Para estudiar correctamente una función es necesario distinguir con precisión tres conjuntos fundamentales: el dominio, el codominio y la imagen.
Una función no queda determinada únicamente por la fórmula que asigna el valor \(f(x)\). Para definirla por completo hay que indicar también el conjunto de los elementos a los que se puede aplicar y el conjunto en el que se declara que toma sus valores.
Si
\[ f:A\to B, \]
entonces \(A\) es el dominio de la función, \(B\) es su codominio, mientras que el conjunto de los valores que \(f\) toma efectivamente recibe el nombre de imagen de la función.
Estos tres conceptos están estrechamente relacionados, pero en general no coinciden. El dominio determina qué valores de la variable independiente son admisibles; el codominio fija el conjunto en el que se declara que la función toma sus valores; la imagen, en cambio, reúne tan solo los valores que la función alcanza realmente.
La distinción entre dominio, codominio e imagen es esencial para comprender propiedades fundamentales como la inyectividad, la sobreyectividad, la biyectividad, la función inversa y la composición de funciones.
Índice
- Dominio, codominio e imagen: significado intuitivo
- Definición de dominio de una función
- Definición de codominio de una función
- Definición de imagen de una función
- Diferencia entre codominio e imagen
- Cómo determinar el dominio de una función
- Cómo determinar la imagen de una función
- Ejemplos sobre dominio, codominio e imagen
- Errores frecuentes que conviene evitar
Dominio, codominio e imagen: significado intuitivo
Para comprender de forma intuitiva el papel del dominio, el codominio y la imagen, consideremos una función
\[ f:A\to B. \]
Esta notación indica que la función \(f\) asocia a cada elemento \(x\in A\) uno y solo un elemento \(f(x)\in B\).
El dominio es el conjunto de partida: contiene los elementos a los que se puede aplicar la función. El codominio es el conjunto de llegada: es el conjunto en el que se declara que la función toma sus valores. La imagen, en cambio, es el conjunto de los valores que se obtienen efectivamente al aplicar la función a los elementos del dominio.
En símbolos, la imagen de \(f\) es
\[ f(A)=\{f(x)\in B\mid x\in A\}. \]
Puesto que todo valor que toma la función pertenece al codominio, siempre se cumple
\[ f(A)\subseteq B. \]
La inclusión anterior expresa una distinción fundamental: todo valor de la imagen pertenece al codominio, pero no tiene por qué ocurrir que todo elemento del codominio pertenezca a la imagen.
Por ejemplo, si
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2, \]
entonces el dominio es \(\mathbb R\) y el codominio es \(\mathbb R\). Sin embargo, la función solo toma valores no negativos, de modo que su imagen es
\[ f(\mathbb R)=[0,+\infty). \]
En este caso el codominio es \(\mathbb R\), mientras que la imagen es únicamente \([0,+\infty)\).
Definición de dominio de una función
Sean \(A\) y \(B\) dos conjuntos no vacíos. Si
\[ f:A\to B \]
es una función, entonces el conjunto \(A\) se llama dominio de la función \(f\).
El dominio es, por tanto, el conjunto formado por todos los elementos a los que la función asocia un valor.
De manera equivalente, decir que \(A\) es el dominio de \(f\) significa que, para todo \(x\in A\), existe uno y solo un elemento \(y\in B\) asociado a \(x\). En símbolos:
\[ \forall x\in A,\quad \exists!\, y\in B \quad : \quad f(x)=y. \]
El dominio establece, pues, qué valores de la variable independiente pueden considerarse. Si un elemento no pertenece al dominio, la función no está definida en ese elemento.
Por ejemplo, la función
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2+1 \]
tiene dominio \(\mathbb R\), porque a cada número real \(x\) le asocia el número real \(x^2+1\).
En cambio, la función
\[ g:(0,+\infty)\to\mathbb R,\qquad g(x)=\log x \]
tiene dominio \((0,+\infty)\), porque el logaritmo real solo está definido para valores positivos de la variable.
El dominio no es un detalle accesorio, sino una parte esencial de la función. De hecho, una misma fórmula puede definir funciones distintas si se considera sobre dominios distintos.
Por ejemplo, las funciones
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2 \]
y
\[ h:[0,+\infty)\to\mathbb R,\qquad h(x)=x^2 \]
tienen la misma fórmula, pero no son la misma función, porque sus dominios son distintos.
Esta diferencia también es relevante para las propiedades de la función. En efecto, \(f\) no es inyectiva, ya que \(f(-1)=f(1)\), mientras que \(h\) sí es inyectiva en el dominio \([0,+\infty)\).
