El teorema de Bolzano-Weierstrass establece que toda sucesión real acotada admite al menos una subsucesión convergente.
En los ejercicios que siguen aplicaremos este resultado a sucesiones acotadas y no acotadas, ejemplos oscilantes, puntos de acumulación y propiedades de las subsucesiones.
Ejercicio 1 — nivel ★☆☆☆☆
Determinar si la sucesión
\[ x_n=(-1)^n \]
satisface las hipótesis del teorema de Bolzano-Weierstrass y, en caso afirmativo, hallar dos subsucesiones convergentes.
Resultado
La sucesión está acotada. Dos subsucesiones convergentes son
\[ x_{2k}=1 \longrightarrow 1 \]
y
\[ x_{2k-1}=-1 \longrightarrow -1. \]
Resolución
La sucesión toma de forma alternada los valores \(1\) y \(-1\). En efecto, si \(n\) es par, entonces
\[ x_n=(-1)^n=1, \]
mientras que, si \(n\) es impar,
\[ x_n=(-1)^n=-1. \]
Así pues, todos los términos de la sucesión están en el intervalo cerrado y acotado \([-1,1]\). En particular,
\[ -1\leq x_n\leq 1 \]
para todo \(n\in\mathbb N\). La sucesión es, por tanto, acotada.
Por el teorema de Bolzano-Weierstrass, debe admitir al menos una subsucesión convergente. En este caso podemos exhibir dos de manera explícita.
Tomando los índices pares, obtenemos
\[ x_{2k}=(-1)^{2k}=1. \]
La subsucesión \((x_{2k})\) es constante, de modo que converge a \(1\).
Tomando, en cambio, los índices impares, obtenemos
\[ x_{2k-1}=(-1)^{2k-1}=-1. \]
Esta subsucesión también es constante, de modo que converge a \(-1\).
Ejercicio 2 — nivel ★☆☆☆☆
Determinar si la sucesión
\[ x_n=\frac{1}{n} \]
admite una subsucesión convergente.
Resultado
Sí. La sucesión está acotada y converge ella misma a \(0\). En consecuencia, cualquier subsucesión suya converge a \(0\).
Resolución
Para todo \(n\in\mathbb N\), con \(n\geq 1\), se tiene
\[ 0<\frac{1}{n}\leq 1. \]
Por tanto,
\[ x_n\in(0,1] \]
para todo \(n\geq 1\). La sucesión está, pues, acotada.
Por el teorema de Bolzano-Weierstrass, toda sucesión real acotada admite al menos una subsucesión convergente. En este caso puede decirse algo más: la sucesión entera converge.
En efecto,
\[ \frac{1}{n}\longrightarrow 0. \]
De ello se sigue que, si \((x_{n_k})\) es una subsucesión cualquiera, entonces
\[ x_{n_k}=\frac{1}{n_k}. \]
Como \(n_k\to+\infty\), se tiene
\[ \frac{1}{n_k}\longrightarrow 0. \]
Por tanto, toda subsucesión converge al mismo límite \(0\).
Ejercicio 3 — nivel ★☆☆☆☆
Determinar si la sucesión
\[ x_n=n \]
admite una subsucesión convergente en \(\mathbb R\).
Resultado
No. La sucesión no está acotada y ninguna subsucesión suya converge a un número real.
Resolución
La sucesión viene dada por
\[ x_n=n. \]
No está acotada superiormente, ya que, dado cualquier número real \(M\), siempre existe un índice \(n\) tal que
\[ n>M. \]
Por consiguiente, no existe ningún intervalo cerrado y acotado \([a,b]\) que contenga todos los términos de la sucesión.
Consideremos ahora una subsucesión cualquiera \((x_{n_k})\). Tiene la forma
\[ x_{n_k}=n_k, \]
donde
\[ n_1<n_2<n_3<\cdots. \]
Como los índices \(n_k\) forman una sucesión estrictamente creciente de números naturales, necesariamente
\[ n_k\longrightarrow+\infty. \]
Por tanto,
\[ x_{n_k}=n_k\longrightarrow+\infty. \]
Así pues, ninguna subsucesión puede converger a un número real. Esto muestra que la hipótesis de acotación en el teorema de Bolzano-Weierstrass es esencial.
