Límites de Funciones: Definición, Propiedades y Cálculo

Qué es el límite de una función

El límite de una función describe el comportamiento de los valores \(f(x)\) cuando la variable \(x\) se aproxima a un cierto valor, o cuando \(x\) toma valores cada vez mayores en valor absoluto.

Por ejemplo, escribir

\[ \lim_{x \to x_0} f(x)=L \]

significa que, a medida que \(x\) se aproxima a \(x_0\), los valores de la función \(f(x)\) se aproximan al número real \(L\).

Lo importante es que no se está estudiando necesariamente el valor de la función en el punto \(x_0\), sino su comportamiento en los puntos próximos a \(x_0\). Por esta razón, el límite puede existir aun cuando la función no esté definida en \(x_0\), o cuando \(f(x_0)\) exista pero sea distinto del límite.

En otras palabras, el límite concierne a lo que ocurre al aproximarse al punto, no a lo que ocurre exactamente en el punto. Esto es lo que distingue el concepto de límite del simple cálculo del valor \(f(x_0)\).

La misma idea se aplica cuando la variable no tiende a un número real, sino a infinito. Escribir

\[ \lim_{x \to +\infty} f(x)=L \]

significa que los valores \(f(x)\) se aproximan a \(L\) cuando \(x\) toma valores positivos cada vez mayores.

El concepto de límite permite, por tanto, estudiar el comportamiento local de una función cerca de un punto, así como su comportamiento global para valores muy grandes de la variable. De él dependen nociones fundamentales del análisis, como la continuidad, las asíntotas y el cálculo diferencial.

Puntos de acumulación y significado de \(x \to x_0\)

Antes de dar una definición rigurosa de límite, es preciso aclarar qué significa afirmar que \(x\) tiende a un punto \(x_0\).

Sea \(f:A\to\mathbb{R}\) una función real de variable real, definida en un conjunto \(A\subseteq\mathbb{R}\). Cuando escribimos

\[ x \to x_0 \]

no estamos diciendo que \(x\) sea igual a \(x_0\), sino que \(x\) toma valores del dominio \(A\) arbitrariamente próximos a \(x_0\) y distintos de \(x_0\).

Para que esta idea tenga sentido, el punto \(x_0\) debe ser un punto de acumulación del dominio de la función. Esto significa que en todo entorno de \(x_0\) existe al menos un punto de \(A\) distinto de \(x_0\).

De modo equivalente, \(x_0\) es un punto de acumulación de \(A\) si, para todo \(\delta >0\), existe al menos un punto \(x\in A\), con \(x\neq x_0\), tal que

\[ |x-x_0|<\delta. \]

La condición \(x\neq x_0\) es esencial: en el estudio del límite interesa el comportamiento de la función en los puntos próximos a \(x_0\), no necesariamente el valor de la función en el propio punto \(x_0\).

Por esta razón, \(x_0\) puede incluso no pertenecer al dominio \(A\). Sin embargo, si existen puntos de \(A\) arbitrariamente próximos a \(x_0\), entonces tiene sentido estudiar el límite de \(f(x)\) cuando \(x\to x_0\).

Por el contrario, si \(x_0\) es un punto aislado del dominio, no existen puntos del dominio arbitrariamente próximos a \(x_0\) y distintos de él. En tal caso, el límite cuando \(x\to x_0\) no describe un comportamiento de aproximación real de la función.

En síntesis, la expresión \(x\to x_0\) debe interpretarse siempre respecto al dominio de la función: la variable \(x\) se aproxima a \(x_0\) tomando valores para los cuales \(f(x)\) está definida.

Límite finito cuando \(x\) tiende a un punto finito

Consideremos una función \(f:A\to\mathbb{R}\), con \(A\subseteq\mathbb{R}\), y sea \(x_0\in\mathbb{R}\) un punto de acumulación de \(A\).

Decir que \(f(x)\) tiende al número real \(L\) cuando \(x\) tiende a \(x_0\) significa que los valores \(f(x)\) pueden hacerse arbitrariamente próximos a \(L\), siempre que \(x\) esté suficientemente próximo a \(x_0\), con \(x\neq x_0\).

En símbolos, se escribe:

\[ \lim_{x\to x_0} f(x)=L. \]

La definición rigurosa es la siguiente:

\[ \lim_{x\to x_0} f(x)=L \]

si y solo si, para todo \(\varepsilon >0\), existe un \(\delta >0\) tal que, para todo \(x\in A\),

\[ 0<|x-x_0|<\delta \implies |f(x)-L|<\varepsilon. \]

El número \(\varepsilon\) mide la proximidad que exigimos entre \(f(x)\) y \(L\). La definición requiere que esta proximidad pueda lograrse para cualquier elección de \(\varepsilon >0\), por pequeña que sea.

El número \(\delta\), en cambio, mide cuán cerca debe estar \(x\) de \(x_0\) para que \(f(x)\) resulte próximo a \(L\). En general, \(\delta\) puede depender de \(\varepsilon\): cuanto menor sea la tolerancia exigida sobre los valores de \(f(x)\), más puede ser necesario estrechar el entorno de \(x_0\).

La condición

\[ 0<|x-x_0|<\delta \]

indica que \(x\) pertenece a un entorno de \(x_0\), pero es distinto de \(x_0\). Por esta razón, el valor \(f(x_0)\), si existe, no interviene en la definición de límite.

En consecuencia, el límite puede existir aunque la función no esté definida en \(x_0\). Puede ocurrir además que \(f(x_0)\) esté definido, pero sea distinto del límite. En ambos casos, el límite describe el comportamiento de la función en los puntos próximos a \(x_0\), no necesariamente el valor que toma en el propio punto \(x_0\).

Consideremos, por ejemplo, la función

\[ f(x)=\frac{x^2-1}{x-1} \]

que no está definida para \(x=1\). Sin embargo, para \(x\neq 1\), podemos simplificar:

\[ \frac{x^2-1}{x-1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1. \]

Por tanto, cuando \(x\) se aproxima a \(1\), los valores de la función se aproximan a \(2\). Escribimos, pues:

\[ \lim_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1}=2. \]

Este ejemplo muestra por qué, en el estudio de los límites, es fundamental distinguir el comportamiento de la función cerca de un punto del valor que la función toma en ese mismo punto.

Límite infinito cuando \(x\) tiende a un punto finito

Consideremos una función \(f:A\to\mathbb{R}\), con \(A\subseteq\mathbb{R}\), y sea \(x_0\in\mathbb{R}\) un punto de acumulación de \(A\).

Puede ocurrir que, cuando \(x\) se aproxima a \(x_0\), los valores \(f(x)\) no se aproximen a un número real, sino que se hagan cada vez mayores en valor absoluto. En este caso se habla de límite infinito.

Escribir

\[ \lim_{x\to x_0} f(x)=+\infty \]

significa que los valores de la función superan cualquier número positivo prefijado, siempre que \(x\) esté suficientemente próximo a \(x_0\), con \(x\neq x_0\).

La definición rigurosa es la siguiente:

\[ \lim_{x\to x_0} f(x)=+\infty \]

si y solo si, para todo \(M>0\), existe un \(\delta>0\) tal que, para todo \(x\in A\),

\[ 0<|x-x_0|<\delta \implies f(x)>M. \]

De manera análoga, escribir

\[ \lim_{x\to x_0} f(x)=-\infty \]

significa que los valores de la función son menores que cualquier número negativo, por grande que sea en valor absoluto, siempre que \(x\) esté suficientemente próximo a \(x_0\), con \(x\neq x_0\).

Formalmente:

\[ \lim_{x\to x_0} f(x)=-\infty \]

si y solo si, para todo \(M>0\), existe un \(\delta>0\) tal que, para todo \(x\in A\),

\[ 0<|x-x_0|<\delta \implies f(x)<-M. \]

Es importante observar que \(+\infty\) y \(-\infty\) no son números reales. Decir que una función tiende a \(+\infty\) o a \(-\infty\) no significa, por tanto, que la función se aproxime a un valor numérico, sino que sus valores crecen o decrecen sin límite.

Consideremos, por ejemplo, la función

\[ f(x)=\frac{1}{(x-1)^2}. \]

No está definida para \(x=1\). Sin embargo, cuando \(x\) se aproxima a \(1\), el denominador \((x-1)^2\) se hace positivo y cada vez más próximo a \(0\). En consecuencia, el cociente se vuelve positivo y arbitrariamente grande.