Definición de codominio de una función
Sean \(A\) y \(B\) dos conjuntos no vacíos. Si
\[ f:A\to B \]
es una función, entonces el conjunto \(B\) se llama codominio de la función \(f\).
El codominio es, por tanto, el conjunto de llegada de la función, es decir, el conjunto en el que se declara que están contenidos los valores de la función.
En símbolos:
\[ \forall x\in A,\quad f(x)\in B. \]
El codominio fija el ámbito en el que se declara que la función toma sus valores. Sin embargo, el hecho de que un elemento pertenezca al codominio no significa necesariamente que la función lo alcance.
Por ejemplo, consideremos
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2. \]
El codominio es \(\mathbb R\). Sin embargo, la función no toma valores negativos, porque \(x^2\ge 0\) para todo \(x\in\mathbb R\). Números como \(-1\), \(-2\) o \(-10\) pertenecen, pues, al codominio, pero no son valores de la función.
El codominio, al igual que el dominio, forma parte de la definición de la función. Una misma fórmula y un mismo dominio pueden dar lugar a funciones distintas si cambia el codominio.
Por ejemplo, las funciones
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2 \]
y
\[ g:\mathbb R\to[0,+\infty),\qquad g(x)=x^2 \]
tienen la misma fórmula y el mismo dominio, pero codominios distintos.
Esta diferencia resulta especialmente importante en el estudio de la sobreyectividad: una función es sobreyectiva cuando su imagen coincide con el codominio.
Definición de imagen de una función
Sean \(A\) y \(B\) dos conjuntos no vacíos y sea
\[ f:A\to B \]
una función. Se llama imagen de la función \(f\) al conjunto de todos los valores que \(f\) toma sobre los elementos del dominio.
En símbolos:
\[ f(A)=\{f(x)\in B\mid x\in A\}. \]
De manera equivalente, un elemento \(y\in B\) pertenece a la imagen de \(f\) si y solo si existe al menos un elemento \(x\in A\) tal que \(f(x)=y\). En símbolos:
\[ y\in f(A)\iff \exists x\in A \quad : \quad f(x)=y. \]
La imagen es, por tanto, el conjunto de los valores que la función alcanza efectivamente. Por definición, siempre es un subconjunto del codominio:
\[ f(A)\subseteq B. \]
La inclusión puede ser propia o puede ser una igualdad. Si \(f(A)\subsetneq B\), algunos elementos del codominio no se alcanzan. Si, por el contrario, \(f(A)=B\), entonces todo elemento del codominio es imagen de al menos un elemento del dominio.
Consideremos, por ejemplo,
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2+1. \]
Para todo \(x\in\mathbb R\) se tiene \(x^2\ge 0\), de donde
\[ x^2+1\ge 1. \]
De aquí se deduce que todos los valores de la función son mayores o iguales que \(1\).
Recíprocamente, si \(y\ge 1\), entonces \(y-1\ge 0\) y podemos elegir
\[ x=\sqrt{y-1}. \]
Se obtiene así
\[ f(x)=f(\sqrt{y-1})=(\sqrt{y-1})^2+1=y. \]
Por tanto
\[ f(\mathbb R)=[1,+\infty). \]
En este ejemplo el codominio es \(\mathbb R\), mientras que la imagen es \([1,+\infty)\).
Diferencia entre codominio e imagen
La diferencia entre codominio e imagen es uno de los puntos más delicados en el estudio de las funciones.
Si
\[ f:A\to B, \]
entonces el codominio es el conjunto \(B\), prescrito en la definición de la función. La imagen, en cambio, es el conjunto
\[ f(A)=\{f(x)\in B\mid x\in A\}, \]
es decir, el conjunto de los valores que la función toma efectivamente.
Siempre se cumple
\[ f(A)\subseteq B, \]
pero no necesariamente \(f(A)=B\).
Por ejemplo, la función
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2 \]
tiene codominio \(\mathbb R\), pero imagen \([0,+\infty)\). En efecto, ningún número real negativo es el cuadrado de un número real.
Si, en cambio, consideramos
\[ g:\mathbb R\to[0,+\infty),\qquad g(x)=x^2, \]
entonces la imagen coincide con el codominio:
\[ g(\mathbb R)=[0,+\infty). \]
Las dos funciones tienen la misma fórmula y el mismo dominio, pero codominios distintos. En consecuencia, la primera no es sobreyectiva, mientras que la segunda sí lo es.
En resumen, el codominio queda fijado al definir la función; la imagen, en cambio, debe determinarse estudiando los valores que la función toma realmente sobre el dominio.
Cómo determinar el dominio de una función
Determinar el dominio de una función significa hallar todos los valores de la variable independiente para los que la función está definida.
