En esta página proponemos 20 ejercicios resueltos sobre subsucesiones, explicados paso a paso y pensados para consolidar tanto la definición formal como el significado conceptual de esta herramienta fundamental en el estudio de las sucesiones numéricas.
Los ejercicios conducen de manera progresiva desde el reconocimiento de una subsucesión hasta la elección correcta de los índices, y finalmente al estudio del comportamiento en el límite. En particular, veremos cómo comprobar si una sucesión es subsucesión de otra, cómo calcular subsucesiones dadas y cómo emplear dos subsucesiones con límites distintos para demostrar la no convergencia de una sucesión.
Recordemos que una subsucesión de \((a_n)\) es una sucesión de la forma
\[ (a_{k_n}), \]
donde \((k_n)\) es una sucesión estrictamente creciente de índices naturales, es decir,
\[ k_n<k_{n+1} \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\). Supondremos, como en la teoría, que \(\mathbb{N}=\{0,1,2,\dots\}\).
El objetivo no es solo aplicar mecánicamente una definición, sino comprender por qué el orden de los índices es esencial, por qué toda subsucesión de una sucesión convergente tiene el mismo límite que la sucesión original y por qué las subsucesiones permiten a menudo detectar de manera rigurosa oscilaciones, divergencias y falta de convergencia.
Ejercicio 1 — nivel ★☆☆☆☆
Consideremos la sucesión
\[ a_n=n^2. \]
Determinar la subsucesión que se obtiene eligiendo los índices pares, es decir, tomando
\[ k_n=2n. \]
Resultado
La subsucesión es
\[ a_{2n}=4n^2. \]
Por tanto,
\[ (a_{2n})=(0,4,16,36,\dots). \]
Resolución
Una subsucesión se obtiene eligiendo una sucesión estrictamente creciente de índices naturales \((k_n)\) y considerando los términos correspondientes \(a_{k_n}\).
En este caso, los índices elegidos son
\[ k_n=2n. \]
Como \(n\in\mathbb{N}\), los índices son
\[ 0,2,4,6,\dots \]
y son estrictamente crecientes. En efecto, para todo \(n\in\mathbb{N}\),
\[ 2n<2n+2. \]
Por consiguiente, podemos construir efectivamente una subsucesión.
La sucesión de partida es
\[ a_n=n^2. \]
Para obtener la subsucesión correspondiente a los índices \(2n\), sustituimos \(n\) por \(2n\):
\[ a_{2n}=(2n)^2. \]
Desarrollando el cuadrado, obtenemos
\[ a_{2n}=4n^2. \]
Escribamos los primeros términos para interpretar el resultado:
\[ a_0=0^2=0,\qquad a_2=2^2=4,\qquad a_4=4^2=16,\qquad a_6=6^2=36. \]
Por tanto, la subsucesión es
\[ (a_{2n})=(0,4,16,36,\dots). \]
Conceptualmente, no hemos construido una sucesión nueva y arbitraria: simplemente hemos observado la sucesión original solo a lo largo de los índices pares.
Ejercicio 2 — nivel ★☆☆☆☆
Consideremos la sucesión
\[ a_n=3n+1. \]
Determinar la subsucesión que se obtiene eligiendo los índices impares, es decir, tomando
\[ k_n=2n+1. \]
Resultado
La subsucesión es
\[ a_{2n+1}=6n+4. \]
Por tanto,
\[ (a_{2n+1})=(4,10,16,22,\dots). \]
Resolución
Los índices impares vienen descritos por la fórmula
\[ k_n=2n+1. \]
En efecto, al variar \(n\in\mathbb{N}\), se obtiene
\[ 1,3,5,7,\dots \]
Antes de calcular la subsucesión, comprobemos que estos índices son estrictamente crecientes. Se tiene
\[ k_{n+1}=2(n+1)+1=2n+3. \]
Como
\[ 2n+1<2n+3, \]
se sigue que
\[ k_n<k_{n+1}. \]
Por tanto, los índices elegidos son adecuados para definir una subsucesión.
La sucesión de partida es
\[ a_n=3n+1. \]
La subsucesión correspondiente a los índices \(2n+1\) es
\[ a_{2n+1}. \]
Sustituimos entonces \(n\) por \(2n+1\) en la fórmula de \(a_n\):
\[ a_{2n+1}=3(2n+1)+1. \]
Efectuando los cálculos, obtenemos
\[ a_{2n+1}=6n+3+1=6n+4. \]
Escribamos los primeros términos:
\[ a_1=4,\qquad a_3=10,\qquad a_5=16,\qquad a_7=22. \]
Así pues,
\[ (a_{2n+1})=(4,10,16,22,\dots). \]
Ejercicio 3 — nivel ★☆☆☆☆
Sea \((a_n)\) una sucesión cualquiera. Determinar si los términos
\[ a_5,\ a_2,\ a_8 \]
pueden formar el comienzo de una subsucesión de \((a_n)\).
Resultado
No. Los términos
\[ a_5,\ a_2,\ a_8 \]
no pueden formar el comienzo de una subsucesión, porque los índices \(5,2,8\) no son estrictamente crecientes.
Resolución
Para formar una subsucesión no basta con elegir algunos términos de la sucesión original. Es necesario que los índices elegidos sean estrictamente crecientes.
