Una colección progresiva de 20 ejercicios resueltos sobre ecuaciones paramétricas, pensada para aprender no solo a encontrar la solución, sino sobre todo a discutir correctamente todos los casos posibles al variar el parámetro.
En cada ejercicio analizaremos con atención cuándo es posible dividir, qué valores del parámetro deben excluirse y en qué situaciones la ecuación resulta determinada, imposible o indeterminada.
Recordemos la idea fundamental: en las ecuaciones paramétricas nunca hay que tratar el parámetro como un número que sea con certeza distinto de cero. Antes de dividir o simplificar una expresión que contiene el parámetro, hay que verificar siempre para qué valores puede anularse.
Por ejemplo, en la ecuación:
\[ (a-1)x=3 \]
no podemos dividir directamente por \(a-1\), porque:
\[ a-1=0 \quad \Longleftrightarrow \quad a=1 \]
y la división por cero no está permitida.
Por este motivo, la resolución de una ecuación paramétrica requiere casi siempre una discusión por casos.
Ejercicio 1 — nivel ★☆☆☆☆
Resuelve y discute la ecuación:
\[ ax=6 \]
Solución
\[ \begin{cases} a\ne0 & \Rightarrow S=\left\{\frac{6}{a}\right\} \\ a=0 & \Rightarrow S=\varnothing \end{cases} \]
Resolución
La incógnita de la ecuación es \(x\), mientras que \(a\) es un parámetro real.
La ecuación es:
\[ ax=6 \]
El coeficiente de la incógnita \(x\) es \(a\).
No podemos dividir directamente ambos miembros por \(a\), porque el parámetro podría tomar el valor:
\[ a=0 \]
y la división por cero no está definida.
Debemos, pues, distinguir dos casos.
Caso \(a\ne0\)
Si:
\[ a\ne0 \]
entonces podemos dividir ambos miembros de la ecuación por \(a\):
\[ x=\frac{6}{a} \]
Para cada valor fijo del parámetro \(a\) con \(a\ne0\), la ecuación admite una única solución:
\[ S=\left\{\frac{6}{a}\right\} \]
Caso \(a=0\)
Si, en cambio:
\[ a=0 \]
sustituimos este valor del parámetro en la ecuación inicial:
\[ 0\cdot x=6 \]
es decir:
\[ 0=6 \]
Esta igualdad es falsa, porque cero no es igual a seis.
No existe, por tanto, ningún valor real de \(x\) que haga verdadera la ecuación.
La ecuación es, pues, imposible.
Por tanto:
\[ S=\varnothing \]
Ejercicio 2 — nivel ★☆☆☆☆
Resuelve y discute la ecuación:
\[ (a-2)x=4 \]
Solución
\[ \begin{cases} a\ne2 & \Rightarrow S=\left\{\frac{4}{a-2}\right\} \\ a=2 & \Rightarrow S=\varnothing \end{cases} \]
Resolución
La incógnita de la ecuación es \(x\), mientras que \(a\) es un parámetro real.
La ecuación es:
\[ (a-2)x=4 \]
El coeficiente de la incógnita \(x\) es:
\[ a-2 \]
Antes de dividir ambos miembros por \(a-2\), debemos comprobar cuándo esta cantidad se anula.
Resolvemos, pues:
\[ a-2=0 \]
Obtenemos:
\[ a=2 \]
Debemos, por tanto, discutir por separado los dos casos.
Caso \(a\ne2\)
Si:
\[ a\ne2 \]
entonces:
\[ a-2\ne0 \]
Podemos, pues, dividir ambos miembros por \(a-2\):
\[ x=\frac{4}{a-2} \]
La ecuación admite, por tanto, una única solución:
\[ S=\left\{\frac{4}{a-2}\right\} \]
Caso \(a=2\)
Si, en cambio:
\[ a=2 \]
sustituimos este valor en la ecuación inicial:
\[ (2-2)x=4 \]
es decir:
\[ 0\cdot x=4 \]
luego:
\[ 0=4 \]
Esta igualdad es falsa.
No existe ningún valor real de \(x\) que satisfaga la ecuación.
La ecuación es, por tanto, imposible.
