Los siguientes ejercicios sirven para afianzar el concepto de conjuntos compactos en \(\mathbb R\). Utilizaremos sobre todo el teorema de Heine–Borel, según el cual un subconjunto de \(\mathbb R\) es compacto si y solo si es cerrado y acotado.
Ejercicio 1 — nivel ★☆☆☆☆
Determinar si el conjunto
\[ A=[2,5] \]
es compacto en \(\mathbb R\).
Resultado
El conjunto \(A=[2,5]\) es compacto.
Resolución
En \(\mathbb R\), por el teorema de Heine–Borel, un conjunto es compacto si y solo si es cerrado y acotado.
El intervalo \([2,5]\) es cerrado, porque contiene ambos extremos \(2\) y \(5\).
Además es acotado, porque todos sus elementos cumplen
\[ 2\le x\le 5. \]
Por tanto, \(A\) es cerrado y acotado. En consecuencia, por el teorema de Heine–Borel, \(A\) es compacto.
Ejercicio 2 — nivel ★☆☆☆☆
Determinar si el conjunto
\[ A=(2,5) \]
es compacto en \(\mathbb R\).
Resultado
El conjunto \(A=(2,5)\) no es compacto.
Resolución
El intervalo \((2,5)\) es acotado, porque todos sus elementos están comprendidos entre \(2\) y \(5\).
Sin embargo, no es cerrado, ya que no contiene sus puntos de acumulación \(2\) y \(5\). En efecto, existen sucesiones de puntos de \(A\) que convergen a \(2\) o a \(5\), por ejemplo
\[ x_n=2+\frac1n. \]
Para todo \(n\) suficientemente grande se tiene \(x_n\in(2,5)\), pero
\[ x_n\to 2, \]
y \(2\notin A\).
Por tanto, \(A\) no es cerrado. Como en \(\mathbb R\) un conjunto compacto debe ser cerrado y acotado, \(A\) no es compacto.
Ejercicio 3 — nivel ★☆☆☆☆
Determinar si el conjunto
\[ A=[0,+\infty) \]
es compacto en \(\mathbb R\).
Resultado
El conjunto \(A=[0,+\infty)\) no es compacto.
Resolución
El conjunto \(A=[0,+\infty)\) es cerrado en \(\mathbb R\), porque contiene su punto frontera \(0\) y su complementario
\[ \mathbb R\setminus A=(-\infty,0) \]
es abierto.
Sin embargo, \(A\) no es acotado superiormente. En efecto, para todo \(M>0\), el número
\[ M+1 \]
pertenece a \(A\) y es mayor que \(M\).
Por tanto, \(A\) no es acotado. Por el teorema de Heine–Borel, al no ser acotado, no puede ser compacto.
Ejercicio 4 — nivel ★☆☆☆☆
Determinar si el conjunto
\[ A=\{1,2,3,4\} \]
es compacto en \(\mathbb R\).
Resultado
El conjunto \(A=\{1,2,3,4\}\) es compacto.
Resolución
Todo conjunto finito de números reales es cerrado y acotado.
El conjunto \(A\) es acotado, porque todos sus elementos están comprendidos entre \(1\) y \(4\):
\[ 1\le x\le 4 \quad \text{para todo } x\in A. \]
Además, \(A\) es cerrado, porque es un conjunto finito y todos sus puntos son aislados.
Por tanto, \(A\) es cerrado y acotado. Por el teorema de Heine–Borel, \(A\) es compacto.
Ejercicio 5 — nivel ★★☆☆☆
Determinar si el conjunto
\[ A=\left\{\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\ge 1\right\} \]
es compacto en \(\mathbb R\).
Resultado
El conjunto \(A\) no es compacto.
Resolución
El conjunto \(A\) es acotado, porque
\[ 0<\frac1n\le 1 \]
para todo \(n\ge 1\). Por tanto,
\[ A\subseteq (0,1]. \]
Sin embargo, \(A\) no es cerrado. En efecto, la sucesión
\[ x_n=\frac1n \]
está formada por puntos de \(A\), pero converge a \(0\):
\[ \frac1n\to 0. \]
El punto \(0\) es, por tanto, un punto de acumulación de \(A\), pero
\[ 0\notin A. \]
Así pues, \(A\) no es cerrado. Al ser acotado pero no cerrado, no es compacto.
