Los ejercicios que se proponen en esta sección se refieren a los conjuntos abiertos y los conjuntos cerrados de la recta real. En ellos pondremos en práctica las definiciones fundamentales y las principales propiedades estudiadas en la teoría.
Los ejercicios están ordenados según una dificultad creciente. En los primeros aplicaremos directamente las definiciones; más adelante analizaremos conjuntos más elaborados, sucesiones de puntos, familias infinitas de conjuntos y conjuntos definidos mediante ecuaciones o inecuaciones.
Ejercicio 1 — nivel ★☆☆☆☆
Determinar si el conjunto
\[ A=(2,5) \]
es abierto en \(\mathbb R\).
Resultado
El conjunto \(A=(2,5)\) es abierto en \(\mathbb R\).
Resolución
Para demostrar que \(A\) es abierto, hemos de comprobar que todo punto de \(A\) posee un entorno completamente contenido en \(A\).
Sea \(x_0\in(2,5)\). Entonces
\[ 2<x_0<5. \]
Las cantidades
\[ x_0-2 \qquad\text{y}\qquad 5-x_0 \]
son ambas positivas. Podemos por tanto elegir
\[ r=\frac12\min\{x_0-2,\;5-x_0\}. \]
Con esta elección se tiene \(r>0\) y el entorno \((x_0-r,x_0+r)\) permanece íntegramente comprendido entre \(2\) y \(5\). En efecto, el radio elegido es menor que la distancia de \(x_0\) a cada uno de los dos extremos.
Así pues,
\[ (x_0-r,x_0+r)\subseteq(2,5). \]
Como \(x_0\) era arbitrario, todo punto de \(A\) posee un entorno contenido en \(A\). Por consiguiente, \(A\) es abierto.
Ejercicio 2 — nivel ★☆☆☆☆
Determinar si el conjunto
\[ A=[2,5] \]
es abierto en \(\mathbb R\).
Resultado
El conjunto \(A=[2,5]\) no es abierto en \(\mathbb R\).
Resolución
Para que \(A\) fuese abierto, todo punto suyo debería poseer un entorno completamente contenido en \(A\). Consideremos el punto \(2\), que pertenece a \(A\).
Si \(r>0\), el entorno de centro \(2\) y radio \(r\) es
\[ (2-r,2+r). \]
Dicho entorno contiene puntos menores que \(2\). Por ejemplo,
\[ 2-\frac r2\in(2-r,2+r), \]
pero
\[ 2-\frac r2\notin[2,5]. \]
Por tanto, ningún entorno de \(2\) está contenido en \([2,5]\). En consecuencia, \(A\) no es abierto.
Ejercicio 3 — nivel ★☆☆☆☆
Determinar si el conjunto
\[ A=[-1,3] \]
es cerrado en \(\mathbb R\).
Resultado
El conjunto \(A=[-1,3]\) es cerrado en \(\mathbb R\).
Resolución
Un conjunto \(A\subseteq\mathbb R\) es cerrado si y solo si su complementario \(\mathbb R\setminus A\) es abierto.
Calculemos el complementario:
\[ \mathbb R\setminus[-1,3]=(-\infty,-1)\cup(3,+\infty). \]
Las semirrectas \((-\infty,-1)\) y \((3,+\infty)\) son abiertas en \(\mathbb R\). Además, la unión de conjuntos abiertos es abierta. Por tanto,
\[ \mathbb R\setminus[-1,3] \]
es abierto.
Puesto que el complementario de \(A\) es abierto, \(A\) es cerrado.
Ejercicio 4 — nivel ★☆☆☆☆
Determinar si el conjunto
\[ A=(0,1] \]
es abierto, cerrado, ambas cosas o ninguna de ellas.
Resultado
El conjunto \(A=(0,1]\) no es ni abierto ni cerrado.
Resolución
El conjunto \(A\) no es abierto. En efecto, \(1\in A\), pero ningún entorno de \(1\) está contenido en \(A\).
