Presentamos una colección de 20 ejercicios resueltos sobre intervalos y entornos, concebidos para comprender de forma rigurosa y progresiva la estructura de los principales subconjuntos de la recta real.
Los ejercicios abordan intervalos abiertos, cerrados y semiabiertos, semirrectas, la pertenencia a intervalos, la escritura en forma conjuntista y unas primeras interpretaciones geométricas sobre la recta real.
Ejercicio 1 — nivel ★☆☆☆☆
Escribir en forma conjuntista el intervalo:
\[ (2,7) \]
Resultado
\[ (2,7)=\{x\in\mathbb{R}\mid 2<x<7\} \]
Resolución
El intervalo:
\[ (2,7) \]
es un intervalo abierto.
Los paréntesis indican que los extremos \(2\) y \(7\) no pertenecen al intervalo.
Por tanto:
\[ 2\notin(2,7), \qquad 7\notin(2,7). \]
Sí pertenecen al intervalo, en cambio, todos los números reales estrictamente comprendidos entre \(2\) y \(7\).
Decir que un número real \(x\) pertenece a \((2,7)\) equivale, pues, a imponer simultáneamente las dos condiciones:
\[ x>2 \]
y
\[ x<7. \]
Escribiendo ambas condiciones de forma compacta, obtenemos:
\[ 2<x<7 \]
Por consiguiente:
\[ (2,7)=\{x\in\mathbb{R}\mid 2<x<7\} \]
Ejercicio 2 — nivel ★☆☆☆☆
Escribir en forma conjuntista el intervalo:
\[ [-3,5] \]
Resultado
\[ [-3,5]=\{x\in\mathbb{R}\mid -3\leq x\leq 5\} \]
Resolución
El intervalo:
\[ [-3,5] \]
es un intervalo cerrado.
Los corchetes indican que ambos extremos pertenecen al intervalo.
Por tanto:
\[ -3\in[-3,5], \qquad 5\in[-3,5]. \]
Además de los extremos, pertenecen al intervalo todos los números reales comprendidos entre \(-3\) y \(5\).
Un número real \(x\) pertenece, pues, a \([-3,5]\) si es mayor o igual que \(-3\) y menor o igual que \(5\).
En símbolos:
\[ -3\leq x\leq 5 \]
En consecuencia:
\[ [-3,5]=\{x\in\mathbb{R}\mid -3\leq x\leq 5\} \]
Ejercicio 3 — nivel ★☆☆☆☆
Escribir en forma de intervalo el conjunto:
\[ \{x\in\mathbb{R}\mid 1\leq x<6\}. \]
Resultado
\[ [1,6) \qquad \text{o} \qquad [1,6[ \]
Resolución
Consideremos el conjunto:
\[ \{x\in\mathbb{R}\mid 1\leq x<6\} \]
La condición:
\[ 1\leq x \]
significa que \(x\) puede ser igual a \(1\) o mayor que \(1\).
Por tanto, el extremo izquierdo \(1\) pertenece al conjunto.
Por este motivo, a la izquierda se emplea el corchete:
\[ [1,\ldots \]
La condición:
\[ x<6 \]
significa, en cambio, que \(x\) debe ser estrictamente menor que \(6\).
Por tanto, el número \(6\) no pertenece al conjunto.
Por este motivo, a la derecha se emplea el paréntesis:
\[ \ldots,6) \]
Así pues, el conjunto dado es:
\[ [1,6) \]
Con la notación alternativa, muy usada en análisis matemático, el mismo intervalo se escribe:
\[ [1,6[ \]
Ejercicio 4 — nivel ★☆☆☆☆
Determinar si el número \(4\) pertenece al intervalo:
\[ (4,9] \]
Resultado
\[ 4\notin(4,9] \]
Resolución
El intervalo:
\[ (4,9] \]
es semiabierto.
El paréntesis a la izquierda indica que el extremo izquierdo \(4\) no pertenece al intervalo.
El corchete a la derecha, en cambio, indica que el extremo derecho \(9\) sí pertenece al intervalo.
