Esta colección propone 20 ejercicios resueltos sobre límites de funciones, organizados según un itinerario gradual y plenamente coherente con la teoría. Los primeros ejercicios se refieren a los casos en que el límite puede calcularse mediante sustitución directa; a continuación se abordan las principales formas indeterminadas, los límites notables, la comparación de infinitésimos e infinitos, los límites laterales y el estudio de las asíntotas.
Cada ejercicio va acompañado de una resolución completa y comentada. El objetivo no es únicamente obtener el resultado, sino reconocer la estructura del límite, identificar la posible forma indeterminada y elegir de manera consciente el método más adecuado.
Antes de efectuar transformaciones algebraicas, conviene siempre comprobar qué ocurre al sustituir formalmente el valor al que tiende \(x\). Cuando las operaciones con límites son aplicables y no aparece ninguna forma indeterminada, el límite puede calcularse directamente. Si, por el contrario, aparece una forma indeterminada del tipo \(0/0\), \(\infty/\infty\) o \(\infty-\infty\), puede ser necesario transformar algebraicamente la expresión, recurrir a los límites notables, emplear equivalencias asintóticas o aplicar el teorema de compresión.
En las resoluciones se utilizarán exclusivamente las herramientas introducidas en la teoría: sustitución directa, factorización, simplificación, racionalización, división por el término dominante, límites notables, equivalencias asintóticas, teorema de compresión y estudio de los límites laterales.
Ejercicio 1 — nivel ★☆☆☆☆
Calcular el siguiente límite:
\[ \lim_{x\to 2}\left(3x^2-5x+4\right). \]
Resultado
\[ \lim_{x\to 2}\left(3x^2-5x+4\right)=6. \]
Resolución
La función
\[ f(x)=3x^2-5x+4 \]
es un polinomio. Los polinomios están definidos y son continuos en todo punto de la recta real; por consiguiente, su límite en un punto se calcula sustituyendo la variable por el valor al que tiende.
Sustituimos, pues, \(x=2\):
\[ \lim_{x\to 2}\left(3x^2-5x+4\right) =3\cdot 2^2-5\cdot 2+4. \]
Calculamos por separado los términos:
\[ 2^2=4,\qquad 3\cdot 4=12,\qquad 5\cdot 2=10. \]
Obtenemos entonces:
\[ 12-10+4=6. \]
Por tanto:
\[ \lim_{x\to 2}\left(3x^2-5x+4\right)=6. \]
En este ejercicio no aparece ninguna forma indeterminada: la sustitución directa proporciona de inmediato un número real bien definido.
Ejercicio 2 — nivel ★☆☆☆☆
Calcular el siguiente límite:
\[ \lim_{x\to -1}\frac{x^2+3x+5}{2x+5}. \]
Resultado
\[ \lim_{x\to -1}\frac{x^2+3x+5}{2x+5}=1. \]
Resolución
El límite se refiere al cociente de dos polinomios. Antes de aplicar la propiedad del límite de un cociente, debemos comprobar que el denominador no tienda a cero.
Calculamos el límite del denominador mediante sustitución directa:
\[ \lim_{x\to -1}(2x+5)=2(-1)+5=-2+5=3. \]
Puesto que el límite del denominador es \(3\neq 0\), podemos aplicar la propiedad del límite de un cociente.
Calculamos ahora el límite del numerador:
\[ \lim_{x\to -1}(x^2+3x+5) =(-1)^2+3(-1)+5. \]
Como
\[ (-1)^2=1, \]
obtenemos:
\[ 1-3+5=3. \]
En consecuencia:
\[ \lim_{x\to -1}\frac{x^2+3x+5}{2x+5} = \frac{\displaystyle\lim_{x\to -1}(x^2+3x+5)} {\displaystyle\lim_{x\to -1}(2x+5)} = \frac{3}{3}=1. \]
Por tanto:
\[\lim_{x\to -1}\frac{x^2+3x+5}{2x+5}=1. \]
También en este caso la sustitución directa es suficiente, ya que el denominador no se anula en el límite.
Ejercicio 3 — nivel ★★☆☆☆
Calcular el siguiente límite:
\[ \lim_{x\to 3}\frac{x^2-9}{x-3}. \]
Resultado
\[ \lim_{x\to 3}\frac{x^2-9}{x-3}=6. \]
Resolución
Empezamos sustituyendo formalmente \(x=3\) en el numerador y en el denominador.