Por tanto:

\[ \lim_{x\to 1}\frac{1}{(x-1)^2}=+\infty. \]

Análogamente, para la función

\[ g(x)=-\frac{1}{(x-1)^2} \]

se tiene:

\[ \lim_{x\to 1}\left(-\frac{1}{(x-1)^2}\right)=-\infty. \]

Los límites infinitos están estrechamente relacionados con las asíntotas verticales. Si una función tiende a \(+\infty\) o a \(-\infty\) cuando \(x\) tiende a \(x_0\), entonces la recta vertical \(x=x_0\) es una asíntota vertical del gráfico de la función.

Límite finito cuando \(x\) tiende a infinito

Hasta ahora hemos considerado el comportamiento de una función cuando \(x\) se aproxima a un punto finito \(x_0\). Sin embargo, podemos estudiar también lo que ocurre cuando \(x\) toma valores cada vez mayores, o cada vez menores.

Consideremos una función \(f:A\to\mathbb{R}\), con \(A\subseteq\mathbb{R}\). Para estudiar el límite cuando \(x\to+\infty\), es necesario que el dominio \(A\) contenga valores arbitrariamente grandes. En otras palabras, para todo número real \(R\) debe existir al menos un \(x\in A\) tal que \(x>R\).

Escribir

\[ \lim_{x\to+\infty} f(x)=L \]

significa que los valores \(f(x)\) se aproximan al número real \(L\) cuando \(x\) se hace cada vez mayor.

La definición rigurosa es la siguiente:

\[ \lim_{x\to+\infty} f(x)=L \]

si y solo si, para todo \(\varepsilon>0\), existe un número real \(R\) tal que, para todo \(x\in A\),

\[ x>R \implies |f(x)-L|<\varepsilon. \]

El significado es análogo al de la definición con \(\varepsilon\) y \(\delta\): el número \(\varepsilon\) fija la proximidad que exigimos entre \(f(x)\) y \(L\), mientras que el número \(R\) indica a partir de qué punto queda garantizada esa proximidad.

De modo similar, para estudiar el límite cuando \(x\to-\infty\), el dominio \(A\) debe contener valores arbitrariamente pequeños. Escribir

\[ \lim_{x\to-\infty} f(x)=L \]

significa que los valores \(f(x)\) se aproximan al número real \(L\) cuando \(x\) se hace cada vez más pequeño.

Formalmente:

\[ \lim_{x\to-\infty} f(x)=L \]

si y solo si, para todo \(\varepsilon>0\), existe un número real \(R\) tal que, para todo \(x\in A\),

\[ x<R \implies |f(x)-L|<\varepsilon. \]

En esta definición, \(R\) se elige de modo que, para valores de \(x\) menores que \(R\), la función tome valores próximos a \(L\).

Consideremos, por ejemplo, la función

\[ f(x)=\frac{1}{x}. \]

Cuando \(x\) toma valores positivos cada vez mayores, el cociente \(\displaystyle \frac{1}{x}\) se hace cada vez más próximo a \(0\). Por tanto:

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}=0. \]

Lo mismo sucede cuando \(x\) toma valores negativos cada vez más pequeños: también en este caso el valor absoluto de \(\displaystyle \frac{1}{x}\) se hace cada vez más pequeño. Por tanto:

\[ \lim_{x\to-\infty}\frac{1}{x}=0. \]

Un límite finito cuando \(x\to+\infty\) o cuando \(x\to-\infty\) expresa, así, el hecho de que, al alejarnos indefinidamente a lo largo del eje real, la función se aproxima a un valor real determinado. Este comportamiento está en la base de la noción de asíntota horizontal.

Límite infinito cuando \(x\) tiende a infinito

Podemos considerar, por último, el caso en que la variable \(x\) tiende a infinito y, al mismo tiempo, los valores de la función también se hacen arbitrariamente grandes o arbitrariamente pequeños.

Consideremos una función \(f:A\to\mathbb{R}\), con \(A\subseteq\mathbb{R}\), y supongamos que el dominio \(A\) contiene valores arbitrariamente grandes.

Escribir

\[ \lim_{x\to+\infty} f(x)=+\infty \]

significa que los valores de la función superan cualquier número positivo prefijado, siempre que \(x\) sea suficientemente grande.

La definición rigurosa es la siguiente:

\[ \lim_{x\to+\infty} f(x)=+\infty \]

si y solo si, para todo \(M>0\), existe un número real \(R\) tal que, para todo \(x\in A\),

\[ x>R \implies f(x)>M. \]

De manera análoga, escribir

\[ \lim_{x\to+\infty} f(x)=-\infty \]

significa que los valores de la función son menores que cualquier número negativo, por grande que sea en valor absoluto, siempre que \(x\) sea suficientemente grande.

Formalmente:

\[ \lim_{x\to+\infty} f(x)=-\infty \]

si y solo si, para todo \(M>0\), existe un número real \(R\) tal que, para todo \(x\in A\),

\[ x>R \implies f(x)<-M. \]

Las definiciones para \(x\to-\infty\) son análogas. Si el dominio \(A\) contiene valores arbitrariamente pequeños, entonces

\[ \lim_{x\to-\infty} f(x)=+\infty \]

si y solo si, para todo \(M>0\), existe un número real \(R\) tal que, para todo \(x\in A\),

\[ x<R \implies f(x)>M. \]

De igual modo,

\[ \lim_{x\to-\infty} f(x)=-\infty \]

si y solo si, para todo \(M>0\), existe un número real \(R\) tal que, para todo \(x\in A\),

\[ x<R \implies f(x)<-M. \]

Por ejemplo, para la función \(f(x)=x^2\) se tiene:

\[ \lim_{x\to+\infty}x^2=+\infty \]

y también

\[ \lim_{x\to-\infty}x^2=+\infty. \]

En efecto, cuando \(x\) se hace cada vez mayor en valor absoluto, el cuadrado \(x^2\) se hace arbitrariamente grande.

Para la función \(g(x)=x^3\), en cambio, se tiene:

\[ \lim_{x\to+\infty}x^3=+\infty \]

mientras que

\[ \lim_{x\to-\infty}x^3=-\infty. \]

En este caso, el signo de los valores de la función depende del signo de \(x\), pues la potencia tiene exponente impar.

Los límites infinitos cuando \(x\to+\infty\) o cuando \(x\to-\infty\) describen, así, funciones que no se aproximan a un valor real finito, sino que crecen o decrecen sin límite a lo largo de una dirección del eje real.

Límite por la derecha y límite por la izquierda

Al estudiar el límite de una función cuando \(x\to x_0\), la variable \(x\) puede aproximarse a \(x_0\) desde dos direcciones distintas: por la derecha o por la izquierda.

Decir que \(x\) tiende a \(x_0\) por la derecha significa que \(x\) se aproxima a \(x_0\) tomando valores mayores que \(x_0\). En símbolos se escribe:

\[ x\to x_0^+. \]

Decir, en cambio, que \(x\) tiende a \(x_0\) por la izquierda significa que \(x\) se aproxima a \(x_0\) tomando valores menores que \(x_0\). En símbolos se escribe:

\[ x\to x_0^-. \]

Consideremos una función \(f:A\to\mathbb{R}\), con \(A\subseteq\mathbb{R}\). Para estudiar el límite por la derecha en \(x_0\), es necesario que existan puntos del dominio \(A\) arbitrariamente próximos a \(x_0\) y mayores que \(x_0\).

Escribir

\[ \lim_{x\to x_0^+} f(x)=L \]

significa que los valores \(f(x)\) se aproximan a \(L\) cuando \(x\) se aproxima a \(x_0\) tomando valores mayores que \(x_0\).

Formalmente:

\[ \lim_{x\to x_0^+} f(x)=L \]

si y solo si, para todo \(\varepsilon>0\), existe un \(\delta>0\) tal que, para todo \(x\in A\),

\[ 0<x-x_0<\delta \implies |f(x)-L|<\varepsilon. \]

De manera análoga, para estudiar el límite por la izquierda en \(x_0\), es necesario que existan puntos del dominio \(A\) arbitrariamente próximos a \(x_0\) y menores que \(x_0\).

Escribir

\[ \lim_{x\to x_0^-} f(x)=L \]

significa que los valores \(f(x)\) se aproximan a \(L\) cuando \(x\) se aproxima a \(x_0\) tomando valores menores que \(x_0\).

