En esta colección presentamos 20 ejercicios resueltos sobre inecuaciones con parámetro, ordenados por dificultad y desarrollados paso a paso.
El objetivo es aprender a identificar los valores del parámetro que modifican la estructura de la inecuación: el signo de un coeficiente, el sentido de la desigualdad, el grado de la expresión, el discriminante y la concavidad de la parábola.
Cada ejercicio muestra cómo plantear correctamente la discusión por casos, evitando los errores más frecuentes y llegando a una descripción completa del conjunto solución en función del parámetro.
Ejercicio 1 — nivel ★☆☆☆☆
Resolver:
\[ (k-3)x > 6 \]
Resultado
\[ \begin{cases} x > \dfrac{6}{k-3}, & k > 3, \\[6pt] x < \dfrac{6}{k-3}, & k < 3, \\[6pt] S = \emptyset, & k = 3. \end{cases} \]
Resolución
La inecuación es lineal en la incógnita \(x\). El coeficiente de \(x\) es:
\[ k - 3. \]
Para despejar \(x\), habría que dividir ambos miembros por \(k-3\). Sin embargo, el signo de \(k-3\) depende del parámetro \(k\), por lo que es necesario distinguir tres casos:
\[ k-3 > 0, \qquad k-3 < 0, \qquad k-3 = 0. \]
Caso \(k > 3\)
Si \(k > 3\), entonces \(k-3 > 0\), de modo que podemos dividir por \(k-3\) sin cambiar el sentido de la desigualdad:
\[ x > \frac{6}{k-3}. \]
Caso \(k < 3\)
Si \(k < 3\), entonces \(k-3 < 0\); al dividir por una cantidad negativa, el sentido de la desigualdad se invierte:
\[ x < \frac{6}{k-3}. \]
Caso \(k = 3\)
Si \(k = 3\), el coeficiente de \(x\) se anula. La inecuación se convierte en:
\[ 0 \cdot x > 6, \qquad \text{es decir,} \qquad 0 > 6. \]
Esta afirmación es falsa, por lo que no existe ningún valor real de \(x\) que satisfaga la inecuación. Por tanto:
\[ S = \emptyset. \]
Ejercicio 2 — nivel ★☆☆☆☆
Resolver:
\[ (k+1)x - 4 \leq 0 \]
Resultado
\[ \begin{cases} x \leq \dfrac{4}{k+1}, & k > -1, \\[6pt] x \geq \dfrac{4}{k+1}, & k < -1, \\[6pt] S = \mathbb{R}, & k = -1. \end{cases} \]
Resolución
Pasamos el término independiente al segundo miembro:
\[ (k+1)x \leq 4. \]
El coeficiente de la incógnita también depende del parámetro: \(k+1\). Para dividir correctamente hay que saber si \(k+1\) es positivo, negativo o nulo.
Caso \(k > -1\)
Si \(k > -1\), entonces \(k+1 > 0\). Al dividir por una cantidad positiva, el sentido no cambia:
\[ x \leq \frac{4}{k+1}. \]
Caso \(k < -1\)
Si \(k < -1\), entonces \(k+1 < 0\). Al dividir por una cantidad negativa, el sentido se invierte:
\[ x \geq \frac{4}{k+1}. \]
Caso \(k = -1\)
Si \(k = -1\), el coeficiente de \(x\) se anula. La inecuación inicial se convierte en:
\[ 0 \cdot x - 4 \leq 0, \qquad \text{es decir,} \qquad -4 \leq 0. \]
Esta afirmación es verdadera para todo valor real de \(x\). Por tanto:
\[ S = \mathbb{R}. \]
Ejercicio 3 — nivel ★★☆☆☆
Resolver:
\[ (k-2)x + 5 \geq 0 \]
Resultado
\[ \begin{cases} x \geq -\dfrac{5}{k-2}, & k > 2, \\[6pt] x \leq -\dfrac{5}{k-2}, & k < 2, \\[6pt] S = \mathbb{R}, & k = 2. \end{cases} \]
Resolución
Despejamos el término que contiene la incógnita:
\[ (k-2)x \geq -5. \]
El coeficiente de \(x\) es \(k-2\). Como depende del parámetro, no podemos dividir sin discutir su signo.