Para el numerador se tiene:
\[ 3^2-9=9-9=0. \]
Para el denominador se tiene:
\[ 3-3=0. \]
La sustitución directa conduce, por tanto, a la forma indeterminada
\[ \frac{0}{0}. \]
Esta escritura no representa el valor del límite. Únicamente indica que numerador y denominador tienden ambos a cero y que la expresión debe transformarse.
El numerador es una diferencia de cuadrados:
\[ x^2-9=x^2-3^2=(x-3)(x+3). \]
Para \(x\neq 3\) podemos escribir, pues:
\[ \frac{x^2-9}{x-3} = \frac{(x-3)(x+3)}{x-3}. \]
Puesto que en el estudio del límite cuando \(x\to 3\) consideramos valores de \(x\) próximos a \(3\), pero distintos de \(3\), el factor \(x-3\) es distinto de cero y puede simplificarse:
\[ \frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3. \]
El límite inicial se convierte entonces en:
\[ \lim_{x\to 3}\frac{x^2-9}{x-3} = \lim_{x\to 3}(x+3). \]
Llegados a este punto, podemos aplicar la sustitución directa:
\[ \lim_{x\to 3}(x+3)=3+3=6. \]
Por tanto:
\[ \lim_{x\to 3}\frac{x^2-9}{x-3}=6. \]
La simplificación no altera el límite, ya que las dos expresiones
\[ \frac{x^2-9}{x-3} \qquad\text{y}\qquad x+3 \]
coinciden para todo \(x\neq 3\). El hecho de que la expresión inicial no esté definida precisamente en \(x=3\) no impide, por consiguiente, la existencia del límite.
Ejercicio 4 — nivel ★★☆☆☆
Calcular el siguiente límite:
\[ \lim_{x\to 4}\frac{\sqrt{x}-2}{x-4}. \]
Resultado
\[ \lim_{x\to 4}\frac{\sqrt{x}-2}{x-4}=\frac{1}{4}. \]
Resolución
Comprobemos en primer lugar qué ocurre mediante sustitución directa.
El numerador tiende a:
\[ \sqrt{4}-2=2-2=0. \]
El denominador tiende a:
\[ 4-4=0. \]
Obtenemos, pues, la forma indeterminada
\[ \frac{0}{0}. \]
En este caso no se dispone de una factorización inmediata del numerador. La transformación más natural consiste en racionalizar, multiplicando numerador y denominador por el conjugado del numerador:
\[ \sqrt{x}+2. \]
Para \(x\neq 4\) podemos escribir:
\[ \frac{\sqrt{x}-2}{x-4} \cdot \frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+2}. \]
El segundo factor es igual a \(1\), siempre que \(\sqrt{x}+2\neq 0\). En un entorno de \(x=4\) esta cantidad es positiva y, por tanto, ciertamente distinta de cero.
Al multiplicar los numeradores obtenemos una diferencia de cuadrados:
\[ (\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2) = (\sqrt{x})^2-2^2 = x-4. \]
Por tanto:
\[ \frac{\sqrt{x}-2}{x-4} = \frac{x-4}{(x-4)(\sqrt{x}+2)}. \]
Para \(x\neq 4\) podemos simplificar el factor \(x-4\):
\[ \frac{x-4}{(x-4)(\sqrt{x}+2)} = \frac{1}{\sqrt{x}+2}. \]
El límite inicial se convierte entonces en:
\[ \lim_{x\to 4}\frac{\sqrt{x}-2}{x-4} = \lim_{x\to 4}\frac{1}{\sqrt{x}+2}. \]
Ahora el denominador tiende a:
\[ \sqrt{4}+2=2+2=4, \]
que es distinto de cero. Podemos, pues, aplicar la sustitución directa:
\[ \lim_{x\to 4}\frac{1}{\sqrt{x}+2} = \frac{1}{\sqrt{4}+2} = \frac{1}{4}. \]
Por tanto:
\[\lim_{x\to 4}\frac{\sqrt{x}-2}{x-4}=\frac{1}{4}. \]
La racionalización ha eliminado la forma indeterminada al transformar la expresión en un cociente cuyo denominador tiende a un número distinto de cero.