En forma conjuntista:
\[ (4,9]=\{x\in\mathbb{R}\mid 4<x\leq 9\}. \]
Para comprobar si \(4\) pertenece al intervalo, sustituimos \(x=4\) en la condición:
\[ 4<x\leq 9. \]
Obtenemos:
\[ 4<4\leq 9. \]
La desigualdad:
\[ 4<4 \]
es falsa, ya que ningún número real es estrictamente menor que sí mismo.
Por tanto, \(4\) no satisface la condición de pertenencia.
Así pues:
\[ 4\notin(4,9] \]
Ejercicio 5 — nivel ★★☆☆☆
Escribir en forma conjuntista la semirrecta:
\[ [-2,+\infty) \]
Resultado
\[ [-2,+\infty)=\{x\in\mathbb{R}\mid x\geq -2\} \]
Resolución
El intervalo:
\[ [-2,+\infty) \]
es una semirrecta ilimitada por la derecha.
Esto significa que contiene todos los números reales mayores o iguales que \(-2\).
El corchete situado en \(-2\) indica que este extremo finito pertenece al intervalo.
Por tanto:
\[ -2\in[-2,+\infty) \]
El símbolo \(+\infty\), en cambio, no representa un número real.
Por este motivo, \(+\infty\) no puede incluirse en el intervalo mediante un corchete.
La condición de pertenencia es, pues:
\[ x\geq -2 \]
Por consiguiente:
\[ [-2,+\infty)=\{x\in\mathbb{R}\mid x\geq -2\} \]
Ejercicio 6 — nivel ★★☆☆☆
Determinar el centro, la amplitud y el radio del intervalo:
\[ [3,11] \]
Resultado
\[ \text{centro}=7,\qquad \text{amplitud}=8,\qquad \text{radio}=4 \]
Resolución
Consideremos el intervalo:
\[ [3,11]. \]
Sus extremos son:
\[ a=3,\qquad b=11. \]
La amplitud, también llamada longitud del intervalo, es la distancia entre el extremo superior y el extremo inferior.
Por tanto:
\[ b-a=11-3=8. \]
Así pues:
\[ \text{amplitud}=8. \]
El centro del intervalo es el punto medio entre los extremos.
Se calcula mediante la fórmula:
\[ \frac{a+b}{2}. \]
Sustituyendo \(a=3\) y \(b=11\), obtenemos:
\[ \frac{3+11}{2}=\frac{14}{2}=7. \]
Por tanto:
\[ \text{centro}=7. \]
El radio es la distancia entre el centro y cualquiera de los dos extremos.
De forma equivalente, es la mitad de la amplitud:
\[ \frac{b-a}{2}. \]
Por tanto:
\[ \frac{11-3}{2}=\frac{8}{2}=4. \]
Así pues:
\[ \text{radio}=4. \]
Ejercicio 7 — nivel ★★☆☆☆
Escribir en forma de intervalo el conjunto de los números reales que satisfacen:
\[ |x-2|<5 \]
Resultado
\[ (-3,7) \qquad \text{o} \qquad ]-3,7[ \]
Resolución
La expresión:
\[ |x-2| \]
representa la distancia entre el número real \(x\) y el punto \(2\) de la recta real.
La inecuación:
\[ |x-2|<5 \]
significa, por tanto, que \(x\) debe estar a una distancia menor que \(5\) del punto \(2\).
En términos de entorno abierto, buscamos todos los puntos del entorno de centro \(2\) y radio \(5\).
Usamos la propiedad:
\[ |A|<r \iff -r<A<r, \qquad r>0. \]
En nuestro caso:
\[ A=x-2,\qquad r=5. \]
Por tanto:
\[ -5<x-2<5. \]
Sumamos \(2\) a todos los miembros de la doble desigualdad:
\[ -5+2<x-2+2<5+2. \]
Obtenemos:
\[ -3<x<7. \]
Así pues, el conjunto solución es el intervalo abierto:
\[ (-3,7) \]
Con la notación alternativa:
\[ ]-3,7[ \]
Ejercicio 8 — nivel ★★☆☆☆
Escribir en forma de intervalo el conjunto de los números reales que satisfacen:
\[ |x+1|\leq 4 \]
Resultado
\[ [-5,3] \]
Resolución
La cantidad:
\[ |x+1| \]
puede reescribirse como:
\[ |x-(-1)|. \]
Representa, por tanto, la distancia entre \(x\) y el punto \(-1\).
