En esta colección presentamos 20 ejercicios resueltos sobre funciones crecientes, funciones decrecientes, funciones monótonas y funciones estrictamente monótonas. Cada ejercicio se resuelve paso a paso, prestando especial atención a la comparación entre los valores de la función en dos puntos \(x_1\) y \(x_2\) del dominio.
Para determinar si una función es creciente o decreciente en un conjunto \(X\), no basta con observar algunos puntos de la gráfica: es necesario comprobar una propiedad válida para todo par de puntos \(x_1,x_2\in X\) con \(x_1<x_2\).
Recordemos que una función \(f:X\to\mathbb R\) es creciente en \(X\) si
\[ x_1<x_2 \implies f(x_1)\le f(x_2), \]
mientras que es decreciente en \(X\) si
\[ x_1<x_2 \implies f(x_1)\ge f(x_2). \]
Si las desigualdades son estrictas, se habla de función estrictamente creciente o estrictamente decreciente. Los ejercicios siguientes muestran cómo aplicar estas definiciones, cómo reconocer funciones monótonas en intervalos y cómo distinguir la monotonía no estricta de la monotonía estricta.
Ejercicio 1 — nivel ★☆☆☆☆
Determinar si la función
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=2x+1 \]
es creciente, decreciente, estrictamente creciente o estrictamente decreciente en \(\mathbb R\).
Resultado
La función es estrictamente creciente en \(\mathbb R\). Por consiguiente, también es creciente en \(\mathbb R\).
Resolución
Para estudiar la monotonía mediante la definición, tomamos dos puntos cualesquiera \(x_1,x_2\in\mathbb R\) tales que
\[ x_1<x_2. \]
Debemos comparar \(f(x_1)\) y \(f(x_2)\). Puesto que
\[ f(x)=2x+1, \]
tenemos
\[ f(x_1)=2x_1+1 \]
y
\[ f(x_2)=2x_2+1. \]
A partir de la desigualdad \(x_1<x_2\), multiplicando ambos miembros por \(2\), que es un número positivo, obtenemos
\[ 2x_1<2x_2. \]
Sumando \(1\) a ambos miembros, se obtiene
\[ 2x_1+1<2x_2+1. \]
Es decir,
\[ f(x_1)<f(x_2). \]
Hemos demostrado así que, para todo \(x_1,x_2\in\mathbb R\),
\[ x_1<x_2 \implies f(x_1)<f(x_2). \]
Por definición, la función es estrictamente creciente en \(\mathbb R\).
Puesto que toda función estrictamente creciente es también creciente, concluimos que \(f\) también es creciente en \(\mathbb R\).
Ejercicio 2 — nivel ★☆☆☆☆
Determinar si la función
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=-3x+4 \]
es creciente, decreciente, estrictamente creciente o estrictamente decreciente en \(\mathbb R\).
Resultado
La función es estrictamente decreciente en \(\mathbb R\). Por consiguiente, también es decreciente en \(\mathbb R\).
Resolución
Tomamos dos puntos cualesquiera \(x_1,x_2\in\mathbb R\) tales que
\[ x_1<x_2. \]
Debemos comparar los valores \(f(x_1)\) y \(f(x_2)\). Puesto que
\[ f(x)=-3x+4, \]
se tiene
\[ f(x_1)=-3x_1+4 \]
y
\[ f(x_2)=-3x_2+4. \]
A partir de la desigualdad
\[ x_1<x_2 \]
multiplicando ambos miembros por \(-3\), que es un número negativo, el sentido de la desigualdad se invierte:
\[ -3x_1>-3x_2. \]
Sumando \(4\) a ambos miembros, obtenemos
\[ -3x_1+4>-3x_2+4. \]
Es decir,
\[ f(x_1)>f(x_2). \]
Hemos demostrado así que, para todo \(x_1,x_2\in\mathbb R\),
\[ x_1<x_2 \implies f(x_1)>f(x_2). \]
Por definición, \(f\) es estrictamente decreciente en \(\mathbb R\).
Puesto que toda función estrictamente decreciente es también decreciente, la función también es decreciente en \(\mathbb R\).
Ejercicio 3 — nivel ★☆☆☆☆
Determinar si la función constante
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=5 \]
es creciente, decreciente, estrictamente creciente o estrictamente decreciente en \(\mathbb R\).
Resultado
La función es creciente y decreciente en \(\mathbb R\), pero no es ni estrictamente creciente ni estrictamente decreciente.
Resolución
Consideramos dos puntos cualesquiera \(x_1,x_2\in\mathbb R\) tales que
\[ x_1<x_2. \]
Puesto que la función es constante, su valor es siempre igual a \(5\). Por tanto,
\[ f(x_1)=5 \]
y
\[ f(x_2)=5. \]
En particular,
\[ f(x_1)=f(x_2). \]
De esta igualdad se sigue tanto
\[ f(x_1)\le f(x_2) \]
como
\[ f(x_1)\ge f(x_2). \]
Por tanto, para todo \(x_1,x_2\in\mathbb R\) con \(x_1<x_2\), se cumplen ambas condiciones:
\[ f(x_1)\le f(x_2) \]
y
\[ f(x_1)\ge f(x_2). \]
Por definición, la función es, pues, tanto creciente como decreciente en \(\mathbb R\).
Sin embargo, no es estrictamente creciente. En efecto, para ser estrictamente creciente debería cumplirse
\[ f(x_1)<f(x_2) \]
para todo \(x_1<x_2\), pero en este caso los dos valores son siempre iguales.
Del mismo modo, no es estrictamente decreciente, porque no se cumple
\[ f(x_1)>f(x_2) \]
para todo \(x_1<x_2\).
Concluimos que la función constante es creciente y decreciente, pero no es ni estrictamente creciente ni estrictamente decreciente.