Caso \(k > 2\)
Si \(k > 2\), entonces \(k-2 > 0\). Al dividir por \(k-2\), el sentido permanece invariado:
\[ x \geq -\frac{5}{k-2}. \]
Caso \(k < 2\)
Si \(k < 2\), entonces \(k-2 < 0\). Al dividir por una cantidad negativa, el sentido cambia:
\[ x \leq -\frac{5}{k-2}. \]
Caso \(k = 2\)
Si \(k = 2\), el término con \(x\) desaparece:
\[ 0 \cdot x + 5 \geq 0, \qquad \text{es decir,} \qquad 5 \geq 0. \]
Esta afirmación es siempre verdadera, por lo que todo número real es solución:
\[ S = \mathbb{R}. \]
Ejercicio 4 — nivel ★★☆☆☆
Resolver:
\[ (k^2 - 1)x < 2 \]
Resultado
\[ \begin{cases} x < \dfrac{2}{k^2-1}, & k < -1 \ \text{o bien}\ k > 1, \\[6pt] x > \dfrac{2}{k^2-1}, & -1 < k < 1, \\[6pt] S = \mathbb{R}, & k = \pm 1. \end{cases} \]
Resolución
La inecuación es lineal en la incógnita \(x\), pero el coeficiente de \(x\) es:
\[ k^2 - 1 = (k-1)(k+1). \]
Estudiamos el signo de \(k^2-1\):
\[ k^2 - 1 > 0 \quad \Longleftrightarrow \quad k < -1 \ \text{o bien}\ k > 1, \]
\[ k^2 - 1 < 0 \quad \Longleftrightarrow \quad -1 < k < 1, \]
\[ k^2 - 1 = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad k = \pm 1. \]
Caso \(k < -1\) o bien \(k > 1\)
En este caso \(k^2-1 > 0\). Podemos dividir sin cambiar el sentido:
\[ x < \frac{2}{k^2-1}. \]
Caso \(-1 < k < 1\)
En este caso \(k^2-1 < 0\). Al dividir por una cantidad negativa, el sentido se invierte:
\[ x > \frac{2}{k^2-1}. \]
Caso \(k = \pm 1\)
Si \(k = \pm 1\), entonces \(k^2 - 1 = 0\). La inecuación se convierte en:
\[ 0 \cdot x < 2, \qquad \text{es decir,} \qquad 0 < 2. \]
Esta afirmación es verdadera para todo \(x \in \mathbb{R}\). Por tanto:
\[ S = \mathbb{R}. \]
Ejercicio 5 — nivel ★★☆☆☆
Resolver:
\[ (k-1)x^2 - 4 > 0 \]
Resultado
\[ \begin{cases} x < -\dfrac{2}{\sqrt{k-1}} \ \text{o bien}\ x > \dfrac{2}{\sqrt{k-1}}, & k > 1, \\[10pt] S = \emptyset, & k \leq 1. \end{cases} \]
Resolución
La inecuación contiene el término \(x^2\), cuyo coeficiente es \(k-1\). Hay que distinguir los casos en que dicho coeficiente es positivo, nulo o negativo.
Caso \(k > 1\)
Si \(k > 1\), entonces \(k-1 > 0\). Podemos dividir sin cambiar el sentido:
\[ x^2 > \frac{4}{k-1}. \]
El segundo miembro es positivo, luego:
\[ |x| > \frac{2}{\sqrt{k-1}}, \]
es decir:
\[ x < -\frac{2}{\sqrt{k-1}} \quad \text{o bien} \quad x > \frac{2}{\sqrt{k-1}}. \]
Caso \(k = 1\)
Si \(k = 1\), el término cuadrático se anula. La inecuación se reduce a \(-4 > 0\), que es falsa. Por tanto:
\[ S = \emptyset. \]
Caso \(k < 1\)
Si \(k < 1\), entonces \(k-1 < 0\). Como \(x^2 \geq 0\) para todo \(x \in \mathbb{R}\), se tiene \((k-1)x^2 \leq 0\), de modo que:
\[ (k-1)x^2 - 4 < 0 \]
para todo \(x \in \mathbb{R}\). La inecuación no tiene solución:
\[ S = \emptyset. \]
Ejercicio 6 — nivel ★★☆☆☆
Resolver:
\[ (k+2)x^2 + 1 \geq 0 \]
Resultado
\[ \begin{cases} S = \mathbb{R}, & k \geq -2, \\[8pt] -\dfrac{1}{\sqrt{-k-2}} \leq x \leq \dfrac{1}{\sqrt{-k-2}}, & k < -2. \end{cases} \]
Resolución
El coeficiente del término cuadrático es \(k+2\). Hay que distinguir los casos \(k+2 > 0\), \(k+2 = 0\) y \(k+2 < 0\).
Caso \(k > -2\)
Si \(k > -2\), entonces \(k+2 > 0\). Como \(x^2 \geq 0\), se tiene \((k+2)x^2 \geq 0\), y por tanto:
\[ (k+2)x^2 + 1 \geq 1 > 0. \]
La inecuación se cumple para todo \(x \in \mathbb{R}\):
\[ S = \mathbb{R}. \]
Caso \(k = -2\)
Si \(k = -2\), el término cuadrático desaparece y la inecuación se convierte en \(1 \geq 0\), que es siempre verdadera:
\[ S = \mathbb{R}. \]
Caso \(k < -2\)
Si \(k < -2\), entonces \(k+2 < 0\). Partimos de la inecuación:
\[ (k+2)x^2 \geq -1. \]
Como \(k+2 < 0\), al dividir por \(k+2\) el sentido se invierte:
\[ x^2 \leq \frac{-1}{k+2} = \frac{1}{-k-2}. \]
Por tanto:
\[ -\frac{1}{\sqrt{-k-2}} \leq x \leq \frac{1}{\sqrt{-k-2}}. \]
Ejercicio 7 — nivel ★★★☆☆
Resolver:
\[ x^2 - 2kx + k^2 - 1 > 0 \]
Resultado
\[ x < k-1 \quad \text{o bien} \quad x > k+1. \]
Resolución
Observamos que el trinomio puede reconocerse como un cuadrado perfecto menos \(1\):
\[ x^2 - 2kx + k^2 - 1 = (x-k)^2 - 1. \]
La inecuación se convierte en:
\[ (x-k)^2 > 1, \]
es decir, \(|x-k| > 1\). Por tanto:
\[ x - k < -1 \quad \text{o bien} \quad x - k > 1, \]
de donde:
\[ x < k-1 \quad \text{o bien} \quad x > k+1. \]
El conjunto solución es:
\[ S = (-\infty,\, k-1) \cup (k+1,\, +\infty). \]
Ejercicio 8 — nivel ★★★☆☆
Resolver:
\[ x^2 + (k-3)x + k < 0 \]
Resultado
\[ \begin{cases} x_1 < x < x_2, & k < 1 \ \text{o bien}\ k > 9, \\[6pt] S = \emptyset, & 1 \leq k \leq 9, \end{cases} \]
donde, para \(k < 1\) o bien \(k > 9\),
\[ x_1 = \frac{3-k-\sqrt{k^2-10k+9}}{2}, \qquad x_2 = \frac{3-k+\sqrt{k^2-10k+9}}{2}. \]
Resolución
Consideramos el trinomio \(P(x) = x^2 + (k-3)x + k\). El coeficiente de \(x^2\) es \(a = 1 > 0\), de modo que la parábola siempre tiene la concavidad hacia arriba.