Formalmente:

\[ \lim_{x\to x_0^-} f(x)=L \]

si y solo si, para todo \(\varepsilon>0\), existe un \(\delta>0\) tal que, para todo \(x\in A\),

\[ 0<x_0-x<\delta \implies |f(x)-L|<\varepsilon. \]

Las condiciones \(0<x-x_0<\delta\) y \(0<x_0-x<\delta\) indican, respectivamente, que \(x\) pertenece a un entorno por la derecha o por la izquierda de \(x_0\), excluyendo el propio punto \(x_0\).

Cuando \(x_0\) es punto de acumulación del dominio tanto por la izquierda como por la derecha, el límite cuando \(x\to x_0\) existe si y solo si existen el límite por la derecha y el límite por la izquierda, y ambos son iguales. En tal caso, su valor común es el límite de la función en \(x_0\).

En símbolos:

\[ \lim_{x\to x_0} f(x)=L \]

si y solo si

\[ \lim_{x\to x_0^-} f(x)=L \qquad\text{y}\qquad \lim_{x\to x_0^+} f(x)=L. \]

Si, en cambio, el límite por la derecha y el límite por la izquierda existen pero son distintos, entonces el límite de la función cuando \(x\to x_0\) no existe.

Consideremos, por ejemplo, la función

\[ f(x)=\frac{|x|}{x}. \]

Para \(x>0\) se tiene \(|x|=x\), luego \(f(x)=1\). Para \(x<0\), en cambio, se tiene \(|x|=-x\), luego \(f(x)=-1\). Por tanto:

\[ \lim_{x\to 0^+}\frac{|x|}{x}=1 \]

mientras que

\[ \lim_{x\to 0^-}\frac{|x|}{x}=-1. \]

Puesto que el límite por la derecha y el límite por la izquierda son distintos, el límite

\[ \lim_{x\to 0}\frac{|x|}{x} \]

no existe.

Unicidad del límite

Una función no puede tener dos límites distintos en el mismo punto, o para el mismo modo de convergencia. Este hecho queda expresado por el siguiente teorema.

Teorema (unicidad del límite). Sea \(f:A\to\mathbb{R}\), con \(A\subseteq\mathbb{R}\), y sea \(x_0\) un punto de acumulación de \(A\). Si existen los límites

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=L \qquad\text{y}\qquad \lim_{x\to x_0}f(x)=M, \]

entonces necesariamente

\[ L=M. \]

Demostración. Supongamos, por reducción al absurdo, que \(L\neq M\). Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que \(L<M\).

Elijamos

\[ \varepsilon=\frac{M-L}{2}. \]

Puesto que

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=L, \]

existe \(\delta_1>0\) tal que

\[ 0<|x-x_0|<\delta_1 \implies |f(x)-L|<\varepsilon. \]

Análogamente, puesto que

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=M, \]

existe \(\delta_2>0\) tal que

\[ 0<|x-x_0|<\delta_2 \implies |f(x)-M|<\varepsilon. \]

Sea

\[ \delta=\min\{\delta_1,\delta_2\}. \]

Como \(x_0\) es un punto de acumulación de \(A\), existe al menos un \(x\in A\) tal que

\[ 0<|x-x_0|<\delta. \]

Para tal \(x\), se cumplen simultáneamente ambas desigualdades:

\[ |f(x)-L|<\varepsilon \qquad\text{y}\qquad |f(x)-M|<\varepsilon. \]

De la primera se sigue

\[ L-\varepsilon<f(x)<L+\varepsilon, \]

mientras que de la segunda obtenemos

\[ M-\varepsilon<f(x)<M+\varepsilon. \]

Sustituyendo \(\varepsilon=\displaystyle\frac{M-L}{2}\), resulta

\[ L+\varepsilon = L+\frac{M-L}{2} = \frac{L+M}{2}, \]

y análogamente

\[ M-\varepsilon = M-\frac{M-L}{2} = \frac{L+M}{2}. \]

En consecuencia,

\[ f(x)<\frac{L+M}{2} \qquad\text{y}\qquad f(x)>\frac{L+M}{2}, \]

lo cual es imposible.

La hipótesis \(L\neq M\) conduce, pues, a una contradicción. Se sigue que necesariamente

\[ L=M. \]

Observación

El teorema garantiza que, cuando un límite existe, es único. Si, en cambio, el límite por la derecha y el límite por la izquierda son distintos, el límite no existe, como se vio en el apartado anterior.

Teorema de la permanencia del signo

El teorema de la permanencia del signo afirma que, si una función tiende a un límite positivo, entonces es positiva en un entorno suficientemente pequeño del punto considerado. Análogamente, si tiende a un límite negativo, entonces es negativa en un entorno suficientemente pequeño.

Este resultado es importante porque permite trasladar, al menos localmente, el signo del límite a los valores de la función.

Teorema. Sea \(f:A\to\mathbb{R}\) una función y sea \(x_0\) un punto de acumulación de \(A\). Supongamos que

\[ \lim_{x\to x_0} f(x)=L. \]

Si \(L>0\), entonces existe un \(\delta>0\) tal que, para todo \(x\in A\),

\[ 0<|x-x_0|<\delta \implies f(x)>0. \]

Si, en cambio, \(L<0\), entonces existe un \(\delta>0\) tal que, para todo \(x\in A\),

\[ 0<|x-x_0|<\delta \implies f(x)<0. \]

Demostración en el caso \(L>0\)

Supongamos que \(L>0\). Puesto que

\[ \lim_{x\to x_0} f(x)=L, \]

podemos aplicar la definición de límite eligiendo

\[ \varepsilon=\frac{L}{2}. \]

Puesto que \(L>0\), se tiene \(\varepsilon>0\). Existe, pues, un \(\delta>0\) tal que, para todo \(x\in A\),

\[ 0<|x-x_0|<\delta \implies |f(x)-L|<\frac{L}{2}. \]

De la desigualdad

\[ |f(x)-L|<\frac{L}{2} \]

se sigue, en particular,

\[ -\frac{L}{2}<f(x)-L<\frac{L}{2}. \]

Sumando \(L\) a los tres miembros, obtenemos

\[ \frac{L}{2}<f(x)<\frac{3L}{2}. \]

En particular, puesto que \(L>0\), resulta

\[ f(x)>0. \]

Así pues, \(f(x)\) es positiva en todos los puntos del dominio suficientemente próximos a \(x_0\), con la posible excepción del propio \(x_0\).

Caso \(L<0\)

El caso \(L<0\) se demuestra de forma análoga. Se elige

\[ \varepsilon=-\frac{L}{2}, \]

que es positivo porque \(L<0\). A partir de la definición de límite se obtiene, para \(x\) suficientemente próximo a \(x_0\),

\[ |f(x)-L|<-\frac{L}{2}. \]

Esta desigualdad implica que \(f(x)\) permanece próximo al número negativo \(L\). Más precisamente, se obtiene

\[ \frac{3L}{2}<f(x)<\frac{L}{2}. \]

Puesto que \(L<0\), también \(\frac{L}{2}\) es negativo. En consecuencia,

\[ f(x)<0. \]

Observaciones

El teorema no afirma que la función tenga el mismo signo que el límite en todo su dominio, sino solamente en un entorno suficientemente pequeño del punto hacia el cual tiende la variable.

Además, si el límite es igual a cero, no puede deducirse ninguna permanencia del signo. Una función puede tender a \(0\) tomando valores positivos, valores negativos, o valores de signo alterno.

Las mismas ideas son válidas también para los límites cuando \(x\to+\infty\) y cuando \(x\to-\infty\): si el límite es positivo, la función es positiva a partir de cierto punto; si el límite es negativo, la función es negativa a partir de cierto punto.

Teorema de compresión

El teorema de compresión, también llamado teorema de compresión o del emparedado, permite determinar el límite de una función comparándola con otras dos funciones cuyo límite ya se conoce.

La idea es sencilla: si una función \(g(x)\) está comprendida entre dos funciones \(f(x)\) y \(h(x)\), y si \(f(x)\) y \(h(x)\) tienden al mismo límite \(L\), entonces \(g(x)\) también debe tender a \(L\).