Ejercicio 6 — nivel ★★☆☆☆
Determinar si el conjunto
\[ A=\left\{0\right\}\cup\left\{\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\ge 1\right\} \]
es compacto en \(\mathbb R\).
Resultado
El conjunto \(A\) es compacto.
Resolución
El conjunto \(A\) es acotado, porque
\[ 0\le x\le 1 \]
para todo \(x\in A\). Por tanto, \(A\subseteq[0,1]\).
Comprobemos ahora que \(A\) es cerrado. Los puntos de la forma \(\displaystyle \frac1n\) son aislados, mientras que el único punto de acumulación del conjunto es \(0\).
En efecto,
\[ \frac1n\to 0. \]
A diferencia del ejercicio anterior, esta vez \(0\) pertenece al conjunto \(A\).
Por tanto, \(A\) contiene todos sus puntos de acumulación y es cerrado.
Como \(A\) es cerrado y acotado, por el teorema de Heine–Borel es compacto.
Ejercicio 7 — nivel ★★☆☆☆
Determinar si el conjunto
\[ A=[-1,1]\setminus\{0\} \]
es compacto en \(\mathbb R\).
Resultado
El conjunto \(A\) no es compacto.
Resolución
El conjunto \(A\) es acotado, porque está contenido en \([-1,1]\).
Sin embargo, \(A\) no es cerrado. En efecto, \(0\) es un punto de acumulación de \(A\): todo entorno de \(0\) contiene puntos de \(A\) distintos de \(0\), por ejemplo números de la forma
\[ \pm\frac1n \]
para \(n\) suficientemente grande.
Además,
\[ \frac1n\in A \quad \text{y} \quad \frac1n\to 0. \]
Pero \(0\notin A\), porque se eliminó del intervalo \([-1,1]\).
Por tanto, \(A\) no contiene todos sus puntos de acumulación y, en consecuencia, no es cerrado.
Al ser acotado pero no cerrado, \(A\) no es compacto.
Ejercicio 8 — nivel ★★☆☆☆
Determinar si el conjunto
\[ A=\left[-2,3\right]\cup\{7\} \]
es compacto en \(\mathbb R\).
Resultado
El conjunto \(A\) es compacto.
Resolución
El intervalo \([-2,3]\) es cerrado y acotado, por lo que es compacto.
También el conjunto unitario \(\{7\}\) es cerrado y acotado, por lo que es compacto.
La unión finita de conjuntos cerrados es cerrada. Por tanto,
\[ A=[-2,3]\cup\{7\} \]
es cerrado.
Además, \(A\) es acotado, porque todos sus elementos están comprendidos entre \(-2\) y \(7\):
\[ -2\le x\le 7 \quad \text{para todo } x\in A. \]
Por tanto, \(A\) es cerrado y acotado. Por el teorema de Heine–Borel, \(A\) es compacto.
Ejercicio 9 — nivel ★★☆☆☆
Determinar si el conjunto
\[ A=\bigcup_{n=1}^{+\infty}\left[\frac1n,1\right] \]
es compacto en \(\mathbb R\).
Resultado
El conjunto \(A\) no es compacto.
Resolución
Observemos en primer lugar que
\[ \left[\frac1n,1\right]\subseteq(0,1] \]
para todo \(n\ge 1\). Además, dado cualquier \(x\in(0,1]\), podemos elegir \(n\) suficientemente grande de modo que
\[ \frac1n\le x. \]
Entonces
\[ x\in\left[\frac1n,1\right]. \]
Por tanto,
\[ A=(0,1]. \]
El conjunto \((0,1]\) es acotado, pero no es cerrado, porque \(0\) es un punto de acumulación y no pertenece al conjunto.
En efecto,
\[ \frac1n\in A \quad \text{y} \quad \frac1n\to 0, \]
pero \(0\notin A\).
