El supremo y el ínfimo generalizan las nociones de máximo y mínimo de un conjunto, y permiten describir de manera rigurosa el comportamiento de los conjuntos acotados.
A diferencia del máximo y del mínimo, el supremo y el ínfimo pueden existir incluso cuando los valores extremos correspondientes no pertenecen al conjunto.
En las secciones siguientes introduciremos las definiciones de cota superior, cota inferior, supremo e ínfimo, estudiaremos sus principales propiedades y analizaremos varios ejemplos significativos.
Índice
- Cotas superiores y cotas inferiores
- Supremo
- Ínfimo
- Unicidad del supremo y del ínfimo
- Caracterización del supremo
- Caracterización del ínfimo
- Relación con el máximo y el mínimo
- Ejemplos
- Completitud de los números reales
Cotas superiores y cotas inferiores
Para introducir las nociones de supremo e ínfimo es necesario partir de dos conceptos fundamentales: los de cota superior y cota inferior.
Sea \(A\subseteq\mathbb{R}\) un conjunto no vacío.
Definición. Un número real \(M\) se llama cota superior de \(A\) si:
\[ x\leq M \qquad \forall x\in A. \]
En otras palabras, una cota superior es un número mayor o igual que todos los elementos del conjunto.
Análogamente, un número real \(m\) se llama cota inferior de \(A\) si:
\[ m\leq x \qquad \forall x\in A. \]
Una cota inferior es, por tanto, un número menor o igual que todos los elementos del conjunto.
Ejemplo 1. Consideremos el intervalo \( A=(1,5). \)
Como todo elemento es menor que \(5\), el número \(5\) es una cota superior de \(A\). También los números \(6\), \(10\), \(100\) y, más en general, todos los números reales mayores o iguales que \(5\) son cotas superiores del conjunto.
Análogamente, el número \(1\) es una cota inferior de \(A\). También lo son \(0\), \(-3\), \(-100\) y, más en general, todos los números reales menores o iguales que \(1\).
Observamos así que un mismo conjunto puede poseer infinitas cotas superiores e infinitas cotas inferiores.
Conjuntos acotados superior e inferiormente
Definición. Un conjunto que posee al menos una cota superior se dice acotado superiormente, mientras que un conjunto que posee al menos una cota inferior se dice acotado inferiormente.
Si un conjunto está acotado tanto superior como inferiormente, se dice simplemente acotado.
Conviene observar que el término acotado no guarda relación alguna con el concepto de límite de una sucesión o de una función. Decir que un conjunto está acotado significa, simplemente, que todos sus elementos se encuentran comprendidos entre una cota inferior y una cota superior adecuadas.
Ejemplo 2. El intervalo
\[ (1,5) \]
está acotado superior e inferiormente. Por ejemplo, \(5\) es una cota superior y \(1\) es una cota inferior.
Ejemplo 3. El conjunto \( [0,+\infty) \) está acotado inferiormente, pero no superiormente. En efecto, \(0\) es una cota inferior, mientras que no existe ningún número real que sea mayor o igual que todos los elementos del conjunto.
Ejemplo 4. El conjunto \( \mathbb{R} \) no está acotado ni superior ni inferiormente.
Las nociones de cota superior y cota inferior constituyen el punto de partida para introducir el supremo y el ínfimo, que se definirán en las secciones siguientes.
Supremo
Sea \(A\subseteq\mathbb{R}\) un conjunto no vacío y acotado superiormente. El conjunto de sus cotas superiores es, por tanto, no vacío, y entre ellas hay una privilegiada: la más pequeña.
Definición. Se llama supremo de \(A\), y se denota por \(\sup A\), a la menor de las cotas superiores de \(A\).
De manera equivalente, un número real \(s\) es el supremo de \(A\) si satisface las dos condiciones siguientes:
- \(s\) es una cota superior de \(A\), es decir, \(x\leq s\) para todo \(x\in A\);
- si \(M\) es una cota superior de \(A\), entonces \(s\leq M\).
La primera condición afirma que \(s\) «está por encima» de todos los elementos de \(A\); la segunda, que ningún número menor que \(s\) goza de la misma propiedad.
