Cuando dos funciones tienden ambas a \(+\infty\), saber que son infinitas no basta para describir su comportamiento. En efecto, pueden crecer a velocidades muy distintas: un logaritmo crece más lentamente que una potencia, una potencia más lentamente que una exponencial, y una exponencial más lentamente que funciones como \(x^x\).
La jerarquía de los infinitos permite ordenar las funciones según su velocidad de crecimiento. La comparación se lleva a cabo estudiando el límite de su cociente: de este modo puede determinarse si una función es despreciable frente a otra, si ambas tienen el mismo orden de crecimiento o si una crece más rápidamente que la otra.
En esta página desarrollamos, de manera rigurosa pero accesible, los principales criterios de comparación entre infinitos y construimos las escalas asintóticas fundamentales. El término «jerarquía» no alude aquí a las distintas cardinalidades de los conjuntos infinitos, sino exclusivamente a los órdenes de crecimiento de las funciones.
Índice
- Cómo se comparan dos infinitos
- Infinitos de orden superior, inferior y del mismo orden
- Infinitos equivalentes
- La jerarquía fundamental de los infinitos
- Aplicaciones y ejemplos de comparación
Cómo se comparan dos infinitos
Decir que dos funciones tienden ambas a infinito no significa que crezcan con la misma rapidez. Para comparar su comportamiento es necesario considerarlas en un mismo proceso de paso al límite y determinar cómo varía cada una respecto de la otra.
Sean \(f\) y \(g\) dos funciones tales que
\[ |f(x)|\to+\infty \qquad\text{y}\qquad |g(x)|\to+\infty \]
cuando \(x\to x_0\), donde \(x_0\) puede ser un punto real o bien \(+\infty\) o \(-\infty\). Para comparar sus órdenes de crecimiento se estudia, cuando existe, el límite del cociente de sus módulos:
\[ L=\lim_{x\to x_0}\frac{|f(x)|}{|g(x)|}. \]
Este cociente mide el tamaño de \(f(x)\) frente al de \(g(x)\). Si tiende a \(0\), el tamaño de \(f(x)\) resulta despreciable frente al de \(g(x)\); si tiende a un número real positivo, ambas funciones tienen tamaños comparables; si tiende a \(+\infty\), es \(f(x)\) la que prevalece sobre \(g(x)\).
Cuando las dos funciones tienen el mismo signo a partir de cierto punto del proceso de paso al límite considerado, pueden suprimirse los valores absolutos y estudiarse directamente
\[ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}. \]
Por ejemplo, cuando \(x\to+\infty\),
\[ \frac{x^2}{x^3}=\frac{1}{x}\to 0. \]
Así pues, aunque \(x^2\) y \(x^3\) tienden ambas a \(+\infty\), la función \(x^2\) crece más lentamente que \(x^3\).
El límite del cociente no tiene por qué existir. En tal caso, este criterio, por sí solo, no permite asignar de inmediato a las dos funciones ninguna de las relaciones que se definirán en la sección siguiente.
Infinitos de orden superior, inferior y del mismo orden
Sean \(f\) y \(g\) dos funciones infinitas cuando \(x\to x_0\). El límite del cociente de sus módulos permite precisar cuál de las dos prevalece en el proceso considerado.
Si
\[ \lim_{x\to x_0}\frac{|f(x)|}{|g(x)|}=0, \]
entonces \(f\) es un infinito de orden inferior respecto de \(g\), mientras que \(g\) es un infinito de orden superior respecto de \(f\). Se escribe
\[ f(x)=o\bigl(g(x)\bigr) \qquad\text{cuando }x\to x_0. \]
Esta relación significa que, aun siendo ambas infinitas, el tamaño de \(f(x)\) resulta despreciable frente al de \(g(x)\).