Para todo \(r>0\), el entorno
\[ (1-r,1+r) \]
contiene puntos mayores que \(1\), que no pertenecen a \((0,1]\). Por tanto, \(A\) no es abierto.
Estudiemos ahora si \(A\) es cerrado. El complementario es
\[ \mathbb R\setminus(0,1]=(-\infty,0]\cup(1,+\infty). \]
Este complementario no es abierto, porque el punto \(0\) le pertenece, pero todo entorno de \(0\) contiene puntos positivos que están en \((0,1]\).
Así pues, el complementario de \(A\) no es abierto y, en consecuencia, \(A\) no es cerrado.
Por consiguiente, \(A=(0,1]\) no es ni abierto ni cerrado.
Ejercicio 5 — nivel ★☆☆☆☆
Demostrar que el conjunto
\[ A=(-\infty,4) \]
es abierto en \(\mathbb R\).
Resultado
El conjunto \(A=(-\infty,4)\) es abierto en \(\mathbb R\).
Resolución
Sea \(x_0\in(-\infty,4)\). Entonces
\[ x_0<4. \]
La cantidad \(4-x_0\) es positiva. Elijamos
\[ r=\frac{4-x_0}{2}. \]
Entonces \(r>0\). Además,
\[ x_0+r=x_0+\frac{4-x_0}{2}=\frac{x_0+4}{2}<4. \]
Por tanto, todos los puntos del entorno \((x_0-r,x_0+r)\) son menores que \(4\). En consecuencia,
\[ (x_0-r,x_0+r)\subseteq(-\infty,4). \]
Como \(x_0\) era arbitrario, todo punto de \(A\) posee un entorno contenido en \(A\). Así pues, \(A\) es abierto.
Ejercicio 6 — nivel ★★☆☆☆
Determinar si el conjunto
\[ A=[3,+\infty) \]
es abierto, cerrado, ambas cosas o ninguna de ellas.
Resultado
El conjunto \(A=[3,+\infty)\) es cerrado pero no abierto.
Resolución
Calculemos el complementario de \(A\):
\[ \mathbb R\setminus[3,+\infty)=(-\infty,3). \]
La semirrecta \((-\infty,3)\) es abierta. En consecuencia, el complementario de \(A\) es abierto y, por tanto, \(A\) es cerrado.
Comprobemos ahora que \(A\) no es abierto. El punto \(3\) pertenece a \(A\), pero todo entorno de \(3\) contiene puntos menores que \(3\).
En efecto, para todo \(r>0\),
\[ 3-\frac r2\in(3-r,3+r), \]
mientras que
\[ 3-\frac r2\notin[3,+\infty). \]
Así pues, ningún entorno de \(3\) está contenido en \(A\). Por consiguiente, \(A\) no es abierto.
Ejercicio 7 — nivel ★★☆☆☆
Determinar si el conjunto
\[ A=\{1,2,5\} \]
es abierto, cerrado, ambas cosas o ninguna de ellas.
Resultado
El conjunto \(A=\{1,2,5\}\) es cerrado pero no abierto.
Resolución
Calculemos el complementario:
\[ \mathbb R\setminus A = (-\infty,1)\cup(1,2)\cup(2,5)\cup(5,+\infty). \]
Todos los intervalos que aparecen en la unión son abiertos. Como la unión de conjuntos abiertos es abierta, también \(\mathbb R\setminus A\) es abierto.
En consecuencia, \(A\) es cerrado.
El conjunto no es abierto. Consideremos el punto \(1\in A\). Cualquier entorno de \(1\) contiene infinitos números reales distintos de \(1\), \(2\) y \(5\).
Por ejemplo, si \(0<r<1\),
\[ 1+\frac r2\in(1-r,1+r), \]
pero
\[ 1+\frac r2\notin A. \]
Por tanto, ningún entorno de \(1\) está contenido en \(A\). Así pues, \(A\) no es abierto.