Cuando una función se da en la forma
\[ f:A\to B, \]
el dominio ya está indicado: es el conjunto \(A\).
Por ejemplo, si
\[ f:[0,+\infty)\to\mathbb R,\qquad f(x)=\sqrt x, \]
entonces el dominio de la función es \([0,+\infty)\).
En muchos ejercicios, sin embargo, solo se proporciona la expresión de la función, por ejemplo
\[ f(x)=\frac{1}{x-2}. \]
En este caso, si no se indica otra cosa, se busca el mayor subconjunto de \(\mathbb R\) en el que la expresión tiene sentido. Este conjunto se denomina dominio natural o dominio de definición de la función.
Para determinar el dominio natural de una función real de variable real hay que imponer todas las condiciones que hacen posible el cálculo de la expresión.
Las restricciones más frecuentes son las siguientes.
- Denominadores: el denominador de una fracción debe ser distinto de cero.
- Raíces de índice par: el radicando debe ser mayor o igual que cero.
- Logaritmos: el argumento del logaritmo debe ser estrictamente positivo.
Por ejemplo, para
\[ f(x)=\frac{1}{x-2} \]
hay que imponer
\[ x-2\ne 0, \]
de donde \(x\ne 2\). El dominio natural es
\[ \mathbb R\setminus\{2\}. \]
Para
\[ g(x)=\sqrt{x-3} \]
hay que imponer
\[ x-3\ge 0, \]
de donde \(x\ge 3\). El dominio natural es
\[ [3,+\infty). \]
Para
\[ h(x)=\log(x+1) \]
hay que imponer
\[ x+1>0, \]
de donde \(x>-1\). El dominio natural es
\[ (-1,+\infty). \]
En general, el dominio natural se obtiene traduciendo a condiciones matemáticas todas las restricciones presentes en la expresión de la función y resolviendo el sistema de condiciones resultante.
No obstante, hay que distinguir el dominio natural del dominio prescrito. Si una función se declara explícitamente con un dominio, entonces el dominio de la función es el indicado, aun cuando la fórmula tuviera sentido sobre un conjunto mayor.
Por ejemplo,
\[ f:[0,+\infty)\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2 \]
tiene dominio \([0,+\infty)\), aunque la fórmula \(x^2\) tenga sentido para todo \(x\in\mathbb R\).
Cómo determinar la imagen de una función
Determinar la imagen de una función significa hallar todos y solo los valores que la función toma cuando la variable independiente recorre el dominio.
Si
\[ f:A\to B \]
es una función, entonces un elemento \(y\in B\) pertenece a la imagen de \(f\) si y solo si existe al menos un \(x\in A\) tal que
\[ f(x)=y. \]
Determinar la imagen consiste, pues, en establecer para qué valores de \(y\) la ecuación
\[ y=f(x) \]
admite al menos una solución \(x\) en el dominio de la función.
A diferencia del dominio natural, que a menudo se halla imponiendo condiciones de existencia sobre la expresión, la imagen exige estudiar los valores que la función toma efectivamente. El método depende, por tanto, del tipo de función considerada.
Por ejemplo, consideremos
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2. \]
Pongamos
\[ y=x^2. \]
Esta ecuación admite soluciones reales si y solo si \(y\ge 0\). En efecto, si \(y\ge 0\) se puede elegir \(x=\sqrt y\); si \(y<0\), no existe ningún número real \(x\) tal que \(x^2=y\).
Por tanto
\[ f(\mathbb R)=[0,+\infty). \]
Consideremos ahora
\[ g:[0,+\infty)\to\mathbb R,\qquad g(x)=x+1. \]
Como \(x\ge 0\), se tiene
\[ x+1\ge 1. \]
Recíprocamente, si \(y\ge 1\), eligiendo \(x=y-1\) se tiene \(x\in[0,+\infty)\) y
\[ g(x)=x+1=(y-1)+1=y. \]
Así pues,
\[ g([0,+\infty))=[1,+\infty). \]
Desde el punto de vista geométrico, la imagen de una función es el conjunto de las ordenadas de los puntos de su gráfica. Por este motivo, en algunos casos puede determinarse también observando la gráfica.
En cambio, para funciones más complejas puede ser necesario estudiar la monotonía, localizar máximos y mínimos, o emplear propiedades específicas de la función considerada.
En cualquier caso, la imagen no se obtiene leyendo sin más el codominio declarado: debe determinarse estudiando los valores que la función alcanza realmente sobre su dominio.