Ejercicio 4 — nivel ★★☆☆☆
Determinar si la función
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2 \]
es creciente, decreciente o no monótona en \(\mathbb R\).
Resultado
La función no es monótona en \(\mathbb R\): no es ni creciente ni decreciente en todo su dominio.
Resolución
Para determinar si \(f(x)=x^2\) es creciente en \(\mathbb R\), deberíamos comprobar que, para todo \(x_1,x_2\in\mathbb R\),
\[ x_1<x_2 \implies f(x_1)\le f(x_2). \]
Basta, sin embargo, con encontrar un solo par de puntos que contradiga esta condición para demostrar que la función no es creciente.
Elegimos
\[ x_1=-1,\qquad x_2=0. \]
Se tiene claramente
\[ -1<0, \]
es decir, \(x_1<x_2\). Sin embargo,
\[ f(-1)=(-1)^2=1 \]
mientras que
\[ f(0)=0^2=0. \]
Por tanto,
\[ f(-1)>f(0). \]
Hemos encontrado dos puntos \(x_1<x_2\) tales que \(f(x_1)>f(x_2)\). Esto contradice la definición de función creciente. Por consiguiente, \(f\) no es creciente en \(\mathbb R\).
Comprobemos ahora si la función es decreciente en \(\mathbb R\). Para ser decreciente debería cumplirse, para todo \(x_1,x_2\in\mathbb R\),
\[ x_1<x_2 \implies f(x_1)\ge f(x_2). \]
También en este caso basta con encontrar un par que contradiga la condición.
Elegimos
\[ x_1=0,\qquad x_2=1. \]
Se tiene
\[ 0<1, \]
pero
\[ f(0)=0 \]
y
\[ f(1)=1. \]
Por tanto,
\[ f(0)<f(1). \]
Hemos encontrado dos puntos \(x_1<x_2\) tales que \(f(x_1)<f(x_2)\). Esto contradice la definición de función decreciente. Por consiguiente, \(f\) no es decreciente en \(\mathbb R\).
Puesto que la función no es ni creciente ni decreciente en \(\mathbb R\), concluimos que \(f(x)=x^2\) es no monótona en \(\mathbb R\).
Ejercicio 5 — nivel ★★☆☆☆
Determinar si la función
\[ f:[0,+\infty)\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2 \]
es creciente, decreciente, estrictamente creciente o estrictamente decreciente en \([0,+\infty)\).
Resultado
La función es estrictamente creciente en \([0,+\infty)\). Por consiguiente, también es creciente en \([0,+\infty)\).
Resolución
Para estudiar la monotonía en \([0,+\infty)\), tomamos dos puntos cualesquiera
\[ x_1,x_2\in[0,+\infty) \]
tales que
\[ x_1<x_2. \]
Puesto que \(x_1\) y \(x_2\) pertenecen a \([0,+\infty)\), ambos son no negativos. En particular,
\[ 0\le x_1<x_2. \]
Queremos comparar \(f(x_1)\) y \(f(x_2)\). Puesto que
\[ f(x)=x^2, \]
tenemos
\[ f(x_1)=x_1^2 \]
y
\[ f(x_2)=x_2^2. \]
De la desigualdad
\[ 0\le x_1<x_2 \]
se sigue que
\[ x_1^2<x_2^2. \]
En efecto, podemos escribir
\[ x_2^2-x_1^2=(x_2-x_1)(x_2+x_1). \]
Puesto que \(x_2>x_1\), se tiene
\[ x_2-x_1>0. \]
Además, siendo \(x_1\ge 0\) y \(x_2>x_1\), se tiene también
\[ x_2+x_1>0. \]
Por tanto,
\[ (x_2-x_1)(x_2+x_1)>0, \]
es decir,
\[ x_2^2-x_1^2>0. \]
De ello se sigue
\[ x_1^2<x_2^2. \]
Por tanto,
\[ f(x_1)<f(x_2). \]
Hemos demostrado que, para todo \(x_1,x_2\in[0,+\infty)\),
\[ x_1<x_2 \implies f(x_1)<f(x_2). \]
Por definición, \(f\) es estrictamente creciente en \([0,+\infty)\).
Por consiguiente, \(f\) también es creciente en \([0,+\infty)\).
Ejercicio 6 — nivel ★★☆☆☆
Determinar si la función
\[ f:(-\infty,0]\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2 \]
es creciente, decreciente, estrictamente creciente o estrictamente decreciente en \((-\infty,0]\).
Resultado
La función es estrictamente decreciente en \((-\infty,0]\). Por consiguiente, también es decreciente en \((-\infty,0]\).
Resolución
Tomamos dos puntos cualesquiera
\[ x_1,x_2\in(-\infty,0] \]
tales que
\[ x_1<x_2. \]
Puesto que ambos puntos pertenecen a \((-\infty,0]\), tenemos
\[ x_1<x_2\le 0. \]
Debemos comparar
\[ f(x_1)=x_1^2 \]
y
\[ f(x_2)=x_2^2. \]
Consideramos la diferencia
\[ x_1^2-x_2^2. \]
Descomponemos como diferencia de cuadrados:
\[ x_1^2-x_2^2=(x_1-x_2)(x_1+x_2). \]
Puesto que \(x_1<x_2\), se tiene
\[ x_1-x_2<0. \]
Además, siendo \(x_1<x_2\le 0\), ambos números son no positivos y al menos \(x_1\) es estrictamente negativo. Por tanto,
\[ x_1+x_2<0. \]
El producto de dos números negativos es positivo, por tanto
\[ (x_1-x_2)(x_1+x_2)>0. \]
Por tanto,
\[ x_1^2-x_2^2>0. \]
De esta desigualdad se sigue
\[ x_1^2>x_2^2. \]
Es decir,
\[ f(x_1)>f(x_2). \]
Hemos demostrado así que, para todo \(x_1,x_2\in(-\infty,0]\),
\[ x_1<x_2 \implies f(x_1)>f(x_2). \]
Por definición, \(f\) es estrictamente decreciente en \((-\infty,0]\).