En este caso, los términos indicados son
\[ a_5,\ a_2,\ a_8. \]
Los índices correspondientes son
\[ 5,\ 2,\ 8. \]
Para ser el comienzo de una subsucesión, deberíamos tener
\[ 5<2<8. \]
Pero la primera desigualdad es falsa, ya que \(5\) no es menor que \(2\).
Por tanto, los índices no respetan el orden natural en que los términos aparecen en la sucesión de partida.
En consecuencia,
\[ a_5,\ a_2,\ a_8 \]
no pueden formar el comienzo de una subsucesión.
El punto conceptual es fundamental: una subsucesión puede saltarse algunos términos, pero no puede retroceder en los índices. El orden de los términos de la sucesión original debe conservarse.
En cambio, por ejemplo,
\[ a_2,\ a_5,\ a_8 \]
sí podría formar el comienzo de una subsucesión, porque
\[ 2<5<8. \]
Ejercicio 4 — nivel ★★☆☆☆
Consideremos la sucesión
\[ a_n=(-1)^n. \]
Determinar la subsucesión de los índices pares y la de los índices impares.
Resultado
La subsucesión de los índices pares es
\[ a_{2n}=1. \]
La subsucesión de los índices impares es
\[ a_{2n+1}=-1. \]
Resolución
Estudiemos por separado los índices pares y los índices impares.
Los índices pares vienen dados por
\[ k_n=2n. \]
La subsucesión correspondiente es
\[ a_{2n}=(-1)^{2n}. \]
Como \(2n\) es siempre par, la potencia \((-1)^{2n}\) vale siempre \(1\). Por tanto,
\[ a_{2n}=1 \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\).
Así pues, la subsucesión de los índices pares es
\[ (a_{2n})=(1,1,1,1,\dots). \]
Los índices impares, en cambio, vienen dados por
\[ h_n=2n+1. \]
La subsucesión correspondiente es
\[ a_{2n+1}=(-1)^{2n+1}. \]
Como \(2n+1\) es siempre impar, la potencia \((-1)^{2n+1}\) vale siempre \(-1\). Por tanto,
\[ a_{2n+1}=-1 \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\).
Así pues, la subsucesión de los índices impares es
\[ (a_{2n+1})=(-1,-1,-1,-1,\dots). \]
Este ejercicio pone de manifiesto un hecho muy importante: una misma sucesión puede tener subsucesiones con comportamientos distintos. Aquí una subsucesión es constantemente igual a \(1\), mientras que la otra es constantemente igual a \(-1\).
Ejercicio 5 — nivel ★★☆☆☆
Consideremos la sucesión
\[ a_n=n^2. \]
Determinar si la sucesión
\[ b_n=(n+2)^2 \]
es una subsucesión de \((a_n)\).
Resultado
Sí. La sucesión
\[ b_n=(n+2)^2 \]
es una subsucesión de
\[ a_n=n^2. \]
En efecto,
\[ b_n=a_{n+2}. \]
Resolución
Para determinar si \((b_n)\) es una subsucesión de \((a_n)\), debemos comprobar si existe una sucesión estrictamente creciente de índices naturales \((k_n)\) tal que
\[ b_n=a_{k_n} \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\).
La sucesión de partida es
\[ a_n=n^2. \]
La sucesión que queremos reconocer como subsucesión es
\[ b_n=(n+2)^2. \]
Observamos que \((n+2)^2\) se obtiene de la fórmula \(a_n=n^2\) sustituyendo \(n\) por \(n+2\). Por ello elegimos
\[ k_n=n+2. \]
Entonces
\[ a_{k_n}=a_{n+2}=(n+2)^2. \]
Pero
\[ b_n=(n+2)^2. \]
Por tanto,
\[ b_n=a_{k_n}. \]
Ahora queda comprobar que \((k_n)\) es estrictamente creciente. Tenemos
\[ k_n=n+2 \]
y
\[ k_{n+1}=n+3. \]
Como
\[ n+2<n+3, \]
se sigue que
\[ k_n<k_{n+1}. \]
Por tanto, \((k_n)\) es una sucesión estrictamente creciente de índices naturales.
En consecuencia, \((b_n)\) es una subsucesión de \((a_n)\).
Intuitivamente, la sucesión \((b_n)\) se obtiene de \((a_n)\) descartando los dos primeros términos y conservando todos los demás en el mismo orden.
Ejercicio 6 — nivel ★★☆☆☆
Consideremos la sucesión
\[ a_n=n. \]
Determinar si la sucesión
\[ b_n=-n \]
es una subsucesión de \((a_n)\).
Resultado
No. La sucesión
\[ b_n=-n \]
no es una subsucesión de
\[ a_n=n. \]
En efecto, no existe ninguna sucesión estrictamente creciente de índices naturales \((k_n)\) tal que
\[ b_n=a_{k_n} \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\).
Resolución
Para determinar si \((b_n)\) es una subsucesión de \((a_n)\), debemos preguntarnos si existe una sucesión estrictamente creciente de índices naturales \((k_n)\) tal que
\[ b_n=a_{k_n} \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\).
La sucesión de partida es
\[ a_n=n. \]
Como \(n\in\mathbb{N}\), los términos de \((a_n)\) son
\[ 0,1,2,3,\dots. \]
Por tanto, todos los términos de la sucesión \((a_n)\) son números naturales.
La sucesión propuesta, en cambio, es
\[ b_n=-n. \]
Sus primeros términos son
\[ 0,-1,-2,-3,\dots. \]
Para todo \(n\ge 1\), el término \(b_n\) es negativo.