Por tanto, \(A\) no es cerrado y, en consecuencia, no es compacto.
Ejercicio 10 — nivel ★★☆☆☆
Determinar si el conjunto
\[ A=\bigcap_{n=1}^{+\infty}\left[-1,\frac1n\right] \]
es compacto en \(\mathbb R\).
Resultado
El conjunto \(A=[-1,0]\) es compacto.
Resolución
Debemos determinar primero el conjunto \(A\).
Un número \(x\) pertenece a \(A\) si y solo si pertenece a todos los intervalos
\[ \left[-1,\frac1n\right]. \]
Esto significa que
\[ -1\le x\le \frac1n \]
para todo \(n\ge 1\).
Si \(x\le 0\) y \(x\ge -1\), entonces ciertamente
\[ x\le \frac1n \]
para todo \(n\ge 1\). Por tanto, \([-1,0]\subseteq A\).
Recíprocamente, si \(x>0\), eligiendo \(n\) suficientemente grande se tiene
\[ \frac1n<x. \]
Entonces \(x\notin\left[-1,\displaystyle\frac1n\right]\), por lo que \(x\notin A\).
Por tanto,
\[ A=[-1,0]. \]
El intervalo \([-1,0]\) es cerrado y acotado. Por tanto, por el teorema de Heine–Borel, es compacto.
Ejercicio 11 — nivel ★★★☆☆
Demostrar que el conjunto
\[ A=\left\{\frac{n}{n+1}:n\in\mathbb N,\ n\ge 1\right\}\cup\{1\} \]
es compacto en \(\mathbb R\).
Resultado
El conjunto \(A\) es compacto.
Resolución
Escribamos el término general en la forma
\[ \frac{n}{n+1}=1-\frac1{n+1}. \]
De esta expresión se deduce que
\[ 0<\frac{n}{n+1}<1 \]
para todo \(n\ge 1\), y además
\[ \frac{n}{n+1}\to 1. \]
El conjunto \(A\) es acotado, porque todos sus elementos pertenecen al intervalo \([0,1]\).
Además, el único punto de acumulación de la sucesión
\[ \frac{n}{n+1} \]
es \(1\), y dicho punto pertenece a \(A\).
Los puntos
\[ \frac{n}{n+1} \]
son aislados, mientras que \(1\) está incluido en el conjunto.
Por tanto, \(A\) contiene todos sus puntos de acumulación y es cerrado.
Al ser cerrado y acotado, \(A\) es compacto por el teorema de Heine–Borel.
Ejercicio 12 — nivel ★★★☆☆
Determinar si el conjunto
\[ A=\left\{x\in\mathbb R: x^2<4\right\} \]
es compacto en \(\mathbb R\).
Resultado
El conjunto \(A\) no es compacto.
Resolución
Resolvamos primero la inecuación
\[ x^2<4. \]
Esta equivale a
\[ -2<x<2. \]
Por tanto,
\[ A=(-2,2). \]
El conjunto \(A\) es acotado, porque está contenido en \([-2,2]\).
Sin embargo, no es cerrado, porque no contiene los puntos \(-2\) y \(2\), que son puntos de acumulación del conjunto.
Por ejemplo, la sucesión
\[ x_n=2-\frac1n \]
pertenece a \(A\) para todo \(n\ge 1\) suficientemente grande y converge a \(2\), pero \(2\notin A\).
Por tanto, \(A\) no es cerrado. Por el teorema de Heine–Borel, \(A\) no es compacto.
Ejercicio 13 — nivel ★★★☆☆
Determinar si el conjunto
\[ A=\left\{x\in\mathbb R: x^2\le 4\right\} \]
es compacto en \(\mathbb R\).
Resultado
El conjunto \(A\) es compacto.
Resolución
Resolvamos la inecuación
\[ x^2\le 4. \]
Esta equivale a
\[ -2\le x\le 2. \]
Por tanto,
\[ A=[-2,2]. \]
El intervalo \([-2,2]\) es cerrado, porque contiene sus extremos, y es acotado, porque cada uno de sus elementos \(x\) cumple
\[ -2\le x\le 2. \]
Por el teorema de Heine–Borel, \(A\) es compacto.
