Los ejercicios que siguen permiten consolidar las nociones fundamentales sobre las sucesiones: definición, notación, término general, recurrencia, monotonía, acotación, progresiones aritméticas y geométricas, representación gráfica y una primera aproximación a las subsucesiones.
En cada ejercicio emplearemos las definiciones de manera explícita, de modo que quede claro no solo el resultado final, sino también el procedimiento correcto que conviene seguir.
Ejercicio 1 — nivel ★☆☆☆☆
Escribir los primeros cinco términos de la sucesión definida por
\[ a_n=2n-1,\qquad n\ge 1. \]
Resultado
Los primeros cinco términos son
\[ 1,\ 3,\ 5,\ 7,\ 9. \]
Resolución
La sucesión está dada por su término general
\[ a_n=2n-1. \]
Para hallar los primeros cinco términos sustituimos en \(n\) los valores \(1,2,3,4,5\).
Para \(n=1\) obtenemos
\[ a_1=2\cdot 1-1=1. \]
Para \(n=2\) obtenemos
\[ a_2=2\cdot 2-1=3. \]
Para \(n=3\) obtenemos
\[ a_3=2\cdot 3-1=5. \]
Análogamente,
\[ a_4=2\cdot 4-1=7, \qquad a_5=2\cdot 5-1=9. \]
Así pues, los primeros cinco términos de la sucesión son
\[ 1,\ 3,\ 5,\ 7,\ 9. \]
Observemos que estos son los primeros números naturales impares. No obstante, la sucesión no es simplemente el conjunto de los números impares: es una lista ordenada, en la que el primer término es \(1\), el segundo es \(3\), el tercero es \(5\), y así sucesivamente.
Ejercicio 2 — nivel ★☆☆☆☆
Determinar los primeros cuatro términos de la sucesión
\[ a_n=\frac{1}{n+1}, \]
en los dos casos siguientes:
- \(n\ge 0\);
- \(n\ge 1\).
Resultado
Si \(n\ge 0\), los primeros cuatro términos son
\[ 1,\ \frac12,\ \frac13,\ \frac14. \]
Si \(n\ge 1\), los primeros cuatro términos son
\[ \frac12,\ \frac13,\ \frac14,\ \frac15. \]
Resolución
La fórmula del término general es la misma en ambos casos:
\[ a_n=\frac{1}{n+1}. \]
Lo que cambia, en cambio, es el índice inicial de la sucesión.
Si \(n\ge 0\), el primer índice es \(0\). Por tanto, los primeros cuatro términos corresponden a \(n=0,1,2,3\).
Calculamos:
\[ a_0=\frac{1}{0+1}=1, \]
\[ a_1=\frac{1}{1+1}=\frac12, \]
\[ a_2=\frac{1}{2+1}=\frac13, \]
\[ a_3=\frac{1}{3+1}=\frac14. \]
Así, si \(n\ge 0\), la sucesión comienza por
\[ 1,\ \frac12,\ \frac13,\ \frac14,\ldots \]
Si, en cambio, \(n\ge 1\), el primer índice es \(1\). Los primeros cuatro términos corresponden entonces a \(n=1,2,3,4\).
Calculamos:
\[ a_1=\frac12,\qquad a_2=\frac13,\qquad a_3=\frac14,\qquad a_4=\frac15. \]
Así, si \(n\ge 1\), la sucesión comienza por
\[ \frac12,\ \frac13,\ \frac14,\ \frac15,\ldots \]
Este ejercicio muestra que una misma fórmula puede generar sucesiones distintas si cambia el conjunto de índices.
Ejercicio 3 — nivel ★☆☆☆☆
Determinar si la fórmula
\[ a_n=\frac{1}{n-2} \]
define una sucesión real para todo \(n\ge 1\). En caso contrario, indicar a partir de qué índice puede considerarse.
Resultado
La fórmula no define una sucesión real para todo \(n\ge 1\), porque para \(n=2\) el denominador se anula. Puede considerarse, por ejemplo, para \(n\ge 3\).
Resolución
Para definir una sucesión real, el término \(a_n\) debe ser un número real para todo índice admisible.
