En esta colección presentamos 20 ejercicios resueltos sobre la composición de funciones, con dificultad creciente y explicaciones paso a paso. Los ejercicios abordan el cálculo de \(f\circ g\) y \(g\circ f\), el dominio de la función compuesta, el orden de composición, la función identidad, la asociatividad y la relación entre la composición y la función inversa.
La idea fundamental que conviene recordar es que en la composición \(f\circ g\) se aplica primero \(g\) y luego \(f\). Para todo valor \(x\) en el que la composición está definida, se cumple
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x)). \]
Ejercicio 1 — nivel ★☆☆☆☆
Sean
\[ f(x)=2x+1,\qquad g(x)=x^2-3. \]
Calcular \(f\circ g\).
Resultado
La función compuesta es
\[ (f\circ g)(x)=2x^2-5. \]
Resolución
Para calcular \(f\circ g\) debemos aplicar primero \(g\) y luego \(f\). Por definición:
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x)). \]
Puesto que
\[ g(x)=x^2-3, \]
debemos sustituir la variable en la expresión de \(f\) por \(x^2-3\). Como \(f(x)=2x+1\), obtenemos
\[ f(g(x))=f(x^2-3)=2(x^2-3)+1. \]
Simplificando:
\[ 2(x^2-3)+1=2x^2-6+1=2x^2-5. \]
Por tanto
\[ (f\circ g)(x)=2x^2-5. \]
Ejercicio 2 — nivel ★☆☆☆☆
Sean
\[ f(x)=x^2,\qquad g(x)=x+4. \]
Calcular \(f\circ g\) y \(g\circ f\).
Resultado
Las dos composiciones son
\[ (f\circ g)(x)=(x+4)^2 \]
y
\[ (g\circ f)(x)=x^2+4. \]
Resolución
Calculamos primero \(f\circ g\). Por definición:
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x)). \]
Puesto que \(g(x)=x+4\), obtenemos
\[ f(g(x))=f(x+4). \]
Como \(f(x)=x^2\), al sustituir \(x\) por \(x+4\) se tiene
\[ f(x+4)=(x+4)^2. \]
Así pues
\[ (f\circ g)(x)=(x+4)^2. \]
Calculamos ahora \(g\circ f\). En este caso se aplica primero \(f\) y luego \(g\):
\[ (g\circ f)(x)=g(f(x)). \]
Puesto que \(f(x)=x^2\), obtenemos
\[ g(f(x))=g(x^2). \]
Como \(g(x)=x+4\), se tiene
\[ g(x^2)=x^2+4. \]
Por consiguiente
\[ (g\circ f)(x)=x^2+4. \]
Las dos composiciones no coinciden: esto muestra que, en general, el orden de la composición importa.
Ejercicio 3 — nivel ★☆☆☆☆
Sean
\[ f(x)=3x-2,\qquad g(x)=5x+1. \]
Calcular \(f\circ g\) y \(g\circ f\).
Resultado
Las dos composiciones son
\[ (f\circ g)(x)=15x+1 \]
y
\[ (g\circ f)(x)=15x-9. \]
Resolución
Calculamos \(f\circ g\):
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x)). \]
Puesto que \(g(x)=5x+1\), obtenemos
\[ f(g(x))=f(5x+1). \]
Como \(f(x)=3x-2\), al sustituir \(x\) por \(5x+1\) se tiene
\[ f(5x+1)=3(5x+1)-2. \]
Por tanto
\[ (f\circ g)(x)=15x+3-2=15x+1. \]
Calculamos ahora \(g\circ f\):
\[ (g\circ f)(x)=g(f(x)). \]
Puesto que \(f(x)=3x-2\), obtenemos
\[ g(f(x))=g(3x-2). \]
Como \(g(x)=5x+1\), se tiene
\[ g(3x-2)=5(3x-2)+1. \]
Simplificando:
\[ 5(3x-2)+1=15x-10+1=15x-9. \]
Así pues
\[ (g\circ f)(x)=15x-9. \]
Ejercicio 4 — nivel ★★☆☆☆
Sean
\[ f(x)=x^2+1,\qquad g(x)=2x-3. \]
Calcular \(f\circ g\) y \(g\circ f\).