Como la inecuación requiere \(P(x) < 0\), el trinomio debe tener dos raíces reales distintas (con la concavidad hacia arriba, el trinomio es negativo únicamente entre las dos raíces).
Calculamos el discriminante:
\[ \Delta = (k-3)^2 - 4k = k^2 - 6k + 9 - 4k = k^2 - 10k + 9 = (k-1)(k-9). \]
Estudiamos el signo:
\[ \Delta > 0 \quad \Longleftrightarrow \quad k < 1 \ \text{o bien}\ k > 9, \]
\[ \Delta = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad k = 1 \ \text{o bien}\ k = 9, \]
\[ \Delta < 0 \quad \Longleftrightarrow \quad 1 < k < 9. \]
Caso \(k < 1\) o bien \(k > 9\)
El trinomio tiene dos raíces reales distintas y la parábola tiene la concavidad hacia arriba, por lo que el trinomio es negativo entre las dos raíces:
\[ x_1 < x < x_2. \]
Caso \(k = 1\) o bien \(k = 9\)
El trinomio tiene una raíz doble. Con la concavidad hacia arriba es siempre \(\geq 0\), pero la inecuación requiere \(P(x) < 0\). Por tanto:
\[ S = \emptyset. \]
Caso \(1 < k < 9\)
El discriminante es negativo. La parábola, con la concavidad hacia arriba, no corta al eje de abscisas y el trinomio es siempre positivo. Por tanto:
\[ S = \emptyset. \]
Ejercicio 9 — nivel ★★★☆☆
Resolver:
\[ (k-4)x^2 + 2x - 3 \leq 0 \]
Resultado
\[ \begin{cases} S = \mathbb{R}, & k \leq \dfrac{11}{3}, \\[8pt] x \leq x_1 \ \text{o bien}\ x \geq x_2, & \dfrac{11}{3} < k < 4, \\[8pt] x \leq \dfrac{3}{2}, & k = 4, \\[8pt] x_1 \leq x \leq x_2, & k > 4, \end{cases} \]
donde \(x_1\) y \(x_2\) denotan las dos raíces ordenadas del trinomio, con \(x_1 < x_2\).
Resolución
El coeficiente del término cuadrático es \(k-4\). Antes de estudiar el discriminante, hay que verificar si la inecuación es realmente de segundo grado.
Caso \(k = 4\)
Si \(k = 4\), el término cuadrático se anula y la inecuación se convierte en \(2x - 3 \leq 0\), de donde:
\[ x \leq \frac{3}{2}. \]
Caso \(k \neq 4\)
Para \(k \neq 4\), consideramos \(P(x) = (k-4)x^2 + 2x - 3\). El discriminante es:
\[ \Delta = 4 - 4(k-4)(-3) = 4 + 12(k-4) = 12k - 44 = 4(3k-11). \]
Estudiamos el signo:
\[ \Delta > 0 \iff k > \tfrac{11}{3}, \qquad \Delta = 0 \iff k = \tfrac{11}{3}, \qquad \Delta < 0 \iff k < \tfrac{11}{3}. \]
La concavidad depende del signo de \(k-4\).
Caso \(k < \dfrac{11}{3}\)
En este caso \(\Delta < 0\) y \(k - 4 < 0\). La parábola tiene la concavidad hacia abajo y no corta al eje de abscisas: el trinomio es siempre negativo. Como la inecuación requiere \(P(x) \leq 0\):
\[ S = \mathbb{R}. \]
Caso \(k = \dfrac{11}{3}\)
En este caso \(\Delta = 0\) y \(k - 4 = \frac{11}{3} - 4 = -\frac{1}{3} < 0\). La parábola tiene la concavidad hacia abajo y es tangente al eje en una raíz doble: el trinomio es siempre \(\leq 0\). Por tanto:
\[ S = \mathbb{R}. \]
Caso \(\dfrac{11}{3} < k < 4\)
En este caso \(\Delta > 0\) y \(k - 4 < 0\). El trinomio tiene dos raíces reales distintas y la parábola tiene la concavidad hacia abajo: es positivo entre las raíces y negativo fuera de ellas. Para \(P(x) \leq 0\):
\[ x \leq x_1 \quad \text{o bien} \quad x \geq x_2. \]
Caso \(k > 4\)
En este caso \(\Delta > 0\) y \(k - 4 > 0\). El trinomio tiene dos raíces reales distintas y la parábola tiene la concavidad hacia arriba: es negativo entre las raíces. Como la desigualdad no es estricta, las raíces se incluyen:
\[ x_1 \leq x \leq x_2. \]
Ejercicio 10 — nivel ★★★★☆
Resolver:
\[ (k-1)x^2 + (k+1)x + k > 0 \]
Resultado
Definamos:
\[ k_1 = 1 - \frac{2\sqrt{3}}{3}, \qquad k_2 = 1 + \frac{2\sqrt{3}}{3}. \]
\[ \begin{cases} S = \emptyset, & k \leq k_1, \\[6pt] x_1 < x < x_2, & k_1 < k < 1, \\[6pt] x > -\dfrac{1}{2}, & k = 1, \\[8pt] x < x_1 \ \text{o bien}\ x > x_2, & 1 < k < k_2, \\[6pt] S = \mathbb{R} \setminus \{x_0\}, & k = k_2, \\[6pt] S = \mathbb{R}, & k > k_2. \end{cases} \]
Resolución
El coeficiente del término cuadrático es \(k-1\). El primer valor que hay que verificar es \(k = 1\).