Por tanto:
\[ S=\varnothing \]
Ejercicio 3 — nivel ★☆☆☆☆
Resuelve y discute la ecuación:
\[ (a+1)x=0 \]
Solución
\[ \begin{cases} a\ne-1 & \Rightarrow S=\{0\} \\ a=-1 & \Rightarrow S=\mathbb{R} \end{cases} \]
Resolución
La ecuación es:
\[ (a+1)x=0 \]
El coeficiente de la incógnita es:
\[ a+1 \]
Antes de dividir por esta cantidad, debemos verificar cuándo puede anularse.
Resolvemos, pues:
\[ a+1=0 \]
Obtenemos:
\[ a=-1 \]
Distinguimos, por tanto, dos casos.
Caso \(a\ne-1\)
Si:
\[ a\ne-1 \]
entonces:
\[ a+1\ne0 \]
Podemos, pues, dividir ambos miembros por \(a+1\):
\[ x=0 \]
La ecuación admite, por tanto, una única solución:
\[ S=\{0\} \]
Caso \(a=-1\)
Si, en cambio:
\[ a=-1 \]
sustituimos este valor en la ecuación inicial:
\[ (-1+1)x=0 \]
es decir:
\[ 0\cdot x=0 \]
luego:
\[ 0=0 \]
Esta igualdad es siempre verdadera, independientemente del valor asignado a \(x\).
Todo número real satisface, pues, la ecuación.
La ecuación es, por tanto, indeterminada.
Por tanto:
\[ S=\mathbb{R} \]
Ejercicio 4 — nivel ★★☆☆☆
Resuelve y discute la ecuación:
\[ (a-3)x=a+1 \]
Solución
\[ \begin{cases} a\ne3 & \Rightarrow S=\left\{\frac{a+1}{a-3}\right\} \\ a=3 & \Rightarrow S=\varnothing \end{cases} \]
Resolución
Consideremos la ecuación:
\[ (a-3)x=a+1 \]
El coeficiente de la incógnita es:
\[ a-3 \]
Antes de dividir por esta cantidad, debemos verificar cuándo se anula.
Resolvemos:
\[ a-3=0 \]
Obtenemos:
\[ a=3 \]
Debemos, por tanto, discutir por separado los dos casos.
Caso \(a\ne3\)
Si:
\[ a\ne3 \]
entonces:
\[ a-3\ne0 \]
Podemos, pues, dividir ambos miembros por \(a-3\):
\[ x=\frac{a+1}{a-3} \]
La ecuación admite, por tanto, una única solución:
\[ S=\left\{\frac{a+1}{a-3}\right\} \]
Caso \(a=3\)
Si, en cambio:
\[ a=3 \]
sustituimos este valor en la ecuación inicial:
\[ (3-3)x=3+1 \]
es decir:
\[ 0\cdot x=4 \]
luego:
\[ 0=4 \]
Esta igualdad es falsa.
La ecuación es, por tanto, imposible.
Por tanto:
\[ S=\varnothing \]
Ejercicio 5 — nivel ★★☆☆☆
Resuelve y discute la ecuación:
\[ (a-2)x=2a-4 \]
Solución
\[ \begin{cases} a\ne2 & \Rightarrow S=\{2\} \\ a=2 & \Rightarrow S=\mathbb{R} \end{cases} \]
Resolución
Consideremos la ecuación:
\[ (a-2)x=2a-4 \]
El coeficiente de la incógnita es:
\[ a-2 \]
Antes de dividir por esta cantidad, debemos verificar cuándo se anula.
Resolvemos, pues:
\[ a-2=0 \]
de donde:
\[ a=2 \]
Debemos distinguir dos casos.
Caso \(a\ne2\)
Si:
\[ a\ne2 \]
entonces podemos dividir ambos miembros por \(a-2\):
\[ x=\frac{2a-4}{a-2} \]
Observamos ahora que en el numerador podemos sacar el factor común \(2\):
\[ 2a-4=2(a-2) \]
Obtenemos, pues:
\[ x=\frac{2(a-2)}{a-2} \]
Como en el caso que estamos considerando se tiene:
\[ a-2\ne0 \]
podemos simplificar:
\[ x=2 \]
La ecuación admite, por tanto, una única solución:
\[ S=\{2\} \]
Caso \(a=2\)
Si, en cambio:
\[ a=2 \]
sustituimos este valor en la ecuación inicial:
\[ (2-2)x=2\cdot2-4 \]
es decir:
\[ 0\cdot x=0 \]
luego:
\[ 0=0 \]
Esta igualdad es siempre verdadera.