Ejercicio 5 — nivel ★★☆☆☆
Calcular el siguiente límite:
\[ \lim_{x\to 1}\frac{x^3-1}{x-1}. \]
Resultado
\[ \lim_{x\to 1}\frac{x^3-1}{x-1}=3. \]
Resolución
Empecemos comprobando qué se obtiene mediante sustitución directa.
Para el numerador se tiene:
\[ 1^3-1=1-1=0. \]
Para el denominador se tiene:
\[ 1-1=0. \]
La sustitución directa conduce, por tanto, a la forma indeterminada
\[ \frac{0}{0}. \]
Para eliminar esta forma indeterminada, observamos que el numerador es una diferencia de cubos. Recordemos la descomposición:
\[ a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2). \]
Tomando \(a=x\) y \(b=1\), obtenemos:
\[ x^3-1=(x-1)(x^2+x+1). \]
Para \(x\neq 1\), el cociente puede reescribirse, pues, en la forma:
\[ \frac{x^3-1}{x-1} = \frac{(x-1)(x^2+x+1)}{x-1}. \]
Puesto que \(x\neq 1\), el factor \(x-1\) es distinto de cero y puede simplificarse:
\[ \frac{(x-1)(x^2+x+1)}{x-1} = x^2+x+1. \]
El límite inicial se convierte, por consiguiente, en:
\[ \lim_{x\to 1}\frac{x^3-1}{x-1} = \lim_{x\to 1}(x^2+x+1). \]
La expresión obtenida es un polinomio, de modo que el límite se calcula mediante sustitución directa:
\[ \lim_{x\to 1}(x^2+x+1) = 1^2+1+1 = 3. \]
Por tanto:
\[ \lim_{x\to 1}\frac{x^3-1}{x-1}=3. \]
También en este caso la simplificación es legítima porque, en el cálculo del límite, consideramos valores de \(x\) próximos a \(1\), pero distintos de \(1\). Las dos expresiones coinciden, pues, en un entorno reducido del punto considerado.
Ejercicio 6 — nivel ★★☆☆☆
Calcular el siguiente límite:
\[ \lim_{x\to 9}\frac{x-9}{\sqrt{x}-3}. \]
Resultado
\[ \lim_{x\to 9}\frac{x-9}{\sqrt{x}-3}=6. \]
Resolución
Al sustituir formalmente \(x=9\), el numerador tiende a:
\[ 9-9=0, \]
mientras que el denominador tiende a:
\[ \sqrt{9}-3=3-3=0. \]
Se presenta, pues, la forma indeterminada
\[ \frac{0}{0}. \]
En este ejercicio la raíz aparece en el denominador. Para eliminar la forma indeterminada, multiplicamos numerador y denominador por el conjugado del denominador:
\[ \sqrt{x}+3. \]
Para \(x\neq 9\) podemos escribir:
\[ \frac{x-9}{\sqrt{x}-3} \cdot \frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+3}. \]
Al multiplicar los denominadores obtenemos una diferencia de cuadrados:
\[ (\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3) = (\sqrt{x})^2-3^2 = x-9. \]
Por tanto:
\[ \frac{x-9}{\sqrt{x}-3} = \frac{(x-9)(\sqrt{x}+3)}{x-9}. \]
Para \(x\neq 9\), el factor \(x-9\) es distinto de cero y puede simplificarse:
\[ \frac{(x-9)(\sqrt{x}+3)}{x-9} = \sqrt{x}+3. \]
El límite inicial se convierte entonces en:
\[ \lim_{x\to 9}\frac{x-9}{\sqrt{x}-3} = \lim_{x\to 9}(\sqrt{x}+3). \]
Ahora podemos aplicar la sustitución directa:
\[ \lim_{x\to 9}(\sqrt{x}+3) = \sqrt{9}+3 = 3+3 = 6. \]
Por tanto:
\[ \lim_{x\to 9}\frac{x-9}{\sqrt{x}-3}=6. \]
La racionalización ha transformado el cociente inicial en una expresión equivalente para \(x\neq 9\), en la que la sustitución directa ya no produce una forma indeterminada.