La fórmula es
\[ a_n=\frac{1}{n-2}. \]
El denominador es
\[ n-2. \]
Dicho denominador se anula cuando
\[ n-2=0. \]
Por tanto,
\[ n=2. \]
Para \(n=2\) tendríamos
\[ a_2=\frac{1}{2-2}=\frac10, \]
que no está definido.
Por consiguiente, la fórmula no define una sucesión real para todos los índices \(n\ge 1\).
Para evitar este inconveniente, podemos considerar la sucesión a partir de \(n=3\). En tal caso obtenemos
\[ a_3=1,\qquad a_4=\frac12,\qquad a_5=\frac13,\qquad a_6=\frac14,\ldots \]
Así, la fórmula define correctamente una sucesión real si se toma, por ejemplo,
\[ n\ge 3. \]
Ejercicio 4 — nivel ★★☆☆☆
Dada la sucesión
\[ a_n=\frac{n+1}{n}, \qquad n\ge 1, \]
escribir los primeros cuatro términos y reescribir el término general en la forma \(1+\displaystyle \frac1n\).
Resultado
Los primeros cuatro términos son
\[ 2,\ \frac32,\ \frac43,\ \frac54. \]
Además,
\[ a_n=1+\frac1n. \]
Resolución
Calculamos los primeros términos sustituyendo \(n=1,2,3,4\).
Para \(n=1\),
\[ a_1=\frac{1+1}{1}=2. \]
Para \(n=2\),
\[ a_2=\frac{2+1}{2}=\frac32. \]
Para \(n=3\),
\[ a_3=\frac{3+1}{3}=\frac43. \]
Para \(n=4\),
\[ a_4=\frac{4+1}{4}=\frac54. \]
Así pues, los primeros cuatro términos son
\[ 2,\ \frac32,\ \frac43,\ \frac54. \]
Ahora reescribimos el término general:
\[ \frac{n+1}{n}=\frac{n}{n}+\frac{1}{n}. \]
Puesto que
\[ \frac{n}{n}=1, \]
obtenemos
\[ a_n=1+\frac1n. \]
Esta forma suele ser más reveladora que la inicial, porque pone de manifiesto que cada término se obtiene sumando a \(1\) la cantidad \(\displaystyle \frac1n\).
Ejercicio 5 — nivel ★★☆☆☆
Consideremos la sucesión definida por recurrencia mediante
\[ a_1=4,\qquad a_{n+1}=a_n+5\quad \text{para todo } n\ge 1. \]
Escribir los primeros cinco términos y hallar una fórmula explícita para \(a_n\).
Resultado
Los primeros cinco términos son
\[ 4,\ 9,\ 14,\ 19,\ 24. \]
La fórmula explícita es
\[ a_n=4+5(n-1). \]
De forma equivalente,
\[ a_n=5n-1. \]
Resolución
La sucesión está definida por recurrencia. Esto significa que cada término se obtiene a partir del anterior.
Sabemos que
\[ a_1=4. \]
Además,
\[ a_{n+1}=a_n+5. \]
Por tanto, cada término siguiente se obtiene sumando \(5\) al término anterior.
Calculamos:
\[ a_2=a_1+5=4+5=9, \]
\[ a_3=a_2+5=9+5=14, \]
\[ a_4=a_3+5=14+5=19, \]
\[ a_5=a_4+5=19+5=24. \]
Los primeros cinco términos son, pues,
\[ 4,\ 9,\ 14,\ 19,\ 24. \]
Para hallar la fórmula explícita, observemos que, para pasar de \(a_1\) a \(a_n\), sumamos \(5\) exactamente \(n-1\) veces.
Por consiguiente,
\[ a_n=4+5(n-1). \]
Desarrollando,
\[ a_n=4+5n-5=5n-1. \]
Así pues, una fórmula explícita de la sucesión es
\[ a_n=5n-1. \]
Ejercicio 6 — nivel ★★☆☆☆
Consideremos la sucesión definida por
\[ b_1=3,\qquad b_{n+1}=2b_n\quad \text{para todo } n\ge 1. \]
Escribir los primeros cinco términos y reconocer el tipo de sucesión.
Resultado
Los primeros cinco términos son
\[ 3,\ 6,\ 12,\ 24,\ 48. \]
Se trata de una progresión geométrica de primer término \(3\) y razón \(2\).