Cualquier número real satisface, pues, la ecuación.
La ecuación es, por tanto, indeterminada.
Por tanto:
\[ S=\mathbb{R} \]
Ejercicio 6 — nivel ★★☆☆☆
Resuelve y discute la ecuación:
\[ (a^2-1)x=a+1 \]
Solución
\[ \begin{cases} a \ne \pm 1 & \Rightarrow S=\left\{\frac{1}{a-1}\right\} \\ a=1 & \Rightarrow S=\varnothing \\ a=-1 & \Rightarrow S=\mathbb{R} \end{cases} \]
Resolución
Consideremos la ecuación:
\[ (a^2-1)x=a+1 \]
El coeficiente de la incógnita es:
\[ a^2-1 \]
Antes de dividir por esta cantidad, debemos verificar cuándo se anula.
Resolvemos, pues:
\[ a^2-1=0 \]
Se trata de una diferencia de cuadrados:
\[ a^2-1=(a-1)(a+1) \]
Obtenemos, pues:
\[ (a-1)(a+1)=0 \]
De donde:
\[ a=1 \]
o bien:
\[ a=-1 \]
Debemos, por tanto, discutir tres casos distintos.
Caso \(a\ne\pm1\)
Si:
\[ a\ne1 \qquad \text{y} \qquad a\ne-1 \]
entonces:
\[ a^2-1\ne0 \]
Podemos, pues, dividir ambos miembros por \(a^2-1\):
\[ x=\frac{a+1}{a^2-1} \]
Factorizamos el denominador:
\[ a^2-1=(a-1)(a+1) \]
Obtenemos:
\[ x=\frac{a+1}{(a-1)(a+1)} \]
Como en el caso que estamos considerando se tiene:
\[ a+1\ne0 \]
podemos simplificar el factor \(a+1\):
\[ x=\frac{1}{a-1} \]
La ecuación admite, pues, una única solución:
\[ S=\left\{\frac{1}{a-1}\right\} \]
Caso \(a=1\)
Si:
\[ a=1 \]
sustituimos en la ecuación inicial:
\[ (1^2-1)x=1+1 \]
es decir:
\[ 0\cdot x=2 \]
luego:
\[ 0=2 \]
Esta igualdad es imposible.
Por tanto:
\[ S=\varnothing \]
Caso \(a=-1\)
Si, en cambio:
\[ a=-1 \]
sustituimos en la ecuación:
\[ ((-1)^2-1)x=-1+1 \]
es decir:
\[ 0\cdot x=0 \]
luego:
\[ 0=0 \]
Esta igualdad es siempre verdadera.
Todo número real satisface, pues, la ecuación.
Por tanto:
\[ S=\mathbb{R} \]
Ejercicio 7 — nivel ★★★☆☆
Resuelve y discute la ecuación:
\[ (a-1)x+2=a \]
Solución
\[ \begin{cases} a\ne1 & \Rightarrow S=\left\{\frac{a-2}{a-1}\right\} \\ a=1 & \Rightarrow S=\varnothing \end{cases} \]
Resolución
Consideremos la ecuación:
\[ (a-1)x+2=a \]
En primer lugar, aislamos el término que contiene la incógnita.
Restamos \(2\) a ambos miembros:
\[ (a-1)x=a-2 \]
El coeficiente de la incógnita es:
\[ a-1 \]
Debemos verificar cuándo este coeficiente se anula.
Resolvemos:
\[ a-1=0 \]
Obtenemos:
\[ a=1 \]
Distinguimos, por tanto, dos casos.
Caso \(a\ne1\)
Si:
\[ a\ne1 \]
entonces podemos dividir ambos miembros por \(a-1\):
\[ x=\frac{a-2}{a-1} \]
La ecuación admite, pues, una única solución:
\[ S=\left\{\frac{a-2}{a-1}\right\} \]
Caso \(a=1\)
Si, en cambio:
\[ a=1 \]
sustituimos este valor en la ecuación inicial:
\[ (1-1)x+2=1 \]
es decir:
\[ 0\cdot x+2=1 \]
luego:
\[ 2=1 \]
Esta igualdad es falsa.
La ecuación es, pues, imposible.