Ejercicio 4 — nivel ★☆☆☆☆
Considérese la sucesión
\[ x_n=\frac{(-1)^n}{n}. \]
Determinar si está acotada y hallar el límite de una subsucesión convergente suya.
Resultado
La sucesión está acotada y converge a \(0\). Por tanto, cualquier subsucesión suya converge a \(0\).
Resolución
Para todo \(n\geq 1\) se tiene
\[ |x_n|=\left|\frac{(-1)^n}{n}\right|=\frac{1}{n}\leq 1. \]
Por tanto,
\[ -1\leq x_n\leq 1 \]
para todo \(n\geq 1\). La sucesión está acotada.
Por Bolzano-Weierstrass debe admitir al menos una subsucesión convergente. En realidad, también en este caso converge la sucesión completa.
En efecto,
\[ |x_n-0|=|x_n|=\frac{1}{n}\longrightarrow 0. \]
Por tanto,
\[ x_n\longrightarrow 0. \]
En consecuencia, para toda sucesión estrictamente creciente de índices \((n_k)\), se tiene
\[ x_{n_k}=\frac{(-1)^{n_k}}{n_k}\longrightarrow 0. \]
Ejercicio 5 — nivel ★☆☆☆☆
Sea \((x_n)\) una sucesión tal que
\[ 2\leq x_n\leq 5 \]
para todo \(n\in\mathbb N\). Demostrar que \((x_n)\) admite una subsucesión convergente.
Resultado
La sucesión está acotada. Por el teorema de Bolzano-Weierstrass admite al menos una subsucesión convergente.
Resolución
La hipótesis
\[ 2\leq x_n\leq 5 \]
para todo \(n\in\mathbb N\) significa que todos los términos de la sucesión están en el mismo intervalo cerrado y acotado:
\[ x_n\in[2,5]. \]
Por tanto, la sucesión está acotada inferiormente por \(2\) y superiormente por \(5\).
Como \((x_n)\) es una sucesión real acotada, podemos aplicar directamente el teorema de Bolzano-Weierstrass.
Existen, por tanto, una sucesión estrictamente creciente de índices
\[ n_1<n_2<n_3<\cdots \]
y un número real \(x_0\) tales que
\[ x_{n_k}\longrightarrow x_0. \]
Además, como todos los términos de la subsucesión están en \([2,5]\), el límite ha de pertenecer al mismo intervalo:
\[ x_0\in[2,5]. \]
Ejercicio 6 — nivel ★★☆☆☆
Considérese la sucesión
\[ x_n=\frac{(-1)^n n}{n+1}. \]
Hallar dos subsucesiones convergentes y sus respectivos límites.
Resultado
Se tiene
\[ x_{2k}=\frac{2k}{2k+1}\longrightarrow 1 \]
y
\[ x_{2k-1}=-\frac{2k-1}{2k}\longrightarrow -1. \]
Resolución
La sucesión es
\[ x_n=\frac{(-1)^n n}{n+1}. \]
Como
\[ \left|x_n\right|=\left|\frac{(-1)^n n}{n+1}\right|=\frac{n}{n+1}<1, \]
se tiene
\[ -1<x_n<1 \]
para todo \(n\in\mathbb N\). La sucesión está, por tanto, acotada.
Estudiamos ahora por separado los índices pares y los impares.
Si \(n=2k\), entonces
\[ x_{2k}=\frac{(-1)^{2k}\,2k}{2k+1}=\frac{2k}{2k+1}. \]
Como
\[ \frac{2k}{2k+1}=\frac{1}{1+\frac{1}{2k}}, \]
se sigue que
\[ x_{2k}\longrightarrow 1. \]
Si, en cambio, \(n=2k-1\), entonces
\[ x_{2k-1} = \frac{(-1)^{2k-1}(2k-1)}{2k} = -\frac{2k-1}{2k}. \]
Como
\[ \frac{2k-1}{2k}=1-\frac{1}{2k}\longrightarrow 1, \]
obtenemos
\[ x_{2k-1}\longrightarrow -1. \]
Por tanto, la sucesión no converge, pero posee al menos dos subsucesiones convergentes, una con límite \(1\) y otra con límite \(-1\).