Por consiguiente, \(f\) también es decreciente en \((-\infty,0]\).
Ejercicio 7 — nivel ★★☆☆☆
Determinar si la función
\[ f:\mathbb R\setminus\{0\}\to\mathbb R,\qquad f(x)=\frac{1}{x} \]
es decreciente en todo su dominio.
Resultado
La función no es decreciente en todo el dominio \(\mathbb R\setminus\{0\}\).
Resolución
El dominio de la función es
\[ \mathbb R\setminus\{0\}=(-\infty,0)\cup(0,+\infty). \]
Para ser decreciente en todo el dominio, la función debería satisfacer la siguiente condición: para todo \(x_1,x_2\in\mathbb R\setminus\{0\}\),
\[ x_1<x_2 \implies f(x_1)\ge f(x_2). \]
Para demostrar que la función no es decreciente en todo el dominio, basta con encontrar un par de puntos del dominio que contradiga esta condición.
Elegimos
\[ x_1=-1,\qquad x_2=1. \]
Ambos pertenecen al dominio, puesto que son distintos de \(0\), y se tiene
\[ -1<1. \]
Calculamos los valores de la función:
\[ f(-1)=\frac{1}{-1}=-1 \]
y
\[ f(1)=\frac{1}{1}=1. \]
Por tanto,
\[ f(-1)<f(1). \]
Pero una función decreciente debería satisfacer
\[ f(-1)\ge f(1), \]
porque \(-1<1\).
El par \(x_1=-1\), \(x_2=1\) contradice, pues, la definición de función decreciente.
Por tanto, la función
\[ f(x)=\frac{1}{x} \]
no es decreciente en todo su dominio \(\mathbb R\setminus\{0\}\).
Esto no contradice el hecho de que \(f\) sea estrictamente decreciente por separado en \((-\infty,0)\) y en \((0,+\infty)\). La monotonía debe referirse siempre al conjunto sobre el que se estudia.
Ejercicio 8 — nivel ★★☆☆☆
Determinar si la función
\[ f:(0,+\infty)\to\mathbb R,\qquad f(x)=\frac{1}{x} \]
es creciente, decreciente, estrictamente creciente o estrictamente decreciente en \((0,+\infty)\).
Resultado
La función es estrictamente decreciente en \((0,+\infty)\). Por consiguiente, también es decreciente en \((0,+\infty)\).
Resolución
Tomamos dos puntos cualesquiera
\[ x_1,x_2\in(0,+\infty) \]
tales que
\[ x_1<x_2. \]
Puesto que \(x_1\) y \(x_2\) pertenecen a \((0,+\infty)\), ambos son positivos:
\[ 0<x_1<x_2. \]
Queremos comparar
\[ f(x_1)=\frac{1}{x_1} \]
y
\[ f(x_2)=\frac{1}{x_2}. \]
Puesto que
\[ 0<x_1<x_2, \]
al dividir \(1\) entre un número positivo mayor se obtiene un valor menor. De manera algebraica, comparamos las dos fracciones:
\[ \frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2} = \frac{x_2-x_1}{x_1x_2}. \]
El numerador es positivo, porque
\[ x_2-x_1>0. \]
El denominador también es positivo, porque \(x_1>0\) y \(x_2>0\). Por consiguiente,
\[ x_1x_2>0. \]
De ello se sigue que
\[ \frac{x_2-x_1}{x_1x_2}>0. \]
Por tanto,
\[ \frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}>0, \]
es decir,
\[ \frac{1}{x_1}>\frac{1}{x_2}. \]
Por tanto,
\[ f(x_1)>f(x_2). \]
Hemos demostrado que, para todo \(x_1,x_2\in(0,+\infty)\),
\[ x_1<x_2 \implies f(x_1)>f(x_2). \]
Por definición, \(f\) es estrictamente decreciente en \((0,+\infty)\).
Por consiguiente, \(f\) también es decreciente en \((0,+\infty)\).
Ejercicio 9 — nivel ★★☆☆☆
Determinar si la función
\[ f:(-\infty,0)\to\mathbb R,\qquad f(x)=\frac{1}{x} \]
es creciente, decreciente, estrictamente creciente o estrictamente decreciente en \((-\infty,0)\).
Resultado
La función es estrictamente decreciente en \((-\infty,0)\). Por consiguiente, también es decreciente en \((-\infty,0)\).
Resolución
Tomamos dos puntos cualesquiera
\[ x_1,x_2\in(-\infty,0) \]
tales que
\[ x_1<x_2. \]
Puesto que \(x_1\) y \(x_2\) pertenecen a \((-\infty,0)\), ambos son negativos. Por consiguiente,
\[ x_1<x_2<0. \]
Queremos comparar
\[ f(x_1)=\frac{1}{x_1} \]
y
\[ f(x_2)=\frac{1}{x_2}. \]
Consideramos la diferencia:
\[ \frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2} = \frac{x_2-x_1}{x_1x_2}. \]
Puesto que \(x_1<x_2\), se tiene
\[ x_2-x_1>0. \]
Además, \(x_1\) y \(x_2\) son ambos negativos, por lo que su producto es positivo:
\[ x_1x_2>0. \]
Por tanto,
\[ \frac{x_2-x_1}{x_1x_2}>0. \]
Por tanto,
\[ \frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}>0, \]
es decir,
\[ \frac{1}{x_1}>\frac{1}{x_2}. \]
Hemos obtenido, pues,
\[ f(x_1)>f(x_2). \]
Esto se cumple para todo par \(x_1,x_2\in(-\infty,0)\) con \(x_1<x_2\). Por definición, la función es estrictamente decreciente en \((-\infty,0)\).