La inecuación:
\[ |x+1|\leq 4 \]
significa que la distancia entre \(x\) y \(-1\) debe ser menor o igual que \(4\).
Como aparece el símbolo \(\leq\), los extremos del intervalo quedarán incluidos.
Usamos la propiedad:
\[ |A|\leq r \iff -r\leq A\leq r, \qquad r>0. \]
En nuestro caso:
\[ A=x+1,\qquad r=4. \]
Obtenemos:
\[ -4\leq x+1\leq 4. \]
Restamos \(1\) a todos los miembros:
\[ -4-1\leq x+1-1\leq 4-1. \]
Por tanto:
\[ -5\leq x\leq 3. \]
En forma de intervalo:
\[ [-5,3]. \]
Ejercicio 9 — nivel ★★★☆☆
Determinar:
\[ [1,8]\cap(3,10) \]
Resultado
\[ (3,8] \qquad \text{o} \qquad ]3,8] \]
Resolución
La intersección de dos conjuntos contiene exactamente los elementos que pertenecen a la vez a ambos conjuntos.
Consideremos el primer intervalo:
\[ [1,8] \]
Contiene todos los números reales \(x\) tales que:
\[ 1\leq x\leq 8. \]
Consideremos ahora el segundo intervalo:
\[ (3,10). \]
Contiene todos los números reales \(x\) tales que:
\[ 3<x<10. \]
Para pertenecer a la intersección, un número real debe satisfacer ambas condiciones.
Debemos, por tanto, imponer simultáneamente:
\[ 1\leq x\leq 8 \]
y:
\[ 3<x<10. \]
La restricción más fuerte por la izquierda es:
\[ x>3. \]
En efecto, si \(x>3\), entonces automáticamente \(x\geq1\).
La restricción más fuerte por la derecha es:
\[ x\leq8. \]
En efecto, si \(x\leq8\), entonces automáticamente \(x<10\).
Obtenemos así:
\[ 3<x\leq8. \]
Por consiguiente:
\[ [1,8]\cap(3,10)=(3,8] \]
Ejercicio 10 — nivel ★★★☆☆
Determinar:
\[ [0,4]\cup(4,9) \]
Resultado
\[ [0,9) \qquad \text{o} \qquad [0,9[ \]
Resolución
La unión de dos conjuntos contiene todos los elementos que pertenecen al menos a uno de los dos conjuntos.
El primer intervalo es:
\[ [0,4]. \]
Contiene todos los números reales comprendidos entre \(0\) y \(4\), extremos incluidos.
En particular:
\[ 4\in[0,4]. \]
El segundo intervalo es:
\[ (4,9). \]
Contiene todos los números reales estrictamente comprendidos entre \(4\) y \(9\).
En particular, el número \(4\) no pertenece al segundo intervalo, pero sí pertenece al primero.
Por tanto, no se produce ningún hueco en el punto \(4\).
La unión contiene:
- todos los números desde \(0\) hasta \(4\), incluido \(4\);
- todos los números mayores que \(4\) y menores que \(9\).
En conjunto, contiene todos los números reales \(x\) tales que:
\[ 0\leq x<9. \]
Así pues:
\[ [0,4]\cup(4,9)=[0,9) \]
Ejercicio 11 — nivel ★★★☆☆
Determinar si el conjunto:
\[ [0,2)\cup(2,5] \]
es un intervalo.
Resultado
El conjunto no es un intervalo.
Resolución
Recordemos que un subconjunto \(I\subseteq\mathbb{R}\) es un intervalo si, tomados dos elementos cualesquiera suyos, contiene también todos los números reales comprendidos entre ellos.
Consideremos el conjunto:
\[ [0,2)\cup(2,5]. \]
El primer intervalo:
\[ [0,2) \]
contiene todos los números reales \(x\) tales que:
\[ 0\leq x<2. \]
El segundo intervalo:
\[ (2,5] \]
contiene todos los números reales \(x\) tales que:
\[ 2<x\leq5. \]
Observemos ahora el punto \(2\).
