Las sucesiones permiten estudiar, de forma ordenada y rigurosa, el comportamiento de cantidades que dependen de un índice natural.
De manera intuitiva, una sucesión es una lista infinita de números:
\[ a_1,\ a_2,\ a_3,\ \ldots,\ a_n,\ \ldots \]
En matemáticas, sin embargo, una sucesión es algo más que una lista escrita en cierto orden. Es una función definida sobre el conjunto de los números naturales, es decir, una ley que asigna a cada índice natural \(n\) un número real \(a_n\).
Esta observación es esencial: estudiar una sucesión significa estudiar cómo varía el término \(a_n\) al crecer \(n\) y, sobre todo, determinar si sus términos se aproximan a cierto valor, si permanecen acotados, si oscilan, si crecen indefinidamente o si no presentan ningún comportamiento regular.
Las sucesiones están en la base de conceptos centrales del análisis, como el límite, la convergencia, la divergencia, la completitud de los números reales, las series numéricas y muchas propiedades fundamentales de las funciones.
En las secciones que siguen presentaremos las sucesiones de forma rigurosa, partiendo de la definición formal y pasando después a sus principales propiedades, ejemplos fundamentales y subsucesiones. El objetivo es construir una base sólida para el estudio posterior de los límites de sucesiones y de los resultados fundamentales del análisis matemático.
Índice
- Definición de sucesión
- Notación de una sucesión
- Término general de una sucesión
- Sucesiones definidas explícitamente
- Sucesiones definidas por recurrencia
- Ejemplos fundamentales de sucesiones
- Sucesiones constantes
- Sucesiones crecientes y decrecientes
- Sucesiones monótonas
- Sucesiones acotadas superior e inferiormente
- Sucesiones acotadas
- Sucesiones no negativas, no positivas y de signo alterno
- Sucesiones aritméticas
- Sucesiones geométricas
- Representación gráfica de una sucesión
- Diferencia entre sucesión y función real de variable real
- Subsucesiones
- Primeras propiedades de las sucesiones
- Errores comunes sobre las sucesiones
Definición de sucesión
Una sucesión es una función definida sobre el conjunto de los números naturales.
Con mayor precisión, una sucesión real es una función
\[ a:\mathbb N\to\mathbb R. \]
Esto significa que a cada número natural \(n\in\mathbb N\) la función \(a\) le asigna uno y un solo número real, que se denota por
\[ a(n). \]
En el estudio de las sucesiones, no obstante, casi siempre se emplea la notación con subíndice. En lugar de escribir \(a(n)\), se escribe
\[ a_n. \]
El número \(a_n\) recibe el nombre de término \(n\)-ésimo de la sucesión.
Así pues, una sucesión real puede verse como una lista infinita y ordenada de números reales:
\[ a_1,\ a_2,\ a_3,\ \ldots,\ a_n,\ \ldots \]
Conviene tener cuidado, sin embargo: esta lista no es un simple conjunto de números. El orden de los términos forma parte esencial de la sucesión.
Por ejemplo, las dos sucesiones
\[ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ldots \]
y
\[ 2,\ 1,\ 4,\ 3,\ldots \]
no son la misma sucesión, aunque puedan contener los mismos valores. En efecto, el primer término de la primera sucesión es \(1\), mientras que el primer término de la segunda es \(2\).
En general, por tanto, una sucesión no queda determinada únicamente por los valores que toma, sino también por el modo en que dichos valores se asocian a los índices naturales.
Si \(a:\mathbb N\to\mathbb R\) es una sucesión, suele denotarse mediante alguna de las notaciones siguientes:
\[ (a_n)_{n\in\mathbb N}, \qquad (a_n), \qquad \{a_n\}_{n\in\mathbb N}. \]
Nosotros usaremos principalmente la notación
\[ (a_n)_{n\in\mathbb N}. \]
Esta notación pone de relieve que la sucesión es el objeto completo formado por todos los términos \(a_n\), cuando \(n\) recorre los números naturales.
Es importante distinguir entre la sucesión y su término general. La sucesión es la función entera
\[ (a_n)_{n\in\mathbb N}, \]
mientras que \(a_n\) es solamente el término que corresponde al índice \(n\).
Por ejemplo, si
\[ a_n=\frac1n, \]
entonces la sucesión es
\[ 1,\ \frac12,\ \frac13,\ \frac14,\ldots \]
y el término general es
\[ a_n=\frac1n. \]
En conclusión, una sucesión real es una función que asigna a cada índice natural un número real. La escritura con subíndices permite estudiar el comportamiento de los términos al crecer \(n\), que es el punto de partida de la teoría de los límites de sucesiones.
Notación de una sucesión
Una vez definida la sucesión como una función sobre los números naturales, conviene fijar algunas convenciones de notación.
Una sucesión suele denotarse por
\[ (a_n)_{n\in\mathbb N}. \]
Esta escritura significa que estamos considerando todos los términos \(a_n\), cuando el índice \(n\) recorre el conjunto \(\mathbb N\).
En muchos textos, sin embargo, el conjunto de los números naturales puede definirse de dos maneras distintas:
\[ \mathbb N=\{0,1,2,3,\ldots\} \]
o bien
\[ \mathbb N=\{1,2,3,\ldots\}. \]
Por este motivo, al trabajar con sucesiones suele ser necesario indicar a partir de qué índice empieza la sucesión.
Si la sucesión empieza en \(0\), se escribe
\[ (a_n)_{n\ge 0}. \]
En este caso los términos son
\[ a_0,\ a_1,\ a_2,\ a_3,\ldots \]
Si, en cambio, la sucesión empieza en \(1\), se escribe
\[ (a_n)_{n\ge 1}. \]
En este caso los términos son
\[ a_1,\ a_2,\ a_3,\ldots \]
Ambas convenciones son correctas. La elección del índice inicial no cambia la naturaleza de la sucesión, pero puede cambiar la escritura de sus términos.
Por ejemplo, la sucesión
\[ a_n=\frac{1}{n} \]
no puede considerarse para \(n=0\), ya que \(\displaystyle \frac{1}{0}\) no está definido. En este caso es natural escribir
\[ (a_n)_{n\ge 1}. \]
En cambio, la sucesión
\[ b_n=\frac{1}{n+1} \]
sí puede considerarse para \(n\ge 0\). En tal caso se obtiene
\[ b_0=1,\qquad b_1=\frac12,\qquad b_2=\frac13,\qquad b_3=\frac14,\ldots \]
Las dos sucesiones
\[ (a_n)_{n\ge 1}, \qquad (b_n)_{n\ge 0} \]
toman los mismos valores en el mismo orden, pero están indexadas de manera distinta.
En general, cuando no hay ambigüedad, puede escribirse simplemente
\[ (a_n). \]
No obstante, en las definiciones y en las demostraciones, indicar con claridad el conjunto de los índices evita errores y ambigüedades.
Nosotros usaremos principalmente sucesiones indexadas por \(n\ge 1\), salvo indicación en contra.
Término general de una sucesión
El término general de una sucesión es la expresión que describe el término \(a_n\) en función del índice \(n\).
Por ejemplo, si
\[ a_n=\frac{n+1}{n}, \]
entonces el término general de la sucesión es
\[ \frac{n+1}{n}. \]
Sustituyendo \(n\) por los valores \(1,2,3,4,\ldots\) se obtienen los términos de la sucesión:
\[ a_1=2,\qquad a_2=\frac32,\qquad a_3=\frac43,\qquad a_4=\frac54,\ldots \]
Así pues, la sucesión es
\[ 2,\ \frac32,\ \frac43,\ \frac54,\ldots \]
El término general permite calcular cualquier término de la sucesión, siempre que el índice considerado pertenezca al conjunto de índices sobre el que la sucesión está definida.
Esta precisión es importante. No basta con escribir una fórmula: hay que establecer además para qué valores de \(n\) dicha fórmula tiene sentido.
Por ejemplo, la expresión
\[ a_n=\frac{1}{n-3} \]
no define una sucesión para todos los índices \(n\ge 1\), porque para \(n=3\) el denominador se anula.
Para obtener una sucesión real hay que restringir, por tanto, el conjunto de índices, por ejemplo imponiendo
\[ n\ge 4. \]
En tal caso se obtiene la sucesión
\[ a_4=1,\qquad a_5=\frac12,\qquad a_6=\frac13,\qquad a_7=\frac14,\ldots \]
Un error frecuente consiste en confundir el término general con la propia sucesión. El término general \(a_n\) es un único término que varía con \(n\); la sucesión \((a_n)\), en cambio, es el objeto completo formado por todos los términos.
Por ejemplo, en la sucesión
\[ a_n=n^2+1, \]
el término general es \(n^2+1\), mientras que los primeros términos son
\[ 2,\ 5,\ 10,\ 17,\ 26,\ldots \]
Conocer el término general suele ser la manera más sencilla de estudiar las propiedades de la sucesión: monotonía, acotación, signo de los términos y comportamiento para valores grandes del índice.
Sucesiones definidas explícitamente
Se dice que una sucesión está definida explícitamente cuando su término general viene dado directamente mediante una fórmula en función del índice \(n\).
Dicho de otro modo, una sucesión está definida explícitamente cuando podemos escribir
\[ a_n=f(n), \]
donde \(f\) es cierta expresión que depende de \(n\).