Ejercicio 7 — nivel ★★☆☆☆
Considérese la sucesión
\[ x_n=\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right). \]
Demostrar que admite subsucesiones convergentes y hallar todos los valores límite que se obtienen de las clases de índices módulo \(4\).
Resultado
Los valores de la sucesión se repiten de forma periódica:
\[ 1,\ 0,\ -1,\ 0,\ 1,\ 0,\ -1,\ 0,\ldots \]
Las subsucesiones constantes convergen, respectivamente, a \(1\), \(0\) y \(-1\).
Resolución
Calculamos los valores de la sucesión distinguiendo los índices según el resto de la división por \(4\).
Si \(n=4k+1\), entonces
\[ x_{4k+1}=\sin\left(\frac{(4k+1)\pi}{2}\right) = \sin\left(2k\pi+\frac{\pi}{2}\right)=1. \]
Si \(n=4k+2\), entonces
\[ x_{4k+2}=\sin\left(2k\pi+\pi\right)=0. \]
Si \(n=4k+3\), entonces
\[ x_{4k+3}=\sin\left(2k\pi+\frac{3\pi}{2}\right)=-1. \]
Por último, si \(n=4k\), entonces
\[ x_{4k}=\sin(2k\pi)=0. \]
Por tanto, la sucesión toma únicamente los valores \(-1\), \(0\) y \(1\), y está ciertamente acotada.
Por Bolzano-Weierstrass admite al menos una subsucesión convergente. De hecho, podemos señalar varias de inmediato:
\[ x_{4k+1}=1\longrightarrow 1, \]
\[ x_{4k+3}=-1\longrightarrow -1, \]
y
\[ x_{4k}=0\longrightarrow 0. \]
Cada subsucesión constante converge al valor constante que toma.
Ejercicio 8 — nivel ★★☆☆☆
Sea \((x_n)\) una sucesión real acotada. Demostrar que toda subsucesión \((x_{n_k})\) también está acotada.
Resultado
Toda subsucesión de una sucesión acotada está acotada.
Resolución
Como \((x_n)\) está acotada, existen dos números reales \(a\) y \(b\), con \(a\leq b\), tales que
\[ a\leq x_n\leq b \]
para todo \(n\in\mathbb N\).
Sea ahora \((x_{n_k})\) una subsucesión de \((x_n)\). Por definición, cada término de la subsucesión es también un término de la sucesión original.
En efecto, \(n_k\in\mathbb N\) para todo \(k\), de modo que la acotación de \((x_n)\) implica que
\[ a\leq x_{n_k}\leq b \]
para todo \(k\in\mathbb N\).
Por tanto, todos los términos de la subsucesión están en el mismo intervalo cerrado y acotado \([a,b]\).
Así pues, \((x_{n_k})\) está acotada.
Ejercicio 9 — nivel ★★☆☆☆
Determinar si la sucesión
\[ x_n=(-1)^n+\frac{1}{n} \]
admite subsucesiones convergentes y hallar dos de ellas.
Resultado
Se tiene
\[ x_{2k}=1+\frac{1}{2k}\longrightarrow 1 \]
y
\[ x_{2k-1}=-1+\frac{1}{2k-1}\longrightarrow -1. \]
Resolución
La sucesión viene dada por
\[ x_n=(-1)^n+\frac{1}{n}. \]
Como
\[ -1\leq (-1)^n\leq 1 \]
y
\[ 0<\frac{1}{n}\leq 1, \]
obtenemos
\[ -1<x_n\leq 2. \]
La sucesión está, por tanto, acotada. Por el teorema de Bolzano-Weierstrass admite al menos una subsucesión convergente.
