En esta colección se presentan 20 ejercicios resueltos sobre funciones pares y funciones impares. Cada ejercicio se resuelve paso a paso, prestando especial atención a la simetría del dominio, al cálculo de \(f(-x)\) y a su comparación con \(f(x)\) y con \(-f(x)\).
En efecto, para decidir si una función es par o impar no basta con observar su expresión analítica: hay que comprobar primero que el dominio sea simétrico respecto al origen. Solo tras esta comprobación tiene sentido verificar si, para todo \(x\) del dominio, se cumple una de las dos condiciones
\[ f(-x)=f(x) \]
o bien
\[ f(-x)=-f(x). \]
Los ejercicios que siguen ilustran los casos principales: funciones pares, funciones impares, funciones que no son ni pares ni impares, dominios no simétricos, operaciones entre funciones pares e impares, integrales sobre intervalos simétricos y descomposición en parte par y parte impar.
Ejercicio 1 — nivel ★☆☆☆☆
Determinar cuáles de los siguientes conjuntos son simétricos respecto al origen:
\[ A=\mathbb R,\qquad B=[-3,3],\qquad C=[0,+\infty),\qquad D=\mathbb R\setminus\{0\}. \]
Resultado
Los conjuntos \(A\), \(B\) y \(D\) son simétricos respecto al origen. El conjunto \(C\) no es simétrico respecto al origen.
Resolución
Un conjunto \(X\subseteq\mathbb R\) es simétrico respecto al origen si, para todo \(x\in X\), su opuesto \(-x\) también pertenece a \(X\). En símbolos:
\[ x\in X\implies -x\in X. \]
Consideremos el primer conjunto:
\[ A=\mathbb R. \]
Todo número real pertenece a \(\mathbb R\), y su opuesto también. Por tanto, \(A\) es simétrico respecto al origen.
Consideremos ahora
\[ B=[-3,3]. \]
Si \(x\in[-3,3]\), entonces también \(-x\in[-3,3]\), ya que el intervalo contiene siempre, junto con un número, su opuesto. Por tanto, \(B\) es simétrico respecto al origen.
Consideremos
\[ C=[0,+\infty). \]
Este conjunto no es simétrico respecto al origen. En efecto,
\[ 1\in[0,+\infty), \]
pero
\[ -1\notin[0,+\infty). \]
Así pues, \(C\) no contiene el opuesto de cada uno de sus elementos.
Por último, consideremos
\[ D=\mathbb R\setminus\{0\}. \]
Si \(x\in D\), entonces \(x\ne 0\). En consecuencia, también \(-x\ne 0\), de modo que \(-x\in D\). Por tanto, \(D\) también es simétrico respecto al origen.
Ejercicio 2 — nivel ★☆☆☆☆
Determinar si la función
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2+5 \]
es par, impar o ninguna de las dos cosas.
Resultado
La función es par.
Resolución
El dominio de la función es \(\mathbb R\), que es, por tanto, simétrico respecto al origen.
Podemos, pues, comparar \(f(x)\) con \(f(-x)\). Calculamos \(f(-x)\):
\[ f(-x)=(-x)^2+5. \]
Como
\[ (-x)^2=x^2, \]
obtenemos
\[ f(-x)=x^2+5. \]
Pero
\[ f(x)=x^2+5. \]
Por tanto, para todo \(x\in\mathbb R\),
\[ f(-x)=f(x). \]
Por definición, \(f\) es par.
Ejercicio 3 — nivel ★☆☆☆☆
Determinar si la función
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^3-4x \]
es par, impar o ninguna de las dos cosas.
Resultado
La función es impar.
Resolución
El dominio de la función es \(\mathbb R\), que es, por tanto, simétrico respecto al origen.