Por ejemplo, la sucesión
\[ a_n=2n+1 \]
está definida explícitamente. En efecto, sustituyendo \(n\) por los valores \(1,2,3,\ldots\) obtenemos directamente sus términos:
\[ a_1=3,\qquad a_2=5,\qquad a_3=7,\qquad a_4=9,\ldots \]
Así pues, la sucesión es
\[ 3,\ 5,\ 7,\ 9,\ldots \]
También la sucesión
\[ b_n=\frac{n}{n+1} \]
está definida explícitamente. Sus primeros términos son
\[ b_1=\frac12,\qquad b_2=\frac23,\qquad b_3=\frac34,\qquad b_4=\frac45,\ldots \]
En este caso la fórmula permite calcular de inmediato cualquier término de la sucesión.
Por ejemplo, el centésimo término es
\[ b_{100}=\frac{100}{101}. \]
Esta es una característica importante de las sucesiones definidas explícitamente: para hallar un término no es necesario conocer los términos anteriores.
Consideremos ahora la sucesión
\[ c_n=(-1)^n. \]
Si \(n\ge 1\), los primeros términos son
\[ c_1=-1,\qquad c_2=1,\qquad c_3=-1,\qquad c_4=1,\ldots \]
Por tanto, la sucesión es
\[ -1,\ 1,\ -1,\ 1,\ldots \]
Este ejemplo muestra que una fórmula explícita puede describir también sucesiones que no son ni crecientes ni decrecientes, sino oscilantes.
En general, las sucesiones definidas explícitamente resultan especialmente cómodas, porque permiten estudiar las propiedades de la sucesión directamente a partir de la fórmula del término general.
Por ejemplo, de la fórmula
\[ a_n=\frac{1}{n} \]
se aprecia que los términos son positivos y se hacen cada vez más pequeños al crecer \(n\):
\[ 1,\ \frac12,\ \frac13,\ \frac14,\ldots \]
En cambio, de la fórmula
\[ a_n=n^2 \]
se aprecia que los términos crecen indefinidamente:
\[ 1,\ 4,\ 9,\ 16,\ldots \]
Conviene recordar, no obstante, que una fórmula explícita define una sucesión real solo si tiene sentido para todos los índices considerados.
Por ejemplo, la fórmula
\[ a_n=\sqrt{n-5} \]
no define una sucesión real para todos los índices \(n\ge 1\), porque para \(n=1,2,3,4\) la cantidad \(n-5\) es negativa.
Para obtener una sucesión real podemos considerarla a partir de \(n=5\):
\[ (a_n)_{n\ge 5}, \qquad a_n=\sqrt{n-5}. \]
De este modo todos los términos son números reales:
\[ a_5=0,\qquad a_6=1,\qquad a_7=\sqrt2,\qquad a_8=\sqrt3,\ldots \]
Así pues, cuando una sucesión está definida explícitamente, hay que comprobar siempre dos aspectos:
- la fórmula del término general;
- el conjunto de índices para el que la fórmula está definida.
Una vez fijados estos dos elementos, la sucesión queda completamente determinada.
Sucesiones definidas por recurrencia
Se dice que una sucesión está definida por recurrencia cuando sus términos no vienen dados directamente por una fórmula explícita en función de \(n\), sino que se determinan a partir de uno o más términos anteriores.
En este caso, para definir la sucesión no basta con indicar una relación entre los términos: hay que especificar además al menos un término inicial.
Por ejemplo, consideremos la sucesión definida por
\[ a_1=2, \qquad a_{n+1}=a_n+3 \quad \text{para todo } n\ge 1. \]
El primer término es \(a_1=2\). La relación de recurrencia dice que cada término siguiente se obtiene sumando \(3\) al término anterior.
Obtenemos así
\[ a_2=a_1+3=5, \]
\[ a_3=a_2+3=8, \]
\[ a_4=a_3+3=11. \]
Por tanto, la sucesión es
\[ 2,\ 5,\ 8,\ 11,\ldots \]
En una sucesión definida por recurrencia, para calcular un término suele ser necesario conocer los términos que lo preceden.
Consideremos un segundo ejemplo:
\[ b_1=1, \qquad b_{n+1}=2b_n \quad \text{para todo } n\ge 1. \]
En este caso cada término siguiente se obtiene multiplicando por \(2\) el término anterior:
\[ b_2=2b_1=2, \]
\[ b_3=2b_2=4, \]
\[ b_4=2b_3=8. \]
Por tanto, la sucesión es
\[ 1,\ 2,\ 4,\ 8,\ldots \]
Una relación de recurrencia puede depender también de varios términos anteriores. Un ejemplo fundamental es la sucesión de Fibonacci:
\[ F_1=1,\qquad F_2=1, \]
\[ F_{n+2}=F_{n+1}+F_n \quad \text{para todo } n\ge 1. \]
En este caso cada término, a partir del tercero, es la suma de los dos términos anteriores.
En efecto:
\[ F_3=F_2+F_1=2, \]
\[ F_4=F_3+F_2=3, \]
\[ F_5=F_4+F_3=5, \]
\[ F_6=F_5+F_4=8. \]
Los primeros términos son, por tanto,
\[ 1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 8,\ldots \]
Este ejemplo muestra que, cuando la relación de recurrencia involucra dos términos anteriores, hay que especificar dos términos iniciales. Más en general, una recurrencia que depende de \(k\) términos anteriores requiere \(k\) condiciones iniciales.
Es importante observar que una definición recursiva no equivale automáticamente a una fórmula explícita sencilla. A veces es posible hallar una fórmula cerrada para \(a_n\); otras veces, la descripción recursiva es la manera más natural de definir la sucesión.
Por ejemplo, la sucesión
\[ a_1=2, \qquad a_{n+1}=a_n+3 \]
puede describirse también de forma explícita como
\[ a_n=2+3(n-1). \]
En efecto, partiendo de \(2\), se suma \(3\) para pasar de un término al siguiente; después de \(n-1\) pasos se ha sumado \(3\) exactamente \(n-1\) veces.
En conclusión, una sucesión definida por recurrencia queda determinada por:
- uno o más términos iniciales;
- una regla que permite construir los términos siguientes.
Sin las condiciones iniciales, la relación de recurrencia no determina una sucesión única.
Ejemplos fundamentales de sucesiones
Una vez introducidas las sucesiones definidas explícitamente y las definidas por recurrencia, conviene examinar algunos ejemplos fundamentales. Estos ejemplos aparecen a menudo en el estudio del análisis matemático y ayudan a reconocer los comportamientos más comunes de las sucesiones.
Sucesión de los números naturales
La sucesión
\[ a_n=n \]
tiene por términos
\[ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ldots \]
Es una sucesión creciente y sus términos se hacen arbitrariamente grandes al crecer \(n\).
Sucesión de los inversos
La sucesión
\[ a_n=\frac1n \]
tiene por términos
\[ 1,\ \frac12,\ \frac13,\ \frac14,\ldots \]
Sus términos son positivos y se hacen cada vez más pequeños. Esta sucesión es uno de los ejemplos fundamentales de sucesión que se aproxima a \(0\).
Sucesión de los cuadrados
La sucesión
\[ a_n=n^2 \]
tiene por términos
\[ 1,\ 4,\ 9,\ 16,\ldots \]
Es una sucesión creciente y sus términos crecen más deprisa que los de la sucesión \(a_n=n\).
Sucesión alternada
La sucesión
\[ a_n=(-1)^n \]
tiene por términos, para \(n\ge 1\),
\[ -1,\ 1,\ -1,\ 1,\ldots \]
Los términos no se aproximan a un único valor, sino que oscilan continuamente entre \(-1\) y \(1\).
Sucesión armónica
La sucesión
\[ a_n=1+\frac12+\frac13+\cdots+\frac1n \]
es la sucesión de las sumas parciales de la serie armónica.
Sus primeros términos son
\[ a_1=1, \qquad a_2=1+\frac12=\frac32, \]
\[ a_3=1+\frac12+\frac13=\frac{11}{6}, \qquad a_4=1+\frac12+\frac13+\frac14=\frac{25}{12}. \]
Esta sucesión es creciente. Aunque los sumandos individuales \(\frac1n\) se hacen cada vez más pequeños, las sumas parciales siguen aumentando.
Sucesión geométrica elemental
La sucesión
\[ a_n=2^n \]
tiene por términos, para \(n\ge 1\),
\[ 2,\ 4,\ 8,\ 16,\ldots \]
Cada término se obtiene del anterior multiplicando por \(2\). Por este motivo es un ejemplo de sucesión geométrica.
Sucesión geométrica decreciente
La sucesión
\[ a_n=\left(\frac12\right)^n \]
tiene por términos, para \(n\ge 1\),
\[ \frac12,\ \frac14,\ \frac18,\ \frac1{16},\ldots \]
Cada término se obtiene del anterior multiplicando por \(\frac12\). Los términos son positivos y se aproximan progresivamente a \(0\).
Sucesión definida por un cociente
La sucesión
\[ a_n=\frac{n}{n+1} \]
tiene por términos
\[ \frac12,\ \frac23,\ \frac34,\ \frac45,\ldots \]
Todos los términos son menores que \(1\), pero se acercan cada vez más a \(1\).
