En el cálculo de límites puede ocurrir que la sustitución directa de la variable conduzca a expresiones simbólicas que, consideradas aisladamente, no permiten determinar el comportamiento de la función. Expresiones como \(\displaystyle\frac{0}{0}\), \(\infty-\infty\) o \(1^\infty\) reciben el nombre de formas indeterminadas.
Una forma indeterminada no representa el valor del límite ni constituye una conclusión: señala, más bien, que la información obtenida por separado sobre los términos de la expresión resulta insuficiente. Para determinar el límite es necesario, por tanto, analizar más a fondo el modo en que dichos términos se comportan e interactúan entre sí.
Índice
- Qué son las formas indeterminadas
- Por qué una forma indeterminada no determina el límite
- Las siete formas indeterminadas
- La forma indeterminada \(\displaystyle\frac{0}{0}\)
- La forma indeterminada \(\displaystyle\frac{\infty}{\infty}\)
- La forma indeterminada \(0\cdot\infty\)
- La forma indeterminada \(\infty-\infty\)
- La forma indeterminada \(1^\infty\)
- La forma indeterminada \(0^0\)
- La forma indeterminada \(\infty^0\)
- Transformación de las formas indeterminadas
- Métodos para resolver las formas indeterminadas
- Errores frecuentes
- Esquema resumen
Qué son las formas indeterminadas
En el cálculo de un límite se estudia con frecuencia una expresión construida a partir de varias funciones. Cuando se conocen los límites de las funciones individuales, las reglas del álgebra de límites permiten, en muchos casos, determinar directamente el límite de la expresión global. En ciertas situaciones, sin embargo, los límites de los términos individuales conducen a una configuración simbólica que no contiene información suficiente para establecer el resultado. Una configuración de este tipo recibe el nombre de forma indeterminada.
Por ejemplo, sean \(f\) y \(g\) dos funciones tales que
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=0 \qquad\text{y}\qquad \lim_{x\to x_0}g(x)=0, \]
y supongamos que el cociente \(\displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}\) está definido en los puntos del dominio suficientemente próximos a \(x_0\). Se dice entonces que el límite
\[ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)} \]
se presenta en la forma indeterminada
\[ \frac{0}{0}. \]
Esta notación no significa que el cociente sea igual a \(\displaystyle\frac{0}{0}\). En efecto, el símbolo \(\displaystyle\frac{0}{0}\) no representa un número y no puede tratarse como una fracción ordinaria: indica únicamente que tanto el numerador como el denominador tienden a cero.
El término indeterminada expresa precisamente el hecho de que el comportamiento por separado de los términos no determina el de la expresión global. Partiendo de una misma forma indeterminada, el límite puede tomar un valor real, ser infinito o no existir.
Una forma indeterminada no es, por tanto, el resultado de un límite, sino la señal de que es necesario un análisis más profundo de la expresión y del comportamiento relativo de sus términos.
Por qué una forma indeterminada no determina el límite
Para comprender por qué una forma indeterminada no permite establecer el valor de un límite, consideremos algunos cocientes que, cuando \(x\to 0\), se presentan todos en la forma
\[ \frac{0}{0}. \]
El primer ejemplo es
\[ \lim_{x\to 0}\frac{x}{x}. \]
Para todo \(x\neq 0\) se tiene
\[ \frac{x}{x}=1, \]
y por tanto
\[ \lim_{x\to 0}\frac{x}{x}=1. \]
Consideremos ahora el límite
\[ \lim_{x\to 0}\frac{x^2}{x}. \]
Para todo \(x\neq 0\) podemos cancelar el factor \(x\) y obtener
\[ \frac{x^2}{x}=x. \]
Por consiguiente,
\[ \lim_{x\to 0}\frac{x^2}{x}=0. \]
La misma forma indeterminada puede conducir también a un límite infinito. En efecto,
\[ \lim_{x\to 0}\frac{x^2}{x^4} = \lim_{x\to 0}\frac{1}{x^2} = +\infty. \]
Por último, consideremos
\[ \lim_{x\to 0}\frac{x}{|x|}. \]
Para \(x>0\) se tiene \(|x|=x\), mientras que para \(x<0\) se tiene \(|x|=-x\). En consecuencia,
\[ \frac{x}{|x|} = \begin{cases} 1, & x>0,\\ -1, & x<0. \end{cases} \]
De ello se sigue que
\[ \lim_{x\to 0^+}\frac{x}{|x|}=1 \qquad\text{y}\qquad \lim_{x\to 0^-}\frac{x}{|x|}=-1. \]
Puesto que el límite por la derecha y el límite por la izquierda son distintos, el límite cuando \(x\to 0\) no existe.
Hemos obtenido así, partiendo de la misma forma indeterminada \(\displaystyle\frac{0}{0}\), cuatro comportamientos diferentes:
\[ 1,\qquad 0,\qquad +\infty,\qquad \text{el límite no existe}. \]
La forma \(\displaystyle\frac{0}{0}\) no determina, por tanto, el límite del cociente. Se limita a describir el hecho de que numerador y denominador tienden ambos a cero, sin indicar cuál de los dos se aproxima a cero con mayor rapidez ni cuál es su comportamiento relativo.
El mismo principio se aplica a todas las demás formas indeterminadas: para establecer el límite es necesario estudiar la estructura de la expresión y comparar con mayor precisión el comportamiento de los términos que la componen.
Las siete formas indeterminadas
Las formas indeterminadas que se encuentran en el cálculo de límites son tradicionalmente siete:
\[ \frac{0}{0}, \qquad \frac{\infty}{\infty}, \qquad 0\cdot\infty, \qquad \infty-\infty, \qquad 1^\infty, \qquad 0^0, \qquad \infty^0. \]
Estos símbolos no representan operaciones entre números, sino que describen el comportamiento límite de los términos que componen una expresión.
Las dos primeras son formas de cociente:
- \(\displaystyle\frac{0}{0}\), cuando el numerador y el denominador tienden ambos a cero;
- \(\displaystyle\frac{\infty}{\infty}\), cuando el numerador y el denominador tienden, cada uno, a \(+\infty\) o a \(-\infty\), no necesariamente con el mismo signo.
La tercera es una forma de producto:
- \(0\cdot\infty\), cuando un factor tiende a cero y el otro tiende a \(+\infty\) o a \(-\infty\).
La cuarta es una forma de diferencia:
- \(\infty-\infty\), cuando los dos términos de la diferencia tienden ambos a \(+\infty\) o ambos a \(-\infty\).
