En el estudio de los límites resulta fundamental distinguir dos situaciones que, aun estando estrechamente relacionadas, describen aspectos diferentes del comportamiento de una función.
Se habla de límite infinito cuando son los valores de la función \(f(x)\) los que crecen o decrecen sin límite. Por ejemplo,
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty \]
significa que \(f(x)\) supera cualquier cota positiva prefijada cuando \(x\) está suficientemente cerca de \(x_0\).
Se habla en cambio de límite en el infinito cuando es la variable independiente \(x\) la que tiende hacia \(+\infty\) o hacia \(-\infty\). Por ejemplo,
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=L \]
significa que los valores de \(f(x)\) se aproximan al número real \(L\) cuando \(x\) toma valores positivos arbitrariamente grandes.
Ambas situaciones pueden presentarse también simultáneamente. La escritura
\[ \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty \]
describe, en efecto, un límite en el infinito, puesto que \(x\to-\infty\), y al mismo tiempo un límite infinito, puesto que \(f(x)\to-\infty\).
En este artículo estudiaremos las definiciones formales de los límites infinitos y de los límites en el infinito, los límites por la derecha y por la izquierda, su interpretación geométrica y su relación con las asíntotas verticales y horizontales. Veremos además las principales propiedades necesarias para comprender y calcular estos límites, junto con algunos ejemplos representativos.
Índice
- Límites infinitos y límites en el infinito: una distinción fundamental
- Límites infinitos en un punto
- Límites infinitos por la derecha y por la izquierda
- Interpretación geométrica y asíntotas verticales
- Límites finitos cuando \(x\to+\infty\) y \(x\to-\infty\)
- Interpretación geométrica y asíntotas horizontales
- Límites infinitos cuando \(x\to+\infty\) y \(x\to-\infty\)
- Propiedades fundamentales de los límites infinitos y de los límites en el infinito
- Comparación de funciones y comportamiento dominante
- Ejemplos de límites infinitos y límites en el infinito
Límites infinitos y límites en el infinito: una distinción fundamental
Las expresiones límite infinito y límite en el infinito describen dos características distintas de un límite. La primera se refiere al comportamiento de los valores de la función \(f(x)\); la segunda, en cambio, al comportamiento de la variable independiente \(x\).
Se habla de límite infinito cuando
\[ f(x)\to+\infty \qquad\text{o bien}\qquad f(x)\to-\infty. \]
En este caso no se está afirmando que la función alcance un valor llamado \(+\infty\) o \(-\infty\). Los símbolos \(+\infty\) y \(-\infty\) no son números reales: indican que los valores de la función superan cualquier cota positiva o descienden por debajo de cualquier cota negativa.
Por ejemplo,
\[ \lim_{x\to2}\frac{1}{(x-2)^2}=+\infty \]
es un límite infinito, puesto que los valores de la función crecen sin límite cuando \(x\) se aproxima a \(2\).
Se habla en cambio de límite en el infinito cuando es la variable \(x\) la que tiende hacia \(+\infty\) o hacia \(-\infty\). Por ejemplo,
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}=0 \]
es un límite en el infinito, porque \(x\) toma valores positivos arbitrariamente grandes, mientras que la función tiende al valor finito \(0\).
Las dos nociones son independientes
Un límite puede ser infinito sin ser un límite en el infinito. Esto es lo que ocurre, por ejemplo, en
\[ \lim_{x\to0}\frac{1}{x^2}=+\infty. \]
Aquí \(x\) tiende al número real \(0\), mientras que es la función la que tiende a \(+\infty\).
Recíprocamente, un límite puede ser en el infinito sin ser infinito. Por ejemplo,
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{2x+1}{x+1}=2. \]
En este caso \(x\to+\infty\), pero la función tiende al número real \(2\).
Por último, ambas características pueden presentarse a la vez. La escritura
\[ \lim_{x\to+\infty}x^2=+\infty \]
representa a la vez un límite en el infinito, puesto que \(x\to+\infty\), y un límite infinito, puesto que \(x^2\to+\infty\).
Los cuatro casos fundamentales
Combinando el comportamiento de la variable con el de la función se obtienen cuatro casos fundamentales.
- Límite finito en un punto: \(x\) tiende a un número real \(x_0\) y \(f(x)\) tiende a un número real \(L\): \[ \lim_{x\to x_0}f(x)=L. \]
- Límite infinito en un punto: \(x\) tiende a un número real \(x_0\) y \(f(x)\) tiende a \(+\infty\) o a \(-\infty\): \[ \lim_{x\to x_0}f(x)=\pm\infty. \]
- Límite finito en el infinito: \(x\) tiende a \(+\infty\) o a \(-\infty\) y \(f(x)\) tiende a un número real \(L\): \[ \lim_{x\to\pm\infty}f(x)=L. \]
- Límite infinito en el infinito: \(x\) tiende a \(+\infty\) o a \(-\infty\) y \(f(x)\) también tiende a \(+\infty\) o a \(-\infty\): \[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=\pm\infty \qquad\text{o bien}\qquad \lim_{x\to-\infty}f(x)=\pm\infty. \]
Resulta, pues, importante observar por separado qué ocurre con la variable y qué ocurre con los valores de la función. Esta distinción permite reconocer de inmediato el tipo de límite que se está estudiando y elegir la definición formal apropiada.
El significado de los símbolos \(+\infty\) y \(-\infty\)
En la teoría de límites, los símbolos \(+\infty\) y \(-\infty\) describen un comportamiento, y no un valor que la función alcance. Escribir
\[ f(x)\to+\infty \]
significa que \(f(x)\) supera, a partir de cierto punto, cualquier cota real positiva prefijada. Análogamente,
\[ f(x)\to-\infty \]
significa que \(f(x)\) desciende, a partir de cierto punto, por debajo de cualquier cota real negativa prefijada.
Las definiciones formales de las secciones siguientes precisarán estas afirmaciones mediante los cuantificadores y las desigualdades oportunas.
Límites infinitos en un punto
Sea \(f:D\to\mathbb{R}\) y sea \(x_0\) un punto de acumulación del dominio \(D\). Un límite infinito en \(x_0\) describe una situación en la que los valores de la función superan cualquier cota positiva o descienden por debajo de cualquier cota negativa cuando \(x\) se aproxima a \(x_0\).
Pueden presentarse los dos casos
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty \]
y
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=-\infty. \]
Límite igual a \(+\infty\)
Escribir
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty \]
significa que \(f(x)\) supera cualquier cota positiva prefijada cuando \(x\) está suficientemente cerca de \(x_0\).
Formalmente,
\[ \forall M>0\ \exists\delta>0\ \forall x\in D: \quad 0<|x-x_0|<\delta \Longrightarrow f(x)>M. \]
La cota \(M\) puede elegirse arbitrariamente grande. Una vez fijado \(M\), debe ser posible hallar un número \(\delta>0\) tal que todos los puntos del dominio que satisfacen
\[ 0<|x-x_0|<\delta \]
tengan imagen mayor que \(M\).
