En esta página estudiaremos las sucesiones acotadas, es decir, sucesiones cuyos términos no pueden crecer ni decrecer sin cota, sino que permanecen dentro de ciertos límites numéricos. Veremos la diferencia entre las sucesiones acotadas superiormente, acotadas inferiormente y acotadas, aclarando el significado matemático de cada definición.
El concepto de acotación es fundamental en el estudio de las sucesiones numéricas, pues permite describir el comportamiento global de los términos de una sucesión, con independencia de que esta sea convergente o divergente.
A lo largo de todo el artículo consideraremos sucesiones reales, esto es, sucesiones de la forma
\[ a:\mathbb{N}\to\mathbb{R}, \]
y denotaremos sus términos por \(a_n\), al variar \(n\in\mathbb{N}\).
En todo el texto suponemos que \(\mathbb{N}=\{0,1,2,\dots\}\).
Índice
- Sucesiones acotadas superiormente
- Sucesiones acotadas inferiormente
- Sucesiones acotadas
- Interpretación gráfica de la acotación
- Ejemplos de sucesiones acotadas y no acotadas
- Primeras propiedades de las sucesiones acotadas
- Sucesiones convergentes y sucesiones acotadas
Sucesiones acotadas superiormente
Una sucesión real \((a_n)\) se dice acotada superiormente si existe un número real \(M\) tal que todos los términos de la sucesión sean menores o iguales que \(M\).
En símbolos:
\[ \exists M\in\mathbb{R}:\forall n\in\mathbb{N},\quad a_n\le M. \]
El número \(M\) recibe el nombre de cota superior de la sucesión. Decir que \((a_n)\) está acotada superiormente equivale, por tanto, a decir que el conjunto de sus términos
\[ \{a_n:n\in\mathbb{N}\} \]
es un subconjunto de \(\mathbb{R}\) acotado superiormente.
Conviene observar que la cota superior no tiene por qué ser necesariamente un término de la sucesión. Basta con que sea un número real situado por encima de todos los términos de la sucesión.
Ejemplo. Consideremos la sucesión
\[ a_n=\frac{1}{n+1}, \qquad n\in\mathbb{N}. \]
Como \(n\in\mathbb{N}\), se tiene \(n+1\ge 1\). En consecuencia:
\[ 0<\frac{1}{n+1}\le 1. \]
Por tanto, para todo \(n\in\mathbb{N}\), resulta
\[ a_n\le 1. \]
La sucesión está, pues, acotada superiormente. Por ejemplo, \(M=1\) es una cota superior.
No obstante, \(1\) no es la única cota superior. También \(2\), \(10\) y, más en general, todo número real \(M\ge 1\) es una cota superior de la sucesión.
Atención. Para demostrar que una sucesión está acotada superiormente no es necesario hallar la menor cota superior. Basta con encontrar al menos un número real \(M\) tal que
\[ a_n\le M \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\).
Por el contrario, para demostrar que una sucesión no está acotada superiormente, hay que probar que ningún número real puede ser una cota superior. En símbolos:
\[ \forall M\in\mathbb{R},\exists n\in\mathbb{N}: a_n>M. \]
Esta condición significa que, sea cual sea el número real \(M\) elegido, existe al menos un término de la sucesión que lo supera.
Ejemplo de sucesión no acotada superiormente
Consideremos la sucesión
\[ a_n=n. \]
No está acotada superiormente. En efecto, fijado un \(M\in\mathbb{R}\) cualquiera, podemos elegir un índice \(n\in\mathbb{N}\) tal que
\[ n>M. \]
Para tal índice se tiene
\[ a_n=n>M. \]
Así pues, ningún número real \(M\) puede ser una cota superior de la sucesión \((n)\).
Sucesiones acotadas inferiormente
Una sucesión real \((a_n)\) se dice acotada inferiormente si existe un número real \(m\) tal que todos los términos de la sucesión sean mayores o iguales que \(m\).
En símbolos:
\[ \exists m\in\mathbb{R}:\forall n\in\mathbb{N},\quad a_n\ge m. \]
El número \(m\) recibe el nombre de cota inferior de la sucesión. Decir que \((a_n)\) está acotada inferiormente equivale, por tanto, a decir que el conjunto de sus términos
\[ \{a_n:n\in\mathbb{N}\} \]
es un subconjunto de \(\mathbb{R}\) acotado inferiormente.