En efecto, podemos escribir
\[ \frac{n}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}. \]
Esta forma muestra con claridad que la distancia entre \(a_n\) y \(1\) es igual a \(\displaystyle \frac{1}{n+1}\), que se hace cada vez más pequeña al crecer \(n\).
Sucesión de signo alterno y magnitud decreciente
La sucesión
\[ a_n=\frac{(-1)^n}{n} \]
tiene por términos
\[ -1,\ \frac12,\ -\frac13,\ \frac14,\ldots \]
Los términos cambian de signo en cada paso, pero su magnitud se hace cada vez más pequeña.
En particular, tanto los términos positivos como los negativos se aproximan a \(0\).
Estos ejemplos muestran que las sucesiones pueden tener comportamientos muy diversos: pueden crecer, decrecer, oscilar, permanecer acotadas, aproximarse a un número o hacerse arbitrariamente grandes.
Sucesiones constantes
Se dice que una sucesión es constante si todos sus términos son iguales a un mismo número real.
Con mayor precisión, una sucesión real \((a_n)_{n\ge 1}\) es constante si existe un número real \(c\) tal que
\[ a_n=c \quad \text{para todo } n\ge 1. \]
En este caso la sucesión es
\[ c,\ c,\ c,\ c,\ldots \]
Por ejemplo, la sucesión definida por
\[ a_n=5 \quad \text{para todo } n\ge 1 \]
es constante, porque cada uno de sus términos es igual a \(5\):
\[ 5,\ 5,\ 5,\ 5,\ldots \]
También la sucesión
\[ b_n=-2 \quad \text{para todo } n\ge 1 \]
es constante:
\[ -2,\ -2,\ -2,\ -2,\ldots \]
Las sucesiones constantes son los ejemplos más sencillos de sucesiones. No crecen, no decrecen en sentido estricto y no oscilan: todos los términos coinciden.
Desde el punto de vista de la monotonía, una sucesión constante es a la vez creciente y decreciente, si se emplean las definiciones no estrictas:
\[ a_n\le a_{n+1} \quad \text{para todo } n\ge 1, \]
y
\[ a_n\ge a_{n+1} \quad \text{para todo } n\ge 1. \]
En efecto, si \(a_n=c\) para todo \(n\), entonces
\[ a_n=a_{n+1}=c. \]
Por tanto, se cumplen simultáneamente tanto \(a_n\le a_{n+1}\) como \(a_n\ge a_{n+1}\).
Una sucesión constante es también acotada. En efecto, si \(a_n=c\) para todo \(n\), entonces todos sus términos coinciden con \(c\), de modo que están sin duda comprendidos, por ejemplo, entre \(c-1\) y \(c+1\):
\[ c-1\le a_n\le c+1 \quad \text{para todo } n\ge 1. \]
En realidad, la menor de las cotas superiores del conjunto de valores que toma la sucesión es \(c\), y la mayor de las cotas inferiores es también \(c\). En efecto, el conjunto de los valores que toma es simplemente
\[ \{c\}. \]
Por tanto,
\[ \sup\{a_n:n\ge 1\}=c, \qquad \inf\{a_n:n\ge 1\}=c. \]
Las sucesiones constantes son importantes también porque representan el modelo más sencillo de sucesión que permanece siempre igual a un valor fijado.
Sucesiones crecientes y decrecientes
Una sucesión puede estudiarse comparando cada término con el siguiente. Esto permite saber si los términos aumentan, disminuyen o no siguen ninguna evolución regular.
Se dice que una sucesión real \((a_n)_{n\ge 1}\) es creciente si
\[ a_n\le a_{n+1} \quad \text{para todo } n\ge 1. \]
Dicho de otro modo, cada término es menor o igual que el siguiente.
Se dice, en cambio, que es estrictamente creciente si
\[ a_n<a_{n+1} \quad \text{para todo } n\ge 1. \]
En este caso cada término es estrictamente menor que el siguiente.
Por ejemplo, la sucesión
\[ a_n=n \]
es estrictamente creciente, porque
\[ a_{n+1}=n+1>n=a_n \quad \text{para todo } n\ge 1. \]
Por tanto, sus términos son
\[ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ldots \]
y aumentan en cada paso.
Se dice que una sucesión real \((a_n)_{n\ge 1}\) es decreciente si
\[ a_n\ge a_{n+1} \quad \text{para todo } n\ge 1. \]
Dicho de otro modo, cada término es mayor o igual que el siguiente.
Se dice, en cambio, que es estrictamente decreciente si
\[ a_n>a_{n+1} \quad \text{para todo } n\ge 1. \]
Por ejemplo, la sucesión
\[ b_n=\frac1n \]
es estrictamente decreciente, porque
\[ b_{n+1}=\frac{1}{n+1}<\frac1n=b_n \quad \text{para todo } n\ge 1. \]
En efecto, sus términos son
\[ 1,\ \frac12,\ \frac13,\ \frac14,\ldots \]
y se hacen cada vez más pequeños.
No todas las sucesiones son crecientes o decrecientes. Por ejemplo, la sucesión
\[ c_n=(-1)^n \]
tiene por términos
\[ -1,\ 1,\ -1,\ 1,\ldots \]
y, por tanto, no es ni creciente ni decreciente.
En efecto, de \(c_1=-1\) a \(c_2=1\) la sucesión aumenta, mientras que de \(c_2=1\) a \(c_3=-1\) disminuye.
Para comprobar si una sucesión es creciente o decreciente, un método muy utilizado consiste en estudiar el signo de la diferencia
\[ a_{n+1}-a_n. \]
Si
\[ a_{n+1}-a_n\ge 0 \quad \text{para todo } n\ge 1, \]
entonces la sucesión es creciente.
Si, en cambio,
\[ a_{n+1}-a_n\le 0 \quad \text{para todo } n\ge 1, \]
entonces la sucesión es decreciente.
Por ejemplo, consideremos
\[ a_n=n^2. \]
Calculamos:
\[ a_{n+1}-a_n=(n+1)^2-n^2. \]
Desarrollando,
\[ (n+1)^2-n^2=n^2+2n+1-n^2=2n+1. \]
Puesto que
\[ 2n+1>0 \quad \text{para todo } n\ge 1, \]
la sucesión \((n^2)_{n\ge 1}\) es estrictamente creciente.
Otro método, útil cuando los términos son positivos, consiste en estudiar el cociente
\[ \frac{a_{n+1}}{a_n}. \]
Si \(a_n>0\) para todo \(n\) y
\[ \frac{a_{n+1}}{a_n}\ge 1 \quad \text{para todo } n\ge 1, \]
entonces la sucesión es creciente.
Si, en cambio, \(a_n>0\) para todo \(n\) y
\[ \frac{a_{n+1}}{a_n}\le 1 \quad \text{para todo } n\ge 1, \]
entonces la sucesión es decreciente.
Por ejemplo, consideremos
\[ a_n=\left(\frac12\right)^n. \]
Puesto que \(a_n>0\) para todo \(n\ge 1\), podemos estudiar el cociente:
\[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\left(\frac12\right)^{n+1}}{\left(\frac12\right)^n} = \frac12. \]
Como
\[ \frac12<1, \]
la sucesión es estrictamente decreciente.
Es importante recordar que una sucesión creciente no tiene por qué crecer de manera ilimitada. Por ejemplo,
\[ a_n=\frac{n}{n+1} \]
es creciente, pero todos sus términos son menores que \(1\):
\[ \frac12,\ \frac23,\ \frac34,\ \frac45,\ldots \]
Análogamente, una sucesión decreciente no tiene por qué hacerse arbitrariamente negativa. Por ejemplo,
\[ b_n=\frac1n \]
es decreciente, pero todos sus términos son positivos.
Sucesiones monótonas
Se dice que una sucesión es monótona si mantiene siempre el mismo sentido de variación: o bien nunca disminuye, o bien nunca aumenta.
Con mayor precisión, se dice que una sucesión real \((a_n)_{n\ge 1}\) es monótona si es creciente o decreciente.
Así pues, una sucesión es monótona si se cumple una de las dos condiciones siguientes:
\[ a_n\le a_{n+1} \quad \text{para todo } n\ge 1, \]
o bien
\[ a_n\ge a_{n+1} \quad \text{para todo } n\ge 1. \]
En el primer caso la sucesión es creciente; en el segundo, decreciente.
Si, en cambio, se cumple
\[ a_n<a_{n+1} \quad \text{para todo } n\ge 1, \]
la sucesión es estrictamente creciente. Si se cumple
\[ a_n>a_{n+1} \quad \text{para todo } n\ge 1, \]
la sucesión es estrictamente decreciente.
Una sucesión estrictamente creciente o estrictamente decreciente se denomina estrictamente monótona.
Por ejemplo, la sucesión
\[ a_n=3n+1 \]
es estrictamente creciente, porque
\[ a_{n+1}=3(n+1)+1=3n+4 \]
y, por tanto,
\[ a_{n+1}-a_n=(3n+4)-(3n+1)=3>0 \quad \text{para todo } n\ge 1. \]
Así pues,
\[ a_n<a_{n+1} \quad \text{para todo } n\ge 1, \]
y la sucesión es estrictamente creciente.