El número \(\delta\) puede depender de \(M\): cotas cada vez más altas pueden requerir elegir \(x\) cada vez más próximo a \(x_0\).
Límite igual a \(-\infty\)
Análogamente,
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=-\infty \]
significa que \(f(x)\) desciende por debajo de cualquier cota negativa prefijada cuando \(x\) está suficientemente cerca de \(x_0\).
Una formulación especialmente cómoda utiliza de nuevo una cota positiva \(M\):
\[ \forall M>0\ \exists\delta>0\ \forall x\in D: \quad 0<|x-x_0|<\delta \Longrightarrow f(x)<-M. \]
A medida que \(M\) crece, el número \(-M\) se hace cada vez más pequeño. La definición exige, por tanto, que la función descienda, a partir de cierto punto, por debajo de cualquier nivel negativo prefijado.
El valor de la función en \(x_0\)
El valor que eventualmente tome la función en el punto \(x_0\) no interviene en la definición del límite. La condición
\[ 0<|x-x_0| \]
excluye, precisamente, \(x=x_0\).
La función puede, por tanto, no estar definida en \(x_0\), o bien estar definida y tomar en ese punto un valor cualquiera. El límite depende exclusivamente del comportamiento de \(f(x)\) en los puntos del dominio arbitrariamente próximos a \(x_0\).
Ejemplo: \(\displaystyle\frac{1}{x^2}\) cuando \(x\to0\)
Consideremos
\[ f(x)=\frac{1}{x^2}, \qquad x\neq0. \]
Cuando \(x\) se aproxima a \(0\), el número \(x^2\) permanece positivo y tiende a \(0\). Su recíproco se hace, por tanto, arbitrariamente grande:
\[ \lim_{x\to0}\frac{1}{x^2}=+\infty. \]
Comprobémoslo directamente a partir de la definición. Fijado \(M>0\), queremos obtener
\[ \frac{1}{x^2}>M. \]
Puesto que \(x^2>0\) y \(M>0\), esta desigualdad equivale a
\[ x^2<\frac{1}{M}, \]
es decir,
\[ |x|<\frac{1}{\sqrt{M}}. \]
Basta, pues, elegir
\[ \delta=\frac{1}{\sqrt{M}}. \]
Si
\[ 0<|x|<\delta, \]
entonces
\[ |x|<\frac{1}{\sqrt{M}}, \]
y por tanto
\[ \frac{1}{x^2}>M. \]
Puesto que esta construcción es posible para todo \(M>0\), queda verificada la definición.
Ejemplo: \(-\displaystyle\frac{1}{x^2}\) cuando \(x\to0\)
Consideremos ahora
\[ f(x)=-\frac{1}{x^2}, \qquad x\neq0. \]
Puesto que
\[ \frac{1}{x^2}\to+\infty, \]
cambiando el signo obtenemos
\[ \lim_{x\to0}\left(-\frac{1}{x^2}\right)=-\infty. \]
Este resultado también puede verificarse directamente. Fijado \(M>0\), queremos que
\[ -\frac{1}{x^2}<-M. \]
Multiplicando por \(-1\) e invirtiendo el sentido de la desigualdad, obtenemos
\[ \frac{1}{x^2}>M. \]
Como en el ejemplo anterior, basta elegir
\[ \delta=\frac{1}{\sqrt{M}}. \]
Se sigue que, para todo \(M>0\),
\[ 0<|x|<\delta \Longrightarrow -\frac{1}{x^2}<-M, \]
y por tanto
\[ \lim_{x\to0}\left(-\frac{1}{x^2}\right)=-\infty. \]
Un error que conviene evitar
Para que un límite sea igual a \(+\infty\) no basta con que la función tome valores muy grandes solo en algunos puntos que se aproximan a \(x_0\). Una vez fijada una cota \(M>0\), la desigualdad
\[ f(x)>M \]
debe verificarse en todos los puntos del dominio suficientemente próximos a \(x_0\), excluido el propio \(x_0\).
Análogamente, para que el límite sea igual a \(-\infty\), la función debe resultar, a partir de cierto punto, menor que \(-M\) para cada cota \(M>0\).
Los símbolos \(+\infty\) y \(-\infty\) describen, por tanto, un comportamiento preciso de la función, y no valores efectivamente alcanzados.
El límite infinito no implica monotonía
La existencia de un límite infinito no exige que la función sea monótona cerca del punto considerado. Una función puede oscilar, incluso infinitas veces, y al mismo tiempo superar, a partir de cierto punto, cualquier cota positiva prefijada.
Consideremos, por ejemplo,
\[ f(x)=\frac{2+\sin\left(\displaystyle\frac{1}{x^2}\right)}{|x|}, \qquad x\neq0. \]
Puesto que
\[ 1\leq2+\sin\left(\frac{1}{x^2}\right)\leq3, \]
se tiene
\[ f(x)\geq\frac{1}{|x|}. \]
Además,
\[ \lim_{x\to0}\frac{1}{|x|}=+\infty. \]
Del teorema de comparación se sigue entonces que
\[ \lim_{x\to0}f(x)=+\infty. \]
El término oscilante impide que la función sea monótona en las proximidades de \(0\), pero no le impide tender a \(+\infty\).
Límites infinitos por la derecha y por la izquierda
Cuando el comportamiento de una función en las proximidades de un punto \(x_0\) depende del lado desde el cual \(x\) se aproxima, es necesario distinguir el límite por la derecha del límite por la izquierda.
En el límite por la derecha, \(x\) se aproxima a \(x_0\) tomando valores mayores que \(x_0\); en el límite por la izquierda, en cambio, toma valores menores que \(x_0\).
Los límites laterales también pueden ser infinitos. Las cuatro posibilidades fundamentales son
\[ \lim_{x\to x_0^+}f(x)=+\infty, \qquad \lim_{x\to x_0^+}f(x)=-\infty, \]
\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x)=+\infty, \qquad \lim_{x\to x_0^-}f(x)=-\infty. \]
Límite infinito por la derecha
Supongamos que \(x_0\) es un punto de acumulación por la derecha del dominio \(D\). Se dice que
\[ \lim_{x\to x_0^+}f(x)=+\infty \]
si, para todo \(M>0\), existe \(\delta>0\) tal que, para todo \(x\in D\),
\[ 0<x-x_0<\delta \quad\Longrightarrow\quad f(x)>M. \]
La condición
\[ 0<x-x_0<\delta \]
equivale a
\[ x_0<x<x_0+\delta, \]
de modo que se consideran únicamente los puntos del dominio situados a la derecha de \(x_0\).
Análogamente,
\[ \lim_{x\to x_0^+}f(x)=-\infty \]
si, para todo \(M>0\), existe \(\delta>0\) tal que
\[ 0<x-x_0<\delta \quad\Longrightarrow\quad f(x)<-M \]
para todo \(x\in D\).