La existencia del supremo para todo conjunto no vacío y acotado superiormente no es en absoluto evidente: la garantiza una propiedad fundamental de los números reales, el axioma de completitud, que trataremos en la última sección.
Ejemplo 5. Retomemos el intervalo:
\[ A=(1,5). \]
Sus cotas superiores son exactamente los números reales mayores o iguales que \(5\), es decir, el conjunto \([5,+\infty)\). La menor de ellas es \(5\), de modo que:
\[ \sup A=5. \]
Obsérvese que \(5\notin A\): el supremo no pertenece necesariamente al conjunto.
Ínfimo
De manera perfectamente simétrica se introduce el ínfimo. Sea \(A\subseteq\mathbb{R}\) un conjunto no vacío y acotado inferiormente: el conjunto de sus cotas inferiores es no vacío y contiene un elemento privilegiado, el más grande.
Definición. Se llama ínfimo de \(A\), y se denota por \(\inf A\), a la mayor de las cotas inferiores de \(A\).
De manera equivalente, un número real \(i\) es el ínfimo de \(A\) si satisface las dos condiciones siguientes:
- \(i\) es una cota inferior de \(A\), es decir, \(i\leq x\) para todo \(x\in A\);
- si \(m\) es una cota inferior de \(A\), entonces \(m\leq i\).
También en este caso la existencia del ínfimo para todo conjunto no vacío y acotado inferiormente se deduce del axioma de completitud.
Ejemplo 6. Consideremos de nuevo:
\[ A=(1,5). \]
Sus cotas inferiores son exactamente los números reales menores o iguales que \(1\), es decir, el conjunto \((-\infty,1]\). La mayor de ellas es \(1\), de modo que:
\[ \inf A=1. \]
Como ocurría con el supremo, observamos que \(1\notin A\).
Observación (conjuntos no acotados). Las definiciones anteriores se refieren a conjuntos acotados superior o inferiormente. Para tratar de manera uniforme también el caso no acotado, suele adoptarse el siguiente convenio: si \(A\) no está acotado superiormente se pone
\[ \sup A=+\infty, \]
mientras que si \(A\) no está acotado inferiormente se pone
\[ \inf A=-\infty. \]
Los símbolos \(+\infty\) y \(-\infty\) no son números reales: la igualdad \(\sup A=+\infty\) es solo una forma concisa de afirmar que \(A\) no posee ninguna cota superior. Con este convenio, todo subconjunto no vacío de \(\mathbb{R}\) queda dotado de supremo e ínfimo, finitos o infinitos. Por ejemplo, \(\sup\mathbb{R}=+\infty\) e \(\inf\mathbb{R}=-\infty\), mientras que para el conjunto \([0,+\infty)\) se tiene \(\inf=0\) y \(\sup=+\infty\).
Unicidad del supremo y del ínfimo
Cuando existen, el supremo y el ínfimo de un conjunto son únicos.
Proposición. Si un conjunto \(A\subseteq\mathbb{R}\) posee un supremo, entonces este es único.
Demostración. Supongamos que \(s_1\) y \(s_2\) son dos supremos de \(A\).
Como \(s_1\) es un supremo, toda cota superior de \(A\) es mayor o igual que \(s_1\). En particular, al ser \(s_2\) una cota superior de \(A\), se tiene:
\[ s_1\leq s_2. \]
Análogamente, como \(s_2\) es un supremo y \(s_1\) es una cota superior de \(A\), resulta:
\[ s_2\leq s_1. \]
De las dos desigualdades se deduce:
\[ s_1=s_2. \]
Por tanto, el supremo es único.
Mediante un razonamiento completamente análogo se demuestra que el ínfimo, cuando existe, también es único.
Monotonía respecto a la inclusión
Otra propiedad útil concierne al comportamiento de estos extremos cuando un conjunto se amplía: añadir elementos solo puede aumentar (o dejar invariado) el supremo y disminuir (o dejar invariado) el ínfimo.