Hallemos dos de ellas de manera explícita. Si \(n=2k\), entonces
\[ x_{2k}=(-1)^{2k}+\frac{1}{2k} = 1+\frac{1}{2k}. \]
Como
\[ \frac{1}{2k}\longrightarrow 0, \]
se sigue que
\[ x_{2k}\longrightarrow 1. \]
Si, en cambio, \(n=2k-1\), entonces
\[ x_{2k-1}=(-1)^{2k-1}+\frac{1}{2k-1} = -1+\frac{1}{2k-1}. \]
Como
\[ \frac{1}{2k-1}\longrightarrow 0, \]
obtenemos
\[ x_{2k-1}\longrightarrow -1. \]
Ejercicio 10 — nivel ★★☆☆☆
Sea \((x_n)\) una sucesión real tal que \(x_n\in[0,1]\) para todo \(n\in\mathbb N\). Demostrar que existe una subsucesión convergente cuyo límite pertenece a \([0,1]\).
Resultado
Existe una subsucesión \((x_{n_k})\) tal que
\[ x_{n_k}\longrightarrow x_0 \]
con \(x_0\in[0,1]\).
Resolución
La hipótesis \(x_n\in[0,1]\) para todo \(n\in\mathbb N\) significa que
\[ 0\leq x_n\leq 1 \]
para todo \(n\in\mathbb N\). Por tanto, la sucesión está acotada.
Por el teorema de Bolzano-Weierstrass, existen una sucesión estrictamente creciente de índices
\[ n_1<n_2<n_3<\cdots \]
y un número real \(x_0\) tales que
\[ x_{n_k}\longrightarrow x_0. \]
Queda por comprobar que el límite \(x_0\) pertenece a \([0,1]\).
En efecto, cada término de la subsucesión cumple
\[ 0\leq x_{n_k}\leq 1. \]
Pasando al límite en las desigualdades, se obtiene
\[ 0\leq x_0\leq 1. \]
Por tanto,
\[ x_0\in[0,1]. \]
Ejercicio 11 — nivel ★★★☆☆
Demostrar que, si una sucesión real acotada toma únicamente un número finito de valores, entonces posee una subsucesión constante.
Resultado
Al menos uno de los valores que toma la sucesión aparece infinitas veces. Eligiendo los índices correspondientes, se obtiene una subsucesión constante y, por tanto, convergente.
Resolución
Supongamos que la sucesión \((x_n)\) toma únicamente los valores
\[ a_1,a_2,\ldots,a_m. \]
Esto significa que, para todo \(n\in\mathbb N\),
\[ x_n\in\{a_1,a_2,\ldots,a_m\}. \]
Como la sucesión tiene infinitos términos pero solo puede tomar un número finito de valores, al menos uno de esos valores ha de tomarse infinitas veces.
En efecto, si cada uno de los valores \(a_1,\ldots,a_m\) se tomara solo un número finito de veces, la sucesión tendría en total únicamente un número finito de términos, lo cual es absurdo.
Existe, por tanto, un valor \(a_j\) tal que
\[ x_n=a_j \]
para infinitos índices \(n\).
Podemos entonces elegir una sucesión estrictamente creciente de índices
\[ n_1<n_2<n_3<\cdots \]
tales que
\[ x_{n_k}=a_j \]
para todo \(k\in\mathbb N\).
La subsucesión \((x_{n_k})\) es, por tanto, constante:
\[ x_{n_k}=a_j. \]
En consecuencia,
\[ x_{n_k}\longrightarrow a_j. \]
Ejercicio 12 — nivel ★★★☆☆
Sea \((x_n)\) una sucesión convergente a \(L\). Demostrar que toda subsucesión de \((x_n)\) converge también a \(L\).
Resultado
Toda subsucesión de una sucesión convergente converge al mismo límite que la sucesión original.
Resolución
Supongamos que
\[ x_n\longrightarrow L. \]
Por la definición de límite, para todo \(\varepsilon>0\) existe \(N\in\mathbb N\) tal que, para todo \(n\geq N\),
\[ |x_n-L|<\varepsilon. \]
Sea ahora \((x_{n_k})\) una subsucesión de \((x_n)\). Los índices \(n_k\) son estrictamente crecientes, de modo que
\[ n_k\longrightarrow+\infty. \]
En particular, existe \(K\in\mathbb N\) tal que, para todo \(k\geq K\),
\[ n_k\geq N. \]
En consecuencia, para todo \(k\geq K\), se tiene
\[ |x_{n_k}-L|<\varepsilon. \]
Esto demuestra que
\[ x_{n_k}\longrightarrow L. \]
Así pues, toda subsucesión de una sucesión convergente converge al mismo límite.