Ejercicio 8 — nivel ★★☆☆☆
Determinar si los conjuntos
\[ \varnothing \qquad\text{y}\qquad \mathbb R \]
son abiertos, cerrados, ambas cosas o ninguna de ellas.
Resultado
Los conjuntos \(\varnothing\) y \(\mathbb R\) son a la vez abiertos y cerrados.
Resolución
El conjunto \(\mathbb R\) es abierto porque, fijado un punto cualquiera \(x_0\in\mathbb R\), todo entorno
\[ (x_0-r,x_0+r) \]
con \(r>0\) está contenido en \(\mathbb R\).
El conjunto vacío \(\varnothing\) también es abierto. En efecto, la definición de conjunto abierto exige una propiedad para todos los puntos del conjunto; como \(\varnothing\) no contiene punto alguno, dicha condición se cumple de manera trivial.
Además,
\[ \mathbb R\setminus\mathbb R=\varnothing. \]
Como \(\varnothing\) es abierto, \(\mathbb R\) es cerrado.
Análogamente,
\[ \mathbb R\setminus\varnothing=\mathbb R, \]
y, como \(\mathbb R\) es abierto, \(\varnothing\) es cerrado.
Por consiguiente, \(\varnothing\) y \(\mathbb R\) son a la vez abiertos y cerrados.
Ejercicio 9 — nivel ★★☆☆☆
Determinar si el conjunto
\[ A=(-2,1)\cup(3,6) \]
es abierto en \(\mathbb R\).
Resultado
El conjunto \(A=(-2,1)\cup(3,6)\) es abierto.
Resolución
Los intervalos
\[ (-2,1) \qquad\text{y}\qquad (3,6) \]
son ambos abiertos.
Como la unión de conjuntos abiertos es de nuevo un conjunto abierto, se sigue de inmediato que
\[ (-2,1)\cup(3,6) \]
es abierto.
También podemos comprobarlo de forma directa. Si \(x_0\in A\), entonces \(x_0\) pertenece a uno de los dos intervalos.
Al ser dicho intervalo abierto, existe un entorno de \(x_0\) completamente contenido en él y, por tanto, contenido en \(A\).
Así pues, todo punto de \(A\) posee un entorno contenido en \(A\), de modo que \(A\) es abierto.
Ejercicio 10 — nivel ★★☆☆☆
Determinar si el conjunto
\[ A=(-1,4)\cap(2,7) \]
es abierto en \(\mathbb R\).
Resultado
El conjunto es abierto y coincide con el intervalo
\[ (2,4). \]
Resolución
Un número real pertenece a la intersección si y solo si pertenece simultáneamente a los dos intervalos.
Debe, por tanto, cumplir las condiciones
\[ -1<x<4 \]
y
\[ 2<x<7. \]
Combinando ambas condiciones obtenemos
\[ 2<x<4. \]
Por consiguiente,
\[ (-1,4)\cap(2,7)=(2,4). \]
El intervalo \((2,4)\) es abierto. Así pues, el conjunto dado es abierto.
Ejercicio 11 — nivel ★★☆☆☆
Determinar si el conjunto
\[ A=\mathbb R\setminus(1,4) \]
es abierto, cerrado, ambas cosas o ninguna de ellas.
Resultado
El conjunto \(A=\mathbb R\setminus(1,4)\) es cerrado pero no abierto.
Resolución
Escribamos el conjunto de forma explícita:
\[ A=\mathbb R\setminus(1,4)=(-\infty,1]\cup[4,+\infty). \]
Como \(A\) es el complementario del conjunto abierto \((1,4)\), se sigue que \(A\) es cerrado.
El conjunto no es abierto. En efecto, \(1\in A\), pero todo entorno de \(1\) contiene puntos mayores que \(1\) y menores que \(4\), es decir, puntos que no pertenecen a \(A\).
Así pues, ningún entorno de \(1\) está contenido en \(A\). Por consiguiente, \(A\) no es abierto.