Caso \(k = 1\)
Si \(k = 1\), la inecuación se convierte en \(2x + 1 > 0\), de donde:
\[ x > -\frac{1}{2}. \]
Caso \(k \neq 1\)
Para \(k \neq 1\) calculamos el discriminante:
\[ \Delta = (k+1)^2 - 4(k-1)k = k^2 + 2k + 1 - 4k^2 + 4k = -3k^2 + 6k + 1. \]
Igualamos \(\Delta = 0\): \(3k^2 - 6k - 1 = 0\), con soluciones:
\[ k = \frac{6 \pm \sqrt{36+12}}{6} = \frac{6 \pm 4\sqrt{3}}{6} = 1 \pm \frac{2\sqrt{3}}{3}. \]
Como el discriminante (en cuanto función de \(k\)) es una parábola con la concavidad hacia abajo:
\[ \Delta > 0 \iff k_1 < k < k_2, \quad \Delta = 0 \iff k = k_1 \ \text{o}\ k = k_2, \quad \Delta < 0 \iff k < k_1 \ \text{o}\ k > k_2. \]
Caso \(k < k_1\)
\(\Delta < 0\) y \(k - 1 < 0\): parábola con la concavidad hacia abajo, trinomio siempre negativo. Por tanto \(S = \emptyset\).
Caso \(k = k_1\)
\(\Delta = 0\) y \(k - 1 < 0\): parábola con la concavidad hacia abajo, trinomio siempre \(\leq 0\). La inecuación es estricta, de modo que \(S = \emptyset\).
Caso \(k_1 < k < 1\)
\(\Delta > 0\) y \(k - 1 < 0\): parábola con la concavidad hacia abajo, trinomio positivo entre las raíces. Por tanto:
\[ x_1 < x < x_2. \]
Caso \(1 < k < k_2\)
\(\Delta > 0\) y \(k - 1 > 0\): parábola con la concavidad hacia arriba, trinomio positivo fuera de las raíces. Por tanto:
\[ x < x_1 \quad \text{o bien} \quad x > x_2. \]
Caso \(k = k_2\)
\(\Delta = 0\) y \(k - 1 > 0\): parábola con la concavidad hacia arriba, trinomio siempre \(\geq 0\), pero se anula en la raíz doble \(x_0 = -\dfrac{k+1}{2(k-1)}\). Como la inecuación es estricta:
\[ S = \mathbb{R} \setminus \{x_0\}. \]
Caso \(k > k_2\)
\(\Delta < 0\) y \(k - 1 > 0\): parábola con la concavidad hacia arriba, trinomio siempre positivo. Por tanto \(S = \mathbb{R}\).
Ejercicio 11 — nivel ★★★★☆
Resolver:
\[ (k^2 - 4)x^2 - 1 < 0 \]
Resultado
\[ \begin{cases} -\dfrac{1}{\sqrt{k^2-4}} < x < \dfrac{1}{\sqrt{k^2-4}}, & |k| > 2, \\[10pt] S = \mathbb{R}, & |k| \leq 2. \end{cases} \]
Resolución
El coeficiente de \(x^2\) es \(k^2 - 4 = (k-2)(k+2)\). Estudiamos su signo:
\[ k^2 - 4 > 0 \iff |k| > 2, \quad k^2 - 4 = 0 \iff k = \pm 2, \quad k^2 - 4 < 0 \iff |k| < 2. \]
Caso \(|k| > 2\)
Como \(k^2 - 4 > 0\), dividimos por este valor sin cambiar el sentido:
\[ x^2 < \frac{1}{k^2 - 4}. \]
Por tanto:
\[ -\frac{1}{\sqrt{k^2-4}} < x < \frac{1}{\sqrt{k^2-4}}. \]
Caso \(|k| < 2\)
Como \(k^2 - 4 < 0\) y \(x^2 \geq 0\), se tiene \((k^2-4)x^2 \leq 0\), y por tanto:
\[ (k^2-4)x^2 - 1 < 0 \]
para todo \(x \in \mathbb{R}\). Luego \(S = \mathbb{R}\).
Caso \(k = \pm 2\)
Si \(k = \pm 2\), la inecuación se convierte en \(-1 < 0\), que es siempre verdadera. Por tanto \(S = \mathbb{R}\).
Ejercicio 12 — nivel ★★★★☆
Resolver:
\[ (k-2)x^2 + (k+1)x + 1 \geq 0 \]
Resultado
\[ \begin{cases} x_1 \leq x \leq x_2, & k < 2, \\[6pt] x \geq -\dfrac{1}{3}, & k = 2, \\[8pt] x \leq x_1 \ \text{o bien}\ x \geq x_2, & k > 2, \end{cases} \]
donde \(x_1\) y \(x_2\) son las raíces ordenadas del trinomio, con \(x_1 < x_2\).
Resolución
El coeficiente del término cuadrático es \(k-2\).