Ejercicio 13 — nivel ★★★☆☆
Demostrar que la sucesión
\[ x_n=\cos(n\pi) \]
no converge, pero admite subsucesiones convergentes.
Resultado
Como
\[ \cos(n\pi)=(-1)^n, \]
la sucesión no converge. Sin embargo,
\[ x_{2k}=1\longrightarrow 1 \]
y
\[ x_{2k-1}=-1\longrightarrow -1. \]
Resolución
Recordemos que, para todo \(n\in\mathbb N\),
\[ \cos(n\pi)=(-1)^n. \]
Por tanto, la sucesión es
\[ x_n=(-1)^n. \]
Toma de forma alternada los valores \(1\) y \(-1\). En particular, está acotada, ya que
\[ -1\leq x_n\leq 1. \]
Por el teorema de Bolzano-Weierstrass debe admitir al menos una subsucesión convergente.
Mostramos, no obstante, que la sucesión entera no converge. Si convergiera a un límite \(L\), entonces toda subsucesión suya debería converger al mismo límite \(L\).
Pero, tomando los índices pares, se tiene
\[ x_{2k}=\cos(2k\pi)=1, \]
de modo que
\[ x_{2k}\longrightarrow 1. \]
Tomando, en cambio, los índices impares, se tiene
\[ x_{2k-1}=\cos((2k-1)\pi)=-1, \]
de modo que
\[ x_{2k-1}\longrightarrow -1. \]
Como una sucesión convergente no puede tener dos subsucesiones que converjan a límites distintos, la sucesión \((x_n)\) no converge.
Ejercicio 14 — nivel ★★★☆☆
Sea \((x_n)\) una sucesión real acotada. Demostrar que existen un número real \(L\) y una subsucesión \((x_{n_k})\) tales que
\[ |x_{n_k}-L|<\frac{1}{k} \]
para todo \(k\in\mathbb N\).
Resultado
Por Bolzano-Weierstrass existe una subsucesión convergente \(x_{n_k}\to L\). De la convergencia se sigue que, pasando si es preciso a una nueva subsucesión, puede conseguirse
\[ |x_{n_k}-L|<\frac{1}{k}. \]
Resolución
Como \((x_n)\) está acotada, por el teorema de Bolzano-Weierstrass existen una subsucesión \((x_{m_k})\) y un número real \(L\) tales que
\[ x_{m_k}\longrightarrow L. \]
Por la definición de convergencia, para todo \(\varepsilon>0\) existe un índice a partir del cual todos los términos de la subsucesión distan de \(L\) menos de \(\varepsilon\).
Queremos ahora construir una subsucesión aún más precisa, imponiendo la estimación
\[ |x_{n_k}-L|<\frac{1}{k}. \]
Como \(x_{m_j}\to L\), para \(\varepsilon=1\) existe un índice \(j_1\) tal que
\[ |x_{m_{j_1}}-L|<1. \]
Para \(\varepsilon=\displaystyle\frac12\), existe un índice \(j_2>j_1\) tal que
\[ |x_{m_{j_2}}-L|<\frac12. \]
Procediendo por inducción, una vez elegido \(j_k\), podemos elegir \(j_{k+1}>j_k\) tal que
\[ |x_{m_{j_{k+1}}}-L|<\frac{1}{k+1}. \]
Definimos ahora
\[ n_k=m_{j_k}. \]
Obtenemos una subsucesión \((x_{n_k})\) tal que
\[ |x_{n_k}-L|<\frac{1}{k} \]
para todo \(k\in\mathbb N\). Esto concluye la demostración.
Ejercicio 15 — nivel ★★★☆☆
Sea \((x_n)\) una sucesión real acotada y supongamos que toda subsucesión convergente suya tiene límite \(L\). Demostrar que \(x_n\to L\).
Resultado
Si una sucesión acotada no convergiera a \(L\), se podría extraer una subsucesión que se mantiene alejada de \(L\). Aplicando Bolzano-Weierstrass a esa subsucesión, se obtendría una subsucesión convergente con límite distinto de \(L\), en contra de la hipótesis.