También en este caso, la cota inferior no tiene por qué ser un término de la sucesión. Basta con que sea un número real situado por debajo de todos los términos de la sucesión.
Ejemplo. Consideremos la sucesión
\[ a_n=n^2+1, \qquad n\in\mathbb{N}. \]
Como \(n^2\ge 0\) para todo \(n\in\mathbb{N}\), se tiene
\[ n^2+1\ge 1. \]
Por tanto, para todo \(n\in\mathbb{N}\), resulta
\[ a_n\ge 1. \]
La sucesión está, pues, acotada inferiormente. Por ejemplo, \(m=1\) es una cota inferior.
Naturalmente, también todo número real \(m\le 1\) es una cota inferior de la sucesión. En efecto, si todos los términos son mayores o iguales que \(1\), entonces son ciertamente mayores o iguales que cualquier número menor que \(1\).
Observación. Para demostrar que una sucesión está acotada inferiormente no es necesario hallar la mayor cota inferior. Basta con encontrar al menos un número real \(m\) tal que
\[ a_n\ge m \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\).
En cambio, para demostrar que una sucesión no está acotada inferiormente, hay que probar que ningún número real puede ser una cota inferior. En símbolos:
\[ \forall m\in\mathbb{R},\exists n\in\mathbb{N}: a_n<m. \]
Esta condición significa que, sea cual sea el número real \(m\) elegido, existe al menos un término de la sucesión que desciende por debajo de \(m\).
Ejemplo de sucesión no acotada inferiormente
Consideremos la sucesión
\[ a_n=-n. \]
No está acotada inferiormente. En efecto, fijado un \(m\in\mathbb{R}\) cualquiera, podemos elegir un índice \(n\in\mathbb{N}\) tal que
\[ n>|m|+1. \]
Entonces \(n>-m\) y, por tanto, multiplicando por \(-1\), obtenemos
\[ -n<m. \]
Como \(a_n=-n\), se sigue que
\[ a_n<m. \]
Así pues, ningún número real \(m\) puede ser una cota inferior de la sucesión \((-n)\).
Sucesiones acotadas
Una sucesión real \((a_n)\) se dice acotada si está acotada tanto superiormente como inferiormente.
Dicho de otro modo, \((a_n)\) está acotada si existen dos números reales \(m\) y \(M\) tales que
\[ m\le a_n\le M \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\).
En símbolos:
\[ \exists m,M\in\mathbb{R}:\forall n\in\mathbb{N},\quad m\le a_n\le M. \]
El número \(m\) es una cota inferior, mientras que el número \(M\) es una cota superior. La sucesión queda, así, contenida, término a término, dentro del intervalo cerrado \([m,M]\).
Ejemplo. Consideremos la sucesión
\[ a_n=\frac{(-1)^n}{n+1}, \qquad n\in\mathbb{N}. \]
Para todo \(n\in\mathbb{N}\), se tiene
\[ |(-1)^n|=1 \]
y, por tanto,
\[ |a_n|=\left|\frac{(-1)^n}{n+1}\right|=\frac{1}{n+1}. \]
Como \(n+1\ge 1\), se sigue que
\[ \frac{1}{n+1}\le 1. \]
Por consiguiente,
\[ |a_n|\le 1. \]
De la desigualdad \(|a_n|\le 1\) se sigue
\[ -1\le a_n\le 1. \]
La sucesión está, por tanto, acotada.
Caracterización mediante el valor absoluto
Una sucesión real \((a_n)\) está acotada si y solo si existe un número real \(K>0\) tal que
\[ |a_n|\le K \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\).
Demostración. Supongamos en primer lugar que la sucesión \((a_n)\) está acotada. Entonces existen \(m,M\in\mathbb{R}\) tales que
\[ m\le a_n\le M \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\).
Consideremos
\[ K=\max\{1,|m|,|M|\}. \]
Como \(m\le a_n\le M\), cada término \(a_n\) pertenece al intervalo \([m,M]\). En consecuencia, su valor absoluto es menor o igual que el mayor de \(|m|\) y \(|M|\), y por tanto también menor o igual que \(K\). Así pues,
\[ |a_n|\le K \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\).