Calculamos \(f(-x)\):
\[ f(-x)=(-x)^3-4(-x). \]
Simplificando ambos términos, obtenemos
\[ f(-x)=-x^3+4x. \]
Calculamos ahora \(-f(x)\). Como
\[ f(x)=x^3-4x, \]
se tiene
\[ -f(x)=-(x^3-4x). \]
Distribuyendo el signo menos:
\[ -f(x)=-x^3+4x. \]
Hemos obtenido así
\[ f(-x)=-x^3+4x \]
y
\[ -f(x)=-x^3+4x. \]
Por consiguiente, para todo \(x\in\mathbb R\),
\[ f(-x)=-f(x). \]
Por definición, \(f\) es impar.
Ejercicio 4 — nivel ★★☆☆☆
Determinar si la función
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2+x \]
es par, impar o ninguna de las dos cosas.
Resultado
La función no es ni par ni impar.
Resolución
El dominio de la función es \(\mathbb R\), que es, por tanto, simétrico respecto al origen.
Calculamos \(f(-x)\):
\[ f(-x)=(-x)^2+(-x). \]
Como \((-x)^2=x^2\), obtenemos
\[ f(-x)=x^2-x. \]
Comparamos ahora \(f(-x)\) con \(f(x)\). Se tiene
\[ f(x)=x^2+x. \]
En general,
\[ x^2-x\ne x^2+x. \]
Por ejemplo, para \(x=1\) se obtiene
\[ f(-1)=(-1)^2+(-1)=1-1=0, \]
mientras que
\[ f(1)=1^2+1=2. \]
Por tanto, \(f(-1)\ne f(1)\), de modo que la función no es par.
Comprobemos ahora si la función es impar. Debería cumplirse
\[ f(-x)=-f(x) \]
para todo \(x\in\mathbb R\). Calculamos:
\[ -f(x)=-(x^2+x)=-x^2-x. \]
Pero, en general,
\[ x^2-x\ne -x^2-x. \]
Por ejemplo, para \(x=1\) ya hemos hallado \(f(-1)=0\), mientras que
\[ -f(1)=-2. \]
Por tanto, \(f(-1)\ne -f(1)\), de modo que la función no es impar.
En consecuencia, \(f\) no es ni par ni impar.
Ejercicio 5 — nivel ★★☆☆☆
Determinar si la función
\[ f:[0,+\infty)\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2 \]
es par.
Resultado
La función no se considera par, porque su dominio no es simétrico respecto al origen.
Resolución
La regla que define la función es
\[ f(x)=x^2. \]
Considerada en todo \(\mathbb R\), esta expresión describe una función par. Sin embargo, en este ejercicio la función no está definida en \(\mathbb R\), sino en
\[ [0,+\infty). \]
Antes de comprobar la paridad, debemos, por tanto, examinar el dominio.
El dominio
\[ X=[0,+\infty) \]
no es simétrico respecto al origen. En efecto,
\[ 1\in X, \]
pero
\[ -1\notin X. \]
Esto significa que, para \(x=1\), el valor \(f(1)\) está definido, mientras que \(f(-1)\) no lo está.
En consecuencia, no es posible comprobar la condición
\[ f(-x)=f(x) \]
para todo \(x\) del dominio.
Por esta razón, la función
\[ f:[0,+\infty)\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2 \]
no se considera una función par.
Ejercicio 6 — nivel ★★☆☆☆
Determinar si la función
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=3x^4-5x^2+7 \]
es par, impar o ninguna de las dos cosas.
Resultado
La función es par.
Resolución
El dominio de la función es \(\mathbb R\), que es, por tanto, simétrico respecto al origen.
Podemos, pues, calcular \(f(-x)\) y compararlo con \(f(x)\). Se tiene
\[ f(-x)=3(-x)^4-5(-x)^2+7. \]
Recordemos que una potencia de exponente par no cambia de signo al sustituir \(x\) por \(-x\). En efecto,
\[ (-x)^4=x^4,\qquad (-x)^2=x^2. \]
Así pues,
\[ f(-x)=3x^4-5x^2+7. \]
Pero esta es precisamente la expresión de \(f(x)\):
\[ f(x)=3x^4-5x^2+7. \]
Por tanto, para todo \(x\in\mathbb R\), se cumple
\[ f(-x)=f(x). \]
Por definición, la función es par.