Por consiguiente, \(f\) también es decreciente en \((-\infty,0)\).
Ejercicio 10 — nivel ★★★☆☆
Determinar si la función
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^3 \]
es creciente, decreciente, estrictamente creciente o estrictamente decreciente en \(\mathbb R\).
Resultado
La función es estrictamente creciente en \(\mathbb R\). Por consiguiente, también es creciente en \(\mathbb R\).
Resolución
Utilizamos directamente la definición. Tomamos dos puntos cualesquiera \(x_1,x_2\in\mathbb R\) tales que
\[ x_1<x_2. \]
Debemos demostrar que
\[ f(x_1)<f(x_2), \]
es decir,
\[ x_1^3<x_2^3. \]
Consideramos la diferencia
\[ x_2^3-x_1^3. \]
Descomponemos la diferencia de cubos:
\[ x_2^3-x_1^3=(x_2-x_1)(x_2^2+x_1x_2+x_1^2). \]
Puesto que \(x_1<x_2\), se tiene
\[ x_2-x_1>0. \]
Queda por observar que
\[ x_2^2+x_1x_2+x_1^2>0. \]
En efecto, podemos escribir
\[ x_2^2+x_1x_2+x_1^2 = \left(x_2+\frac{x_1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}x_1^2. \]
Esta cantidad es siempre no negativa y, en nuestro caso, no puede anularse simultáneamente con \(x_1<x_2\). Por consiguiente, es positiva.
Por tanto, el producto
\[ (x_2-x_1)(x_2^2+x_1x_2+x_1^2) \]
es positivo. Por tanto,
\[ x_2^3-x_1^3>0. \]
De ello se sigue
\[ x_1^3<x_2^3. \]
Es decir,
\[ f(x_1)<f(x_2). \]
Hemos demostrado que, para todo \(x_1,x_2\in\mathbb R\),
\[ x_1<x_2 \implies f(x_1)<f(x_2). \]
Por definición, \(f(x)=x^3\) es estrictamente creciente en \(\mathbb R\).
Este ejemplo es importante porque muestra que el crecimiento estricto puede demostrarse directamente a partir de la definición, comparando los valores que toma la función en dos puntos cualesquiera del dominio.
Ejercicio 11 — nivel ★★★☆☆
Determinar si la función
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2-4x+1 \]
es creciente, decreciente o no monótona en \(\mathbb R\).
Resultado
La función no es monótona en \(\mathbb R\). Es estrictamente decreciente en \((-\infty,2]\) y estrictamente creciente en \([2,+\infty)\).
Resolución
Reescribimos la función completando el cuadrado:
\[ f(x)=x^2-4x+1=(x-2)^2-3. \]
Esta forma muestra que el valor de la función depende del cuadrado de la distancia de \(x\) al número \(2\).
Estudiamos primero la función en el intervalo \([2,+\infty)\). Tomamos dos puntos cualesquiera
\[ x_1,x_2\in[2,+\infty) \]
tales que
\[ x_1<x_2. \]
Puesto que \(x_1\ge 2\) y \(x_2\ge 2\), se tiene
\[ 0\le x_1-2<x_2-2. \]
Elevando al cuadrado, dado que los dos miembros son no negativos, obtenemos
\[ (x_1-2)^2<(x_2-2)^2. \]
Restando \(3\) a ambos miembros:
\[ (x_1-2)^2-3<(x_2-2)^2-3. \]
Es decir,
\[ f(x_1)<f(x_2). \]
Por consiguiente, \(f\) es estrictamente creciente en \([2,+\infty)\).
Estudiamos ahora la función en el intervalo \((-\infty,2]\). Tomamos dos puntos cualesquiera
\[ x_1,x_2\in(-\infty,2] \]
tales que
\[ x_1<x_2. \]
Entonces
\[ x_1-2<x_2-2\le 0. \]
Multiplicando por \(-1\), el sentido de la desigualdad se invierte:
\[ 2-x_1>2-x_2\ge 0. \]
Puesto que ambos miembros son no negativos, elevando al cuadrado se obtiene
\[ (2-x_1)^2>(2-x_2)^2. \]
Pero
\[ (2-x)^2=(x-2)^2. \]
Por tanto,
\[ (x_1-2)^2>(x_2-2)^2. \]
Restando \(3\) a ambos miembros:
\[ (x_1-2)^2-3>(x_2-2)^2-3. \]
Es decir,
\[ f(x_1)>f(x_2). \]
Por consiguiente, \(f\) es estrictamente decreciente en \((-\infty,2]\).
Por último, la función no es monótona en todo \(\mathbb R\), porque primero decrece y luego crece. Podemos comprobarlo también con dos contraejemplos.
En efecto,
\[ f(1)=1-4+1=-2 \]
mientras que
\[ f(2)=4-8+1=-3. \]
Puesto que \(1<2\) pero \(f(1)>f(2)\), la función no es creciente en \(\mathbb R\).
Además,
\[ f(2)=-3 \]
y
\[ f(3)=9-12+1=-2. \]
Puesto que \(2<3\) pero \(f(2)<f(3)\), la función no es decreciente en \(\mathbb R\).
Concluimos que \(f\) no es monótona en \(\mathbb R\), pero es estrictamente decreciente en \((-\infty,2]\) y estrictamente creciente en \([2,+\infty)\).
Ejercicio 12 — nivel ★★★☆☆
Determinar si la función
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=-x^2+6x-5 \]
es creciente, decreciente o no monótona en \(\mathbb R\).