Si, en cambio,
\[ \lim_{x\to x_0}\frac{|f(x)|}{|g(x)|}=L, \qquad 0<L<+\infty, \]
entonces \(f\) y \(g\) son infinitos del mismo orden. El cociente de sus módulos no tiende ni a \(0\) ni a \(+\infty\): ambas funciones tienen, por tanto, tamaños asintóticamente comparables.
Por último, si
\[ \lim_{x\to x_0}\frac{|f(x)|}{|g(x)|}=+\infty, \]
entonces \(f\) es un infinito de orden superior respecto de \(g\). Esta situación equivale a
\[ \lim_{x\to x_0}\frac{|g(x)|}{|f(x)|}=0. \]
Por ejemplo, cuando \(x\to+\infty\),
\[ \frac{3x^2}{5x^2}=\frac{3}{5}. \]
Como el cociente tiende a un número positivo y finito, \(3x^2\) y \(5x^2\) son infinitos del mismo orden. No son, sin embargo, equivalentes, ya que el límite de su cociente no es igual a \(1\): esta distinción se precisará en la sección siguiente.
Infinitos equivalentes
Sean \(f\) y \(g\) dos funciones infinitas cuando \(x\to x_0\). Se dice que son infinitos equivalentes si
\[ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=1. \]
En tal caso se escribe
\[ f(x)\sim g(x) \qquad\text{cuando }x\to x_0. \]
La equivalencia significa que el cociente de las dos funciones tiende a \(1\): cada una de ellas constituye, por tanto, una aproximación asintótica de primer orden de la otra.
Dos infinitos equivalentes son necesariamente del mismo orden, pero el recíproco no siempre es cierto. Por ejemplo, \(3x^2\) y \(5x^2\) son del mismo orden cuando \(x\to+\infty\), pero no son equivalentes, ya que
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{3x^2}{5x^2}=\frac{3}{5}\neq 1. \]
Si, más en general,
\[ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=L, \qquad L\in\mathbb{R}\setminus\{0\}, \]
entonces \(f\) y \(g\) son del mismo orden y se tiene
\[ f(x)\sim Lg(x). \]
Por ejemplo, cuando \(x\to+\infty\),
\[ \frac{x^2+3x}{x^2}=1+\frac{3}{x}\to 1. \]
Por consiguiente,
\[ x^2+3x\sim x^2. \]
La equivalencia asintótica no es una igualdad: describe únicamente el comportamiento relativo de las funciones en el proceso de paso al límite considerado. Por este motivo, la sustitución de una función por una equivalente suya debe efectuarse con cautela, sobre todo en las sumas y en las diferencias, donde pueden producirse cancelaciones.
La jerarquía fundamental de los infinitos
Cuando \(x\to+\infty\), las principales funciones que tienden a \(+\infty\) pueden ordenarse según su velocidad de crecimiento. Las familias fundamentales son las funciones logarítmicas, las potencias y las funciones exponenciales.
Dentro de la familia de las potencias, si \(0<\alpha<\beta\), entonces
\[ x^\alpha=o\bigl(x^\beta\bigr). \]
Una potencia de exponente mayor es, por tanto, un infinito de orden superior respecto de una potencia de exponente menor.
Análogamente, entre dos funciones exponenciales de base mayor que \(1\), si \(1<a<b\), se tiene
\[ a^x=o\bigl(b^x\bigr). \]
Para los logaritmos, en cambio, el cambio de base introduce únicamente un factor constante. Si \(a>1\), entonces
\[ \log_a(x)=\frac{\ln(x)}{\ln(a)}. \]
En consecuencia, todas las funciones logarítmicas de base mayor que \(1\) son infinitos del mismo orden. Para estudiar la jerarquía basta, pues, con fijar una base; en lo que sigue utilizaremos el logaritmo natural, denotado por \(\ln(x)\).