Ejercicio 12 — nivel ★★★☆☆
Determinar si el conjunto
\[ A=(0,2)\setminus\{1\} \]
es abierto, cerrado, ambas cosas o ninguna de ellas.
Resultado
El conjunto \(A=(0,2)\setminus\{1\}\) es abierto pero no cerrado.
Resolución
Escribamos el conjunto como unión de intervalos:
\[ A=(0,1)\cup(1,2). \]
Los intervalos \((0,1)\) y \((1,2)\) son abiertos. Como la unión de conjuntos abiertos es abierta, \(A\) es abierto.
Veamos ahora que \(A\) no es cerrado. El punto \(1\) es un punto de acumulación de \(A\), porque todo entorno reducido de \(1\) contiene puntos de \(A\).
Sin embargo,
\[ 1\notin A. \]
Por tanto, \(A\) no contiene todos sus puntos de acumulación. Así pues, \(A\) no es cerrado.
Ejercicio 13 — nivel ★★★☆☆
Determinar si el conjunto
\[ \mathbb Q \]
es abierto o cerrado en \(\mathbb R\).
Resultado
El conjunto \(\mathbb Q\) no es ni abierto ni cerrado en \(\mathbb R\).
Resolución
El conjunto \(\mathbb Q\) no es abierto. En efecto, todo entorno de un número racional contiene números irracionales.
Por tanto, si \(q\in\mathbb Q\), no existe ningún \(r>0\) tal que
\[ (q-r,q+r)\subseteq\mathbb Q. \]
Así pues, \(\mathbb Q\) no es abierto.
El conjunto \(\mathbb Q\) no es cerrado. En efecto, todo número real es punto de acumulación de \(\mathbb Q\), porque todo entorno de cualquier número real contiene números racionales.
En particular, \(\sqrt2\) es un punto de acumulación de \(\mathbb Q\), pero
\[ \sqrt2\notin\mathbb Q. \]
Por tanto, \(\mathbb Q\) no contiene todos sus puntos de acumulación. Así pues, \(\mathbb Q\) no es cerrado.
Ejercicio 14 — nivel ★★★☆☆
Determinar si el conjunto
\[ \mathbb R\setminus\mathbb Q \]
es abierto o cerrado en \(\mathbb R\).
Resultado
El conjunto \(\mathbb R\setminus\mathbb Q\) no es ni abierto ni cerrado en \(\mathbb R\).
Resolución
El conjunto de los irracionales no es abierto. En efecto, todo entorno de un número irracional contiene números racionales.
Por tanto, ningún entorno de un punto irracional está completamente contenido en \(\mathbb R\setminus\mathbb Q\). Así pues, \(\mathbb R\setminus\mathbb Q\) no es abierto.
El conjunto de los irracionales no es cerrado. En efecto, todo número racional es punto de acumulación de \(\mathbb R\setminus\mathbb Q\), porque todo entorno de un número racional contiene números irracionales.
En particular, \(0\) es un punto de acumulación de \(\mathbb R\setminus\mathbb Q\), pero
\[ 0\notin\mathbb R\setminus\mathbb Q. \]
Por tanto, el conjunto no contiene todos sus puntos de acumulación. Así pues, no es cerrado.
Ejercicio 15 — nivel ★★★☆☆
Determinar si el conjunto
\[ A=\left\{\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\ge1\right\} \]
es abierto o cerrado en \(\mathbb R\).
Resultado
El conjunto \(A\) no es ni abierto ni cerrado.
Resolución
El conjunto es
\[ A=\left\{1,\frac12,\frac13,\frac14,\ldots\right\}. \]
No es abierto. En efecto, ningún entorno de un punto de \(A\) está contenido en \(A\), porque todo entorno contiene infinitos números reales que no pertenecen a \(A\).
