El teorema de los intervalos encajados —conocido también como teorema de Cantor de los intervalos encajados— es uno de los resultados fundamentales del análisis real: afirma que toda sucesión de intervalos cerrados y acotados, contenidos unos en otros, tiene siempre al menos un punto en común.
Este resultado es una consecuencia de la completitud de los números reales y constituye una herramienta esencial para demostrar numerosos teoremas fundamentales, entre ellos el teorema de Bolzano-Weierstrass.
En las secciones siguientes enunciaremos el teorema, daremos su demostración, comentaremos su interpretación geométrica, mostraremos por qué las hipótesis son imprescindibles y analizaremos su relación con la completitud de \(\mathbb{R}\).
Índice
- Teorema de los intervalos encajados
- Interpretación geométrica
- Las hipótesis son necesarias
- Ejemplos de aplicación
- Relación con la completitud de \(\mathbb{R}\)
Teorema de los intervalos encajados
Consideremos una sucesión de intervalos cerrados y acotados
\[ I_n=[a_n,b_n],\qquad a_n\leq b_n,\qquad n\in\mathbb{N}, \]
tales que cada intervalo esté contenido en el anterior:
\[ I_1\supseteq I_2\supseteq I_3\supseteq\cdots. \]
Una sucesión de este tipo recibe el nombre de sucesión de intervalos encajados. La condición de inclusión \(I_{n+1}\subseteq I_n\) equivale a
\[ a_n\leq a_{n+1}\leq b_{n+1}\leq b_n \qquad \forall n\in\mathbb{N}, \]
es decir: los extremos inferiores forman una sucesión creciente y los extremos superiores una sucesión decreciente.
Teorema (de Cantor, de los intervalos encajados). Sea \((I_n)\) una sucesión de intervalos cerrados y acotados, no vacíos, tales que
\[ I_1\supseteq I_2\supseteq I_3\supseteq\cdots. \]
Entonces la intersección es no vacía:
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n\neq\varnothing. \]
Más concretamente, si ponemos
\[ x_0=\sup_{n}\,a_n \qquad\text{e}\qquad y_0=\inf_{n}\,b_n, \]
se tiene
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n=[x_0,y_0]. \]
Si además la amplitud de los intervalos tiende a cero,
\[ b_n-a_n\longrightarrow 0, \]
entonces la intersección se reduce a un único punto:
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n=\{x_0\}. \]
Demostración. Procedemos por pasos.
1. Comparación entre extremos. Para todo par de índices \(m,n\in\mathbb{N}\) se cumple
\[ a_m\leq b_n. \]
En efecto, si \(m\leq n\) se tiene \(a_m\leq a_n\leq b_n\); si, por el contrario, \(m\gt n\), entonces \(a_m\leq b_m\leq b_n\). En cualquier caso \(a_m\leq b_n\). De aquí se sigue que cada \(b_n\) es una cota superior del conjunto \(\{a_m:m\in\mathbb{N}\}\) y, de forma simétrica, cada \(a_m\) es una cota inferior del conjunto \(\{b_n:n\in\mathbb{N}\}\).
2. Existencia de \(x_0\) e \(y_0\). El conjunto \(\{a_n\}\) es no vacío y está acotado superiormente (por ejemplo, por \(b_1\)). Por la completitud de \(\mathbb{R}\) existe su supremo
\[ x_0=\sup_{n}\,a_n. \]
Análogamente, \(\{b_n\}\) es no vacío y está acotado inferiormente, de modo que existe
\[ y_0=\inf_{n}\,b_n. \]
3. Desigualdad \(x_0\leq y_0\). Como cada \(b_n\) es una cota superior de \(\{a_m\}\) y \(x_0\) es la menor de las cotas superiores, resulta \(x_0\leq b_n\) para todo \(n\). Por tanto, \(x_0\) es una cota inferior de \(\{b_n\}\) y, dado que \(y_0\) es la mayor de las cotas inferiores,
\[ x_0\leq y_0. \]
4. Identificación de la intersección. Probamos que \(\displaystyle\bigcap_{n} I_n=[x_0,y_0]\) por doble inclusión.
Si \(x\in\bigcap_{n} I_n\), entonces \(a_n\leq x\leq b_n\) para todo \(n\); luego \(x\) es una cota superior de \(\{a_n\}\) y una cota inferior de \(\{b_n\}\), de donde \(x\geq x_0\) y \(x\leq y_0\), es decir, \(x\in[x_0,y_0]\).
Recíprocamente, si \(x\in[x_0,y_0]\), entonces para todo \(n\)
\[ a_n\leq x_0\leq x\leq y_0\leq b_n, \]
y, por tanto, \(x\in I_n\) para todo \(n\), es decir, \(x\in\bigcap_{n} I_n\). Las dos inclusiones prueban la igualdad
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n=[x_0,y_0], \]
que es no vacía, ya que contiene a \(x_0\).
5. Caso de la amplitud infinitesimal. Supongamos ahora que \(b_n-a_n\longrightarrow 0\). De las relaciones \(x_0\geq a_n\) e \(y_0\leq b_n\) se sigue, para todo \(n\),
\[ 0\leq y_0-x_0\leq b_n-a_n. \]
Pasando al límite cuando \(n\to+\infty\), el segundo miembro tiende a \(0\); por tanto, \(y_0-x_0=0\), es decir, \(x_0=y_0\). El intervalo \([x_0,y_0]\) se reduce entonces a un único punto:
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n=[x_0,y_0], \qquad \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n=\{x_0\} \ \text{si}\ b_n-a_n\to0. \]
Con esto concluye la demostración.