Por tanto:
\[ S=\varnothing \]
Ejercicio 8 — nivel ★★★☆☆
Resuelve y discute la ecuación:
\[ (a+2)x=a(x+1) \]
Solución
Para todo valor real de \( a \): \[ S=\left\{\frac{a}{2}\right\} \]
Resolución
Consideremos la ecuación:
\[ (a+2)x=a(x+1) \]
En el segundo miembro aparece un producto. Aplicamos la propiedad distributiva:
\[ a(x+1)=ax+a \]
La ecuación se convierte en:
\[ (a+2)x=ax+a \]
Desarrollamos ahora el primer miembro:
\[ ax+2x=ax+a \]
Llevamos todos los términos con \(x\) al primer miembro.
Restamos \(ax\) a ambos miembros:
\[ ax+2x-ax=a \]
Los términos \(ax\) se cancelan:
\[ 2x=a \]
Dividimos ambos miembros por \(2\):
\[ x=\frac{a}{2} \]
En este ejercicio no aparece ninguna condición sobre el parámetro, ya que el coeficiente de la incógnita tras las simplificaciones es el número \(2\), que nunca se anula.
La ecuación admite, por tanto, siempre exactamente una solución real.
Por tanto:
\[ S=\left\{\frac{a}{2}\right\} \]
Ejercicio 9 — nivel ★★★☆☆
Resuelve y discute la ecuación:
\[ (a-4)x=2a-8 \]
Solución
\[ \begin{cases} a\ne4 & \Rightarrow S=\{2\} \\ a=4 & \Rightarrow S=\mathbb{R} \end{cases} \]
Resolución
Consideremos la ecuación:
\[ (a-4)x=2a-8 \]
El coeficiente de la incógnita \(x\) es:
\[ a-4 \]
Antes de dividir por \(a-4\), debemos verificar cuándo esta cantidad se anula.
Resolvemos:
\[ a-4=0 \]
Obtenemos:
\[ a=4 \]
Debemos, por tanto, distinguir dos casos.
Caso \(a\ne4\)
Si:
\[ a\ne4 \]
entonces:
\[ a-4\ne0 \]
Podemos, pues, dividir ambos miembros por \(a-4\):
\[ x=\frac{2a-8}{a-4} \]
Factorizamos el numerador sacando el factor común \(2\):
\[ 2a-8=2(a-4) \]
Luego:
\[ x=\frac{2(a-4)}{a-4} \]
Como estamos en el caso \(a\ne4\), podemos simplificar el factor \(a-4\):
\[ x=2 \]
Por tanto:
\[ S=\{2\} \]
Caso \(a=4\)
Si, en cambio:
\[ a=4 \]
sustituimos este valor en la ecuación inicial:
\[ (4-4)x=2\cdot4-8 \]
es decir:
\[ 0\cdot x=8-8 \]
luego:
\[ 0\cdot x=0 \]
La igualdad:
\[ 0=0 \]
es siempre verdadera, independientemente del valor de \(x\).
La ecuación es, por tanto, indeterminada y todo número real es solución:
\[ S=\mathbb{R} \]
Ejercicio 10 — nivel ★★★☆☆
Resuelve y discute la ecuación:
\[ (a+3)x=a^2-9 \]
Solución
\[ \begin{cases} a\ne-3 & \Rightarrow S=\{a-3\} \\ a=-3 & \Rightarrow S=\mathbb{R} \end{cases} \]
Resolución
Consideremos la ecuación:
\[ (a+3)x=a^2-9 \]
El coeficiente de la incógnita \(x\) es:
\[ a+3 \]
Antes de dividir por \(a+3\), debemos determinar cuándo este coeficiente se anula:
\[ a+3=0 \]
de donde:
\[ a=-3 \]
Distinguimos, pues, los casos.
Caso \(a\ne-3\)
Si:
\[ a\ne-3 \]
entonces:
\[ a+3\ne0 \]
Podemos dividir ambos miembros por \(a+3\):
\[ x=\frac{a^2-9}{a+3} \]
Factorizamos el numerador como diferencia de cuadrados:
\[ a^2-9=(a-3)(a+3) \]
Obtenemos:
\[ x=\frac{(a-3)(a+3)}{a+3} \]
Como en el caso \(a\ne-3\) se tiene \(a+3\ne0\), podemos simplificar:
\[ x=a-3 \]
Por tanto:
\[ S=\{a-3\} \]
Caso \(a=-3\)
Si, en cambio:
\[ a=-3 \]
sustituimos en la ecuación inicial:
\[ (-3+3)x=(-3)^2-9 \]
es decir:
\[ 0\cdot x=9-9 \]
luego:
\[ 0\cdot x=0 \]
Esta igualdad es verdadera para todo valor real de \(x\).