No pertenece al primer intervalo, porque el primer intervalo excluye su extremo derecho:
\[ 2\notin[0,2). \]
Además, no pertenece al segundo intervalo, porque el segundo intervalo excluye su extremo izquierdo:
\[ 2\notin(2,5]. \]
Por tanto:
\[ 2\notin[0,2)\cup(2,5]. \]
Sin embargo:
\[ 1\in[0,2)\cup(2,5] \]
y:
\[ 3\in[0,2)\cup(2,5]. \]
Como:
\[ 1<2<3, \]
hemos encontrado dos elementos del conjunto, \(1\) y \(3\), tales que un número comprendido entre ellos, a saber, \(2\), no pertenece al conjunto.
El conjunto presenta, por tanto, un «hueco» interno.
Conviene observar que el conjunto considerado es unión de dos intervalos, pero no constituye en sí mismo un intervalo de la recta real.
Por consiguiente:
\[ [0,2)\cup(2,5] \]
no es un intervalo.
Ejercicio 12 — nivel ★★★☆☆
Determinar si el intervalo:
\[ [2,+\infty) \]
es abierto, cerrado o ni abierto ni cerrado en \(\mathbb{R}\).
Resultado
El intervalo \([2,+\infty)\) es cerrado en \(\mathbb{R}\), pero no es abierto.
Resolución
Consideremos el intervalo:
\[ [2,+\infty)=\{x\in\mathbb{R}\mid x\geq2\}. \]
Contiene su extremo finito \(2\), ya que el corchete indica inclusión.
Estudiemos primero si el conjunto es abierto.
Un conjunto es abierto si cada uno de sus puntos posee un entorno abierto enteramente contenido en el conjunto.
El punto \(2\) pertenece al conjunto:
\[ 2\in[2,+\infty). \]
Sin embargo, todo entorno abierto de \(2\) contiene también puntos menores que \(2\).
Por ejemplo, para todo \(r>0\), el entorno:
\[ (2-r,2+r) \]
contiene puntos del intervalo \((2-r,2)\), que son menores que \(2\).
Tales puntos no pertenecen a \([2,+\infty)\).
Por tanto, ningún entorno abierto de \(2\) está enteramente contenido en \([2,+\infty)\).
Así pues, \([2,+\infty)\) no es abierto.
Estudiemos ahora si el conjunto es cerrado.
El complementario de \([2,+\infty)\) en \(\mathbb{R}\) es:
\[ \mathbb{R}\setminus[2,+\infty)=(-\infty,2). \]
El intervalo:
\[ (-\infty,2) \]
es abierto en \(\mathbb{R}\).
Como el complementario de \([2,+\infty)\) es abierto, se sigue que \([2,+\infty)\) es cerrado.
Ejercicio 13 — nivel ★★★★☆
Escribir el entorno abierto de centro \(-1\) y radio \(3\) tanto en forma de intervalo como en forma conjuntista.
Resultado
\[ I(-1,3)=(-4,2)=\{x\in\mathbb{R}\mid |x+1|<3\} \]
Resolución
Un entorno abierto de centro \(x_0\) y radio \(r>0\) es el conjunto de los números reales cuya distancia al punto \(x_0\) es menor que \(r\).
En forma conjuntista:
\[ I(x_0,r)=\{x\in\mathbb{R}\mid |x-x_0|<r\}. \]
En este ejercicio:
\[ x_0=-1,\qquad r=3. \]
Sustituyendo en la definición:
\[ I(-1,3)=\{x\in\mathbb{R}\mid |x-(-1)|<3\}. \]
Como:
\[ x-(-1)=x+1, \]
obtenemos:
\[ I(-1,3)=\{x\in\mathbb{R}\mid |x+1|<3\}. \]
Para escribirlo en forma de intervalo, calculamos los extremos:
\[ x_0-r=-1-3=-4 \]
y:
\[ x_0+r=-1+3=2. \]
Al tratarse de un entorno abierto, los extremos no están incluidos.
Por tanto:
\[ I(-1,3)=(-4,2). \]
Así pues:
\[ I(-1,3)=(-4,2)=\{x\in\mathbb{R}\mid |x+1|<3\} \]
Ejercicio 14 — nivel ★★★★☆
Escribir el entorno cerrado de centro \(4\) y radio \(5\) tanto en forma de intervalo como en forma conjuntista.