Las tres últimas son formas exponenciales:
- \(1^\infty\), cuando la base tiende a \(1\) y el exponente tiende a \(+\infty\) o a \(-\infty\);
- \(0^0\), cuando la base tiende a \(0^+\) y el exponente tiende a cero;
- \(\infty^0\), cuando la base tiende a \(+\infty\) y el exponente tiende a cero.
En las formas exponenciales, cuando se trabaja dentro del conjunto de los números reales, se exige que la base sea positiva en los puntos suficientemente próximos al punto hacia el que tiende la variable. Esta condición permite interpretar la potencia mediante el logaritmo y estudiar correctamente su límite.
No toda combinación que involucra al cero o al infinito es indeterminada. Por ejemplo, bajo las hipótesis oportunas sobre los signos,
\[ \frac{a}{\infty}=0, \qquad \frac{\infty}{a}=\pm\infty, \qquad 0+\infty=\infty, \]
donde \(a\) denota un número real finito y distinto de cero. Estas expresiones también tienen un valor puramente simbólico: resumen propiedades de los límites y no deben interpretarse como operaciones aritméticas realizadas con el infinito.
La forma indeterminada \(\displaystyle\frac{0}{0}\)
Sean \(f\) y \(g\) dos funciones tales que
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=0 \qquad\text{y}\qquad \lim_{x\to x_0}g(x)=0, \]
y supongamos que el cociente \(\displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}\) está definido en los puntos del dominio suficientemente próximos a \(x_0\), posiblemente excluyendo \(x_0\). En este caso, el límite
\[ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)} \]
se presenta en la forma indeterminada
\[ \frac{0}{0}. \]
El hecho de que numerador y denominador tiendan ambos a cero no permite determinar el límite de su cociente. El resultado depende del comportamiento relativo de las dos funciones, es decir, de la rapidez con que se aproximan a cero y de la posible presencia de oscilaciones o cambios de signo.
Por ejemplo, consideremos
\[ \lim_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1}. \]
El numerador y el denominador tienden ambos a cero, de modo que el límite se presenta en la forma \(\displaystyle\frac{0}{0}\). Sin embargo, para \(x\neq 1\), podemos factorizar el numerador y simplificar:
\[ \frac{x^2-1}{x-1} = \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x+1. \]
Las funciones \(\displaystyle\frac{x^2-1}{x-1}\) y \(x+1\) coinciden en todos los puntos del dominio suficientemente próximos a \(1\), posiblemente excluyendo el propio punto \(1\). En consecuencia, tienen el mismo límite cuando \(x\to 1\), y por tanto
\[ \lim_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1} = \lim_{x\to 1}(x+1) = 2. \]
La forma \(\displaystyle\frac{0}{0}\) también puede presentarse cuando no es posible eliminar de inmediato un factor común. Consideremos, por ejemplo,
\[ \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}. \]
También en este caso el numerador y el denominador tienden a cero. Multiplicando numerador y denominador por el conjugado \(\sqrt{1+x}+1\), para \(x\neq 0\) obtenemos
\begin{align} \frac{\sqrt{1+x}-1}{x} &= \frac{(\sqrt{1+x}-1)(\sqrt{1+x}+1)} {x(\sqrt{1+x}+1)} \\ &= \frac{x}{x(\sqrt{1+x}+1)} = \frac{1}{\sqrt{1+x}+1}. \end{align}
Por consiguiente,
\[ \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x} = \lim_{x\to 0}\frac{1}{\sqrt{1+x}+1} = \frac{1}{2}. \]
Estos ejemplos muestran que la forma \(\displaystyle\frac{0}{0}\) no debe interpretarse como un resultado, sino como la indicación de que el cociente necesita ser transformado o analizado con mayor detenimiento. Según la estructura de las funciones involucradas, pueden resultar útiles la factorización, la simplificación, la racionalización, los límites notables, las equivalencias asintóticas u otras herramientas del cálculo de límites.
La forma indeterminada \(\displaystyle\frac{\infty}{\infty}\)
Sean \(f\) y \(g\) dos funciones y sean \(L_f,L_g\in\{-\infty,+\infty\}\) tales que
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=L_f \qquad\text{y}\qquad \lim_{x\to x_0}g(x)=L_g, \]
donde \(x\to x_0\) puede sustituirse por \(x\to+\infty\) o por \(x\to-\infty\). Supongamos, además, que el cociente \(\displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}\) está definido en los puntos del dominio suficientemente próximos a la situación límite considerada. El límite del cociente se presenta entonces en la forma indeterminada
\[ \frac{\infty}{\infty}. \]
Esta notación indica que el numerador y el denominador tienden, cada uno, a uno de los dos infinitos, no necesariamente con el mismo signo. No permite, sin embargo, establecer el comportamiento de su cociente: el resultado depende de la rapidez con que las dos funciones crecen en valor absoluto y de sus signos.
Consideremos, por ejemplo, el límite
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{3x^2-x+1}{2x^2+5}. \]
Tanto el numerador como el denominador tienden a \(+\infty\), de modo que el límite se presenta en la forma \(\displaystyle\frac{\infty}{\infty}\). Para comparar su comportamiento, dividimos numerador y denominador entre \(x^2\):
\[ \frac{3x^2-x+1}{2x^2+5} = \frac{3-\displaystyle\frac{1}{x}+\displaystyle\frac{1}{x^2}} {2+\displaystyle\frac{5}{x^2}}. \]
Puesto que
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}=0 \qquad\text{y}\qquad \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x^2}=0, \]
obtenemos
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{3x^2-x+1}{2x^2+5} = \frac{3}{2}. \]
La misma forma indeterminada puede conducir también a resultados distintos. Por ejemplo,
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{x}{x^2} = \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x} = 0, \]
mientras que
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{x^2}{x} = \lim_{x\to+\infty}x = +\infty. \]
Además,
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{x(2+\sin x)}{x} = \lim_{x\to+\infty}(2+\sin x) \]
no existe, porque la función \(2+\sin x\) continúa oscilando entre \(1\) y \(3\) sin tender a un único valor.
La forma \(\displaystyle\frac{\infty}{\infty}\) puede, por tanto, conducir a un número real finito, a cero, a un límite infinito o a un límite inexistente. También en este caso, la forma indeterminada no proporciona el resultado: señala la necesidad de comparar con mayor precisión el orden de crecimiento y el comportamiento relativo del numerador y del denominador.
La forma indeterminada \(0\cdot\infty\)
Sean \(f\) y \(g\) dos funciones y sea \(L\in\{-\infty,+\infty\}\) tal que
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=0 \qquad\text{y}\qquad \lim_{x\to x_0}g(x)=L, \]
donde \(x\to x_0\) puede sustituirse por otra situación límite, y supongamos que el producto \(f(x)g(x)\) está definido en los puntos del dominio suficientemente próximos a la situación considerada. El límite
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)g(x) \]
se presenta entonces en la forma indeterminada
\[ 0\cdot\infty. \]
Esta notación no representa el producto entre el número \(0\) y el infinito. Indica únicamente que un factor tiende a cero, mientras que el otro crece sin límite en valor absoluto.