Ejercicio 7 — nivel ★★☆☆☆
Determinar si la función
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=2x^5-3x^3+x \]
es par, impar o ninguna de las dos cosas.
Resultado
La función es impar.
Resolución
El dominio de la función es \(\mathbb R\), que es, por tanto, simétrico respecto al origen.
Calculamos \(f(-x)\):
\[ f(-x)=2(-x)^5-3(-x)^3+(-x). \]
Las potencias de exponente impar cambian de signo al sustituir \(x\) por \(-x\). En efecto,
\[ (-x)^5=-x^5,\qquad (-x)^3=-x^3. \]
Así pues,
\[ f(-x)=2(-x^5)-3(-x^3)-x. \]
Simplificando:
\[ f(-x)=-2x^5+3x^3-x. \]
Calculamos ahora \(-f(x)\). Como
\[ f(x)=2x^5-3x^3+x, \]
tenemos
\[ -f(x)=-(2x^5-3x^3+x). \]
Distribuyendo el signo menos:
\[ -f(x)=-2x^5+3x^3-x. \]
Por tanto, \(f(-x)\) y \(-f(x)\) coinciden:
\[ f(-x)=-f(x). \]
Como esta igualdad se cumple para todo \(x\in\mathbb R\), la función es impar.
Ejercicio 8 — nivel ★★☆☆☆
Determinar si la función
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2+\cos x \]
es par, impar o ninguna de las dos cosas.
Resultado
La función es par.
Resolución
El dominio de la función es \(\mathbb R\), que es, por tanto, simétrico respecto al origen.
Calculamos \(f(-x)\):
\[ f(-x)=(-x)^2+\cos(-x). \]
Utilizamos ahora dos propiedades conocidas:
\[ (-x)^2=x^2 \]
y
\[ \cos(-x)=\cos x. \]
La primera igualdad se debe a que la potencia tiene exponente par; la segunda expresa que el coseno es una función par.
Sustituyendo estas identidades, obtenemos
\[ f(-x)=x^2+\cos x. \]
Pero
\[ f(x)=x^2+\cos x. \]
Por tanto, para todo \(x\in\mathbb R\),
\[ f(-x)=f(x). \]
Por definición, \(f\) es par.
Este resultado concuerda además con la regla general: la suma de dos funciones pares es de nuevo una función par.
Ejercicio 9 — nivel ★★☆☆☆
Determinar si la función
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^3+x^2 \]
es par, impar o ninguna de las dos cosas.
Resultado
La función no es ni par ni impar.
Resolución
El dominio de la función es \(\mathbb R\), que es, por tanto, simétrico respecto al origen.
Calculamos \(f(-x)\):
\[ f(-x)=(-x)^3+(-x)^2. \]
Como
\[ (-x)^3=-x^3,\qquad (-x)^2=x^2, \]
obtenemos
\[ f(-x)=-x^3+x^2. \]
Comparamos primero \(f(-x)\) con \(f(x)\). Como
\[ f(x)=x^3+x^2, \]
para que \(f\) fuese par debería cumplirse
\[ -x^3+x^2=x^3+x^2 \]
para todo \(x\in\mathbb R\). Esta igualdad no se cumple en general. Por ejemplo, para \(x=1\) se tiene
\[ f(-1)=(-1)^3+(-1)^2=-1+1=0, \]
mientras que
\[ f(1)=1^3+1^2=2. \]
Por tanto, la función no es par.