Consideremos, en cambio, la sucesión
\[ b_n=\frac{1}{n+2}. \]
Sus primeros términos son
\[ \frac13,\ \frac14,\ \frac15,\ \frac16,\ldots \]
Como al crecer \(n\) el denominador aumenta, los términos se hacen más pequeños.
En efecto,
\[ b_{n+1}=\frac{1}{n+3} \]
y, puesto que
\[ n+3>n+2 \quad \text{para todo } n\ge 1, \]
se tiene
\[ \frac{1}{n+3}<\frac{1}{n+2}. \]
Por tanto,
\[ b_{n+1}<b_n \quad \text{para todo } n\ge 1, \]
es decir, la sucesión es estrictamente decreciente.
No toda sucesión es monótona. Por ejemplo, la sucesión
\[ c_n=(-1)^n \]
no es monótona, porque sus términos son
\[ -1,\ 1,\ -1,\ 1,\ldots \]
y, por tanto, la sucesión primero aumenta, luego disminuye y luego vuelve a aumentar.
En efecto,
\[ c_1=-1<1=c_2, \]
pero
\[ c_2=1>-1=c_3. \]
Por tanto, no es ni creciente ni decreciente.
La monotonía es una propiedad importante porque impone un orden global a los términos de la sucesión. Si una sucesión es creciente, ningún término posterior puede descender por debajo de los anteriores; si es decreciente, ningún término posterior puede ascender por encima de los anteriores.
Por ejemplo, si \((a_n)\) es creciente, entonces
\[ a_1\le a_2\le a_3\le \cdots \le a_n\le a_{n+1}\le \cdots. \]
Si, en cambio, \((a_n)\) es decreciente, entonces
\[ a_1\ge a_2\ge a_3\ge \cdots \ge a_n\ge a_{n+1}\ge \cdots. \]
Esta estructura ordenada hace que las sucesiones monótonas sean especialmente importantes en el estudio de los límites. En efecto, una sucesión monótona y acotada tiene siempre límite real: este resultado, conocido como teorema de convergencia de las sucesiones monótonas, será uno de los puntos centrales en el estudio posterior de las sucesiones.
Sucesiones acotadas superior e inferiormente
Una sucesión puede estudiarse también desde el punto de vista de los valores que pueden tomar sus términos. En particular, es importante saber si los términos permanecen siempre por debajo de cierto número o siempre por encima de cierto número.
Sea \((a_n)_{n\ge 1}\) una sucesión real. Se dice que \((a_n)\) está acotada superiormente si existe un número real \(M\) tal que
\[ a_n\le M \quad \text{para todo } n\ge 1. \]
El número \(M\) se denomina cota superior de la sucesión.
De manera análoga, se dice que \((a_n)\) está acotada inferiormente si existe un número real \(m\) tal que
\[ m\le a_n \quad \text{para todo } n\ge 1. \]
El número \(m\) se denomina cota inferior de la sucesión.
Por ejemplo, la sucesión
\[ a_n=\frac{n}{n+1} \]
está acotada superiormente. En efecto,
\[ \frac{n}{n+1}<1 \quad \text{para todo } n\ge 1. \]
Por tanto, \(1\) es una cota superior de la sucesión.
Observemos, no obstante, que \(1\) no es la única cota superior. También \(2\), \(10\), \(100\) son cotas superiores, porque todos los términos de la sucesión son menores que \(1\) y, por tanto, son sin duda también menores que \(2\), \(10\), \(100\).
En general, si \(M\) es una cota superior de una sucesión, entonces todo número mayor que \(M\) sigue siendo una cota superior.
La misma sucesión está también acotada inferiormente. En efecto, para todo \(n\ge 1\),
\[ \frac{n}{n+1}>0. \]
Por tanto, \(0\) es una cota inferior de la sucesión.
También en este caso la cota inferior no es única: todo número menor o igual que \(0\) es una cota inferior.
Consideremos ahora la sucesión
\[ b_n=n. \]
Está acotada inferiormente, porque
\[ 1\le n \quad \text{para todo } n\ge 1. \]
Por tanto, \(1\) es una cota inferior.
Sin embargo, la sucesión no está acotada superiormente. En efecto, no existe ningún número real \(M\) tal que
\[ n\le M \quad \text{para todo } n\ge 1. \]
Sea cual sea el número real \(M\) que se elija, siempre existe un índice natural \(n\) tal que
\[ n>M. \]
Por tanto, los términos de la sucesión superan cualquier umbral fijado.
Consideremos, en cambio, la sucesión
\[ c_n=-n. \]
Está acotada superiormente, porque
\[ -n\le -1 \quad \text{para todo } n\ge 1. \]
Por tanto, \(-1\) es una cota superior.
Sin embargo, no está acotada inferiormente: en efecto, sus términos se hacen cada vez más negativos y descienden por debajo de cualquier número real fijado.
En símbolos, para todo \(m\in\mathbb R\) existe un índice natural \(n\) tal que
\[ -n<m. \]
Por tanto, no existe ninguna cota inferior real para la sucesión \((-n)_{n\ge 1}\).
Es importante distinguir entre el hecho de que una sucesión esté acotada superior o inferiormente y el hecho de que sea creciente o decreciente.
Por ejemplo, la sucesión
\[ a_n=\frac{n}{n+1} \]
es creciente, pero está acotada superiormente por \(1\). Por tanto, una sucesión creciente no tiene por qué crecer sin límite.
Análogamente, la sucesión
\[ b_n=\frac1n \]
es decreciente, pero está acotada inferiormente por \(0\). Por tanto, una sucesión decreciente no tiene por qué hacerse arbitrariamente negativa.
Desde el punto de vista conjuntista, decir que una sucesión está acotada superiormente equivale a decir que el conjunto de sus valores
\[ \{a_n:n\ge 1\} \]
es un subconjunto de \(\mathbb R\) acotado superiormente.
Análogamente, decir que una sucesión está acotada inferiormente equivale a decir que el conjunto
\[ \{a_n:n\ge 1\} \]
está acotado inferiormente.
Esta observación permite relacionar el estudio de las sucesiones con la teoría del supremo y del ínfimo.
Si una sucesión está acotada superiormente, el conjunto de sus valores admite supremo:
\[ \sup\{a_n:n\ge 1\}. \]
Si una sucesión está acotada inferiormente, el conjunto de sus valores admite ínfimo:
\[ \inf\{a_n:n\ge 1\}. \]
Por ejemplo, para la sucesión
\[ a_n=\frac{n}{n+1} \]
el conjunto de los valores es
\[ \left\{\frac12,\frac23,\frac34,\frac45,\ldots\right\}. \]
Está acotado superiormente y su supremo es \(1\), aunque \(1\) no sea un término de la sucesión.
En efecto,
\[ \frac{n}{n+1}<1 \quad \text{para todo } n\ge 1, \]
pero los términos se acercan cada vez más a \(1\).
Sucesiones acotadas
Se dice que una sucesión está acotada si lo está tanto superior como inferiormente.
Con mayor precisión, una sucesión real \((a_n)_{n\ge 1}\) está acotada si existen dos números reales \(m\) y \(M\) tales que
\[ m\le a_n\le M \quad \text{para todo } n\ge 1. \]
El número \(m\) es una cota inferior de la sucesión, mientras que \(M\) es una cota superior.
De manera equivalente, una sucesión está acotada si todos sus términos permanecen comprendidos en un intervalo cerrado y acotado:
\[ a_n\in [m,M] \quad \text{para todo } n\ge 1. \]
Por ejemplo, la sucesión
\[ a_n=\frac{1}{n} \]
está acotada. En efecto, para todo \(n\ge 1\) se tiene
\[ 0<\frac1n\le 1. \]
Por tanto, todos los términos de la sucesión están comprendidos entre \(0\) y \(1\):
\[ 0\le a_n\le 1 \quad \text{para todo } n\ge 1. \]
Observemos que \(0\) es una cota inferior, pero no es un término de la sucesión. En efecto, no existe ningún \(n\ge 1\) tal que
\[ \frac1n=0. \]
Esto muestra que una cota inferior o una cota superior no tiene por qué ser alcanzada por la sucesión.
También la sucesión
\[ b_n=(-1)^n \]
está acotada. En efecto, sus términos son únicamente \(-1\) y \(1\):
\[ -1,\ 1,\ -1,\ 1,\ldots \]
Por tanto,
\[ -1\le b_n\le 1 \quad \text{para todo } n\ge 1. \]
En este caso, tanto la cota inferior \(-1\) como la cota superior \(1\) son valores que la sucesión alcanza efectivamente.
La sucesión
\[ c_n=n, \]
en cambio, no está acotada. En efecto, está acotada inferiormente, porque
\[ 1\le n \quad \text{para todo } n\ge 1, \]
pero no está acotada superiormente.
Para todo \(M\in\mathbb R\), es posible elegir un índice natural \(n\) tal que
\[ n>M. \]
Por tanto, no existe ningún número real \(M\) capaz de acotar superiormente todos los términos de la sucesión.
Análogamente, la sucesión
\[ d_n=-n \]
no está acotada, porque lo está superiormente pero no inferiormente.
Otra caracterización muy utilizada de la acotación es la que se basa en el valor absoluto.