Los dos factores ejercen efectos contrapuestos: el factor que tiende a cero tiende a hacer pequeño el producto, mientras que el divergente tiende a hacerlo grande en valor absoluto. El límite depende, por tanto, de su comportamiento relativo.
Consideremos, por ejemplo,
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}\cdot x. \]
El primer factor tiende a cero y el segundo tiende a \(+\infty\), de modo que el límite se presenta en la forma \(0\cdot\infty\). Sin embargo, para todo \(x>0\),
\[ \frac{1}{x}\cdot x=1, \]
y por tanto
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}\cdot x=1. \]
La misma forma puede conducir a cero. En efecto,
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x^2}\cdot x = \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x} = 0. \]
También puede conducir a un límite infinito:
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}\cdot x^2 = \lim_{x\to+\infty}x = +\infty. \]
Por último, el límite puede no existir. Consideremos
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{\sin x}{x}\cdot x. \]
El primer factor tiende a cero, porque
\[ \left|\frac{\sin x}{x}\right|\leq\frac{1}{x} \]
para \(x>0\), mientras que el segundo tiende a \(+\infty\). El producto se presenta, por tanto, en la forma \(0\cdot\infty\). Sin embargo, para todo \(x>0\),
\[ \frac{\sin x}{x}\cdot x=\sin x, \]
y el límite no existe, porque \(\sin x\) oscila sin tender a un único valor.
Para estudiar una forma \(0\cdot\infty\), el producto se transforma generalmente en un cociente reducible a la forma \(\displaystyle\frac{0}{0}\) o, cuando las condiciones lo permiten, a la forma \(\displaystyle\frac{\infty}{\infty}\). La elección de la transformación más conveniente depende de la estructura de las funciones involucradas.
La forma \(0\cdot\infty\) no determina, por tanto, el límite, sino que señala que el producto debe reescribirse o analizarse con mayor precisión.
La forma indeterminada \(\infty-\infty\)
Sean \(f\) y \(g\) dos funciones tales que
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty \qquad\text{y}\qquad \lim_{x\to x_0}g(x)=+\infty, \]
o bien
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=-\infty \qquad\text{y}\qquad \lim_{x\to x_0}g(x)=-\infty, \]
donde \(x\to x_0\) puede sustituirse por otra situación límite. El límite de la diferencia
\[ \lim_{x\to x_0}\bigl(f(x)-g(x)\bigr) \]
se presenta en la forma indeterminada
\[ \infty-\infty. \]
Esta notación no representa una resta entre números infinitos. Indica que los dos términos de la diferencia divergen con el mismo signo y que, por tanto, no es posible establecer el comportamiento de su diferencia conociendo únicamente sus límites por separado.
El resultado depende del modo en que los dos términos divergen y, en particular, de la diferencia entre sus órdenes de crecimiento.
Por ejemplo,
\[ \lim_{x\to+\infty}\bigl((x+1)-x\bigr)=1. \]
Ambos términos, \(x+1\) y \(x\), tienden a \(+\infty\), pero su diferencia es constantemente igual a \(1\).
La misma forma puede conducir a cero:
\[ \lim_{x\to+\infty}(x-x)=0. \]
Puede conducir a \(+\infty\):
\[ \lim_{x\to+\infty}(2x-x) = \lim_{x\to+\infty}x = +\infty, \]
o bien a \(-\infty\):
\[ \lim_{x\to+\infty}(x-2x) = \lim_{x\to+\infty}(-x) = -\infty. \]
El límite también puede no existir. En efecto,
\[ \lim_{x\to+\infty}\bigl((x+\sin x)-x\bigr) = \lim_{x\to+\infty}\sin x \]
no existe, aunque tanto \(x+\sin x\to+\infty\) como \(x\to+\infty\).
Para resolver una forma \(\infty-\infty\), se busca generalmente transformar la diferencia en una única expresión, de manera que se ponga de manifiesto el comportamiento relativo de los dos términos. Según la estructura de la expresión, puede ser útil sacar factor común, reducir los términos a un mismo denominador o racionalizar.
Consideremos, por ejemplo,
\[ \lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+x}-x\right). \]
Puesto que
\[ \sqrt{x^2+x}\to+\infty \qquad\text{y}\qquad x\to+\infty, \]
el límite se presenta en la forma \(\infty-\infty\). Multiplicamos y dividimos por la expresión conjugada:
\[ \sqrt{x^2+x}-x = \frac{\left(\sqrt{x^2+x}-x\right) \left(\sqrt{x^2+x}+x\right)} {\sqrt{x^2+x}+x}. \]
En el numerador obtenemos una diferencia de cuadrados:
\[ \sqrt{x^2+x}-x = \frac{x^2+x-x^2}{\sqrt{x^2+x}+x} = \frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}. \]
Puesto que \(x>0\) para todo \(x\) suficientemente grande, podemos dividir numerador y denominador entre \(x\):
\[ \frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x} = \frac{1}{\sqrt{1+\displaystyle\frac{1}{x}}+1}. \]
Por consiguiente,
\[ \lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+x}-x\right) = \frac{1}{2}. \]
La forma \(\infty-\infty\) no determina, por tanto, el límite de la diferencia. Para obtener el resultado es necesario transformar la expresión y poner de relieve la comparación efectiva entre los términos divergentes.
La forma indeterminada \(1^\infty\)
Sean \(f\) y \(g\) dos funciones y sea \(L\in\{-\infty,+\infty\}\) tal que
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=1 \qquad\text{y}\qquad \lim_{x\to x_0}g(x)=L, \]
donde \(x\to x_0\) puede sustituirse por otra situación límite. Puesto que \(f(x)\to 1\), se tiene \(f(x)>0\) en los puntos suficientemente próximos a la situación límite considerada; la potencia \(f(x)^{g(x)}\) puede estudiarse entonces, en el ámbito real, mediante el logaritmo.
El límite
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)^{g(x)} \]
se presenta entonces en la forma indeterminada
\[ 1^\infty. \]
Esta notación no representa una potencia de base \(1\) y exponente infinito. Indica únicamente que la base tiende a \(1\), mientras que el exponente tiende a \(+\infty\) o a \(-\infty\).