Recíprocamente, supongamos que existe \(K>0\) tal que
\[ |a_n|\le K \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\).
Por la definición de valor absoluto, esta desigualdad equivale a
\[ -K\le a_n\le K. \]
Por tanto, \(-K\) es una cota inferior y \(K\) es una cota superior de la sucesión. La sucesión está, en consecuencia, acotada.
Atención. Una sucesión puede estar acotada superiormente sin estar acotada inferiormente, o bien acotada inferiormente sin estar acotada superiormente.
Por ejemplo, la sucesión
\[ a_n=-n \]
está acotada superiormente, porque
\[ -n\le 0 \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\), pero no está acotada inferiormente.
Análogamente, la sucesión
\[ b_n=n \]
está acotada inferiormente, porque
\[ n\ge 0 \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\), pero no está acotada superiormente.
Por tanto, para estar acotada, una sucesión debe estar controlada tanto por arriba como por abajo.
Interpretación gráfica de la acotación
Desde el punto de vista gráfico, una sucesión real \((a_n)\) puede representarse mediante los puntos
\[ (n,a_n), \qquad n\in\mathbb{N}. \]
En esta representación, el índice \(n\) se sitúa en el eje de abscisas, mientras que el término \(a_n\) se sitúa en el eje de ordenadas.
Decir que una sucesión está acotada superiormente significa que todos sus puntos se encuentran en una cierta recta horizontal o por debajo de ella.
En efecto, si existe \(M\in\mathbb{R}\) tal que
\[ a_n\le M \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\), entonces todos los puntos \((n,a_n)\) están en ella o por debajo de la recta horizontal de ecuación
\[ y=M. \]
Análogamente, decir que una sucesión está acotada inferiormente significa que todos sus puntos se encuentran en una cierta recta horizontal o por encima de ella.
En efecto, si existe \(m\in\mathbb{R}\) tal que
\[ a_n\ge m \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\), entonces todos los puntos \((n,a_n)\) están en ella o por encima de la recta horizontal de ecuación
\[ y=m. \]
Por último, decir que una sucesión está acotada significa que todos sus puntos están comprendidos entre dos rectas horizontales.
Más precisamente, si existen \(m,M\in\mathbb{R}\) tales que
\[ m\le a_n\le M \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\), entonces todos los puntos \((n,a_n)\) están contenidos en la franja horizontal comprendida entre las rectas
\[ y=m \qquad \text{y} \qquad y=M. \]
Esta interpretación es útil porque permite visualizar de inmediato el significado de la acotación: una sucesión acotada no puede ascender indefinidamente hacia \(+\infty\) ni descender indefinidamente hacia \(-\infty\).
Ejemplos de sucesiones acotadas y no acotadas
Veamos ahora algunos ejemplos fundamentales, útiles para distinguir correctamente las distintas formas de acotación.
Sucesión acotada
Consideremos la sucesión
\[ a_n=(-1)^n. \]
Sus términos toman únicamente los valores \(1\) y \(-1\). En efecto, para todo \(n\in\mathbb{N}\), se tiene
\[ (-1)^n\in\{-1,1\}. \]
En consecuencia,
\[ -1\le (-1)^n\le 1 \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\).
Por tanto, la sucesión \(((-1)^n)\) está acotada.
Sucesión acotada superiormente pero no inferiormente
Consideremos la sucesión
\[ a_n=-n^2. \]
Como \(n^2\ge 0\) para todo \(n\in\mathbb{N}\), se tiene
\[ -n^2\le 0. \]
Así pues, \(0\) es una cota superior de la sucesión y, por tanto, \((a_n)\) está acotada superiormente.
Sin embargo, la sucesión no está acotada inferiormente. En efecto, fijado un \(m\in\mathbb{R}\) cualquiera, podemos elegir \(n\in\mathbb{N}\) suficientemente grande de modo que
\[ n^2>|m|+1. \]
Entonces \(n^2>-m\) y, por tanto, multiplicando por \(-1\), obtenemos
\[ -n^2<m. \]
Por consiguiente, existe un término de la sucesión menor que \(m\). Como esto se cumple para todo \(m\in\mathbb{R}\), la sucesión no está acotada inferiormente.