Proposición. Sean \(A,B\subseteq\mathbb{R}\) no vacíos con \(A\subseteq B\). Si \(B\) está acotado superiormente, entonces también lo está \(A\), y
\[ \sup A\leq\sup B. \]
Análogamente, si \(B\) está acotado inferiormente, entonces también lo está \(A\), y
\[ \inf A\geq\inf B. \]
Demostración. Supongamos que \(B\) está acotado superiormente y pongamos \(s=\sup B\). Para todo \(x\in A\) se tiene \(x\in B\), ya que \(A\subseteq B\), y por tanto \(x\leq s\). Así pues, \(s\) es una cota superior de \(A\): en particular, \(A\) está acotado superiormente y admite supremo. Como \(\sup A\) es la menor de las cotas superiores de \(A\) y \(s\) es una de ellas, resulta:
\[ \sup A\leq s=\sup B. \]
El caso del ínfimo es completamente análogo. Poniendo \(i=\inf B\), se tiene \(i\leq x\) para todo \(x\in B\), y por tanto para todo \(x\in A\); en consecuencia, \(i\) es una cota inferior de \(A\) y existe \(\inf A\). Al ser \(\inf A\) la mayor de las cotas inferiores de \(A\) e \(i\) una de ellas, se obtiene \(\inf A\geq i=\inf B\).
Observación. Adoptando el convenio introducido en la sección anterior, las desigualdades \(\sup A\leq\sup B\) e \(\inf A\geq\inf B\) siguen siendo válidas para cualquier par de conjuntos no vacíos con \(A\subseteq B\), incluso no acotados.
Caracterización del supremo
La definición de supremo afirma que \(\sup A\) es la menor de todas las cotas superiores de \(A\). Verificar directamente esta propiedad exigiría, en principio, comparar \(s\) con la totalidad de las cotas superiores del conjunto.
Existe, sin embargo, una caracterización mucho más manejable, que permite reconocer un supremo examinando únicamente los elementos de \(A\).
Proposición. Sea \(A\subseteq\mathbb{R}\) un conjunto no vacío y acotado superiormente, y sea \(s\in\mathbb{R}\). Entonces:
\[ s=\sup A \]
si y solo si se cumplen ambas condiciones siguientes:
- \(x\leq s\) para todo \(x\in A\);
- para todo \(\varepsilon>0\) existe un elemento \(x\in A\) tal que \[ s-\varepsilon<x. \]
La primera condición afirma que \(s\) es una cota superior de \(A\).
La segunda condición garantiza, en cambio, que ningún número estrictamente menor que \(s\) puede ser una cota superior del conjunto.
En efecto, fijado arbitrariamente \(\varepsilon>0\), siempre existe un elemento de \(A\) estrictamente mayor que \(s-\varepsilon\). En consecuencia, \(s-\varepsilon\) no puede ser una cota superior de \(A\).
La equivalencia se comprende observando el significado de las dos condiciones. Si se cumpliera la primera pero no la segunda, existiría un \(\varepsilon>0\) tal que ningún elemento de \(A\) supera a \(s-\varepsilon\): entonces \(s-\varepsilon\) sería a su vez una cota superior, estrictamente menor que \(s\), y por tanto \(s\) no podría ser la menor de las cotas superiores. Recíprocamente, si se cumplen ambas condiciones, \(s\) es una cota superior y ningún número menor que \(s\) lo es: \(s\) es, pues, la mínima de las cotas superiores, es decir, \(\sup A\).
Ejemplo 7. Consideremos el intervalo:
\[ A=(1,5). \]
Verifiquemos, mediante la caracterización, que:
\[ \sup A=5. \]
Primera condición. Todo elemento de \(A\) satisface \(x<5\), y por tanto, con mayor razón, \(x\leq 5\). Así pues, \(5\) es una cota superior de \(A\).
Segunda condición. Sea \(\varepsilon>0\). Debemos exhibir un elemento de \(A\) mayor que \(5-\varepsilon\).
Si \(\varepsilon\geq 4\), entonces:
\[ 5-\varepsilon\leq 1, \]
y por tanto todo elemento de \(A\) es ya mayor que \(5-\varepsilon\): la condición se cumple trivialmente.
Si, en cambio, \(0<\varepsilon<4\), consideremos el número:
\[ x=5-\frac{\varepsilon}{2}. \]
Como \(0<\dfrac{\varepsilon}{2}<2\), se tiene:
\[ 3<x<5, \]
y por tanto \(x\in(1,5)=A\). Además, al ser \(\dfrac{\varepsilon}{2}<\varepsilon\), resulta:
\[ 5-\varepsilon<x. \]
En ambos casos hemos encontrado un elemento de \(A\) mayor que \(5-\varepsilon\). La segunda condición se cumple, pues, para todo \(\varepsilon>0\).