La forma es indeterminada porque dos efectos se contraponen. Por un lado, una base cercana a \(1\) tiende a modificar poco el valor de la potencia; por otro, un exponente muy grande en valor absoluto puede hacer decisiva incluso una diferencia muy pequeña entre la base y \(1\). El resultado depende, por tanto, del comportamiento conjunto de la base y del exponente.
Para analizar esta forma, pongamos
\[ y=f(x)^{g(x)}. \]
Puesto que \(f(x)>0\), podemos aplicar el logaritmo natural:
\[ \ln y=g(x)\ln f(x). \]
Dado que \(f(x)\to 1\), por continuidad del logaritmo se tiene
\[ \ln f(x)\to\ln 1=0. \]
El producto
\[ g(x)\ln f(x) \]
se presenta, por tanto, en la forma \(0\cdot\infty\). El estudio de la forma exponencial \(1^\infty\) se reduce así al estudio del límite del logaritmo de la expresión.
En particular, si
\[ \lim_{x\to x_0}g(x)\ln f(x)=L, \]
con \(L\in\mathbb{R}\), entonces, por continuidad de la función exponencial,
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)^{g(x)}=e^L. \]
Si, en cambio,
\[ g(x)\ln f(x)\to+\infty, \]
entonces
\[ f(x)^{g(x)}\to+\infty; \]
si
\[ g(x)\ln f(x)\to-\infty, \]
entonces
\[ f(x)^{g(x)}\to 0. \]
Consideremos el límite notable
\[ \lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e. \]
La base tiende a \(1\) y el exponente tiende a \(+\infty\), y sin embargo el límite es el número real positivo \(e\).
La misma forma puede conducir a \(1\). En efecto,
\[ \left(1+\frac{1}{x}\right)^{\sqrt{x}} = \left[\left(1+\frac{1}{x}\right)^x\right]^{\frac{1}{\sqrt{x}}} \longrightarrow e^0=1 \qquad\text{cuando }x\to+\infty. \]
También puede conducir a \(+\infty\):
\[ \left(1+\frac{1}{x}\right)^{x^2} = \left[\left(1+\frac{1}{x}\right)^x\right]^x \longrightarrow+\infty. \]
Se obtiene un resultado igual a cero, por ejemplo, en el límite
\[ \lim_{x\to+\infty}\left(1-\frac{1}{x}\right)^{x^2}. \]
Para \(x>1\), la base es positiva y podemos escribir
\[ \left(1-\frac{1}{x}\right)^{x^2} = \left[\left(1-\frac{1}{x}\right)^x\right]^x. \]
Puesto que
\[ \lim_{x\to+\infty}\left(1-\frac{1}{x}\right)^x=e^{-1}, \]
y \(0<e^{-1}<1\), se sigue que
\[ \lim_{x\to+\infty}\left(1-\frac{1}{x}\right)^{x^2}=0. \]
Por último, el límite puede no existir. Consideremos
\[ \lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x(2+\sin x)}. \]
La base tiende a \(1\), mientras que el exponente \(x(2+\sin x)\) tiende a \(+\infty\), puesto que \(2+\sin x\geq 1\). Aplicando el logaritmo, obtenemos
\[ \ln\left[\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x(2+\sin x)}\right] = (2+\sin x)\,x\ln\left(1+\frac{1}{x}\right). \]
Puesto que
\[ x\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)\to 1, \]
a lo largo de la sucesión \(x_n=\displaystyle\frac{\pi}{2}+2\pi n\) el logaritmo de la expresión tiende a \(3\), mientras que a lo largo de la sucesión \(y_n=\displaystyle\frac{3\pi}{2}+2\pi n\) tiende a \(1\). En consecuencia, la expresión tiende a \(e^3\) y a \(e\) respectivamente, y por tanto el límite no existe.
La forma \(1^\infty\) puede, por tanto, conducir a \(1\), a un número real positivo distinto de \(1\), a cero, a \(+\infty\) o a un límite inexistente. Su estudio requiere considerar el producto entre el exponente y el logaritmo de la base.
La forma indeterminada \(0^0\)
Sean \(f\) y \(g\) dos funciones tales que
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=0 \qquad\text{y}\qquad \lim_{x\to x_0}g(x)=0, \]
donde \(x\to x_0\) puede sustituirse por otra situación límite. Supongamos además que \(f(x)>0\) en los puntos del dominio suficientemente próximos a la situación considerada. El límite
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)^{g(x)} \]
se presenta entonces en la forma indeterminada
\[ 0^0. \]
La notación \(0^0\), en este contexto, no representa el valor tomado por la potencia y no debe interpretarse como una operación entre dos números. Indica únicamente que la base tiende a cero, mientras que el exponente tiende a cero.
La forma es indeterminada porque el comportamiento de la potencia depende del modo en que la base y el exponente se aproximan a sus respectivos valores límite. Una base positiva muy pequeña tiende a hacer pequeña la potencia cuando el exponente es positivo, mientras que un exponente que tiende a cero tiende a acercar la potencia a \(1\). Si el exponente toma valores negativos, la potencia puede, en cambio, hacerse arbitrariamente grande.
Para estudiar esta forma, pongamos \(y=f(x)^{g(x)}\). Puesto que \(f(x)>0\), podemos aplicar el logaritmo natural y obtener
\[ \ln y=g(x)\ln f(x). \]
Dado que \(f(x)\to 0^+\), se tiene \(\ln f(x)\to-\infty\); puesto que al mismo tiempo \(g(x)\to 0\), el producto \(g(x)\ln f(x)\) se presenta en la forma indeterminada \(0\cdot\infty\).
Si \(g(x)\ln f(x)\) tiende a un valor \(L\in\mathbb{R}\), a \(-\infty\) o a \(+\infty\), entonces \(f(x)^{g(x)}\) tiende respectivamente a \(e^L\), a \(0\) o a \(+\infty\).