Caso \(k = 2\)
Si \(k = 2\), la inecuación se convierte en \(3x + 1 \geq 0\), de donde:
\[ x \geq -\frac{1}{3}. \]
Caso \(k \neq 2\)
Calculamos el discriminante:
\[ \Delta = (k+1)^2 - 4(k-2) = k^2 + 2k + 1 - 4k + 8 = k^2 - 2k + 9 = (k-1)^2 + 8. \]
Como \((k-1)^2 + 8 > 0\) para todo \(k \in \mathbb{R}\), el trinomio tiene siempre dos raíces reales distintas cuando \(k \neq 2\). Solo queda discutir la concavidad, es decir, el signo de \(k-2\).
Caso \(k < 2\)
Parábola con la concavidad hacia abajo, trinomio positivo entre las raíces. Para \(P(x) \geq 0\):
\[ x_1 \leq x \leq x_2. \]
Caso \(k > 2\)
Parábola con la concavidad hacia arriba, trinomio positivo fuera de las raíces. Para \(P(x) \geq 0\):
\[ x \leq x_1 \quad \text{o bien} \quad x \geq x_2. \]
Ejercicio 13 — nivel ★★★★☆
Resolver:
\[ (k+1)x^2 - 2(k-1)x + k \leq 0 \]
Resultado
\[ \begin{cases} x \leq \dfrac{1}{4}, & k = -1, \\[8pt] x_1 \leq x \leq x_2, & -1 < k < \dfrac{1}{3}, \\[8pt] x = x_0, & k = \dfrac{1}{3}, \\[8pt] S = \emptyset, & k > \dfrac{1}{3}, \\[8pt] x \leq x_1 \ \text{o bien}\ x \geq x_2, & k < -1. \end{cases} \]
En los casos con dos raíces reales distintas, \(x_1\) y \(x_2\) denotan las raíces ordenadas, con \(x_1 < x_2\). En el caso \(k = \dfrac{1}{3}\), \(x_0\) es la raíz doble.
Resolución
El coeficiente del término cuadrático es \(k+1\). El primer valor que hay que discutir es \(k = -1\).
Caso \(k = -1\)
Sustituyendo \(k = -1\), la inecuación se convierte en \(4x - 1 \leq 0\), de donde:
\[ x \leq \frac{1}{4}. \]
Caso \(k \neq -1\)
Calculamos el discriminante:
\[ \Delta = 4(k-1)^2 - 4k(k+1) = 4\bigl[(k-1)^2 - k(k+1)\bigr] = 4(1-3k). \]
Estudiamos el signo:
\[ \Delta > 0 \iff k < \tfrac{1}{3}, \quad \Delta = 0 \iff k = \tfrac{1}{3}, \quad \Delta < 0 \iff k > \tfrac{1}{3}. \]
La concavidad depende del signo de \(k+1\).
Caso \(k < -1\)
\(\Delta > 0\) y \(k+1 < 0\): parábola con la concavidad hacia abajo, trinomio negativo fuera de las raíces. Para \(P(x) \leq 0\):
\[ x \leq x_1 \quad \text{o bien} \quad x \geq x_2. \]
Caso \(-1 < k < \dfrac{1}{3}\)
\(\Delta > 0\) y \(k+1 > 0\): parábola con la concavidad hacia arriba, trinomio negativo entre las raíces. Para \(P(x) \leq 0\):
\[ x_1 \leq x \leq x_2. \]
Caso \(k = \dfrac{1}{3}\)
\(\Delta = 0\) y \(k+1 > 0\): parábola con la concavidad hacia arriba, trinomio siempre \(\geq 0\), se anula únicamente en la raíz doble. Por tanto:
\[ x = x_0. \]
Caso \(k > \dfrac{1}{3}\)
\(\Delta < 0\) y \(k+1 > 0\): parábola con la concavidad hacia arriba, trinomio siempre positivo. Por tanto \(S = \emptyset\).
Ejercicio 14 — nivel ★★★★☆
Resolver:
\[ x^2 - 2(k+1)x + k^2 + k < 0 \]
Resultado
\[ \begin{cases} k+1-\sqrt{k+1} < x < k+1+\sqrt{k+1}, & k > -1, \\[8pt] S = \emptyset, & k \leq -1. \end{cases} \]
Resolución
El coeficiente del término cuadrático es \(a = 1 > 0\): la parábola siempre tiene la concavidad hacia arriba. Calculamos el discriminante:
\[ \Delta = 4(k+1)^2 - 4(k^2+k) = 4\bigl[(k+1)^2 - (k^2+k)\bigr] = 4(k+1). \]
Estudiamos el signo:
\[ \Delta > 0 \iff k > -1, \quad \Delta = 0 \iff k = -1, \quad \Delta < 0 \iff k < -1. \]
Caso \(k > -1\)
Dos raíces reales distintas. Como \(\sqrt{4(k+1)} = 2\sqrt{k+1}\):
\[ x_{1,2} = \frac{2(k+1) \pm 2\sqrt{k+1}}{2} = k+1 \mp \sqrt{k+1}. \]
La parábola tiene la concavidad hacia arriba, de modo que el trinomio es negativo entre las dos raíces:
\[ k+1-\sqrt{k+1} < x < k+1+\sqrt{k+1}. \]
Caso \(k = -1\)
\(\Delta = 0\): parábola con la concavidad hacia arriba, trinomio siempre \(\geq 0\). La inecuación requiere \(P(x) < 0\), luego \(S = \emptyset\).
Caso \(k < -1\)
\(\Delta < 0\): trinomio siempre positivo. Por tanto \(S = \emptyset\).