Una sucesión real \((a_n)_{n\ge 1}\) está acotada si y solo si existe un número real \(K>0\) tal que
\[ |a_n|\le K \quad \text{para todo } n\ge 1. \]
Esta condición significa que todos los términos de la sucesión pertenecen al intervalo
\[ [-K,K]. \]
En efecto, de la desigualdad
\[ |a_n|\le K \]
se sigue que
\[ -K\le a_n\le K \quad \text{para todo } n\ge 1. \]
Recíprocamente, si existen \(m,M\in\mathbb R\) tales que
\[ m\le a_n\le M \quad \text{para todo } n\ge 1, \]
entonces basta con elegir
\[ K=\max\{|m|,|M|\}. \]
De este modo se obtiene
\[ |a_n|\le K \quad \text{para todo } n\ge 1. \]
Esta forma suele resultar más cómoda en las demostraciones, porque reúne en una sola desigualdad el control superior e inferior de los términos.
Por ejemplo, la sucesión
\[ a_n=\frac{(-1)^n}{n} \]
está acotada, porque
\[ |a_n| = \left|\frac{(-1)^n}{n}\right| = \frac1n \le 1 \quad \text{para todo } n\ge 1. \]
Por tanto, podemos elegir \(K=1\) y concluir que
\[ |a_n|\le 1 \quad \text{para todo } n\ge 1. \]
La acotación es una propiedad esencial en el estudio de las sucesiones. Por sí sola no garantiza la existencia del límite: por ejemplo, \((-1)^n\) está acotada pero no se aproxima a un único valor.
Combinada, sin embargo, con otras propiedades, como la monotonía, resulta extremadamente potente. En particular, toda sucesión monótona y acotada converge a un número real.
Sucesiones no negativas, no positivas y de signo alterno
Otro aspecto importante en el estudio de una sucesión es el signo de sus términos. En particular, puede ser útil establecer si los términos son siempre no negativos, siempre no positivos o si cambian de signo al variar el índice.
Se dice que una sucesión real \((a_n)_{n\ge 1}\) es no negativa si
\[ a_n\ge 0 \quad \text{para todo } n\ge 1. \]
Si, en cambio,
\[ a_n>0 \quad \text{para todo } n\ge 1, \]
se dice que la sucesión es estrictamente positiva.
Por ejemplo, la sucesión
\[ a_n=\frac1n \]
es estrictamente positiva, porque
\[ \frac1n>0 \quad \text{para todo } n\ge 1. \]
Se dice que una sucesión real \((a_n)_{n\ge 1}\) es no positiva si
\[ a_n\le 0 \quad \text{para todo } n\ge 1. \]
Si, en cambio,
\[ a_n<0 \quad \text{para todo } n\ge 1, \]
se dice que la sucesión es estrictamente negativa.
Por ejemplo, la sucesión
\[ b_n=-n \]
es estrictamente negativa, porque
\[ -n<0 \quad \text{para todo } n\ge 1. \]
Una sucesión puede contener también términos positivos y negativos a la vez. Un caso especialmente importante es el de las sucesiones de signo alterno.
Se dice que una sucesión es de signo alterno cuando sus términos cambian de signo en cada paso, pasando de positivo a negativo o de negativo a positivo.
El ejemplo fundamental es
\[ a_n=(-1)^n. \]
Para \(n\ge 1\), sus términos son
\[ -1,\ 1,\ -1,\ 1,\ldots \]
En efecto, cuando \(n\) es impar, \((-1)^n=-1\); cuando \(n\) es par, \((-1)^n=1\).
Si, en cambio, se considera la sucesión
\[ b_n=(-1)^{n+1}, \]
los términos son
\[ 1,\ -1,\ 1,\ -1,\ldots \]
En este caso el primer término es positivo, porque
\[ b_1=(-1)^2=1. \]
Las potencias de \(-1\) son, por tanto, una herramienta estándar para construir sucesiones de signo alterno.
Por ejemplo, la sucesión
\[ c_n=\frac{(-1)^n}{n} \]
tiene por términos
\[ -1,\ \frac12,\ -\frac13,\ \frac14,\ldots \]
Cambia de signo en cada paso, pero la magnitud de los términos disminuye.
En efecto,
\[ |c_n| = \left|\frac{(-1)^n}{n}\right| = \frac1n. \]
El estudio del signo es útil porque muchas propiedades de las sucesiones dependen de que los términos sean positivos, negativos o alternados.
Por ejemplo, cuando una sucesión tiene términos positivos, a menudo es posible estudiar la monotonía mediante el cociente
\[ \frac{a_{n+1}}{a_n}. \]
Este método exige cierto cuidado: el cociente es especialmente eficaz cuando los términos son estrictamente positivos, ya que en tal caso el signo no altera el sentido de las desigualdades.
En cambio, en las sucesiones de signo alterno, el estudio de la monotonía debe llevarse a cabo con mayor cautela. Por ejemplo, la sucesión
\[ \frac{(-1)^n}{n} \]
no es monótona, porque sus términos pasan continuamente de negativos a positivos.
Sin embargo, la sucesión de los valores absolutos
\[ \left|\frac{(-1)^n}{n}\right|=\frac1n \]
es estrictamente decreciente.
Este ejemplo pone de manifiesto una distinción importante: una sucesión puede no ser monótona, mientras que la sucesión de sus valores absolutos sí puede serlo.
Sucesiones aritméticas
Una sucesión aritmética es una sucesión en la que la diferencia entre dos términos consecutivos es constante.
Con mayor precisión, una sucesión real \((a_n)_{n\ge 1}\) es aritmética si existe un número real \(d\) tal que
\[ a_{n+1}-a_n=d \quad \text{para todo } n\ge 1. \]
El número \(d\) se denomina diferencia de la sucesión aritmética.
De manera equivalente, una sucesión aritmética puede definirse por recurrencia poniendo
\[ a_{n+1}=a_n+d \quad \text{para todo } n\ge 1. \]
Esto significa que cada término se obtiene del anterior sumando siempre el mismo número \(d\).
Por ejemplo, la sucesión
\[ 3,\ 7,\ 11,\ 15,\ldots \]
es aritmética, porque la diferencia entre dos términos consecutivos es siempre \(4\):
\[ 7-3=4,\qquad 11-7=4,\qquad 15-11=4. \]
En este caso la diferencia es
\[ d=4. \]
Si el primer término es \(a_1\) y la diferencia es \(d\), entonces el término general de la sucesión aritmética es
\[ a_n=a_1+(n-1)d. \]
En efecto, para pasar de \(a_1\) a \(a_n\) hay que sumar \(d\) exactamente \(n-1\) veces:
\[ a_2=a_1+d, \]
\[ a_3=a_1+2d, \]
\[ a_4=a_1+3d, \]
y, en general,
\[ a_n=a_1+(n-1)d. \]
Por ejemplo, en la sucesión
\[ 3,\ 7,\ 11,\ 15,\ldots \]
tenemos \(a_1=3\) y \(d=4\). Por tanto,
\[ a_n=3+(n-1)4. \]
Simplificando,
\[ a_n=4n-1. \]
En efecto:
\[ a_1=4\cdot 1-1=3, \]
\[ a_2=4\cdot 2-1=7, \]
\[ a_3=4\cdot 3-1=11. \]
El signo de la diferencia determina la evolución de la sucesión.
- Si \(d>0\), la sucesión es estrictamente creciente.
- Si \(d=0\), la sucesión es constante.
- Si \(d<0\), la sucesión es estrictamente decreciente.
Por ejemplo, la sucesión
\[ a_n=2+5(n-1) \]
es estrictamente creciente, porque su diferencia es \(d=5>0\).
La sucesión
\[ b_n=6 \]
es aritmética con diferencia \(d=0\), de modo que es constante.
La sucesión
\[ c_n=10-3(n-1) \]
es estrictamente decreciente, porque su diferencia es \(d=-3<0\).
Las sucesiones aritméticas son, por tanto, el modelo más sencillo de sucesiones con crecimiento o decrecimiento lineal: en cada paso la variación es siempre la misma.
Sucesiones geométricas
Una sucesión geométrica es una sucesión en la que cada término se obtiene del anterior multiplicando siempre por un mismo número.
Con mayor precisión, una sucesión real \((a_n)_{n\ge 1}\) es geométrica si existe un número real \(q\) tal que
\[ a_{n+1}=q\,a_n \quad \text{para todo } n\ge 1. \]
El número \(q\) se denomina razón de la sucesión geométrica.
