En esta sección presentamos una colección de 20 ejercicios resueltos sobre funciones, diseñados para comprender de manera rigurosa y progresiva los conceptos fundamentales relacionados con la definición de función, el dominio, el codominio y la imagen de una función.
Los ejercicios están ordenados por dificultad creciente y van acompañados de una resolución completa paso a paso, con explicaciones detalladas y especial atención a los razonamientos teóricos fundamentales.
En particular, aprenderemos a:
- reconocer cuándo una correspondencia define efectivamente una función;
- determinar el dominio de una función;
- distinguir correctamente codominio e imagen;
- estudiar los valores que efectivamente toma una función.
Recordamos que una función es una correspondencia que asocia a cada elemento del dominio uno y solo un elemento del codominio.
Será además fundamental distinguir correctamente:
- el dominio, es decir, el conjunto de los elementos para los que la función está definida;
- el codominio, es decir, el conjunto en el que la función toma sus valores;
- la imagen, es decir, el conjunto de los valores que la función toma efectivamente.
Ejercicio 1 — nivel ★☆☆☆☆
Consideremos la función:
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \qquad,\qquad f(x)=2x-1. \]
Determinar:
- el dominio;
- el codominio;
- la imagen de la función.
Resultado
\[ \mathrm{Dom}(f)=\mathbb{R} \]
\[ \mathrm{Cod}(f)=\mathbb{R} \]
\[ \mathrm{Im}(f)=\mathbb{R} \]
Resolución
La función dada es:
\[ f(x)=2x-1. \]
Se trata de una función polinomial de primer grado. Las funciones polinomiales están definidas para todo número real, ya que no aparecen denominadores, radicales ni logaritmos que puedan imponer restricciones.
En consecuencia:
\[ \mathrm{Dom}(f)=\mathbb{R}. \]
De la notación:
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \]
deducimos que el codominio elegido es:
\[ \mathrm{Cod}(f)=\mathbb{R}. \]
Estudiemos ahora la imagen de la función.
Sea:
\[ y=2x-1. \]
Despejando \(x\), obtenemos:
\[ x=\frac{y+1}{2}. \]
Este valor existe para todo \(y\in\mathbb{R}\). Ello significa que todo número real es alcanzado por la función.
Por tanto:
\[ \mathrm{Im}(f)=\mathbb{R}. \]
Ejercicio 2 — nivel ★☆☆☆☆
Consideremos la función:
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \qquad,\qquad f(x)=x^2. \]
Determinar:
- el dominio;
- el codominio;
- la imagen de la función.
Resultado
\[ \mathrm{Dom}(f)=\mathbb{R} \]
\[ \mathrm{Cod}(f)=\mathbb{R} \]
\[ \mathrm{Im}(f)=[0,+\infty) \]
Resolución
La función:
\[ f(x)=x^2 \]
es una función polinomial, luego está definida para todo número real.
Por tanto:
\[ \mathrm{Dom}(f)=\mathbb{R}. \]
De la escritura:
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \]
deducimos que el codominio es:
\[ \mathrm{Cod}(f)=\mathbb{R}. \]
Determinemos ahora la imagen de la función.
Puesto que el cuadrado de un número real es siempre no negativo, se tiene:
\[ x^2\ge0 \qquad \forall x\in\mathbb{R}. \]
Además:
- el valor \(0\) se alcanza para \(x=0\);
- todo número positivo \(y>0\) puede escribirse en la forma: \[ y=x^2 \] eligiendo: \[ x=\sqrt{y}. \]
La función toma, por tanto, todos y solo los valores no negativos.
En consecuencia:
\[ \mathrm{Im}(f)=[0,+\infty). \]
Observamos finalmente que:
\[ \mathrm{Im}(f)\subsetneq\mathrm{Cod}(f), \]
ya que la función nunca toma valores negativos.
Ejercicio 3 — nivel ★☆☆☆☆
Determinar si la siguiente correspondencia define una función:
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \qquad,\qquad f(x)=\pm\sqrt{x}. \]
Resultado
La correspondencia dada no define una función.