Resultado
Las dos composiciones son
\[ (f\circ g)(x)=4x^2-12x+10 \]
y
\[ (g\circ f)(x)=2x^2-1. \]
Resolución
Calculamos primero \(f\circ g\):
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x))=f(2x-3). \]
Puesto que \(f(x)=x^2+1\), obtenemos
\[ f(2x-3)=(2x-3)^2+1. \]
Desarrollamos el cuadrado:
\[ (2x-3)^2+1=4x^2-12x+9+1=4x^2-12x+10. \]
Así pues
\[ (f\circ g)(x)=4x^2-12x+10. \]
Calculamos ahora \(g\circ f\):
\[ (g\circ f)(x)=g(f(x))=g(x^2+1). \]
Puesto que \(g(x)=2x-3\), al sustituir \(x\) por \(x^2+1\) se obtiene
\[ g(x^2+1)=2(x^2+1)-3. \]
Por tanto
\[ (g\circ f)(x)=2x^2+2-3=2x^2-1. \]
Ejercicio 5 — nivel ★★☆☆☆
Sean
\[ f(x)=\sqrt{x},\qquad g(x)=x-4. \]
Determinar \(f\circ g\) y su dominio real.
Resultado
La función compuesta es
\[ (f\circ g)(x)=\sqrt{x-4} \]
y su dominio real es
\[ \operatorname{Dom}(f\circ g)=[4,+\infty). \]
Resolución
Por definición:
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x)). \]
Puesto que \(g(x)=x-4\), obtenemos
\[ f(g(x))=f(x-4). \]
Como \(f(x)=\sqrt{x}\), se tiene
\[ f(x-4)=\sqrt{x-4}. \]
Por tanto
\[ (f\circ g)(x)=\sqrt{x-4}. \]
Para determinar el dominio real debemos imponer que el radicando sea no negativo:
\[ x-4\ge 0. \]
Resolviendo:
\[ x\ge 4. \]
Así pues
\[ \operatorname{Dom}(f\circ g)=[4,+\infty). \]
Ejercicio 6 — nivel ★★☆☆☆
Sean
\[ f(x)=\frac{1}{x},\qquad g(x)=x^2-9. \]
Determinar \(f\circ g\) y su dominio.
Resultado
La función compuesta es
\[ (f\circ g)(x)=\frac{1}{x^2-9} \]
y su dominio es
\[ \operatorname{Dom}(f\circ g)=\mathbb R\setminus\{-3,3\}. \]
Resolución
La función compuesta es
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x)). \]
Puesto que \(g(x)=x^2-9\), obtenemos
\[ f(g(x))=f(x^2-9). \]
Como \(f(x)=1/x\), se tiene
\[ f(x^2-9)=\frac{1}{x^2-9}. \]
Así pues
\[ (f\circ g)(x)=\frac{1}{x^2-9}. \]
Para determinar el dominio debemos imponer que el denominador sea distinto de cero:
\[ x^2-9\ne 0. \]
Resolvemos:
\[ x^2-9=0 \quad \Longleftrightarrow \quad x^2=9. \]
Por tanto
\[ x=-3 \qquad \text{o} \qquad x=3. \]
Estos dos valores deben excluirse del dominio.
Así pues
\[ \operatorname{Dom}(f\circ g)=\mathbb R\setminus\{-3,3\}. \]
Ejercicio 7 — nivel ★★☆☆☆
Sean
\[ f(x)=\sqrt{x+1},\qquad g(x)=\frac{1}{x}. \]
Determinar \(f\circ g\) y su dominio real.
Resultado
La función compuesta es
\[ (f\circ g)(x)=\sqrt{\frac{1}{x}+1} \]
y su dominio real es
\[ \operatorname{Dom}(f\circ g)=(-\infty,-1]\cup(0,+\infty). \]
Resolución
Calculamos la compuesta:
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x)). \]
Puesto que \(g(x)=1/x\), obtenemos
\[ f(g(x))=f\left(\frac{1}{x}\right). \]
Como \(f(x)=\sqrt{x+1}\), al sustituir \(x\) por \(1/x\) se tiene
\[ (f\circ g)(x)=\sqrt{\frac{1}{x}+1}. \]
Para el dominio debemos imponer dos condiciones. En primer lugar, la función interior \(g(x)=1/x\) debe estar definida:
\[ x\ne 0. \]
Además, el argumento de la raíz cuadrada debe ser no negativo:
\[ \frac{1}{x}+1\ge 0. \]
Reducimos a común denominador:
\[ \frac{1+x}{x}\ge 0. \]
Los puntos críticos son
\[ x=-1,\qquad x=0. \]
Estudiando el signo de la fracción, obtenemos
\[ x\le -1 \qquad \text{o} \qquad x>0. \]
El valor \(x=0\) queda excluido porque anula el denominador.
