o de unión de intervalos.
Este procedimiento permite abordar correctamente la gran mayoría de los sistemas de inecuaciones que se estudian en álgebra.