Teorema. Sean \(f,g,h:A\to\mathbb{R}\) tres funciones y sea \(x_0\) un punto de acumulación de \(A\). Supongamos que existe un entorno reducido de \(x_0\) en el que se cumple

\[ f(x)\leq g(x)\leq h(x). \]

Supongamos además que

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=L \qquad\text{y}\qquad \lim_{x\to x_0}h(x)=L. \]

Entonces también existe el límite de \(g(x)\) cuando \(x\to x_0\), y se cumple

\[ \lim_{x\to x_0}g(x)=L. \]

Demostración. Fijemos un número \(\varepsilon>0\). Puesto que

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=L, \]

existe un número \(\delta_1>0\) tal que, para todo \(x\in A\),

\[ 0<|x-x_0|<\delta_1 \implies |f(x)-L|<\varepsilon. \]

De esta desigualdad se sigue, en particular,

\[ L-\varepsilon<f(x)<L+\varepsilon. \]

Puesto que

\[ \lim_{x\to x_0}h(x)=L, \]

existe un número \(\delta_2>0\) tal que, para todo \(x\in A\),

\[ 0<|x-x_0|<\delta_2 \implies |h(x)-L|<\varepsilon. \]

De esta desigualdad se sigue, en particular,

\[ L-\varepsilon<h(x)<L+\varepsilon. \]

Por hipótesis, existe además un número \(\delta_0>0\) tal que, para todo \(x\in A\),

\[ 0<|x-x_0|<\delta_0 \implies f(x)\leq g(x)\leq h(x). \]

Sea

\[ \delta=\min\{\delta_0,\delta_1,\delta_2\}. \]

Si \(x\in A\) y \(0<|x-x_0|<\delta\), entonces se cumplen simultáneamente

\[ L-\varepsilon<f(x), \qquad f(x)\leq g(x)\leq h(x), \qquad h(x)<L+\varepsilon. \]

En consecuencia,

\[ L-\varepsilon<g(x)<L+\varepsilon. \]

Esto equivale a decir que

\[ |g(x)-L|<\varepsilon. \]

Hemos demostrado, pues, que para todo \(\varepsilon>0\) existe un \(\delta>0\) tal que

\[ 0<|x-x_0|<\delta \implies |g(x)-L|<\varepsilon. \]

Por definición de límite, se sigue que

\[ \lim_{x\to x_0}g(x)=L. \]

Ejemplo. Consideremos el límite

\[ \lim_{x\to 0}x^2\sin\frac{1}{x}. \]

La función \(\displaystyle \sin\frac{1}{x}\) no admite límite cuando \(x\to 0\), pues oscila indefinidamente. Sin embargo, sabemos que, para todo \(x\neq 0\),

\[ -1\leq \sin\frac{1}{x}\leq 1. \]

Multiplicando todos los miembros por \(x^2\), que es no negativo, obtenemos

\[ -x^2\leq x^2\sin\frac{1}{x}\leq x^2. \]

Puesto que

\[ \lim_{x\to 0}(-x^2)=0 \qquad\text{y}\qquad \lim_{x\to 0}x^2=0, \]

por el teorema de compresión se concluye que

\[ \lim_{x\to 0}x^2\sin\frac{1}{x}=0. \]

Comparación con límites infinitos

El teorema de compresión también tiene versiones útiles para los límites infinitos.

Si, en un entorno reducido de \(x_0\), se cumple

\[ f(x)\leq g(x) \]

y

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty, \]

entonces

\[ \lim_{x\to x_0}g(x)=+\infty. \]

En efecto, si \(f(x)\) supera cualquier número \(M>0\), entonces \(g(x)\), al ser mayor o igual que \(f(x)\), también supera \(M\).

Análogamente, si, en un entorno reducido de \(x_0\), se cumple

\[ g(x)\leq h(x) \]

y

\[ \lim_{x\to x_0}h(x)=-\infty, \]

entonces

\[ \lim_{x\to x_0}g(x)=-\infty. \]

Estas versiones expresan el mismo principio: una función obligada, localmente, a permanecer por encima de una cantidad que tiende a \(+\infty\) tiende también a \(+\infty\); una función obligada a permanecer por debajo de una cantidad que tiende a \(-\infty\) tiende también a \(-\infty\).

Observaciones

La comparación debe cumplirse en un entorno del punto considerado, excluido eventualmente el propio punto. No es necesario que las desigualdades sean válidas en todo el dominio de la función.

El teorema de compresión resulta especialmente útil cuando la función cuyo límite se desea calcular contiene un factor oscilante pero acotado, como ocurre con las funciones seno y coseno.

Operaciones con límites

Las operaciones con límites permiten calcular el límite de funciones obtenidas mediante sumas, productos, cocientes y potencias, a partir de límites ya conocidos.

Consideremos dos funciones \(f,g:A\to\mathbb{R}\), con \(A\subseteq\mathbb{R}\), y sea \(x_0\) un punto de acumulación de \(A\). Supongamos que existen dos límites finitos:

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=L \qquad\text{y}\qquad \lim_{x\to x_0}g(x)=M. \]

Entonces se cumplen las siguientes propiedades.

Límite de la suma

El límite de la suma es igual a la suma de los límites:

\[ \lim_{x\to x_0}\bigl(f(x)+g(x)\bigr)=L+M. \]

De manera análoga,

\[ \lim_{x\to x_0}\bigl(f(x)-g(x)\bigr)=L-M. \]

Límite del producto

El límite del producto es igual al producto de los límites:

\[ \lim_{x\to x_0}\bigl(f(x)g(x)\bigr)=LM. \]

En particular, si \(c\in\mathbb{R}\), entonces

\[ \lim_{x\to x_0}cf(x)=cL. \]

Límite del cociente

Si \(M\neq 0\), entonces el límite del cociente es igual al cociente de los límites:

\[ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{L}{M}. \]

La condición \(M\neq 0\) es esencial. En efecto, si el límite del denominador es distinto de cero, por el teorema de la permanencia del signo la función \(g(x)\) es distinta de cero en un entorno reducido de \(x_0\). En dicho entorno, el cociente está, por tanto, bien definido.

Límite de la potencia

Si \(n\in\mathbb{N}\), entonces

\[ \lim_{x\to x_0}\bigl(f(x)\bigr)^n=L^n. \]

Esta propiedad se deduce del límite del producto, aplicado repetidamente.

Límite de la raíz

Para las raíces conviene prestar atención al dominio. Si \(\sqrt[n]{f(x)}\) está definida en un entorno reducido de \(x_0\), entonces, en los casos en que la raíz real está bien definida, se cumple

\[ \lim_{x\to x_0}\sqrt[n]{f(x)}=\sqrt[n]{L}. \]

En particular, para raíces de índice par es necesario que los valores considerados sean no negativos y que el límite \(L\) sea también no negativo.

Ejemplos

Calculemos el límite

\[ \lim_{x\to 2}(3x^2-5x+1). \]

Puesto que las funciones potencia, suma y producto respetan las reglas anteriores, podemos sustituir directamente \(x=2\):

\[ \lim_{x\to 2}(3x^2-5x+1) = 3\cdot 2^2-5\cdot 2+1 = 12-10+1 = 3. \]

Consideremos ahora el límite

\[ \lim_{x\to 1}\frac{x^2+1}{x+2}. \]

El límite del denominador es \(3\), luego es distinto de cero. Podemos aplicar, por tanto, la regla del cociente:

\[ \lim_{x\to 1}\frac{x^2+1}{x+2} = \frac{1^2+1}{1+2} = \frac{2}{3}. \]

Cuando las reglas no bastan

Las reglas anteriores son válidas directamente cuando las operaciones entre los límites producen un resultado determinado. No pueden, en cambio, aplicarse de forma mecánica cuando aparecen expresiones carentes de significado determinado.

Por ejemplo, si

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=0 \qquad\text{y}\qquad \lim_{x\to x_0}g(x)=0, \]

no podemos concluir que

\[ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)} \]

tenga un valor determinado. La expresión

\[ \frac{0}{0} \]

no representa un resultado, sino una forma indeterminada.

En tales casos es necesario transformar la expresión, simplificarla o aplicar herramientas más específicas. Las principales formas indeterminadas se estudiarán en el apartado siguiente.

Las mismas propiedades son válidas, con las modificaciones oportunas, también para los límites cuando \(x\to+\infty\), cuando \(x\to-\infty\), para el límite por la derecha y para el límite por la izquierda.