Resultado
La función no es monótona en \(\mathbb R\). Es estrictamente creciente en \((-\infty,3]\) y estrictamente decreciente en \([3,+\infty)\).
Resolución
Reescribimos la función completando el cuadrado:
\[ f(x)=-x^2+6x-5=-(x-3)^2+4. \]
Esta forma muestra que la función alcanza su valor máximo cuando \(x=3\), porque el término \((x-3)^2\) es siempre no negativo.
Estudiamos primero la función en \((-\infty,3]\). Tomamos dos puntos cualesquiera
\[ x_1,x_2\in(-\infty,3] \]
tales que
\[ x_1<x_2. \]
Entonces
\[ x_1-3<x_2-3\le 0. \]
Multiplicando por \(-1\), obtenemos
\[ 3-x_1>3-x_2\ge 0. \]
Puesto que los dos miembros son no negativos, elevando al cuadrado se tiene
\[ (3-x_1)^2>(3-x_2)^2. \]
Puesto que
\[ (3-x)^2=(x-3)^2, \]
obtenemos
\[ (x_1-3)^2>(x_2-3)^2. \]
Multiplicando por \(-1\), el sentido de la desigualdad se invierte:
\[ -(x_1-3)^2<-(x_2-3)^2. \]
Sumando \(4\) a ambos miembros:
\[ -(x_1-3)^2+4<-(x_2-3)^2+4. \]
Es decir,
\[ f(x_1)<f(x_2). \]
Por consiguiente, \(f\) es estrictamente creciente en \((-\infty,3]\).
Estudiamos ahora la función en \([3,+\infty)\). Tomamos dos puntos cualesquiera
\[ x_1,x_2\in[3,+\infty) \]
tales que
\[ x_1<x_2. \]
Entonces
\[ 0\le x_1-3<x_2-3. \]
Elevando al cuadrado:
\[ (x_1-3)^2<(x_2-3)^2. \]
Multiplicando por \(-1\), obtenemos
\[ -(x_1-3)^2>-(x_2-3)^2. \]
Sumando \(4\):
\[ -(x_1-3)^2+4>-(x_2-3)^2+4. \]
Es decir,
\[ f(x_1)>f(x_2). \]
Por consiguiente, \(f\) es estrictamente decreciente en \([3,+\infty)\).
La función no es monótona en todo \(\mathbb R\), porque crece hasta \(x=3\) y luego decrece.
En efecto, eligiendo \(x_1=2\) y \(x_2=3\), se tiene \(2<3\), pero
\[ f(2)=-4+12-5=3 \]
y
\[ f(3)=-9+18-5=4. \]
Por tanto, \(f(2)<f(3)\), lo que excluye que la función sea decreciente en \(\mathbb R\).
Además, eligiendo \(x_1=3\) y \(x_2=4\), se tiene \(3<4\), pero
\[ f(3)=4 \]
y
\[ f(4)=-16+24-5=3. \]
Por tanto, \(f(3)>f(4)\), lo que excluye que la función sea creciente en \(\mathbb R\).
Concluimos que \(f\) no es monótona en \(\mathbb R\), pero es estrictamente creciente en \((-\infty,3]\) y estrictamente decreciente en \([3,+\infty)\).
Ejercicio 13 — nivel ★★★☆☆
Determinar si la función
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=|x| \]
es creciente, decreciente o no monótona en \(\mathbb R\). Determinar después los intervalos en los que es monótona.
Resultado
La función no es monótona en \(\mathbb R\). Es estrictamente decreciente en \((-\infty,0]\) y estrictamente creciente en \([0,+\infty)\).
Resolución
La función valor absoluto está definida por
\[ |x|= \begin{cases} -x & \text{si } x<0,\\ x & \text{si } x\ge 0. \end{cases} \]
Estudiamos primero la función en \([0,+\infty)\). Si \(x\ge 0\), entonces
\[ |x|=x. \]
Tomamos, pues, dos puntos cualesquiera
\[ x_1,x_2\in[0,+\infty) \]
tales que
\[ x_1<x_2. \]
Puesto que en \([0,+\infty)\) se tiene \(f(x)=x\), obtenemos
\[ f(x_1)=x_1 \]
y
\[ f(x_2)=x_2. \]
De la desigualdad \(x_1<x_2\) se sigue directamente
\[ f(x_1)<f(x_2). \]
Por consiguiente, \(f\) es estrictamente creciente en \([0,+\infty)\).
Estudiamos ahora la función en \((-\infty,0]\). Si \(x\le 0\), entonces
\[ |x|=-x. \]
Tomamos dos puntos cualesquiera
\[ x_1,x_2\in(-\infty,0] \]
tales que
\[ x_1<x_2. \]
Puesto que en \((-\infty,0]\) se tiene \(f(x)=-x\), obtenemos
\[ f(x_1)=-x_1 \]
y
\[ f(x_2)=-x_2. \]
De la desigualdad
\[ x_1<x_2 \]
multiplicando por \(-1\), el sentido de la desigualdad se invierte:
\[ -x_1>-x_2. \]
Por tanto,
\[ f(x_1)>f(x_2). \]
Por consiguiente, \(f\) es estrictamente decreciente en \((-\infty,0]\).
La función no es monótona en todo \(\mathbb R\). En efecto, eligiendo
\[ x_1=-1,\qquad x_2=0, \]
se tiene \(x_1<x_2\), pero
\[ f(-1)=1>0=f(0). \]
Esto excluye que \(f\) sea creciente en \(\mathbb R\).
Además, eligiendo
\[ x_1=0,\qquad x_2=1, \]
se tiene \(x_1<x_2\), pero
\[ f(0)=0<1=f(1). \]
Esto excluye que \(f\) sea decreciente en \(\mathbb R\).