Interpretación geométrica
El teorema afirma que, al estrechar progresivamente una sucesión de intervalos cerrados contenidos unos en otros, no es posible «perder» todos los puntos: siempre sobrevive al menos uno, común a todos los intervalos de la sucesión.
Geométricamente, podemos imaginar una sucesión de segmentos cada vez más cortos, cada uno interior al anterior. Si las amplitudes \(b_n-a_n\) no tienden a cero, la intersección sigue siendo un intervalo \([x_0,y_0]\) de amplitud positiva; si, en cambio, las amplitudes se vuelven arbitrariamente pequeñas, los segmentos se concentran en torno a una única posición \(x_0\) de la recta real, y la intersección es ese único punto.
Las hipótesis son necesarias
Las hipótesis de que los intervalos sean cerrados y acotados no son superfluas: si falla aunque sea una sola de ellas, la tesis puede resultar falsa.
La acotación es esencial. Consideremos los intervalos no acotados
\[ I_n=[\,n,+\infty\,). \]
Son cerrados, no vacíos y encajados, pero su intersección es vacía:
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} [\,n,+\infty\,)=\varnothing, \]
ya que ningún número real es mayor o igual que todo natural \(n\).
El carácter cerrado es esencial. Consideremos los intervalos abiertos
\[ I_n=\left(0,\frac1n\right). \]
Son acotados, no vacíos y encajados, pero también en este caso
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty}\left(0,\frac1n\right)=\varnothing, \]
pues un eventual punto común \(x\) debería cumplir \(0\lt x\lt \displaystyle \frac1n\) para todo \(n\), lo cual es imposible, dado que \(\displaystyle \frac1n\to 0\).
Ejemplos de aplicación
Ejemplo 1. Consideremos los intervalos
\[ I_n=\left[0,\frac1n\right]. \]
Son cerrados, acotados, no vacíos y encajados, y la amplitud \(\displaystyle \frac1n\to 0\). Por consiguiente,
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty}\left[0,\frac1n\right]=\{0\}. \]
Ejemplo 2. Consideremos los intervalos
\[ I_n=\left[-\frac1n,\frac1n\right]. \]
También aquí la amplitud \(\displaystyle \frac2n\to 0\), y la intersección vale
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty}\left[-\frac1n,\displaystyle \frac1n\right]=\{0\}. \]
Ejemplo 3. Si, por el contrario, la amplitud no tiende a cero, la intersección es un intervalo no degenerado. Por ejemplo, con
\[ I_n=\left[-\frac1n,\,1+\frac1n\right] \]
se tiene \(x_0=\sup_n\!\left(-\displaystyle \frac1n\right)=0\) e \(y_0=\inf_n\!\left(1+\displaystyle \frac1n\right)=1\), de donde
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty}\left[-\frac1n,\,1+\frac1n\right]=[0,1]. \]
Relación con la completitud de \(\mathbb{R}\)
El teorema de los intervalos encajados es una consecuencia directa de la completitud de los números reales: en la demostración hemos utilizado de manera esencial la existencia del supremo \(x_0=\sup_n a_n\) (y del ínfimo \(y_0=\inf_n b_n\)).
Esta propiedad no se cumple en el cuerpo de los racionales. Construyamos, por ejemplo, una sucesión de intervalos racionales encajados que «aprisione» el número irracional \(\sqrt{2}\): sean \(a_n\) y \(b_n\) los truncamientos decimales por defecto y por exceso de \(\sqrt{2}\),
\[ a_1=1{,}4,\ a_2=1{,}41,\ a_3=1{,}414,\ \ldots \qquad b_n=a_n+10^{-n}. \]
Los conjuntos
\[ I_n=[a_n,b_n]\cap\mathbb Q. \]
Son encajados y tienen amplitud \(10^{-n}\to 0\). En \(\mathbb R\), la intersección de los intervalos \([a_n,b_n]\) es \(\{\sqrt2\}\); pero en \(\mathbb Q\), donde \(\sqrt2\notin\mathbb Q\), resulta
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n=\varnothing. \]
El teorema refleja, pues, la ausencia de «huecos» en la recta real.
Observación (caracterización de la completitud). Conviene precisar que la propiedad de los intervalos encajados, por sí sola, no equivale a la completitud: solo lo hace cuando se acompaña de la propiedad arquimediana de \(\mathbb{R}\). Dicho de otro modo, en un cuerpo ordenado arquimediano, la propiedad de los intervalos encajados equivale a la propiedad del supremo. Es precisamente la propiedad arquimediana (es decir, \(\displaystyle \frac1n\to 0\)) la que garantiza, en nuestros ejemplos, que la amplitud de los intervalos tienda efectivamente a cero.
Por esta razón, el teorema de los intervalos encajados constituye una herramienta fundamental en el análisis matemático e interviene en la demostración de numerosos resultados clásicos, entre ellos el teorema de Bolzano-Weierstrass y el teorema de Heine-Borel.