La comparación entre familias distintas conduce a las relaciones fundamentales
\[ \bigl(\ln(x)\bigr)^p=o\bigl(x^q\bigr) \qquad\text{y}\qquad x^q=o\bigl(a^x\bigr), \]
válidas para todo \(p>0\), \(q>0\) y \(a>1\). Así pues, cualquier potencia positiva del logaritmo natural crece más lentamente que cualquier potencia positiva de \(x\), mientras que cualquier potencia positiva de \(x\) crece más lentamente que toda exponencial de base mayor que \(1\).
La jerarquía puede ampliarse incluyendo el logaritmo iterado y la función \(x^x\):
\[ \ln\bigl(\ln(x)\bigr)=o\bigl(\bigl(\ln(x)\bigr)^p\bigr), \qquad \bigl(\ln(x)\bigr)^p=o\bigl(x^q\bigr), \qquad x^q=o\bigl(a^x\bigr), \qquad a^x=o\bigl(x^x\bigr). \]
Esta cadena no compara los valores de las funciones para todo \(x\), sino que describe exclusivamente su comportamiento asintótico cuando \(x\to+\infty\). Cada función situada más a la derecha domina asintóticamente a todas las que la preceden.
Aplicaciones y ejemplos de comparación
Una vez establecida la jerarquía fundamental, muchas comparaciones pueden resolverse reconociendo las familias a las que pertenecen las funciones, sin necesidad de calcular cada vez el límite mediante procedimientos más largos.
Consideremos, por ejemplo,
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{\bigl(\ln(x)\bigr)^4}{x^{1/3}}. \]
Toda potencia positiva del logaritmo natural crece más lentamente que cualquier potencia positiva de \(x\). Por tanto,
\[ \bigl(\ln(x)\bigr)^4=o\bigl(x^{1/3}\bigr) \]
y, en consecuencia,
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{\bigl(\ln(x)\bigr)^4}{x^{1/3}}=0. \]
Análogamente, en el límite
\[ \lim_{x\to+\infty}x^5e^{-x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{x^5}{e^x}, \]
la función exponencial domina a la potencia. Como
\[ x^5=o\bigl(e^x\bigr), \]
se obtiene
\[ \lim_{x\to+\infty}x^5e^{-x}=0. \]
La jerarquía permite asimismo comparar funciones pertenecientes a una misma familia. Por ejemplo,
\[ \frac{2^x}{5^x}=\left(\frac{2}{5}\right)^x\to 0, \]
de modo que
\[ 2^x=o\bigl(5^x\bigr) \qquad\text{cuando }x\to+\infty. \]
Otra aplicación importante consiste en identificar el término dominante de una suma. Consideremos
\[ f(x)=3e^x+7x^4-\bigl(\ln(x)\bigr)^2. \]
Dividiendo por \(3e^x\), se tiene
\[ \frac{f(x)}{3e^x}=1+\frac{7x^4}{3e^x}-\frac{\bigl(\ln(x)\bigr)^2}{3e^x}. \]
Como tanto \(x^4\) como \(\bigl(\ln(x)\bigr)^2\) son de orden inferior respecto de \(e^x\), los dos últimos términos tienden a \(0\). De ello se sigue que
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{3e^x}=1, \]
y, por tanto,
\[ 3e^x+7x^4-\bigl(\ln(x)\bigr)^2\sim 3e^x. \]
La equivalencia asintótica se conserva en los productos y en los cocientes: si \(f\sim g\) y \(h\sim k\) en el mismo proceso de paso al límite, entonces \(fh\sim gk\) y, siempre que \(h\) y \(k\) no se anulen a partir de cierto punto, \(\displaystyle\frac{f}{h}\sim\frac{g}{k}\). En las sumas y en las diferencias, en cambio, una función no puede sustituirse indiscriminadamente por una equivalente suya. Por ejemplo,
\[ x^2+x\sim x^2, \]
pero en la diferencia
\[ (x^2+x)-x^2=x, \]
los términos dominantes se cancelan. Sustituir \(x^2+x\) por su equivalente \(x^2\) haría perder, pues, precisamente el término que determina el resultado.