Límite infinito por la izquierda
Supongamos ahora que \(x_0\) es un punto de acumulación por la izquierda del dominio \(D\). Se dice que
\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x)=+\infty \]
si, para todo \(M>0\), existe \(\delta>0\) tal que, para todo \(x\in D\),
\[ 0<x_0-x<\delta \quad\Longrightarrow\quad f(x)>M. \]
En este caso
\[ 0<x_0-x<\delta \]
equivale a
\[ x_0-\delta<x<x_0, \]
de modo que se consideran únicamente los puntos del dominio situados a la izquierda de \(x_0\).
Análogamente,
\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x)=-\infty \]
si, para todo \(M>0\), existe \(\delta>0\) tal que
\[ 0<x_0-x<\delta \quad\Longrightarrow\quad f(x)<-M. \]
Relación con el límite cuando \(x\to x_0\)
Supongamos que \(x_0\) es un punto de acumulación del dominio tanto por la izquierda como por la derecha. En este caso,
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty \]
si y solo si
\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x)=+\infty \qquad\text{y}\qquad \lim_{x\to x_0^+}f(x)=+\infty. \]
Análogamente,
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=-\infty \]
si y solo si
\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x)=-\infty \qquad\text{y}\qquad \lim_{x\to x_0^+}f(x)=-\infty. \]
Si los dos límites laterales son infinitos pero de signo opuesto, el límite cuando \(x\to x_0\) no existe.
Si, por el contrario, el dominio presenta puntos arbitrariamente próximos a \(x_0\) solo por uno de los dos lados, el límite debe interpretarse en relación con el dominio y coincide con el límite calculado por el lado en que dichos puntos están presentes.
Un ejemplo fundamental: la función \(\displaystyle\frac{1}{x}\)
Consideremos
\[ f(x)=\frac{1}{x}, \qquad x\neq0. \]
Cuando \(x\) se aproxima a \(0\) por la derecha, \(x\) es positivo y tiende a \(0\). Su recíproco se hace, por tanto, positivo y arbitrariamente grande:
\[ \lim_{x\to0^+}\frac{1}{x}=+\infty. \]
Cuando, en cambio, \(x\) se aproxima a \(0\) por la izquierda, \(x\) es negativo y tiende a \(0\). El recíproco se hace negativo y arbitrariamente grande en valor absoluto:
\[ \lim_{x\to0^-}\frac{1}{x}=-\infty. \]
Los dos límites laterales tienen, por tanto, signo opuesto. En consecuencia,
\[ \lim_{x\to0}\frac{1}{x} \]
no existe.
Verificación formal de los dos límites laterales
Para el límite por la derecha, fijemos \(M>0\). Queremos que
\[ \frac{1}{x}>M. \]
Puesto que \(x>0\), esta desigualdad equivale a
\[ x<\frac{1}{M}. \]
Basta, pues, elegir
\[ \delta=\frac{1}{M}. \]
En efecto,
\[ 0<x<\delta \quad\Longrightarrow\quad x<\frac{1}{M} \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{x}>M. \]
Para el límite por la izquierda, con la misma elección
\[ \delta=\frac{1}{M}, \]
de la condición
\[ 0<-x<\delta \]
se sigue
\[ -\frac{1}{M}<x<0. \]
Siendo \(x\) negativo, al pasar a los recíprocos obtenemos
\[ \frac{1}{x}<-M. \]
Quedan así verificadas ambas definiciones:
\[ \lim_{x\to0^+}\frac{1}{x}=+\infty, \qquad \lim_{x\to0^-}\frac{1}{x}=-\infty. \]
Interpretación geométrica y asíntotas verticales
Los límites infinitos en un punto admiten una interpretación geométrica inmediata. Cuando \(x\) se aproxima a un número real \(x_0\) y \(f(x)\) tiende a \(+\infty\) o a \(-\infty\), los puntos de la gráfica se aproximan a la recta vertical
\[ x=x_0 \]
mientras sus ordenadas crecen o decrecen sin límite.
En particular, si
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty, \]
entonces, fijada cualquier altura \(M>0\), para \(x\) suficientemente próximo a \(x_0\) se tiene
\[ f(x)>M. \]
La gráfica se sitúa, pues, por encima de cualquier recta horizontal \(y=M\), siempre que \(x\) esté suficientemente próximo a \(x_0\).
Análogamente, si
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=-\infty, \]
entonces, para todo \(M>0\), al aproximarse suficientemente a \(x_0\) se tiene
\[ f(x)<-M. \]
En este caso la gráfica desciende por debajo de cualquier recta horizontal \(y=-M\).
Asíntotas verticales
Esta situación conduce de manera natural al concepto de asíntota vertical.
Sea \(f:D\to\mathbb{R}\) y sea \(x_0\in\mathbb{R}\) un punto de acumulación del dominio al menos por uno de los dos lados. La recta
\[ x=x_0 \]
se llama asíntota vertical de la gráfica de \(f\) si al menos uno de los límites laterales
\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x), \qquad \lim_{x\to x_0^+}f(x) \]
es igual a \(+\infty\) o a \(-\infty\).
No es, por tanto, necesario que la función presente el mismo comportamiento por ambos lados. Basta con que, al menos por uno de los dos lados, los valores de la función crezcan o decrezcan sin límite.
El límite puede no existir
La existencia de una asíntota vertical no implica necesariamente la existencia del límite cuando \(x\to x_0\).
Por ejemplo, para
\[ f(x)=\frac{1}{x} \]
se tiene
\[ \lim_{x\to0^-}\frac{1}{x}=-\infty, \qquad \lim_{x\to0^+}\frac{1}{x}=+\infty. \]
Los dos límites laterales tienen signo opuesto, luego
\[ \lim_{x\to0}\frac{1}{x} \]
no existe. Sin embargo, la recta
\[ x=0 \]
es una asíntota vertical de la gráfica.
El comportamiento puede presentarse por un solo lado
Una asíntota vertical puede quedar determinada también por un único límite lateral. Un ejemplo fundamental es la función logarítmica
\[ f(x)=\ln(x), \qquad x>0. \]
Cuando \(x\to0^+\),
\[ \lim_{x\to0^+}\ln(x)=-\infty. \]
La función no está definida para \(x\leq0\), de modo que no existen puntos del dominio arbitrariamente próximos a \(0\) por la izquierda. El límite infinito por la derecha basta, no obstante, para concluir que
\[ x=0 \]
es una asíntota vertical.
El punto \(x_0\) puede pertenecer al dominio
La presencia de una asíntota vertical no requiere que la función sea necesariamente indefinida en \(x_0\). El valor que eventualmente tome la función en dicho punto no modifica, en efecto, el comportamiento del límite.
Consideremos, por ejemplo,
\[ f(x)= \begin{cases} \displaystyle\frac{1}{x^2}, & x\neq0,\\ 0, & x=0. \end{cases} \]
La función está definida en \(x=0\), pero
\[ \lim_{x\to0}f(x)=+\infty. \]
En consecuencia, la recta \(x=0\) sigue siendo una asíntota vertical, con independencia del valor asignado a \(f(0)\).