Comprobemos ahora si es impar. Calculamos \(-f(x)\):
\[ -f(x)=-(x^3+x^2)=-x^3-x^2. \]
Para que \(f\) fuese impar debería cumplirse
\[ f(-x)=-f(x). \]
Pero tenemos
\[ f(-x)=-x^3+x^2 \]
y
\[ -f(x)=-x^3-x^2. \]
Estas dos expresiones no coinciden en general. Por ejemplo, para \(x=1\) se tiene \(f(-1)=0\), mientras que \(-f(1)=-2\).
Por tanto, la función no es impar.
En consecuencia, \(f\) no es ni par ni impar.
Ejercicio 10 — nivel ★★☆☆☆
Determinar si la función
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=0 \]
es par, impar o ambas cosas a la vez.
Resultado
La función es a la vez par e impar.
Resolución
El dominio de la función es \(\mathbb R\), que es, por tanto, simétrico respecto al origen.
La función es idénticamente nula, es decir,
\[ f(x)=0 \]
para todo \(x\in\mathbb R\).
Calculamos \(f(-x)\). Como \(-x\) también es un número real, se tiene
\[ f(-x)=0. \]
Comparamos ahora \(f(-x)\) con \(f(x)\). Puesto que \(f(x)=0\), obtenemos
\[ f(-x)=0=f(x). \]
Por tanto, la función es par.
Comparamos ahora \(f(-x)\) con \(-f(x)\). Como \(f(x)=0\), se tiene
\[ -f(x)=-0=0. \]
Por tanto,
\[ f(-x)=0=-f(x). \]
Así pues, la función también es impar.
Por consiguiente, la función nula es a la vez par e impar. Más en general, sobre un dominio simétrico respecto al origen, una función real que sea simultáneamente par e impar debe ser idénticamente nula.
Ejercicio 11 — nivel ★★★☆☆
Determinar si la función
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=(x^2+1)\sin x \]
es par, impar o ninguna de las dos cosas.
Resultado
La función es impar.
Resolución
El dominio de la función es \(\mathbb R\), que es, por tanto, simétrico respecto al origen.
Calculamos \(f(-x)\):
\[ f(-x)=((-x)^2+1)\sin(-x). \]
Observamos ahora por separado los dos factores.
Para el primer factor tenemos
\[ (-x)^2+1=x^2+1. \]
Para el segundo factor, usando que el seno es una función impar, tenemos
\[ \sin(-x)=-\sin x. \]
Sustituyendo estas dos identidades, obtenemos
\[ f(-x)=(x^2+1)(-\sin x). \]
Así pues,
\[ f(-x)=-(x^2+1)\sin x. \]
Pero
\[ f(x)=(x^2+1)\sin x. \]
Por tanto,
\[ f(-x)=-f(x). \]
Por definición, la función es impar.
El resultado concuerda con la regla general: el producto de una función par por una función impar es impar.
Ejercicio 12 — nivel ★★★☆☆
Determinar si la función
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x\sin x \]
es par, impar o ninguna de las dos cosas.
Resultado
La función es par.
Resolución
El dominio de la función es \(\mathbb R\), que es, por tanto, simétrico respecto al origen.
Calculamos \(f(-x)\):
\[ f(-x)=(-x)\sin(-x). \]
Usamos la relación
\[ \sin(-x)=-\sin x. \]
Sustituyendo, obtenemos
\[ f(-x)=(-x)(-\sin x). \]
El producto de dos factores negativos es positivo, de modo que
\[ f(-x)=x\sin x. \]
Pero
\[ f(x)=x\sin x. \]
Por tanto,
\[ f(-x)=f(x). \]
Por definición, la función es par.
También este resultado concuerda con la regla general: el producto de dos funciones impares es una función par. En efecto, \(x\mapsto x\) es impar y \(x\mapsto\sin x\) es impar.
Ejercicio 13 — nivel ★★★☆☆
Determinar si la función
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=\frac{x^2+1}{x^4+1} \]
es par, impar o ninguna de las dos cosas.