Resolución
Para ser una función, una correspondencia debe asociar a cada elemento del dominio uno y solo un elemento del codominio.
En nuestro caso:
\[ f(x)=\pm\sqrt{x}. \]
El símbolo \(\pm\) indica dos posibles valores:
\[ +\sqrt{x} \qquad \text{y} \qquad -\sqrt{x}. \]
Por ejemplo, tomando \(x=4\), obtenemos:
\[ f(4)=\pm2. \]
Así, al mismo elemento \(4\) se le asocian dos valores distintos:
\[ 2 \qquad \text{y} \qquad -2. \]
Además, como el dominio es \(\mathbb{R}\), la expresión \(\sqrt{x}\) no está definida en los números reales para los valores negativos de \(x\). Por tanto, la correspondencia tampoco asocia un valor real a cada elemento del dominio indicado.
Esto viola la definición de función, pues un elemento del dominio no puede tener dos imágenes distintas.
Por tanto, la correspondencia dada no es una función.
Ejercicio 4 — nivel ★★☆☆☆
Consideremos la función:
\[ f:[0,+\infty)\to\mathbb{R} \qquad,\qquad f(x)=\sqrt{x}. \]
Determinar:
- el dominio;
- el codominio;
- la imagen de la función.
Resultado
\[ \mathrm{Dom}(f)=[0,+\infty) \]
\[ \mathrm{Cod}(f)=\mathbb{R} \]
\[ \mathrm{Im}(f)=[0,+\infty) \]
Resolución
La función dada es:
\[ f(x)=\sqrt{x}. \]
Para que una raíz cuadrada esté definida en los números reales, el radicando debe ser mayor o igual que cero.
Debemos imponer por tanto:
\[ x\ge0. \]
En consecuencia:
\[ \mathrm{Dom}(f)=[0,+\infty). \]
De la notación:
\[ f:[0,+\infty)\to\mathbb{R} \]
observamos que el codominio elegido es:
\[ \mathrm{Cod}(f)=\mathbb{R}. \]
Determinemos ahora la imagen de la función.
Puesto que la raíz cuadrada aritmética es siempre no negativa, se tiene:
\[ \sqrt{x}\ge0 \qquad \forall x\ge0. \]
Por tanto, la función solo toma valores no negativos.
Además, todo número real no negativo es efectivamente alcanzado.
En efecto, dado:
\[ y\ge0, \]
basta tomar:
\[ x=y^2. \]
Obtenemos así:
\[ f(y^2)=\sqrt{y^2}=y. \]
La función toma, pues, todos y solo los valores no negativos.
Por tanto:
\[ \mathrm{Im}(f)=[0,+\infty). \]
Ejercicio 5 — nivel ★★☆☆☆
Consideremos la función:
\[ f:\mathbb{R}\setminus\{0\}\to\mathbb{R} \qquad,\qquad f(x)=\frac{1}{x}. \]
Determinar:
- el dominio;
- el codominio;
- la imagen de la función.
Resultado
\[ \mathrm{Dom}(f)=\mathbb{R}\setminus\{0\} \]
\[ \mathrm{Cod}(f)=\mathbb{R} \]
\[ \mathrm{Im}(f)=\mathbb{R}\setminus\{0\} \]
Resolución
La función dada es:
\[ f(x)=\frac{1}{x}. \]
En una fracción, el denominador no puede ser igual a cero.
Debemos imponer por tanto:
\[ x\neq0. \]
En consecuencia:
\[ \mathrm{Dom}(f)=\mathbb{R}\setminus\{0\}. \]
De la notación:
\[ f:\mathbb{R}\setminus\{0\}\to\mathbb{R} \]
observamos que el codominio elegido es:
\[ \mathrm{Cod}(f)=\mathbb{R}. \]
Estudiemos ahora la imagen.
La función:
\[ f(x)=\frac{1}{x} \]
nunca puede tomar el valor \(0\).