Resolución
La sucesión está definida por recurrencia:
\[ b_1=3, \qquad b_{n+1}=2b_n. \]
Esto significa que cada término siguiente se obtiene multiplicando el término anterior por \(2\).
Calculamos:
\[ b_2=2b_1=2\cdot 3=6, \]
\[ b_3=2b_2=2\cdot 6=12, \]
\[ b_4=2b_3=2\cdot 12=24, \]
\[ b_5=2b_4=2\cdot 24=48. \]
Así pues, los primeros cinco términos son
\[ 3,\ 6,\ 12,\ 24,\ 48. \]
Puesto que cada término se obtiene del anterior multiplicando siempre por el mismo número, la sucesión es geométrica.
El primer término es
\[ b_1=3, \]
mientras que la razón es
\[ q=2. \]
La fórmula explícita es, por tanto,
\[ b_n=3\cdot 2^{n-1}. \]
Ejercicio 7 — nivel ★★☆☆☆
Determinar si la sucesión
\[ a_n=7,\qquad n\ge 1, \]
es creciente, decreciente y si está acotada.
Resultado
La sucesión es constante. Por tanto, es creciente y decreciente en sentido no estricto. Además, es acotada.
Resolución
La sucesión es
\[ a_n=7\quad \text{para todo } n\ge 1. \]
Esto significa que todos sus términos son iguales a \(7\):
\[ 7,\ 7,\ 7,\ 7,\ldots \]
Para comprobar si es creciente, debemos verificar si
\[ a_n\le a_{n+1}\quad \text{para todo } n\ge 1. \]
En este caso
\[ a_n=7 \qquad \text{y} \qquad a_{n+1}=7. \]
Por tanto,
\[ a_n=a_{n+1}. \]
En particular,
\[ a_n\le a_{n+1}. \]
Por tanto, la sucesión es creciente en sentido no estricto.
Análogamente, puesto que
\[ a_n=a_{n+1}, \]
se cumple también
\[ a_n\ge a_{n+1}. \]
Por tanto, la sucesión es también decreciente en sentido no estricto.
Por último, la sucesión es acotada, porque todos sus términos coinciden con \(7\). Por ejemplo, podemos escribir
\[ 6\le a_n\le 8\quad \text{para todo } n\ge 1. \]
En realidad, el conjunto de los valores que toma la sucesión es simplemente
\[ \{7\}. \]
Esto basta para concluir que la sucesión es acotada: en efecto, todos sus términos permanecen siempre iguales a \(7\).
Ejercicio 8 — nivel ★★☆☆☆
Demostrar que la sucesión
\[ a_n=n^2+1, \qquad n\ge 1, \]
es estrictamente creciente.
Resultado
La sucesión es estrictamente creciente.
Resolución
Para demostrar que una sucesión es estrictamente creciente, debemos probar que
\[ a_n<a_{n+1}\quad \text{para todo } n\ge 1. \]
De forma equivalente, podemos demostrar que
\[ a_{n+1}-a_n>0\quad \text{para todo } n\ge 1. \]
En nuestro caso
\[ a_n=n^2+1. \]
Calculamos el término siguiente:
\[ a_{n+1}=(n+1)^2+1. \]
Por tanto,
\[ a_{n+1}-a_n=\bigl((n+1)^2+1\bigr)-(n^2+1). \]
Desarrollamos:
\[ (n+1)^2+1=n^2+2n+1+1=n^2+2n+2. \]
Entonces
\[ a_{n+1}-a_n=(n^2+2n+2)-(n^2+1)=2n+1. \]
Puesto que \(n\ge 1\), tenemos
\[ 2n+1>0. \]
Por consiguiente,
\[ a_{n+1}-a_n>0\quad \text{para todo } n\ge 1. \]
En consecuencia,
\[ a_n<a_{n+1}\quad \text{para todo } n\ge 1, \]
y la sucesión es estrictamente creciente.
Ejercicio 9 — nivel ★★☆☆☆
Demostrar que la sucesión
\[ a_n=\frac1n, \qquad n\ge 1, \]
es estrictamente decreciente.
Resultado
La sucesión es estrictamente decreciente.