Ejercicio 15 — nivel ★★★★★
Resolver:
\[ (k-3)x^2 + (2k-1)x + k > 0 \]
Resultado
\[ \begin{cases} S = \emptyset, & k < -\dfrac{1}{8}, \\[8pt] S = \emptyset, & k = -\dfrac{1}{8}, \\[8pt] x_1 < x < x_2, & -\dfrac{1}{8} < k < 3, \\[8pt] x > -\dfrac{3}{5}, & k = 3, \\[8pt] x < x_1 \ \text{o bien}\ x > x_2, & k > 3. \end{cases} \]
En los casos con dos raíces reales distintas, \(x_1\) y \(x_2\) son las raíces ordenadas, con \(x_1 < x_2\).
Resolución
El coeficiente del término cuadrático es \(k-3\). El primer caso que hay que tratar es \(k = 3\).
Caso \(k = 3\)
Si \(k = 3\), la inecuación se convierte en \(5x + 3 > 0\), de donde:
\[ x > -\frac{3}{5}. \]
Caso \(k \neq 3\)
Calculamos el discriminante:
\[ \Delta = (2k-1)^2 - 4(k-3)k = 4k^2 - 4k + 1 - 4k^2 + 12k = 8k + 1. \]
Estudiamos el signo:
\[ \Delta > 0 \iff k > -\tfrac{1}{8}, \quad \Delta = 0 \iff k = -\tfrac{1}{8}, \quad \Delta < 0 \iff k < -\tfrac{1}{8}. \]
Caso \(k < -\dfrac{1}{8}\)
\(\Delta < 0\) y \(k - 3 < 0\): parábola con la concavidad hacia abajo, trinomio siempre negativo. \(S = \emptyset\).
Caso \(k = -\dfrac{1}{8}\)
\(\Delta = 0\) y \(k - 3 < 0\): parábola con la concavidad hacia abajo, trinomio siempre \(\leq 0\). La inecuación es estricta, luego \(S = \emptyset\).
Caso \(-\dfrac{1}{8} < k < 3\)
\(\Delta > 0\) y \(k - 3 < 0\): parábola con la concavidad hacia abajo, trinomio positivo entre las raíces:
\[ x_1 < x < x_2. \]
Caso \(k > 3\)
\(\Delta > 0\) y \(k - 3 > 0\): parábola con la concavidad hacia arriba, trinomio positivo fuera de las raíces:
\[ x < x_1 \quad \text{o bien} \quad x > x_2. \]
Ejercicio 16 — nivel ★★★★★
Resolver:
\[ (k^2-1)x^2 + 2kx + 1 \geq 0 \]
Resultado
\[ \begin{cases} x \leq x_1 \ \text{o bien}\ x \geq x_2, & |k| > 1, \\[8pt] x \geq -\dfrac{1}{2}, & k = 1, \\[8pt] x \leq \dfrac{1}{2}, & k = -1, \\[8pt] x_1 \leq x \leq x_2, & |k| < 1. \end{cases} \]
En los casos cuadráticos, \(x_1\) y \(x_2\) son las dos raíces ordenadas, con \(x_1 < x_2\).
Resolución
El coeficiente del término cuadrático es \(k^2 - 1 = (k-1)(k+1)\). Los casos degenerados se producen para \(k = \pm 1\).
Caso \(k = 1\)
La inecuación se convierte en \(2x + 1 \geq 0\), de donde \(x \geq -\dfrac{1}{2}\).
Caso \(k = -1\)
La inecuación se convierte en \(-2x + 1 \geq 0\), de donde \(x \leq \dfrac{1}{2}\).
Caso \(k \neq \pm 1\)
Calculamos el discriminante:
\[ \Delta = (2k)^2 - 4(k^2-1) = 4k^2 - 4k^2 + 4 = 4. \]
El discriminante es siempre positivo: el trinomio tiene siempre dos raíces reales distintas. Solo queda estudiar la concavidad:
\[ k^2 - 1 > 0 \iff |k| > 1, \qquad k^2 - 1 < 0 \iff |k| < 1. \]
Caso \(|k| > 1\)
Parábola con la concavidad hacia arriba, \(P(x) \geq 0\) fuera de las raíces:
\[ x \leq x_1 \quad \text{o bien} \quad x \geq x_2. \]
Caso \(|k| < 1\)
Parábola con la concavidad hacia abajo, trinomio positivo entre las raíces. Para \(P(x) \geq 0\):
\[ x_1 \leq x \leq x_2. \]
Ejercicio 17 — nivel ★★★★★
Resolver:
\[ (k-2)x^2 - 4x + k < 0 \]
Resultado
\[ \begin{cases} S = \mathbb{R}, & k < 1-\sqrt{5}, \\[6pt] S = \mathbb{R} \setminus \{x_0\}, & k = 1-\sqrt{5}, \\[6pt] x < x_1 \ \text{o bien}\ x > x_2, & 1-\sqrt{5} < k < 2, \\[8pt] x > \dfrac{1}{2}, & k = 2, \\[8pt] x_1 < x < x_2, & 2 < k < 1+\sqrt{5}, \\[6pt] S = \emptyset, & k \geq 1+\sqrt{5}. \end{cases} \]
En los casos con dos raíces reales distintas, \(x_1\) y \(x_2\) son las raíces ordenadas, con \(x_1 < x_2\). En el caso \(k = 1-\sqrt{5}\), \(x_0\) es la raíz doble.
Resolución
El coeficiente del término cuadrático es \(k-2\).