Sucesión acotada inferiormente pero no superiormente
Consideremos la sucesión
\[ a_n=n^2. \]
Como
\[ n^2\ge 0 \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\), la sucesión está acotada inferiormente. Por ejemplo, \(0\) es una cota inferior.
La sucesión, en cambio, no está acotada superiormente. En efecto, fijado un \(M\in\mathbb{R}\) cualquiera, podemos elegir \(n\in\mathbb{N}\) suficientemente grande de modo que
\[ n^2>M. \]
Por tanto, ningún número real \(M\) puede ser una cota superior de la sucesión.
Sucesión no acotada ni superiormente ni inferiormente
Consideremos la sucesión
\[ a_n=(-1)^n n. \]
Los términos de la sucesión cambian de signo según la paridad de \(n\). Para los índices pares se obtienen valores positivos cada vez mayores, mientras que para los índices impares se obtienen valores negativos cada vez menores.
La sucesión no está acotada superiormente. En efecto, elegido un \(M\in\mathbb{R}\) cualquiera, podemos tomar un índice par \(n\) suficientemente grande de modo que
\[ n>M. \]
Para tal índice, al ser \(n\) par, se tiene \((-1)^n=1\), de modo que
\[ a_n=(-1)^n n=n>M. \]
Por tanto, ningún número real \(M\) puede ser una cota superior.
Además, la sucesión no está acotada inferiormente. En efecto, elegido un \(m\in\mathbb{R}\) cualquiera, podemos tomar un índice impar \(n\) suficientemente grande de modo que
\[ -n<m. \]
Para tal índice, al ser \(n\) impar, se tiene \((-1)^n=-1\), de modo que
\[ a_n=(-1)^n n=-n<m. \]
Por tanto, ningún número real \(m\) puede ser una cota inferior.
La sucesión \(((-1)^n n)\) no está, pues, acotada ni superiormente ni inferiormente.
Primeras propiedades de las sucesiones acotadas
Las sucesiones acotadas gozan de algunas propiedades fundamentales, útiles en el estudio de las operaciones entre sucesiones y en el cálculo de límites.
En esta sección consideramos sucesiones reales definidas en \(\mathbb{N}\).
Suma de sucesiones acotadas
Si \((a_n)\) y \((b_n)\) son dos sucesiones acotadas, entonces también la sucesión suma
\[ (a_n+b_n) \]
está acotada.
En efecto, como \((a_n)\) está acotada, existe \(A>0\) tal que
\[ |a_n|\le A \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\). Análogamente, como \((b_n)\) está acotada, existe \(B>0\) tal que
\[ |b_n|\le B \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\).
Empleando la desigualdad triangular, obtenemos
\[ |a_n+b_n|\le |a_n|+|b_n|. \]
Como \(|a_n|\le A\) y \(|b_n|\le B\), se sigue que
\[ |a_n+b_n|\le A+B. \]
Así pues, la sucesión \((a_n+b_n)\) está acotada.
Producto de sucesiones acotadas
Si \((a_n)\) y \((b_n)\) son dos sucesiones acotadas, entonces también la sucesión producto
\[ (a_n b_n) \]
está acotada.
En efecto, como \((a_n)\) está acotada, existe \(A>0\) tal que
\[ |a_n|\le A \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\). Como \((b_n)\) está acotada, existe \(B>0\) tal que
\[ |b_n|\le B \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\).
Entonces, para todo \(n\in\mathbb{N}\), se tiene
\[ |a_n b_n|=|a_n||b_n|\le AB. \]
Por tanto, la sucesión \((a_n b_n)\) está acotada.
Producto de una sucesión acotada por una constante
Si \((a_n)\) es una sucesión acotada y \(c\in\mathbb{R}\), entonces también la sucesión
\[ (c a_n) \]
está acotada.
En efecto, como \((a_n)\) está acotada, existe \(A>0\) tal que
\[ |a_n|\le A \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\).
Si \(c=0\), entonces \(c a_n=0\) para todo \(n\in\mathbb{N}\), y por tanto la sucesión \((c a_n)\) está acotada.
