Una vez definido el límite de una función y estudiadas sus principales propiedades, podemos abordar el problema del cálculo de los límites de sumas, diferencias, productos, cocientes y otras expresiones obtenidas al combinar varias funciones.
Las reglas que permiten efectuar estas operaciones no son simples convenios de cálculo, sino consecuencias de teoremas precisos. Por ejemplo, si dos funciones tienen límite finito, bajo hipótesis adecuadas el límite de su suma coincide con la suma de los límites respectivos, mientras que el límite de su producto coincide con el producto de los límites. Para aplicar el teorema del cociente es además necesario que el límite del denominador sea distinto de cero.
Estos resultados permiten a menudo reducir el cálculo de un límite a las operaciones ordinarias entre números reales. No obstante, este procedimiento no puede aplicarse de forma indiscriminada. Cuando intervienen cantidades que tienden a cero o a infinito, algunas combinaciones conducen a expresiones como \(0\cdot\infty\), \(\infty-\infty\), \(\displaystyle\frac{0}{0}\) o \(\displaystyle\frac{\infty}{\infty}\). Estas expresiones no determinan por sí solas el valor del límite y reciben el nombre de formas indeterminadas.
Es además esencial recordar que los símbolos \(+\infty\) y \(-\infty\) no representan números reales. Las llamadas operaciones con el infinito deben, por tanto, interpretarse como reglas relativas al comportamiento de las funciones, y no como operaciones aritméticas ordinarias efectuadas sobre dos nuevos números.
En esta página enunciaremos y demostraremos los principales teoremas sobre las operaciones con límites, precisaremos con cuidado las hipótesis necesarias para aplicarlos y distinguiremos los casos determinados de las formas indeterminadas. Las reglas obtenidas se aplicarán finalmente al cálculo de los límites de polinomios, funciones racionales y funciones algebraicas sencillas.
Índice
- Hipótesis y significado de las operaciones con límites
- Límite de la suma y de la diferencia
- Límite del producto
- Límite del recíproco y del cociente
- Límite de las potencias
- Límite de las raíces
- Límite del valor absoluto
- Límite de una función compuesta
- Operaciones con límites infinitos
- Formas determinadas y formas indeterminadas
- Límites de polinomios y funciones racionales
- Ejemplos de repaso y errores que deben evitarse
Hipótesis y significado de las operaciones con límites
Las operaciones con límites se refieren a funciones obtenidas combinando, punto a punto, otras funciones. Sean \(f\) y \(g\) dos funciones reales definidas en un entorno reducido de \(x_0\) —es decir, un entorno de \(x_0\) del que se ha suprimido el propio punto \(x_0\)— y supongamos que \(x_0\) es un punto de acumulación de su dominio común, condición necesaria para que el límite tenga sentido. Podemos entonces considerar, por ejemplo, las funciones
\[ (f+g)(x)=f(x)+g(x), \qquad (fg)(x)=f(x)g(x). \]
Análogamente, en los puntos en los que \(g(x)\neq 0\), podemos definir
\[ \left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}. \]
El problema consiste en determinar si el límite de la función así obtenida puede establecerse conociendo por separado los límites de \(f\) y de \(g\). Supongamos, en un primer momento, que
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=L \qquad\text{y}\qquad \lim_{x\to x_0}g(x)=M, \]
donde \(L\) y \(M\) son números reales. Los teoremas sobre las operaciones con límites establecen las condiciones bajo las cuales es posible obtener, a partir de \(L\) y \(M\), el límite de la suma, del producto, del cociente o de otras combinaciones de ambas funciones.
Conviene entender que expresiones como
\[ \lim_{x\to x_0}\bigl(f(x)+g(x)\bigr) = \lim_{x\to x_0}f(x) + \lim_{x\to x_0}g(x) \]
no son definiciones ni representan transformaciones puramente formales. Expresan la conclusión de un teorema y solo son válidas cuando se cumplen todas sus hipótesis.
Antes de aplicar una regla es preciso, además, comprobar que la función obtenida mediante la operación esté efectivamente definida para valores de \(x\) arbitrariamente próximos a \(x_0\), con \(x\neq x_0\). En el caso de un cociente, por ejemplo, no basta con que estén definidas \(f\) y \(g\): es necesario considerar únicamente los puntos en los que el denominador no se anula.
El valor que las funciones puedan tomar en el punto \(x_0\) no interviene en el cálculo. En efecto, el límite depende del comportamiento de las funciones en las proximidades del punto, y no del valor que toman en el punto mismo. Por esta razón, los teoremas siguen siendo válidos incluso cuando una de las funciones, o ambas, no están definidas en \(x_0\).
Dos límites fundamentales
Antes de examinar las operaciones entre funciones, recordemos dos resultados elementales que se utilizarán en las secciones siguientes.
Si \(c\in\mathbb{R}\), para la función constante \(f(x)=c\) se tiene
\[ \lim_{x\to x_0}c=c. \]
En efecto, para todo \(\varepsilon>0\),
\[ |c-c|=0<\varepsilon, \]
con independencia de la elección de \(x\). La misma función conserva su valor también cuando la variable tiende a infinito:
\[ \lim_{x\to+\infty}c=c, \qquad \lim_{x\to-\infty}c=c. \]
Para la función identidad \(f(x)=x\), en cambio,
\[ \lim_{x\to x_0}x=x_0. \]
Esta relación se sigue directamente de la definición, ya que
\[ |f(x)-x_0|=|x-x_0|. \]
En el infinito, la función identidad sigue el comportamiento de la variable:
\[ \lim_{x\to+\infty}x=+\infty, \qquad \lim_{x\to-\infty}x=-\infty. \]
Estos límites, combinados con los teoremas sobre las operaciones, permitirán calcular los límites de los polinomios y de otras expresiones algebraicas.
Las primeras reglas se formularán y demostrarán para límites finitos en el caso \(x\to x_0\). Las mismas reglas, con sus respectivas hipótesis, son válidas también para los límites laterales por la derecha y por la izquierda, así como para \(x\to+\infty\) o \(x\to-\infty\). Las demostraciones se obtienen sustituyendo la condición \(0<|x-x_0|<\delta\) por la correspondiente condición lateral, o bien por una condición del tipo \(x>R\) o \(x<-R\). Los casos en los que una función tiende a \(+\infty\) o a \(-\infty\) requieren, en cambio, un análisis aparte, porque algunas operaciones conservan un significado determinado, mientras que otras conducen a formas indeterminadas.
Límite de la suma y de la diferencia
Sean \(f\) y \(g\) dos funciones definidas en un entorno reducido de \(x_0\) y supongamos que
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=L \qquad\text{y}\qquad \lim_{x\to x_0}g(x)=M, \]
con \(L,M\in\mathbb{R}\). Entonces la función \(f+g\) también tiene límite cuando \(x\to x_0\), y se cumple
\[ \lim_{x\to x_0}\bigl(f(x)+g(x)\bigr)=L+M. \]
En otras palabras, cuando ambos límites son finitos, el límite de la suma es igual a la suma de los límites.