La anulación del denominador no basta
En las funciones racionales, la anulación del denominador en un punto no implica automáticamente la presencia de una asíntota vertical.
Consideremos
\[ f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}. \]
El denominador se anula para \(x=1\), pero para \(x\neq1\) podemos simplificar:
\[ \frac{x^2-1}{x-1} = \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x+1. \]
Por tanto,
\[ \lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}=2. \]
El límite es finito, luego \(x=1\) no es una asíntota vertical. La anulación del denominador debe ir siempre acompañada de un estudio efectivo del límite.
Un ejemplo con comportamiento infinito por ambos lados
Para la función
\[ f(x)=\frac{1}{(x-2)^2}, \]
el denominador tiende a \(0\) tomando valores positivos tanto cuando \(x\to2^-\) como cuando \(x\to2^+\). Se tiene, pues,
\[ \lim_{x\to2^-}\frac{1}{(x-2)^2}=+\infty, \qquad \lim_{x\to2^+}\frac{1}{(x-2)^2}=+\infty. \]
En consecuencia,
\[ \lim_{x\to2}\frac{1}{(x-2)^2}=+\infty, \]
y la recta
\[ x=2 \]
es una asíntota vertical de la gráfica.
Desde el punto de vista geométrico, por tanto, una asíntota vertical identifica una recta a la que la gráfica se aproxima horizontalmente mientras las ordenadas se hacen arbitrariamente grandes en valor absoluto al menos por uno de los dos lados.
Límites finitos cuando \(x\to+\infty\) y \(x\to-\infty\)
Un límite finito en el infinito describe el comportamiento de una función cuando la variable \(x\) tiende hacia \(+\infty\) o hacia \(-\infty\), mientras \(f(x)\) se aproxima a un número real \(L\).
Conviene distinguir los dos casos
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=L \qquad\text{y}\qquad \lim_{x\to-\infty}f(x)=L, \]
porque el comportamiento de la función para valores positivos muy grandes puede ser distinto del observado para valores negativos muy grandes en valor absoluto.
Límite finito cuando \(x\to+\infty\)
Para poder considerar el límite cuando \(x\to+\infty\), el dominio \(D\) de la función debe ser no acotado superiormente, es decir, debe contener elementos arbitrariamente grandes.
Sea \(f:D\to\mathbb{R}\), con \(D\) no acotado superiormente, y sea \(L\in\mathbb{R}\). Se dice que
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=L \]
si, para todo \(\varepsilon>0\), existe \(A\in\mathbb{R}\) tal que, para todo \(x\in D\),
\[ x>A \quad\Longrightarrow\quad |f(x)-L|<\varepsilon. \]
En forma simbólica,
\[ \forall\varepsilon>0\ \exists A\in\mathbb{R}\ \forall x\in D: \quad x>A \Longrightarrow |f(x)-L|<\varepsilon. \]
El número \(\varepsilon\) establece la precisión con que \(f(x)\) debe aproximarse a \(L\), mientras que \(A\) determina cuán grande debe ser \(x\) para que dicha precisión quede garantizada.
La condición
\[ |f(x)-L|<\varepsilon \]
equivale a
\[ L-\varepsilon<f(x)<L+\varepsilon. \]
Por tanto, para \(x\) suficientemente grande, los valores de la función permanecen arbitrariamente próximos a \(L\).
Límite finito cuando \(x\to-\infty\)
Para considerar el límite cuando \(x\to-\infty\), el dominio \(D\) debe ser, en cambio, no acotado inferiormente, es decir, debe contener elementos arbitrariamente pequeños.
Sea \(f:D\to\mathbb{R}\), con \(D\) no acotado inferiormente, y sea \(L\in\mathbb{R}\). Se dice que
\[ \lim_{x\to-\infty}f(x)=L \]
si, para todo \(\varepsilon>0\), existe \(A\in\mathbb{R}\) tal que, para todo \(x\in D\),
\[ x<A \quad\Longrightarrow\quad |f(x)-L|<\varepsilon. \]
En forma simbólica,
\[ \forall\varepsilon>0\ \exists A\in\mathbb{R}\ \forall x\in D: \quad x<A \Longrightarrow |f(x)-L|<\varepsilon. \]
También en este caso, \(\varepsilon\) puede elegirse arbitrariamente pequeño. La cota \(A\) debe ser tal que todos los puntos del dominio situados suficientemente a la izquierda den lugar a valores de \(f(x)\) a una distancia de \(L\) menor que \(\varepsilon\).
Ejemplo: el límite de \(3+\displaystyle\frac{2}{x}\)
Consideremos
\[ f(x)=3+\frac{2}{x}. \]
Puesto que
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{2}{x}=0 \qquad\text{y}\qquad \lim_{x\to-\infty}\frac{2}{x}=0, \]
se tiene
\[ \lim_{x\to+\infty}\left(3+\frac{2}{x}\right)=3 \]
y
\[ \lim_{x\to-\infty}\left(3+\frac{2}{x}\right)=3. \]
Podemos verificar directamente el primer límite. Fijado \(\varepsilon>0\), imponemos
\[ \left|3+\frac{2}{x}-3\right|<\varepsilon. \]
Para \(x>0\), esta condición equivale a
\[ \frac{2}{x}<\varepsilon, \]
y por tanto a
\[ x>\frac{2}{\varepsilon}. \]
Basta, pues, elegir
\[ A=\frac{2}{\varepsilon}. \]
Para \(x\to-\infty\), en cambio, de la condición
\[ \left|\frac{2}{x}\right|<\varepsilon \]
basta exigir
\[ x<-\frac{2}{\varepsilon}. \]
Las dos definiciones formales conducen, pues, al mismo valor \(L=3\).
Los dos límites pueden ser diferentes
La existencia de un límite cuando \(x\to+\infty\) no determina el comportamiento de la función cuando \(x\to-\infty\). Ambos límites deben estudiarse por separado.
Consideremos, por ejemplo,
\[ f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}. \]
Puesto que
\[ \sqrt{x^2+1} = |x|\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}, \]
cuando \(x\to+\infty\) se tiene, a partir de cierto punto, \(|x|=x\), y por tanto
\[ \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} = \frac{1}{\sqrt{1+\displaystyle\frac{1}{x^2}}} \to1. \]
Cuando \(x\to-\infty\), en cambio, se tiene, a partir de cierto punto, \(|x|=-x\), por lo que
\[ \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} = -\frac{1}{\sqrt{1+\displaystyle\frac{1}{x^2}}} \to-1. \]
Por tanto,
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}=1, \qquad \lim_{x\to-\infty}\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}=-1. \]
El límite no describe la gráfica en su totalidad
Un límite finito en el infinito concierne exclusivamente al comportamiento final de la función. Modificar \(f\) sobre un conjunto acotado no cambia su límite cuando \(x\to+\infty\) ni cuando \(x\to-\infty\).