Pero ningún término de la sucesión \((a_n)\) es negativo. En efecto, para cualquier índice natural \(k\), se tiene
\[ a_k=k\ge 0. \]
En consecuencia, por ejemplo, el término \(b_1=-1\) no puede coincidir con ningún término de la sucesión \((a_n)\).
Por tanto, no puede existir ninguna sucesión de índices naturales \((k_n)\) tal que
\[ b_n=a_{k_n} \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\).
En consecuencia, \((b_n)\) no es una subsucesión de \((a_n)\).
El punto conceptual es este: una subsucesión debe formarse eligiendo términos que ya están presentes en la sucesión original. Aquí, en cambio, \((b_n)\) contiene términos negativos que nunca aparecen en la sucesión \((a_n)\).
Ejercicio 7 — nivel ★★☆☆☆
Consideremos la sucesión
\[ a_n=\frac{1}{n+1}. \]
Determinar si la sucesión
\[ b_n=\frac{1}{n^2+1} \]
es una subsucesión de \((a_n)\).
Resultado
Sí. La sucesión
\[ b_n=\frac{1}{n^2+1} \]
es una subsucesión de
\[ a_n=\frac{1}{n+1}. \]
En efecto,
\[ b_n=a_{n^2}. \]
Resolución
Para determinar si \((b_n)\) es una subsucesión de \((a_n)\), debemos buscar una sucesión estrictamente creciente de índices naturales \((k_n)\) tal que
\[ b_n=a_{k_n}. \]
La sucesión de partida es
\[ a_n=\frac{1}{n+1}. \]
Si sustituimos \(n\) por un índice genérico \(k_n\), obtenemos
\[ a_{k_n}=\frac{1}{k_n+1}. \]
Queremos que este término coincida con
\[ b_n=\frac{1}{n^2+1}. \]
Por tanto, imponemos
\[ \frac{1}{k_n+1}=\frac{1}{n^2+1}. \]
Como los denominadores son positivos, esta igualdad equivale a
\[ k_n+1=n^2+1. \]
Restando \(1\) en ambos miembros, obtenemos
\[ k_n=n^2. \]
Así pues, el candidato natural es
\[ k_n=n^2. \]
Comprobemos que \((k_n)\) es estrictamente creciente. Para todo \(n\in\mathbb{N}\), se tiene
\[ k_{n+1}-k_n=(n+1)^2-n^2. \]
Desarrollando,
\[ k_{n+1}-k_n=n^2+2n+1-n^2=2n+1. \]
Como
\[ 2n+1>0 \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\), se sigue que
\[ k_{n+1}>k_n. \]
Por tanto, \((k_n)\) es estrictamente creciente.
Además, \(k_n=n^2\in\mathbb{N}\) para todo \(n\in\mathbb{N}\), de modo que los índices elegidos son efectivamente índices naturales.
Tenemos entonces
\[ a_{k_n}=a_{n^2}=\frac{1}{n^2+1}=b_n. \]
En consecuencia, \((b_n)\) es una subsucesión de \((a_n)\).
Ejercicio 8 — nivel ★★☆☆☆
Sea \((k_n)\) definida por
\[ k_n=n^2+n. \]
Comprobar que \((k_n)\) puede usarse como sucesión de índices para construir una subsucesión.
Resultado
Sí. La sucesión
\[ k_n=n^2+n \]
puede usarse como sucesión de índices, porque está formada por números naturales y es estrictamente creciente.
Resolución
Una sucesión \((k_n)\) puede usarse como sucesión de índices para construir una subsucesión si cumple dos condiciones.
La primera condición es que cada \(k_n\) sea un número natural.
La segunda condición es que \((k_n)\) sea estrictamente creciente, es decir,
\[ k_n<k_{n+1} \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\).
En nuestro caso
\[ k_n=n^2+n. \]
Como \(n\in\mathbb{N}\), también \(n^2+n\in\mathbb{N}\). Por tanto, cada \(k_n\) es un número natural.
Comprobemos ahora que \((k_n)\) es estrictamente creciente. Calculamos \(k_{n+1}\):
\[ k_{n+1}=(n+1)^2+(n+1). \]
Desarrollando,
\[ k_{n+1}=n^2+2n+1+n+1=n^2+3n+2. \]
Calculamos la diferencia:
\[ k_{n+1}-k_n=(n^2+3n+2)-(n^2+n). \]
Simplificando,
\[ k_{n+1}-k_n=2n+2. \]
Como
\[ 2n+2>0 \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\), obtenemos
\[ k_{n+1}>k_n. \]
Por tanto, \((k_n)\) es estrictamente creciente.
En consecuencia, la sucesión
\[ k_n=n^2+n \]
puede usarse para construir una subsucesión \((a_{k_n})\) de cualquier sucesión \((a_n)\).
Conceptualmente, los índices \(0,2,6,12,20,\dots\) seleccionan algunos términos de la sucesión original, saltándose otros, pero sin retroceder nunca.
Ejercicio 9 — nivel ★★★☆☆
Sea \((a_n)\) una sucesión cualquiera. Determinar si los términos
\[ a_1,\ a_3,\ a_6,\ a_{10},\dots \]
pueden formar una subsucesión de \((a_n)\).
Resultado
Sí. Los términos
\[ a_1,\ a_3,\ a_6,\ a_{10},\dots \]
pueden formar una subsucesión, porque los índices
\[ 1,3,6,10,\dots \]
son estrictamente crecientes.