Demostración. Debemos demostrar que, para todo \(\varepsilon>0\), existe \(\delta>0\) tal que
\[ 0<|x-x_0|<\delta \quad\Longrightarrow\quad \bigl|f(x)+g(x)-(L+M)\bigr|<\varepsilon. \]
Observemos, en primer lugar, que
\[ f(x)+g(x)-(L+M) = \bigl(f(x)-L\bigr)+\bigl(g(x)-M\bigr). \]
Por la desigualdad triangular,
\[ \bigl|f(x)+g(x)-(L+M)\bigr| \leq |f(x)-L|+|g(x)-M|. \]
Como \(f(x)\to L\), existe \(\delta_1>0\) tal que
\[ 0<|x-x_0|<\delta_1 \quad\Longrightarrow\quad |f(x)-L|<\frac{\varepsilon}{2}. \]
Análogamente, como \(g(x)\to M\), existe \(\delta_2>0\) tal que
\[ 0<|x-x_0|<\delta_2 \quad\Longrightarrow\quad |g(x)-M|<\frac{\varepsilon}{2}. \]
Tomemos
\[ \delta=\min\{\delta_1,\delta_2\}. \]
Si \(0<|x-x_0|<\delta\), ambas estimaciones anteriores son válidas. En consecuencia,
\[ \begin{aligned} \bigl|f(x)+g(x)-(L+M)\bigr| &\leq |f(x)-L|+|g(x)-M|\\ &<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}\\ &=\varepsilon. \end{aligned} \]
Por tanto,
\[ \lim_{x\to x_0}\bigl(f(x)+g(x)\bigr)=L+M. \]
Límite de la diferencia
La diferencia puede reescribirse como una suma:
\[ f(x)-g(x)=f(x)+\bigl(-g(x)\bigr). \]
Puesto que
\[ \bigl|-g(x)-(-M)\bigr|=|g(x)-M|, \]
de la definición de límite se sigue que
\[ \lim_{x\to x_0}\bigl(-g(x)\bigr)=-M. \]
Aplicando el teorema de la suma, obtenemos
\[ \lim_{x\to x_0}\bigl(f(x)-g(x)\bigr)=L-M. \]
Podemos, pues, reunir ambos resultados en la fórmula
\[ \lim_{x\to x_0}\bigl(f(x)\pm g(x)\bigr)=L\pm M. \]
Suma de un número finito de funciones
Aplicando el teorema de forma reiterada, el resultado se extiende a cualquier número finito de funciones. Si
\[ \lim_{x\to x_0}f_k(x)=L_k \qquad \text{para }k=1,\ldots,n, \]
entonces
\[ \lim_{x\to x_0}\sum_{k=1}^{n}f_k(x) = \sum_{k=1}^{n}L_k. \]
El teorema se refiere a límites finitos. Cuando una o ambas funciones tienden a \(+\infty\) o a \(-\infty\), el comportamiento de la suma o de la diferencia debe examinarse por separado.
Límite del producto
Sean \(f\) y \(g\) dos funciones definidas en un entorno reducido de \(x_0\) y supongamos que
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=L \qquad\text{y}\qquad \lim_{x\to x_0}g(x)=M, \]
con \(L,M\in\mathbb{R}\). Entonces el producto \(fg\) también tiene límite cuando \(x\to x_0\), y se cumple
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)g(x)=LM. \]
Antes de demostrar el teorema, recordemos una consecuencia fundamental de la existencia de un límite finito.
Acotación local
Si
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=L\in\mathbb{R}, \]
entonces \(f\) está acotada en un entorno reducido adecuado de \(x_0\). En particular, eligiendo \(\varepsilon=1\), existe \(\delta_0>0\) tal que
\[ 0<|x-x_0|<\delta_0 \quad\Longrightarrow\quad |f(x)-L|<1. \]
De la desigualdad triangular se sigue
\[ |f(x)| \leq |f(x)-L|+|L| < |L|+1. \]
Por tanto, suficientemente cerca de \(x_0\), los valores de \(f(x)\) no pueden hacerse arbitrariamente grandes en valor absoluto.
Demostración del teorema
Consideremos la diferencia entre el producto \(f(x)g(x)\) y \(LM\). Sumando y restando \(f(x)M\), obtenemos
\[ \begin{aligned} f(x)g(x)-LM &=f(x)g(x)-f(x)M+f(x)M-LM\\ &=f(x)\bigl(g(x)-M\bigr)+M\bigl(f(x)-L\bigr). \end{aligned} \]
Aplicando la desigualdad triangular,
\[ |f(x)g(x)-LM| \leq |f(x)|\,|g(x)-M| + |M|\,|f(x)-L|. \]
Como \(f(x)\to L\), por la acotación local existen un número \(K>0\) y un número \(\delta_0>0\) tales que
\[ 0<|x-x_0|<\delta_0 \quad\Longrightarrow\quad |f(x)|<K. \]
Por ejemplo, podemos tomar \(K=|L|+1\).
Fijado \(\varepsilon>0\), como \(g(x)\to M\), existe \(\delta_1>0\) tal que
\[ 0<|x-x_0|<\delta_1 \quad\Longrightarrow\quad |g(x)-M|<\frac{\varepsilon}{2K}. \]
Además, como \(f(x)\to L\), existe \(\delta_2>0\) tal que
\[ 0<|x-x_0|<\delta_2 \quad\Longrightarrow\quad |f(x)-L|<\frac{\varepsilon}{2(|M|+1)}. \]
Tomemos
\[ \delta=\min\{\delta_0,\delta_1,\delta_2\}. \]
Si \(0<|x-x_0|<\delta\), entonces
\[ \begin{aligned} |f(x)g(x)-LM| &\leq |f(x)|\,|g(x)-M|+|M|\,|f(x)-L|\\ &<K\frac{\varepsilon}{2K} +|M|\frac{\varepsilon}{2(|M|+1)}\\ &<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}\\ &=\varepsilon. \end{aligned} \]
Queda así demostrado que
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)g(x)=LM. \]
Producto por una constante
Si \(c\in\mathbb{R}\) es una constante y
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=L, \]
considerando la función constante \(g(x)=c\), el teorema del producto proporciona
\[ \lim_{x\to x_0}c\,f(x)=cL. \]
Este resultado permite extraer del símbolo de límite cualquier factor constante.
Producto de un número finito de funciones
Aplicando el teorema de forma reiterada, si
\[ \lim_{x\to x_0}f_k(x)=L_k \qquad \text{para }k=1,\ldots,n, \]
entonces
\[ \lim_{x\to x_0}\prod_{k=1}^{n}f_k(x) = \prod_{k=1}^{n}L_k. \]
Límite del recíproco y del cociente
El paso al recíproco requiere una condición adicional: el límite de la función del denominador debe ser distinto de cero. Esta hipótesis garantiza que la función no se anule en un entorno reducido adecuado del punto considerado.
Límite del recíproco
Sea \(g\) una función definida en un entorno reducido de \(x_0\) y supongamos que
\[ \lim_{x\to x_0}g(x)=M, \qquad M\neq 0. \]
Entonces existe un entorno reducido de \(x_0\) en el que \(g(x)\neq 0\), y se cumple
\[ \lim_{x\to x_0}\frac{1}{g(x)}=\frac{1}{M}. \]
El denominador se mantiene alejado de cero
Como \(M\neq 0\), podemos elegir
\[ \varepsilon_0=\frac{|M|}{2}. \]
De la convergencia de \(g(x)\) hacia \(M\) se sigue que existe \(\delta_0>0\) tal que
\[ 0<|x-x_0|<\delta_0 \quad\Longrightarrow\quad |g(x)-M|<\frac{|M|}{2}. \]
Por la desigualdad triangular inversa,
\[ |g(x)| \geq |M|-|g(x)-M| > |M|-\frac{|M|}{2} = \frac{|M|}{2}. \]
Por tanto, \(g(x)\neq 0\) para todo \(x\) suficientemente próximo a \(x_0\), con \(x\neq x_0\). Además, el valor absoluto del denominador está acotado inferiormente por una constante positiva.