Ejercicio 14 — nivel ★★★☆☆
Sea
\[ A=\left\{x\in\mathbb R: |x-3|\le 2\right\}. \]
Determinar si \(A\) es compacto.
Resultado
El conjunto \(A=[1,5]\) es compacto.
Resolución
La inecuación
\[ |x-3|\le 2 \]
significa que la distancia de \(x\) a \(3\) es a lo sumo \(2\). Equivalentemente,
\[ -2\le x-3\le 2. \]
Sumando \(3\) a los tres miembros, obtenemos
\[ 1\le x\le 5. \]
Por tanto,
\[ A=[1,5]. \]
El intervalo \([1,5]\) es cerrado y acotado. Por el teorema de Heine–Borel, \(A\) es compacto.
Ejercicio 15 — nivel ★★★☆☆
Demostrar que la intersección de dos conjuntos compactos \(K_1,K_2\subseteq\mathbb R\) es compacta.
Resultado
El conjunto \(K_1\cap K_2\) es compacto.
Resolución
Como \(K_1\) y \(K_2\) son compactos en \(\mathbb R\), por el teorema de Heine–Borel son cerrados y acotados.
La intersección de dos conjuntos cerrados es cerrada. Por tanto,
\[ K_1\cap K_2 \]
es cerrado.
Además, \(K_1\cap K_2\subseteq K_1\). Como \(K_1\) es acotado, todo subconjunto suyo es acotado. Por tanto, \(K_1\cap K_2\) es acotado.
Hemos demostrado que \(K_1\cap K_2\) es cerrado y acotado.
Por tanto, por el teorema de Heine–Borel, \(K_1\cap K_2\) es compacto.
Ejercicio 16 — nivel ★★★☆☆
Demostrar que la unión de dos conjuntos compactos \(K_1,K_2\subseteq\mathbb R\) es compacta.
Resultado
El conjunto \(K_1\cup K_2\) es compacto.
Resolución
Como \(K_1\) y \(K_2\) son compactos en \(\mathbb R\), son cerrados y acotados.
La unión finita de conjuntos cerrados es cerrada. Por tanto,
\[ K_1\cup K_2 \]
es cerrado.
Como \(K_1\) es acotado, existe \(M_1>0\) tal que
\[ |x|\le M_1 \quad \text{para todo } x\in K_1. \]
Como \(K_2\) es acotado, existe \(M_2>0\) tal que
\[ |x|\le M_2 \quad \text{para todo } x\in K_2. \]
Pongamos
\[ M=\max\{M_1,M_2\}. \]
Entonces, para todo \(x\in K_1\cup K_2\), se tiene
\[ |x|\le M. \]
Por tanto, \(K_1\cup K_2\) es acotado.
Al ser cerrado y acotado, \(K_1\cup K_2\) es compacto.
Ejercicio 17 — nivel ★★★★☆
Demostrar que el conjunto
\[ K=\left\{x\in[0,2]: x\neq 1\right\} \]
no es compacto.
Resultado
El conjunto \(K=[0,2]\setminus\{1\}\) no es compacto.
Resolución
El conjunto \(K\) es acotado, porque está contenido en \([0,2]\).
Sin embargo, no es cerrado. En efecto, \(1\) es un punto de acumulación de \(K\), pero no pertenece a \(K\).
Para verlo de forma explícita, consideremos la sucesión
\[ x_n=1+\frac1n. \]
Para todo \(n\ge 1\) se tiene \(x_n\neq 1\), y para \(n\) suficientemente grande se tiene \(x_n\in[0,2]\). Por tanto, \(x_n\in K\).
Además,
\[ x_n\to 1. \]
Pero \(1\notin K\). Por tanto, \(K\) no es cerrado.
Como en \(\mathbb R\) todo compacto debe ser cerrado y acotado, \(K\) no es compacto.
Ejercicio 18 — nivel ★★★★☆
Demostrar, usando recubrimientos abiertos, que el conjunto
\[ A=(0,1) \]
no es compacto.