Consideremos en primer lugar el límite
\[ \lim_{x\to 0^+}x^x. \]
La base y el exponente tienden ambos a cero. Aplicando el logaritmo, obtenemos
\[ \ln(x^x)=x\ln x. \]
Puesto que
\[ \lim_{x\to 0^+}x\ln x=0, \]
se sigue que
\[ \lim_{x\to 0^+}x^x=e^0=1. \]
La misma forma puede conducir a un número real positivo distinto de \(1\). Por ejemplo, para \(0<x<1\),
\[ x^{\frac{1}{\ln x}} = e^{\frac{1}{\ln x}\ln x} = e. \]
Puesto que \(x\to 0^+\) y \(\displaystyle\frac{1}{\ln x}\to 0\), el límite se presenta en la forma \(0^0\), y sin embargo
\[ \lim_{x\to 0^+}x^{\frac{1}{\ln x}}=e. \]
La forma \(0^0\) puede también conducir a cero. Consideremos
\[ \lim_{x\to 0^+}x^{\frac{1}{\sqrt{-\ln x}}}. \]
El exponente tiende a cero, y
\[ \ln\left(x^{\frac{1}{\sqrt{-\ln x}}}\right) = \frac{\ln x}{\sqrt{-\ln x}} = -\sqrt{-\ln x} \to-\infty. \]
Por consiguiente,
\[ \lim_{x\to 0^+}x^{\frac{1}{\sqrt{-\ln x}}}=0. \]
Si cambiamos el signo del exponente, obtenemos en cambio
\[ \ln\left(x^{-\frac{1}{\sqrt{-\ln x}}}\right) = -\frac{\ln x}{\sqrt{-\ln x}} = \sqrt{-\ln x} \to+\infty, \]
y por tanto
\[ \lim_{x\to 0^+}x^{-\frac{1}{\sqrt{-\ln x}}}=+\infty. \]
Por último, el límite puede no existir. Consideremos
\[ x^{\frac{\sin(-\ln x)}{\ln x}}. \]
Cuando \(x\to 0^+\), la base tiende a cero y el exponente tiende a cero, puesto que el numerador está acotado mientras que \(\ln x\to-\infty\). Sin embargo,
\[ x^{\frac{\sin(-\ln x)}{\ln x}} = e^{\sin(-\ln x)}. \]
Puesto que \(-\ln x\to+\infty\), la función \(\sin(-\ln x)\) continúa oscilando y no admite límite. En consecuencia, tampoco la expresión \(e^{\sin(-\ln x)}\) admite límite.
La forma \(0^0\) puede, por tanto, conducir a \(1\), a un número real positivo distinto de \(1\), a cero, a \(+\infty\) o a un límite inexistente. El resultado queda determinado por el comportamiento del producto entre el exponente y el logaritmo de la base.
En algunos ámbitos de las matemáticas, como la combinatoria y la teoría de las series de potencias, puede resultar conveniente adoptar el convenio \(0^0=1\). Este convenio se refiere a contextos específicos y no altera el hecho de que, en el cálculo de límites, \(0^0\) sea una forma indeterminada.
La forma indeterminada \(\infty^0\)
Sean \(f\) y \(g\) dos funciones tales que
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty \qquad\text{y}\qquad \lim_{x\to x_0}g(x)=0, \]
donde \(x\to x_0\) puede sustituirse por otra situación límite. Puesto que \(f(x)\to+\infty\), la base es positiva en los puntos del dominio suficientemente próximos a la situación considerada. El límite
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)^{g(x)} \]
se presenta entonces en la forma indeterminada
\[ \infty^0. \]
Esta notación no representa una potencia de base infinita y exponente nulo. Indica únicamente que la base crece sin límite, mientras que el exponente tiende a cero.
La forma es indeterminada porque los dos comportamientos producen efectos contrapuestos. Una base muy grande puede hacer grande la potencia, mientras que un exponente cercano a cero tiende a acercar la potencia a \(1\). Si el exponente toma valores negativos, la potencia puede, en cambio, aproximarse a cero.
Para estudiar esta forma, pongamos \(y=f(x)^{g(x)}\). Puesto que \(f(x)>0\) en los puntos suficientemente próximos a la situación límite considerada, podemos aplicar el logaritmo natural y obtener
\[ \ln y=g(x)\ln f(x). \]
Dado que \(f(x)\to+\infty\), se tiene \(\ln f(x)\to+\infty\); puesto que al mismo tiempo \(g(x)\to 0\), el producto \(g(x)\ln f(x)\) se presenta en la forma indeterminada \(0\cdot\infty\).
Si \(g(x)\ln f(x)\) tiende a un valor \(L\in\mathbb{R}\), a \(-\infty\) o a \(+\infty\), entonces \(f(x)^{g(x)}\) tiende respectivamente a \(e^L\), a \(0\) o a \(+\infty\).
Consideremos en primer lugar el límite
\[ \lim_{x\to+\infty}x^{\frac{1}{x}}. \]
La base tiende a \(+\infty\), mientras que el exponente tiende a cero. Aplicando el logaritmo, obtenemos
\[ \ln\left(x^{\frac{1}{x}}\right) = \frac{\ln x}{x}. \]
Puesto que
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x}=0, \]
se sigue que
\[ \lim_{x\to+\infty}x^{\frac{1}{x}}=e^0=1. \]
La misma forma puede conducir a un número real positivo distinto de \(1\). Por ejemplo, para \(x>1\),
\[ x^{\frac{1}{\ln x}} = e^{\frac{1}{\ln x}\ln x} = e. \]
Puesto que \(x\to+\infty\) y \(\displaystyle\frac{1}{\ln x}\to 0\), se tiene por tanto
\[ \lim_{x\to+\infty}x^{\frac{1}{\ln x}}=e. \]
La forma \(\infty^0\) puede también conducir a cero. Consideremos
\[ \lim_{x\to+\infty}x^{-\frac{1}{\sqrt{\ln x}}}. \]
El exponente tiende a cero, y
\[ \ln\left(x^{-\frac{1}{\sqrt{\ln x}}}\right) = -\frac{\ln x}{\sqrt{\ln x}} = -\sqrt{\ln x} \to-\infty. \]
Por consiguiente,
\[ \lim_{x\to+\infty}x^{-\frac{1}{\sqrt{\ln x}}}=0. \]
Si cambiamos el signo del exponente, obtenemos en cambio
\[ \ln\left(x^{\frac{1}{\sqrt{\ln x}}}\right) = \sqrt{\ln x} \to+\infty, \]
y por tanto
\[ \lim_{x\to+\infty}x^{\frac{1}{\sqrt{\ln x}}}=+\infty. \]
Por último, el límite puede no existir. Consideremos, para \(x>1\),
\[ x^{\frac{\sin(\ln\ln x)}{\ln x}}. \]
Cuando \(x\to+\infty\), la base tiende a \(+\infty\) y el exponente tiende a cero, puesto que el numerador está acotado mientras que \(\ln x\to+\infty\). Sin embargo,
\[ x^{\frac{\sin(\ln\ln x)}{\ln x}} = e^{\sin(\ln\ln x)}. \]
Puesto que \(\ln\ln x\to+\infty\), la función \(\sin(\ln\ln x)\) continúa oscilando y no admite límite. En consecuencia, tampoco la expresión \(e^{\sin(\ln\ln x)}\) admite límite.
La forma \(\infty^0\) puede, por tanto, conducir a \(1\), a un número real positivo distinto de \(1\), a cero, a \(+\infty\) o a un límite inexistente. También en este caso, el resultado queda determinado por el comportamiento del producto entre el exponente y el logaritmo de la base.