Por tanto, \(f(x)=|x|\) no es monótona en \(\mathbb R\), pero es estrictamente decreciente en \((-\infty,0]\) y estrictamente creciente en \([0,+\infty)\).
Ejercicio 14 — nivel ★★★☆☆
Determinar si la función
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=-|x| \]
es creciente, decreciente o no monótona en \(\mathbb R\). Determinar después los intervalos en los que es monótona.
Resultado
La función no es monótona en \(\mathbb R\). Es estrictamente creciente en \((-\infty,0]\) y estrictamente decreciente en \([0,+\infty)\).
Resolución
La función es
\[ f(x)=-|x|. \]
Puesto que
\[ |x|= \begin{cases} -x & \text{si } x<0,\\ x & \text{si } x\ge 0, \end{cases} \]
obtenemos
\[ -|x|= \begin{cases} x & \text{si } x<0,\\ -x & \text{si } x\ge 0. \end{cases} \]
Estudiamos primero la función en \((-\infty,0]\). En este intervalo la función se comporta como
\[ f(x)=x. \]
Si \(x_1,x_2\in(-\infty,0]\) y
\[ x_1<x_2, \]
entonces
\[ f(x_1)=x_1 \]
y
\[ f(x_2)=x_2. \]
Por tanto, de la desigualdad \(x_1<x_2\) se sigue
\[ f(x_1)<f(x_2). \]
Por consiguiente, \(f\) es estrictamente creciente en \((-\infty,0]\).
Estudiamos ahora la función en \([0,+\infty)\). En este intervalo la función se comporta como
\[ f(x)=-x. \]
Si \(x_1,x_2\in[0,+\infty)\) y
\[ x_1<x_2, \]
entonces, multiplicando por \(-1\), obtenemos
\[ -x_1>-x_2. \]
Es decir,
\[ f(x_1)>f(x_2). \]
Por consiguiente, \(f\) es estrictamente decreciente en \([0,+\infty)\).
La función no es monótona en todo \(\mathbb R\). En efecto, crece hasta \(x=0\) y luego decrece.
Para ver que no es creciente en todo \(\mathbb R\), elegimos
\[ x_1=0,\qquad x_2=1. \]
Se tiene \(0<1\), pero
\[ f(0)=0>-1=f(1). \]
Esto contradice el carácter creciente.
Para ver que no es decreciente en todo \(\mathbb R\), elegimos
\[ x_1=-1,\qquad x_2=0. \]
Se tiene \(-1<0\), pero
\[ f(-1)=-1<0=f(0). \]
Esto contradice el carácter decreciente.
Por tanto, \(f(x)=-|x|\) no es monótona en \(\mathbb R\), pero es estrictamente creciente en \((-\infty,0]\) y estrictamente decreciente en \([0,+\infty)\).
Ejercicio 15 — nivel ★★★★☆
Determinar si la función
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)= \begin{cases} x & \text{si } x<0,\\ 0 & \text{si } x\ge 0 \end{cases} \]
es creciente, decreciente, estrictamente creciente o estrictamente decreciente en \(\mathbb R\).
Resultado
La función es creciente en \(\mathbb R\), pero no es estrictamente creciente.
Resolución
La función está definida a trozos:
\[ f(x)= \begin{cases} x & \text{si } x<0,\\ 0 & \text{si } x\ge 0. \end{cases} \]
Debemos comprobar que, para todo \(x_1,x_2\in\mathbb R\) con
\[ x_1<x_2, \]
se cumple
\[ f(x_1)\le f(x_2). \]
Consideramos los posibles casos.
Primer caso: \(x_1<x_2<0\). En este caso ambos puntos son negativos, por tanto
\[ f(x_1)=x_1,\qquad f(x_2)=x_2. \]
Puesto que \(x_1<x_2\), se sigue
\[ f(x_1)<f(x_2), \]
y por tanto, en particular,
\[ f(x_1)\le f(x_2). \]
Segundo caso: \(x_1<0\le x_2\). En este caso
\[ f(x_1)=x_1 \]
y
\[ f(x_2)=0. \]
Puesto que \(x_1<0\), se tiene
\[ f(x_1)=x_1<0=f(x_2). \]
Por consiguiente, también en este caso \(f(x_1)\le f(x_2)\).
Tercer caso: \(0\le x_1<x_2\). En este caso ambos puntos son no negativos, por tanto
\[ f(x_1)=0,\qquad f(x_2)=0. \]
Por consiguiente,
\[ f(x_1)=f(x_2), \]
y por tanto
\[ f(x_1)\le f(x_2). \]
En todos los casos posibles hemos obtenido
\[ x_1<x_2 \implies f(x_1)\le f(x_2). \]
Por definición, la función es creciente en \(\mathbb R\).
Sin embargo, la función no es estrictamente creciente. En efecto, eligiendo
\[ x_1=1,\qquad x_2=2, \]
se tiene \(x_1<x_2\), pero
\[ f(1)=0=f(2). \]
Por tanto, no se cumple \(f(x_1)<f(x_2)\) para todo par \(x_1<x_2\). Por tanto, la función es creciente, pero no estrictamente creciente.
Ejercicio 16 — nivel ★★★★☆
Determinar si la función
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)= \begin{cases} 1 & \text{si } x<0,\\ -x & \text{si } x\ge 0 \end{cases} \]
es creciente, decreciente, estrictamente creciente o estrictamente decreciente en \(\mathbb R\).
Resultado
La función es decreciente en \(\mathbb R\), pero no es estrictamente decreciente.