Además, la existencia de un límite finito no implica que la función sea monótona. Por ejemplo,
\[ f(x)=\frac{\sin(x)}{x} \]
sigue oscilando, pero
\[ \left|\frac{\sin(x)}{x}\right| \leq \frac{1}{|x|}, \]
y puesto que
\[ \lim_{x\to\pm\infty}\frac{1}{|x|}=0, \]
del teorema de comparación se sigue que
\[ \lim_{x\to\pm\infty}\frac{\sin(x)}{x}=0. \]
Decir que \(x\to+\infty\) o \(x\to-\infty\) no significa, por tanto, que \(x\) alcance un valor llamado infinito. Significa que la variable supera cualquier cota positiva prefijada, o desciende por debajo de cualquier cota negativa prefijada, mientras los valores de la función se aproximan arbitrariamente al número real \(L\).
Interpretación geométrica y asíntotas horizontales
Cuando una función tiende a un número real \(L\) para \(x\to+\infty\) o para \(x\to-\infty\), los puntos de su gráfica se aproximan a la recta horizontal
\[ y=L. \]
En efecto, la condición
\[ |f(x)-L|<\varepsilon \]
significa que la distancia vertical entre el punto de la gráfica \((x,f(x))\) y la recta \(y=L\) es menor que \(\varepsilon\).
Puesto que \(\varepsilon\) puede elegirse arbitrariamente pequeño, dicha distancia tiende a cero en el sentido considerado.
Definición de asíntota horizontal
Sea \(f:D\to\mathbb{R}\). Si
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=L, \]
con \(L\in\mathbb{R}\), la recta
\[ y=L \]
se llama asíntota horizontal derecha de la gráfica de \(f\).
Si, en cambio,
\[ \lim_{x\to-\infty}f(x)=L, \]
entonces la misma recta
\[ y=L \]
se llama asíntota horizontal izquierda.
Cuando no es necesario especificar el sentido, se habla simplemente de asíntota horizontal.
Interpretación mediante franjas horizontales
Supongamos que
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=L. \]
Para todo \(\varepsilon>0\), existe una cota \(A\) tal que
\[ L-\varepsilon<f(x)<L+\varepsilon \]
para todo \(x\in D\) con \(x>A\).
Geométricamente, la gráfica permanece, pues, a partir de cierto punto, dentro de la franja comprendida entre las rectas
\[ y=L-\varepsilon \qquad\text{y}\qquad y=L+\varepsilon. \]
Para \(x\to-\infty\) vale la misma interpretación, con la diferencia de que la condición se exige para todos los \(x\in D\) suficientemente negativos.
Aproximación por arriba, por abajo o con oscilaciones
La gráfica no tiene por qué aproximarse a la asíntota siempre desde el mismo lado.
Por ejemplo,
\[ f(x)=2+\frac{1}{x} \]
satisface, para \(x>0\),
\[ f(x)>2 \]
y
\[ \lim_{x\to+\infty}\left(2+\frac{1}{x}\right)=2. \]
La gráfica se aproxima, por tanto, a la recta \(y=2\) desde arriba.
Análogamente,
\[ f(x)=2-\frac{1}{x} \]
satisface \(f(x)<2\) para \(x>0\) y tiende igualmente a \(2\). En este caso la gráfica se aproxima a la asíntota desde abajo.
Es posible también una aproximación oscilante. Por ejemplo,
\[ f(x)=L+\frac{\sin(x)}{x} \]
toma alternativamente valores mayores y menores que \(L\), pero
\[ \lim_{x\to+\infty}\left(L+\frac{\sin(x)}{x}\right)=L. \]
La existencia de una asíntota horizontal no implica, por tanto, que la gráfica permanezca, a partir de cierto punto, siempre del mismo lado de la recta.
La misma recta puede ser asíntota en ambos sentidos
Si
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=L \qquad\text{y}\qquad \lim_{x\to-\infty}f(x)=L, \]
la recta \(y=L\) es asíntota horizontal tanto por la derecha como por la izquierda.
Por ejemplo,
\[ f(x)=\frac{1}{x^2} \]
satisface
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x^2}=0 \qquad\text{y}\qquad \lim_{x\to-\infty}\frac{1}{x^2}=0. \]
La recta \(y=0\) es, pues, asíntota horizontal en ambos sentidos.
Una función puede tener dos asíntotas horizontales distintas
Los límites cuando \(x\to+\infty\) y cuando \(x\to-\infty\) pueden ser diferentes. Si
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=L_1 \qquad\text{y}\qquad \lim_{x\to-\infty}f(x)=L_2, \]
con \(L_1\neq L_2\), entonces \(y=L_1\) es la asíntota horizontal derecha e \(y=L_2\) es la asíntota horizontal izquierda.
Un ejemplo es
\[ f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}, \]
para la cual
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}=1, \qquad \lim_{x\to-\infty}\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}=-1. \]
Las rectas \(y=1\) e \(y=-1\) son, respectivamente, la asíntota horizontal derecha y la izquierda.
La gráfica puede intersecar la asíntota
Una asíntota horizontal no es una recta que la gráfica no pueda atravesar. La definición exige únicamente que la distancia vertical a la recta tienda a cero en el infinito.
Por ejemplo,
\[ f(x)=\frac{\sin(x)}{x} \]
tiene a \(y=0\) como asíntota horizontal, pero la gráfica corta dicha recta en
\[ x=k\pi, \qquad k\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}. \]
En este caso las intersecciones son incluso infinitas.
Unicidad de la asíntota en cada sentido
Una función puede tener, como máximo, una asíntota horizontal cuando \(x\to+\infty\) y, como máximo, una cuando \(x\to-\infty\).
Esto se deduce de la unicidad del límite: si
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=L_1 \qquad\text{y}\qquad \lim_{x\to+\infty}f(x)=L_2, \]
entonces necesariamente \(L_1=L_2\). Lo mismo vale para \(x\to-\infty\).
Cómo hallar las asíntotas horizontales
Para determinar las eventuales asíntotas horizontales de una función se calculan por separado
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x) \qquad\text{y}\qquad \lim_{x\to-\infty}f(x), \]
cuando el dominio permite considerar ambos límites.
Si uno de los dos límites es igual a un número real \(L\), la recta \(y=L\) es una asíntota horizontal en el sentido correspondiente. Si, en cambio, el límite es igual a \(+\infty\), igual a \(-\infty\), o no existe, no hay ninguna asíntota horizontal en ese sentido.
Límites infinitos cuando \(x\to+\infty\) y \(x\to-\infty\)
Un límite infinito en el infinito se presenta cuando la variable \(x\) tiende hacia \(+\infty\) o hacia \(-\infty\) y, al mismo tiempo, los valores de la función crecen o decrecen sin límite.
Pueden darse cuatro situaciones:
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty, \qquad \lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty, \]
\[ \lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty, \qquad \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty. \]
En cada caso es necesario distinguir el comportamiento de la variable del de la función: el signo del infinito hacia el que tiende \(x\) no determina el signo del infinito hacia el que tiende \(f(x)\).