Resultado
El intervalo \((0,1)\) no es compacto.
Resolución
Consideremos la familia de abiertos
\[ \mathcal U=\left\{\left(\frac1n,1\right):n\in\mathbb N,\ n\ge 2\right\}. \]
Esta familia recubre \((0,1)\). En efecto, tomado \(x\in(0,1)\), podemos elegir \(n\) suficientemente grande de modo que
\[ \frac1n<x. \]
Entonces
\[ x\in\left(\frac1n,1\right). \]
Por tanto,
\[ (0,1)\subseteq\bigcup_{n=2}^{+\infty}\left(\frac1n,1\right). \]
Supongamos ahora que elegimos un número finito de estos abiertos:
\[ \left(\frac1{n_1},1\right),\ldots,\left(\frac1{n_k},1\right). \]
Sea
\[ N=\max\{n_1,\ldots,n_k\}. \]
Entre estos intervalos, el que comienza más a la izquierda es
\[ \left(\frac1N,1\right). \]
La unión finita elegida está, por tanto, contenida en
\[ \left(\frac1N,1\right). \]
Pero el punto
\[ x=\frac1{N+1} \]
pertenece a \((0,1)\) y cumple
\[ \frac1{N+1}<\frac1N. \]
Por tanto, \(x\) no pertenece a la reunión finita elegida.
Hemos encontrado un recubrimiento abierto de \((0,1)\) que no admite ningún subrecubrimiento finito. Por definición, \((0,1)\) no es compacto.
Ejercicio 19 — nivel ★★★★☆
Demostrar, usando sucesiones, que el conjunto
\[ A=(0,1] \]
no es compacto.
Resultado
El conjunto \((0,1]\) no es compacto.
Resolución
En \(\mathbb R\), toda sucesión contenida en un conjunto compacto admite una subsucesión convergente a un punto del conjunto.
Consideremos la sucesión
\[ x_n=\frac1n. \]
Para todo \(n\ge 1\) se tiene
\[ x_n\in(0,1]. \]
Además,
\[ x_n\to 0. \]
Toda subsucesión de \((x_n)\) converge de nuevo a \(0\). En efecto, si \((x_{n_k})\) es una subsucesión, entonces
\[ x_{n_k}=\frac1{n_k}\to 0. \]
Pero
\[ 0\notin(0,1]. \]
Por tanto, la sucesión \((x_n)\), aun estando enteramente contenida en \((0,1]\), no posee ninguna subsucesión convergente a un punto de \((0,1]\).
En consecuencia, \((0,1]\) no es compacto.
Ejercicio 20 — nivel ★★★★★
Sea \(K\subseteq\mathbb R\) un conjunto compacto y sea \(f:K\to\mathbb R\) una función continua. Demostrar que \(f(K)\) es compacto.
Resultado
La imagen continua de un compacto es compacta.
Resolución
Queremos demostrar que
\[ f(K)=\{f(x):x\in K\} \]
es compacto.
Usamos el criterio secuencial de compacidad en \(\mathbb R\). Sea, pues, \((y_n)\) una sucesión de puntos de \(f(K)\). Por definición de imagen, para todo \(n\) existe \(x_n\in K\) tal que
\[ y_n=f(x_n). \]
Como \(K\) es compacto, de la sucesión \((x_n)\) podemos extraer una subsucesión \((x_{n_k})\) convergente a un punto \(x_0\in K\):
\[ x_{n_k}\to x_0. \]
Como \(f\) es continua en \(x_0\), pasando al límite obtenemos
\[ f(x_{n_k})\to f(x_0). \]
Pero
\[ f(x_{n_k})=y_{n_k}. \]
Por tanto, la sucesión \((y_n)\) admite una subsucesión \((y_{n_k})\) convergente al punto
\[ f(x_0)\in f(K). \]
Hemos demostrado que toda sucesión en \(f(K)\) admite una subsucesión convergente a un punto de \(f(K)\). En consecuencia, \(f(K)\) es compacto.