Resolución
Para comprobar si los términos indicados pueden formar una subsucesión, debemos fijarnos en los índices.
Los términos son
\[ a_1,\ a_3,\ a_6,\ a_{10},\dots \]
de modo que los índices son
\[ 1,\ 3,\ 6,\ 10,\dots. \]
Estos índices están dispuestos en orden estrictamente creciente, porque
\[ 1<3<6<10<\dots. \]
Esto ya basta para afirmar que los términos indicados pueden formar una subsucesión.
También podemos reconocer una fórmula explícita para los índices. Vienen dados por
\[ k_n=\frac{(n+1)(n+2)}{2}. \]
En efecto:
\[ k_0=1,\qquad k_1=3,\qquad k_2=6,\qquad k_3=10. \]
Comprobemos que esta sucesión de índices es estrictamente creciente. Calculamos
\[ k_{n+1}-k_n = \frac{(n+2)(n+3)}{2}-\frac{(n+1)(n+2)}{2}. \]
Sacando factor común \(\displaystyle\frac{n+2}{2}\), obtenemos
\[ k_{n+1}-k_n = \frac{n+2}{2}\bigl((n+3)-(n+1)\bigr). \]
Como
\[ (n+3)-(n+1)=2, \]
se tiene
\[ k_{n+1}-k_n=\frac{n+2}{2}\cdot 2=n+2. \]
Ahora bien,
\[ n+2>0 \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\). Por tanto,
\[ k_{n+1}>k_n. \]
Así pues, los índices son estrictamente crecientes.
En consecuencia, los términos
\[ a_1,\ a_3,\ a_6,\ a_{10},\dots \]
pueden formar una subsucesión de \((a_n)\).
Ejercicio 10 — nivel ★★★☆☆
Consideremos la sucesión
\[ a_n=\frac{n}{n+1}. \]
Determinar el límite de la subsucesión \((a_{2n})\).
Resultado
Se tiene
\[ a_{2n}=\frac{2n}{2n+1} \]
y, por tanto,
\[ a_{2n}\to 1. \]
Resolución
La subsucesión \((a_{2n})\) se obtiene eligiendo los índices pares, es decir, tomando
\[ k_n=2n. \]
Antes de continuar, observemos que los índices \(2n\) son estrictamente crecientes, porque
\[ 2n<2n+2. \]
Por tanto, \((a_{2n})\) es efectivamente una subsucesión de \((a_n)\).
La sucesión de partida es
\[ a_n=\frac{n}{n+1}. \]
Sustituyendo \(n\) por \(2n\), obtenemos
\[ a_{2n}=\frac{2n}{2n+1}. \]
Debemos calcular
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{2n}{2n+1}. \]
Para estudiar este límite, podemos suponer \(n\ge 1\) y dividir el numerador y el denominador entre \(n\):
\[ \frac{2n}{2n+1} = \frac{2}{2+\frac{1}{n}}. \]
Como
\[ \frac{1}{n}\to 0, \]
obtenemos
\[ \frac{2}{2+\frac{1}{n}}\to \frac{2}{2+0}=1. \]
Por tanto,
\[ a_{2n}\to 1. \]
Este resultado concuerda con el teorema general sobre subsucesiones: en efecto, la sucesión original \((a_n)\) converge a \(1\), y toda subsucesión de una sucesión convergente converge al mismo límite.
Ejercicio 11 — nivel ★★★☆☆
Consideremos la sucesión
\[ a_n=\frac{1}{n+1}. \]
Demostrar que toda subsucesión de \((a_n)\) converge a \(0\).
Resultado
Toda subsucesión de
\[ a_n=\frac{1}{n+1} \]
converge a \(0\).
Resolución
Sea \((a_{k_n})\) una subsucesión cualquiera de \((a_n)\). Por definición de subsucesión, \((k_n)\) es una sucesión estrictamente creciente de índices naturales.
Como
\[ a_n=\frac{1}{n+1}, \]
sustituyendo \(n\) por \(k_n\) obtenemos
\[ a_{k_n}=\frac{1}{k_n+1}. \]
Como \((k_n)\) es estrictamente creciente y toma valores en \(\mathbb{N}\), se tiene
\[ k_n\ge n \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\). En efecto, \(k_0\ge 0\) y, como los índices son naturales y crecen estrictamente, de \(k_n<k_{n+1}\) se sigue \(k_{n+1}\ge k_n+1\). Por inducción se obtiene entonces \(k_n\ge n\).
De
\[ k_n\ge n \]
se sigue
\[ k_n+1\ge n+1. \]
Como \(k_n+1\) y \(n+1\) son números positivos, al pasar a los inversos la desigualdad se invierte. Por tanto,
\[ \frac{1}{k_n+1}\le \frac{1}{n+1}. \]
Además,
\[ \frac{1}{k_n+1}>0. \]
Así pues, tenemos la acotación
\[ 0<\frac{1}{k_n+1}\le \frac{1}{n+1}. \]
Ahora bien, sabemos que
\[ \frac{1}{n+1}\to 0. \]
Por el teorema del sándwich, se sigue que
\[ \frac{1}{k_n+1}\to 0. \]
Pero
\[ a_{k_n}=\frac{1}{k_n+1}. \]
Por tanto,
\[ a_{k_n}\to 0. \]
Como \((a_{k_n})\) era una subsucesión cualquiera, hemos demostrado que toda subsucesión de \((a_n)\) converge a \(0\).