Resultado
\[ \overline{I}(4,5)=[-1,9]=\{x\in\mathbb{R}\mid |x-4|\leq5\} \]
Resolución
Un entorno cerrado de centro \(x_0\) y radio \(r>0\) es el conjunto de los números reales cuya distancia al punto \(x_0\) es menor o igual que \(r\).
En forma conjuntista:
\[ \overline{I}(x_0,r)=\{x\in\mathbb{R}\mid |x-x_0|\leq r\}. \]
En este caso:
\[ x_0=4,\qquad r=5. \]
Sustituyendo en la definición:
\[ \overline{I}(4,5)=\{x\in\mathbb{R}\mid |x-4|\leq5\}. \]
Para pasar a la forma de intervalo, calculamos los extremos.
El extremo izquierdo es:
\[ x_0-r=4-5=-1. \]
El extremo derecho es:
\[ x_0+r=4+5=9. \]
Como el entorno es cerrado, se incluyen también los puntos que distan exactamente \(5\) del centro.
En efecto:
\[ |-1-4|=|-5|=5 \]
y:
\[ |9-4|=5. \]
Por tanto, los extremos \(-1\) y \(9\) pertenecen al entorno.
Así pues:
\[ \overline{I}(4,5)=[-1,9]=\{x\in\mathbb{R}\mid |x-4|\leq5\} \]
Ejercicio 15 — nivel ★★★★☆
Escribir el entorno derecho abierto de \(2\) y radio \(6\).
Resultado
\[ (2,8) \qquad \text{o} \qquad ]2,8[ \]
Resolución
Un entorno derecho abierto de un punto \(x_0\) contiene únicamente puntos situados a la derecha de \(x_0\), es decir, puntos mayores que \(x_0\).
Si el radio es \(r>0\), el entorno derecho abierto tiene la forma:
\[ (x_0,x_0+r). \]
En este ejercicio:
\[ x_0=2,\qquad r=6. \]
Calculamos el extremo derecho:
\[ x_0+r=2+6=8. \]
El entorno derecho abierto es, por tanto:
\[ (2,8). \]
Contiene todos los números reales \(x\) tales que:
\[ 2<x<8. \]
El punto \(2\) no pertenece al entorno, porque el entorno derecho abierto parte de \(2\) pero lo excluye.
El punto \(8\) tampoco pertenece al entorno, porque el extremo derecho está excluido.
Ejercicio 16 — nivel ★★★★☆
Escribir el entorno izquierdo abierto de \(5\) y radio \(4\).
Resultado
\[ (1,5) \qquad \text{o} \qquad ]1,5[ \]
Resolución
Un entorno izquierdo abierto de un punto \(x_0\) contiene únicamente puntos menores que \(x_0\).
Si el radio es \(r>0\), tiene la forma:
\[ (x_0-r,x_0). \]
En este ejercicio:
\[ x_0=5,\qquad r=4. \]
Calculamos el extremo izquierdo:
\[ x_0-r=5-4=1. \]
Por tanto, el entorno izquierdo abierto pedido es:
\[ (1,5). \]
Este conjunto contiene todos los números reales estrictamente comprendidos entre \(1\) y \(5\).
En particular:
- todos los puntos del entorno son menores que \(5\);
- el punto \(5\) no pertenece al entorno;
- el extremo \(1\) también está excluido.
En forma conjuntista:
\[ (1,5)=\{x\in\mathbb{R}\mid 1<x<5\} \]
Ejercicio 17 — nivel ★★★★★
Escribir como unión de intervalos el entorno reducido:
\[ I^\ast(3,2) \]
Resultado
\[ I^\ast(3,2)=(1,3)\cup(3,5) \]
Resolución
Por definición, el entorno reducido de centro \(x_0\) y radio \(r>0\) es:
\[ I^\ast(x_0,r)=\{x\in\mathbb{R}\mid 0<|x-x_0|<r\}. \]
Se obtiene tomando el entorno abierto de centro \(x_0\) y eliminando el punto central.
En este ejercicio:
\[ x_0=3,\qquad r=2. \]
Consideremos primero el entorno abierto asociado:
\[ I(3,2)=(3-2,3+2). \]
Calculando los extremos:
\[ 3-2=1 \]
y:
\[ 3+2=5, \]
obtenemos:
\[ I(3,2)=(1,5). \]
Sin embargo, el entorno pedido es reducido.