Transformación de las formas indeterminadas
Las formas indeterminadas no se resuelven mediante reglas aritméticas aplicadas directamente a los símbolos \(0\) e \(\infty\). Para determinar su límite es necesario reescribir la expresión en una forma idéntica a la original para todos los valores de la variable suficientemente próximos a la situación límite considerada.
Si \(x\to x_0\), basta con que las dos expresiones coincidan en los puntos del dominio suficientemente próximos a \(x_0\), posiblemente excluyendo el propio punto \(x_0\). Si, en cambio, \(x\to+\infty\) o \(x\to-\infty\), basta con que coincidan, respectivamente, para todos los valores de \(x\) suficientemente grandes o suficientemente pequeños.
Las formas \(\displaystyle\frac{0}{0}\) y \(\displaystyle\frac{\infty}{\infty}\) ya están expresadas como cocientes. Las demás formas indeterminadas pueden reducirse a menudo a una de ellas mediante transformaciones adecuadas.
Transformación de la forma \(0\cdot\infty\)
Si
\[ f(x)\to 0 \qquad\text{y}\qquad g(x)\to L, \qquad L\in\{-\infty,+\infty\}, \]
entonces \(g(x)\neq 0\) en los puntos suficientemente próximos a la situación límite considerada y
\[ \frac{1}{g(x)}\to 0. \]
Por tanto, podemos escribir
\[ f(x)g(x)=\frac{f(x)}{\displaystyle\frac{1}{g(x)}}, \]
obteniendo una forma \(\displaystyle\frac{0}{0}\).
Si, además, \(f(x)\neq 0\) y tiene signo constante en los puntos suficientemente próximos a la situación límite considerada, entonces \(\displaystyle\frac{1}{f(x)}\) tiende a \(+\infty\) o a \(-\infty\), y también podemos escribir
\[ f(x)g(x)=\frac{g(x)}{\displaystyle\frac{1}{f(x)}}, \]
obteniendo una forma \(\displaystyle\frac{\infty}{\infty}\).
La elección entre las dos reescrituras depende de la estructura de las funciones y de cuál de las dos formas resulte más sencilla de analizar.
Transformación de la forma \(\infty-\infty\)
Una diferencia que se presenta en la forma \(\infty-\infty\) debe transformarse en una única expresión, de modo que quede visible el comportamiento relativo de los dos términos divergentes.
Si los términos son fracciones, resulta a menudo útil reducirlos a un mismo denominador:
\[ \frac{f(x)}{g(x)}-\frac{h(x)}{k(x)} = \frac{f(x)k(x)-h(x)g(x)}{g(x)k(x)}. \]
La forma \(\infty-\infty\) puede así transformarse en una forma de cociente, generalmente \(\displaystyle\frac{0}{0}\) o \(\displaystyle\frac{\infty}{\infty}\).
Cuando aparecen radicales, puede resultar útil multiplicar y dividir por la expresión conjugada. Por ejemplo,
\[ \sqrt{f(x)}-\sqrt{g(x)} = \frac{f(x)-g(x)} {\sqrt{f(x)}+\sqrt{g(x)}}, \]
en los puntos en que las raíces están definidas y el denominador es distinto de cero.
En otros casos puede resultar conveniente sacar factor común:
\[ f(x)-g(x) = f(x)\left(1-\frac{g(x)}{f(x)}\right), \]
siempre que \(f(x)\neq 0\) en los puntos considerados.
Transformación de las formas exponenciales
Las formas \(1^\infty\), \(0^0\) y \(\infty^0\) se estudian mediante el logaritmo. Si \(f(x)>0\) en los puntos suficientemente próximos a la situación límite considerada, poniendo
\[ y(x)=f(x)^{g(x)}, \]
se obtiene
\[ \ln y(x)=g(x)\ln f(x). \]
El límite de la potencia se reduce así al estudio del producto \(g(x)\ln f(x)\). Si este tiende a un valor \(L\in\mathbb{R}\), a \(+\infty\) o a \(-\infty\), entonces \(f(x)^{g(x)}\) tiende respectivamente a \(e^L\), a \(+\infty\) o a \(0\).
Recíprocamente, si el producto \(g(x)\ln f(x)\) no admite ni un límite real ni un límite infinito, tampoco la potencia admite límite: de lo contrario, aplicando el logaritmo a su supuesto límite positivo, nulo o infinito, se obtendría un límite para \(g(x)\ln f(x)\).
En toda transformación es esencial comprobar las condiciones de validez de las operaciones realizadas. Una transformación algebraica resulta útil únicamente cuando conserva la expresión en los puntos del dominio suficientemente próximos a la situación límite y conduce a una forma más sencilla de analizar.
Métodos para resolver las formas indeterminadas
No existe un procedimiento único para determinar todos los límites que se presentan en forma indeterminada. El método a emplear depende de la estructura de la expresión, del tipo de forma indeterminada y de las herramientas matemáticas disponibles.
Antes de efectuar cualquier transformación, es necesario identificar el dominio de la expresión, calcular por separado los límites de los términos que la componen y comprobar que se presenta efectivamente una forma indeterminada.
Simplificación algebraica
Cuando un límite se presenta en la forma \(\displaystyle\frac{0}{0}\), puede ser posible factorizar el numerador y el denominador, identificar un factor común y simplificarlo.
Consideremos, por ejemplo,
\[ \lim_{x\to 1}\frac{x^3-1}{x-1}. \]
Utilizando la factorización de una diferencia de cubos, para \(x\neq 1\) obtenemos
\[ \frac{x^3-1}{x-1} = \frac{(x-1)(x^2+x+1)}{x-1} = x^2+x+1. \]
Por consiguiente,
\[ \lim_{x\to 1}\frac{x^3-1}{x-1} = \lim_{x\to 1}(x^2+x+1) = 3. \]
La simplificación es válida porque se realiza para \(x\neq 1\), es decir, en los puntos suficientemente próximos al punto hacia el que tiende la variable. El valor que pudiera tomar la expresión en el punto \(x=1\) no afecta al límite.
Reducción a un mismo denominador y racionalización
Las diferencias que se presentan en la forma \(\infty-\infty\) pueden a menudo transformarse reduciendo los términos a un mismo denominador. Si, en cambio, aparecen radicales, puede resultar útil multiplicar y dividir por la expresión conjugada.
Estos procedimientos transforman la diferencia en una única fracción, en la cual resulta posible estudiar el comportamiento conjunto del numerador y del denominador.
También en este caso es necesario comprobar que los denominadores introducidos son distintos de cero en los puntos considerados y que todas las raíces presentes están definidas.