Resolución
La función está definida a trozos:
\[ f(x)= \begin{cases} 1 & \text{si } x<0,\\ -x & \text{si } x\ge 0. \end{cases} \]
Para demostrar que \(f\) es decreciente en \(\mathbb R\), debemos comprobar que, para todo \(x_1,x_2\in\mathbb R\),
\[ x_1<x_2 \implies f(x_1)\ge f(x_2). \]
Consideramos todos los casos posibles.
Primer caso: \(x_1<x_2<0\).
En este caso ambos puntos son negativos. Por tanto, por la definición de la función,
\[ f(x_1)=1 \qquad \text{y} \qquad f(x_2)=1. \]
Por tanto,
\[ f(x_1)=f(x_2), \]
y por tanto, en particular,
\[ f(x_1)\ge f(x_2). \]
Segundo caso: \(x_1<0\le x_2\).
En este caso \(x_1\) es negativo, mientras que \(x_2\) es no negativo. Por tanto,
\[ f(x_1)=1 \]
y
\[ f(x_2)=-x_2. \]
Puesto que \(x_2\ge 0\), se tiene
\[ -x_2\le 0. \]
Por consiguiente,
\[ f(x_2)\le 0. \]
Pero
\[ f(x_1)=1, \]
por lo que ciertamente
\[ f(x_1)\ge f(x_2). \]
Tercer caso: \(0\le x_1<x_2\).
En este caso ambos puntos son no negativos. Por tanto, la función viene dada por
\[ f(x)=-x. \]
Por tanto,
\[ f(x_1)=-x_1 \qquad \text{y} \qquad f(x_2)=-x_2. \]
De la desigualdad
\[ x_1<x_2 \]
multiplicando por \(-1\), el sentido de la desigualdad se invierte:
\[ -x_1>-x_2. \]
Es decir,
\[ f(x_1)>f(x_2). \]
En particular, también en este caso se cumple
\[ f(x_1)\ge f(x_2). \]
En todos los casos posibles hemos demostrado que, si \(x_1<x_2\), entonces
\[ f(x_1)\ge f(x_2). \]
Por definición, \(f\) es, pues, decreciente en \(\mathbb R\).
Sin embargo, la función no es estrictamente decreciente. En efecto, eligiendo
\[ x_1=-2,\qquad x_2=-1, \]
se tiene
\[ -2<-1, \]
pero, puesto que ambos puntos son negativos,
\[ f(-2)=1 \qquad \text{y} \qquad f(-1)=1. \]
Por tanto,
\[ f(-2)=f(-1). \]
Para ser estrictamente decreciente debería cumplirse, en cambio,
\[ f(-2)>f(-1). \]
Esta condición no se cumple. Por tanto, la función es decreciente en \(\mathbb R\), pero no es estrictamente decreciente.
Ejercicio 17 — nivel ★★★★☆
Determinar si la función
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)= \begin{cases} x & \text{si } x\le 0,\\ x+1 & \text{si } x>0 \end{cases} \]
es creciente, decreciente, estrictamente creciente o estrictamente decreciente en \(\mathbb R\).
Resultado
La función es estrictamente creciente en \(\mathbb R\). Por consiguiente, también es creciente en \(\mathbb R\).
Resolución
La función está definida a trozos:
\[ f(x)= \begin{cases} x & \text{si } x\le 0,\\ x+1 & \text{si } x>0. \end{cases} \]
Para demostrar que \(f\) es estrictamente creciente en \(\mathbb R\), debemos comprobar que, para todo \(x_1,x_2\in\mathbb R\),
\[ x_1<x_2 \implies f(x_1)<f(x_2). \]
Consideramos todos los casos posibles.
Primer caso: \(x_1<x_2\le 0\).
En este caso ambos puntos pertenecen al primer trozo de la función. Por tanto,
\[ f(x_1)=x_1 \]
y
\[ f(x_2)=x_2. \]
Puesto que \(x_1<x_2\), obtenemos directamente
\[ f(x_1)<f(x_2). \]
Segundo caso: \(0<x_1<x_2\).
En este caso ambos puntos pertenecen al segundo trozo de la función. Por tanto,
\[ f(x_1)=x_1+1 \]
y
\[ f(x_2)=x_2+1. \]
De la desigualdad \(x_1<x_2\), sumando \(1\) a ambos miembros, se sigue
\[ x_1+1<x_2+1. \]
Es decir,
\[ f(x_1)<f(x_2). \]
Tercer caso: \(x_1\le 0<x_2\).
En este caso \(x_1\) pertenece al primer trozo, mientras que \(x_2\) pertenece al segundo. Por tanto,
\[ f(x_1)=x_1 \]
y
\[ f(x_2)=x_2+1. \]
Puesto que \(x_1\le 0\) y \(x_2>0\), se tiene
\[ x_1\le 0<x_2<x_2+1. \]
En particular,
\[ x_1<x_2+1. \]
Es decir,
\[ f(x_1)<f(x_2). \]
En todos los casos posibles hemos demostrado que
\[ x_1<x_2 \implies f(x_1)<f(x_2). \]
Por definición, la función es estrictamente creciente en \(\mathbb R\).
Por consiguiente, también es creciente en \(\mathbb R\).
Ejercicio 18 — nivel ★★★★☆
Determinar si la función
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)= \begin{cases} x & \text{si } x<0,\\ x-1 & \text{si } x\ge 0 \end{cases} \]
es creciente, decreciente o no monótona en \(\mathbb R\).
Resultado
La función es no monótona en \(\mathbb R\): no es ni creciente ni decreciente.
Resolución
La función está definida a trozos:
\[ f(x)= \begin{cases} x & \text{si } x<0,\\ x-1 & \text{si } x\ge 0. \end{cases} \]
Observamos que la función crece en cada uno de los dos trozos considerados por separado. En efecto, para \(x<0\) se tiene \(f(x)=x\), mientras que para \(x\ge 0\) se tiene \(f(x)=x-1\).