Al cumplirse ambas condiciones, concluimos que:
\[ \sup A=5, \]
aun siendo \(5\notin A\). Este ejemplo pone de manifiesto la naturaleza del supremo: un valor al que los elementos del conjunto pueden acercarse cuanto se quiera, sin que tenga necesariamente que pertenecer al conjunto.
Caracterización del ínfimo
Análogamente al supremo, el ínfimo también admite una caracterización equivalente especialmente útil en las aplicaciones.
Proposición. Sea \(A\subseteq\mathbb{R}\) un conjunto no vacío y acotado inferiormente, y sea \(i\in\mathbb{R}\). Entonces:
\[ i=\inf A \]
si y solo si se cumplen ambas condiciones siguientes:
- \(i\leq x\) para todo \(x\in A\);
- para todo \(\varepsilon>0\) existe un elemento \(x\in A\) tal que \[ x<i+\varepsilon. \]
La primera condición afirma que \(i\) es una cota inferior de \(A\).
La segunda condición garantiza, en cambio, que ningún número estrictamente mayor que \(i\) puede ser una cota inferior del conjunto.
En efecto, fijado arbitrariamente \(\varepsilon>0\), siempre existe un elemento de \(A\) estrictamente menor que \(i+\varepsilon\). En consecuencia, \(i+\varepsilon\) no puede ser una cota inferior de \(A\).
La equivalencia se comprende observando el significado de las dos condiciones. Si se cumpliera la primera pero no la segunda, existiría un \(\varepsilon>0\) tal que:
\[ x\geq i+\varepsilon \qquad \forall x\in A. \]
En tal caso, \(i+\varepsilon\) sería una cota inferior de \(A\) estrictamente mayor que \(i\), en contradicción con el hecho de que \(i\) sea la mayor de las cotas inferiores.
Recíprocamente, si se cumplen ambas condiciones, \(i\) es una cota inferior y ningún número mayor que \(i\) es una cota inferior. Por tanto, \(i\) coincide con la mayor de las cotas inferiores, es decir, con el ínfimo de \(A\).
Ejemplo 8. Consideremos el intervalo:
\[ A=(1,5). \]
Verifiquemos, mediante la caracterización anterior, que:
\[ \inf A=1. \]
Primera condición. Todo elemento de \(A\) satisface \(1<x\), y por tanto, con mayor razón, \(1\leq x\). De ahí se sigue que \(1\) es una cota inferior de \(A\).
Segunda condición. Sea \(\varepsilon>0\).
Si \(\varepsilon\geq 4\), entonces:
\[ 1+\varepsilon\geq 5, \]
y por tanto cualquier elemento de \(A\) resulta menor que \(1+\varepsilon\).
Si, en cambio, \(0<\varepsilon<4\), consideremos:
\[ x=1+\frac{\varepsilon}{2}. \]
Como:
\[ 0<\frac{\varepsilon}{2}<2, \]
se obtiene:
\[ 1<x<3<5. \]
Por tanto:
\[ x\in(1,5)=A. \]
Además:
\[ x=1+\frac{\varepsilon}{2} < 1+\varepsilon. \]
En ambos casos existe un elemento de \(A\) menor que \(1+\varepsilon\). La segunda condición queda, pues, verificada.
Al cumplirse ambas condiciones, concluimos que:
\[ \inf(1,5)=1. \]
Observación. Como:
\[ 1\notin(1,5), \]
el ínfimo no es necesariamente un elemento del conjunto.
Relación con el máximo y el mínimo
El supremo y el ínfimo están estrechamente relacionados con el máximo y el mínimo, de los cuales constituyen una generalización. La diferencia esencial es una sola: el máximo y el mínimo deben pertenecer al conjunto, mientras que el supremo y el ínfimo no.
Proposición. Sea \(A\subseteq\mathbb{R}\) no vacío y acotado superiormente. Entonces \(A\) posee máximo si y solo si:
\[ \sup A\in A, \]
y en tal caso:
\[ \max A=\sup A. \]
Demostración. Supongamos primero que \(A\) posee máximo y pongamos \(m=\max A\).