Resolución
Para demostrar que una sucesión es estrictamente decreciente, debemos probar que
\[ a_{n+1}<a_n\quad \text{para todo } n\ge 1. \]
En nuestro caso
\[ a_n=\frac1n. \]
El término siguiente es
\[ a_{n+1}=\frac{1}{n+1}. \]
Como
\[ n+1>n \]
y como \(n\) y \(n+1\) son positivos, al pasar a los inversos el sentido de la desigualdad se invierte:
\[ \frac{1}{n+1}<\frac1n. \]
Es decir,
\[ a_{n+1}<a_n\quad \text{para todo } n\ge 1. \]
Por tanto, la sucesión
\[ \left(\frac1n\right)_{n\ge 1} \]
es estrictamente decreciente.
Este ejemplo es importante porque muestra que una sucesión decreciente no tiene por qué volverse negativa: en efecto, todos los términos de la sucesión son positivos.
Ejercicio 10 — nivel ★★☆☆☆
Determinar si la sucesión
\[ a_n=(-1)^n, \qquad n\ge 1, \]
es creciente, decreciente o monótona.
Resultado
La sucesión no es ni creciente ni decreciente. En consecuencia, no es monótona.
Resolución
Calculamos los primeros términos de la sucesión:
\[ a_1=(-1)^1=-1, \]
\[ a_2=(-1)^2=1, \]
\[ a_3=(-1)^3=-1, \]
\[ a_4=(-1)^4=1. \]
Así pues, la sucesión es
\[ -1,\ 1,\ -1,\ 1,\ldots \]
Para que fuera creciente debería cumplirse
\[ a_n\le a_{n+1}\quad \text{para todo } n\ge 1. \]
Sin embargo, para \(n=2\) tenemos
\[ a_2=1 \qquad \text{y} \qquad a_3=-1. \]
Por tanto,
\[ a_2>a_3. \]
Esto basta para concluir que la sucesión no es creciente.
Para que fuera decreciente debería cumplirse
\[ a_n\ge a_{n+1}\quad \text{para todo } n\ge 1. \]
Sin embargo, para \(n=1\) tenemos
\[ a_1=-1 \qquad \text{y} \qquad a_2=1. \]
Por tanto,
\[ a_1<a_2. \]
Esto basta para concluir que la sucesión no es decreciente.
Puesto que una sucesión monótona es una sucesión creciente o decreciente, la sucesión dada no es monótona.
Ejercicio 11 — nivel ★★★☆☆
Estudiar la acotación de la sucesión
\[ a_n=\frac{n}{n+1}, \qquad n\ge 1. \]
Determinar una cota inferior, una cota superior, el ínfimo y el supremo del conjunto de los valores que toma.
Resultado
La sucesión es acotada. Se tiene
\[ 0<a_n<1\quad \text{para todo } n\ge 1. \]
Una cota inferior es \(0\), y una cota superior es \(1\). Además,
\[ \min\{a_n:n\ge 1\}=\inf\{a_n:n\ge 1\}=\frac12, \qquad \sup\{a_n:n\ge 1\}=1. \]
Resolución
Consideremos la sucesión
\[ a_n=\frac{n}{n+1}. \]
Como \(n\ge 1\), tanto \(n\) como \(n+1\) son positivos. Por tanto,
\[ \frac{n}{n+1}>0. \]
Así pues, \(0\) es una cota inferior de la sucesión.
Además, como
\[ n<n+1, \]
dividiendo por \(n+1>0\) obtenemos
\[ \frac{n}{n+1}<1. \]
Así pues, \(1\) es una cota superior de la sucesión.
Tenemos, por tanto,
\[ 0<a_n<1\quad \text{para todo } n\ge 1. \]
En particular, la sucesión es acotada.
Determinemos ahora el ínfimo y el supremo del conjunto de los valores que toma.
Calculamos los primeros términos:
\[ a_1=\frac12,\qquad a_2=\frac23,\qquad a_3=\frac34,\qquad a_4=\frac45. \]
La sucesión es creciente, porque
\[ a_n=1-\frac{1}{n+1}. \]
A medida que \(n\) crece, la cantidad \(\displaystyle \frac{1}{n+1}\) disminuye; por tanto, \(1-\displaystyle \frac{1}{n+1}\) aumenta.