En efecto, la ecuación:
\[ \frac{1}{x}=0 \]
no tiene solución real, ya que una fracción con numerador distinto de cero no puede ser igual a cero.
Veamos ahora que todo número real distinto de cero es efectivamente alcanzado por la función.
Sea:
\[ y\in\mathbb{R}\setminus\{0\}. \]
Buscamos un número real \(x\neq0\) tal que:
\[ \frac{1}{x}=y. \]
Despejando \(x\), obtenemos:
\[ x=\frac{1}{y}. \]
Como \(y\neq0\), el valor:
\[ \frac{1}{y} \]
está bien definido y pertenece al dominio.
Por tanto, todo número real distinto de cero pertenece a la imagen de la función.
En consecuencia:
\[ \mathrm{Im}(f)=\mathbb{R}\setminus\{0\}. \]
Ejercicio 6 — nivel ★★☆☆☆
Consideremos la función:
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \qquad,\qquad f(x)=x^3. \]
Determinar si la función es inyectiva.
Resultado
La función es inyectiva.
Resolución
Una función es inyectiva si elementos distintos del dominio tienen imágenes distintas.
De manera equivalente, podemos verificar que:
\[ f(x_1)=f(x_2) \implies x_1=x_2. \]
Supongamos pues que:
\[ f(x_1)=f(x_2). \]
Como:
\[ f(x)=x^3, \]
obtenemos:
\[ x_1^3=x_2^3. \]
Extrayendo la raíz cúbica en ambos miembros:
\[ x_1=x_2. \]
Hemos demostrado así que:
\[ f(x_1)=f(x_2) \implies x_1=x_2. \]
Por tanto, la función es inyectiva.
Ejercicio 7 — nivel ★★☆☆☆
Consideremos la función:
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \qquad,\qquad f(x)=x^2. \]
Determinar si la función es inyectiva.
Resultado
La función no es inyectiva.
Resolución
Para mostrar que una función no es inyectiva, basta encontrar dos elementos distintos del dominio que tengan la misma imagen.
Consideremos:
\[ x_1=2 \qquad \text{y} \qquad x_2=-2. \]
Claramente:
\[ 2\neq-2. \]
Sin embargo:
\[ f(2)=2^2=4 \]
y:
\[ f(-2)=(-2)^2=4. \]
Luego:
\[ f(2)=f(-2), \]
siendo:
\[ 2\neq-2. \]
Hemos encontrado dos valores distintos del dominio con la misma imagen.
Por tanto, la función no es inyectiva.
Ejercicio 8 — nivel ★★☆☆☆
Consideremos la función:
\[ f:[0,+\infty)\to\mathbb{R} \qquad,\qquad f(x)=x^2. \]
Determinar si la función es inyectiva.
Resultado
La función es inyectiva.
Resolución
La regla de la función es la misma que en el ejercicio anterior:
\[ f(x)=x^2. \]
Sin embargo, el dominio ha cambiado.
Ahora la función está definida únicamente sobre:
\[ [0,+\infty). \]
Comprobemos la inyectividad.
Supongamos que:
\[ f(x_1)=f(x_2). \]
Obtenemos:
\[ x_1^2=x_2^2. \]
De esta igualdad se sigue:
\[ x_1=x_2 \qquad \text{o bien} \qquad x_1=-x_2. \]
Ahora bien, \(x_1\) y \(x_2\) pertenecen ambos al intervalo:
\[ [0,+\infty), \]
de modo que son ambos no negativos.
Dos números no negativos que tienen el mismo cuadrado deben necesariamente coincidir.
En consecuencia:
\[ x_1=x_2. \]
Hemos demostrado así que:
\[ f(x_1)=f(x_2) \implies x_1=x_2. \]
Por tanto, la función es inyectiva.
Ejercicio 9 — nivel ★★☆☆☆
Consideremos la función:
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \qquad,\qquad f(x)=x^2+1. \]
Determinar si la función es sobreyectiva.
