Los infinitos y los infinitésimos son conceptos fundamentales en el estudio de los límites y en la comparación del comportamiento asintótico de las funciones.
En esta página daremos una definición precisa de ambos conceptos, estudiaremos la comparación entre funciones infinitas e infinitesimales e introduciremos las nociones de orden, equivalencia asintótica y \(o\) pequeña.
Índice
- Significado de infinito e infinitésimo
- Funciones infinitas
- Funciones infinitesimales
- Comparación entre infinitos
- Comparación entre infinitésimos
- Orden de infinito y orden de infinitésimo
- Infinitos e infinitésimos equivalentes
- Uso de los equivalentes en el cálculo de límites
- Relación entre infinitos e infinitésimos
- Principales equivalencias asintóticas
- Jerarquías fundamentales entre infinitos e infinitésimos
- Conclusiones
Significado de infinito e infinitésimo
Los conceptos de infinito e infinitésimo describen el comportamiento de una función respecto a un determinado proceso de paso al límite, por ejemplo cuando \(x\to x_0\) o cuando \(x\to \pm\infty\).
Decir que una función es infinita significa que sus valores tienden a \(+\infty\) o a \(-\infty\). El símbolo \(\infty\), por tanto, no representa un número real, sino que expresa un comportamiento no acotado.
Decir, en cambio, que una función es infinitesimal significa que sus valores tienden a cero. También en este caso no se describe el valor que toma la función en un único punto, sino su comportamiento a lo largo del proceso de paso al límite considerado.
Una misma función puede ser infinita respecto a un proceso de paso al límite e infinitesimal respecto a otro. Por este motivo, toda afirmación debe especificar el proceso de paso al límite al que se refiere.
Funciones infinitas
Sea \(f\) una función definida en un entorno de \(x_0\), posiblemente con la excepción del propio punto \(x_0\). Se dice que \(f\) es infinita cuando \(x\to x_0\) si
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty \]
o bien
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=-\infty. \]
En el primer caso, los valores de \(f(x)\) se hacen mayores que cualquier número real prefijado; en el segundo, se hacen menores que cualquier número real prefijado.
Por ejemplo, la función
\[ f(x)=\frac{1}{x^2} \]
es infinita cuando \(x\to 0\), puesto que
\[ \lim_{x\to 0}\frac{1}{x^2}=+\infty. \]
Análogamente, una función puede ser infinita cuando \(x\to+\infty\) o cuando \(x\to-\infty\). Por ejemplo,
\[ \lim_{x\to+\infty}x^2=+\infty. \]
La expresión «función infinita» tiene, por tanto, sentido únicamente en relación con un proceso de paso al límite concreto.
Funciones infinitesimales
Sea \(f\) una función definida en un entorno de \(x_0\), posiblemente con la excepción del propio punto \(x_0\). Se dice que \(f\) es infinitesimal cuando \(x\to x_0\) si
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=0. \]
Esto significa que los valores de \(f(x)\) pueden hacerse arbitrariamente pequeños en valor absoluto, siempre que \(x\) esté suficientemente cerca de \(x_0\).
Por ejemplo, la función
\[ f(x)=x^2 \]
es infinitesimal cuando \(x\to 0\), puesto que
\[ \lim_{x\to 0}x^2=0. \]
Una función puede ser infinitesimal también cuando \(x\to+\infty\) o cuando \(x\to-\infty\). Por ejemplo,
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}=0, \]
por lo que la función \(\displaystyle\frac{1}{x}\) es infinitesimal cuando \(x\to+\infty\).
También en este caso, la expresión «función infinitesimal» debe referirse siempre a un proceso de paso al límite concreto.
Comparación entre infinitos
Sean \(f\) y \(g\) dos funciones infinitas respecto al mismo proceso de paso al límite. Para comparar la rapidez con la que crecen en valor absoluto, se considera el límite de su cociente:
\[ \lim\frac{f(x)}{g(x)}. \]
Si
\[ \lim\frac{f(x)}{g(x)}=0, \]
entonces \(f\) es un infinito de orden inferior respecto a \(g\): el valor absoluto de \(g(x)\) crece más rápidamente que el de \(f(x)\).
Si, en cambio,
\[ \lim\left|\frac{f(x)}{g(x)}\right|=+\infty, \]
entonces \(f\) es un infinito de orden superior respecto a \(g\).
Por último, si
\[ \lim\frac{f(x)}{g(x)}=L, \qquad 0<|L|<+\infty, \]
las dos funciones son infinitos del mismo orden.
Por ejemplo, cuando \(x\to+\infty\),
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{x}{x^2} = \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x} =0. \]
Por tanto, \(x\) es un infinito de orden inferior respecto a \(x^2\).
Si no se verifica ninguno de los tres casos anteriores, las dos funciones no son comparables mediante esta clasificación.
Comparación entre infinitésimos
Sean \(f\) y \(g\) dos funciones infinitesimales respecto al mismo proceso de paso al límite, con \(g(x)\neq 0\) eventualmente. También en este caso, la comparación se realiza estudiando el límite del cociente
\[ \lim\frac{f(x)}{g(x)}. \]
Si
\[ \lim\frac{f(x)}{g(x)}=0, \]
entonces \(f\) es un infinitésimo de orden superior respecto a \(g\): la función \(f\) tiende a cero más rápidamente que \(g\).