Ejemplos sobre dominio, codominio e imagen
Veamos ahora algunos ejemplos en los que el dominio, el codominio y la imagen se determinan de forma explícita. El objetivo es reconocer con precisión el conjunto de partida, el conjunto de llegada y el conjunto de los valores que se toman efectivamente.
Ejemplo 1. Consideremos la función
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x+2. \]
El dominio es \(\mathbb R\), porque la función está definida para todo número real \(x\). El codominio es \(\mathbb R\), porque se declara que la función toma valores reales.
Para determinar la imagen, pongamos
\[ y=x+2. \]
Para todo \(y\in\mathbb R\), eligiendo \(x=y-2\) se obtiene
\[ f(x)=f(y-2)=(y-2)+2=y. \]
Así pues, la función toma todo número real. Por tanto
\[ f(\mathbb R)=\mathbb R. \]
En este caso la imagen coincide con el codominio.
Ejemplo 2. Consideremos la función
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2+1. \]
El dominio es \(\mathbb R\) y el codominio es \(\mathbb R\).
Como \(x^2\ge 0\) para todo \(x\in\mathbb R\), se tiene
\[ x^2+1\ge 1. \]
Recíprocamente, si \(y\ge 1\), eligiendo \(x=\sqrt{y-1}\) se obtiene
\[ f(x)=f(\sqrt{y-1})=(\sqrt{y-1})^2+1=y. \]
Así pues,
\[ f(\mathbb R)=[1,+\infty). \]
La imagen es un subconjunto propio del codominio.
Ejemplo 3. Consideremos la función
\[ g:[0,+\infty)\to\mathbb R,\qquad g(x)=x^2+1. \]
El dominio es \([0,+\infty)\), mientras que el codominio es \(\mathbb R\).
También en este caso \(x^2+1\ge 1\). Además, para todo \(y\ge 1\), eligiendo \(x=\sqrt{y-1}\) se tiene \(x\in[0,+\infty)\) y
\[ g(x)=x^2+1=y. \]
Por tanto
\[ g([0,+\infty))=[1,+\infty). \]
La función tiene la misma imagen que en el ejemplo anterior, aun estando definida sobre un dominio distinto.
Ejemplo 4. Consideremos la función
\[ h:[0,+\infty)\to[1,+\infty),\qquad h(x)=x^2+1. \]
El dominio es \([0,+\infty)\) y el codominio es \([1,+\infty)\). Como hemos visto en el ejemplo anterior,
\[ h([0,+\infty))=[1,+\infty). \]
En este caso la imagen coincide con el codominio. La función \(h\) es, por tanto, sobreyectiva.
Ejemplo 5. Consideremos la función
\[ p:\mathbb R\setminus\{0\}\to\mathbb R,\qquad p(x)=\frac{1}{x}. \]
El dominio es \(\mathbb R\setminus\{0\}\), porque la expresión \(\frac{1}{x}\) no está definida para \(x=0\). El codominio es \(\mathbb R\).
Para todo \(x\ne 0\) se tiene \(\frac{1}{x}\ne 0\), de modo que \(0\) no pertenece a la imagen.
Recíprocamente, si \(y\ne 0\), eligiendo \(x=\frac{1}{y}\) se tiene \(x\ne 0\) y
\[ p(x)=p\left(\frac{1}{y}\right)=\frac{1}{\frac{1}{y}}=y. \]
Así pues,
\[ p(\mathbb R\setminus\{0\})=\mathbb R\setminus\{0\}. \]
La imagen es, por tanto, un subconjunto propio del codominio, porque el codominio contiene a \(0\), mientras que la imagen no.
Errores frecuentes que conviene evitar
Resumamos algunos errores frecuentes en el estudio del dominio, el codominio y la imagen.
- Confundir el codominio con la imagen. El codominio es el conjunto de llegada prescrito en la definición de la función; la imagen es el conjunto de los valores que se alcanzan efectivamente.
- Creer que la fórmula determina por sí sola la función. Una misma fórmula puede definir funciones distintas si cambian el dominio o el codominio.
- Confundir el dominio prescrito con el dominio natural. Si el dominio se indica en la notación \(f:A\to B\), entonces el dominio es \(A\). El dominio natural solo se busca cuando se proporciona únicamente una expresión.
- Olvidar que la imagen depende del dominio. Modificar el dominio puede cambiar el conjunto de los valores que toma la función.
- Determinar la sobreyectividad sin mirar el codominio. Una función es sobreyectiva si y solo si su imagen coincide con el codominio.
En conclusión, el dominio, el codominio y la imagen son tres elementos distintos de la teoría de funciones. El dominio indica dónde está definida la función; el codominio indica dónde se declara que la función toma sus valores; la imagen indica qué valores se alcanzan efectivamente.