Resultado
La función no es sobreyectiva.
Resolución
Una función es sobreyectiva cuando todo elemento del codominio es imagen de al menos un elemento del dominio.
En este caso el codominio es:
\[ \mathbb{R}. \]
Estudiemos los valores que toma la función:
\[ f(x)=x^2+1. \]
Puesto que:
\[ x^2\ge0 \qquad \forall x\in\mathbb{R}, \]
se tiene:
\[ x^2+1\ge1. \]
La función toma, por tanto, únicamente valores mayores o iguales que \(1\).
Por ejemplo, el número \(0\) pertenece al codominio \(\mathbb{R}\), pero no es alcanzado por la función.
En efecto, la ecuación:
\[ x^2+1=0 \]
equivale a:
\[ x^2=-1, \]
la cual no tiene solución real.
Existe, pues, al menos un elemento del codominio que no es imagen de ningún elemento del dominio.
Por tanto, la función no es sobreyectiva.
Ejercicio 10 — nivel ★★☆☆☆
Consideremos la función:
\[ f:\mathbb{R}\to[1,+\infty) \qquad,\qquad f(x)=x^2+1. \]
Determinar si la función es sobreyectiva.
Resultado
La función es sobreyectiva.
Resolución
La regla de la función es:
\[ f(x)=x^2+1. \]
Con respecto al ejercicio anterior, el codominio ha cambiado.
Ahora tenemos:
\[ f:\mathbb{R}\to[1,+\infty). \]
Para verificar la sobreyectividad, debemos mostrar que todo elemento del codominio \([1,+\infty)\) es alcanzado por la función.
Sea pues:
\[ y\in[1,+\infty). \]
Buscamos un número real \(x\) tal que:
\[ f(x)=y. \]
Es decir:
\[ x^2+1=y. \]
Restando \(1\) en ambos miembros:
\[ x^2=y-1. \]
Como \(y\in[1,+\infty)\), se tiene:
\[ y-1\ge0. \]
Podemos entonces tomar:
\[ x=\sqrt{y-1}. \]
Este número pertenece a \(\mathbb{R}\), es decir, al dominio de la función.
Además:
\[ f(\sqrt{y-1}) = (\sqrt{y-1})^2+1 = y-1+1 = y. \]
Hemos demostrado que todo elemento del codominio es imagen de al menos un elemento del dominio.
Por tanto, la función es sobreyectiva.
Ejercicio 11 — nivel ★★★☆☆
Consideremos la función:
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \qquad,\qquad f(x)=2x+3. \]
Determinar si la función es biyectiva.
Resultado
La función es biyectiva.
Resolución
Una función es biyectiva si es a la vez inyectiva y sobreyectiva.
Comprobemos primero la inyectividad.
Supongamos que:
\[ f(x_1)=f(x_2). \]
Entonces:
\[ 2x_1+3=2x_2+3. \]
Restando \(3\) en ambos miembros:
\[ 2x_1=2x_2. \]
Dividiendo por \(2\):
\[ x_1=x_2. \]
La función es, por tanto, inyectiva.
Comprobemos ahora la sobreyectividad.
Sea:
\[ y\in\mathbb{R}. \]
Buscamos un \(x\in\mathbb{R}\) tal que:
\[ 2x+3=y. \]
Despejando:
\[ x=\frac{y-3}{2}. \]
Este valor es real para todo \(y\in\mathbb{R}\).
Luego la función es sobreyectiva.
Al ser a la vez inyectiva y sobreyectiva, la función es biyectiva.
Ejercicio 12 — nivel ★★★☆☆
Consideremos la función:
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \qquad,\qquad f(x)=x^3. \]
Determinar si la función es biyectiva.
Resultado
La función es biyectiva.
Resolución
Una función es biyectiva si es simultáneamente:
- inyectiva;
- sobreyectiva.
Verifiquemos en primer lugar la inyectividad.