Resultado
La función es par.
Resolución
Antes de nada, examinamos el dominio. El denominador es
\[ x^4+1. \]
Como \(x^4\ge 0\) para todo \(x\in\mathbb R\), se tiene
\[ x^4+1>0 \]
para todo \(x\in\mathbb R\). Por tanto, el denominador no se anula nunca y el dominio es \(\mathbb R\).
El dominio es, pues, simétrico respecto al origen.
Calculamos \(f(-x)\):
\[ f(-x)=\frac{(-x)^2+1}{(-x)^4+1}. \]
Como
\[ (-x)^2=x^2,\qquad (-x)^4=x^4, \]
obtenemos
\[ f(-x)=\frac{x^2+1}{x^4+1}. \]
Pero
\[ f(x)=\frac{x^2+1}{x^4+1}. \]
Por tanto,
\[ f(-x)=f(x). \]
Por definición, la función es par.
Ejercicio 14 — nivel ★★★☆☆
Determinar si la función
\[ f:X\to\mathbb R,\qquad f(x)=\tan x, \]
donde
\[ X=\mathbb R\setminus\left\{\frac{\pi}{2}+k\pi\mid k\in\mathbb Z\right\}, \]
es par, impar o ninguna de las dos cosas.
Resultado
La función es impar.
Resolución
Antes de comprobar la condición \(f(-x)=f(x)\) o \(f(-x)=-f(x)\), debemos verificar que el dominio sea simétrico respecto al origen.
La función tangente no está definida en los puntos
\[ \frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z. \]
Por tanto, el dominio es
\[ X=\mathbb R\setminus\left\{\frac{\pi}{2}+k\pi\mid k\in\mathbb Z\right\}. \]
Comprobamos que \(X\) es simétrico respecto al origen. El opuesto de un punto excluido es
\[ -\left(\frac{\pi}{2}+k\pi\right). \]
Simplificando:
\[ -\left(\frac{\pi}{2}+k\pi\right)=-\frac{\pi}{2}-k\pi. \]
Reescribimos esta cantidad en la forma \(\displaystyle\frac{\pi}{2}+m\pi\), con \(m\in\mathbb Z\):
\[ -\frac{\pi}{2}-k\pi=\frac{\pi}{2}+(-k-1)\pi. \]
Como \(-k-1\in\mathbb Z\), el opuesto de un punto excluido es de nuevo un punto excluido.
En consecuencia, si \(x\in X\), entonces también \(-x\in X\). El dominio es, pues, simétrico respecto al origen.
Calculamos ahora \(f(-x)\):
\[ f(-x)=\tan(-x). \]
Como la tangente es una función impar, se tiene
\[ \tan(-x)=-\tan x. \]
Así pues,
\[ f(-x)=-\tan x. \]
Pero \(f(x)=\tan x\), de modo que
\[ f(-x)=-f(x). \]
Por definición, \(f\) es impar.
Ejercicio 15 — nivel ★★★☆☆
Calcular la integral
\[ \int_{-2}^{2}(x^4+3x^2)\,dx \]
usando que el integrando es par.
Resultado
\[ \int_{-2}^{2}(x^4+3x^2)\,dx=\frac{144}{5}. \]
Resolución
Consideremos el integrando
\[ f(x)=x^4+3x^2. \]
Comprobamos que es par:
\[ f(-x)=(-x)^4+3(-x)^2. \]
Como
\[ (-x)^4=x^4,\qquad (-x)^2=x^2, \]
obtenemos
\[ f(-x)=x^4+3x^2=f(x). \]
Por tanto, \(f\) es par.