Límites infinitos cuando \(x\to+\infty\)
Sea \(f:D\to\mathbb{R}\), con \(D\) no acotado superiormente. Se dice que
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty \]
si, para todo \(M>0\), existe \(A\in\mathbb{R}\) tal que, para todo \(x\in D\),
\[ x>A \quad\Longrightarrow\quad f(x)>M. \]
En forma simbólica,
\[ \forall M>0\ \exists A\in\mathbb{R}\ \forall x\in D: \quad x>A \Longrightarrow f(x)>M. \]
La definición exige, por tanto, que la función supere, a partir de cierto punto, cualquier cota positiva prefijada.
Análogamente,
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty \]
si, para todo \(M>0\), existe \(A\in\mathbb{R}\) tal que
\[ x>A \quad\Longrightarrow\quad f(x)<-M \]
para todo \(x\in D\).
En este caso, para valores suficientemente grandes de \(x\), la función desciende por debajo de cualquier cota negativa prefijada.
Límites infinitos cuando \(x\to-\infty\)
Supongamos ahora que el dominio \(D\) es no acotado inferiormente. Se dice que
\[ \lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty \]
si, para todo \(M>0\), existe \(A\in\mathbb{R}\) tal que, para todo \(x\in D\),
\[ x<A \quad\Longrightarrow\quad f(x)>M. \]
En forma simbólica,
\[ \forall M>0\ \exists A\in\mathbb{R}\ \forall x\in D: \quad x<A \Longrightarrow f(x)>M. \]
Análogamente,
\[ \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty \]
si, para todo \(M>0\), existe \(A\in\mathbb{R}\) tal que
\[ x<A \quad\Longrightarrow\quad f(x)<-M. \]
En este caso la función desciende por debajo de cualquier valor real prefijado para todos los \(x\) del dominio suficientemente negativos.
Ejemplos fundamentales con potencias
La función
\[ f(x)=x^2 \]
tiende a \(+\infty\) en ambos sentidos:
\[ \lim_{x\to+\infty}x^2=+\infty, \qquad \lim_{x\to-\infty}x^2=+\infty. \]
En efecto, \(x^2\) se hace arbitrariamente grande cuando el valor absoluto de \(x\) crece, con independencia del signo de \(x\).
La función cúbica
\[ f(x)=x^3 \]
presenta, en cambio, comportamientos diferentes:
\[ \lim_{x\to+\infty}x^3=+\infty, \qquad \lim_{x\to-\infty}x^3=-\infty. \]
El signo del término coincide, en efecto, siempre con el de \(x\).
El papel de la paridad del exponente
Más en general, el comportamiento de la potencia \(x^n\), con \(n\) entero positivo, depende de la paridad del exponente.
Cuando \(x\to+\infty\), se tiene siempre
\[ \lim_{x\to+\infty}x^n=+\infty. \]
Cuando \(x\to-\infty\), en cambio, si \(n\) es par,
\[ \lim_{x\to-\infty}x^n=+\infty, \]
mientras que, si \(n\) es impar,
\[ \lim_{x\to-\infty}x^n=-\infty. \]
El coeficiente que multiplica a la potencia puede, naturalmente, modificar el signo del límite. Por ejemplo,
\[ \lim_{x\to+\infty}(-x^2)=-\infty, \qquad \lim_{x\to-\infty}(-x^3)=+\infty. \]
Verificación formal de \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x^2=+\infty\)
Fijado \(M>0\), debemos hallar una cota \(A\) tal que
\[ x>A \quad\Longrightarrow\quad x^2>M. \]
Para \(x>0\), la condición
\[ x^2>M \]
se verifica cuando
\[ x>\sqrt{M}. \]
Podemos, pues, elegir
\[ A=\sqrt{M}. \]
Puesto que esta elección es posible para todo \(M>0\), se sigue de la definición que
\[ \lim_{x\to+\infty}x^2=+\infty. \]
Verificación formal de \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}x^3=-\infty\)
Fijado \(M>0\), queremos hallar \(A\in\mathbb{R}\) tal que
\[ x<A \quad\Longrightarrow\quad x^3<-M. \]
Puesto que la función cúbica es estrictamente creciente,
\[ x^3<-M \]
equivale a
\[ x<-\sqrt[3]{M}. \]
Basta, pues, elegir
\[ A=-\sqrt[3]{M}. \]
Se sigue que
\[ \lim_{x\to-\infty}x^3=-\infty. \]
Interpretación geométrica
Si
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty, \]
entonces, fijada cualquier recta horizontal \(y=M\), con \(M>0\), la gráfica se sitúa, a partir de cierto punto, por encima de dicha recta al avanzar hacia la derecha.
Si, en cambio,
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty, \]
la gráfica se sitúa, a partir de cierto punto, por debajo de cualquier recta \(y=-M\).
Las mismas interpretaciones valen para \(x\to-\infty\), avanzando en este caso hacia la izquierda a lo largo del eje de abscisas.
A diferencia de los límites finitos en el infinito, en estos casos no existe asíntota horizontal: las ordenadas no se aproximan a un número real, sino que crecen o decrecen sin límite.
Propiedades fundamentales de los límites infinitos y de los límites en el infinito
Las propiedades de los límites permiten a menudo determinar el comportamiento de sumas, productos y cocientes sin recurrir directamente a las definiciones formales.
En las escrituras que siguen, los límites de \(f\) y de \(g\) se entienden siempre respecto del mismo proceso de límite, que puede ser un límite en un punto, un límite lateral o un límite en el infinito.
Cuando aparecen \(+\infty\) y \(-\infty\), es sin embargo esencial recordar que estos símbolos no representan números reales. Escrituras como
\[ +\infty+L=+\infty \]
deben interpretarse como abreviaturas de propiedades relativas a los límites, y no como operaciones aritméticas ordinarias.
Permanencia del signo
Si una función tiende a \(+\infty\), entonces es, a partir de cierto punto, positiva. En efecto, de la definición podemos elegir, por ejemplo, \(M=1\); se sigue que
\[ f(x)>1>0 \]
para todos los valores de \(x\) suficientemente próximos al punto considerado o, en los límites en el infinito, suficientemente grandes si \(x\to+\infty\), o suficientemente negativos si \(x\to-\infty\).
Análogamente, si
\[ f(x)\to-\infty, \]
entonces \(f(x)\) es, a partir de cierto punto, negativa.
Esta propiedad resulta particularmente importante en los productos y en los cocientes, porque permite establecer correctamente el signo del resultado.
Suma con un límite finito
Supongamos que, en el mismo proceso de límite,
\[ f(x)\to+\infty \qquad\text{y}\qquad g(x)\to L, \]
con \(L\in\mathbb{R}\). Entonces
\[ f(x)+g(x)\to+\infty. \]
Análogamente,
\[ f(x)\to-\infty, \qquad g(x)\to L \]
implica
\[ f(x)+g(x)\to-\infty. \]
En forma simbólica,
\[ +\infty+L=+\infty, \qquad -\infty+L=-\infty. \]
Un término que tiende a un valor finito no modifica, por tanto, el comportamiento infinito de la suma.