Así pues
\[ \operatorname{Dom}(f\circ g)=(-\infty,-1]\cup(0,+\infty). \]
Ejercicio 8 — nivel ★★☆☆☆
Sean
\[ f(x)=\frac{1}{x-1},\qquad g(x)=\sqrt{x}. \]
Determinar \(f\circ g\) y su dominio real.
Resultado
La función compuesta es
\[ (f\circ g)(x)=\frac{1}{\sqrt{x}-1} \]
y su dominio real es
\[ \operatorname{Dom}(f\circ g)=[0,+\infty)\setminus\{1\}. \]
Resolución
Calculamos:
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x))=f(\sqrt{x}). \]
Puesto que \(f(x)=1/(x-1)\), obtenemos
\[ (f\circ g)(x)=\frac{1}{\sqrt{x}-1}. \]
Para el dominio debemos imponer, en primer lugar, que la función interior \(g(x)=\sqrt{x}\) esté definida:
\[ x\ge 0. \]
Además, el denominador de la función compuesta debe ser distinto de cero:
\[ \sqrt{x}-1\ne 0. \]
Resolviendo:
\[ \sqrt{x}\ne 1. \]
Como \(\sqrt{x}=1\) si y solo si \(x=1\), debemos excluir \(x=1\).
Así pues
\[ \operatorname{Dom}(f\circ g)=[0,+\infty)\setminus\{1\}. \]
Ejercicio 9 — nivel ★★★☆☆
Sean
\[ f(x)=\sqrt{2-x},\qquad g(x)=x^2. \]
Determinar \(f\circ g\) y su dominio real.
Resultado
La función compuesta es
\[ (f\circ g)(x)=\sqrt{2-x^2} \]
y su dominio real es
\[ \operatorname{Dom}(f\circ g)=[-\sqrt{2},\sqrt{2}]. \]
Resolución
Por definición:
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x)). \]
Puesto que \(g(x)=x^2\), obtenemos
\[ f(g(x))=f(x^2). \]
Como \(f(x)=\sqrt{2-x}\), se tiene
\[ f(x^2)=\sqrt{2-x^2}. \]
Así pues
\[ (f\circ g)(x)=\sqrt{2-x^2}. \]
Para el dominio real imponemos que el radicando sea no negativo:
\[ 2-x^2\ge 0. \]
Esta desigualdad equivale a
\[ x^2\le 2. \]
Por tanto
\[ -\sqrt{2}\le x\le \sqrt{2}. \]
Así pues
\[ \operatorname{Dom}(f\circ g)=[-\sqrt{2},\sqrt{2}]. \]
Ejercicio 10 — nivel ★★★☆☆
Sean
\[ f(x)=\frac{x^2-1}{x-1},\qquad g(x)=x+2. \]
Determinar \(f\circ g\) y su dominio.
Resultado
La función compuesta es
\[ (f\circ g)(x)=x+3 \qquad \text{para } x\ne -1. \]
Su dominio es
\[ \operatorname{Dom}(f\circ g)=\mathbb R\setminus\{-1\}. \]
Resolución
Calculamos la función compuesta:
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x))=f(x+2). \]
Sustituimos \(x+2\) en la expresión de \(f\):
\[ f(x+2)=\frac{(x+2)^2-1}{(x+2)-1}. \]
Simplificamos numerador y denominador:
\[ f(x+2)=\frac{x^2+4x+4-1}{x+1} =\frac{x^2+4x+3}{x+1}. \]
Factorizamos el numerador:
\[ x^2+4x+3=(x+1)(x+3). \]
Entonces, para \(x\ne -1\),
\[ \frac{x^2+4x+3}{x+1}=\frac{(x+1)(x+3)}{x+1}=x+3. \]
Así pues, la expresión simplificada de la compuesta es
\[ (f\circ g)(x)=x+3 \qquad \text{para } x\ne -1. \]
Sin embargo, el valor \(x=-1\) debe excluirse, ya que en la expresión sin simplificar aparece el denominador \(x+1\). De manera equivalente, la función \(f\) no está definida cuando su argumento vale \(1\). Como el argumento es \(x+2\), debemos imponer
\[ x+2\ne 1. \]
Por tanto
\[ x\ne -1. \]
Así pues
\[ \operatorname{Dom}(f\circ g)=\mathbb R\setminus\{-1\}. \]
La simplificación algebraica no elimina la restricción sobre el dominio.