Demostración. Consideremos la diferencia
\[ \frac{1}{g(x)}-\frac{1}{M}. \]
Reduciendo a común denominador, obtenemos
\[ \left|\frac{1}{g(x)}-\frac{1}{M}\right| = \frac{|M-g(x)|}{|M|\,|g(x)|}. \]
Para \(0<|x-x_0|<\delta_0\) se tiene \(|g(x)|>\displaystyle\frac{|M|}{2}\), de modo que
\[ \left|\frac{1}{g(x)}-\frac{1}{M}\right| < \frac{2}{|M|^2}|g(x)-M|. \]
Fijado \(\varepsilon>0\), como \(g(x)\to M\), existe \(\delta_1>0\) tal que
\[ 0<|x-x_0|<\delta_1 \quad\Longrightarrow\quad |g(x)-M|<\frac{\varepsilon |M|^2}{2}. \]
Tomando
\[ \delta=\min\{\delta_0,\delta_1\}, \]
para \(0<|x-x_0|<\delta\) se sigue que
\[ \left|\frac{1}{g(x)}-\frac{1}{M}\right| < \frac{2}{|M|^2}\cdot\frac{\varepsilon |M|^2}{2} = \varepsilon. \]
Queda, pues, demostrado que
\[ \lim_{x\to x_0}\frac{1}{g(x)}=\frac{1}{M}. \]
Límite del cociente
Sean ahora \(f\) y \(g\) dos funciones definidas en un entorno reducido de \(x_0\) y supongamos que
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=L, \qquad \lim_{x\to x_0}g(x)=M, \]
con \(L,M\in\mathbb{R}\) y \(M\neq 0\). Puesto que
\[ \frac{f(x)}{g(x)} = f(x)\frac{1}{g(x)}, \]
aplicando el teorema del producto y el del recíproco obtenemos
\[ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L}{M}. \]
La condición \(M\neq 0\) no es un detalle técnico. Si el denominador tiende a cero, el teorema del cociente no puede aplicarse, y los límites de \(f\) y de \(g\) no bastan, en general, para determinar el resultado. En particular, cuando también el numerador tiende a cero, aparece la forma indeterminada \(\displaystyle\frac{0}{0}\), que se estudiará en la sección correspondiente.
Límite de las potencias
El teorema del producto permite determinar el límite de las potencias enteras de una función. Sea \(f\) una función definida en un entorno reducido de \(x_0\) y supongamos que
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=L, \qquad L\in\mathbb{R}. \]
Exponente entero positivo
Si \(n\in\mathbb{N}\) y \(n\geq 1\), entonces
\[ \lim_{x\to x_0}\bigl(f(x)\bigr)^n=L^n. \]
En efecto, la potencia \(\bigl(f(x)\bigr)^n\) es el producto de \(n\) factores iguales a \(f(x)\):
\[ \bigl(f(x)\bigr)^n = \underbrace{f(x)\cdot f(x)\cdots f(x)}_{n\text{ factores}}. \]
Aplicando de forma reiterada el teorema del producto, obtenemos
\[ \lim_{x\to x_0}\bigl(f(x)\bigr)^n = \underbrace{L\cdot L\cdots L}_{n\text{ factores}} = L^n. \]
Exponente cero
En los puntos en los que \(f(x)\neq 0\) se tiene
\[ \bigl(f(x)\bigr)^0=1. \]
Si \(L\neq 0\), la función \(f\) se mantiene distinta de cero en un entorno reducido adecuado de \(x_0\). En dicho entorno, la potencia de exponente cero está por tanto definida y
\[ \lim_{x\to x_0}\bigl(f(x)\bigr)^0=1=L^0. \]
Si, por el contrario, \(L=0\), la expresión \(L^0\) no está definida y la fórmula anterior no puede emplearse. No obstante, en los puntos en los que \(f(x)\neq 0\) se tiene, de todos modos,
\[ \bigl(f(x)\bigr)^0=1. \]
Por tanto, si \(x_0\) es un punto de acumulación del dominio de la función \(\bigl(f(x)\bigr)^0\), su límite vale \(1\).
Exponente entero negativo
Sea \(n\in\mathbb{N}\) con \(n\geq 1\). Si \(L\neq 0\), entonces \(f(x)\neq 0\) para todo \(x\) suficientemente próximo a \(x_0\), con \(x\neq x_0\), y podemos escribir
\[ \bigl(f(x)\bigr)^{-n} = \frac{1}{\bigl(f(x)\bigr)^n}. \]
Del límite de las potencias positivas y del teorema del recíproco se sigue
\[ \lim_{x\to x_0}\bigl(f(x)\bigr)^{-n} = \frac{1}{L^n} = L^{-n}. \]
Podemos, pues, resumir los resultados distinguiendo los distintos casos. Para todo entero positivo \(n\),
\[ \lim_{x\to x_0}\bigl(f(x)\bigr)^n=L^n. \]
Para \(n=0\), la función \(\bigl(f(x)\bigr)^0\) vale \(1\) en los puntos en los que \(f(x)\neq 0\); por tanto, si \(x_0\) es un punto de acumulación de su dominio, el límite es igual a \(1\).
Para \(n<0\) es necesario que \(L\neq 0\); en tal caso,
\[ \lim_{x\to x_0}\bigl(f(x)\bigr)^n=L^n. \]
Polinomios en una función
Combinando el límite de las potencias con los teoremas de la suma y del producto por una constante, obtenemos un resultado más general. Si
\[ P(t)=a_0+a_1t+\cdots+a_nt^n \]
es un polinomio, entonces
\[ \lim_{x\to x_0}P\bigl(f(x)\bigr)=P(L). \]
Explícitamente,
\[ \lim_{x\to x_0} \left( a_0+a_1f(x)+\cdots+a_n\bigl(f(x)\bigr)^n \right) = a_0+a_1L+\cdots+a_nL^n. \]
Este resultado muestra que, cuando el límite de \(f\) es finito, un polinomio en \(f(x)\) conserva en el paso al límite su estructura algebraica.
Límite de las raíces
Sea \(n\in\mathbb{N}\), con \(n\geq 2\), y supongamos que
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=L, \qquad L\in\mathbb{R}. \]
Para determinar el límite de \(\sqrt[n]{f(x)}\) es preciso distinguir el caso en que \(n\) es impar del caso en que \(n\) es par.
Raíces de índice impar
Si \(n\) es impar, la raíz \(n\)-ésima está definida para todo número real. Por tanto,
\[ \lim_{x\to x_0}\sqrt[n]{f(x)}=\sqrt[n]{L}. \]
El resultado es válido para cualquier valor real de \(L\), ya sea positivo, nulo o negativo.
Raíces de índice par
Si \(n\) es par, la raíz real \(\sqrt[n]{f(x)}\) solo está definida en los puntos en los que \(f(x)\geq 0\). En consecuencia, el límite debe considerarse dentro del dominio de la función.
Si \(L>0\), de la convergencia de \(f(x)\) hacia \(L\) se sigue que \(f(x)>0\) para todo \(x\) suficientemente próximo a \(x_0\). En este caso,
\[ \lim_{x\to x_0}\sqrt[n]{f(x)}=\sqrt[n]{L}. \]
La misma fórmula es válida cuando \(L=0\), siempre que \(x_0\) sea un punto de acumulación del dominio de la función \(x\mapsto\sqrt[n]{f(x)}\):
\[ \lim_{x\to x_0}\sqrt[n]{f(x)}=0. \]
Si, por el contrario, \(L<0\), por el teorema de la permanencia del signo se tiene \(f(x)<0\) para todo \(x\) suficientemente próximo a \(x_0\), con \(x\neq x_0\). La raíz de índice par no está entonces definida en los números reales en ningún entorno reducido suficientemente pequeño de \(x_0\), que no puede, por tanto, ser un punto de acumulación de su dominio.
Demostración. Pongamos
\[ u(x)=\sqrt[n]{f(x)} \qquad\text{y}\qquad a=\sqrt[n]{L}, \]
en los casos en que estas cantidades sean reales.
Si \(L=0\), entonces \(a=0\) y, en los puntos pertenecientes al dominio de la raíz,
\[ |u(x)-a| = \left|\sqrt[n]{f(x)}\right| = \sqrt[n]{|f(x)|}. \]
Fijado \(\varepsilon>0\), de la convergencia de \(f(x)\) hacia \(0\) se sigue que existe \(\delta>0\) tal que
\[ 0<|x-x_0|<\delta \quad\Longrightarrow\quad |f(x)|<\varepsilon^n. \]
Se sigue entonces
\[ |u(x)| = \sqrt[n]{|f(x)|} < \varepsilon, \]
y, por tanto, \(u(x)\to 0\).