Caso \(k = 2\)
Si \(k = 2\), la inecuación se convierte en \(-4x + 2 < 0\), de donde:
\[ x > \frac{1}{2}. \]
Caso \(k \neq 2\)
Calculamos el discriminante:
\[ \Delta = 16 - 4(k-2)k = 16 - 4k^2 + 8k = -4(k^2 - 2k - 4). \]
Los ceros de \(k^2 - 2k - 4 = 0\) son \(k = 1 \pm \sqrt{5}\). Como \(\Delta = -4(k^2 - 2k - 4)\):
\[ \Delta > 0 \iff 1-\sqrt{5} < k < 1+\sqrt{5}, \]
\[ \Delta = 0 \iff k = 1-\sqrt{5} \ \text{o}\ k = 1+\sqrt{5}, \]
\[ \Delta < 0 \iff k < 1-\sqrt{5} \ \text{o}\ k > 1+\sqrt{5}. \]
Caso \(k < 1-\sqrt{5}\)
\(\Delta < 0\) y \(k - 2 < 0\): parábola con la concavidad hacia abajo, trinomio siempre negativo. La inecuación \(P(x) < 0\) se cumple para todo \(x\):
\[ S = \mathbb{R}. \]
Caso \(k = 1-\sqrt{5}\)
\(\Delta = 0\) y \(k - 2 < 0\): parábola con la concavidad hacia abajo, trinomio siempre \(\leq 0\), se anula en la raíz doble \(x_0\). Como la inecuación es estricta:
\[ S = \mathbb{R} \setminus \{x_0\}. \]
Caso \(1-\sqrt{5} < k < 2\)
\(\Delta > 0\) y \(k - 2 < 0\): parábola con la concavidad hacia abajo, trinomio negativo fuera de las raíces:
\[ x < x_1 \quad \text{o bien} \quad x > x_2. \]
Caso \(2 < k < 1+\sqrt{5}\)
\(\Delta > 0\) y \(k - 2 > 0\): parábola con la concavidad hacia arriba, trinomio negativo entre las raíces:
\[ x_1 < x < x_2. \]
Caso \(k = 1+\sqrt{5}\)
\(\Delta = 0\) y \(k - 2 > 0\): parábola con la concavidad hacia arriba, trinomio siempre \(\geq 0\). La inecuación \(P(x) < 0\) no tiene solución:
\[ S = \emptyset. \]
Caso \(k > 1+\sqrt{5}\)
\(\Delta < 0\) y \(k - 2 > 0\): parábola con la concavidad hacia arriba, trinomio siempre positivo. Por tanto \(S = \emptyset\).
Ejercicio 18 — nivel ★★★★★
Resolver:
\[ (k+1)x^2 + (k-1)x - 2 > 0 \]
Resultado
\[ \begin{cases} \min(x_1,x_2) < x < \max(x_1,x_2), & k < -3, \\[6pt] S = \emptyset, & k = -3, \\[6pt] x_1 < x < x_2, & -3 < k < -1, \\[6pt] x < -1, & k = -1, \\[6pt] x < x_1 \ \text{o bien}\ x > x_2, & k > -1. \end{cases} \]
En los casos en que aparecen \(x_1\) y \(x_2\), estos denotan las raíces reales del trinomio. Cuando sea necesario, se considera la ordenación \(x_1 < x_2\).
Resolución
El coeficiente del término cuadrático es \(k+1\).
Caso \(k = -1\)
Si \(k = -1\), la inecuación se convierte en \(-2x - 2 > 0\), de donde \(x < -1\).
Caso \(k \neq -1\)
Calculamos el discriminante:
\[ \Delta = (k-1)^2 + 8(k+1) = k^2 - 2k + 1 + 8k + 8 = k^2 + 6k + 9 = (k+3)^2. \]
El discriminante es siempre \(\geq 0\):
\[ \Delta = 0 \iff k = -3, \qquad \Delta > 0 \iff k \neq -3. \]
La concavidad depende del signo de \(k+1\).
Caso \(k < -3\)
\(\Delta > 0\) y \(k+1 < 0\): parábola con la concavidad hacia abajo, trinomio positivo entre las raíces:
\[ x_1 < x < x_2. \]
Caso \(k = -3\)
\(\Delta = 0\) y \(k+1 < 0\): parábola con la concavidad hacia abajo, trinomio siempre \(\leq 0\). La inecuación es estricta, luego \(S = \emptyset\).
Caso \(-3 < k < -1\)
\(\Delta > 0\) y \(k+1 < 0\): parábola con la concavidad hacia abajo, trinomio positivo entre las raíces:
\[ x_1 < x < x_2. \]
Caso \(k > -1\)
\(\Delta > 0\) y \(k+1 > 0\): parábola con la concavidad hacia arriba, trinomio positivo fuera de las raíces:
\[ x < x_1 \quad \text{o bien} \quad x > x_2. \]
Ejercicio 19 — nivel ★★★★★
Resolver:
\[ (k-1)x^2 + (k-1)x + k > 0 \]
Resultado
\[ \begin{cases} S = \emptyset, & k \leq -\dfrac{1}{3}, \\[8pt] x_1 < x < x_2, & -\dfrac{1}{3} < k < 1, \\[8pt] S = \mathbb{R}, & k \geq 1. \end{cases} \]
En el caso \(-\dfrac{1}{3} < k < 1\), \(x_1\) y \(x_2\) son las dos raíces ordenadas, con \(x_1 < x_2\).
Resolución
El coeficiente del término cuadrático es \(k-1\). El primer caso que hay que considerar es \(k = 1\).
Caso \(k = 1\)
Si \(k = 1\), la inecuación se convierte en \(1 > 0\), que es siempre verdadera. Por tanto \(S = \mathbb{R}\).