El intervalo de integración es
\[ [-2,2], \]
que es simétrico respecto al origen. Para una función par integrable en \([-a,a]\), se cumple
\[ \int_{-a}^{a}f(x)\,dx=2\int_0^a f(x)\,dx. \]
En nuestro caso \(a=2\). Por tanto,
\[ \int_{-2}^{2}(x^4+3x^2)\,dx = 2\int_0^2(x^4+3x^2)\,dx. \]
Calculamos la integral:
\[ 2\int_0^2(x^4+3x^2)\,dx = 2\left[\frac{x^5}{5}+x^3\right]_0^2. \]
Evaluamos en los extremos:
\[ 2\left[\frac{x^5}{5}+x^3\right]_0^2 = 2\left(\frac{2^5}{5}+2^3-\frac{0^5}{5}-0^3\right). \]
Por tanto,
\[ 2\left(\frac{2^5}{5}+2^3\right) = 2\left(\frac{32}{5}+8\right). \]
Reducimos todo a común denominador:
\[ 8=\frac{40}{5}. \]
Por consiguiente,
\[ 2\left(\frac{32}{5}+\frac{40}{5}\right) = 2\cdot\frac{72}{5} = \frac{144}{5}. \]
Concluimos que
\[ \int_{-2}^{2}(x^4+3x^2)\,dx=\frac{144}{5}. \]
Ejercicio 16 — nivel ★★★☆☆
Calcular la integral
\[ \int_{-3}^{3}(x^5-4x)\,dx \]
usando que el integrando es impar.
Resultado
\[ \int_{-3}^{3}(x^5-4x)\,dx=0. \]
Resolución
Consideremos el integrando
\[ f(x)=x^5-4x. \]
Comprobamos si \(f\) es impar. Calculamos \(f(-x)\):
\[ f(-x)=(-x)^5-4(-x). \]
Como
\[ (-x)^5=-x^5 \]
y
\[ -4(-x)=4x, \]
obtenemos
\[ f(-x)=-x^5+4x. \]
Calculamos ahora \(-f(x)\):
\[ -f(x)=-(x^5-4x). \]
Distribuyendo el signo menos:
\[ -f(x)=-x^5+4x. \]
Tenemos entonces
\[ f(-x)=-f(x). \]
La función \(f\) es impar.
El intervalo de integración es
\[ [-3,3], \]
que es simétrico respecto al origen.
Como la integral de una función impar sobre un intervalo simétrico respecto al origen es nula, obtenemos directamente
\[ \int_{-3}^{3}(x^5-4x)\,dx=0. \]
Desde el punto de vista geométrico, las áreas orientadas de las dos mitades del intervalo se compensan: la contribución sobre \([-3,0]\) es opuesta a la contribución sobre \([0,3]\).
Ejercicio 17 — nivel ★★★★☆
Calcular la integral
\[ \int_{-1}^{1}(x^4+x^3+2)\,dx \]
aprovechando el carácter par e impar de los términos del integrando.
Resultado
\[ \int_{-1}^{1}(x^4+x^3+2)\,dx=\frac{22}{5}. \]
Resolución
Consideremos el integrando
\[ f(x)=x^4+x^3+2. \]
Esta función, en su conjunto, no es ni par ni impar, ya que contiene una parte par no nula y una parte impar no nula. No obstante, podemos separarla en dos partes:
\[ f(x)=(x^4+2)+x^3. \]
La función
\[ x\mapsto x^4+2 \]
es par, porque solo contiene potencias pares de \(x\) junto con un término constante.