División entre el término de grado máximo
En los cocientes de polinomios, cuando \(x\to+\infty\) o \(x\to-\infty\), el comportamiento queda determinado por los términos de mayor grado. Se puede, por tanto, dividir el numerador y el denominador entre la mayor potencia de \(x\) presente en el denominador o, más en general, entre una potencia que permita comparar los términos dominantes.
Por ejemplo,
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{5x^3-x}{2x^3+4x} = \lim_{x\to+\infty} \frac{5-\displaystyle\frac{1}{x^2}} {2+\displaystyle\frac{4}{x^2}} = \frac{5}{2}. \]
Si hay radicales presentes, debe prestarse especial atención a la identidad
\[ \sqrt{x^2}=|x|. \]
En particular, para \(x\to-\infty\) se tiene \(|x|=-x\), no \(|x|=x\).
Límites notables
Muchas formas indeterminadas pueden reducirse a límites notables mediante transformaciones algebraicas o cambios de variable. Entre los principales límites notables se encuentran
\[ \lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1, \qquad \lim_{t\to 0}\frac{e^t-1}{t}=1, \]
\[ \lim_{t\to 0}\frac{\ln(1+t)}{t}=1, \qquad \lim_{t\to 0}(1+t)^{\frac{1}{t}}=e. \]
Para utilizar correctamente un límite notable, es preciso reconducir toda la expresión a su estructura, comprobando que la variable interna tienda al valor requerido.
Por ejemplo,
\[ \lim_{x\to 0}\frac{\sin(3x)}{x} = 3\lim_{x\to 0}\frac{\sin(3x)}{3x} = 3. \]
Equivalencias asintóticas
Dos funciones \(f\) y \(g\) se dicen asintóticamente equivalentes cuando \(x\to x_0\) si
\[ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=1, \]
y se escribe
\[ f(x)\sim g(x) \qquad\text{cuando }x\to x_0. \]
Las equivalencias asintóticas permiten sustituir una función por otra con el mismo comportamiento principal en productos y cocientes, siempre que las expresiones involucradas estén definidas y los denominadores sean distintos de cero en los puntos suficientemente próximos a la situación límite considerada.
Por ejemplo, puesto que
\[ \sin x\sim x \qquad\text{cuando }x\to 0, \]
se tiene
\[ \frac{\sin x}{x}\sim\frac{x}{x}=1. \]
Las equivalencias, en cambio, no pueden emplearse indiscriminadamente en sumas y diferencias, porque puede producirse una cancelación de los términos principales.
Por ejemplo,
\[ x+x^2\sim x \qquad\text{y}\qquad x\sim x \]
cuando \(x\to 0\), pero
\[ (x+x^2)-x=x^2, \]
mientras que la sustitución por separado de los dos términos por \(x\) produciría erróneamente \(x-x=0\). Cuando se produce una cancelación, es necesario conservar términos de orden superior.
Teoremas de comparación
Cuando una expresión contiene factores oscilantes o no resulta fácilmente simplificable, puede ser útil compararla con funciones de comportamiento conocido.
Consideremos, por ejemplo,
\[ \lim_{x\to 0}\frac{x^2\sin\left(\displaystyle\frac{1}{x}\right)}{x}. \]
Para \(x\neq 0\), la expresión se reduce a
\[ x\sin\left(\frac{1}{x}\right). \]
Puesto que
\[ \left|x\sin\left(\frac{1}{x}\right)\right| \leq |x|, \]
y \(|x|\to 0\), del teorema del encaje se sigue que
\[ \lim_{x\to 0}x\sin\left(\frac{1}{x}\right)=0. \]
La elección del método debe, por tanto, estar guiada por la estructura de la expresión. Una transformación eficaz no elimina formalmente los símbolos de la forma indeterminada, sino que hace explícito el comportamiento relativo de las funciones que la producen.
Errores frecuentes
En el cálculo de las formas indeterminadas es esencial distinguir las transformaciones matemáticamente válidas de las manipulaciones puramente formales. Los errores más comunes derivan a menudo de una interpretación indebida de los símbolos \(0\) e \(\infty\), de la aplicación automática de una regla o de la falta de comprobación de las condiciones necesarias.
Considerar la forma indeterminada como el resultado del límite
Escribir que un límite se presenta en la forma \(\displaystyle\frac{0}{0}\) no significa haber determinado su valor. La forma indica únicamente que el numerador y el denominador tienden ambos a cero.
Por ejemplo,
\[ \lim_{x\to 0}\frac{x}{x}=1, \qquad \lim_{x\to 0}\frac{x^2}{x}=0, \qquad \lim_{x\to 0}\frac{x}{x^2} \]
se presentan todos en la forma \(\displaystyle\frac{0}{0}\), y sin embargo producen comportamientos distintos. En el último caso, además, el límite bilateral no existe: el límite por la derecha es \(+\infty\), mientras que el límite por la izquierda es \(-\infty\).
Tratar el infinito como un número real
Los símbolos \(+\infty\) y \(-\infty\) no representan números reales. Expresiones como
\[ \frac{\infty}{\infty}, \qquad \infty-\infty, \qquad 0\cdot\infty \]
no son operaciones aritméticas realizadas con el infinito, sino descripciones sintéticas del comportamiento límite de los términos.
No es lícito, por tanto, por ejemplo, cancelar formalmente los infinitos en la expresión \(\displaystyle\frac{\infty}{\infty}\) y concluir que el resultado es \(1\).
Confundir la sustitución con el cálculo del límite
La sustitución directa es una herramienta útil cuando las operaciones involucradas conservan el límite y no producen configuraciones indeterminadas. Si, en cambio, la sustitución conduce a una forma indeterminada, esta no determina el límite, sino que señala la necesidad de un análisis ulterior.
Además, el límite de una función en un punto no depende necesariamente del valor que la función toma en ese punto. Por este motivo, una expresión puede no estar definida en el punto hacia el que tiende la variable y, aun así, poseer límite.
Simplificar un factor sin precisar las condiciones
En la relación
\[ \frac{(x-x_0)h(x)}{x-x_0}=h(x), \]
la simplificación es válida únicamente para \(x\neq x_0\). Esto es suficiente para el cálculo del límite cuando \(x\to x_0\), porque el límite depende de los valores tomados en los puntos del dominio suficientemente próximos a \(x_0\), posiblemente excluyendo el propio \(x_0\).
No sería correcto, en cambio, afirmar que las dos expresiones son iguales también en \(x=x_0\), puesto que el primer miembro no está definido en dicho punto.
Aplicar las equivalencias asintóticas en diferencias sin comprobar las cancelaciones
Las equivalencias asintóticas pueden emplearse directamente en productos y cocientes, pero no pueden sustituirse indiscriminadamente dentro de sumas y diferencias.