Supongamos ahora \(L\neq 0\). Si \(n\) es par, necesariamente \(L>0\) y, por tanto, \(a>0\). Fijado \(\varepsilon>0\), tomamos
\[ \varepsilon_0= \begin{cases} \varepsilon, & n\text{ impar},\\ \min\left\{\varepsilon,\displaystyle\frac{a}{2}\right\}, & n\text{ par}. \end{cases} \]
La función \(t\mapsto t^n\) es estrictamente creciente en \(\mathbb{R}\) cuando \(n\) es impar, y en \([0,+\infty)\) cuando \(n\) es par. Por tanto, los números
\[ \eta_1=(a+\varepsilon_0)^n-a^n, \qquad \eta_2=a^n-(a-\varepsilon_0)^n \]
son ambos positivos. Tomamos
\[ \eta=\min\{\eta_1,\eta_2\}. \]
Como \(f(x)\to L=a^n\), existe \(\delta>0\) tal que
\[ 0<|x-x_0|<\delta \quad\Longrightarrow\quad |f(x)-a^n|<\eta. \]
En los puntos pertenecientes al dominio de la raíz, esta desigualdad implica
\[ (a-\varepsilon_0)^n < f(x) < (a+\varepsilon_0)^n. \]
Por la monotonía de la raíz \(n\)-ésima se sigue
\[ a-\varepsilon_0 < u(x) < a+\varepsilon_0. \]
En consecuencia,
\[ |u(x)-a|<\varepsilon_0\leq\varepsilon. \]
Queda así demostrado que
\[ \lim_{x\to x_0}\sqrt[n]{f(x)}=\sqrt[n]{L} \]
siempre que \(x_0\) sea un punto de acumulación del dominio real de la función \(x\mapsto\sqrt[n]{f(x)}\).
Potencias con exponente racional
Sean \(m\in\mathbb{Z}\) y \(n\in\mathbb{N}\), con \(n\geq 1\), y supongamos que la fracción \(\displaystyle\frac{m}{n}\) es irreducible. Si \(x_0\) es un punto de acumulación del dominio real de la función
\[ x\mapsto\bigl(f(x)\bigr)^{\frac{m}{n}} \]
y el número \(L^{\frac{m}{n}}\) está definido en los números reales, entonces
\[ \lim_{x\to x_0}\bigl(f(x)\bigr)^{\frac{m}{n}}=L^{\frac{m}{n}}. \]
El resultado se obtiene combinando el teorema sobre el límite de las potencias enteras con el correspondiente a las raíces. En efecto, escribimos \(\bigl(f(x)\bigr)^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{\bigl(f(x)\bigr)^{m}}\) y aplicamos sucesivamente los dos teoremas ya demostrados.
Si \(n\) es par, la base debe ser no negativa en los puntos considerados; cuando \(m<0\), debe además ser estrictamente positiva y es preciso que \(L>0\). Si \(n\) es impar, se admiten también bases negativas; cuando \(m<0\), es en todo caso necesario que la base sea distinta de cero en los puntos considerados y que \(L\neq 0\).
Límite del valor absoluto
Sea \(f\) una función definida en un entorno reducido de \(x_0\) y supongamos que
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=L, \qquad L\in\mathbb{R}. \]
Entonces
\[ \lim_{x\to x_0}|f(x)|=|L|. \]
Demostración. Por la desigualdad triangular inversa, para todo \(x\) perteneciente al dominio de \(f\) se tiene
\[ \bigl||f(x)|-|L|\bigr| \leq |f(x)-L|. \]
Fijado \(\varepsilon>0\), de la convergencia de \(f(x)\) hacia \(L\) se sigue que existe \(\delta>0\) tal que
\[ 0<|x-x_0|<\delta \quad\Longrightarrow\quad |f(x)-L|<\varepsilon. \]
En las mismas condiciones se tiene, por tanto,
\[ \bigl||f(x)|-|L|\bigr| \leq |f(x)-L| < \varepsilon. \]
Esto demuestra que
\[ \lim_{x\to x_0}|f(x)|=|L|. \]
La implicación recíproca no es válida en general
De la existencia del límite de \(|f(x)|\) no se sigue necesariamente la existencia del límite de \(f(x)\). Por ejemplo, consideremos
\[ f(x)= \begin{cases} 1, & x>0,\\ -1, & x<0. \end{cases} \]
Para todo \(x\neq 0\) se tiene \(|f(x)|=1\), de modo que
\[ \lim_{x\to 0}|f(x)|=1. \]
Sin embargo,
\[ \lim_{x\to 0^+}f(x)=1 \qquad\text{y}\qquad \lim_{x\to 0^-}f(x)=-1. \]
Como el límite por la derecha y el límite por la izquierda son distintos, el límite de \(f\) cuando \(x\to 0\) no existe.
Permanencia del signo
Si \(L>0\), entonces \(f(x)>0\) para todo \(x\) suficientemente próximo a \(x_0\), con \(x\neq x_0\). En efecto, tomando \(\varepsilon=L/2\), se obtiene
\[ |f(x)-L|<\frac{L}{2}, \]
de donde
\[ f(x)>L-\frac{L}{2}=\frac{L}{2}>0. \]
Análogamente, si \(L<0\), la función toma valores negativos en un entorno reducido adecuado de \(x_0\).
Cuando el límite es distinto de cero, el valor absoluto puede, por tanto, eliminarse localmente teniendo en cuenta el signo de \(L\):
\[ |f(x)|= \begin{cases} f(x), & L>0,\\ -f(x), & L<0, \end{cases} \]
para todo \(x\) suficientemente próximo a \(x_0\).
Límite de una función compuesta
Sea \(f\) una función definida en un entorno reducido de \(x_0\), y sea \(\varphi\) una función definida en un entorno reducido de un punto \(L\). Supongamos que
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=L. \]
La función compuesta
\[ (\varphi\circ f)(x)=\varphi\bigl(f(x)\bigr) \]
está definida en los puntos en los que el valor \(f(x)\) pertenece al dominio de \(\varphi\). Para determinar su límite es preciso, pues, estudiar el comportamiento de la función externa \(\varphi\) cuando su argumento tiende a \(L\).
Teorema sobre el límite de la función compuesta
Supongamos que
\[ \lim_{t\to L}\varphi(t)=M, \]
con \(M\in\mathbb{R}\), y que, para todo \(x\) suficientemente próximo a \(x_0\), con \(x\neq x_0\), se cumplen las condiciones
\[ f(x)\in\operatorname{Dom}(\varphi) \qquad\text{y}\qquad f(x)\neq L. \]
Entonces
\[ \lim_{x\to x_0}\varphi\bigl(f(x)\bigr)=M. \]
La condición \(f(x)\neq L\) se exige porque el límite de \(\varphi(t)\) cuando \(t\to L\) describe el comportamiento de la función en los puntos próximos a \(L\), pero distintos de \(L\). El valor \(\varphi(L)\), cuando existe, no interviene en esta formulación del teorema.