El significado conceptual es el siguiente: una subsucesión puede saltarse algunos términos, pero no puede eludir el comportamiento final de la sucesión. Como los términos de \((a_n)\) se acercan cada vez más a \(0\), cualquier subsucesión también debe acercarse cada vez más a \(0\).
Ejercicio 12 — nivel ★★★☆☆
Consideremos la sucesión
\[ a_n=2+\frac{1}{n+1}. \]
Demostrar que la subsucesión \((a_{n^2})\) converge a \(2\).
Resultado
Se tiene
\[ a_{n^2}=2+\frac{1}{n^2+1} \]
y, por tanto,
\[ a_{n^2}\to 2. \]
Resolución
La subsucesión \((a_{n^2})\) se obtiene eligiendo los índices
\[ k_n=n^2. \]
Antes de calcular el límite, comprobemos que estos índices definen efectivamente una subsucesión.
Para todo \(n\in\mathbb{N}\), \(n^2\in\mathbb{N}\). Además
\[ k_{n+1}-k_n=(n+1)^2-n^2=2n+1. \]
Como
\[ 2n+1>0 \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\), se sigue que
\[ k_{n+1}>k_n. \]
Por tanto, \((n^2)\) es una sucesión estrictamente creciente de índices naturales.
Ahora calculamos la subsucesión. Como
\[ a_n=2+\frac{1}{n+1}, \]
sustituyendo \(n\) por \(n^2\) obtenemos
\[ a_{n^2}=2+\frac{1}{n^2+1}. \]
Debemos, pues, calcular
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(2+\frac{1}{n^2+1}\right). \]
Como
\[ n^2+1\to+\infty, \]
se tiene
\[ \frac{1}{n^2+1}\to 0. \]
Por tanto,
\[ 2+\frac{1}{n^2+1}\to 2+0=2. \]
En consecuencia,
\[ a_{n^2}\to 2. \]
Este resultado concuerda con el teorema general: la sucesión original converge a \(2\), de modo que toda subsucesión suya debe converger al mismo límite.
Ejercicio 13 — nivel ★★★☆☆
Consideremos la sucesión
\[ a_n=(-1)^n. \]
Usar las subsucesiones para demostrar que \((a_n)\) no converge.
Resultado
La sucesión \((a_n)\) no converge, porque posee dos subsucesiones convergentes a límites distintos:
\[ a_{2n}\to 1 \qquad\text{y}\qquad a_{2n+1}\to -1. \]
Resolución
Para demostrar que una sucesión no converge, podemos buscar dos subsucesiones que converjan a límites distintos.
En efecto, si una sucesión convergiera a un límite real \(\ell\), entonces toda subsucesión suya debería converger al mismo límite \(\ell\).
Consideremos primero los índices pares:
\[ k_n=2n. \]
La subsucesión correspondiente es
\[ a_{2n}=(-1)^{2n}. \]
Como \(2n\) es par, se tiene
\[ (-1)^{2n}=1. \]
Por tanto,
\[ a_{2n}=1 \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\). En consecuencia,
\[ a_{2n}\to 1. \]
Consideremos ahora los índices impares:
\[ h_n=2n+1. \]
La subsucesión correspondiente es
\[ a_{2n+1}=(-1)^{2n+1}. \]
Como \(2n+1\) es impar, se tiene
\[ (-1)^{2n+1}=-1. \]
Por tanto,
\[ a_{2n+1}=-1 \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\). En consecuencia,
\[ a_{2n+1}\to -1. \]
Hemos encontrado dos subsucesiones de la misma sucesión:
\[ (a_{2n}) \qquad\text{y}\qquad (a_{2n+1}), \]
tales que
\[ a_{2n}\to 1 \qquad\text{y}\qquad a_{2n+1}\to -1. \]
Los dos límites son distintos, porque
\[ 1\ne -1. \]
Por tanto, la sucesión \((a_n)\) no puede converger.
La razón conceptual es decisiva: una sucesión convergente debe aproximarse a un único valor final. Aquí, en cambio, a lo largo de los índices pares la sucesión permanece siempre igual a \(1\), mientras que a lo largo de los índices impares permanece siempre igual a \(-1\).
Ejercicio 14 — nivel ★★★☆☆
Consideremos la sucesión
\[ a_n=\frac{1+(-1)^n}{2}. \]
Usar las subsucesiones para demostrar que \((a_n)\) no converge.
Resultado
La sucesión \((a_n)\) no converge, porque
\[ a_{2n}\to 1 \qquad\text{y}\qquad a_{2n+1}\to 0. \]
Las dos subsucesiones convergen a límites distintos.
Resolución
Estudiemos por separado la sucesión a lo largo de los índices pares y de los índices impares.
Consideremos primero los índices pares. Sustituyendo \(n\) por \(2n\), obtenemos
\[ a_{2n}=\frac{1+(-1)^{2n}}{2}. \]
Como
\[ (-1)^{2n}=1, \]
se tiene
\[ a_{2n}=\frac{1+1}{2}=\frac{2}{2}=1. \]
Por tanto, la subsucesión de los índices pares es constante e igual a \(1\). En consecuencia,
\[ a_{2n}\to 1. \]
Consideremos ahora los índices impares. Sustituyendo \(n\) por \(2n+1\), obtenemos
\[ a_{2n+1}=\frac{1+(-1)^{2n+1}}{2}. \]
Como
\[ (-1)^{2n+1}=-1, \]
se tiene
\[ a_{2n+1}=\frac{1-1}{2}=\frac{0}{2}=0. \]
Por tanto, la subsucesión de los índices impares es constante e igual a \(0\). En consecuencia,
\[ a_{2n+1}\to 0. \]
Hemos encontrado dos subsucesiones convergentes:
\[ a_{2n}\to 1 \qquad\text{y}\qquad a_{2n+1}\to 0. \]
Como
\[ 1\ne 0, \]
las dos subsucesiones convergen a límites distintos.