Supongamos que:
\[ f(x_1)=f(x_2). \]
Obtenemos:
\[ x_1^3=x_2^3. \]
Extrayendo la raíz cúbica en ambos miembros:
\[ x_1=x_2. \]
La función es, por tanto, inyectiva.
Verifiquemos ahora la sobreyectividad.
Sea:
\[ y\in\mathbb{R}. \]
Buscamos un número real \(x\) tal que:
\[ x^3=y. \]
Basta tomar:
\[ x=\sqrt[3]{y}. \]
En efecto:
\[ \left(\sqrt[3]{y}\right)^3=y. \]
Todo número real es, pues, alcanzado por la función.
La función es sobreyectiva.
Al ser a la vez inyectiva y sobreyectiva, la función es biyectiva.
Ejercicio 13 — nivel ★★★☆☆
Consideremos la función:
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \qquad,\qquad f(x)=x^2. \]
Determinar si la función es biyectiva.
Resultado
La función no es biyectiva.
Resolución
Una función es biyectiva si es a la vez inyectiva y sobreyectiva.
Estudiemos ambas propiedades por separado.
La función:
\[ f(x)=x^2 \]
no es inyectiva.
En efecto:
\[ f(2)=4 \]
y:
\[ f(-2)=4. \]
Luego:
\[ f(2)=f(-2), \]
siendo:
\[ 2\neq-2. \]
La función no es, por tanto, inyectiva.
Tampoco es sobreyectiva sobre \(\mathbb{R}\).
En efecto:
\[ x^2\ge0 \qquad \forall x\in\mathbb{R}, \]
de modo que la función nunca toma valores negativos.
Por ejemplo, el número:
\[ -1\in\mathbb{R} \]
no es imagen de ningún elemento del dominio.
La función no es, por tanto, sobreyectiva.
Al no ser ni inyectiva ni sobreyectiva, la función no es biyectiva.
Ejercicio 14 — nivel ★★★☆☆
Consideremos la función:
\[ f:(0,+\infty)\to\mathbb{R} \qquad,\qquad f(x)=\ln(x). \]
Determinar si la función es biyectiva.
Resultado
La función es biyectiva.
Resolución
Estudiemos en primer lugar la inyectividad.
La función logaritmo natural es estrictamente creciente en el intervalo:
\[ (0,+\infty). \]
Una función estrictamente creciente asocia siempre imágenes distintas a elementos distintos del dominio.
La función es, por tanto, inyectiva.
Verifiquemos ahora la sobreyectividad.
Sea:
\[ y\in\mathbb{R}. \]
Buscamos un número real positivo \(x\) tal que:
\[ \ln(x)=y. \]
Aplicando la función exponencial en ambos miembros:
\[ x=e^y. \]
Puesto que:
\[ e^y>0 \qquad \forall y\in\mathbb{R}, \]
el valor encontrado pertenece al dominio:
\[ (0,+\infty). \]
Además:
\[ \ln(e^y)=y. \]
Todo número real pertenece, pues, a la imagen de la función.
La función es sobreyectiva.
Al ser a la vez inyectiva y sobreyectiva, la función es biyectiva.
Ejercicio 15 — nivel ★★★★☆
Consideremos la función:
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \qquad,\qquad f(x)=2x-5. \]
Determinar la función inversa.
Resultado
\[ f^{-1}(x)=\frac{x+5}{2}. \]
Resolución
Para determinar la función inversa, escribimos:
\[ y=2x-5. \]
El objetivo es expresar \(x\) en función de \(y\).
Sumamos \(5\) en ambos miembros:
\[ y+5=2x. \]
Dividimos ahora por \(2\):
\[ x=\frac{y+5}{2}. \]
Intercambiando el papel de las variables, obtenemos:
\[ f^{-1}(x)=\frac{x+5}{2}. \]
Verificamos el resultado calculando \(f(f^{-1}(x))\):
\[ f\left(\frac{x+5}{2}\right) = 2\cdot\frac{x+5}{2}-5. \]
Simplificando:
\[ x+5-5=x. \]
Por tanto:
\[ f(f^{-1}(x))=x. \]
La función inversa hallada es, pues, correcta.