Suma de límites infinitos
Si dos funciones tienden ambas a \(+\infty\), su suma tiende a \(+\infty\):
\[ (+\infty)+(+\infty)=+\infty. \]
Análogamente,
\[ (-\infty)+(-\infty)=-\infty. \]
El caso en que los dos términos tienen signo opuesto es, en cambio, diferente. La forma
\[ \infty-\infty \]
es indeterminada: el mero conocimiento de los límites de los dos términos no permite determinar el límite de la diferencia.
Por ejemplo, cuando \(x\to+\infty\),
\[ x^2-x\to+\infty, \qquad x-x^2\to-\infty, \]
mientras que
\[ (x+1)-x\to1. \]
En todos estos casos las dos cantidades que se restan tienden a \(+\infty\), pero los resultados son diferentes.
Productos
Si una función tiende a infinito y la otra tiende a un número real no nulo, el valor absoluto del producto tiende a infinito y el signo se determina con la habitual regla de los signos.
Por ejemplo, si
\[ f(x)\to+\infty \qquad\text{y}\qquad g(x)\to L>0, \]
entonces
\[ f(x)g(x)\to+\infty. \]
Si, en cambio, \(L<0\),
\[ f(x)g(x)\to-\infty. \]
Cuando ambos factores tienden a infinito, se cumple análogamente
\[ (+\infty)(+\infty)=+\infty, \qquad (+\infty)(-\infty)=-\infty, \]
\[ (-\infty)(+\infty)=-\infty, \qquad (-\infty)(-\infty)=+\infty. \]
La situación cambia si uno de los factores tiende a \(0\). La forma
\[ 0\cdot\infty \]
es indeterminada y requiere un estudio ulterior de la expresión.
Cociente con denominador infinito
Si
\[ f(x)\to L\in\mathbb{R} \]
y
\[ g(x)\to+\infty \qquad\text{o bien}\qquad g(x)\to-\infty, \]
entonces
\[ \frac{f(x)}{g(x)}\to0, \]
siempre que el cociente esté definido a partir de cierto punto.
En particular, para una constante real \(L\),
\[ \frac{L}{\pm\infty}=0 \]
es una escritura simbólica que resume esta propiedad.
Si, en cambio, numerador y denominador tienden ambos a infinito, aparece la forma indeterminada
\[ \frac{\infty}{\infty}. \]
El resultado depende del comportamiento relativo del numerador y del denominador, y no puede establecerse a partir de la sola forma simbólica.
Recíproco
Si
\[ f(x)\to+\infty \qquad\text{o bien}\qquad f(x)\to-\infty, \]
entonces
\[ \frac{1}{f(x)}\to0. \]
Recíprocamente, si una función tiende a cero manteniendo, a partir de cierto punto, un signo preciso, el recíproco tiende a infinito con el signo correspondiente:
\[ f(x)\to0^+ \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{f(x)}\to+\infty, \]
mientras que
\[ f(x)\to0^- \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{f(x)}\to-\infty. \]
El control del signo del denominador resulta, pues, indispensable cuando una cantidad tiende a cero.
Las principales formas indeterminadas
Las formas indeterminadas que aparecen con mayor frecuencia en el estudio de los límites son
\[ \frac{0}{0}, \qquad \frac{\infty}{\infty}, \qquad \infty-\infty, \qquad 0\cdot\infty. \]
Una forma indeterminada no representa el valor del límite. Indica únicamente que las reglas elementales no permiten concluir de inmediato y que la expresión debe transformarse o estudiarse con mayor atención.
Por ejemplo,
\[ \frac{x}{x}\to1, \qquad \frac{x}{x^2}\to0, \qquad \frac{x^2}{x}\to+\infty \]
cuando \(x\to+\infty\), a pesar de que las tres expresiones presentan inicialmente la forma
\[ \frac{\infty}{\infty}. \]
Para resolver estos casos es necesario analizar el comportamiento relativo de los términos implicados. En la sección siguiente veremos cómo la comparación de funciones y la identificación del término dominante permiten abordar muchos de estos límites.
Comparación de funciones y comportamiento dominante
En los límites en el infinito resulta a menudo útil identificar qué término determina el comportamiento global de una expresión. Este principio es especialmente importante cuando aparecen formas indeterminadas como
\[ \frac{\infty}{\infty} \qquad\text{o bien}\qquad \infty-\infty. \]
La idea fundamental consiste en comparar los términos presentes y reconocer el dominante, es decir, aquel que tiene un peso decisivo en el límite considerado.
Término dominante de un polinomio
Consideremos un polinomio de grado \(n\):
\[ P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0, \qquad a_n\neq0. \]
Cuando \(x\to\pm\infty\), el comportamiento del polinomio queda determinado por el término de grado máximo \(a_nx^n\). En efecto, sacando factor común \(x^n\),
\[ P(x) = x^n \left( a_n+\frac{a_{n-1}}{x} +\frac{a_{n-2}}{x^2} +\cdots+ \frac{a_0}{x^n} \right). \]
Todos los términos que contienen potencias de \(x\) en el denominador tienden a \(0\). En consecuencia, el signo y el comportamiento infinito de \(P(x)\) dependen del coeficiente principal \(a_n\), de la paridad de \(n\) y del sentido del límite.
Por ejemplo,
\[ P(x)=-2x^5+3x^2-1 \]
tiene como término dominante \(-2x^5\). Por tanto,
\[ \lim_{x\to+\infty}P(x)=-\infty, \qquad \lim_{x\to-\infty}P(x)=+\infty. \]
Funciones racionales
Consideremos una función racional
\[ f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}, \]
donde \(P\) y \(Q\) son polinomios, con \(Q\) no idénticamente nulo. Para estudiar su comportamiento en el infinito basta comparar los términos de grado máximo del numerador y del denominador.
Si el grado de \(P\) es menor que el grado de \(Q\), entonces
\[ \lim_{x\to\pm\infty}\frac{P(x)}{Q(x)}=0. \]
Si ambos polinomios tienen el mismo grado, el límite es igual al cociente entre sus respectivos coeficientes principales.
Por ejemplo,
\[ \lim_{x\to\pm\infty} \frac{3x^2-x+1}{2x^2+5} = \frac{3}{2}. \]
Si, en cambio, el grado del numerador es mayor que el del denominador, el valor absoluto del cociente crece sin límite; el signo debe determinarse estudiando los términos dominantes.
Por ejemplo,
\[ \frac{2x^3+1}{x^2-4} \]
se comporta, para valores grandes de \(|x|\), como \(2x\). Por tanto,
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{2x^3+1}{x^2-4}=+\infty, \qquad \lim_{x\to-\infty}\frac{2x^3+1}{x^2-4}=-\infty. \]
El teorema de comparación
El comportamiento de una función puede deducirse también comparándola con una función más sencilla.