Formas indeterminadas

En el cálculo de límites puede ocurrir que la aplicación directa de las reglas sobre operaciones no permita determinar el resultado. En estos casos se habla de formas indeterminadas.

Una forma indeterminada no es un número ni un resultado. Es una situación en la que la información sobre los límites individuales no basta para establecer el límite de la expresión considerada.

Por ejemplo, si

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=0 \qquad\text{y}\qquad \lim_{x\to x_0}g(x)=0, \]

no podemos deducir directamente el límite del cociente

\[ \frac{f(x)}{g(x)}. \]

En efecto, según las funciones involucradas, el límite puede ser un número real, puede ser infinito o puede no existir.

La forma indeterminada \(0/0\)

La forma

\[ \frac{0}{0} \]

se presenta cuando el numerador y el denominador tienden ambos a cero.

Por ejemplo:

\[ \lim_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1}. \]

Sustituyendo formalmente \(x=1\), se obtiene la forma \(0/0\). Sin embargo, para \(x\neq 1\), podemos simplificar:

\[ \frac{x^2-1}{x-1} = \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x+1. \]

Por tanto:

\[ \lim_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1} = \lim_{x\to 1}(x+1) = 2. \]

Esto muestra que la forma \(0/0\) no indica que el límite sea igual a cero, sino que es necesario transformar la expresión.

La forma indeterminada \(\infty/\infty\)

La forma

\[ \frac{\infty}{\infty} \]

se presenta cuando el numerador y el denominador se hacen ambos arbitrariamente grandes en valor absoluto.

Por ejemplo:

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{3x^2+1}{x^2-5}. \]

El numerador y el denominador tienden ambos a \(+\infty\). Para calcular el límite, podemos dividir el numerador y el denominador entre \(x^2\):

\[ \frac{3x^2+1}{x^2-5} = \frac{3+\displaystyle\frac{1}{x^2}}{1-\displaystyle\frac{5}{x^2}}. \]

Puesto que \(\displaystyle\frac{1}{x^2}\to 0\) y \(\displaystyle\frac{5}{x^2}\to 0\) cuando \(x\to+\infty\), obtenemos:

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{3x^2+1}{x^2-5}=3. \]

También en este caso la escritura \(\infty/\infty\) no representa un resultado por sí misma: solo indica que la expresión requiere un análisis más detenido.

La forma indeterminada \(\infty-\infty\)

La forma

\[ \infty-\infty \]

aparece cuando se restan entre sí dos cantidades divergentes. El resultado depende de la rapidez con que crecen ambas cantidades.

Por ejemplo:

\[ \lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+x}-x\right). \]

Ambos términos tienden a \(+\infty\), por lo que se presenta una forma \(\infty-\infty\). Para resolverla, racionalizamos:

\[ \sqrt{x^2+x}-x = \frac{(\sqrt{x^2+x}-x)(\sqrt{x^2+x}+x)}{\sqrt{x^2+x}+x} = \frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}. \]

Cuando \(x\to+\infty\), podemos dividir el numerador y el denominador entre \(x\):

\[ \frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x} = \frac{1}{\sqrt{1+\displaystyle\frac{1}{x}}+1}. \]

Por tanto:

\[ \lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+x}-x\right) = \frac{1}{2}. \]

La forma indeterminada \(0\cdot\infty\)

La forma

\[ 0\cdot\infty \]

se presenta cuando un factor tiende a cero y el otro se hace arbitrariamente grande en valor absoluto.

En tales casos suele buscarse la transformación del producto en un cociente, de modo que la expresión se reduzca a una forma \(0/0\) o \(\infty/\infty\).

Por ejemplo:

\[ \lim_{x\to 0^+}x\ln x. \]

Cuando \(x\to 0^+\), se tiene \(x\to 0\) y \(\ln x\to-\infty\), por lo que aparece una forma \(0\cdot(-\infty)\). Podemos reescribir:

\[ x\ln x=\frac{\ln x}{\displaystyle\frac{1}{x}}. \]

De este modo, el límite se reduce a una forma \(\infty/\infty\), que puede estudiarse con herramientas adecuadas. En particular, se obtiene:

\[ \lim_{x\to 0^+}x\ln x=0. \]

Formas indeterminadas exponenciales

Existen también formas indeterminadas que involucran potencias con base y exponente variables. Las principales son:

\[ 1^\infty, \qquad 0^0, \qquad \infty^0. \]

Estas formas se presentan en el estudio de límites del tipo

\[ \lim_{x\to x_0}\bigl(f(x)\bigr)^{g(x)}, \]

cuando la base \(f(x)\) y el exponente \(g(x)\) varían simultáneamente. En tales casos se requiere, al menos en un entorno reducido del punto considerado, que la base sea positiva, de modo que pueda usarse la escritura exponencial

\[ \bigl(f(x)\bigr)^{g(x)} = e^{g(x)\ln(f(x))}. \]

El estudio del límite se reduce así al cálculo del límite del exponente \(g(x)\ln(f(x))\).

Lista de las principales formas indeterminadas

Las principales formas indeterminadas son:

\[ \frac{0}{0}, \qquad \frac{\infty}{\infty}, \qquad \infty-\infty, \qquad 0\cdot\infty, \qquad 1^\infty, \qquad 0^0, \qquad \infty^0. \]

Cuando aparece una forma indeterminada, no debe asignarse automáticamente un valor al límite. Es preciso, en cambio, transformar la expresión, emplear límites notables, aplicar comparaciones o recurrir a otras herramientas del análisis.

Formas que no son indeterminadas

No toda expresión que involucra cero o infinito es indeterminada. Por ejemplo, si \(L\in\mathbb{R}\), en muchos casos el cociente entre una cantidad que tiende a \(L\) y una cantidad que tiende a infinito tiende a cero:

\[ \frac{L}{\infty}=0. \]

Esta escritura es solo una abreviatura intuitiva: su significado riguroso es que el numerador tiende a un número real finito, mientras que el denominador se hace arbitrariamente grande en valor absoluto.

Análogamente, expresiones como \(L+\infty\), con \(L\in\mathbb{R}\), no son formas indeterminadas: el término infinito domina al término finito.

La distinción entre formas determinadas e indeterminadas es esencial, pues permite saber cuándo las reglas sobre límites proporcionan una respuesta inmediata y cuándo, en cambio, es necesario un trabajo adicional.

Límites notables

Los límites notables son límites fundamentales que aparecen con frecuencia en el estudio de las funciones. Permiten resolver muchas formas indeterminadas, sobre todo del tipo \(0/0\), reduciendo la expresión a límites ya conocidos.

Estos límites no deben aplicarse de forma mecánica: es preciso verificar siempre que la variable o la expresión considerada tienda al valor requerido, y que las funciones involucradas estén definidas en un entorno reducido del punto considerado.

El límite notable del seno

Uno de los límites notables más importantes es

\[ \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1. \]

Este límite es válido cuando el ángulo \(x\) se mide en radianes. Afirma que, para valores de \(x\) próximos a \(0\), el seno de \(x\) se comporta como \(x\).

De manera equivalente, cuando \(x\to 0\) podemos escribir informalmente:

\[ \sin x \sim x. \]

La escritura \(\sin x \sim x\) significa que el cociente entre \(\sin x\) y \(x\) tiende a \(1\).

El límite notable del coseno

Otro límite fundamental es

\[ \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}. \]

Describe el comportamiento de \(1-\cos x\) cerca de \(0\). En particular, cuando \(x\to 0\), se tiene

\[ 1-\cos x \sim \frac{x^2}{2}. \]

Este límite resulta a menudo útil cuando aparecen expresiones trigonométricas en forma indeterminada.

El límite notable de la tangente

A partir del límite notable del seno y de la continuidad del coseno en \(0\), se obtiene:

\[ \lim_{x\to 0}\frac{\tan x}{x}=1. \]

En efecto,

\[ \frac{\tan x}{x} = \frac{\sin x}{x}\cdot\frac{1}{\cos x}. \]

Puesto que \(\displaystyle\frac{\sin x}{x}\to 1\) y \(\cos x\to 1\), se sigue que \(\displaystyle\frac{\tan x}{x}\to 1\).

El límite notable exponencial

Un límite fundamental relacionado con el número \(e\) es

\[ \lim_{x\to 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e. \]

En esta escritura se considera \(x\) suficientemente próximo a \(0\), con \(x\neq 0\), y tal que \(1+x>0\).