Caso \(k \neq 1\)
Calculamos el discriminante:
\[ \Delta = (k-1)^2 - 4(k-1)k = (k-1)\bigl[(k-1) - 4k\bigr] = (k-1)(-3k-1). \]
Los valores críticos son \(k = 1\) y \(k = -\dfrac{1}{3}\). Se obtiene:
\[ \Delta > 0 \iff -\tfrac{1}{3} < k < 1, \quad \Delta = 0 \iff k = -\tfrac{1}{3} \ \text{o}\ k = 1, \quad \Delta < 0 \iff k < -\tfrac{1}{3} \ \text{o}\ k > 1. \]
Caso \(k < -\dfrac{1}{3}\)
\(\Delta < 0\) y \(k - 1 < 0\): parábola con la concavidad hacia abajo, trinomio siempre negativo. \(S = \emptyset\).
Caso \(k = -\dfrac{1}{3}\)
\(\Delta = 0\) y \(k - 1 < 0\): parábola con la concavidad hacia abajo, trinomio siempre \(\leq 0\). La inecuación es estricta, luego \(S = \emptyset\).
Caso \(-\dfrac{1}{3} < k < 1\)
\(\Delta > 0\) y \(k - 1 < 0\): parábola con la concavidad hacia abajo, trinomio positivo entre las raíces:
\[ x_1 < x < x_2. \]
Caso \(k > 1\)
\(\Delta < 0\) y \(k - 1 > 0\): parábola con la concavidad hacia arriba, trinomio siempre positivo. Por tanto \(S = \mathbb{R}\).
Ejercicio 20 — nivel ★★★★★
Resolver:
\[ (k^2-9)x^2 + 6x + 1 \leq 0 \]
Resultado
\[ \begin{cases} S = \emptyset, & k < -3\sqrt{2}, \\[6pt] x = x_0, & k = -3\sqrt{2}, \\[6pt] x_1 \leq x \leq x_2, & -3\sqrt{2} < k < -3, \\[8pt] x \leq -\dfrac{1}{6}, & k = -3, \\[8pt] x \leq x_1 \ \text{o bien}\ x \geq x_2, & -3 < k < 3, \\[8pt] x \leq -\dfrac{1}{6}, & k = 3, \\[8pt] x_1 \leq x \leq x_2, & 3 < k < 3\sqrt{2}, \\[6pt] x = x_0, & k = 3\sqrt{2}, \\[6pt] S = \emptyset, & k > 3\sqrt{2}. \end{cases} \]
En los casos con dos raíces reales distintas, \(x_1\) y \(x_2\) son las raíces ordenadas, con \(x_1 < x_2\). En los casos \(k = \pm 3\sqrt{2}\), \(x_0\) es la raíz doble.
Resolución
El coeficiente del término cuadrático es \(k^2 - 9 = (k-3)(k+3)\). Los casos degenerados se producen para \(k = \pm 3\).
Caso \(k = -3\) o bien \(k = 3\)
Si \(k = \pm 3\), el término cuadrático se anula y la inecuación se convierte en \(6x + 1 \leq 0\), de donde:
\[ x \leq -\frac{1}{6}. \]
Caso \(k \neq \pm 3\)
Calculamos el discriminante:
\[ \Delta = 36 - 4(k^2-9) = 36 - 4k^2 + 36 = 72 - 4k^2 = 4(18 - k^2). \]
Como \(\sqrt{18} = 3\sqrt{2}\):
\[ \Delta > 0 \iff -3\sqrt{2} < k < 3\sqrt{2}, \quad \Delta = 0 \iff k = \pm 3\sqrt{2}, \quad \Delta < 0 \iff |k| > 3\sqrt{2}. \]
La concavidad depende del signo de \(k^2 - 9\):
\[ k^2 - 9 > 0 \iff |k| > 3, \qquad k^2 - 9 < 0 \iff |k| < 3. \]
Caso \(k < -3\sqrt{2}\)
\(\Delta < 0\) y \(k^2 - 9 > 0\): parábola con la concavidad hacia arriba, trinomio siempre positivo. \(S = \emptyset\).
Caso \(k = -3\sqrt{2}\)
\(\Delta = 0\) y \(k^2 - 9 > 0\): parábola con la concavidad hacia arriba, trinomio siempre \(\geq 0\). Como la desigualdad no es estricta, la única solución es la raíz doble:
\[ x = x_0. \]
Caso \(-3\sqrt{2} < k < -3\)
\(\Delta > 0\) y \(k^2 - 9 > 0\): parábola con la concavidad hacia arriba, trinomio negativo entre las raíces:
\[ x_1 \leq x \leq x_2. \]
Caso \(-3 < k < 3\)
\(k^2 - 9 < 0\) (y necesariamente \(\Delta > 0\)): parábola con la concavidad hacia abajo, trinomio negativo fuera de las raíces. Para \(P(x) \leq 0\):
\[ x \leq x_1 \quad \text{o bien} \quad x \geq x_2. \]
Caso \(3 < k < 3\sqrt{2}\)
\(\Delta > 0\) y \(k^2 - 9 > 0\): parábola con la concavidad hacia arriba, trinomio negativo entre las raíces:
\[ x_1 \leq x \leq x_2. \]
Caso \(k = 3\sqrt{2}\)
\(\Delta = 0\) y \(k^2 - 9 > 0\): parábola con la concavidad hacia arriba, trinomio que se anula únicamente en la raíz doble:
\[ x = x_0. \]
Caso \(k > 3\sqrt{2}\)
\(\Delta < 0\) y \(k^2 - 9 > 0\): parábola con la concavidad hacia arriba, trinomio siempre positivo. Por tanto \(S = \emptyset\).