En el estudio de los conjuntos numéricos suele ser necesario localizar el mayor o el menor valor que pertenece a un conjunto.
Los conceptos de máximo y mínimo permiten precisamente formalizar esta idea intuitiva y constituyen una de las primeras herramientas fundamentales del análisis matemático.
En las secciones siguientes introduciremos las definiciones rigurosas de máximo y mínimo de un conjunto, estudiaremos sus principales propiedades y analizaremos varios ejemplos significativos.
Índice
- Máximo de un conjunto
- Mínimo de un conjunto
- Unicidad del máximo y del mínimo
- ¿Cuándo existen el máximo y el mínimo?
- Ejemplos
- Relación con el supremo y el ínfimo
Máximo de un conjunto
Sea \(A\subseteq\mathbb{R}\) un conjunto no vacío.
Un elemento \(M\in A\) se denomina máximo de \(A\) si se cumple:
\[ x\leq M \qquad \forall x\in A. \]
En otras palabras, el máximo es el mayor elemento del conjunto, es decir, un elemento mayor o igual que todos los demás elementos del propio conjunto.
Cuando existe, se escribe:
\[ M=\max A. \]
Afirmar que \(M\) es el máximo de \(A\) equivale, por tanto, a comprobar simultáneamente dos condiciones:
- \(M\in A\);
- \(x\leq M\) para todo \(x\in A\).
La primera condición es esencial: un número que no pertenece al conjunto no puede ser su máximo.
Mínimo de un conjunto
Sea \(A\subseteq\mathbb{R}\) un conjunto no vacío.
Un elemento \(m\in A\) se denomina mínimo de \(A\) si:
\[ m\leq x \qquad \forall x\in A. \]
El mínimo es, por tanto, el menor elemento del conjunto, es decir, un elemento menor o igual que todos los demás elementos del conjunto.
Cuando existe, se escribe:
\[ m=\min A. \]
También en este caso deben cumplirse simultáneamente las condiciones:
- \(m\in A\);
- \(m\leq x\) para todo \(x\in A\).
Unicidad del máximo y del mínimo
Si un conjunto posee un máximo, este es único.
En efecto, supongamos que \(M_1\) y \(M_2\) son dos máximos del conjunto.
Puesto que \(M_1\) es un máximo:
\[ M_2\leq M_1. \]
Análogamente, puesto que \(M_2\) es un máximo:
\[ M_1\leq M_2. \]
De ambas desigualdades se deduce que:
\[ M_1=M_2. \]
Por tanto, los dos máximos coinciden.
El mismo razonamiento demuestra que el mínimo, cuando existe, también es único.
¿Cuándo existen el máximo y el mínimo?
No todos los conjuntos poseen un máximo o un mínimo.
Para que un conjunto tenga un máximo, debe existir un elemento del conjunto que sea mayor o igual que todos los demás elementos del conjunto.
Análogamente, para que tenga un mínimo debe existir un elemento del conjunto que sea menor o igual que todos los demás elementos del conjunto.
La existencia de un máximo o de un mínimo depende, pues, no solo de la forma del conjunto, sino también de que el posible extremo pertenezca efectivamente al conjunto.
Ejemplos
Intervalo cerrado
Consideremos el intervalo:
\[ [1,5]. \]
El extremo izquierdo \(1\) pertenece al intervalo y es menor o igual que todos los demás elementos del mismo.
Por tanto:
\[ \min[1,5]=1. \]
Análogamente:
\[ \max[1,5]=5. \]
Intervalo abierto
Consideremos ahora:
\[ (1,5). \]
Los números \(1\) y \(5\) no pertenecen al intervalo.
En consecuencia:
\[ \min(1,5) \]
no existe y
\[ \max(1,5) \]
tampoco existe.
Por mucho que nos acerquemos a \(5\), siempre es posible encontrar un elemento del intervalo aún mayor.
Lo mismo ocurre en las proximidades de \(1\).
Conjunto con máximo pero sin mínimo
Consideremos:
\[ A=(0,1]. \]
Puesto que \(1\in A\) y ningún elemento de \(A\) es mayor que \(1\),
\[ \max A=1. \]
Sin embargo, \(0\notin A\).
Además, no existe ningún elemento del conjunto que sea menor o igual que todos los demás elementos del conjunto.
Por tanto, el mínimo no existe.
Conjunto con mínimo pero sin máximo
Consideremos:
\[ [2,+\infty). \]
El número \(2\) pertenece al conjunto y es menor o igual que todos los demás elementos del mismo.
Así pues:
\[ \min[2,+\infty)=2. \]
El conjunto, en cambio, no posee ningún máximo, ya que contiene números arbitrariamente grandes.
Relación con el supremo y el ínfimo
Los conceptos de máximo y mínimo están estrechamente relacionados con los de supremo e ínfimo.
En particular:
- si el máximo de un conjunto existe, entonces coincide con su supremo;
- si el mínimo de un conjunto existe, entonces coincide con su ínfimo.
Sin embargo, el recíproco no siempre es cierto.
Por ejemplo, el intervalo abierto:
\[ (1,5) \]
no posee un máximo, pero admite como supremo el número \(5\).
Análogamente, no posee un mínimo, pero admite como ínfimo el número \(1\).
Los conceptos de máximo y mínimo están estrechamente ligados a los de supremo e ínfimo. Cuando existen, el máximo y el supremo coinciden, al igual que el mínimo y el ínfimo. El recíproco, sin embargo, no se cumple: un conjunto puede tener supremo sin poseer un máximo (como ocurre con el intervalo abierto \((1,5)\), cuyo supremo es \(5\)).