Resolución
Queremos demostrar que
\[ x_n\longrightarrow L. \]
Razonamos por reducción al absurdo. Supongamos que \((x_n)\) no converge a \(L\).
Entonces existe un número \(\varepsilon_0>0\) tal que, para todo \(N\in\mathbb N\), existe \(n\geq N\) con
\[ |x_n-L|\geq \varepsilon_0. \]
Esto significa que se pueden hallar infinitos términos de la sucesión que se mantienen a distancia al menos \(\varepsilon_0\) de \(L\).
Construimos entonces una subsucesión \((x_{n_k})\) tal que
\[ |x_{n_k}-L|\geq \varepsilon_0 \]
para todo \(k\in\mathbb N\).
Como \((x_n)\) está acotada, la subsucesión \((x_{n_k})\) también está acotada.
Por el teorema de Bolzano-Weierstrass, \((x_{n_k})\) admite una subsucesión convergente. La denotamos por
\[ x_{n_{k_j}}\longrightarrow M. \]
Por hipótesis, toda subsucesión convergente de \((x_n)\) debe tener límite \(L\). Así pues, debería ser
\[ M=L. \]
Sin embargo, como para todo \(j\) se tiene
\[ |x_{n_{k_j}}-L|\geq \varepsilon_0, \]
pasando al límite obtenemos
\[ |M-L|\geq \varepsilon_0. \]
En particular, \(M\neq L\), una contradicción.
Por tanto, el supuesto de partida era falso y, en consecuencia,
\[ x_n\longrightarrow L. \]
Ejercicio 16 — nivel ★★★★☆
Demostrar que todo conjunto infinito y acotado \(A\subseteq\mathbb R\) posee al menos un punto de acumulación.
Resultado
Se elige una sucesión de elementos distintos de \(A\). Está acotada, de modo que, por Bolzano-Weierstrass, admite una subsucesión convergente. El límite de esa subsucesión es un punto de acumulación de \(A\).
Resolución
Sea \(A\subseteq\mathbb R\) un conjunto infinito y acotado.
Como \(A\) es infinito, podemos elegir una sucesión de elementos distintos de \(A\):
\[ x_1,x_2,x_3,\ldots \]
con
\[ x_n\in A \]
para todo \(n\), y
\[ x_n\neq x_m \]
si \(n\neq m\).
Como \(A\) está acotado, existen \(a,b\in\mathbb R\), con \(a\leq b\), tales que
\[ A\subseteq [a,b]. \]
En consecuencia,
\[ x_n\in[a,b] \]
para todo \(n\). La sucesión \((x_n)\) está, por tanto, acotada.
Por el teorema de Bolzano-Weierstrass, existen una subsucesión \((x_{n_k})\) y un número real \(x_0\) tales que
\[ x_{n_k}\longrightarrow x_0. \]
Demostremos que \(x_0\) es un punto de acumulación de \(A\).
Sea \(r>0\). Como \(x_{n_k}\to x_0\), existe \(K\in\mathbb N\) tal que, para todo \(k\geq K\),
\[ |x_{n_k}-x_0|<r. \]
Por tanto,
\[ x_{n_k}\in(x_0-r,x_0+r) \]
para todo \(k\geq K\).
Como los términos \(x_{n_k}\) son elementos distintos de \(A\), todo entorno de \(x_0\) contiene infinitos puntos de \(A\). En particular, contiene puntos de \(A\) distintos de \(x_0\).
Así pues, \(x_0\) es un punto de acumulación de \(A\).
Ejercicio 17 — nivel ★★★★☆
Demostrar, usando el teorema de Bolzano-Weierstrass, que una sucesión real acotada no puede tener como único comportamiento el de «escaparse al infinito».
Resultado
Una sucesión acotada posee siempre una subsucesión convergente a un número real. Por tanto, no todas sus subsucesiones pueden divergir a \(+\infty\) o a \(-\infty\).
Resolución
Decir que una sucesión «se escapa al infinito» significa, de forma precisa, que sus términos se hacen arbitrariamente grandes en valor absoluto.
Pero si \((x_n)\) está acotada, existe \(M>0\) tal que
\[ |x_n|\leq M \]
para todo \(n\in\mathbb N\).