Por tanto, la sucesión \((a_n)\) no converge.
Conceptualmente, la sucesión alterna continuamente los valores \(1\) y \(0\). No se estabiliza en torno a un único número real, y esto impide la convergencia.
Ejercicio 15 — nivel ★★★★☆
Consideremos la sucesión
\[ a_n=(-1)^n+\frac{1}{n+1}. \]
Estudiar las subsucesiones de los índices pares e impares y deducir si \((a_n)\) converge.
Resultado
Se tiene
\[ a_{2n}\to 1 \qquad\text{y}\qquad a_{2n+1}\to -1. \]
Como las dos subsucesiones convergen a límites distintos, la sucesión \((a_n)\) no converge.
Resolución
La sucesión es
\[ a_n=(-1)^n+\frac{1}{n+1}. \]
Consta de dos partes: el término oscilante \((-1)^n\), que alterna entre \(1\) y \(-1\), y el término \(\displaystyle\frac{1}{n+1}\), que tiende a \(0\).
Estudiemos primero la subsucesión de los índices pares. Sustituyendo \(n\) por \(2n\), obtenemos
\[ a_{2n}=(-1)^{2n}+\frac{1}{2n+1}. \]
Como
\[ (-1)^{2n}=1, \]
se sigue que
\[ a_{2n}=1+\frac{1}{2n+1}. \]
Ahora bien,
\[ \frac{1}{2n+1}\to 0. \]
Por tanto,
\[ a_{2n}=1+\frac{1}{2n+1}\to 1+0=1. \]
En consecuencia,
\[ a_{2n}\to 1. \]
Estudiemos ahora la subsucesión de los índices impares. Sustituyendo \(n\) por \(2n+1\), obtenemos
\[ a_{2n+1}=(-1)^{2n+1}+\frac{1}{2n+2}. \]
Como
\[ (-1)^{2n+1}=-1, \]
se sigue que
\[ a_{2n+1}=-1+\frac{1}{2n+2}. \]
Ahora bien,
\[ \frac{1}{2n+2}\to 0. \]
Por tanto,
\[ a_{2n+1}=-1+\frac{1}{2n+2}\to -1+0=-1. \]
En consecuencia,
\[ a_{2n+1}\to -1. \]
Hemos encontrado dos subsucesiones de la misma sucesión:
\[ a_{2n}\to 1 \qquad\text{y}\qquad a_{2n+1}\to -1. \]
Como los límites son distintos, la sucesión \((a_n)\) no converge.
Este ejemplo es importante porque muestra que un término infinitésimo, como \(\displaystyle\frac{1}{n+1}\), no basta para eliminar la oscilación principal producida por \((-1)^n\). La sucesión sigue acercándose a dos valores distintos a lo largo de dos subsucesiones distintas.
Ejercicio 16 — nivel ★★★★☆
Consideremos la sucesión
\[ a_n=n. \]
Demostrar que la subsucesión \((a_{n^2+1})\) diverge a \(+\infty\).
Resultado
Se tiene
\[ a_{n^2+1}=n^2+1. \]
Por tanto,
\[ a_{n^2+1}\to+\infty. \]
Resolución
La sucesión de partida es
\[ a_n=n. \]
La subsucesión \((a_{n^2+1})\) se obtiene eligiendo los índices
\[ k_n=n^2+1. \]
Antes de estudiar su límite, comprobemos que estos índices definen efectivamente una subsucesión.
Para todo \(n\in\mathbb{N}\), se tiene \(n^2+1\in\mathbb{N}\). Además
\[ k_{n+1}-k_n=((n+1)^2+1)-(n^2+1). \]
Desarrollando,
\[ k_{n+1}-k_n=n^2+2n+1+1-n^2-1=2n+1. \]
Como
\[ 2n+1>0 \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\), se sigue que
\[ k_{n+1}>k_n. \]
Por tanto, \((k_n)\) es una sucesión estrictamente creciente de índices naturales.
Ahora calculamos la subsucesión. Como \(a_n=n\), sustituyendo \(n\) por \(n^2+1\) obtenemos
\[ a_{n^2+1}=n^2+1. \]
Debemos demostrar que
\[ n^2+1\to+\infty. \]
Usamos la definición de divergencia a \(+\infty\). Debemos probar que, para todo \(M\in\mathbb{R}\), existe \(N\in\mathbb{N}\) tal que, para todo \(n\ge N\),
\[ n^2+1>M. \]
Si \(M<0\), entonces para todo \(n\in\mathbb{N}\) se tiene
\[ n^2+1\ge 1>0>M. \]
Por tanto, en este caso la desigualdad se cumple para todos los índices.
Supongamos ahora \(M\ge 0\). Elegimos \(N\in\mathbb{N}\) tal que
\[ N>\sqrt{M}. \]
Entonces, para todo \(n\ge N\), se tiene
\[ n\ge N>\sqrt{M}. \]
Elevando al cuadrado, obtenemos
\[ n^2>M. \]
En consecuencia,
\[ n^2+1>M. \]
Hemos demostrado así que, para todo \(M\in\mathbb{R}\), los términos de la subsucesión acaban siendo mayores que \(M\).