Si, en cambio, \(c\ne 0\), se tiene
\[ |c a_n|=|c||a_n|\le |c|A. \]
También en este caso la sucesión \((c a_n)\) está acotada.
Una sucesión acotada puede no ser convergente
La acotación no implica, por sí sola, la convergencia.
Por ejemplo, la sucesión
\[ a_n=(-1)^n \]
está acotada, porque
\[ -1\le (-1)^n\le 1 \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\).
Sin embargo, no es convergente. En efecto, sus términos oscilan continuamente entre \(1\) y \(-1\), sin aproximarse de manera definitiva a un único número real.
Por tanto, una sucesión puede estar acotada sin admitir límite finito.
Una sucesión no acotada no puede ser convergente
Si una sucesión real no está acotada, entonces no puede converger a un número real.
Esta afirmación es la contrarrecíproca del teorema según el cual toda sucesión convergente está acotada, que demostraremos en la sección siguiente.
Dicho de otro modo, la acotación es una condición necesaria para la convergencia, pero no es una condición suficiente.
Sucesiones convergentes y sucesiones acotadas
El vínculo más importante entre acotación y convergencia es el siguiente: toda sucesión real convergente está acotada.
Teorema. Si una sucesión real \((a_n)\) converge a un número real \(\ell\), entonces \((a_n)\) está acotada.
Demostración. Supongamos que
\[ a_n\to \ell. \]
Por la definición de límite finito, para todo \(\varepsilon>0\) existe \(N\in\mathbb{N}\) tal que, para todo \(n\ge N\),
\[ |a_n-\ell|<\varepsilon. \]
Elegimos, en particular,
\[ \varepsilon=1. \]
Entonces existe \(N\in\mathbb{N}\) tal que, para todo \(n\ge N\),
\[ |a_n-\ell|<1. \]
De esta desigualdad se sigue que, para todo \(n\ge N\),
\[ \ell-1<a_n<\ell+1. \]
Por tanto, todos los términos de la sucesión a partir del índice \(N\) están comprendidos entre \(\ell-1\) y \(\ell+1\).
Podemos suponer, aumentando \(N\) si es necesario, que \(N\ge 1\). Solo queda considerar los términos anteriores:
\[ a_0,a_1,\dots,a_{N-1}. \]
Estos son en número finito. Como todo conjunto finito de números reales está siempre acotado, podemos definir
\[ K=\max\{1,|a_0|,|a_1|,\dots,|a_{N-1}|,|\ell|+1\}. \]
Entonces \(K>0\) y, por construcción, se tiene
\[ |a_n|\le K \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\).
Así pues, la sucesión \((a_n)\) está acotada.
Observación. El teorema que acabamos de demostrar afirma que la convergencia implica la acotación:
\[ a_n\to \ell \quad \Longrightarrow \quad (a_n)\ \text{está acotada}. \]
El recíproco, sin embargo, no es cierto en general.
En efecto, como ya se ha observado, la sucesión
\[ a_n=(-1)^n \]
está acotada, pero no es convergente.
Por tanto, podemos decir que la acotación es una condición necesaria para la convergencia, pero no una condición suficiente.
Caso particular: sucesiones monótonas
Para las sucesiones monótonas, en cambio, la acotación adquiere un papel aún más fuerte.
Si una sucesión es creciente y está acotada superiormente, entonces converge. Análogamente, si una sucesión es decreciente y está acotada inferiormente, entonces converge.
Este resultado se conoce como teorema de la convergencia monótona.
Por tanto, en general, una sucesión acotada no tiene por qué converger; no obstante, si a la acotación se añade además la monotonía, se obtiene un criterio de convergencia muy importante.
Las sucesiones acotadas permiten describir el comportamiento global de los términos de una sucesión. Una sucesión puede estar acotada superiormente, acotada inferiormente o acotada por ambos lados.
En particular, una sucesión real \((a_n)\) está acotada si existe \(K>0\) tal que
\[ |a_n|\le K \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\).
Esto significa que todos los términos de la sucesión permanecen contenidos en un intervalo finito. La acotación es una propiedad fundamental porque toda sucesión convergente está acotada, aunque una sucesión acotada no es necesariamente convergente.