Ejercicio 11 — nivel ★★☆☆☆
Sean
\[ f(x)=|x|,\qquad g(x)=x-2. \]
Calcular \(f\circ g\) y \(g\circ f\).
Resultado
Las dos composiciones son
\[ (f\circ g)(x)=|x-2| \]
y
\[ (g\circ f)(x)=|x|-2. \]
Resolución
Calculamos \(f\circ g\):
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x))=f(x-2). \]
Puesto que \(f(x)=|x|\), al sustituir \(x\) por \(x-2\) obtenemos
\[ f(x-2)=|x-2|. \]
Por tanto
\[ (f\circ g)(x)=|x-2|. \]
Calculamos ahora \(g\circ f\):
\[ (g\circ f)(x)=g(f(x))=g(|x|). \]
Puesto que \(g(x)=x-2\), obtenemos
\[ g(|x|)=|x|-2. \]
Así pues
\[ (g\circ f)(x)=|x|-2. \]
Las dos funciones son distintas. Por ejemplo, para \(x=-1\),
\[ (f\circ g)(-1)=|-1-2|=3, \]
mientras que
\[ (g\circ f)(-1)=|-1|-2=1-2=-1. \]
Ejercicio 12 — nivel ★★★☆☆
Sean
\[ f(x)=\sqrt{x},\qquad g(x)=x^2-1. \]
Determinar \(f\circ g\), \(g\circ f\) y sus respectivos dominios reales.
Resultado
Se tiene
\[ (f\circ g)(x)=\sqrt{x^2-1},\qquad \operatorname{Dom}(f\circ g)=(-\infty,-1]\cup[1,+\infty), \]
mientras que
\[ (g\circ f)(x)=x-1 \qquad \text{para } x\ge 0, \]
es decir,
\[ \operatorname{Dom}(g\circ f)=[0,+\infty). \]
Resolución
Calculamos primero \(f\circ g\):
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x))=f(x^2-1)=\sqrt{x^2-1}. \]
Para el dominio real debemos imponer
\[ x^2-1\ge 0. \]
Puesto que
\[ x^2-1=(x-1)(x+1), \]
la desigualdad se cumple para
\[ x\le -1 \qquad \text{o} \qquad x\ge 1. \]
Por tanto
\[ \operatorname{Dom}(f\circ g)=(-\infty,-1]\cup[1,+\infty). \]
Calculamos ahora \(g\circ f\):
\[ (g\circ f)(x)=g(f(x))=g(\sqrt{x}). \]
Como \(g(x)=x^2-1\), obtenemos
\[ g(\sqrt{x})=(\sqrt{x})^2-1=x-1. \]
Sin embargo, el dominio no es todo \(\mathbb R\), porque la función interior \(f(x)=\sqrt{x}\) solo está definida para
\[ x\ge 0. \]
Así pues
\[ \operatorname{Dom}(g\circ f)=[0,+\infty). \]
Este ejercicio muestra que \(f\circ g\) y \(g\circ f\) pueden tener expresiones distintas y dominios distintos.
Ejercicio 13 — nivel ★★★☆☆
Sea
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^3-2x+1. \]
Calcular \(f\circ\operatorname{id}_{\mathbb R}\) y \(\operatorname{id}_{\mathbb R}\circ f\).