En consecuencia,
\[ a_{n^2+1}\to+\infty. \]
Conceptualmente, la sucesión original \(a_n=n\) diverge a \(+\infty\). Una subsucesión puede saltarse algunos términos, pero no puede impedir que los índices tiendan a infinito; por tanto, la subsucesión también diverge a \(+\infty\).
Ejercicio 17 — nivel ★★★★☆
Consideremos la sucesión
\[ a_n=-n^2. \]
Demostrar que la subsucesión \((a_{2n+1})\) diverge a \(-\infty\).
Resultado
Se tiene
\[ a_{2n+1}=-(2n+1)^2. \]
Por tanto,
\[ a_{2n+1}\to-\infty. \]
Resolución
La sucesión de partida es
\[ a_n=-n^2. \]
La subsucesión \((a_{2n+1})\) se obtiene eligiendo los índices impares:
\[ k_n=2n+1. \]
Los índices \(2n+1\) son naturales y estrictamente crecientes. En efecto,
\[ k_{n+1}=2(n+1)+1=2n+3, \]
y, por tanto,
\[ k_n=2n+1<2n+3=k_{n+1}. \]
Así pues, \((a_{2n+1})\) es efectivamente una subsucesión de \((a_n)\).
Ahora la calculamos explícitamente. Sustituyendo \(n\) por \(2n+1\) en la fórmula \(a_n=-n^2\), obtenemos
\[ a_{2n+1}=-(2n+1)^2. \]
Desarrollando el cuadrado,
\[ (2n+1)^2=4n^2+4n+1. \]
Por tanto,
\[ a_{2n+1}=-(4n^2+4n+1)=-4n^2-4n-1. \]
Esta expresión se hace arbitrariamente grande en valor negativo a medida que \(n\) crece. Demostrémoslo usando la definición de divergencia a \(-\infty\).
Debemos probar que, para todo \(m\in\mathbb{R}\), existe \(N\in\mathbb{N}\) tal que, para todo \(n\ge N\),
\[ a_{2n+1}<m. \]
Como
\[ a_{2n+1}=-(2n+1)^2, \]
distinguimos dos casos.
Si \(m>0\), entonces para todo \(n\in\mathbb{N}\) se tiene
\[ -(2n+1)^2<0<m. \]
Por tanto, la desigualdad se cumple para todos los índices.
Supongamos ahora \(m\le 0\). Elegimos \(N\in\mathbb{N}\) tal que
\[ 2N+1>\sqrt{-m}. \]
Entonces, para todo \(n\ge N\),
\[ 2n+1\ge 2N+1>\sqrt{-m}. \]
Elevando al cuadrado, obtenemos
\[ (2n+1)^2>-m. \]
Multiplicando ambos miembros por \(-1\), la desigualdad se invierte:
\[ -(2n+1)^2<m. \]
Es decir,
\[ a_{2n+1}<m. \]
Hemos demostrado así que
\[ a_{2n+1}\to-\infty. \]
El resultado concuerda con el teorema general: como \(a_n=-n^2\to-\infty\), toda subsucesión suya diverge a \(-\infty\).
Ejercicio 18 — nivel ★★★★☆
Consideremos la sucesión
\[ a_n=\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right). \]
Usar dos subsucesiones para demostrar que \((a_n)\) no converge.
Resultado
La sucesión \((a_n)\) no converge, porque
\[ a_{4n+1}\to 1 \qquad\text{y}\qquad a_{4n+3}\to -1. \]
Resolución
Estudiemos algunos términos de la sucesión:
\[ a_0=\sin 0=0, \]
\[ a_1=\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=1, \]
\[ a_2=\sin(\pi)=0, \]
\[ a_3=\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right)=-1, \]
\[ a_4=\sin(2\pi)=0. \]
Se observa entonces que la sucesión toma cíclicamente los valores
\[ 0,\ 1,\ 0,\ -1,\ 0,\ 1,\ 0,\ -1,\dots. \]
Para demostrar que la sucesión no converge, buscamos dos subsucesiones convergentes a límites distintos.
Consideremos los índices
\[ k_n=4n+1. \]
Son estrictamente crecientes, porque
\[ k_{n+1}=4(n+1)+1=4n+5 \]
y, por tanto,
\[ 4n+1<4n+5. \]
La subsucesión correspondiente es
\[ a_{4n+1} = \sin\left(\frac{(4n+1)\pi}{2}\right). \]
Como
\[ \frac{(4n+1)\pi}{2}=2n\pi+\frac{\pi}{2}, \]
obtenemos
\[ a_{4n+1} = \sin\left(2n\pi+\frac{\pi}{2}\right)=1. \]
Por tanto,
\[ a_{4n+1}\to 1. \]
Consideremos ahora los índices
\[ h_n=4n+3. \]
Estos también son estrictamente crecientes, porque
\[ h_{n+1}=4(n+1)+3=4n+7 \]
y, por tanto,
\[ 4n+3<4n+7. \]
La subsucesión correspondiente es
\[ a_{4n+3} = \sin\left(\frac{(4n+3)\pi}{2}\right). \]
Como
\[ \frac{(4n+3)\pi}{2}=2n\pi+\frac{3\pi}{2}, \]
obtenemos
\[ a_{4n+3} = \sin\left(2n\pi+\frac{3\pi}{2}\right)=-1. \]
Por tanto,
\[ a_{4n+3}\to -1. \]
Hemos encontrado dos subsucesiones de la misma sucesión tales que
\[ a_{4n+1}\to 1 \qquad\text{y}\qquad a_{4n+3}\to -1. \]
Como
\[ 1\ne -1, \]
la sucesión \((a_n)\) no converge.