Demostración. Fijado \(\varepsilon>0\), de la relación
\[ \lim_{t\to L}\varphi(t)=M \]
se sigue que existe \(\eta>0\) tal que
\[ 0<|t-L|<\eta \quad\Longrightarrow\quad |\varphi(t)-M|<\varepsilon. \]
Como \(f(x)\to L\), existe \(\delta>0\) tal que
\[ 0<|x-x_0|<\delta \quad\Longrightarrow\quad |f(x)-L|<\eta. \]
Por hipótesis, reduciendo \(\delta\) si es necesario, podemos además suponer que
\[ f(x)\in\operatorname{Dom}(\varphi) \qquad\text{y}\qquad f(x)\neq L. \]
Por tanto,
\[ 0<|f(x)-L|<\eta, \]
y, aplicando la condición relativa al límite de \(\varphi\), obtenemos
\[ \bigl|\varphi(f(x))-M\bigr|<\varepsilon. \]
De donde se sigue que
\[ \lim_{x\to x_0}\varphi\bigl(f(x)\bigr)=M. \]
Caso de la función externa continua
Si \(\varphi\) es continua en el punto \(L\), entonces
\[ \lim_{t\to L}\varphi(t)=\varphi(L). \]
En este caso no es necesario exigir que \(f(x)\neq L\) cerca de \(x_0\), ya que la función externa está definida también en el punto \(L\) y su valor coincide con el límite. Se obtiene, pues, la regla
\[ \lim_{x\to x_0}\varphi\bigl(f(x)\bigr) = \varphi\left(\lim_{x\to x_0}f(x)\right) = \varphi(L). \]
Esta fórmula expresa la posibilidad de hacer pasar el límite a través de una función continua.
Por ejemplo, dado que la función coseno es continua en todo punto real, si \(f(x)\to L\), entonces
\[ \lim_{x\to x_0}\cos\bigl(f(x)\bigr)=\cos L. \]
El papel del dominio
Antes de aplicar el teorema es siempre necesario comprobar que la composición esté definida en los puntos considerados. Si, por ejemplo, la función externa es
\[ \varphi(t)=\sqrt{t}, \]
es preciso que \(f(x)\geq 0\) en los puntos del dominio suficientemente próximos a \(x_0\). Análogamente, si
\[ \varphi(t)=\frac{1}{t}, \]
es necesario que \(f(x)\neq 0\).
El teorema de la función compuesta no elimina, pues, las condiciones de existencia de las operaciones implicadas: permite determinar el límite solo después de haber comprobado dichas condiciones.
Operaciones con límites infinitos
Cuando una función tiende a \(+\infty\) o a \(-\infty\), el límite no es un número real. Las expresiones en las que intervienen los símbolos de infinito no deben, por tanto, interpretarse como igualdades aritméticas ordinarias: resumen teoremas sobre el comportamiento de las funciones.
En esta sección consideraremos únicamente las combinaciones que determinan de forma unívoca el resultado. Las operaciones para las que los límites de cada función por separado no bastan se examinarán aparte.
Suma y diferencia
Sean \(f\) y \(g\) definidas en un entorno reducido de \(x_0\). Si
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty \qquad\text{y}\qquad \lim_{x\to x_0}g(x)=M, \]
con \(M\in\mathbb{R}\), entonces
\[ \lim_{x\to x_0}\bigl(f(x)+g(x)\bigr)=+\infty. \]
En efecto, como \(g(x)\to M\), para \(x\) suficientemente próximo a \(x_0\) se tiene
\[ g(x)>M-1. \]
Fijado un número real \(A\), de la relación \(f(x)\to+\infty\) se sigue que, para \(x\) suficientemente próximo a \(x_0\),
\[ f(x)>A-M+1. \]
Por tanto,
\[ f(x)+g(x)>A-M+1+M-1=A. \]
La suma supera, pues, cualquier cota real prefijada. De forma análoga,
\[ \begin{aligned} +\infty+M&=+\infty,\\ -\infty+M&=-\infty, \end{aligned} \qquad M\in\mathbb{R}, \]
donde estas expresiones representan de forma abreviada los resultados correspondientes sobre límites.
Si ambas funciones tienden al mismo infinito, sus efectos se suman:
\[ \begin{aligned} +\infty+(+\infty)&=+\infty,\\ -\infty+(-\infty)&=-\infty. \end{aligned} \]
Por ejemplo, en el primer caso, fijado \(A\in\mathbb{R}\), basta con que
\[ f(x)>\frac{A}{2} \qquad\text{y}\qquad g(x)>\frac{A}{2} \]
para obtener \(f(x)+g(x)>A\).
La diferencia se reduce a la suma mediante la identidad
\[ f(x)-g(x)=f(x)+\bigl(-g(x)\bigr). \]
De ahí se siguen, entre otros, los casos determinados
\[ \begin{aligned} +\infty-M&=+\infty,\\ -\infty-M&=-\infty,\\ M-(+\infty)&=-\infty,\\ M-(-\infty)&=+\infty, \end{aligned} \qquad M\in\mathbb{R}. \]
Si los dos términos tienden a infinitos de signo opuesto, se tienen además los casos determinados
\[ +\infty-(-\infty)=+\infty, \qquad -\infty-(+\infty)=-\infty. \]
Una diferencia entre dos cantidades que tienden ambas al mismo infinito no queda, en cambio, cubierta por estas reglas.
Producto
Supongamos que
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty \qquad\text{y}\qquad \lim_{x\to x_0}g(x)=M, \]
con \(M>0\). Como \(g(x)\to M\), para \(x\) suficientemente próximo a \(x_0\) se tiene
\[ g(x)>\frac{M}{2}>0. \]
Fijado \(A>0\), de la relación \(f(x)\to+\infty\) se sigue que, para \(x\) suficientemente próximo a \(x_0\),
\[ f(x)>\frac{2A}{M}. \]
En consecuencia,
\[ f(x)g(x)>\frac{2A}{M}\cdot\frac{M}{2}=A, \]
y, por tanto,
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)g(x)=+\infty. \]
El signo del producto depende de los signos que ambos factores toman en las proximidades de \(x_0\). Si \(M\neq 0\), podemos resumir los distintos casos del siguiente modo:
\[ \begin{array}{c|cc} & M>0 & M<0\\ \hline f(x)\to+\infty & f(x)g(x)\to+\infty & f(x)g(x)\to-\infty\\ f(x)\to-\infty & f(x)g(x)\to-\infty & f(x)g(x)\to+\infty \end{array} \]
Si ambos factores tienen límite infinito, rigen las reglas usuales de los signos:
\[ \begin{aligned} (+\infty)(+\infty)&=+\infty,\\ (-\infty)(-\infty)&=+\infty,\\ (+\infty)(-\infty)&=-\infty,\\ (-\infty)(+\infty)&=-\infty. \end{aligned} \]
El producto de una función que tiende a cero por una función cuyo valor absoluto tiende a infinito no queda, en cambio, determinado solo con estas informaciones.
Recíproco y cociente
Si
\[ \lim_{x\to x_0}g(x)=+\infty \qquad\text{o bien}\qquad \lim_{x\to x_0}g(x)=-\infty, \]
entonces
\[ \lim_{x\to x_0}\frac{1}{g(x)}=0. \]
En efecto, fijado \(\varepsilon>0\), el valor absoluto de \(g(x)\) supera, para \(x\) suficientemente próximo a \(x_0\), el valor \(\displaystyle\frac{1}{\varepsilon}\). Por tanto,
\[ \left|\frac{1}{g(x)}\right| = \frac{1}{|g(x)|} < \varepsilon. \]
Si \(f(x)\to L\in\mathbb{R}\), aplicando el teorema del producto para límites finitos a
\[ \frac{f(x)}{g(x)} = f(x)\frac{1}{g(x)}, \]
y recordando que \(\displaystyle\frac{1}{g(x)}\to 0\), obtenemos
\[ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=0 \]
siempre que el numerador tenga límite finito y el denominador tienda a \(+\infty\) o a \(-\infty\).
Si, por el contrario, el numerador tiende a \(+\infty\) o a \(-\infty\) y el denominador tiende a un número real \(M\neq 0\), el cociente se reduce al producto del numerador por una función que tiende a \(\displaystyle\frac{1}{M}\). El signo del resultado depende, pues, de si el numerador tiende a \(+\infty\) o a \(-\infty\), y del signo de \(M\).
Denominador que tiende a cero
Para describir el comportamiento del recíproco cuando el denominador tiende a cero, es necesario conocer el signo con el que este se aproxima a cero.