La función
\[ x\mapsto x^3 \]
es impar, porque
\[ (-x)^3=-x^3. \]
Podemos, pues, escribir
\[ \int_{-1}^{1}(x^4+x^3+2)\,dx = \int_{-1}^{1}(x^4+2)\,dx+\int_{-1}^{1}x^3\,dx. \]
El intervalo \([-1,1]\) es simétrico respecto al origen. Como \(x^3\) es impar, su integral en \([-1,1]\) es nula:
\[ \int_{-1}^{1}x^3\,dx=0. \]
Queda entonces
\[ \int_{-1}^{1}(x^4+x^3+2)\,dx = \int_{-1}^{1}(x^4+2)\,dx. \]
Como \(x^4+2\) es par, podemos reducir el intervalo a la mitad y duplicar la integral:
\[ \int_{-1}^{1}(x^4+2)\,dx = 2\int_0^1(x^4+2)\,dx. \]
Calculamos:
\[ 2\int_0^1(x^4+2)\,dx = 2\left[\frac{x^5}{5}+2x\right]_0^1. \]
Evaluando en los extremos:
\[ 2\left[\frac{x^5}{5}+2x\right]_0^1 = 2\left(\frac{1^5}{5}+2\cdot 1-\frac{0^5}{5}-2\cdot 0\right). \]
Por tanto,
\[ 2\left(\frac{1}{5}+2\right) = 2\left(\frac{1}{5}+\frac{10}{5}\right) = 2\cdot\frac{11}{5} = \frac{22}{5}. \]
Por consiguiente,
\[ \int_{-1}^{1}(x^4+x^3+2)\,dx=\frac{22}{5}. \]
Ejercicio 18 — nivel ★★★★☆
Descomponer la función
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^3+x^2+x+1 \]
como suma de su parte par y su parte impar.
Resultado
La parte par es
\[ f_p(x)=x^2+1. \]
La parte impar es
\[ f_d(x)=x^3+x. \]
Por tanto,
\[ f(x)=f_p(x)+f_d(x)=(x^2+1)+(x^3+x). \]
Resolución
El dominio de la función es \(\mathbb R\), que es simétrico respecto al origen. Podemos, pues, emplear las fórmulas de la descomposición en parte par y parte impar.
La parte par de \(f\) se define mediante
\[ f_p(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}. \]
La parte impar de \(f\) se define mediante
\[ f_d(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}. \]
Calculamos primero \(f(-x)\). Como
\[ f(x)=x^3+x^2+x+1, \]
obtenemos
\[ f(-x)=(-x)^3+(-x)^2+(-x)+1. \]
Simplificando:
\[ f(-x)=-x^3+x^2-x+1. \]
Calculamos ahora la parte par:
\[ f_p(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}. \]
Sustituimos las expresiones halladas:
\[ f_p(x)=\frac{(x^3+x^2+x+1)+(-x^3+x^2-x+1)}{2}. \]
Sumamos los términos semejantes:
\[ x^3-x^3=0,\qquad x-x=0, \]
mientras que
\[ x^2+x^2=2x^2,\qquad 1+1=2. \]
Por tanto,
\[ f_p(x)=\frac{2x^2+2}{2}=x^2+1. \]
Calculamos ahora la parte impar:
\[ f_d(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}. \]
Sustituimos:
\[ f_d(x)=\frac{(x^3+x^2+x+1)-(-x^3+x^2-x+1)}{2}. \]
Cambiamos los signos del segundo paréntesis:
\[ f_d(x)=\frac{x^3+x^2+x+1+x^3-x^2+x-1}{2}. \]
Sumamos los términos semejantes:
\[ x^3+x^3=2x^3,\qquad x+x=2x, \]
mientras que
\[ x^2-x^2=0,\qquad 1-1=0. \]
Por tanto,
\[ f_d(x)=\frac{2x^3+2x}{2}=x^3+x. \]
Hemos obtenido así la descomposición
\[ f(x)=f_p(x)+f_d(x)=(x^2+1)+(x^3+x). \]
El primer paréntesis es una función par, mientras que el segundo es una función impar.
Ejercicio 19 — nivel ★★★★☆
Descomponer la función
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=e^x \]
como suma de su parte par y su parte impar.
Resultado
La parte par es
\[ f_p(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}=\cosh x. \]
La parte impar es
\[ f_d(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}=\sinh x. \]
Por tanto,
\[ e^x=\cosh x+\sinh x. \]
Resolución
El dominio de la función \(f(x)=e^x\) es \(\mathbb R\), que es, por tanto, simétrico respecto al origen.