Por ejemplo, cuando \(x\to 0\), se tiene
\[ x+x^2\sim x. \]
Sin embargo, sustituir \(x+x^2\) por \(x\) en la diferencia \((x+x^2)-x\) daría cero, mientras que
\[ (x+x^2)-x=x^2. \]
Cuando los términos principales se cancelan, es necesario, por tanto, analizar la expresión con mayor precisión y conservar los términos que determinan realmente su comportamiento.
Descuidar el dominio de la expresión
Antes de calcular un límite es necesario establecer dónde está definida la expresión. Esta comprobación resulta especialmente importante en presencia de denominadores, radicales, logaritmos y potencias de exponente real.
Por ejemplo, en el estudio de
\[ f(x)^{g(x)} \]
mediante la relación
\[ f(x)^{g(x)}=e^{g(x)\ln f(x)}, \]
es necesario que \(f(x)>0\) en los puntos suficientemente próximos a la situación límite considerada.
Olvidar el valor absoluto al extraer una raíz cuadrada
La identidad correcta es
\[ \sqrt{x^2}=|x|, \]
no \(\sqrt{x^2}=x\) para todo \(x\in\mathbb{R}\).
En consecuencia, cuando \(x\to-\infty\),
\[ \sqrt{x^2}=|x|=-x. \]
Ignorar este hecho puede cambiar el signo de la expresión y conducir a un resultado incorrecto.
Confundir un límite infinito con un límite inexistente
Decir que
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty \]
expresa un comportamiento preciso: los valores de la función se hacen mayores que cualquier número real prefijado cuando \(x\) está suficientemente próximo a \(x_0\).
Este caso es distinto de aquel en que el límite no existe por oscilación, o porque los dos límites laterales son diferentes.
Por ejemplo,
\[ \lim_{x\to 0}\frac{1}{x^2}=+\infty, \]
mientras que
\[ \lim_{x\to 0}\frac{1}{x} \]
no existe como límite bilateral, puesto que
\[ \lim_{x\to 0^+}\frac{1}{x}=+\infty \qquad\text{y}\qquad \lim_{x\to 0^-}\frac{1}{x}=-\infty. \]
Descuidar el signo de los términos divergentes
Conocer únicamente la divergencia en valor absoluto no siempre es suficiente para determinar el signo del resultado. En cocientes, productos y diferencias es necesario también estudiar el signo que toman los términos individuales en los puntos suficientemente próximos a la situación límite considerada.
Por ejemplo, de la sola información
\[ |f(x)|\to+\infty \]
no se sigue que \(f(x)\to+\infty\): la función podría tender a \(-\infty\), u oscilar tomando valores arbitrariamente grandes en valor absoluto.
Detenerse cuando una transformación produce otra forma indeterminada
Una forma indeterminada puede transformarse en otra forma indeterminada. Esto no significa que la transformación sea inútil o incorrecta: puede tratarse de un paso intermedio necesario.
Por ejemplo, una forma \(0\cdot\infty\) puede reescribirse como \(\displaystyle\frac{0}{0}\), mientras que una forma exponencial puede reducirse a \(0\cdot\infty\) mediante el logaritmo.
El procedimiento debe continuar hasta que la expresión obtenida permita aplicar correctamente las propiedades de los límites o alguna de las herramientas disponibles.
Evitar estos errores exige considerar toda forma indeterminada como un problema de comparación entre comportamientos, y no como un cálculo simbólico entre \(0\) e \(\infty\). Cada paso debe justificarse por el dominio, por las propiedades de las funciones involucradas y por las hipótesis del método empleado.
Esquema resumen
Las siete formas indeterminadas pueden clasificarse en formas de cociente, de producto, de diferencia y exponenciales. La tabla siguiente resume su significado y las transformaciones más frecuentemente empleadas.
| Forma indeterminada | Comportamiento de los términos | Transformaciones y métodos principales |
|---|---|---|
| \(\displaystyle\frac{0}{0}\) | El numerador y el denominador tienden ambos a cero. | Factorización y simplificación, racionalización, límites notables, equivalencias asintóticas y teoremas de comparación. |
| \(\displaystyle\frac{\infty}{\infty}\) | El numerador y el denominador tienden, cada uno, a \(+\infty\) o a \(-\infty\), no necesariamente con el mismo signo. | Comparación de los órdenes de crecimiento, división entre el término dominante, equivalencias asintóticas y teoremas de comparación. |
| \(0\cdot\infty\) | Un factor tiende a cero y el otro tiende a \(+\infty\) o a \(-\infty\). | Transformación del producto en un cociente de la forma \(\displaystyle\frac{0}{0}\) o \(\displaystyle\frac{\infty}{\infty}\). |
| \(\infty-\infty\) | Los dos términos de la diferencia divergen con el mismo signo. | Reducción a un mismo denominador, factor común y racionalización. |
| \(1^\infty\) | La base tiende a \(1\) y el exponente tiende a \(+\infty\) o a \(-\infty\). | Si la base es positiva en los puntos suficientemente próximos a la situación límite considerada, se estudia el producto entre el exponente y el logaritmo de la base. |
| \(0^0\) | La base tiende a \(0^+\) y el exponente tiende a cero. | Se estudia el producto entre el exponente y el logaritmo de la base. |
| \(\infty^0\) | La base tiende a \(+\infty\) y el exponente tiende a cero. | Se estudia el producto entre el exponente y el logaritmo de la base. |
Para las formas exponenciales, suponiendo que \(f(x)>0\) en los puntos suficientemente próximos a la situación límite considerada, se emplea la relación
\[ f(x)^{g(x)}=e^{g(x)\ln f(x)}, \]
reduciendo así el límite de la potencia al estudio del producto \(g(x)\ln f(x)\).
El procedimiento general para estudiar un límite puede resumirse en los siguientes pasos:
- determinar el dominio de la expresión y precisar la situación límite considerada;
- calcular por separado los límites de los términos que componen la expresión;
- comprobar si las propiedades del álgebra de límites permiten concluir directamente o si aparece una forma indeterminada;
- transformar la expresión mediante un procedimiento válido en su dominio;
- aplicar el método más adecuado, comprobando todas sus hipótesis;
- comprobar el resultado, prestando atención a los signos, a los límites laterales y a la eventual presencia de oscilaciones.
Una forma indeterminada no constituye, por tanto, un obstáculo puramente formal, sino una señal de que el comportamiento de los términos individuales resulta insuficiente para determinar el de la expresión global. El cálculo del límite exige poner de manifiesto su comportamiento relativo mediante transformaciones y herramientas matemáticamente justificadas.