Si
\[ g(x)\to 0^+, \]
es decir, \(g(x)\to 0\) tomando valores positivos en las proximidades de \(x_0\), entonces
\[ \frac{1}{g(x)}\to+\infty. \]
Si, por el contrario,
\[ g(x)\to 0^-, \]
entonces
\[ \frac{1}{g(x)}\to-\infty. \]
En consecuencia, si \(f(x)\to L\neq 0\), el límite del cociente depende del signo de \(L\) y del signo con el que \(g(x)\) tiende a cero:
\[ \begin{array}{c|cc} & g(x)\to 0^+ & g(x)\to 0^-\\ \hline L>0 & \displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}\to+\infty & \displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}\to-\infty\\ L<0 & \displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}\to-\infty & \displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}\to+\infty \end{array} \]
Si el denominador tiende a cero cambiando de signo arbitrariamente cerca de \(x_0\), estas informaciones no permiten, en general, establecer un único límite.
Potencias y raíces
Para todo entero positivo \(n\), si \(f(x)\to+\infty\), entonces
\[ \bigl(f(x)\bigr)^n\to+\infty. \]
Si, por el contrario, \(f(x)\to-\infty\), el resultado depende de la paridad del exponente:
\[ \bigl(f(x)\bigr)^n\to \begin{cases} +\infty, & n\text{ par},\\ -\infty, & n\text{ impar}. \end{cases} \]
Para \(n\geq 1\), de las propiedades del recíproco se sigue además
\[ \bigl(f(x)\bigr)^{-n}\to 0 \]
cuando \(f(x)\to+\infty\) o bien \(f(x)\to-\infty\).
Por último, si \(f(x)\to+\infty\), entonces
\[ \sqrt[n]{f(x)}\to+\infty \]
para todo \(n\geq 2\). Si \(n\) es impar y \(f(x)\to-\infty\), se tiene en cambio
\[ \sqrt[n]{f(x)}\to-\infty. \]
Todas las reglas presentadas en esta sección se refieren a casos en los que los límites de las funciones implicadas determinan el resultado. Cuando esto no ocurre, la operación conduce a una forma indeterminada.
Formas determinadas y formas indeterminadas
Al calcular el límite de una expresión formada por varias funciones, los límites de cada una de las partes pueden bastar para establecer el resultado o pueden dejar abiertas varias posibilidades.
En el primer caso se habla de forma determinada: el comportamiento de las funciones implicadas determina de forma unívoca el límite de la expresión. En el segundo caso se habla de forma indeterminada: la sola información sobre los límites de cada parte no permite obtener el resultado.
Una forma indeterminada no indica, por tanto, que el límite no exista. Significa únicamente que no puede determinarse aplicando directamente las reglas generales sobre las operaciones.
Significado de las formas simbólicas
Expresiones como
\[ \frac{0}{0}, \qquad \frac{\infty}{\infty}, \qquad 0\cdot\infty, \qquad \infty-\infty \]
no representan operaciones efectuadas entre números. Describen de forma abreviada el comportamiento de las funciones que componen la expresión cuyo límite se considera.
Por ejemplo, la forma
\[ \frac{0}{0} \]
significa que el numerador tiende a cero y, al mismo tiempo, el denominador tiende a cero. De esta sola información no se sigue ningún valor concreto para el cociente.
Forma indeterminada \(\displaystyle\frac{0}{0}\)
Consideremos los límites
\[ \lim_{x\to 0}\frac{x}{x}, \qquad \lim_{x\to 0}\frac{x^2}{x}, \qquad \lim_{x\to 0}\frac{x}{x^2}. \]
En los tres casos, numerador y denominador tienden a cero. Sin embargo,
\[ \frac{x}{x}=1, \qquad \frac{x^2}{x}=x, \qquad \frac{x}{x^2}=\frac{1}{x}, \]
para \(x\neq 0\). Por tanto, el primer límite vale \(1\) y el segundo vale \(0\). En el tercer caso,
\[ \lim_{x\to 0^+}\frac{1}{x}=+\infty \qquad\text{y}\qquad \lim_{x\to 0^-}\frac{1}{x}=-\infty. \]
Como el límite por la derecha y el límite por la izquierda son distintos, el límite cuando \(x\to 0\) no existe.
La forma \(\displaystyle\frac{0}{0}\) puede, por tanto, conducir a un número real no nulo, a cero, a un límite infinito o a la no existencia del límite.
Forma indeterminada \(\displaystyle\frac{\infty}{\infty}\)
Consideremos ahora
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{x}{x}, \qquad \lim_{x\to+\infty}\frac{x}{x^2}, \qquad \lim_{x\to+\infty}\frac{x^2}{x}. \]
En cada cociente, numerador y denominador tienden a \(+\infty\), pero
\[ \frac{x}{x}=1, \qquad \frac{x}{x^2}=\frac{1}{x}, \qquad \frac{x^2}{x}=x. \]
Los límites respectivos son, por tanto,
\[ 1, \qquad 0, \qquad +\infty. \]
El resultado depende de la rapidez con la que crecen el numerador y el denominador, y no del mero hecho de que ambos tiendan a infinito.
Forma indeterminada \(0\cdot\infty\)
En un producto de una función que tiende a cero por una función cuyo valor absoluto tiende a infinito, los dos factores ejercen efectos opuestos: el primero tiende a hacer pequeño el producto, mientras que el segundo tiende a aumentar su valor absoluto.
Por ejemplo, cuando \(x\to+\infty\),
\[ \frac{1}{x}\cdot x=1, \qquad \frac{1}{x^2}\cdot x=\frac{1}{x}, \qquad \frac{1}{x}\cdot x^2=x. \]
En los tres casos el primer factor tiende a cero y el segundo tiende a \(+\infty\), pero los productos tienden respectivamente a \(1\), a \(0\) y a \(+\infty\).
La forma \(0\cdot\infty\) se transforma a menudo en una forma de cociente. Puesto que una función cuyo valor absoluto tiende a infinito es distinta de cero en las proximidades de \(x_0\), podemos escribir
\[ f(x)g(x) = \frac{f(x)}{\displaystyle\frac{1}{g(x)}}. \]
Si, además, \(f(x)\neq 0\) para todo \(x\) suficientemente próximo al punto considerado, puede emplearse como alternativa
\[ f(x)g(x) = \frac{g(x)}{\displaystyle\frac{1}{f(x)}}. \]
La elección de la transformación depende de la estructura de la expresión.
Forma indeterminada \(\infty-\infty\)
Cuando dos funciones tienden al mismo infinito, su diferencia depende de cómo se comparan entre sí.
Cuando \(x\to+\infty\), consideremos
\[ (x+1)-x, \qquad x-x, \qquad x-2x. \]
En cada caso los dos términos tienden a \(+\infty\), pero las diferencias son respectivamente
\[ 1, \qquad 0, \qquad -x. \]
Los límites resultan ser, por tanto, \(1\), \(0\) y \(-\infty\).
Para eliminar esta forma se procura, por lo general, sacar un factor común, reducir a común denominador, racionalizar o reescribir la expresión en una forma equivalente más adecuada para la comparación.
Formas indeterminadas exponenciales
Cuando tanto la base como el exponente dependen de \(x\), pueden presentarse también las formas
\[ 1^\infty, \qquad 0^0, \qquad \infty^0. \]
La forma \(1^\infty\) aparece cuando la base tiende a \(1\), mientras que el exponente tiende a \(+\infty\) o bien a \(-\infty\). El hecho de que la base se aproxime a \(1\) no basta para determinar el límite de la potencia.
Por ejemplo, cuando \(x\to+\infty\),
\[ \left(1+\frac{1}{x^2}\right)^x\to 1, \qquad \left(1+\frac{1}{x}\right)^x\to e, \qquad \left(1+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^x\to+\infty. \]
En los tres casos la base tiende a \(1\) y el exponente tiende a \(+\infty\), pero los límites son distintos.