Estudiemos ahora si \(A\) es cerrado. Observemos que
\[ \frac1n\to0. \]
Por tanto, \(0\) es un punto de acumulación de \(A\). En efecto, para todo \(r>0\) existe \(n\in\mathbb N\) tal que
\[ 0<\frac1n<r, \]
y, por tanto,
\[ \frac1n\in(-r,r)\setminus\{0\}. \]
Sin embargo,
\[ 0\notin A. \]
Por tanto, \(A\) no contiene todos sus puntos de acumulación. Así pues, \(A\) no es cerrado.
Ejercicio 16 — nivel ★★★☆☆
Determinar si el conjunto
\[ A=\{0\}\cup\left\{\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\ge1\right\} \]
es abierto o cerrado en \(\mathbb R\).
Resultado
El conjunto \(A\) es cerrado pero no abierto.
Resolución
El conjunto puede escribirse en la forma
\[ A=\left\{0,1,\frac12,\frac13,\frac14,\ldots\right\}. \]
No es abierto. En efecto, ningún entorno de \(0\) está contenido en \(A\), porque todo entorno de \(0\) contiene infinitos números reales que no pertenecen a \(A\).
Estudiemos ahora si \(A\) es cerrado. La sucesión
\[ \frac1n \]
converge a \(0\). Así pues, \(0\) es un punto de acumulación de \(A\).
Además, \(0\in A\).
Los puntos de la forma \(\displaystyle \frac1n\), en cambio, son puntos aislados del conjunto. En efecto, fijado \(n\), el punto \(\displaystyle \frac1n\) puede separarse de los demás elementos de \(A\) mediante un entorno suficientemente pequeño.
Los puntos de la forma \(\displaystyle \frac1n\) son aislados y cualquier número real distinto de \(0\) y de los elementos de la sucesión posee un entorno que no contiene puntos de \(A\). Por tanto, el único punto de acumulación de \(A\) es \(0\), y dicho punto pertenece a \(A\). Así pues, \(A\) contiene todos sus puntos de acumulación.
En consecuencia, \(A\) es cerrado.
Ejercicio 17 — nivel ★★★★☆
Sea
\[ A_n=\left(-\frac1n,\frac1n\right), \qquad n\in\mathbb N,\ n\ge1. \]
Estudiar el conjunto
\[ A=\bigcap_{n=1}^{+\infty}A_n \]
y determinar si es abierto.
Resultado
Se tiene
\[ A=\{0\}. \]
El conjunto \(A\) no es abierto.
Resolución
Cada conjunto
\[ A_n=\left(-\frac1n,\frac1n\right) \]
es abierto en \(\mathbb R\). No obstante, hemos de estudiar su intersección:
\[ A=\bigcap_{n=1}^{+\infty}\left(-\frac1n,\frac1n\right). \]
Observemos en primer lugar que \(0\in A_n\) para todo \(n\in\mathbb N\). Por tanto,
\[ 0\in A. \]
Veamos ahora que ningún otro punto pertenece a \(A\). Sea \(x\neq0\). Entonces \(|x|>0\). Por la propiedad arquimediana, existe \(n\in\mathbb N\) tal que
\[ \frac1n<|x|. \]
De ahí se sigue que
\[ x\notin\left(-\frac1n,\frac1n\right). \]
Por tanto, \(x\notin A\).
Hemos demostrado que el único punto que pertenece a todos los intervalos \(A_n\) es \(0\). Por consiguiente,
\[ A=\{0\}. \]
El conjunto \(\{0\}\) no es abierto, porque ningún entorno de \(0\) está contenido en \(\{0\}\). En efecto, todo entorno de \(0\) contiene puntos reales distintos de \(0\).
Así pues, \(A\) no es abierto.
Ejercicio 18 — nivel ★★★★☆
Sea
\[ A_n=\left[\frac1n,1\right], \qquad n\in\mathbb N,\ n\ge1. \]
Estudiar el conjunto
\[ A=\bigcup_{n=1}^{+\infty}A_n \]
y determinar si es cerrado.
Resultado
Se tiene
\[ A=(0,1]. \]
El conjunto \(A\) no es cerrado.