Si \(a_n\neq 0\) para todo \(n\ge 1\), la razón puede obtenerse a partir del cociente entre dos términos consecutivos:
\[ \frac{a_{n+1}}{a_n}=q \quad \text{para todo } n\ge 1. \]
Por ejemplo, la sucesión
\[ 3,\ 6,\ 12,\ 24,\ldots \]
es geométrica, porque cada término se obtiene del anterior multiplicando por \(2\):
\[ 6=2\cdot 3, \qquad 12=2\cdot 6, \qquad 24=2\cdot 12. \]
En este caso la razón es
\[ q=2. \]
Si el primer término es \(a_1\) y la razón es \(q\), entonces el término general de la sucesión geométrica es
\[ a_n=a_1 q^{\,n-1}. \]
En efecto:
\[ a_2=a_1q, \]
\[ a_3=a_2q=a_1q^2, \]
\[ a_4=a_3q=a_1q^3, \]
y, en general,
\[ a_n=a_1q^{\,n-1}. \]
Por ejemplo, en la sucesión
\[ 3,\ 6,\ 12,\ 24,\ldots \]
tenemos \(a_1=3\) y \(q=2\). Por tanto,
\[ a_n=3\cdot 2^{n-1}. \]
En efecto:
\[ a_1=3\cdot 2^0=3, \]
\[ a_2=3\cdot 2^1=6, \]
\[ a_3=3\cdot 2^2=12. \]
Consideremos ahora la sucesión
\[ b_n=\left(\frac12\right)^{n-1}. \]
Sus primeros términos son
\[ 1,\ \frac12,\ \frac14,\ \frac18,\ldots \]
También esta es una sucesión geométrica, con primer término \(b_1=1\) y razón
\[ q=\frac12. \]
En efecto, cada término se obtiene del anterior multiplicando por \(\displaystyle \frac12\).
El comportamiento de una sucesión geométrica depende de manera esencial de la razón \(q\).
Supongamos, por sencillez, que \(a_1>0\). Entonces:
- si \(q>1\), la sucesión es estrictamente creciente y sus términos se hacen cada vez más grandes;
- si \(q=1\), la sucesión es constante;
- si \(0<q<1\), la sucesión es estrictamente decreciente y sus términos se aproximan a \(0\);
- si \(q=0\), todos los términos a partir del segundo son iguales a \(0\);
- si \(q<0\), los términos cambian de signo en cada paso.
Por ejemplo, la sucesión
\[ a_n=2^n \]
es geométrica con razón \(q=2\). Sus términos son
\[ 2,\ 4,\ 8,\ 16,\ldots \]
y crecen con rapidez.
En cambio, la sucesión
\[ b_n=\left(\frac13\right)^n \]
es geométrica con razón
\[ q=\frac13. \]
Sus términos son
\[ \frac13,\ \frac19,\ \frac1{27},\ \frac1{81},\ldots \]
y se hacen cada vez más pequeños.
Un ejemplo con razón negativa es
\[ c_n=(-2)^n. \]
Para \(n\ge 1\), los primeros términos son
\[ -2,\ 4,\ -8,\ 16,\ldots \]
La sucesión es geométrica con razón \(q=-2\). Los términos cambian de signo en cada paso y su valor absoluto crece.
Consideremos, por último, la sucesión
\[ d_n=\left(-\frac12\right)^n. \]
Sus primeros términos son
\[ -\frac12,\ \frac14,\ -\frac18,\ \frac1{16},\ldots \]
En este caso la razón es
\[ q=-\frac12. \]
Los términos cambian de signo en cada paso, pero su valor absoluto se hace cada vez más pequeño.
Las sucesiones geométricas son fundamentales porque describen procesos en los que la variación no es constante en valor absoluto, sino proporcional al término anterior. Por este motivo aparecen de forma natural en muchos contextos: crecimiento exponencial, decaimiento, interés compuesto y estudio de las series geométricas.
Representación gráfica de una sucesión
Una sucesión real \((a_n)_{n\ge 1}\) puede representarse gráficamente en el plano cartesiano asociando a cada índice \(n\) el término correspondiente \(a_n\).
Dicho de otro modo, a la sucesión \((a_n)_{n\ge 1}\) le asociamos los puntos
\[ (1,a_1),\ (2,a_2),\ (3,a_3),\ldots,\ (n,a_n),\ldots \]
La gráfica de una sucesión es, por tanto, el conjunto de puntos
\[ \{(n,a_n):n\ge 1\}. \]
Conviene observar una diferencia importante respecto a la gráfica de una función real de variable real. Una sucesión está definida únicamente sobre los índices naturales, de modo que su gráfica no es una curva continua, sino un conjunto discreto de puntos.
Por ejemplo, consideremos la sucesión
\[ a_n=\frac1n. \]
Los primeros puntos de su gráfica son
\[ (1,1),\ \left(2,\frac12\right),\ \left(3,\frac13\right),\ \left(4,\frac14\right),\ldots \]
Estos puntos descienden progresivamente y se aproximan al eje de abscisas, pero no forman una curva continua.
Análogamente, para la sucesión
\[ b_n=(-1)^n \]
los puntos de la gráfica son
\[ (1,-1),\ (2,1),\ (3,-1),\ (4,1),\ldots \]
En este caso los puntos oscilan entre las dos rectas horizontales
\[ y=-1 \qquad \text{e} \qquad y=1. \]
La representación gráfica es útil porque permite visualizar algunas propiedades de la sucesión.
Si los puntos suben al crecer el índice, la sucesión puede ser creciente. Si los puntos bajan, la sucesión puede ser decreciente. Si los puntos permanecen comprendidos entre dos rectas horizontales, la sucesión puede estar acotada.
Por ejemplo, una sucesión acotada se representa mediante puntos que permanecen todos dentro de una franja horizontal del plano. En efecto, si existen \(m,M\in\mathbb R\) tales que
\[ m\le a_n\le M \quad \text{para todo } n\ge 1, \]
entonces todos los puntos \((n,a_n)\) se sitúan entre las dos rectas horizontales
\[ y=m \qquad \text{e} \qquad y=M. \]
Por ejemplo, la sucesión
\[ a_n=\frac{n}{n+1} \]
se representa mediante puntos comprendidos entre \(0\) y \(1\), porque
\[ 0<\frac{n}{n+1}<1 \quad \text{para todo } n\ge 1. \]
Además, los puntos se aproximan progresivamente a la recta horizontal
\[ y=1. \]
Es importante, no obstante, no confundir el dibujo con una demostración. La gráfica puede sugerir que una sucesión es creciente, acotada o convergente, pero estas propiedades deben verificarse mediante las definiciones o mediante criterios rigurosos.
Por ejemplo, de la gráfica de la sucesión
\[ a_n=\frac{n}{n+1} \]
se intuye que los términos aumentan y permanecen por debajo de \(1\). Sin embargo, para demostrarlo hay que comprobar las desigualdades.
En efecto,
\[ a_{n+1}-a_n = \frac{n+1}{n+2}-\frac{n}{n+1} = \frac{(n+1)^2-n(n+2)}{(n+1)(n+2)}. \]
Desarrollando el numerador obtenemos
\[ (n+1)^2-n(n+2)=n^2+2n+1-n^2-2n=1. \]
Por tanto,
\[ a_{n+1}-a_n = \frac{1}{(n+1)(n+2)} >0 \quad \text{para todo } n\ge 1. \]
La sucesión es, pues, estrictamente creciente.
Además,
\[ \frac{n}{n+1}<1 \quad \text{para todo } n\ge 1, \]
de modo que está acotada superiormente por \(1\).
En conclusión, la gráfica de una sucesión está formada por puntos aislados, uno por cada índice natural. Es una herramienta útil para intuir el comportamiento de la sucesión, pero no sustituye a las definiciones ni a las demostraciones.
Diferencia entre sucesión y función real de variable real
Una sucesión real es una función definida sobre los números naturales:
\[ a:\mathbb N\to\mathbb R. \]
Una función real de variable real, en cambio, es una función definida sobre un subconjunto de \(\mathbb R\):
\[ f:A\subseteq \mathbb R\to\mathbb R. \]
La diferencia principal afecta, por tanto, al dominio. En el caso de una sucesión, la variable independiente toma únicamente valores naturales:
\[ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ldots \]
En el caso de una función real de variable real, en cambio, la variable puede tomar valores reales, por ejemplo todos los valores de un intervalo.
Por ejemplo, la sucesión
\[ a_n=\frac1n \]
está definida únicamente para \(n\in\mathbb N\), con \(n\ge 1\). Sus términos son
\[ 1,\ \frac12,\ \frac13,\ \frac14,\ldots \]
La función
\[ f(x)=\frac1x \]
en cambio puede definirse, por ejemplo, para todo \(x>0\). En este caso el dominio es el intervalo
\[ (0,+\infty). \]
La sucesión \((a_n)\) puede obtenerse evaluando la función \(f(x)=\displaystyle \frac1x\) únicamente en los índices naturales:
\[ a_n=f(n)=\frac1n. \]
Sin embargo, la sucesión y la función no son el mismo objeto. La función \(f\) está definida también en puntos no naturales, como
\[ x=\frac12,\qquad x=\sqrt2,\qquad x=10{,}7, \]
mientras que la sucesión considera únicamente los valores correspondientes a los índices naturales.
Esta diferencia se refleja también en la representación gráfica.
La gráfica de la función
\[ f(x)=\frac1x \]
sobre \((0,+\infty)\) es una curva continua. La gráfica de la sucesión
\[ a_n=\frac1n \]
en cambio está formada únicamente por los puntos
\[ \left(n,\frac1n\right), \qquad n\ge 1. \]
Por tanto, la sucesión corresponde a una parte discreta de la gráfica de la función.
Muchas sucesiones pueden obtenerse restringiendo una función real a los índices naturales. Por ejemplo, de la función
\[ f(x)=x^2+1 \]
se obtiene la sucesión
\[ a_n=f(n)=n^2+1. \]
Los primeros términos son
\[ 2,\ 5,\ 10,\ 17,\ldots \]
No hay que pensar, sin embargo, que toda propiedad de la función se transfiera automáticamente a la sucesión o viceversa.