También la forma \(0^0\) puede dar lugar a comportamientos distintos. Cuando \(x\to 0^+\), consideremos
\[ x^x\to 1, \qquad x^{\frac{1}{|\ln(x)|}}\to e^{-1}, \qquad x^{\frac{1}{\sqrt{|\ln(x)|}}}\to 0. \]
En los tres casos la base tiende a \(0^+\) y el exponente tiende a cero. Los límites son, sin embargo, distintos, porque el comportamiento de la potencia depende del producto del exponente por el logaritmo natural de la base.
Para la forma \(\infty^0\), con \(x\to+\infty\), pueden considerarse
\[ x^{1/x}\to 1, \qquad x^{1/\ln(x)}\to e, \qquad x^{1/\sqrt{\ln(x)}}\to+\infty. \]
En los tres casos la base tiende a \(+\infty\) y el exponente tiende a cero, pero los límites son distintos.
Las formas exponenciales se estudian normalmente aplicando el logaritmo natural. Si
\[ y(x)=\bigl(f(x)\bigr)^{g(x)} \]
y \(f(x)>0\) en los puntos considerados, entonces
\[ \ln\bigl(y(x)\bigr)=g(x)\ln\bigl(f(x)\bigr). \]
El problema queda así reducido al estudio del producto \(g(x)\ln\bigl(f(x)\bigr)\).
Cuadro resumen
Las principales formas indeterminadas son
\[ \frac{0}{0}, \qquad \frac{\infty}{\infty}, \qquad 0\cdot\infty, \qquad \infty-\infty, \qquad 1^\infty, \qquad 0^0, \qquad \infty^0. \]
Reconocer una forma indeterminada no concluye el cálculo del límite: señala el punto en el que las reglas inmediatas ya no bastan. A partir de ese momento es preciso transformar la expresión o comparar con mayor cuidado las funciones implicadas.
Límites de polinomios y funciones racionales
Los teoremas sobre las operaciones permiten calcular directamente los límites de los polinomios y, cuando el denominador no tiende a cero, los de las funciones racionales.
Límite de un polinomio en un punto finito
Sea
\[ P(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n \]
un polinomio con coeficientes reales. Puesto que
\[ \lim_{x\to x_0}x=x_0, \]
de los teoremas de la suma, del producto por una constante y de las potencias se sigue
\[ \lim_{x\to x_0}P(x) = a_0+a_1x_0+\cdots+a_nx_0^n = P(x_0). \]
El límite de un polinomio en un punto real se calcula, por tanto, sustituyendo directamente \(x\) por el valor \(x_0\).
Este resultado expresa la continuidad de los polinomios en todo \(\mathbb{R}\).
Límite de una función racional en un punto finito
Sean \(P\) y \(Q\) dos polinomios, con \(Q\) no nulo, y consideremos la función racional
\[ R(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}. \]
Si
\[ Q(x_0)\neq 0, \]
entonces el teorema del cociente proporciona
\[ \lim_{x\to x_0}\frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{P(x_0)}{Q(x_0)}. \]
También en este caso el límite se obtiene mediante sustitución directa.
Si, por el contrario, \(Q(x_0)=0\), el teorema del cociente no puede aplicarse. El comportamiento depende del numerador y de la estructura algebraica de la fracción.
Si
\[ P(x_0)\neq 0 \qquad\text{y}\qquad Q(x)\to 0, \]
el valor absoluto del cociente crece sin límite, pero para determinar su signo es preciso estudiar el del numerador y el del denominador en las proximidades de \(x_0\).
Si, en cambio,
\[ P(x_0)=Q(x_0)=0, \]
aparece la forma indeterminada \(\displaystyle\frac{0}{0}\). En este caso puede ser posible factorizar los polinomios y simplificar los factores comunes.
Si \(P\) es el polinomio nulo, la función racional vale \(0\) en todo punto de su dominio y el límite es igual a \(0\). Supongamos, pues, que \(P\) y \(Q\) no son polinomios nulos, y denotemos por \(r,s\geq 1\) las respectivas multiplicidades de \(x_0\) como raíz. Podemos entonces escribir
\[ P(x)=(x-x_0)^rP_1(x), \qquad Q(x)=(x-x_0)^sQ_1(x), \]
con
\[ P_1(x_0)\neq 0, \qquad Q_1(x_0)\neq 0. \]
Para \(x\neq x_0\) se tiene
\[ \frac{P(x)}{Q(x)} = (x-x_0)^{r-s}\frac{P_1(x)}{Q_1(x)}. \]
Si \(r>s\), entonces
\[ \lim_{x\to x_0}\frac{P(x)}{Q(x)}=0. \]
Si \(r=s\), entonces
\[ \lim_{x\to x_0}\frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{P_1(x_0)}{Q_1(x_0)}. \]
Si \(r<s\), por último,
\[ \left|\frac{P(x)}{Q(x)}\right|\to+\infty. \]
En este último caso, para determinar si el límite es \(+\infty\), \(-\infty\) o si los límites por la derecha y por la izquierda son distintos, es necesario analizar el signo de la expresión.
Límite de un polinomio en el infinito
Consideremos un polinomio de grado \(n\geq 1\):
\[ P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0, \qquad a_n\neq 0. \]
Sacando como factor común la potencia de mayor grado, obtenemos
\[ P(x) = x^n \left( a_n+\frac{a_{n-1}}{x} +\cdots+ \frac{a_1}{x^{n-1}} +\frac{a_0}{x^n} \right). \]
Cuando \(x\to+\infty\) o \(x\to-\infty\), todos los términos que contienen una potencia positiva de \(x\) en el denominador tienden a cero. En consecuencia,
\[ a_n+\frac{a_{n-1}}{x} +\cdots+ \frac{a_0}{x^n} \to a_n. \]
El comportamiento del polinomio queda, por tanto, determinado por el término de mayor grado:
\[ P(x)\sim a_nx^n \qquad \text{para }x\to\pm\infty. \]
El símbolo \(\sim\) indica que el cociente entre ambas expresiones tiende a \(1\):
\[ \lim_{x\to\pm\infty}\frac{P(x)}{a_nx^n}=1. \]
Cuando \(x\to+\infty\), el signo del límite coincide con el del coeficiente principal \(a_n\):
\[ \lim_{x\to+\infty}P(x) = \begin{cases} +\infty, & a_n>0,\\ -\infty, & a_n<0. \end{cases} \]
Cuando \(x\to-\infty\), interviene también la paridad del grado:
\[ \lim_{x\to-\infty}P(x) = \begin{cases} +\infty, & n\text{ par y }a_n>0,\\ -\infty, & n\text{ par y }a_n<0,\\ -\infty, & n\text{ impar y }a_n>0,\\ +\infty, & n\text{ impar y }a_n<0. \end{cases} \]
Límite de una función racional en el infinito
Sean
\[ P(x)=a_nx^n+\cdots+a_0, \qquad Q(x)=b_mx^m+\cdots+b_0, \]
con \(a_n\neq 0\) y \(b_m\neq 0\). Para estudiar
\[ \lim_{x\to\pm\infty}\frac{P(x)}{Q(x)}, \]
sacamos factor común \(x^n\) en el numerador y \(x^m\) en el denominador:
\[ \begin{aligned} \frac{P(x)}{Q(x)} &= \frac{ x^n\left( a_n+\displaystyle\frac{a_{n-1}}{x}+\cdots+ \displaystyle\frac{a_0}{x^n} \right) }{ x^m\left( b_m+\displaystyle\frac{b_{m-1}}{x}+\cdots+ \displaystyle\frac{b_0}{x^m} \right) }\\ &= x^{n-m} \frac{ a_n+\displaystyle\frac{a_{n-1}}{x}+\cdots+ \displaystyle\frac{a_0}{x^n} }{ b_m+\displaystyle\frac{b_{m-1}}{x}+\cdots+ \displaystyle\frac{b_0}{x^m} }. \end{aligned} \]
El segundo factor tiende a
\[ \frac{a_n}{b_m}. \]
El resultado depende, por tanto, de la comparación entre los grados \(n\) y \(m\).