Por tanto, todos los términos de la sucesión están en el intervalo cerrado y acotado
\[ [-M,M]. \]
Por el teorema de Bolzano-Weierstrass, existen una subsucesión \((x_{n_k})\) y un número real \(L\) tales que
\[ x_{n_k}\longrightarrow L. \]
Esta subsucesión no se escapa al infinito, ya que converge a un número real.
Así pues, una sucesión real acotada puede oscilar, puede no converger en su conjunto y puede tener varios valores límite, pero no puede carecer por completo de comportamiento convergente en su interior.
El teorema de Bolzano-Weierstrass formaliza exactamente este hecho: dentro de toda sucesión real acotada siempre se puede extraer una subsucesión convergente.
Ejercicio 18 — nivel ★★★★☆
Construir explícitamente, mediante intervalos encajados, una subsucesión convergente de una sucesión \((x_n)\) contenida en \([0,1]\).
Resultado
Dividiendo repetidamente \([0,1]\) en dos mitades y eligiendo cada vez un subintervalo que contenga infinitos términos de la sucesión, se obtiene una familia de intervalos encajados cuya longitud tiende a \(0\). Su único punto común es el límite de la subsucesión así construida.
Resolución
Supongamos que
\[ x_n\in[0,1] \]
para todo \(n\in\mathbb N\).
Ponemos
\[ I_1=[0,1]. \]
El intervalo \(I_1\) contiene todos los términos de la sucesión y, por tanto, contiene infinitos de ellos.
Dividimos \(I_1\) en dos intervalos cerrados:
\[ \left[0,\frac12\right], \qquad \left[\frac12,1\right]. \]
Al menos uno de los dos contiene infinitos términos de la sucesión. Lo elegimos y lo llamamos \(I_2\).
Repetimos el procedimiento. Supuesto construido \(I_k\), lo dividimos en dos intervalos cerrados de igual longitud. Al menos uno de los dos contiene infinitos términos de la sucesión. Lo elegimos y lo llamamos \(I_{k+1}\).
Obtenemos así una sucesión de intervalos cerrados y acotados
\[ I_1\supseteq I_2\supseteq I_3\supseteq\cdots \]
tal que cada \(I_k\) contiene infinitos términos de la sucesión.
Además, la longitud de \(I_k\) es
\[ \frac{1}{2^{k-1}}, \]
y, por tanto, tiende a \(0\).
Por el teorema de los intervalos encajados, existe un único punto \(x_0\in\mathbb R\) tal que
\[ \bigcap_{k=1}^{+\infty}I_k=\{x_0\}. \]
Ahora construimos la subsucesión. Como \(I_1\) contiene infinitos términos, elegimos \(n_1\) tal que
\[ x_{n_1}\in I_1. \]
Como \(I_2\) contiene infinitos términos, podemos elegir \(n_2>n_1\) tal que
\[ x_{n_2}\in I_2. \]
Continuando por inducción, elegimos \(n_k\) de modo que
\[ n_1<n_2<\cdots<n_k<\cdots \]
y
\[ x_{n_k}\in I_k. \]
Como también \(x_0\in I_k\), la distancia entre \(x_{n_k}\) y \(x_0\) es a lo sumo la longitud de \(I_k\):
\[ |x_{n_k}-x_0|\leq \frac{1}{2^{k-1}}. \]
Como
\[ \frac{1}{2^{k-1}}\longrightarrow 0, \]
se sigue, por comparación, que
\[ |x_{n_k}-x_0|\longrightarrow 0. \]
Por tanto,
\[ x_{n_k}\longrightarrow x_0. \]
Ejercicio 19 — nivel ★★★★★
Sea \((x_n)\) una sucesión real acotada. Demostrar que el conjunto de los límites de sus subsucesiones convergentes es no vacío y acotado.
Resultado
El conjunto es no vacío por Bolzano-Weierstrass. Está acotado porque todo límite de subsucesión ha de pertenecer a cualquier intervalo cerrado que contenga todos los términos de la sucesión.
Resolución
Sea \((x_n)\) una sucesión real acotada. Entonces existen \(a,b\in\mathbb R\), con \(a\leq b\), tales que
\[ a\leq x_n\leq b \]
para todo \(n\in\mathbb N\).