Conceptualmente, la sucesión no se aproxima a un único valor final: en cambio, sigue repitiendo cíclicamente valores distintos.
Ejercicio 19 — nivel ★★★★☆
Consideremos la sucesión
\[ a_n=(-1)^n n. \]
Estudiar las subsucesiones de los índices pares e impares y deducir el comportamiento de la sucesión.
Resultado
Se tiene
\[ a_{2n}=2n\to+\infty \]
y
\[ a_{2n+1}=-(2n+1)\to-\infty. \]
Por tanto, la sucesión no tiene límite, ni finito ni infinito.
Resolución
La sucesión es
\[ a_n=(-1)^n n. \]
El factor \((-1)^n\) cambia de signo según la paridad de \(n\), mientras que el factor \(n\) crece indefinidamente.
Estudiemos primero los índices pares:
\[ k_n=2n. \]
La subsucesión correspondiente es
\[ a_{2n}=(-1)^{2n}\cdot 2n. \]
Como
\[ (-1)^{2n}=1, \]
obtenemos
\[ a_{2n}=2n. \]
Por tanto,
\[ a_{2n}\to+\infty. \]
Estudiemos ahora los índices impares:
\[ h_n=2n+1. \]
La subsucesión correspondiente es
\[ a_{2n+1}=(-1)^{2n+1}(2n+1). \]
Como
\[ (-1)^{2n+1}=-1, \]
obtenemos
\[ a_{2n+1}=-(2n+1). \]
Por tanto,
\[ a_{2n+1}\to-\infty. \]
Llegados a este punto, podemos deducir el comportamiento de la sucesión original.
La sucesión \((a_n)\) no converge a un límite real, porque posee una subsucesión que diverge a \(+\infty\) y otra que diverge a \(-\infty\).
Además, \((a_n)\) no diverge a \(+\infty\). En efecto, si \(a_n\to+\infty\), entonces toda subsucesión suya debería divergir a \(+\infty\). Pero la subsucesión \((a_{2n+1})\) diverge a \(-\infty\).
Análogamente, \((a_n)\) no diverge a \(-\infty\). En efecto, si \(a_n\to-\infty\), entonces toda subsucesión suya debería divergir a \(-\infty\). Pero la subsucesión \((a_{2n})\) diverge a \(+\infty\).
En consecuencia, la sucesión \((a_n)\) no tiene límite, ni finito ni infinito.
El punto conceptual es que los términos no solo oscilan de signo, sino que se alejan cada vez más: los de índice par crecen hacia \(+\infty\), mientras que los de índice impar descienden hacia \(-\infty\).
Ejercicio 20 — nivel ★★★★★
Sea \((a_n)\) una sucesión real convergente a un número real \(\ell\). Sea \((a_{k_n})\) una subsucesión suya. Demostrar directamente, usando la definición de límite, que
\[ a_{k_n}\to \ell. \]
Resultado
Toda subsucesión de una sucesión convergente converge al mismo límite que la sucesión original. Por tanto,
\[ a_{k_n}\to \ell. \]
Resolución
Sabemos que la sucesión \((a_n)\) converge a \(\ell\). Esto significa que
\[ a_n\to \ell. \]
Por definición de límite, para todo \(\varepsilon>0\) existe \(N\in\mathbb{N}\) tal que, para todo índice \(m\ge N\), se tiene
\[ |a_m-\ell|<\varepsilon. \]
Usamos la letra \(m\) para designar un índice genérico de la sucesión original, evitando así confundirlo con el índice \(n\) de la subsucesión.
Consideremos ahora una subsucesión cualquiera \((a_{k_n})\). Por definición de subsucesión, \((k_n)\) es una sucesión estrictamente creciente de índices naturales.
Por la propiedad fundamental de los índices de una subsucesión sabemos que
\[ k_n\ge n \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\).
Tomemos ahora \(n\ge N\). Entonces, usando \(k_n\ge n\), obtenemos
\[ k_n\ge n\ge N. \]
Por tanto, el índice \(k_n\) es lo bastante grande como para poder aplicar la definición de límite de la sucesión original.
En efecto, como la definición de límite nos dice que
\[ |a_m-\ell|<\varepsilon \]
para todo \(m\ge N\), podemos elegir en particular
\[ m=k_n. \]
Como \(k_n\ge N\), obtenemos
\[ |a_{k_n}-\ell|<\varepsilon. \]
Hemos demostrado así que, para todo \(\varepsilon>0\), existe \(N\in\mathbb{N}\) tal que, para todo \(n\ge N\), se cumple
\[ |a_{k_n}-\ell|<\varepsilon. \]
Esta es precisamente la definición de convergencia de la subsucesión \((a_{k_n})\) al límite \(\ell\).
En consecuencia,
\[ a_{k_n}\to \ell. \]
El punto conceptual decisivo es este: una subsucesión puede saltarse algunos términos, pero sus índices \(k_n\) crecen igualmente hacia infinito. Por tanto, cuando la sucesión original está, a partir de cierto término, próxima a \(\ell\), también la subsucesión lo está.