Si \(n<m\), entonces \(x^{n-m}\to 0\) y
\[ \lim_{x\to\pm\infty}\frac{P(x)}{Q(x)}=0. \]
Si \(n=m\), entonces
\[ \lim_{x\to\pm\infty}\frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{a_n}{b_m}. \]
Si \(n>m\), el valor absoluto del cociente tiende a \(+\infty\):
\[ \left|\frac{P(x)}{Q(x)}\right|\to+\infty. \]
El signo del límite se determina estudiando
\[ \frac{a_n}{b_m}x^{n-m}. \]
En particular, cuando \(x\to+\infty\) el signo coincide con el del cociente \(\displaystyle\frac{a_n}{b_m}\). Cuando \(x\to-\infty\), es preciso considerar también la paridad de la diferencia \(n-m\).
Principio del término dominante
Los resultados anteriores pueden resumirse observando que, en el infinito, los términos de menor grado resultan despreciables frente a los de mayor grado:
\[ P(x)\sim a_nx^n, \qquad Q(x)\sim b_mx^m. \]
En consecuencia,
\[ \frac{P(x)}{Q(x)} \sim \frac{a_n}{b_m}x^{n-m}. \]
Esta relación no sustituye a la demostración, sino que resume su contenido: el comportamiento asintótico de una función racional está gobernado por los términos de mayor grado del numerador y del denominador.
Ejemplos de repaso y errores que deben evitarse
En el cálculo de un límite, el primer paso consiste en identificar los límites de cada una de las partes de la expresión. Solo después de esta comprobación es posible establecer si los teoremas sobre las operaciones conducen directamente al resultado o si aparece una forma indeterminada.
Suma, producto y potencias
Consideremos
\[ \lim_{x\to 2}\left(3x^2-5x+4\right). \]
Como la función es un polinomio, el límite se obtiene mediante sustitución directa:
\[ \begin{aligned} \lim_{x\to 2}\left(3x^2-5x+4\right) &=3\cdot 2^2-5\cdot 2+4\\ &=12-10+4\\ &=6. \end{aligned} \]
La sustitución es lícita porque el resultado se deriva de los teoremas de la suma, del producto y de las potencias.
Cociente con denominador no nulo
Consideremos
\[ \lim_{x\to 1}\frac{x^2+2x}{x+3}. \]
El numerador tiende a \(3\), mientras que el denominador tiende a \(4\neq 0\). Podemos, pues, aplicar el teorema del cociente:
\[ \lim_{x\to 1}\frac{x^2+2x}{x+3} = \frac{3}{4}. \]
Forma indeterminada \(\displaystyle\frac{0}{0}\)
Consideremos
\[ \lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2}. \]
La sustitución directa produce la forma indeterminada
\[ \frac{0}{0}. \]
Factorizamos el numerador:
\[ x^2-4=(x-2)(x+2). \]
Para \(x\neq 2\), podemos simplificar el factor común:
\[ \frac{x^2-4}{x-2}=x+2. \]
Como el límite depende de los valores que toma la función en las proximidades de \(2\), y no del valor en el propio punto, se sigue
\[ \lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2} = \lim_{x\to 2}(x+2) = 4. \]
Forma indeterminada \(\infty-\infty\)
Consideremos
\[ \lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+x}-x\right). \]
Ambos términos tienden a \(+\infty\), de modo que aparece la forma indeterminada \(\infty-\infty\). Multiplicamos y dividimos por la expresión conjugada:
\[ \begin{aligned} \sqrt{x^2+x}-x &= \frac{ \left(\sqrt{x^2+x}-x\right) \left(\sqrt{x^2+x}+x\right) }{ \sqrt{x^2+x}+x }\\ &= \frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}. \end{aligned} \]
Como \(x>0\) para todo \(x\) suficientemente grande, podemos dividir numerador y denominador por \(x\):
\[ \frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x} = \frac{1}{\sqrt{1+\displaystyle\frac{1}{x}}+1}. \]
En este punto el límite queda determinado:
\[ \lim_{x\to+\infty} \frac{1}{\sqrt{1+\displaystyle\frac{1}{x}}+1} = \frac{1}{2}. \]
Cociente de polinomios en el infinito
Consideremos
\[ \lim_{x\to-\infty} \frac{2x^3-x+1}{x^2+4}. \]
El grado del numerador es mayor que el del denominador. El comportamiento del cociente está, por tanto, gobernado por el cociente entre los términos de mayor grado:
\[ \frac{2x^3}{x^2}=2x. \]
Como \(2x\to-\infty\) cuando \(x\to-\infty\), obtenemos
\[ \lim_{x\to-\infty} \frac{2x^3-x+1}{x^2+4} = -\infty. \]
El mismo resultado puede comprobarse dividiendo numerador y denominador por \(x^2\):
\[ \frac{2x^3-x+1}{x^2+4} = \frac{ 2x-\displaystyle\frac{1}{x} +\displaystyle\frac{1}{x^2} }{ 1+\displaystyle\frac{4}{x^2} }. \]
El denominador tiende a \(1\), mientras que el numerador tiende a \(-\infty\).
Denominador que tiende a cero
Consideremos
\[ \lim_{x\to 1}\frac{1}{x-1}. \]
El denominador tiende a cero y toma signos opuestos a la derecha y a la izquierda de \(x=1\). Cuando \(x\to 1^+\),
\[ x-1\to 0^+, \]
y, por tanto,
\[ \lim_{x\to 1^+}\frac{1}{x-1}=+\infty. \]
Cuando \(x\to 1^-\), en cambio,
\[ x-1\to 0^-, \]
de donde
\[ \lim_{x\to 1^-}\frac{1}{x-1}=-\infty. \]
El límite por la derecha y el límite por la izquierda son distintos; por tanto, el límite cuando \(x\to 1\) no existe, ni siquiera como límite infinito.
Errores que deben evitarse
El primer error consiste en aplicar el teorema del cociente cuando el límite del denominador es cero. De
\[ f(x)\to L \qquad\text{y}\qquad g(x)\to 0 \]
no se sigue una fórmula general para el límite de \(\displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}\). Es preciso distinguir el caso \(L\neq 0\) del caso \(L=0\) y, cuando sea necesario, estudiar el signo del denominador.
Un segundo error consiste en considerar las formas indeterminadas como resultados. Escribir
\[ \frac{0}{0}, \qquad \infty-\infty \qquad\text{o bien}\qquad 0\cdot\infty \]
no concluye el cálculo: solo indica que la expresión debe transformarse o analizarse con mayor atención.
Tampoco deben tratarse \(+\infty\) y \(-\infty\) como números reales. Fórmulas como
\[ +\infty+M=+\infty \]
son abreviaturas de resultados sobre límites y solo tienen sentido en el contexto de las hipótesis que las justifican.
Otro error frecuente consiste en descuidar el dominio. Antes de calcular el límite de una expresión que contiene una raíz, un denominador, un logaritmo o una potencia real, es necesario comprobar que la expresión esté definida en puntos de su dominio arbitrariamente próximos al punto hacia el que tiende la variable.
Por último, la sustitución directa no es una regla universal. Es válida cuando se deriva de la continuidad de las funciones implicadas y cuando todas las operaciones siguen estando definidas en el paso al límite. Si produce una forma indeterminada, no proporciona el valor buscado.
Las operaciones con límites permiten, pues, conservar, bajo hipótesis precisas, la estructura algebraica de las funciones. Sin embargo, su correcta aplicación exige distinguir siempre entre casos determinados, formas indeterminadas y situaciones en las que el límite no existe.