El primer término es
\[ a_1=\frac12. \]
Como la sucesión es creciente, el menor valor que toma es \(\displaystyle \frac12\). Por consiguiente,
\[ \min\{a_n:n\ge 1\}=\inf\{a_n:n\ge 1\}=\frac12. \]
Por otra parte, todos los términos son menores que \(1\), pero se acercan cada vez más a \(1\). Por tanto, \(1\) es la menor de todas las cotas superiores.
Por consiguiente,
\[ \sup\{a_n:n\ge 1\}=1. \]
Observemos que el supremo no es un término de la sucesión, porque no existe ningún \(n\ge 1\) tal que
\[ \frac{n}{n+1}=1. \]
Ejercicio 12 — nivel ★★★☆☆
Demostrar que la sucesión
\[ a_n=\frac{(-1)^n}{n}, \qquad n\ge 1, \]
es acotada.
Resultado
La sucesión es acotada. En efecto,
\[ |a_n|\le 1\quad \text{para todo } n\ge 1. \]
Resolución
Para demostrar que una sucesión es acotada, podemos emplear el criterio del valor absoluto.
Una sucesión \((a_n)\) es acotada si existe un número real \(K>0\) tal que
\[ |a_n|\le K\quad \text{para todo } n\ge 1. \]
En nuestro caso
\[ a_n=\frac{(-1)^n}{n}. \]
Calculamos el valor absoluto:
\[ |a_n|=\left|\frac{(-1)^n}{n}\right|. \]
Como
\[ |(-1)^n|=1 \]
para todo \(n\ge 1\), obtenemos
\[ |a_n|=\frac1n. \]
Como \(n\ge 1\), se tiene
\[ \frac1n\le 1. \]
Por tanto,
\[ |a_n|\le 1\quad \text{para todo } n\ge 1. \]
Tomando \(K=1\), concluimos que la sucesión es acotada.
Los primeros términos son
\[ -1,\ \frac12,\ -\frac13,\ \frac14,\ldots \]
Cambian de signo, pero todos permanecen comprendidos entre \(-1\) y \(1\).
Ejercicio 13 — nivel ★★★☆☆
Determinar si la sucesión
\[ a_n=n^2-3n, \qquad n\ge 1, \]
es acotada superiormente, acotada inferiormente o acotada.
Resultado
La sucesión es acotada inferiormente, pero no es acotada superiormente. En consecuencia, no es acotada.
Resolución
Consideremos
\[ a_n=n^2-3n. \]
Calculamos algunos términos:
\[ a_1=1-3=-2, \]
\[ a_2=4-6=-2, \]
\[ a_3=9-9=0, \]
\[ a_4=16-12=4. \]
Los términos comienzan, pues, así:
\[ -2,\ -2,\ 0,\ 4,\ldots \]
Para estudiar la acotación, reescribimos el término general completando el cuadrado:
\[ n^2-3n=\left(n-\frac32\right)^2-\frac94. \]
Como un cuadrado es siempre no negativo, tenemos
\[ \left(n-\frac32\right)^2\ge 0. \]
Por tanto,
\[ a_n=\left(n-\frac32\right)^2-\frac94\ge -\frac94. \]
Esto muestra que la sucesión es acotada inferiormente. Sin embargo, esta estimación proporciona solo una cota inferior, no necesariamente el menor valor alcanzado por la sucesión, ya que el índice \(n\) solo toma valores naturales.
En realidad, como \(n\) es natural, el menor valor que toma es \(-2\), alcanzado para \(n=1\) y \(n=2\). En efecto,
\[ a_1=a_2=-2. \]
Preguntémonos ahora si la sucesión es acotada superiormente.
Para valores grandes de \(n\), el término dominante es \(n^2\). El término \(-3n\) crece en valor absoluto mucho más lentamente que \(n^2\).
Podemos hacerlo riguroso observando que, para \(n\ge 6\), se tiene
\[ 3n\le \frac{n^2}{2}. \]
En efecto, esta desigualdad equivale a
\[ 6n\le n^2, \]
es decir,
\[ 6\le n. \]
Por tanto, para \(n\ge 6\),
\[ a_n=n^2-3n\ge n^2-\frac{n^2}{2}=\frac{n^2}{2}. \]
La cantidad \(\displaystyle \frac{n^2}{2}\) supera cualquier número real prefijado, sin más que tomar \(n\) suficientemente grande.