Podemos usar las fórmulas
\[ f_p(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2} \]
y
\[ f_d(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}. \]
Como
\[ f(x)=e^x, \]
se tiene
\[ f(-x)=e^{-x}. \]
Calculamos la parte par:
\[ f_p(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}. \]
Esta es, por definición, la función coseno hiperbólico:
\[ \cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}. \]
Por tanto,
\[ f_p(x)=\cosh x. \]
Calculamos ahora la parte impar:
\[ f_d(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}. \]
Esta es, por definición, la función seno hiperbólico:
\[ \sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}. \]
Por tanto,
\[ f_d(x)=\sinh x. \]
Por consiguiente, la descomposición de \(e^x\) como suma de su parte par y su parte impar es
\[ e^x=\cosh x+\sinh x. \]
Ejercicio 20 — nivel ★★★★★
Descomponer la función
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=\frac{x+1}{x^2+1} \]
como suma de su parte par y su parte impar.
Resultado
La parte par es
\[ f_p(x)=\frac{1}{x^2+1}. \]
La parte impar es
\[ f_d(x)=\frac{x}{x^2+1}. \]
Por tanto,
\[ \frac{x+1}{x^2+1} = \frac{1}{x^2+1} + \frac{x}{x^2+1}. \]
Resolución
El dominio de la función es \(\mathbb R\), ya que el denominador
\[ x^2+1 \]
es siempre positivo y, por tanto, no se anula nunca.
El dominio es, pues, simétrico respecto al origen.
Para descomponer \(f\) como suma de su parte par y su parte impar, usamos las fórmulas
\[ f_p(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2} \]
y
\[ f_d(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}. \]
Calculamos \(f(-x)\):
\[ f(-x)=\frac{-x+1}{(-x)^2+1}. \]
Como
\[ (-x)^2=x^2, \]
obtenemos
\[ f(-x)=\frac{1-x}{x^2+1}. \]
Calculamos ahora la parte par:
\[ f_p(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}. \]
Sustituyendo las dos expresiones:
\[ f_p(x)=\frac{\frac{x+1}{x^2+1}+\frac{1-x}{x^2+1}}{2}. \]
Las dos fracciones tienen el mismo denominador, de modo que podemos sumar los numeradores:
\[ f_p(x)=\frac{\frac{x+1+1-x}{x^2+1}}{2}. \]
Simplificando el numerador:
\[ x+1+1-x=2. \]
Por tanto,
\[ f_p(x)=\frac{\frac{2}{x^2+1}}{2}. \]
Dividir entre \(2\) equivale a multiplicar por \(\displaystyle\frac12\), de modo que
\[ f_p(x)=\frac{1}{x^2+1}. \]
Calculamos ahora la parte impar:
\[ f_d(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}. \]
Sustituyendo:
\[ f_d(x)=\frac{\frac{x+1}{x^2+1}-\frac{1-x}{x^2+1}}{2}. \]
También en este caso las dos fracciones tienen el mismo denominador:
\[ f_d(x)=\frac{\frac{x+1-(1-x)}{x^2+1}}{2}. \]
Simplificamos el numerador:
\[ x+1-(1-x)=x+1-1+x=2x. \]
Por tanto,
\[ f_d(x)=\frac{\frac{2x}{x^2+1}}{2}. \]
Dividiendo entre \(2\), obtenemos
\[ f_d(x)=\frac{x}{x^2+1}. \]
Por tanto, la función se descompone como
\[ f(x)=f_p(x)+f_d(x) = \frac{1}{x^2+1} + \frac{x}{x^2+1}. \]
La función
\[ x\mapsto \frac{1}{x^2+1} \]
es par, mientras que la función
\[ x\mapsto \frac{x}{x^2+1} \]
es impar. La descomposición obtenida concuerda, pues, con las fórmulas generales.