Una forma equivalente del mismo límite es

\[ \lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e. \]

Estos límites están en la base de muchas transformaciones que involucran expresiones del tipo \(1^\infty\).

El límite notable del logaritmo

Para el logaritmo neperiano se cumple el límite notable

\[ \lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1. \]

La función está definida para \(1+x>0\), es decir, para \(x>-1\). El límite afirma que, cuando \(x\to 0\), el logaritmo \(\ln(1+x)\) se comporta como \(x\):

\[ \ln(1+x)\sim x. \]

Más en general, si \(u(x)\to 0\) y \(1+u(x)>0\) en un entorno reducido del punto considerado, entonces

\[ \frac{\ln(1+u(x))}{u(x)}\to 1 \]

en el mismo proceso de límite.

El límite notable de la exponencial

Para la función exponencial natural se cumple

\[ \lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}=1. \]

Este límite afirma que, cerca de \(0\), la cantidad \(e^x-1\) se comporta como \(x\):

\[ e^x-1\sim x. \]

Más en general, si \(a>0\), entonces

\[ \lim_{x\to 0}\frac{a^x-1}{x}=\ln a. \]

En efecto, \(a^x=e^{x\ln a}\), de modo que el comportamiento de \(a^x-1\) cerca de \(0\) depende del factor \(\ln a\).

El límite notable de las potencias

Si \(\alpha\in\mathbb{R}\), se cumple el límite

\[ \lim_{x\to 0}\frac{(1+x)^\alpha-1}{x}=\alpha. \]

También en este caso hay que considerar \(x\) en un entorno de \(0\) en el que la potencia real \((1+x)^\alpha\) esté definida. En particular, basta con exigir \(1+x>0\).

Este límite es muy útil cuando aparecen raíces o potencias con exponente real. Por ejemplo, tomando \(\alpha=\displaystyle\frac{1}{2}\), se obtiene:

\[ \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}=\frac{1}{2}. \]

Ejemplo de aplicación

Calculemos el límite

\[ \lim_{x\to 0}\frac{\sin(3x)}{x}. \]

Multipliquemos y dividamos entre \(3\):

\[ \frac{\sin(3x)}{x} = 3\cdot\frac{\sin(3x)}{3x}. \]

Puesto que \(3x\to 0\) cuando \(x\to 0\), del límite notable del seno se sigue que

\[ \frac{\sin(3x)}{3x}\to 1. \]

Por tanto:

\[ \lim_{x\to 0}\frac{\sin(3x)}{x}=3. \]

Tabla de los principales límites notables

Resumimos a continuación los principales límites notables:

\[ \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1, \qquad \lim_{x\to 0}\frac{\tan x}{x}=1, \qquad \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}. \]

\[ \lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1, \qquad \lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}=1, \qquad \lim_{x\to 0}\frac{a^x-1}{x}=\ln a. \]

\[ \lim_{x\to 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e, \qquad \lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e, \qquad \lim_{x\to 0}\frac{(1+x)^\alpha-1}{x}=\alpha. \]

Las formas equivalentes obtenidas a partir de estos límites resultan a menudo decisivas en el cálculo de límites. No obstante, deben usarse solo cuando el argumento tienda efectivamente a \(0\), o cuando la variable tienda a infinito del modo requerido por la fórmula.

Infinitésimos e infinitos

En el estudio de los límites resulta a menudo útil describir una función no solo en función del valor de su límite, sino también según la rapidez con que tiende a cero o se hace arbitrariamente grande.

Esta necesidad conduce a las nociones de infinitésimo, infinito y comparación de órdenes.

Infinitésimos

Una función \(f\) se dice infinitésima cuando \(x\to x_0\) si

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=0. \]

En otras palabras, un infinitésimo es una función que, en el proceso de límite considerado, toma valores arbitrariamente próximos a cero.

Por ejemplo, cuando \(x\to 0\), son infinitésimas las funciones

\[ x, \qquad x^2, \qquad \sin x, \qquad 1-\cos x. \]

En efecto, todas estas funciones tienden a cero cuando \(x\to 0\).

También la función \(\displaystyle\frac{1}{x}\) es infinitésima, pero cuando \(x\to+\infty\) o cuando \(x\to-\infty\), puesto que

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}=0 \qquad\text{y}\qquad \lim_{x\to-\infty}\frac{1}{x}=0. \]

Infinitos

Una función \(f\) se dice infinita cuando \(x\to x_0\) si

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty \]

o bien

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=-\infty. \]

Más en general, se habla de función infinita cuando los valores de \(f(x)\) se hacen arbitrariamente grandes en valor absoluto en el proceso de límite considerado.

Por ejemplo, cuando \(x\to+\infty\), son funciones infinitas

\[ x, \qquad x^2, \qquad e^x. \]

Cuando \(x\to 0\), en cambio, es infinita la función

\[ \frac{1}{x^2}, \]

puesto que

\[ \lim_{x\to 0}\frac{1}{x^2}=+\infty. \]

Relación entre infinitésimos e infinitos

Las nociones de infinitésimo e infinito están estrechamente relacionadas. Si \(f(x)\) es un infinitésimo y \(f(x)\neq 0\) en un entorno reducido del punto considerado, entonces la función recíproca

\[ \frac{1}{f(x)} \]

es infinita, salvo en el caso en que el signo de \(f(x)\) produzca comportamientos distintos por la derecha y por la izquierda.

Por ejemplo, cuando \(x\to 0\), la función \(x^2\) es infinitésima y positiva para \(x\neq 0\). En consecuencia,

\[ \frac{1}{x^2} \]

es infinita positiva cuando \(x\to 0\).

Análogamente, si \(f(x)\) es infinita y no se anula en un entorno reducido del punto considerado, entonces

\[ \frac{1}{f(x)} \]

es infinitésima.

Comparación de infinitésimos

Dos infinitésimos pueden tender a cero con distinta rapidez. Para compararlos, se estudia el límite de su cociente.

Sean \(f\) y \(g\) dos infinitésimos cuando \(x\to x_0\), con \(g(x)\neq 0\) en un entorno reducido de \(x_0\). Consideremos el límite

\[ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}. \]

Si

\[ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=0, \]

entonces \(f\) es un infinitésimo de orden superior respecto de \(g\). Esto significa que \(f(x)\) tiende a cero más rápidamente que \(g(x)\).

Si, en cambio,

\[ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\ell, \qquad \ell\in\mathbb{R},\quad \ell\neq 0, \]

entonces \(f\) y \(g\) son infinitésimos del mismo orden.

Si, por último,

\[ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\pm\infty, \]

entonces \(f\) tiende a cero más lentamente que \(g\).

Ejemplo sobre la comparación de infinitésimos

Cuando \(x\to 0\), comparemos los infinitésimos \(x^2\) y \(x\). Calculamos:

\[ \lim_{x\to 0}\frac{x^2}{x} = \lim_{x\to 0}x = 0. \]

Así pues, \(x^2\) es un infinitésimo de orden superior respecto de \(x\): en efecto, \(x^2\) tiende a cero más rápidamente que \(x\).

Comparemos ahora \(\sin x\) y \(x\), de nuevo cuando \(x\to 0\). Del límite notable

\[ \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1 \]

se sigue que \(\sin x\) y \(x\) son infinitésimos del mismo orden.

Infinitos equivalentes e infinitésimos equivalentes

Dos funciones \(f\) y \(g\) se dicen equivalentes cuando \(x\to x_0\) si

\[ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=1. \]

En tal caso se escribe

\[ f(x)\sim g(x) \qquad\text{cuando }x\to x_0. \]

La escritura \(f(x)\sim g(x)\) significa que, en el proceso de límite considerado, las dos funciones presentan el mismo comportamiento principal.

Por ejemplo, cuando \(x\to 0\), de los límites notables se obtienen las equivalencias

\[ \sin x\sim x, \qquad \tan x\sim x, \qquad 1-\cos x\sim \frac{x^2}{2}, \qquad \ln(1+x)\sim x, \qquad e^x-1\sim x. \]

Estas equivalencias son muy útiles en el cálculo de límites, pues permiten sustituir una función por otra más sencilla que presente el mismo comportamiento principal.

Uso correcto de los equivalentes

Los equivalentes deben usarse con cuidado. En particular, la sustitución mediante equivalentes es segura dentro de productos y cocientes, mientras que no puede aplicarse mecánicamente dentro de sumas o diferencias, donde puede producirse una cancelación de los términos principales.