Ejercicio 16 — nivel ★★★★☆
Consideremos la función:
\[ f:[0,+\infty)\to[0,+\infty) \qquad,\qquad f(x)=x^2. \]
Determinar la función inversa.
Resultado
\[ f^{-1}(x)=\sqrt{x}. \]
Resolución
La función:
\[ f(x)=x^2 \]
está considerada con dominio:
\[ [0,+\infty) \]
y codominio:
\[ [0,+\infty). \]
Esta elección es fundamental: en todo \(\mathbb{R}\), la función \(x^2\) no sería inyectiva; en cambio, restringida a \([0,+\infty)\), sí lo es.
Para determinar la inversa, escribimos:
\[ y=x^2. \]
Despejando \(x\), obtenemos formalmente:
\[ x=\pm\sqrt{y}. \]
Sin embargo, dado que el dominio de la función original es \([0,+\infty)\), debemos elegir únicamente el valor no negativo.
Por tanto:
\[ x=\sqrt{y}. \]
Intercambiando el papel de las variables, obtenemos:
\[ f^{-1}(x)=\sqrt{x}. \]
Verificamos:
\[ f(f^{-1}(x))=f(\sqrt{x})=(\sqrt{x})^2=x, \qquad x\in[0,+\infty). \]
La función inversa es, pues, correcta.
Ejercicio 17 — nivel ★★★★☆
Consideremos la función:
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \qquad,\qquad f(x)=|x|. \]
Determinar si la función es inyectiva y, en caso negativo, hallar una restricción del dominio que la haga inyectiva.
Resultado
La función no es inyectiva en \(\mathbb{R}\).
Una posible restricción del dominio es:
\[ [0,+\infty). \]
Resolución
La función valor absoluto es:
\[ f(x)=|x|. \]
Para comprobar si es inyectiva en \(\mathbb{R}\), buscamos dos valores distintos del dominio con la misma imagen.
Consideremos:
\[ x_1=2 \qquad \text{y} \qquad x_2=-2. \]
Tenemos:
\[ 2\neq-2. \]
Sin embargo:
\[ f(2)=|2|=2 \]
y:
\[ f(-2)=|-2|=2. \]
Luego:
\[ f(2)=f(-2), \]
siendo \(2\neq-2\).
La función no es, por tanto, inyectiva en todo \(\mathbb{R}\).
Para hacerla inyectiva podemos restringir el dominio a:
\[ [0,+\infty). \]
En este intervalo se verifica que:
\[ |x|=x. \]
La función se convierte entonces en:
\[ f(x)=x, \]
que es claramente inyectiva.
Ejercicio 18 — nivel ★★★★☆
Consideremos la función:
\[ f:\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\to\mathbb{R} \qquad,\qquad f(x)=\tan(x). \]
Determinar si la función es biyectiva.
Resultado
La función es biyectiva.
Resolución
Para determinar si la función es biyectiva debemos comprobar que es a la vez inyectiva y sobreyectiva.
Estudiemos primero la inyectividad.
En el intervalo:
\[ \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right) \]
la función tangente es estrictamente creciente.
Una función estrictamente creciente es inyectiva, pues a valores distintos del dominio corresponden imágenes distintas.
Luego \(f\) es inyectiva.
Comprobemos ahora la sobreyectividad.
El codominio de la función es \(\mathbb{R}\). Debemos mostrar, por tanto, que todo número real es alcanzado por la función.
Es sabido que:
\[ \lim_{x\to-\frac{\pi}{2}^{+}}\tan(x)=-\infty \]
y:
\[ \lim_{x\to\frac{\pi}{2}^{-}}\tan(x)=+\infty. \]
Además, la función tangente es continua en el intervalo:
\[ \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right). \]
Por tanto, cuando \(x\) recorre el intervalo \(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\), la función \(\tan(x)\) toma todos los valores reales.