La ecuación es, por tanto, indeterminada:
\[ S=\mathbb{R} \]
Ejercicio 11 — nivel ★★★★☆
Resuelve y discute la ecuación:
\[ (a^2-4)x=a-2 \]
Solución
\[ \begin{cases} a \ne 2 \ \text{y}\ a \ne -2 & \Rightarrow S=\left\{\frac{1}{a+2}\right\} \\ a=2 & \Rightarrow S=\mathbb{R} \\ a=-2 & \Rightarrow S=\varnothing \end{cases} \]
Resolución
Consideremos la ecuación:
\[ (a^2-4)x=a-2 \]
El coeficiente de la incógnita es:
\[ a^2-4 \]
Antes de dividir por esta cantidad, debemos verificar cuándo se anula.
Resolvemos, pues:
\[ a^2-4=0 \]
Factorizamos como diferencia de cuadrados:
\[ a^2-4=(a-2)(a+2) \]
Obtenemos:
\[ (a-2)(a+2)=0 \]
De donde:
\[ a=2 \]
o bien:
\[ a=-2 \]
Debemos, por tanto, discutir tres casos distintos.
Caso \(a\ne2\) y \(a\ne-2\)
Si:
\[ a\ne2 \qquad \text{y} \qquad a\ne-2 \]
entonces:
\[ a^2-4\ne0 \]
Podemos dividir ambos miembros por \(a^2-4\):
\[ x=\frac{a-2}{a^2-4} \]
Sustituimos la factorización del denominador:
\[ x=\frac{a-2}{(a-2)(a+2)} \]
Como en el caso considerado se tiene:
\[ a-2\ne0 \]
podemos simplificar el factor \(a-2\):
\[ x=\frac{1}{a+2} \]
La ecuación admite, pues, una única solución:
\[ S=\left\{\frac{1}{a+2}\right\} \]
Caso \(a=2\)
Si:
\[ a=2 \]
sustituimos en la ecuación inicial:
\[ (2^2-4)x=2-2 \]
es decir:
\[ 0\cdot x=0 \]
Esta igualdad es siempre verdadera.
La ecuación es, por tanto, indeterminada y todo número real es solución:
\[ S=\mathbb{R} \]
Caso \(a=-2\)
Si, en cambio:
\[ a=-2 \]
sustituimos en la ecuación:
\[ ((-2)^2-4)x=-2-2 \]
es decir:
\[ 0\cdot x=-4 \]
luego:
\[ 0=-4 \]
Esta igualdad es imposible.
La ecuación no admite soluciones.
Por tanto:
\[ S=\varnothing \]
Ejercicio 12 — nivel ★★★★☆
Resuelve y discute la ecuación:
\[ (a-1)(x-2)=0 \]
Solución
\[ \begin{cases} a\ne1 & \Rightarrow S=\{2\} \\ a=1 & \Rightarrow S=\mathbb{R} \end{cases} \]
Resolución
Consideremos la ecuación:
\[ (a-1)(x-2)=0 \]
Se trata de un producto igual a cero.
Recordemos la regla del producto nulo:
\[ A\cdot B=0 \quad \Longleftrightarrow \quad A=0 \ \text{o bien} \ B=0 \]
En nuestro caso los dos factores son:
\[ a-1 \]
y:
\[ x-2 \]
Sin embargo, hay que prestar atención: el parámetro \(a\) no es la incógnita de la ecuación. La incógnita es únicamente \(x\).
Por este motivo debemos discutir los valores del parámetro.
Caso \(a\ne1\)
Si:
\[ a\ne1 \]
entonces:
\[ a-1\ne0 \]
El primer factor no puede, pues, anularse.