Por ejemplo, una función puede no ser monótona en todo su dominio, mientras que la sucesión obtenida evaluándola en los enteros naturales sí puede serlo.
Consideremos la función
\[ f(x)=\sin(\pi x). \]
Esta función oscila sobre el eje real. Sin embargo, si la evaluamos en los enteros naturales, obtenemos
\[ a_n=f(n)=\sin(\pi n)=0 \quad \text{para todo } n\ge 1. \]
La sucesión correspondiente es, por tanto,
\[ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ldots \]
es decir, una sucesión constante.
Recíprocamente, conocer los valores de una función únicamente en los índices naturales no permite, en general, reconstruir el comportamiento de la función en todo su dominio.
Por ejemplo, dos funciones distintas pueden tomar los mismos valores en todos los enteros naturales, pero comportarse de manera diferente entre un entero y el siguiente.
Esta observación muestra que una sucesión conserva únicamente la información relativa a los valores que toma en correspondencia con los índices naturales.
En resumen:
- una sucesión real es una función de \(\mathbb N\) en \(\mathbb R\);
- una función real de variable real está definida sobre un subconjunto de \(\mathbb R\);
- la gráfica de una sucesión es discreta;
- la gráfica de una función real puede ser una curva continua;
- una sucesión puede obtenerse a menudo evaluando una función real en los índices naturales, pero sigue siendo un objeto distinto.
Subsucesiones
Una subsucesión es una sucesión obtenida eligiendo algunos términos de una sucesión dada, sin modificar su orden.
Sea \((a_n)_{n\ge 1}\) una sucesión real. Una subsucesión de \((a_n)\) es una sucesión de la forma
\[ (a_{n_k})_{k\ge 1}, \]
donde \((n_k)_{k\ge 1}\) es una sucesión estrictamente creciente de índices naturales, es decir,
\[ n_1<n_2<n_3<\cdots<n_k<n_{k+1}<\cdots. \]
La condición sobre los índices es fundamental: para construir una subsucesión se pueden eliminar algunos términos de la sucesión original, pero no se puede cambiar el orden de los términos que quedan.
Por ejemplo, consideremos la sucesión
\[ a_n=n. \]
Sus términos son
\[ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ldots \]
Si elegimos únicamente los índices pares,
\[ n_k=2k, \]
obtenemos la subsucesión
\[ a_{n_k}=a_{2k}=2k. \]
Sus términos son
\[ 2,\ 4,\ 6,\ 8,\ldots \]
Si, en cambio, elegimos únicamente los índices impares,
\[ n_k=2k-1, \]
obtenemos la subsucesión
\[ a_{n_k}=a_{2k-1}=2k-1, \]
es decir,
\[ 1,\ 3,\ 5,\ 7,\ldots \]
Consideremos ahora la sucesión alternada
\[ a_n=(-1)^n. \]
Sus términos son
\[ -1,\ 1,\ -1,\ 1,\ldots \]
Eligiendo los índices pares \(n_k=2k\), obtenemos
\[ a_{n_k}=a_{2k}=(-1)^{2k}=1. \]
Por tanto, la subsucesión de los índices pares es
\[ 1,\ 1,\ 1,\ 1,\ldots \]
Eligiendo, en cambio, los índices impares \(n_k=2k-1\), obtenemos
\[ a_{n_k}=a_{2k-1}=(-1)^{2k-1}=-1. \]
Por tanto, la subsucesión de los índices impares es
\[ -1,\ -1,\ -1,\ -1,\ldots \]
Este ejemplo muestra que una sucesión puede no aproximarse a un único valor, pero poseer subsucesiones con comportamientos muy regulares.
Es importante distinguir entre el índice \(k\) de la subsucesión y el índice \(n_k\) de la sucesión original.
En la subsucesión
\[ (a_{n_k})_{k\ge 1}, \]
el número \(k\) indica la posición del término dentro de la subsucesión, mientras que \(n_k\) indica la posición del término correspondiente en la sucesión original.
Por ejemplo, si
\[ n_k=2k, \]
entonces:
\[ n_1=2,\qquad n_2=4,\qquad n_3=6,\qquad n_4=8. \]
La subsucesión \((a_{2k})_{k\ge 1}\) toma, por tanto, el segundo, el cuarto, el sexto y el octavo término de la sucesión original, y así sucesivamente.
No toda elección de términos produce una subsucesión. Los índices deben ser estrictamente crecientes.
Por ejemplo, la elección
\[ n_1=3,\qquad n_2=1,\qquad n_3=4 \]
no define una subsucesión, porque los índices no respetan el orden natural:
\[ 3>1. \]
Del mismo modo, no se puede repetir el mismo índice. La elección
\[ n_1=2,\qquad n_2=2,\qquad n_3=5 \]
no define una subsucesión, porque no se cumple
\[ n_1<n_2. \]
Una propiedad sencilla pero importante es que, para toda subsucesión, se tiene
\[ n_k\ge k \quad \text{para todo } k\ge 1. \]
En efecto, los índices \(n_k\) son naturales y estrictamente crecientes. El primer índice es al menos \(1\), el segundo al menos \(2\), el tercero al menos \(3\), y así sucesivamente.
Esta observación es útil porque muestra que también los índices de una subsucesión tienden a hacerse arbitrariamente grandes.
Las subsucesiones son fundamentales en el estudio de las sucesiones porque permiten analizar comportamientos parciales de la sucesión original.
Por ejemplo, una sucesión puede oscilar, pero algunas de sus subsucesiones pueden ser constantes, crecientes, decrecientes o convergentes.
En el caso de la sucesión
\[ a_n=(-1)^n, \]
la sucesión completa oscila entre \(-1\) y \(1\), mientras que las dos subsucesiones
\[ (a_{2k})_{k\ge 1} \qquad \text{y} \qquad (a_{2k-1})_{k\ge 1} \]
son ambas constantes.
En general, si una sucesión converge a un límite real \(L\), entonces toda subsucesión suya converge al mismo límite \(L\). El recíproco, en cambio, no es cierto en general: el hecho de que una subsucesión converja no basta para garantizar que converja toda la sucesión.
Por ejemplo, la sucesión \((-1)^n\) no converge, pero posee la subsucesión de los índices pares, que converge a \(1\), y la subsucesión de los índices impares, que converge a \(-1\).
Las subsucesiones serán, por tanto, una herramienta decisiva en el estudio de los límites, de los puntos de acumulación y del teorema de Bolzano-Weierstrass.
Primeras propiedades de las sucesiones
Las sucesiones poseen algunas propiedades generales que permiten relacionar entre sí la monotonía, la acotación, el signo y las subsucesiones. En esta sección reunimos los primeros resultados fundamentales, sin entrar todavía en la teoría completa de los límites.
Toda sucesión creciente está acotada inferiormente
Si una sucesión \((a_n)_{n\ge 1}\) es creciente, entonces
\[ a_n\le a_{n+1} \quad \text{para todo } n\ge 1. \]
De ello se sigue que cada término posterior es mayor o igual que el primer término:
\[ a_1\le a_2\le a_3\le \cdots \le a_n\le \cdots. \]
En particular,
\[ a_1\le a_n \quad \text{para todo } n\ge 1. \]
Por tanto, \(a_1\) es una cota inferior de la sucesión. Así pues, toda sucesión creciente está acotada inferiormente.
Atención: una sucesión creciente no está necesariamente acotada superiormente. Por ejemplo,
\[ a_n=n \]
es creciente, pero no está acotada superiormente.
Toda sucesión decreciente está acotada superiormente
Si una sucesión \((a_n)_{n\ge 1}\) es decreciente, entonces
\[ a_n\ge a_{n+1} \quad \text{para todo } n\ge 1. \]
De ello se sigue que
\[ a_1\ge a_2\ge a_3\ge \cdots \ge a_n\ge \cdots. \]
En particular,
\[ a_n\le a_1 \quad \text{para todo } n\ge 1. \]
Por tanto, \(a_1\) es una cota superior de la sucesión. Así pues, toda sucesión decreciente está acotada superiormente.
También en este caso no se cumple automáticamente la otra acotación. Por ejemplo,
\[ a_n=-n \]
es decreciente, pero no está acotada inferiormente.
Una sucesión monótona puede estar acotada o no acotada
La monotonía describe el orden de los términos, pero por sí sola no determina la acotación completa de la sucesión.
Por ejemplo, la sucesión
\[ a_n=\frac{n}{n+1} \]
es creciente y acotada, porque
\[ 0<\frac{n}{n+1}<1 \quad \text{para todo } n\ge 1. \]
En cambio, la sucesión
\[ b_n=n \]
es creciente, pero no está acotada superiormente.
Análogamente, la sucesión
\[ c_n=\frac1n \]
es decreciente y acotada, porque
\[ 0<\frac1n\le 1 \quad \text{para todo } n\ge 1. \]
En cambio, la sucesión
\[ d_n=-n \]
es decreciente, pero no está acotada inferiormente.