Si, a partir de cierto punto,
\[ f(x)\geq g(x) \]
y
\[ g(x)\to+\infty, \]
entonces
\[ f(x)\to+\infty. \]
Análogamente, si a partir de cierto punto
\[ f(x)\leq g(x) \]
y
\[ g(x)\to-\infty, \]
entonces
\[ f(x)\to-\infty. \]
La comparación y la identificación del término dominante permiten, pues, resolver muchos límites en el infinito sin aplicar mecánicamente reglas simbólicas a las formas indeterminadas.
Ejemplos de límites infinitos y límites en el infinito
Concluimos con algunos ejemplos representativos que reúnen las principales situaciones estudiadas. El objetivo es reconocer el tipo de límite, identificar el comportamiento determinante de la expresión e interpretar geométricamente el resultado cuando ello sea posible.
Ejemplo 1: límite infinito en un punto
Consideremos
\[ \lim_{x\to2}\frac{1}{(x-2)^2}. \]
Cuando \(x\to2\), se tiene
\[ (x-2)^2\to0^+. \]
El denominador tiende, pues, a cero manteniéndose positivo. Su recíproco toma valores positivos arbitrariamente grandes y, por tanto,
\[ \lim_{x\to2}\frac{1}{(x-2)^2}=+\infty. \]
El mismo comportamiento se produce por ambos lados:
\[ \lim_{x\to2^-}\frac{1}{(x-2)^2}=+\infty, \qquad \lim_{x\to2^+}\frac{1}{(x-2)^2}=+\infty. \]
La recta
\[ x=2 \]
es, pues, una asíntota vertical.
Ejemplo 2: límites laterales infinitos de signo opuesto
Consideremos
\[ \lim_{x\to1}\frac{1}{x-1}. \]
Cuando \(x\to1^+\), el denominador tiende a cero a través de valores positivos:
\[ x-1\to0^+. \]
En consecuencia,
\[ \lim_{x\to1^+}\frac{1}{x-1}=+\infty. \]
Cuando \(x\to1^-\), en cambio,
\[ x-1\to0^-, \]
y por tanto
\[ \lim_{x\to1^-}\frac{1}{x-1}=-\infty. \]
Puesto que los dos límites laterales no coinciden,
\[ \lim_{x\to1}\frac{1}{x-1} \]
no existe. La recta \(x=1\) es, no obstante, una asíntota vertical, porque ambos límites laterales son infinitos.
Ejemplo 3: límite finito en el infinito y asíntota horizontal
Calculemos
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{3x+1}{x+2}. \]
El numerador y el denominador tienden ambos a \(+\infty\), de modo que la expresión presenta inicialmente la forma indeterminada
\[ \frac{\infty}{\infty}. \]
Dividamos el numerador y el denominador entre \(x\):
\[ \frac{3x+1}{x+2} = \frac{3+\displaystyle\frac{1}{x}} {1+\displaystyle\frac{2}{x}}. \]
Puesto que
\[ \frac{1}{x}\to0 \qquad\text{cuando}\qquad x\to+\infty, \]
obtenemos
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{3x+1}{x+2}=3. \]
El límite es finito, luego la recta
\[ y=3 \]
es una asíntota horizontal derecha.
Ejemplo 4: límite infinito de un polinomio
Consideremos
\[ \lim_{x\to-\infty}\left(2x^4-3x^2+x-1\right). \]
El término dominante del polinomio es
\[ 2x^4. \]
Puesto que el exponente \(4\) es par,
\[ x^4\to+\infty \qquad\text{cuando}\qquad x\to-\infty. \]
Además, el coeficiente principal es positivo. Los términos de grado inferior no modifican el comportamiento dominante y, por tanto,
\[ \lim_{x\to-\infty}\left(2x^4-3x^2+x-1\right)=+\infty. \]
Este ejemplo muestra cómo, en los polinomios, suele bastar con identificar el término de grado máximo para determinar el comportamiento en el infinito.
Ejemplo 5: forma indeterminada \(\infty-\infty\)
Calculemos
\[ \lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+x}-x\right). \]
Se tiene
\[ \sqrt{x^2+x}\to+\infty \qquad\text{y}\qquad x\to+\infty, \]
de modo que aparece la forma indeterminada
\[ \infty-\infty. \]
Para eliminarla, racionalizamos:
\[ \sqrt{x^2+x}-x = \frac{\left(\sqrt{x^2+x}-x\right) \left(\sqrt{x^2+x}+x\right)} {\sqrt{x^2+x}+x}. \]
En el numerador obtenemos
\[ x^2+x-x^2=x, \]
y por tanto
\[ \sqrt{x^2+x}-x = \frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}. \]
Puesto que, cuando \(x\to+\infty\), se tiene, a partir de cierto punto, \(x>0\), podemos dividir el numerador y el denominador entre \(x\):
\[ \frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x} = \frac{1} {\sqrt{1+\displaystyle\frac{1}{x}}+1}. \]
Pasando al límite,
\[ \lim_{x\to+\infty} \left(\sqrt{x^2+x}-x\right) = \frac{1}{2}. \]
La forma \(\infty-\infty\) no representaba, pues, el resultado del límite: tras una transformación algebraica adecuada se obtiene un valor finito.
Ejemplo 6: límite infinito con un término oscilante
Consideremos
\[ f(x)=x+2\sin(x). \]
El término \(2\sin(x)\) oscila continuamente, pero permanece acotado. En efecto,
\[ -1\leq\sin(x)\leq1, \]
y por tanto
\[ -2\leq2\sin(x)\leq2. \]
Sumando \(x\),
\[ x-2\leq x+2\sin(x)\leq x+2. \]
En particular,
\[ x+2\sin(x)\geq x-2. \]
Puesto que
\[ \lim_{x\to+\infty}(x-2)=+\infty, \]
del teorema de comparación se sigue que
\[ \lim_{x\to+\infty}\left(x+2\sin(x)\right)=+\infty. \]
Este ejemplo es importante porque muestra que una función no tiene por qué ser monótona para tender a \(+\infty\). Las oscilaciones son compatibles con un límite infinito, siempre que la función supere, a partir de cierto punto, cualquier cota positiva prefijada.
Esquema final
En el estudio de un límite infinito o de un límite en el infinito conviene proceder de manera ordenada:
- identificar hacia qué punto, o hacia qué infinito, tiende la variable;
- si \(x\) tiende a un punto real, comprobar si es necesario distinguir el comportamiento por la derecha y por la izquierda;
- comprobar con atención el signo de las cantidades que tienden a cero;
- reconocer las eventuales formas indeterminadas;
- identificar, cuando sea posible, el término dominante o aplicar una comparación adecuada;
- interpretar geométricamente el resultado, comprobando la eventual presencia de asíntotas verticales u horizontales.
Las definiciones formales siguen siendo el fundamento de la teoría. Las propiedades de los límites, las transformaciones algebraicas y las comparaciones permiten reconocer con mayor rapidez cuál de los comportamientos descritos por las definiciones se produce en el caso considerado.