Sin embargo, esto no basta para concluir que la función sea creciente en todo \(\mathbb R\). Es necesario controlar también lo que sucede al pasar de valores negativos a valores no negativos.
Para demostrar que \(f\) no es creciente en \(\mathbb R\), buscamos dos puntos \(x_1,x_2\in\mathbb R\) tales que
\[ x_1<x_2 \]
pero
\[ f(x_1)>f(x_2). \]
Elegimos
\[ x_1=-\frac12,\qquad x_2=0. \]
Se tiene
\[ -\frac12<0. \]
Calculamos los valores de la función:
\[ f\left(-\frac12\right)=-\frac12, \]
porque \(-\frac12<0\), mientras que
\[ f(0)=0-1=-1, \]
porque \(0\ge 0\).
Por tanto,
\[ f\left(-\frac12\right)=-\frac12>-1=f(0). \]
Hemos encontrado dos puntos \(x_1<x_2\) tales que \(f(x_1)>f(x_2)\). Esto contradice la definición de función creciente. Por consiguiente, \(f\) no es creciente en \(\mathbb R\).
Para demostrar que \(f\) no es decreciente en \(\mathbb R\), buscamos dos puntos \(x_1,x_2\in\mathbb R\) tales que
\[ x_1<x_2 \]
pero
\[ f(x_1)<f(x_2). \]
Elegimos
\[ x_1=1,\qquad x_2=2. \]
Se tiene
\[ 1<2. \]
Puesto que ambos puntos son no negativos, obtenemos
\[ f(1)=1-1=0 \]
y
\[ f(2)=2-1=1. \]
Por tanto,
\[ f(1)<f(2). \]
Este par contradice la definición de función decreciente. Por consiguiente, \(f\) no es decreciente en \(\mathbb R\).
Puesto que la función no es ni creciente ni decreciente en \(\mathbb R\), concluimos que es no monótona en \(\mathbb R\).
Ejercicio 19 — nivel ★★★★☆
Demostrar que toda función estrictamente creciente es inyectiva.
Resultado
Toda función estrictamente creciente es inyectiva.
Resolución
Sea
\[ f:X\to\mathbb R \]
una función estrictamente creciente en un conjunto \(X\subseteq\mathbb R\).
Queremos demostrar que \(f\) es inyectiva. Por definición, debemos probar que elementos distintos del dominio tienen imágenes distintas.
Tomamos, pues, dos puntos cualesquiera
\[ x_1,x_2\in X \]
tales que
\[ x_1\ne x_2. \]
Puesto que \(x_1\) y \(x_2\) son dos números reales distintos, se verifica necesariamente una de las dos posibilidades:
\[ x_1<x_2 \]
o bien
\[ x_2<x_1. \]
Si \(x_1<x_2\), puesto que \(f\) es estrictamente creciente, obtenemos
\[ f(x_1)<f(x_2). \]
En particular,
\[ f(x_1)\ne f(x_2). \]
Si, en cambio, \(x_2<x_1\), entonces, también porque \(f\) es estrictamente creciente, obtenemos
\[ f(x_2)<f(x_1). \]
También en este caso se sigue
\[ f(x_1)\ne f(x_2). \]
En ambos casos, de \(x_1\ne x_2\) se sigue
\[ f(x_1)\ne f(x_2). \]
Por definición, \(f\) es inyectiva.
Concluimos, pues, que toda función estrictamente creciente es inyectiva.
Ejercicio 20 — nivel ★★★★★
Determinar si la siguiente afirmación es verdadera o falsa:
\[ \text{Si una función es inyectiva, entonces es monótona.} \]
En caso de que sea falsa, proporcionar un contraejemplo.
Resultado
La afirmación es falsa. Existen funciones inyectivas que no son monótonas.
Resolución
La afirmación que hay que examinar es:
\[ \text{si una función es inyectiva, entonces es monótona.} \]
Esta afirmación es falsa. Para demostrarlo, es suficiente con construir una función inyectiva que no sea ni creciente ni decreciente.
Consideramos la función
\[ f:\{1,2,3\}\to\mathbb R \]
definida por
\[ f(1)=1,\qquad f(2)=3,\qquad f(3)=2. \]
Primero comprobamos que \(f\) es inyectiva. Los valores que toma la función son
\[ 1,\qquad 3,\qquad 2. \]
Estos tres valores son todos distintos. Por tanto, elementos distintos del dominio tienen imágenes distintas. Por definición, \(f\) es inyectiva.
Comprobamos ahora que \(f\) no es creciente.
Si \(f\) fuera creciente, para todo par \(x_1,x_2\in\{1,2,3\}\) con \(x_1<x_2\) debería cumplirse
\[ f(x_1)\le f(x_2). \]
Elegimos
\[ x_1=2,\qquad x_2=3. \]
Se tiene
\[ 2<3, \]
pero
\[ f(2)=3>2=f(3). \]
Este par contradice la definición de función creciente. Por consiguiente, \(f\) no es creciente.
Comprobamos ahora que \(f\) no es decreciente.
Si \(f\) fuera decreciente, para todo par \(x_1,x_2\in\{1,2,3\}\) con \(x_1<x_2\) debería cumplirse
\[ f(x_1)\ge f(x_2). \]
Elegimos
\[ x_1=1,\qquad x_2=2. \]
Se tiene
\[ 1<2, \]
pero
\[ f(1)=1<3=f(2). \]
Este par contradice la definición de función decreciente. Por consiguiente, \(f\) no es decreciente.
La función es, pues, inyectiva, pero no es monótona.
Este contraejemplo muestra que la inyectividad no implica la monotonía. La monotonía estricta implica la inyectividad, pero el recíproco no es cierto.