Toda subsucesión de una sucesión acotada está acotada
Sea \((a_n)_{n\ge 1}\) una sucesión acotada. Entonces existe un número real \(K>0\) tal que
\[ |a_n|\le K \quad \text{para todo } n\ge 1. \]
Consideremos una subsucesión suya
\[ (a_{n_k})_{k\ge 1}. \]
Puesto que cada \(n_k\) es un índice natural, de la desigualdad anterior se sigue de inmediato que
\[ |a_{n_k}|\le K \quad \text{para todo } k\ge 1. \]
Por tanto, la subsucesión también está acotada.
El recíproco no es cierto: una sucesión puede tener una subsucesión acotada sin estar acotada ella misma.
Por ejemplo, consideremos
\[ a_n= \begin{cases} 1, & \text{si } n \text{ es par},\\ n, & \text{si } n \text{ es impar}. \end{cases} \]
La subsucesión de los índices pares es constante:
\[ a_{2k}=1 \quad \text{para todo } k\ge 1. \]
Por tanto, está acotada. Sin embargo, la sucesión completa no está acotada superiormente, porque en los índices impares toma valores arbitrariamente grandes.
Toda subsucesión de una sucesión monótona es monótona en el mismo sentido
Sea \((a_n)_{n\ge 1}\) una sucesión creciente y sea \((a_{n_k})_{k\ge 1}\) una subsucesión suya.
Puesto que los índices de la subsucesión son estrictamente crecientes, se tiene
\[ n_k<n_{k+1} \quad \text{para todo } k\ge 1. \]
Como \((a_n)\) es creciente, de los índices ordenados se sigue
\[ a_{n_k}\le a_{n_{k+1}} \quad \text{para todo } k\ge 1. \]
Por tanto, la subsucesión es creciente.
Del mismo modo, si \((a_n)\) es decreciente, entonces toda subsucesión suya es decreciente. En efecto, de
\[ n_k<n_{k+1} \]
se sigue
\[ a_{n_k}\ge a_{n_{k+1}}. \]
Así pues, las subsucesiones conservan el sentido de monotonía de la sucesión original.
La acotación no implica la monotonía
Una sucesión puede estar acotada sin ser monótona.
El ejemplo más sencillo es
\[ a_n=(-1)^n. \]
En efecto,
\[ -1\le a_n\le 1 \quad \text{para todo } n\ge 1, \]
de modo que la sucesión está acotada.
Sin embargo, no es monótona, porque sus términos oscilan:
\[ -1,\ 1,\ -1,\ 1,\ldots \]
Una sucesión acotada puede, por tanto, no tener ninguna evolución creciente o decreciente.
La monotonía y la acotación juntas son decisivas
Aunque la monotonía por sí sola no garantiza la acotación, ni la acotación por sí sola garantiza la monotonía, ambas propiedades juntas desempeñan un papel fundamental.
En efecto, un resultado central del análisis afirma que toda sucesión real monótona y acotada converge.
Con mayor precisión:
- si \((a_n)\) es creciente y está acotada superiormente, entonces converge a su supremo;
- si \((a_n)\) es decreciente y está acotada inferiormente, entonces converge a su ínfimo.
Este teorema no se demuestra en esta sección, pero explica por qué las propiedades introducidas hasta ahora son tan importantes. La monotonía y la acotación se cuentan entre las primeras herramientas rigurosas para establecer la existencia de un límite.
Errores comunes sobre las sucesiones
En el estudio de las sucesiones aparecen algunos errores muy frecuentes. Reconocerlos es importante, porque muchas dificultades posteriores con los límites nacen precisamente de una comprensión imprecisa de las definiciones iniciales.
Confundir la sucesión con el conjunto de sus valores
Una sucesión no es simplemente el conjunto de los valores que aparecen entre sus términos. Una sucesión es una función definida sobre los números naturales, de modo que importa también el orden en que están dispuestos los términos, y cuenta asimismo su posible repetición.
Por ejemplo, la sucesión
\[ a_n=(-1)^n \]
tiene por términos
\[ -1,\ 1,\ -1,\ 1,\ldots \]
El conjunto de los valores que toma la sucesión es
\[ \{-1,1\}. \]
Sin embargo, la sucesión no coincide con el conjunto \(\{-1,1\}\). La sucesión contiene infinitas repeticiones ordenadas de los valores \(-1\) y \(1\), mientras que el conjunto contiene únicamente los dos valores distintos.
Confundir el término general con la sucesión
El símbolo \(a_n\) indica el término de la sucesión correspondiente al índice \(n\). La escritura \((a_n)_{n\ge 1}\), en cambio, indica la sucesión entera.
Por ejemplo, si
\[ a_n=\frac1n, \]
entonces \(a_n\) es el término general, mientras que
\[ (a_n)_{n\ge 1} \]
es la sucesión entera
\[ 1,\ \frac12,\ \frac13,\ \frac14,\ldots \]
Decir que \(a_n=\displaystyle \frac1n\) no significa indicar un único número fijado, sino una regla que, para cada índice \(n\), produce el término correspondiente.
No especificar el índice inicial
Un error frecuente consiste en escribir una fórmula sin indicar para qué valores del índice define realmente una sucesión.
Por ejemplo,
\[ a_n=\frac1n \]
no puede considerarse a partir de \(n=0\), ya que \(\displaystyle \frac10\) no está definido.
En este caso hay que escribir, por ejemplo,
\[ (a_n)_{n\ge 1}, \qquad a_n=\frac1n. \]
Análogamente, la fórmula
\[ b_n=\sqrt{n-4} \]
define una sucesión real solo para
\[ n\ge 4. \]
En efecto, para \(n<4\) la cantidad \(n-4\) es negativa y, por tanto, \(\sqrt{n-4}\) no es un número real.
Creer que una sucesión creciente es siempre no acotada
Una sucesión creciente no tiene por qué crecer sin límite.
Por ejemplo, la sucesión
\[ a_n=\frac{n}{n+1} \]
es creciente, pero todos sus términos son menores que \(1\):
\[ \frac{n}{n+1}<1 \quad \text{para todo } n\ge 1. \]
Por tanto, la sucesión está acotada superiormente.
La monotonía describe el sentido de variación de los términos, pero por sí sola no basta para establecer si la sucesión está acotada o no.
Creer que una sucesión acotada es siempre monótona
Tampoco la acotación implica la monotonía.
La sucesión
\[ a_n=(-1)^n \]
está acotada, porque
\[ -1\le a_n\le 1 \quad \text{para todo } n\ge 1. \]
Sin embargo, no es monótona, porque sus términos oscilan entre \(-1\) y \(1\):
\[ -1,\ 1,\ -1,\ 1,\ldots \]
Por tanto, una sucesión puede permanecer siempre dentro de un intervalo acotado sin ser creciente ni decreciente.
Confundir subsucesión y subconjunto de términos
Una subsucesión no es una elección cualquiera de términos. Los índices deben ser estrictamente crecientes.
Una subsucesión de \((a_n)_{n\ge 1}\) tiene la forma
\[ (a_{n_k})_{k\ge 1}, \]
donde
\[ n_1<n_2<n_3<\cdots. \]
Por ejemplo, si se eligen los índices
\[ 2,\ 4,\ 6,\ 8,\ldots, \]
se obtiene una subsucesión. Si, en cambio, se eligen los índices
\[ 3,\ 1,\ 5,\ldots, \]
no se obtiene una subsucesión, porque no se respeta el orden de los índices.
Creer que una subsucesión describe siempre toda la sucesión
Una subsucesión describe únicamente una parte de la sucesión original. Por este motivo, el comportamiento de una subsucesión no basta, en general, para determinar el comportamiento de toda la sucesión.
Por ejemplo, la sucesión
\[ a_n=(-1)^n \]
no converge, porque oscila entre \(-1\) y \(1\).
Sin embargo, la subsucesión de los índices pares es constante:
\[ a_{2k}=1 \quad \text{para todo } k\ge 1, \]
mientras que la subsucesión de los índices impares es también constante:
\[ a_{2k-1}=-1 \quad \text{para todo } k\ge 1. \]
Por tanto, una sucesión puede tener subsucesiones muy regulares y, sin embargo, no tener en conjunto un comportamiento único.
Usar la gráfica como si fuera una demostración
La gráfica de una sucesión puede ayudar a intuir el comportamiento de los términos, pero no sustituye a una demostración.
Por ejemplo, observando la gráfica de la sucesión
\[ a_n=\frac{n}{n+1} \]
se puede intuir que es creciente y está acotada superiormente por \(1\). Sin embargo, para demostrarlo hay que verificar las desigualdades:
\[ a_{n+1}-a_n>0 \quad \text{para todo } n\ge 1, \]
y
\[ a_n<1 \quad \text{para todo } n\ge 1. \]
En análisis matemático el dibujo sugiere, pero la demostración debe basarse en las definiciones.
Las propiedades introducidas constituyen la base para el estudio de los límites de sucesiones. En particular, la combinación de monotonía y acotación conduce a uno de los primeros resultados fundamentales del análisis: toda sucesión real monótona y acotada converge.
Las sucesiones constituyen, por tanto, un puente natural entre la aritmética, el álgebra y el análisis: partiendo de una simple lista ordenada de números, se llega a conceptos profundos como el límite, la convergencia, la completitud de los números reales y el comportamiento en el infinito.