Por la definición de máximo, \(m\in A\) y \(x\leq m\) para todo \(x\in A\), de modo que \(m\) es una cota superior de \(A\). Además, si \(M\) es una cota superior cualquiera de \(A\), entonces \(M\geq x\) para todo \(x\in A\) y, en particular, al ser \(m\in A\):
\[ M\geq m. \]
Así pues, \(m\) es la menor de las cotas superiores, es decir, \(m=\sup A\); en particular, \(\sup A=m\in A\).
Recíprocamente, supongamos que \(\sup A\in A\) y pongamos \(s=\sup A\). Entonces \(s\) es una cota superior, de modo que \(x\leq s\) para todo \(x\in A\); además, \(s\in A\). Por definición, \(s\) es, pues, el máximo de \(A\), y \(\max A=s=\sup A\).
De manera completamente análoga se demuestra que \(A\), no vacío y acotado inferiormente, posee mínimo si y solo si \(\inf A\in A\), y en tal caso:
\[ \min A=\inf A. \]
En resumen: el supremo siempre existe (para un conjunto no vacío y acotado superiormente), mientras que el máximo existe únicamente cuando el supremo pertenece al conjunto. Lo mismo vale, simétricamente, para el ínfimo y el mínimo.
Ejemplo 9. Para el intervalo cerrado:
\[ A=[1,5], \]
se tiene \(\sup A=5\) e \(\inf A=1\); como \(5\in A\) y \(1\in A\), ambos extremos pertenecen al conjunto y, por tanto:
\[ \max A=5,\qquad \min A=1. \]
Para el intervalo abierto:
\[ A=(1,5), \]
se tiene aún \(\sup A=5\) e \(\inf A=1\), pero ahora \(5\notin A\) y \(1\notin A\): el conjunto no posee ni máximo ni mínimo, aun estando dotado de supremo e ínfimo.
Ejemplos
Apliquemos las definiciones y los resultados anteriores a algunos conjuntos notables, determinando para cada uno su supremo, su ínfimo y, en su caso, su máximo y su mínimo.
Ejemplo 10. \[ A=[-2,3). \]
El ínfimo es \(-2\), que pertenece al conjunto; por tanto:
\[ \inf A=\min A=-2. \]
El supremo es \(3\), que en cambio no pertenece al conjunto:
\[ \sup A=3, \]
mientras que el máximo no existe.
Ejemplo 11. \[ A=\left\{\frac1n:n\in\mathbb{N},\ n\geq 1\right\}. \]
Los elementos son \(1,\ \frac12,\ \frac13,\ldots\) El valor más grande es \(1\), obtenido para \(n=1\), y pertenece al conjunto:
\[ \sup A=\max A=1. \]
Los elementos decrecen acercándose a \(0\) sin alcanzarlo nunca. El número \(0\) es una cota inferior y, para todo \(\varepsilon>0\), eligiendo \(n\) tal que \(\frac1n<\varepsilon\) se obtiene un elemento menor que \(0+\varepsilon\). Por tanto:
\[ \inf A=0, \]
mientras que el mínimo no existe, ya que \(0\notin A\).
Ejemplo 12. \[ A=\left\{\frac{n}{n+1}:n\in\mathbb{N},\ n\geq 1\right\}. \]
Como \(\frac{n}{n+1}=1-\frac1{n+1}\), la sucesión es creciente. El primer elemento, para \(n=1\), es \(\frac12\), y pertenece al conjunto:
\[ \inf A=\min A=\frac12. \]
Los elementos crecen acercándose a \(1\) sin alcanzarlo nunca, de modo que:
\[ \sup A=1, \]
mientras que el máximo no existe, ya que \(1\notin A\).
Ejemplo 13. \[ A=\left\{(-1)^n+\frac1n:n\in\mathbb{N},\ n\geq 1\right\}. \]
Conviene distinguir los términos de índice par e impar.