Si, en cambio,
\[ \lim\left|\frac{f(x)}{g(x)}\right|=+\infty, \]
entonces \(f\) es un infinitésimo de orden inferior respecto a \(g\).
Por último, si
\[ \lim\frac{f(x)}{g(x)}=L, \qquad 0<|L|<+\infty, \]
las dos funciones son infinitésimos del mismo orden.
Por ejemplo, cuando \(x\to 0\),
\[ \lim_{x\to 0}\frac{x^2}{x} = \lim_{x\to 0}x =0. \]
Por tanto, \(x^2\) es un infinitésimo de orden superior respecto a \(x\).
Si no se verifica ninguno de los tres casos anteriores, las dos funciones no son comparables mediante esta clasificación.
Orden de infinito y orden de infinitésimo
La comparación mediante el cociente permite precisar aún más la rapidez con la que una función tiende a cero, o bien a \(+\infty\) o a \(-\infty\).
Sean \(f\) y \(g\) dos infinitésimos respecto al mismo proceso de paso al límite, con \(g(x)>0\) eventualmente. Se dice que \(f\) es un infinitésimo de orden \(\alpha>0\) respecto a \(g\) si
\[ \lim\frac{f(x)}{[g(x)]^\alpha}=L, \qquad 0<|L|<+\infty. \]
Por ejemplo, cuando \(x\to 0^+\), la función \(x^3\) es un infinitésimo de orden \(3\) respecto a \(x\), puesto que
\[ \lim_{x\to 0^+}\frac{x^3}{x^3}=1. \]
Análogamente, sean \(f\) y \(g\) dos infinitos respecto al mismo proceso de paso al límite, con \(g(x)>0\) eventualmente. Se dice que \(f\) es un infinito de orden \(\alpha>0\) respecto a \(g\) si
\[ \lim\frac{f(x)}{[g(x)]^\alpha}=L, \qquad 0<|L|<+\infty. \]
Por ejemplo, cuando \(x\to+\infty\), la función \(x^4\) es un infinito de orden \(4\) respecto a \(x\), porque
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{x^4}{x^4}=1. \]
El orden no es, por tanto, una propiedad absoluta de la función, sino que depende de la función elegida como término de comparación.
Infinitos e infinitésimos equivalentes
Sean \(f\) y \(g\) dos funciones, ambas infinitas o ambas infinitesimales, respecto al mismo proceso de paso al límite, con \(g(x)\neq 0\) eventualmente. Las dos funciones se dicen asintóticamente equivalentes si
\[ \lim\frac{f(x)}{g(x)}=1. \]
En tal caso se escribe
\[ f(x)\sim g(x). \]
La equivalencia asintótica expresa el hecho de que, en el proceso de paso al límite considerado, el cociente entre las dos funciones tiende a \(1\): ambas presentan, por tanto, el mismo comportamiento principal.
Por ejemplo, cuando \(x\to 0\),
\[ \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1, \]
por lo que
\[ \sin x\sim x. \]
Análogamente, cuando \(x\to+\infty\),
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{x^2+x}{x^2} = \lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right) =1, \]
de donde
\[ x^2+x\sim x^2. \]
Dos infinitos o infinitésimos equivalentes son del mismo orden. El recíproco, sin embargo, no es necesariamente cierto: si el cociente tiende a una constante finita y no nula distinta de \(1\), las funciones tienen el mismo orden pero no son equivalentes.
Uso de los equivalentes en el cálculo de límites
Las equivalencias asintóticas permiten sustituir una función por otra más sencilla que presente el mismo comportamiento principal en el proceso de paso al límite considerado.
Si
\[ f(x)\sim g(x), \]
entonces, a efectos del cálculo del límite, \(f(x)\) puede sustituirse por \(g(x)\) cuando aparece como factor en un producto o en un cociente, siempre que las expresiones resultantes estén eventualmente bien definidas.
Por ejemplo, puesto que
\[ \sin x\sim x \qquad\text{cuando }x\to 0, \]
se tiene
\[ \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1. \]
Análogamente, empleando
\[ 1-\cos x\sim\frac{x^2}{2} \qquad\text{cuando }x\to 0, \]
obtenemos
\[ \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2} = \frac{1}{2}. \]
La sustitución mediante equivalentes no puede, en cambio, aplicarse automáticamente en las sumas y en las diferencias, porque puede producirse una cancelación de los términos principales.
Por ejemplo, cuando \(x\to+\infty\),
\[ x+1\sim x, \]
pero sustituir \(x+1\) por \(x\) en la diferencia
\[ (x+1)-x \]
conduciría erróneamente a \(0\), mientras que la expresión es idénticamente igual a \(1\).
Los equivalentes deben, por tanto, emplearse teniendo en cuenta la estructura de la expresión: resultan especialmente eficaces en productos y cocientes, mientras que en sumas y diferencias es necesario identificar previamente el término dominante, o bien transformar oportunamente la expresión.