Consideremos el conjunto
\[ E=\{L\in\mathbb R:\text{ existe una subsucesión }(x_{n_k})\text{ tal que }x_{n_k}\to L\}. \]
Debemos demostrar que \(E\) es no vacío y acotado.
Como \((x_n)\) está acotada, por el teorema de Bolzano-Weierstrass existe al menos una subsucesión convergente. Por tanto, existe al menos un número real \(L\) tal que
\[ x_{n_k}\longrightarrow L. \]
Por tanto,
\[ E\neq\varnothing. \]
Demostremos ahora que \(E\) está acotado. Sea \(L\in E\). Por la definición de \(E\), existe una subsucesión \((x_{n_k})\) tal que
\[ x_{n_k}\longrightarrow L. \]
Como para todo \(k\) se cumple
\[ a\leq x_{n_k}\leq b, \]
pasando al límite obtenemos
\[ a\leq L\leq b. \]
Así pues, todo elemento de \(E\) pertenece al intervalo \([a,b]\). Por tanto,
\[ E\subseteq[a,b]. \]
De ello se sigue que \(E\) está acotado.
Ejercicio 20 — nivel ★★★★★
Sea \((x_n)\) una sucesión real acotada y sean
\[ \alpha=\liminf_{n\to+\infty}x_n, \qquad \beta=\limsup_{n\to+\infty}x_n. \]
Demostrar que existen dos subsucesiones \((x_{n_k})\) y \((x_{m_k})\) tales que
\[ x_{n_k}\longrightarrow \alpha \]
y
\[ x_{m_k}\longrightarrow \beta. \]
Resultado
El límite inferior y el límite superior de una sucesión real acotada son siempre límites de subsucesiones adecuadas.
Resolución
Como la sucesión \((x_n)\) está acotada, las cantidades
\[ \alpha=\liminf_{n\to+\infty}x_n \]
y
\[ \beta=\limsup_{n\to+\infty}x_n \]
son números reales.
Demostramos primero la existencia de una subsucesión que converge a \(\beta\). Para cada \(N\in\mathbb N\), consideremos
\[ s_N=\sup\{x_n:n\geq N\}. \]
Por definición,
\[ s_N\longrightarrow \beta. \]
Fijado \(k\in\mathbb N\), como \(s_N\to\beta\), podemos elegir \(N_k\) suficientemente grande, y además mayor que \(m_{k-1}\) si \(k\geq2\), de modo que
\[ s_{N_k}<\beta+\frac{1}{k}. \]
Además, por la definición de supremo, existe un índice \(m_k\geq N_k\) tal que
\[ x_{m_k}>s_{N_k}-\frac{1}{k}. \]
Eligiendo \(N_k\) también de modo que \(s_{N_k}>\beta-\frac{1}{k}\), obtenemos
\[ x_{m_k}>\beta-\frac{2}{k}. \]
Por otra parte, como \(m_k\geq N_k\), se tiene
\[ x_{m_k}\leq s_{N_k}<\beta+\frac{1}{k}. \]
Por tanto,
\[ \beta-\frac{2}{k}
De aquí se sigue que
\[ x_{m_k}\longrightarrow \beta. \]
El razonamiento para \(\alpha\) es análogo. Para cada \(N\in\mathbb N\), pongamos
\[ i_N=\inf\{x_n:n\geq N\}. \]
Por definición,
\[ i_N\longrightarrow \alpha. \]
Para cada \(k\in\mathbb N\), elegimos \(N_k\) suficientemente grande, y además mayor que \(n_{k-1}\) si \(k\geq2\), y luego un índice \(n_k\geq N_k\) de modo que
\[ \alpha-\frac{1}{k}
Además, podemos hacer esta elección con índices estrictamente crecientes:
\[ n_1
Se sigue entonces que
\[ x_{n_k}\longrightarrow \alpha. \]
Hemos construido así una subsucesión convergente a \(\beta\) y una subsucesión convergente a \(\alpha\). Por tanto, tanto el límite superior como el límite inferior de una sucesión real acotada son límites de subsucesiones adecuadas.