Por consiguiente, la sucesión no es acotada superiormente.
Concluimos que la sucesión es acotada inferiormente, pero no superiormente. Por tanto, no es acotada.
Ejercicio 14 — nivel ★★☆☆☆
Comprobar que la sucesión
\[ 5,\ 8,\ 11,\ 14,\ldots \]
es una progresión aritmética y determinar su término general.
Resultado
La sucesión es una progresión aritmética de primer término \(a_1=5\) y diferencia \(d=3\). El término general es
\[ a_n=5+3(n-1). \]
De forma equivalente,
\[ a_n=3n+2. \]
Resolución
Una sucesión es una progresión aritmética si la diferencia entre dos términos consecutivos es constante.
Calculamos las diferencias:
\[ 8-5=3, \]
\[ 11-8=3, \]
\[ 14-11=3. \]
La diferencia entre términos consecutivos es siempre \(3\). Por tanto, la sucesión es una progresión aritmética.
El primer término es
\[ a_1=5, \]
y la diferencia es
\[ d=3. \]
El término general de una progresión aritmética es
\[ a_n=a_1+(n-1)d. \]
Sustituyendo \(a_1=5\) y \(d=3\), obtenemos
\[ a_n=5+3(n-1). \]
Desarrollando,
\[ a_n=5+3n-3=3n+2. \]
Por tanto,
\[ a_n=3n+2. \]
Ejercicio 15 — nivel ★★☆☆☆
Comprobar que la sucesión
\[ 2,\ 6,\ 18,\ 54,\ldots \]
es una progresión geométrica y determinar su término general.
Resultado
La sucesión es una progresión geométrica de primer término \(a_1=2\) y razón \(q=3\). El término general es
\[ a_n=2\cdot 3^{n-1}. \]
Resolución
Una sucesión es una progresión geométrica si cada término se obtiene del anterior multiplicando siempre por el mismo número.
Calculamos los cocientes entre términos consecutivos:
\[ \frac62=3, \]
\[ \frac{18}{6}=3, \]
\[ \frac{54}{18}=3. \]
El cociente es constante e igual a \(3\). Por tanto, la sucesión es una progresión geométrica.
El primer término es
\[ a_1=2, \]
y la razón es
\[ q=3. \]
El término general de una progresión geométrica es
\[ a_n=a_1q^{n-1}. \]
Sustituyendo \(a_1=2\) y \(q=3\), obtenemos
\[ a_n=2\cdot 3^{n-1}. \]
Comprobamos con los primeros términos:
\[ a_1=2\cdot 3^0=2, \]
\[ a_2=2\cdot 3^1=6, \]
\[ a_3=2\cdot 3^2=18. \]
La fórmula es, por tanto, coherente con los términos dados.
Ejercicio 16 — nivel ★★★☆☆
Estudiar el signo de la sucesión
\[ a_n=(-1)^{n+1}\frac{n}{n+1}, \qquad n\ge 1. \]
Determinar si es positiva, negativa o de signo alternado.
Resultado
La sucesión es de signo alternado. Los términos de índice impar son positivos, mientras que los de índice par son negativos.
Resolución
La sucesión es
\[ a_n=(-1)^{n+1}\frac{n}{n+1}. \]
El factor
\[ \frac{n}{n+1} \]
es siempre positivo, porque \(n\ge 1\) y \(n+1>0\). Por tanto, el signo de \(a_n\) depende únicamente del factor
\[ (-1)^{n+1}. \]
Si \(n\) es impar, entonces \(n+1\) es par. Por consiguiente,
\[ (-1)^{n+1}=1. \]
En este caso
\[ a_n=\frac{n}{n+1}>0. \]
Si, en cambio, \(n\) es par, entonces \(n+1\) es impar. Por consiguiente,
\[ (-1)^{n+1}=-1. \]
En este caso
\[ a_n=-\frac{n}{n+1}<0. \]
Calculamos los primeros términos:
\[ a_1=\frac12, \]
\[ a_2=-\frac23, \]
\[ a_3=\frac34, \]
\[ a_4=-\frac45. \]
Así pues, la sucesión es
\[ \frac12,\ -\frac23,\ \frac34,\ -\frac45,\ldots \]
Los términos cambian de signo en cada paso. En consecuencia, la sucesión es de signo alternado.