Para que el producto sea nulo, debe anularse entonces el segundo factor:
\[ x-2=0 \]
De donde:
\[ x=2 \]
Por tanto:
\[ S=\{2\} \]
Caso \(a=1\)
Si, en cambio:
\[ a=1 \]
el primer factor vale:
\[ a-1=0 \]
La ecuación toma, pues, la forma:
\[ 0\cdot(x-2)=0 \]
es decir:
\[ 0=0 \]
Esta igualdad es siempre verdadera, independientemente del valor de \(x\).
Todo número real satisface, pues, la ecuación.
Por tanto:
\[ S=\mathbb{R} \]
Ejercicio 13 — nivel ★★★★☆
Resuelve y discute la ecuación:
\[ (a+2)(x-1)=a+2 \]
Solución
\[ \begin{cases} a\ne-2 & \Rightarrow S=\{2\} \\ a=-2 & \Rightarrow S=\mathbb{R} \end{cases} \]
Resolución
Consideremos la ecuación:
\[ (a+2)(x-1)=a+2 \]
El factor \(a+2\) aparece en ambos miembros, pero no podemos simplificarlo de inmediato sin discutir el caso en que se anula.
Estudiamos, pues:
\[ a+2=0 \]
de donde:
\[ a=-2 \]
Distinguimos dos casos.
Caso \(a\ne-2\)
Si:
\[ a\ne-2 \]
entonces:
\[ a+2\ne0 \]
Podemos dividir ambos miembros por \(a+2\):
\[ x-1=1 \]
Sumamos \(1\) a ambos miembros:
\[ x=2 \]
Por tanto:
\[ S=\{2\} \]
Caso \(a=-2\)
Si, en cambio:
\[ a=-2 \]
sustituimos en la ecuación inicial:
\[ (-2+2)(x-1)=-2+2 \]
es decir:
\[ 0\cdot(x-1)=0 \]
luego:
\[ 0=0 \]
Esta igualdad es siempre verdadera, independientemente del valor de \(x\).
La ecuación es, por tanto, indeterminada y todo número real es solución:
\[ S=\mathbb{R} \]
Ejercicio 14 — nivel ★★★★☆
Resuelve y discute la ecuación:
\[ (a-1)x=a(x-1) \]
Solución
\[ S=\{a\} \]
Resolución
Consideremos la ecuación:
\[ (a-1)x=a(x-1) \]
Desarrollamos ambos miembros.
El primer miembro es:
\[ (a-1)x=ax-x \]
El segundo miembro es:
\[ a(x-1)=ax-a \]
La ecuación se convierte en:
\[ ax-x=ax-a \]
Restamos \(ax\) a ambos miembros:
\[ ax-x-ax=ax-a-ax \]
es decir:
\[ -x=-a \]
Multiplicamos ambos miembros por \(-1\):
\[ x=a \]
En este ejercicio no es necesario distinguir casos particulares, ya que tras la simplificación el coeficiente de la incógnita es \(-1\), que nunca se anula.
Así pues, para todo valor real del parámetro \(a\), la ecuación admite una única solución:
\[ S=\{a\} \]
Ejercicio 15 — nivel ★★★★☆
Resuelve y discute la ecuación:
\[ \frac{x}{a-1}=2 \]
Solución
\[ a\ne1 \quad \Rightarrow \quad S=\{2a-2\} \]
Para \(a=1\) la ecuación no está definida.
Resolución
En esta ecuación el parámetro aparece en el denominador:
\[ \frac{x}{a-1}=2 \]
Antes de resolver, debemos imponer la condición de existencia del denominador.
El denominador no puede ser nulo:
\[ a-1\ne0 \]
luego:
\[ a\ne1 \]
Si \(a=1\), la ecuación carece de sentido, pues aparecería una división por cero.
Para \(a\ne1\), en cambio, podemos multiplicar ambos miembros por \(a-1\):
\[ x=2(a-1) \]
Desarrollamos:
\[ x=2a-2 \]
Por tanto:
\[ a\ne1 \quad \Rightarrow \quad S=\{2a-2\} \]
Ejercicio 16 — nivel ★★★★☆
Resuelve y discute la ecuación:
\[ \frac{x-1}{a+2}=3 \]
Solución
\[ a\ne-2 \quad \Rightarrow \quad S=\{3a+7\} \]
Para \(a=-2\) la ecuación no está definida.