Resultado
Se tiene
\[ f\circ\operatorname{id}_{\mathbb R}=f \]
y
\[ \operatorname{id}_{\mathbb R}\circ f=f. \]
Resolución
La función identidad sobre \(\mathbb R\) se define por
\[ \operatorname{id}_{\mathbb R}(x)=x. \]
Calculamos la primera composición:
\[ (f\circ\operatorname{id}_{\mathbb R})(x)=f(\operatorname{id}_{\mathbb R}(x)). \]
Puesto que \(\operatorname{id}_{\mathbb R}(x)=x\), obtenemos
\[ f(\operatorname{id}_{\mathbb R}(x))=f(x). \]
Por tanto
\[ f\circ\operatorname{id}_{\mathbb R}=f. \]
Calculamos ahora la segunda composición:
\[ (\operatorname{id}_{\mathbb R}\circ f)(x)=\operatorname{id}_{\mathbb R}(f(x)). \]
La función identidad devuelve su propio argumento, de modo que
\[ \operatorname{id}_{\mathbb R}(f(x))=f(x). \]
Así pues
\[ \operatorname{id}_{\mathbb R}\circ f=f. \]
La función identidad es, por tanto, el elemento neutro respecto de la composición.
Ejercicio 14 — nivel ★★★☆☆
Sean
\[ f(x)=x^2,\qquad g(x)=x+1,\qquad h(x)=2x. \]
Verificar que
\[ (f\circ g)\circ h=f\circ(g\circ h). \]
Resultado
Las dos composiciones coinciden y ambas vienen dadas por
\[ (2x+1)^2. \]
Resolución
Calculamos primero \((f\circ g)\circ h\). Determinamos \(f\circ g\):
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x))=f(x+1). \]
Puesto que \(f(x)=x^2\), obtenemos
\[ (f\circ g)(x)=(x+1)^2. \]
Ahora componemos con \(h\):
\[ ((f\circ g)\circ h)(x)=(f\circ g)(h(x)). \]
Puesto que \(h(x)=2x\), se tiene
\[ (f\circ g)(h(x))=(f\circ g)(2x)=(2x+1)^2. \]
Por tanto
\[ ((f\circ g)\circ h)(x)=(2x+1)^2. \]
Calculamos ahora \(f\circ(g\circ h)\). Determinamos \(g\circ h\):
\[ (g\circ h)(x)=g(h(x))=g(2x)=2x+1. \]
Ahora componemos con \(f\):
\[ (f\circ(g\circ h))(x)=f((g\circ h)(x))=f(2x+1). \]
Puesto que \(f(x)=x^2\), obtenemos
\[ (f\circ(g\circ h))(x)=(2x+1)^2. \]
Las dos funciones coinciden. Esto confirma, en este caso concreto, la asociatividad de la composición.
Ejercicio 15 — nivel ★★★☆☆
Sean
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=4x-7, \]
y
\[ g:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad g(x)=\frac{x+7}{4}. \]
Verificar mediante composición que \(g=f^{-1}\).
Resultado
La función \(g\) es la inversa de \(f\), porque
\[ g\circ f=\operatorname{id}_{\mathbb R} \]
y
\[ f\circ g=\operatorname{id}_{\mathbb R}. \]
Resolución
Para verificar que \(g=f^{-1}\), debemos comprobar ambas composiciones.
Calculamos primero \(g\circ f\):
\[ (g\circ f)(x)=g(f(x)). \]
Puesto que \(f(x)=4x-7\), obtenemos
\[ g(f(x))=g(4x-7). \]
Sustituyendo en la expresión de \(g\):
\[ g(4x-7)=\frac{(4x-7)+7}{4}=\frac{4x}{4}=x. \]
Por tanto
\[ (g\circ f)(x)=x. \]
Calculamos ahora \(f\circ g\):
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x)). \]
Puesto que \(g(x)=\frac{x+7}{4}\), obtenemos
\[ f(g(x))=f\left(\frac{x+7}{4}\right). \]
Sustituyendo en la expresión de \(f\):
\[ f\left(\frac{x+7}{4}\right)=4\cdot\frac{x+7}{4}-7=x+7-7=x. \]
Por tanto
\[ (f\circ g)(x)=x. \]
Hemos demostrado que
\[ g\circ f=\operatorname{id}_{\mathbb R} \qquad\text{y}\qquad f\circ g=\operatorname{id}_{\mathbb R}. \]
Así pues, \(g=f^{-1}\).