Por ejemplo, puesto que \(\sin x\sim x\) cuando \(x\to 0\), podemos calcular:

\[ \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1. \]

Sin embargo, en una expresión como

\[ \sin x-x, \]

no podemos simplemente sustituir \(\sin x\) por \(x\) y concluir que la diferencia es nula. En realidad, la diferencia es de orden superior y requiere herramientas más finas, como desarrollos o transformaciones específicas.

Esta observación es fundamental: los equivalentes describen el comportamiento principal de una función, pero pueden no ser suficientes cuando los términos principales se cancelan.

Comparación de infinitos

Las funciones infinitas también pueden compararse mediante el cociente. Si \(f\) y \(g\) son infinitas cuando \(x\to x_0\), se estudia

\[ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}. \]

Si el límite es \(0\), entonces \(f\) crece más lentamente que \(g\). Si el límite es un número real no nulo, ambas funciones tienen el mismo orden de infinito. Si el límite es infinito, entonces \(f\) crece más rápidamente que \(g\).

Por ejemplo, cuando \(x\to+\infty\),

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{x}{x^2} = \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x} = 0. \]

Así pues, \(x\) es un infinito de orden inferior respecto de \(x^2\), es decir, \(x^2\) crece más rápidamente que \(x\).

Más en general, cuando \(x\to+\infty\), las potencias positivas de \(x\) crecen tanto más rápidamente cuanto mayor es el exponente.

Observaciones

La comparación entre infinitésimos e infinitos no concierne solo al valor del límite, sino también a la rapidez con que una función tiende a cero o diverge. Este punto de vista es esencial para resolver muchas formas indeterminadas.

En particular, muchas técnicas de cálculo de límites consisten en reconocer el término dominante, es decir, el término que determina el comportamiento principal de la expresión en el proceso de límite considerado.

Estrategias para el cálculo de límites

Calcular un límite no consiste en aplicar siempre la misma regla. Según la forma de la expresión, puede ser necesario recurrir a propiedades algebraicas, límites notables, comparaciones, equivalencias o transformaciones específicas.

Una buena estrategia consiste en reconocer, en primer lugar, si la expresión conduce a una forma determinada o a una forma indeterminada.

Sustitución directa cuando es posible

Cuando las reglas sobre límites son aplicables directamente y no aparecen formas indeterminadas, el límite se calcula sustituyendo el valor hacia el cual tiende \(x\).

Por ejemplo:

\[ \lim_{x\to 2}(x^2+3x-1) = 2^2+3\cdot 2-1 = 9. \]

En este caso no surge ninguna dificultad: los polinomios, las sumas y los productos se comportan de forma regular respecto al límite.

Simplificación en las formas \(0/0\)

Cuando aparece una forma \(0/0\), una de las primeras estrategias consiste en simplificar la expresión, si es posible.

Por ejemplo:

\[ \lim_{x\to 3}\frac{x^2-9}{x-3}. \]

Sustituyendo formalmente \(x=3\), se obtiene \(0/0\). Factoricemos el numerador:

\[ x^2-9=(x-3)(x+3). \]

Para \(x\neq 3\), podemos entonces escribir:

\[ \frac{x^2-9}{x-3} = \frac{(x-3)(x+3)}{x-3} = x+3. \]

Se sigue que

\[ \lim_{x\to 3}\frac{x^2-9}{x-3} = \lim_{x\to 3}(x+3) = 6. \]

La simplificación es lícita porque el límite estudia el comportamiento para \(x\) próximo a \(3\), pero distinto de \(3\).

Racionalización

Cuando aparecen radicales y diferencias, puede resultar útil multiplicar y dividir por la expresión conjugada.

Consideremos:

\[ \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}. \]

Sustituyendo formalmente \(x=0\), se obtiene \(0/0\). Racionalicemos:

\[ \frac{\sqrt{1+x}-1}{x} = \frac{(\sqrt{1+x}-1)(\sqrt{1+x}+1)}{x(\sqrt{1+x}+1)} = \frac{1+x-1}{x(\sqrt{1+x}+1)}. \]

Puesto que \(1+x-1=x\), para \(x\neq 0\) obtenemos:

\[ \frac{\sqrt{1+x}-1}{x} = \frac{1}{\sqrt{1+x}+1}. \]

Por tanto:

\[ \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x} = \frac{1}{2}. \]

División entre el término dominante

En los límites de funciones racionales cuando \(x\to+\infty\) o cuando \(x\to-\infty\), una estrategia fundamental consiste en dividir el numerador y el denominador entre la potencia de mayor grado.

Por ejemplo:

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{2x^3-x+1}{5x^3+4x^2-7}. \]

El término dominante es \(x^3\). Dividamos el numerador y el denominador entre \(x^3\):

\[ \frac{2x^3-x+1}{5x^3+4x^2-7} = \frac{2-\displaystyle\frac{1}{x^2}+\displaystyle\frac{1}{x^3}}{5+\displaystyle\frac{4}{x}-\displaystyle\frac{7}{x^3}}. \]

Puesto que

\[ \frac{1}{x}\to 0, \qquad \frac{1}{x^2}\to 0, \qquad \frac{1}{x^3}\to 0 \]

cuando \(x\to+\infty\), se obtiene:

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{2x^3-x+1}{5x^3+4x^2-7} = \frac{2}{5}. \]

Uso de los límites notables

Cuando aparecen funciones trigonométricas, logarítmicas, exponenciales o potenciales, muchos límites pueden reducirse a los límites notables.

Por ejemplo:

\[ \lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+4x)}{x}. \]

Multipliquemos y dividamos entre \(4\):

\[ \frac{\ln(1+4x)}{x} = 4\cdot\frac{\ln(1+4x)}{4x}. \]

Puesto que \(4x\to 0\) cuando \(x\to 0\), del límite notable

\[ \lim_{t\to 0}\frac{\ln(1+t)}{t}=1 \]

se sigue que

\[ \lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+4x)}{x}=4. \]

Uso de los infinitésimos equivalentes

Los infinitésimos equivalentes permiten sustituir, dentro de productos y cocientes, una función por otra más sencilla que presente el mismo comportamiento principal.

Por ejemplo, cuando \(x\to 0\), sabemos que

\[ \sin x\sim x \qquad\text{y}\qquad e^x-1\sim x. \]

Por tanto:

\[ \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{e^x-1} = 1. \]

En efecto, el numerador y el denominador son ambos equivalentes a \(x\).

Este método es muy rápido, pero debe usarse con cuidado: los equivalentes son seguros dentro de productos y cocientes, mientras que dentro de sumas y diferencias pueden producir errores si los términos principales se cancelan.

Uso del teorema de compresión

Cuando una función resulta difícil de tratar directamente, pero puede quedar comprendida entre dos funciones con el mismo límite, puede recurrirse al teorema de compresión.

Por ejemplo:

\[ \lim_{x\to 0}x^2\cos\frac{1}{x}. \]

Puesto que, para todo \(x\neq 0\),

\[ -1\leq \cos\frac{1}{x}\leq 1, \]

multiplicando por \(x^2\geq 0\) obtenemos:

\[ -x^2\leq x^2\cos\frac{1}{x}\leq x^2. \]

Puesto que

\[ \lim_{x\to 0}(-x^2)=0 \qquad\text{y}\qquad \lim_{x\to 0}x^2=0, \]

por el teorema de compresión se sigue que

\[ \lim_{x\to 0}x^2\cos\frac{1}{x}=0. \]

Estudio separado por la derecha y por la izquierda

Cuando la expresión cambia de comportamiento según el signo de \(x-x_0\), es necesario estudiar por separado el límite por la derecha y el límite por la izquierda.

Consideremos, por ejemplo,

\[ \lim_{x\to 0}\frac{|x|}{x}. \]

Para \(x>0\), se tiene \(|x|=x\), luego

\[ \frac{|x|}{x}=1. \]

Para \(x<0\), se tiene \(|x|=-x\), luego

\[ \frac{|x|}{x}=-1. \]

Así pues:

\[ \lim_{x\to 0^+}\frac{|x|}{x}=1, \qquad \lim_{x\to 0^-}\frac{|x|}{x}=-1. \]

Puesto que el límite por la derecha y el límite por la izquierda son distintos, el límite cuando \(x\to 0\) no existe.