Esto significa que el punto central:
\[ x_0=3 \]
debe eliminarse del intervalo.
Al eliminar el punto \(3\), el intervalo se parte en dos trozos:
\[ (1,3) \]
y:
\[ (3,5). \]
Por consiguiente:
\[ I^\ast(3,2)=(1,3)\cup(3,5) \]
Ejercicio 18 — nivel ★★★★★
Escribir un entorno de \(+\infty\) determinado por \(M=4\).
Resultado
\[ (4,+\infty) \]
Resolución
Un entorno de \(+\infty\) es una semirrecta abierta por la derecha del tipo:
\[ (M,+\infty), \qquad M>0. \]
Contiene todos los números reales suficientemente grandes, es decir, mayores que cierto valor real \(M\).
En este ejercicio:
\[ M=4. \]
Sustituyendo en la definición, obtenemos:
\[ (4,+\infty). \]
En forma conjuntista:
\[ (4,+\infty)=\{x\in\mathbb{R}\mid x>4\}. \]
Este conjunto contiene todos los números reales mayores que \(4\).
El número \(4\) no pertenece al entorno, ya que el paréntesis indica la exclusión del extremo.
Además, el símbolo \(+\infty\) no representa un número real y, por tanto, no puede incluirse en el intervalo.
Los entornos de \(+\infty\) no son entornos en el sentido ordinario basado en la distancia entre números reales, sino que constituyen una convención fundamental en el estudio de los límites en el infinito.
Ejercicio 19 — nivel ★★★★★
Escribir un entorno de \(-\infty\) determinado por \(M=6\).
Resultado
\[ (-\infty,-6) \]
Resolución
Un entorno de \(-\infty\) es una semirrecta abierta por la izquierda del tipo:
\[ (-\infty,-M), \qquad M>0. \]
Contiene todos los números reales suficientemente pequeños, es decir, negativos y muy grandes en valor absoluto.
En este ejercicio:
\[ M=6. \]
Por tanto:
\[ -M=-6. \]
Sustituyendo en la definición de entorno de \(-\infty\), obtenemos:
\[ (-\infty,-6). \]
En forma conjuntista:
\[ (-\infty,-6)=\{x\in\mathbb{R}\mid x<-6\}. \]
El conjunto contiene, pues, todos los números reales menores que \(-6\).
El número \(-6\) no pertenece al entorno, porque el extremo está excluido.
Los entornos de \(-\infty\) no son entornos en el sentido ordinario basado en la distancia entre números reales, sino que constituyen una convención fundamental en el estudio de los límites en el infinito.
Ejercicio 20 — nivel ★★★★★
Determinar el conjunto solución de la inecuación:
\[ |x-1|<|x+3| \]
Resultado
\[ (-1,+\infty) \]
Resolución
La cantidad:
\[ |x-1| \]
representa la distancia del punto \(x\) al número \(1\).
Análogamente:
\[ |x+3|=|x-(-3)| \]
representa la distancia del punto \(x\) al número \(-3\).
La inecuación:
\[ |x-1|<|x+3| \]
significa, por tanto, que \(x\) debe estar más cerca de \(1\) que de \(-3\).
Resolvamos la inecuación de forma algebraica.
Como ambos miembros son no negativos, podemos elevar al cuadrado sin alterar el sentido de la desigualdad:
\[ (x-1)^2<(x+3)^2. \]
Desarrollamos los cuadrados:
\[ x^2-2x+1<x^2+6x+9. \]
Restamos \(x^2\) a ambos miembros:
\[ -2x+1<6x+9. \]
Pasamos al primer miembro los términos que contienen \(x\):
\[ -8x+1<9. \]
Restamos \(1\):
\[ -8x<8. \]
Dividimos ahora entre \(-8\).
Como dividimos entre un número negativo, el sentido de la desigualdad cambia:
\[ x>-1. \]
Por tanto, el conjunto solución es:
\[ (-1,+\infty). \]
Geométricamente, el punto de separación es el punto medio entre \(-3\) y \(1\), es decir:
\[ \frac{-3+1}{2}=-1. \]
Todos los puntos situados a la derecha de \(-1\) resultan, pues, más cercanos a \(1\) que a \(-3\).