Para \(n\) par el elemento vale \(1+\frac1n\); estos términos decrecen y el más grande se obtiene para \(n=2\):
\[ 1+\frac12=\frac32. \]
Todos los demás elementos del conjunto son menores que \(\frac32\), que pertenece a \(A\). Por tanto:
\[ \sup A=\max A=\frac32. \]
Para \(n\) impar el elemento vale \(-1+\frac1n\); estos términos decrecen acercándose a \(-1\) sin alcanzarlo nunca. El número \(-1\) es una cota inferior de \(A\) y, para todo \(\varepsilon>0\), eligiendo un \(n\) impar con \(\frac1n<\varepsilon\) se obtiene un elemento menor que \(-1+\varepsilon\). Por tanto:
\[ \inf A=-1, \]
mientras que el mínimo no existe, ya que ningún elemento del conjunto es igual a \(-1\).
Completitud de los números reales
Hemos afirmado en varias ocasiones que todo conjunto no vacío y acotado superiormente posee supremo. Esta propiedad no es consecuencia de las reglas algebraicas ni del orden: es una propiedad estructural de los números reales, tomada como axioma.
Axioma de completitud. Todo subconjunto de \(\mathbb{R}\) no vacío y acotado superiormente admite supremo en \(\mathbb{R}\).
De este axioma se deduce de inmediato la propiedad simétrica para el ínfimo: todo subconjunto de \(\mathbb{R}\) no vacío y acotado inferiormente admite ínfimo en \(\mathbb{R}\). Basta observar que, poniendo \(-A=\{-x:x\in A\}\), se tiene:
\[ \inf A=-\sup(-A). \]
La importancia del axioma de completitud se hace patente al comparar \(\mathbb{R}\) con el cuerpo de los números racionales \(\mathbb{Q}\), que no goza de esta propiedad.
Un conjunto racional sin supremo en \(\mathbb{Q}\)
Consideremos el subconjunto de \(\mathbb{Q}\):
\[ B=\left\{x\in\mathbb{Q}:x>0,\ x^2<2\right\}. \]
El conjunto \(B\) es no vacío, ya que \(1\in B\), y está acotado superiormente en \(\mathbb{Q}\): si \(x\in B\), entonces \(x^2<2<4\), de donde \(x<2\), y por tanto \(2\) es una cota superior.
Demostremos, sin embargo, que \(B\) no posee supremo dentro de \(\mathbb{Q}\). Supongamos, por reducción al absurdo, que existe \(s\in\mathbb{Q}\) con \(s=\sup B\); como \(\sqrt2\) no es racional, debe ser \(s^2\neq 2\), de modo que \(s^2<2\) o bien \(s^2>2\).
Si \(s^2<2\), elegimos un racional \(h\) con \(0<h<1\) y:
\[ h<\frac{2-s^2}{2s+1}. \]
Entonces, usando \(h^2<h\):
\[ (s+h)^2=s^2+2sh+h^2<s^2+h(2s+1)<s^2+(2-s^2)=2, \]
de modo que \(s+h\in B\) y \(s+h>s\): esto contradice el hecho de que \(s\) sea una cota superior.
Si, en cambio, \(s^2>2\), elegimos un racional \(h\) con:
\[ 0<h<\frac{s^2-2}{2s}. \]
Entonces:
\[ (s-h)^2=s^2-2sh+h^2>s^2-2sh>s^2-(s^2-2)=2. \]
De ahí se sigue que \(s-h\) es todavía una cota superior de \(B\) (todo elemento \(x\in B\) satisface \(x^2<2<(s-h)^2\), de donde \(x<s-h\)), pero \(s-h<s\): esto contradice el hecho de que \(s\) sea la menor de las cotas superiores.
En ambos casos llegamos a una contradicción. Por tanto, \(B\) no admite supremo en \(\mathbb{Q}\).
En el conjunto de los números reales, en cambio, el supremo sí existe, y es:
\[ \sup B=\sqrt2. \]
Este ejemplo muestra que \(\mathbb{Q}\) presenta «agujeros»: existen conjuntos racionales acotados superiormente que se acumulan en torno a un valor sin que dicho valor pertenezca a \(\mathbb{Q}\). El axioma de completitud afirma precisamente que en \(\mathbb{R}\) estos agujeros no existen: los números reales forman un continuo sin lagunas.
Es esta propiedad la que hace posible el desarrollo riguroso de las nociones de límite, continuidad, derivada e integral, que constituyen el fundamento del análisis matemático.