Reconocer el término dominante

En muchas expresiones, sobre todo cuando \(x\to+\infty\) o cuando \(x\to-\infty\), el comportamiento del límite queda determinado por el término dominante, es decir, por el término que crece más rápidamente.

Por ejemplo:

\[ \lim_{x\to+\infty}(x^3-4x^2+7x). \]

El término dominante es \(x^3\). Los demás términos crecen más lentamente y no modifican el comportamiento principal. Por tanto:

\[ \lim_{x\to+\infty}(x^3-4x^2+7x)=+\infty. \]

Cuando \(x\to-\infty\), en cambio, el término dominante sigue siendo \(x^3\), pero aquí \(x^3\to-\infty\). Así pues:

\[ \lim_{x\to-\infty}(x^3-4x^2+7x)=-\infty. \]

Esquema de trabajo

En síntesis, para calcular un límite conviene proceder del siguiente modo:

1. identificar el punto o la dirección hacia la cual tiende la variable;
2. comprobar si las reglas sobre límites se aplican directamente;
3. reconocer las posibles formas indeterminadas;
4. elegir una transformación adecuada: factorización, simplificación, racionalización, división entre el término dominante, límites notables, equivalentes o comparación;
5. si es necesario, estudiar por separado el límite por la derecha y el límite por la izquierda;
6. concluir solo tras haber verificado que las condiciones empleadas son válidas en el proceso de límite considerado.

El punto esencial es no confundir las escrituras simbólicas con resultados automáticos. Una forma indeterminada señala que el límite requiere un análisis más preciso; una forma determinada, en cambio, permite a menudo concluir aplicando directamente las propiedades de los límites.

Interpretación gráfica de los límites y asíntotas

El concepto de límite tiene una fuerte interpretación gráfica. Estudiar un límite equivale a observar el comportamiento del gráfico de una función cuando el punto de abscisa \(x\) se aproxima a un valor fijado, o cuando \(x\) se aleja indefinidamente hacia \(+\infty\) o hacia \(-\infty\).

El gráfico no sustituye a la definición rigurosa, pero ayuda a visualizar el significado de las distintas situaciones que pueden presentarse.

Límite finito en un punto

Si

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=L, \]

entonces, cuando \(x\) se aproxima a \(x_0\), los puntos del gráfico de \(f\) se aproximan a la altura \(L\).

Esto no significa necesariamente que el gráfico pase por el punto \((x_0,L)\). En efecto, el valor \(f(x_0)\) puede no estar definido, o puede ser distinto de \(L\).

Desde el punto de vista gráfico, el límite describe, por tanto, la tendencia del gráfico cerca de la recta vertical \(x=x_0\), pero no depende necesariamente del punto del gráfico de abscisa \(x_0\).

Límite por la derecha y límite por la izquierda en el gráfico

El límite por la derecha describe el comportamiento del gráfico al aproximarnos a \(x_0\) desde valores mayores que \(x_0\). El límite por la izquierda describe, en cambio, el comportamiento del gráfico al aproximarnos a \(x_0\) desde valores menores que \(x_0\).

Si \(x_0\) es punto de acumulación del dominio tanto por la izquierda como por la derecha y

\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x)=L \qquad\text{y}\qquad \lim_{x\to x_0^+}f(x)=L, \]

entonces la gráfica se aproxima a la misma altura \(L\) desde ambos lados, y el límite cuando \(x\to x_0\) existe.

Si, en cambio, el límite por la derecha y el límite por la izquierda son distintos, el gráfico se aproxima a dos alturas diferentes. En este caso, el límite cuando \(x\to x_0\) no existe.

Límite infinito y asíntota vertical

Si, cuando \(x\) se aproxima a \(x_0\), los valores de la función se hacen arbitrariamente grandes o arbitrariamente pequeños, el gráfico se aproxima a la recta vertical \(x=x_0\).

Si al menos uno de los dos límites, por la derecha o por la izquierda, es infinito, entonces la recta

\[ x=x_0 \]

es una asíntota vertical del gráfico de la función.

Por ejemplo, si

\[ \lim_{x\to x_0^+}f(x)=+\infty, \]

entonces, al aproximarnos a \(x_0\) por la derecha, el gráfico asciende indefinidamente a lo largo de la dirección de la recta vertical \(x=x_0\).

Análogamente, si

\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x)=-\infty, \]

entonces, al aproximarnos a \(x_0\) por la izquierda, el gráfico desciende indefinidamente a lo largo de la misma recta vertical.

Es posible, por tanto, que el comportamiento por la derecha y por la izquierda sea distinto. Por ejemplo, una función puede tender a \(+\infty\) por un lado y a \(-\infty\) por el otro.

Límite finito en el infinito y asíntota horizontal

Si una función tiende a un número real \(L\) cuando \(x\to+\infty\), entonces el gráfico se aproxima a la recta horizontal

\[ y=L \]

al desplazarnos indefinidamente hacia la derecha.

En este caso, la recta \(y=L\) es una asíntota horizontal por la derecha del gráfico de la función.

Análogamente, si

\[ \lim_{x\to-\infty}f(x)=M, \]

entonces la recta

\[ y=M \]

es una asíntota horizontal por la izquierda.

Las dos asíntotas horizontales pueden coincidir o ser distintas. Por ejemplo, puede ocurrir que una función tienda a un cierto valor cuando \(x\to+\infty\) y a otro valor cuando \(x\to-\infty\).

Asíntota oblicua

Además de las asíntotas verticales y horizontales, una función puede tener una asíntota oblicua. Esto ocurre cuando, para \(x\to+\infty\) o para \(x\to-\infty\), el gráfico de la función se aproxima a una recta no horizontal.

Una recta de ecuación

\[ y=mx+q, \qquad m\neq 0, \]

es una asíntota oblicua de \(f\) cuando \(x\to+\infty\) si

\[ \lim_{x\to+\infty}\bigl(f(x)-(mx+q)\bigr)=0. \]

De manera análoga, la misma definición es válida cuando \(x\to-\infty\), adaptando el proceso de límite considerado.

La condición anterior significa que la distancia vertical entre el gráfico de la función y la recta \(y=mx+q\) tiende a cero.

Cuando existe la asíntota oblicua, los coeficientes \(m\) y \(q\) se calculan, en los casos ordinarios, mediante los límites

\[ m=\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x} \]

y

\[ q=\lim_{x\to+\infty}\bigl(f(x)-mx\bigr), \]

siempre que estos límites existan, sean finitos y se cumpla \(m\neq 0\). Para \(x\to-\infty\) se emplean las mismas fórmulas con el límite calculado cuando \(x\to-\infty\).

Ejemplos de interpretación gráfica

Consideremos la función

\[ f(x)=\frac{1}{x}. \]

Cuando \(x\to 0^+\), se tiene

\[ \lim_{x\to 0^+}\frac{1}{x}=+\infty, \]

mientras que cuando \(x\to 0^-\) se tiene

\[ \lim_{x\to 0^-}\frac{1}{x}=-\infty. \]

Por tanto, la recta \(x=0\), es decir, el eje \(y\), es una asíntota vertical del gráfico de la función.

Además,

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}=0 \qquad\text{y}\qquad \lim_{x\to-\infty}\frac{1}{x}=0. \]

Por ello, la recta \(y=0\), es decir, el eje \(x\), es una asíntota horizontal tanto por la derecha como por la izquierda.

Consideremos ahora la función

\[ g(x)=x+\frac{1}{x}. \]

Cuando \(x\to+\infty\), se tiene

\[ g(x)-x=\frac{1}{x}\to 0. \]

Por tanto, la recta

\[ y=x \]

es una asíntota oblicua cuando \(x\to+\infty\). Lo mismo se cumple cuando \(x\to-\infty\), pues \(\displaystyle\frac{1}{x}\to 0\) también en esa dirección.

Observaciones finales

La interpretación gráfica de los límites permite relacionar la definición rigurosa con el comportamiento visible del gráfico. Sin embargo, el gráfico debe considerarse una guía, no una demostración.

Para establecer con certeza la existencia y el valor de un límite, es preciso remitirse siempre a las definiciones, los teoremas y las propiedades estudiadas en los apartados anteriores.

En síntesis, los límites permiten describir con precisión tres aspectos fundamentales del comportamiento de una función: qué ocurre cerca de un punto, qué ocurre en el infinito y cómo se sitúa la gráfica respecto a sus posibles asíntotas.