Resolución
En esta ecuación el parámetro aparece en el denominador:
\[ \frac{x-1}{a+2}=3 \]
Antes de resolver, debemos establecer para qué valores del parámetro la ecuación tiene sentido.
El denominador no puede ser igual a cero:
\[ a+2\ne0 \]
luego:
\[ a\ne-2 \]
Si \(a=-2\), la ecuación no está definida, pues aparecería una división por cero.
Supongamos, pues:
\[ a\ne-2 \]
En este caso podemos multiplicar ambos miembros por \(a+2\):
\[ x-1=3(a+2) \]
Desarrollamos el segundo miembro:
\[ x-1=3a+6 \]
Sumamos \(1\) a ambos miembros:
\[ x=3a+7 \]
Por tanto:
\[ a\ne-2 \quad \Rightarrow \quad S=\{3a+7\} \]
Ejercicio 17 — nivel ★★★★★
Resuelve y discute la ecuación:
\[ (a-1)x=2a-2 \]
Solución
\[ \begin{cases} a\ne1 & \Rightarrow S=\{2\} \\ a=1 & \Rightarrow S=\mathbb{R} \end{cases} \]
Resolución
Consideremos la ecuación:
\[ (a-1)x=2a-2 \]
El coeficiente de la incógnita es:
\[ a-1 \]
Antes de dividir por \(a-1\), debemos verificar cuándo este coeficiente se anula:
\[ a-1=0 \]
luego:
\[ a=1 \]
Debemos distinguir dos casos.
Caso \(a\ne1\)
Si:
\[ a\ne1 \]
entonces:
\[ a-1\ne0 \]
Podemos, pues, dividir ambos miembros por \(a-1\):
\[ x=\frac{2a-2}{a-1} \]
Factorizamos el numerador sacando el factor común \(2\):
\[ 2a-2=2(a-1) \]
Luego:
\[ x=\frac{2(a-1)}{a-1} \]
Como en el caso considerado \(a-1\ne0\), podemos simplificar:
\[ x=2 \]
Por tanto:
\[ S=\{2\} \]
Caso \(a=1\)
Si, en cambio:
\[ a=1 \]
sustituimos este valor en la ecuación inicial:
\[ (1-1)x=2\cdot1-2 \]
es decir:
\[ 0\cdot x=0 \]
luego:
\[ 0=0 \]
Esta igualdad es verdadera para todo valor real de \(x\).
La ecuación es, por tanto, indeterminada:
\[ S=\mathbb{R} \]
Ejercicio 18 — nivel ★★★★★
Resuelve y discute la ecuación:
\[ (a+1)x=a^2-1 \]
Solución
\[ \begin{cases} a\ne-1 & \Rightarrow S=\{a-1\} \\ a=-1 & \Rightarrow S=\mathbb{R} \end{cases} \]
Resolución
Consideremos la ecuación:
\[ (a+1)x=a^2-1 \]
El coeficiente de la incógnita \(x\) es:
\[ a+1 \]
Antes de dividir por \(a+1\), debemos comprobar cuándo este coeficiente se anula:
\[ a+1=0 \]
luego:
\[ a=-1 \]
Distinguimos dos casos.
Caso \(a\ne-1\)
Si:
\[ a\ne-1 \]
entonces:
\[ a+1\ne0 \]
Podemos dividir ambos miembros por \(a+1\):
\[ x=\frac{a^2-1}{a+1} \]
Factorizamos el numerador como diferencia de cuadrados:
\[ a^2-1=(a-1)(a+1) \]
Obtenemos:
\[ x=\frac{(a-1)(a+1)}{a+1} \]
Como en el caso considerado \(a+1\ne0\), podemos simplificar el factor \(a+1\):
\[ x=a-1 \]
Por tanto:
\[ S=\{a-1\} \]
Caso \(a=-1\)
Si, en cambio:
\[ a=-1 \]
sustituimos este valor en la ecuación inicial:
\[ (-1+1)x=(-1)^2-1 \]
es decir:
\[ 0\cdot x=1-1 \]
luego:
\[ 0\cdot x=0 \]
Esta igualdad es verdadera para todo valor real de \(x\).