Ejercicio 17 — nivel ★★☆☆☆
Consideremos la sucesión
\[ a_n=\frac1n, \qquad n\ge 1. \]
Indicar qué puntos aparecen en su representación gráfica y explicar por qué la gráfica de una sucesión no es una curva continua.
Resultado
Los primeros puntos de la gráfica son
\[ \left(1,1\right),\ \left(2,\frac12\right),\ \left(3,\frac13\right),\ \left(4,\frac14\right),\ldots \]
La gráfica no es una curva continua porque la sucesión está definida solo para valores naturales del índice.
Resolución
Una sucesión real es una función definida sobre los números naturales.
En nuestro caso
\[ a_n=\frac1n. \]
Para representarla gráficamente, asociamos a cada índice \(n\) el punto del plano
\[ (n,a_n). \]
Para \(n=1\) obtenemos
\[ a_1=1, \]
de modo que el primer punto es
\[ (1,1). \]
Para \(n=2\) obtenemos
\[ a_2=\frac12, \]
de modo que el segundo punto es
\[ \left(2,\frac12\right). \]
Para \(n=3\) obtenemos
\[ a_3=\frac13, \]
de modo que el tercer punto es
\[ \left(3,\frac13\right). \]
Análogamente, para \(n=4\) obtenemos
\[ \left(4,\frac14\right). \]
Así pues, los primeros puntos de la gráfica son
\[ \left(1,1\right),\ \left(2,\frac12\right),\ \left(3,\frac13\right),\ \left(4,\frac14\right),\ldots \]
La gráfica de una sucesión no es una curva continua, porque el índice \(n\) no toma todos los valores reales, sino solo valores naturales.
Por tanto, entre el punto correspondiente a \(n=1\) y el correspondiente a \(n=2\) no hay puntos de la sucesión. La representación gráfica está formada por puntos aislados, no por una línea continua.
Ejercicio 18 — nivel ★★★☆☆
Sea
\[ a_n=(-1)^n, \qquad n\ge 1. \]
Escribir la subsucesión formada por los términos de índice par y la subsucesión formada por los términos de índice impar.
Resultado
La subsucesión de los índices pares es
\[ a_{2k}=1,\qquad k\ge 1. \]
La subsucesión de los índices impares es
\[ a_{2k-1}=-1,\qquad k\ge 1. \]
Resolución
La sucesión es
\[ a_n=(-1)^n. \]
Sus primeros términos son
\[ -1,\ 1,\ -1,\ 1,\ldots \]
Consideremos primero los índices pares. Un índice par puede escribirse en la forma
\[ n=2k, \qquad k\ge 1. \]
La subsucesión correspondiente es
\[ a_{2k}=(-1)^{2k}. \]
Como \(2k\) es par, se tiene
\[ (-1)^{2k}=1. \]
Por tanto,
\[ a_{2k}=1\quad \text{para todo } k\ge 1. \]
La subsucesión de los índices pares es, pues,
\[ 1,\ 1,\ 1,\ 1,\ldots \]
Consideremos ahora los índices impares. Un índice impar puede escribirse en la forma
\[ n=2k-1, \qquad k\ge 1. \]
La subsucesión correspondiente es
\[ a_{2k-1}=(-1)^{2k-1}. \]
Como \(2k-1\) es impar, se tiene
\[ (-1)^{2k-1}=-1. \]
Por tanto,
\[ a_{2k-1}=-1\quad \text{para todo } k\ge 1. \]
La subsucesión de los índices impares es, pues,
\[ -1,\ -1,\ -1,\ -1,\ldots \]
Este ejercicio muestra que una sucesión no constante puede contener subsucesiones constantes.
Ejercicio 19 — nivel ★★★☆☆
Sea
\[ a_n=n, \qquad n\ge 1. \]
Determinar si la lista
\[ a_3,\ a_5,\ a_8,\ a_{10},\ldots \]
puede ser una subsucesión. Determinar después si la lista
\[ a_5,\ a_3,\ a_8,\ a_{10},\ldots \]
puede ser una subsucesión.