Ejercicio 16 — nivel ★★★☆☆
Sean
\[ g(x)=x+2,\qquad f(x)=3x. \]
Calcular \(f\circ g\) y determinar la inversa de la función compuesta.
Resultado
La función compuesta es
\[ (f\circ g)(x)=3x+6 \]
y su inversa es
\[ (f\circ g)^{-1}(x)=\frac{x-6}{3}. \]
Resolución
Calculamos la compuesta:
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x)). \]
Puesto que \(g(x)=x+2\), obtenemos
\[ f(g(x))=f(x+2). \]
Como \(f(x)=3x\), se tiene
\[ f(x+2)=3(x+2)=3x+6. \]
Así pues
\[ (f\circ g)(x)=3x+6. \]
Denotamos la función compuesta por
\[ h(x)=3x+6. \]
Para determinar la inversa, ponemos
\[ y=3x+6. \]
Despejamos \(x\). Restando \(6\) en ambos miembros:
\[ y-6=3x. \]
Dividiendo entre \(3\):
\[ x=\frac{y-6}{3}. \]
Por tanto
\[ h^{-1}(y)=\frac{y-6}{3}. \]
Renombrando la variable independiente:
\[ h^{-1}(x)=\frac{x-6}{3}. \]
Como \(h=f\circ g\), obtenemos
\[ (f\circ g)^{-1}(x)=\frac{x-6}{3}. \]
Ejercicio 17 — nivel ★★★★☆
Sea
\[ f(x)= \begin{cases} x+1 & \text{si } x\ge 0,\\ x^2 & \text{si } x<0, \end{cases} \qquad g(x)=x-2. \]
Determinar \(f\circ g\).
Resultado
La función compuesta es
\[ (f\circ g)(x)= \begin{cases} (x-2)^2 & \text{si } x<2,\\ x-1 & \text{si } x\ge 2. \end{cases} \]
Resolución
Debemos calcular
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x))=f(x-2). \]
La función \(f\) está definida a trozos. La rama que hay que usar depende del signo del argumento de \(f\). En este caso el argumento no es \(x\), sino \(x-2\).
Debemos, por tanto, distinguir dos casos.
Si
\[ x-2\ge 0, \]
entonces
\[ x\ge 2. \]
En este caso usamos la primera rama de \(f\), es decir, \(f(t)=t+1\). Por tanto
\[ f(x-2)=(x-2)+1=x-1. \]
Si, en cambio,
\[ x-2<0, \]
entonces
\[ x<2. \]
En este caso usamos la segunda rama de \(f\), es decir, \(f(t)=t^2\). Por tanto
\[ f(x-2)=(x-2)^2. \]
Así pues
\[ (f\circ g)(x)= \begin{cases} (x-2)^2 & \text{si } x<2,\\ x-1 & \text{si } x\ge 2. \end{cases} \]
Ejercicio 18 — nivel ★★★★☆
Sean
\[ g:A\to B,\qquad f:B\to C. \]
Demostrar que, si \(g\) y \(f\) son inyectivas, entonces \(f\circ g:A\to C\) es inyectiva.
Resultado
Si \(g\) y \(f\) son inyectivas, entonces \(f\circ g\) también es inyectiva.
Resolución
Para demostrar que \(f\circ g\) es inyectiva, tomamos dos elementos arbitrarios \(x_1,x_2\in A\) y suponemos que tienen la misma imagen mediante \(f\circ g\):
\[ (f\circ g)(x_1)=(f\circ g)(x_2). \]
Por la definición de composición, esta igualdad se convierte en
\[ f(g(x_1))=f(g(x_2)). \]
Puesto que \(f\) es inyectiva, de la igualdad de las imágenes se sigue la igualdad de los argumentos:
\[ g(x_1)=g(x_2). \]
Puesto que \(g\) también es inyectiva, de \(g(x_1)=g(x_2)\) se sigue
\[ x_1=x_2. \]
Hemos demostrado que
\[ (f\circ g)(x_1)=(f\circ g)(x_2)\quad \Longrightarrow \quad x_1=x_2. \]
Así pues, \(f\circ g\) es inyectiva.
Ejercicio 19 — nivel ★★★★☆
Sean
\[ g:A\to B,\qquad f:B\to C. \]
Demostrar que, si \(g\) y \(f\) son suprayectivas, entonces \(f\circ g:A\to C\) es suprayectiva.