Relación entre infinitos e infinitésimos
Los infinitos y los infinitésimos están relacionados mediante el paso a los recíprocos. Si \(f\) es infinita, entonces \(f(x)\neq 0\) eventualmente y
\[ \lim\frac{1}{f(x)}=0. \]
Recíprocamente, si \(f\) es infinitesimal y \(f(x)\neq 0\) eventualmente, entonces
\[ \lim\left|\frac{1}{f(x)}\right|=+\infty. \]
Si \(f(x)>0\) eventualmente, su recíproco tiende a \(+\infty\); si, en cambio, \(f(x)<0\) eventualmente, su recíproco tiende a \(-\infty\). Si \(f\) no es eventualmente de signo constante, su recíproco no tiende ni a \(+\infty\) ni a \(-\infty\), aunque su valor absoluto tiende a \(+\infty\).
Por ejemplo, cuando \(x\to 0\),
\[ x^2\to 0 \qquad\text{y}\qquad \frac{1}{x^2}\to+\infty. \]
En cambio, cuando \(x\to 0^+\),
\[ x\to 0^+ \qquad\text{y}\qquad \frac{1}{x}\to+\infty, \]
mientras que cuando \(x\to 0^-\),
\[ x\to 0^- \qquad\text{y}\qquad \frac{1}{x}\to-\infty. \]
Principales equivalencias asintóticas
En el cálculo de límites se emplean con frecuencia algunas equivalencias asintóticas fundamentales. Con los ángulos expresados en radianes, cuando \(x\to 0\) son válidas las siguientes equivalencias:
\[ \sin x\sim x, \qquad \tan x\sim x, \qquad \arcsin x\sim x, \qquad \arctan x\sim x; \]
\[ 1-\cos x\sim\frac{x^2}{2}; \]
\[ e^x-1\sim x, \qquad \ln(1+x)\sim x; \]
\[ (1+x)^\alpha-1\sim\alpha x, \qquad \alpha\in\mathbb{R},\ \alpha\neq 0. \]
Estas equivalencias se derivan de límites notables y permiten sustituir, cuando aparecen como factores en productos o cocientes, infinitésimos más complejos por expresiones más sencillas.
Por ejemplo, puesto que
\[ e^x-1\sim x \qquad\text{y}\qquad \sin x\sim x \qquad\text{cuando }x\to 0, \]
se obtiene
\[ \lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{\sin x} = \lim_{x\to 0}\frac{x}{x} =1. \]
Jerarquías fundamentales entre infinitos e infinitésimos
Cuando \(x\to+\infty\), las principales familias de funciones presentan velocidades de crecimiento distintas. En particular, para todo \(\alpha>0\) y para todo \(a>1\), se tiene
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(x)}{x^\alpha}=0 \qquad\text{y}\qquad \lim_{x\to+\infty}\frac{x^\alpha}{a^x}=0. \]
Esto significa que toda potencia positiva de \(x\) crece más rápidamente que el logaritmo, mientras que toda función exponencial de base mayor que \(1\) crece más rápidamente que cualquier potencia positiva de \(x\).
Para expresar esta jerarquía de manera rigurosa, fijado el proceso de paso al límite considerado y supuesto \(g(x)\neq 0\) eventualmente, la notación
\[ f(x)=o(g(x)) \]
significa que
\[ \lim\frac{f(x)}{g(x)}=0. \]
Por tanto, cuando \(x\to+\infty\),
\[ \ln(x)=o(x^\alpha) \qquad\text{y}\qquad x^\alpha=o(a^x). \]
Por ejemplo,
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(x)}{\sqrt{x}}=0 \qquad\text{y}\qquad \lim_{x\to+\infty}\frac{x^{10}}{2^x}=0. \]
Pasando a los recíprocos se obtiene la jerarquía correspondiente entre infinitésimos:
\[ \frac{1}{a^x}=o\left(\frac{1}{x^\alpha}\right) \qquad\text{y}\qquad \frac{1}{x^\alpha}=o\left(\frac{1}{\ln(x)}\right) \qquad\text{cuando }x\to+\infty. \]
En cada relación, la función situada a la izquierda tiende a cero más rápidamente, y es, por tanto, un infinitésimo de orden superior respecto a la situada a la derecha.
Conclusiones
Los conceptos de infinito e infinitésimo permiten describir y comparar los principales comportamientos asintóticos de las funciones. Una función infinita tiende a \(+\infty\) o a \(-\infty\), mientras que una función infinitesimal tiende a cero; en ambos casos, el comportamiento debe referirse siempre a un proceso de paso al límite concreto.
El estudio del cociente entre dos funciones permite comparar su comportamiento: en función del límite obtenido, puede establecerse cuál de las dos prevalece, si tienen el mismo orden o si son asintóticamente equivalentes. Las equivalencias resultan especialmente útiles en el cálculo de límites, siempre que se apliquen correctamente y sin sustituciones arbitrarias en sumas y diferencias.
Los infinitos y los infinitésimos constituyen, por tanto, un lenguaje esencial para reconocer los términos dominantes de una expresión y simplificar de manera rigurosa el estudio de los límites.