La ecuación es, pues, indeterminada:
\[ S=\mathbb{R} \]
Ejercicio 19 — nivel ★★★★★
Resuelve y discute la ecuación:
\[ ax+a=2x+2 \]
Solución
\[ \begin{cases} a\ne2 & \Rightarrow S=\{-1\} \\ a=2 & \Rightarrow S=\mathbb{R} \end{cases} \]
Resolución
Consideremos la ecuación:
\[ ax+a=2x+2 \]
Llevamos los términos con \(x\) al primer miembro y los términos sin \(x\) al segundo miembro.
Restamos \(2x\) a ambos miembros:
\[ ax-2x+a=2 \]
Restamos ahora \(a\) a ambos miembros:
\[ ax-2x=2-a \]
Sacamos factor común \(x\) en el primer miembro:
\[ x(a-2)=2-a \]
Observamos que:
\[ 2-a=-(a-2) \]
La ecuación se convierte, pues, en:
\[ x(a-2)=-(a-2) \]
El coeficiente de la incógnita es:
\[ a-2 \]
Debemos, por tanto, distinguir el caso en que \(a-2\ne0\) del caso en que \(a-2=0\).
Caso \(a\ne2\)
Si:
\[ a\ne2 \]
entonces:
\[ a-2\ne0 \]
Podemos dividir ambos miembros por \(a-2\):
\[ x=-1 \]
Por tanto:
\[ S=\{-1\} \]
Caso \(a=2\)
Si, en cambio:
\[ a=2 \]
sustituimos en la ecuación inicial:
\[ 2x+2=2x+2 \]
Esta igualdad es verdadera para todo valor real de \(x\).
La ecuación es, por tanto, indeterminada:
\[ S=\mathbb{R} \]
Ejercicio 20 — nivel ★★★★★
Resuelve y discute la ecuación:
\[ (a-1)x=a+3 \]
Solución
\[ \begin{cases} a\ne1 & \Rightarrow S=\left\{\dfrac{a+3}{a-1}\right\} \\ a=1 & \Rightarrow S=\varnothing \end{cases} \]
Resolución
Consideremos la ecuación:
\[ (a-1)x=a+3 \]
El coeficiente de la incógnita \(x\) depende del parámetro \(a\). Por este motivo no podemos resolver de inmediato la ecuación dividiendo por \(a-1\): debemos verificar primero cuándo se anula dicho coeficiente.
Estudiamos, pues, la condición:
\[ a-1=0 \]
de donde obtenemos:
\[ a=1 \]
Debemos, por tanto, distinguir dos casos.
Caso \(a\ne1\)
Si:
\[ a\ne1 \]
entonces:
\[ a-1\ne0 \]
Podemos, pues, dividir ambos miembros por \(a-1\):
\[ x=\frac{a+3}{a-1} \]
En este caso la ecuación admite una única solución.
Por tanto:
\[ S=\left\{\dfrac{a+3}{a-1}\right\} \]
Caso \(a=1\)
Si, en cambio:
\[ a=1 \]
sustituimos este valor en la ecuación inicial:
\[ (1-1)x=1+3 \]
es decir:
\[ 0\cdot x=4 \]
Obtenemos, pues:
\[ 0=4 \]
Esta igualdad es imposible, pues cero no puede ser igual a cuatro.
No existe, por tanto, ningún número real que satisfaga la ecuación.
La ecuación es, pues, imposible.
Por tanto:
\[ S=\varnothing \]
Las ecuaciones paramétricas de primer grado permiten comprender cómo varía el comportamiento de una ecuación al cambiar el valor de un parámetro. A diferencia de las ecuaciones numéricas habituales, no basta con realizar los cálculos de forma mecánica: es necesario analizar con atención qué valores del parámetro pueden anular el coeficiente de la incógnita.
En muchos ejercicios hemos comprobado que:
\[ ax+b=0 \]
se comporta de manera distinta según el valor del coeficiente \(a\):
- si \(a\ne0\), la ecuación admite una única solución;
- si \(a=0\), la ecuación puede resultar imposible o indeterminada.
Por este motivo, en el estudio de las ecuaciones paramétricas es fundamental:
- identificar el coeficiente de la incógnita;
- determinar para qué valores dicho coeficiente se anula;
- discutir por separado todos los casos posibles.
Este tipo de razonamiento no resulta útil únicamente en las ecuaciones de primer grado: constituye una técnica fundamental que volverá a emplearse en el estudio de sistemas, inecuaciones, funciones y problemas más avanzados de álgebra.