Resultado
Si \(g\) y \(f\) son suprayectivas, entonces \(f\circ g\) también es suprayectiva.
Resolución
Para demostrar que \(f\circ g\) es suprayectiva, debemos probar que todo elemento de \(C\) es imagen de al menos un elemento de \(A\) mediante \(f\circ g\).
Sea, pues, \(z\in C\).
Puesto que \(f:B\to C\) es suprayectiva, existe al menos un elemento \(y\in B\) tal que
\[ f(y)=z. \]
Puesto que \(g:A\to B\) es suprayectiva, existe al menos un elemento \(x\in A\) tal que
\[ g(x)=y. \]
Entonces
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x)). \]
Puesto que \(g(x)=y\), obtenemos
\[ (f\circ g)(x)=f(y). \]
Pero \(f(y)=z\), de modo que
\[ (f\circ g)(x)=z. \]
Hemos hallado un elemento \(x\in A\) tal que \((f\circ g)(x)=z\).
Como \(z\in C\) era arbitrario, todo elemento de \(C\) es imagen de al menos un elemento de \(A\). Así pues, \(f\circ g\) es suprayectiva.
Ejercicio 20 — nivel ★★★★★
Sean
\[ f(x)=\frac{1}{x-1},\qquad g(x)=\sqrt{x+2}. \]
Determinar \(f\circ g\), \(g\circ f\) y sus respectivos dominios reales.
Resultado
Se tiene
\[ (f\circ g)(x)=\frac{1}{\sqrt{x+2}-1}, \qquad \operatorname{Dom}(f\circ g)=[-2,+\infty)\setminus\{-1\}. \]
Además
\[ (g\circ f)(x)=\sqrt{\frac{1}{x-1}+2}, \qquad \operatorname{Dom}(g\circ f)=\left(-\infty,\frac{1}{2}\right]\cup(1,+\infty). \]
Resolución
Calculamos primero \(f\circ g\):
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x))=f(\sqrt{x+2}). \]
Puesto que \(f(x)=1/(x-1)\), obtenemos
\[ (f\circ g)(x)=\frac{1}{\sqrt{x+2}-1}. \]
Para determinar el dominio, imponemos en primer lugar que la función interior \(g(x)=\sqrt{x+2}\) esté definida:
\[ x+2\ge 0. \]
Por tanto
\[ x\ge -2. \]
Además, el denominador de la compuesta debe ser distinto de cero:
\[ \sqrt{x+2}-1\ne 0. \]
Esta condición equivale a
\[ \sqrt{x+2}\ne 1. \]
Como \(\sqrt{x+2}=1\) si y solo si \(x+2=1\), obtenemos \(x=-1\). Así pues
\[ \operatorname{Dom}(f\circ g)=[-2,+\infty)\setminus\{-1\}. \]
Calculamos ahora \(g\circ f\):
\[ (g\circ f)(x)=g(f(x))=g\left(\frac{1}{x-1}\right). \]
Puesto que \(g(x)=\sqrt{x+2}\), al sustituir \(x\) por \(1/(x-1)\) se tiene
\[ (g\circ f)(x)=\sqrt{\frac{1}{x-1}+2}. \]
Para el dominio debemos imponer, en primer lugar, que \(f(x)=1/(x-1)\) esté definida:
\[ x-1\ne 0. \]
Por tanto
\[ x\ne 1. \]
Además, el argumento de la raíz debe ser no negativo:
\[ \frac{1}{x-1}+2\ge 0. \]
Reducimos a común denominador:
\[ \frac{1+2(x-1)}{x-1}\ge 0. \]
Simplificando el numerador:
\[ \frac{2x-1}{x-1}\ge 0. \]
Los puntos críticos son
\[ x=\frac{1}{2},\qquad x=1. \]
Estudiando el signo de la fracción, obtenemos
\[ x\le \frac{1}{2} \qquad \text{o} \qquad x>1. \]
El valor \(x=1\) queda excluido, porque anula el denominador.
Así pues
\[ \operatorname{Dom}(g\circ f)=\left(-\infty,\frac{1}{2}\right]\cup(1,+\infty). \]
Este ejercicio reúne los dos aspectos fundamentales de la composición: el orden de aplicación y el control del dominio.