Resolución
Cada conjunto
\[ A_n=\left[\frac1n,1\right] \]
es cerrado en \(\mathbb R\). Estudiemos, sin embargo, su unión:
\[ A=\bigcup_{n=1}^{+\infty}\left[\frac1n,1\right]. \]
Demostremos que
\[ A=(0,1]. \]
Si \(x\in A\), entonces existe \(n\in\mathbb N\) tal que
\[ x\in\left[\frac1n,1\right]. \]
Por tanto,
\[ \frac1n\le x\le1. \]
En particular, \(x>0\). Así pues,
\[ x\in(0,1]. \]
Hemos probado, entonces, que \(A\subseteq(0,1]\).
Recíprocamente, sea \(x\in(0,1]\). Como \(x>0\), por la propiedad arquimediana existe \(n\in\mathbb N\) tal que
\[ \frac1n\le x. \]
Y, al ser también \(x\le1\), obtenemos
\[ x\in\left[\frac1n,1\right]. \]
Por tanto, \(x\in A\). En consecuencia,
\[ (0,1]\subseteq A. \]
De las dos inclusiones se sigue que
\[ A=(0,1]. \]
El conjunto \((0,1]\) no es cerrado, porque \(0\) es un punto de acumulación de \(A\), pero
\[ 0\notin A. \]
Por tanto, \(A\) no contiene todos sus puntos de acumulación. Así pues, \(A\) no es cerrado.
Ejercicio 19 — nivel ★★★★☆
Determinar si el conjunto
\[ A=\{x\in\mathbb R:x^2<4\} \]
es abierto, cerrado, ambas cosas o ninguna de ellas.
Resultado
El conjunto \(A\) es abierto pero no cerrado.
Resolución
Resolvamos la inecuación que define a \(A\):
\[ x^2<4. \]
Como \(4=2^2\), la inecuación equivale a
\[ -2<x<2. \]
Por tanto,
\[ A=(-2,2). \]
El intervalo \((-2,2)\) es abierto en \(\mathbb R\). Así pues, \(A\) es abierto.
El conjunto no es cerrado. En efecto, los puntos \(-2\) y \(2\) son puntos de acumulación de \(A\), pero no pertenecen a \(A\).
Más concretamente,
\[ -2\notin A \qquad\text{y}\qquad 2\notin A. \]
Por tanto, \(A\) no contiene todos sus puntos de acumulación. Así pues, \(A\) no es cerrado.
Ejercicio 20 — nivel ★★★★★
Determinar si el conjunto
\[ A=\{x\in\mathbb R:0<|x-2|\le3\} \]
es abierto, cerrado, ambas cosas o ninguna de ellas.
Resultado
El conjunto \(A\) no es ni abierto ni cerrado.
Resolución
La condición
\[ 0<|x-2|\le3 \]
significa que la distancia de \(x\) a \(2\) es positiva y no supera \(3\).
Estudiemos primero la condición
\[ |x-2|\le3. \]
Esta equivale a
\[ -3\le x-2\le3. \]
Sumando \(2\) a los tres miembros obtenemos
\[ -1\le x\le5. \]
La condición
\[ 0<|x-2| \]
equivale, por su parte, a \(x\neq2\). Por consiguiente,
\[ A=[-1,5]\setminus\{2\}. \]
Podemos entonces escribir
\[ A=[-1,2)\cup(2,5]. \]
El conjunto no es abierto, porque \(-1\in A\), pero ningún entorno de \(-1\) está contenido en \(A\). En efecto, todo entorno de \(-1\) contiene puntos menores que \(-1\), que no pertenecen a \(A\).
El conjunto no es cerrado, porque \(2\) es un punto de acumulación de \(A\), pero
\[ 2\notin A. \]
En efecto, todo entorno reducido de \(2\) contiene puntos de \(A\), tanto a la izquierda como a la derecha de \(2\).
Por tanto, \(A\) no contiene todos sus puntos de acumulación. Así pues, \(A\) no es ni abierto ni cerrado.