En consecuencia:
\[ \mathrm{Im}(f)=\mathbb{R}. \]
Como la imagen coincide con el codominio, la función es sobreyectiva.
Al ser a la vez inyectiva y sobreyectiva, la función es biyectiva.
Ejercicio 19 — nivel ★★★★★
Consideremos la función:
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \qquad,\qquad f(x)=x^3-1. \]
Determinar si la función es invertible y, en caso afirmativo, hallar su inversa.
Resultado
La función es invertible.
Su inversa es:
\[ f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x+1}. \]
Resolución
Una función es invertible si es biyectiva, es decir, si es a la vez inyectiva y sobreyectiva.
Estudiemos la función:
\[ f(x)=x^3-1. \]
La función \(x^3\) es estrictamente creciente en todo \(\mathbb{R}\). Restar \(1\) traslada la gráfica hacia abajo, pero no altera la monotonía.
Por tanto, \(f(x)=x^3-1\) es estrictamente creciente en \(\mathbb{R}\).
En consecuencia, es inyectiva.
Comprobemos ahora la sobreyectividad.
Sea:
\[ y\in\mathbb{R}. \]
Buscamos un número real \(x\) tal que:
\[ x^3-1=y. \]
Sumando \(1\) en ambos miembros:
\[ x^3=y+1. \]
Extrayendo la raíz cúbica:
\[ x=\sqrt[3]{y+1}. \]
Este valor existe y es real para todo \(y\in\mathbb{R}\).
Luego todo número real \(y\) es imagen de al menos un elemento del dominio.
La función es, por tanto, sobreyectiva.
Al ser a la vez inyectiva y sobreyectiva, la función es biyectiva y, en consecuencia, invertible.
Hallemos ahora la inversa.
Partimos de:
\[ y=x^3-1. \]
Despejamos \(x\):
\[ y+1=x^3 \]
\[ x=\sqrt[3]{y+1}. \]
Intercambiando el papel de las variables, obtenemos:
\[ f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x+1}. \]
Ejercicio 20 — nivel ★★★★★
Consideremos la función:
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \qquad,\qquad f(x)=x^2-4x+3. \]
Determinar si la función es invertible en \(\mathbb{R}\). En caso negativo, hallar una restricción del dominio que la haga invertible.
Resultado
La función no es invertible en \(\mathbb{R}\).
Una posible restricción del dominio que la hace invertible es:
\[ [2,+\infty). \]
Resolución
La función dada es:
\[ f(x)=x^2-4x+3. \]
Se trata de una función cuadrática. Las funciones cuadráticas consideradas en todo \(\mathbb{R}\) no son inyectivas, pues su gráfica es una parábola.
Comprobemos explícitamente que esta función no es inyectiva.
Calculamos:
\[ f(1)=1^2-4\cdot1+3=1-4+3=0. \]
Además:
\[ f(3)=3^2-4\cdot3+3=9-12+3=0. \]
Luego:
\[ f(1)=f(3), \]
siendo:
\[ 1\neq3. \]
Hemos encontrado dos elementos distintos del dominio con la misma imagen.
Por tanto, la función no es inyectiva y, en consecuencia, no es invertible en todo \(\mathbb{R}\).
Busquemos ahora una restricción del dominio que la haga invertible.
Completamos el cuadrado:
\[ x^2-4x+3=(x-2)^2-1. \]
De esta forma observamos que el vértice de la parábola tiene abscisa:
\[ x=2. \]
La función es decreciente para:
\[ x\le2 \]
y creciente para:
\[ x\ge2. \]
Si restringimos el dominio a:
\[ [2,+\infty), \]
la función pasa a ser estrictamente creciente y, por tanto, inyectiva.
Además, en dicho intervalo, la imagen es:
\[ [-1,+\infty). \]
Así, la función:
\[ f:[2,+\infty)\to[-1,+\infty) \]
definida por:
\[ f(x)=x^2-4x+3 \]
es biyectiva y, por tanto, invertible.