Resultado
La primera lista puede ser una subsucesión, porque los índices son estrictamente crecientes. La segunda lista no puede ser una subsucesión, porque los índices no son estrictamente crecientes.
Resolución
Una subsucesión de \((a_n)\) se obtiene eligiendo una sucesión de índices naturales estrictamente creciente
\[ n_1<n_2<n_3<\cdots. \]
La subsucesión es entonces
\[ a_{n_1},\ a_{n_2},\ a_{n_3},\ldots \]
Consideremos la primera lista:
\[ a_3,\ a_5,\ a_8,\ a_{10},\ldots \]
Los índices son
\[ 3,\ 5,\ 8,\ 10,\ldots \]
Son estrictamente crecientes, porque
\[ 3<5<8<10<\cdots. \]
Por tanto, esta lista puede ser una subsucesión.
Consideremos ahora la segunda lista:
\[ a_5,\ a_3,\ a_8,\ a_{10},\ldots \]
Los índices son
\[ 5,\ 3,\ 8,\ 10,\ldots \]
Esta sucesión de índices no es estrictamente creciente, porque
\[ 5>3. \]
Por tanto, la segunda lista no puede ser una subsucesión.
El punto esencial es que una subsucesión puede omitir algunos términos de la sucesión original, pero no puede alterar el orden en que aparecen los términos.
Ejercicio 20 — nivel ★★★★☆
Consideremos la sucesión
\[ a_n=(-1)^n+\frac1n, \qquad n\ge 1. \]
Escribir los primeros seis términos, determinar si la sucesión es monótona y mostrar que es acotada.
Resultado
Los primeros seis términos son
\[ 0,\ \frac32,\ -\frac23,\ \frac54,\ -\frac45,\ \frac76. \]
La sucesión no es monótona. Además, es acotada, porque
\[ -1\le a_n\le 2\quad \text{para todo } n\ge 1. \]
Resolución
La sucesión es
\[ a_n=(-1)^n+\frac1n. \]
Calculamos los primeros seis términos.
Para \(n=1\),
\[ a_1=(-1)^1+\frac11=-1+1=0. \]
Para \(n=2\),
\[ a_2=(-1)^2+\frac12=1+\frac12=\frac32. \]
Para \(n=3\),
\[ a_3=(-1)^3+\frac13=-1+\frac13=-\frac23. \]
Para \(n=4\),
\[ a_4=(-1)^4+\frac14=1+\frac14=\frac54. \]
Para \(n=5\),
\[ a_5=(-1)^5+\frac15=-1+\frac15=-\frac45. \]
Para \(n=6\),
\[ a_6=(-1)^6+\frac16=1+\frac16=\frac76. \]
Así pues, los primeros seis términos son
\[ 0,\ \frac32,\ -\frac23,\ \frac54,\ -\frac45,\ \frac76. \]
Estudiemos ahora la monotonía. Observemos que
\[ a_1=0 \qquad \text{y} \qquad a_2=\frac32. \]
Por tanto,
\[ a_1<a_2. \]
Sin embargo,
\[ a_2=\frac32 \qquad \text{y} \qquad a_3=-\frac23. \]
Por tanto,
\[ a_2>a_3. \]
La sucesión primero aumenta y luego disminuye. Por consiguiente, no es creciente.
Además, como \(a_1<a_2\), tampoco es decreciente.
En consecuencia, la sucesión no es monótona.
Demostremos, por último, que es acotada.
Sabemos que
\[ -1\le (-1)^n\le 1 \]
para todo \(n\ge 1\). Además,
\[ 0<\frac1n\le 1. \]
Sumando estas relaciones, obtenemos, por un lado,
\[ (-1)^n+\frac1n\ge -1+0=-1. \]
Por otro lado,
\[ (-1)^n+\frac1n\le 1+1=2. \]
Por tanto,
\[ -1\le a_n\le 2\quad \text{para todo } n\ge 1. \]
Esto demuestra que la sucesión es acotada.
El ejercicio es instructivo porque exhibe una sucesión acotada pero no monótona: la acotación y la monotonía son propiedades distintas e independientes.