Ejercicio 7 — nivel ★★☆☆☆
Calcular el siguiente límite:
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{4x^2-3x+1}{2x^2+x-5}. \]
Resultado
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{4x^2-3x+1}{2x^2+x-5}=2. \]
Resolución
Cuando \(x\to+\infty\), tanto el numerador como el denominador se hacen arbitrariamente grandes. La sustitución formal conduce, por tanto, a la forma indeterminada
\[ \frac{\infty}{\infty}. \]
Esta forma no permite determinar directamente el límite. Debemos comparar el crecimiento de los términos que aparecen en el numerador y en el denominador.
El término de mayor grado es \(x^2\), tanto en el numerador como en el denominador. Dividimos, pues, todos los términos por \(x^2\):
\[ \frac{4x^2-3x+1}{2x^2+x-5} = \frac{\displaystyle\frac{4x^2}{x^2} -\displaystyle\frac{3x}{x^2} +\displaystyle\frac{1}{x^2}} {\displaystyle\frac{2x^2}{x^2} +\displaystyle\frac{x}{x^2} -\displaystyle\frac{5}{x^2}}. \]
Simplificando cada cociente obtenemos:
\[ \frac{4x^2-3x+1}{2x^2+x-5} = \frac{4-\displaystyle\frac{3}{x}+\displaystyle\frac{1}{x^2}} {2+\displaystyle\frac{1}{x}-\displaystyle\frac{5}{x^2}}. \]
Cuando \(x\to+\infty\) se verifican los límites:
\[ \frac{1}{x}\to 0 \qquad\text{y}\qquad \frac{1}{x^2}\to 0. \]
En consecuencia, el numerador tiende a:
\[ 4-3\cdot 0+0=4, \]
mientras que el denominador tiende a:
\[ 2+0-5\cdot 0=2. \]
Puesto que el límite del denominador es distinto de cero, podemos aplicar la propiedad del límite de un cociente:
\[ \lim_{x\to+\infty} \frac{4-\displaystyle\frac{3}{x}+\displaystyle\frac{1}{x^2}} {2+\displaystyle\frac{1}{x}-\displaystyle\frac{5}{x^2}} = \frac{4}{2} = 2. \]
Por tanto:
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{4x^2-3x+1}{2x^2+x-5}=2. \]
El resultado coincide con el cociente de los coeficientes de los términos de mayor grado:
\[ \frac{4}{2}=2. \]
Esto ocurre porque, para valores muy grandes de \(x\), los términos de grado inferior se vuelven despreciables frente a los términos cuadráticos.
Ejercicio 8 — nivel ★★☆☆☆
Calcular el siguiente límite:
\[ \lim_{x\to-\infty}\frac{3x^2+2}{x^3-1}. \]
Resultado
\[ \lim_{x\to-\infty}\frac{3x^2+2}{x^3-1}=0. \]
Resolución
Cuando \(x\to-\infty\), el numerador \(3x^2+2\) tiende a \(+\infty\), ya que \(x^2\) es siempre no negativo y se hace arbitrariamente grande.
El denominador \(x^3-1\), en cambio, tiende a \(-\infty\), pues una potencia de exponente impar conserva el signo de \(x\).
La sustitución formal conduce, por tanto, a un cociente entre cantidades infinitas. Para determinar el límite, dividimos numerador y denominador por la potencia de mayor grado presente en toda la fracción, es decir, \(x^3\):
\[ \frac{3x^2+2}{x^3-1} = \frac{\displaystyle\frac{3x^2}{x^3} +\displaystyle\frac{2}{x^3}} {\displaystyle\frac{x^3}{x^3} -\displaystyle\frac{1}{x^3}}. \]
Simplificando cada uno de los términos obtenemos:
\[ \frac{3x^2+2}{x^3-1} = \frac{\displaystyle\frac{3}{x} +\displaystyle\frac{2}{x^3}} {1-\displaystyle\frac{1}{x^3}}. \]
Cuando \(x\to-\infty\) se tiene:
\[ \frac{1}{x}\to 0, \qquad \frac{1}{x^3}\to 0. \]
En consecuencia, el numerador tiende a:
\[ 3\cdot 0+2\cdot 0=0, \]
mientras que el denominador tiende a:
\[ 1-0=1. \]
Puesto que el límite del denominador es distinto de cero, podemos aplicar la propiedad del límite de un cociente:
\[ \lim_{x\to-\infty} \frac{\displaystyle\frac{3}{x} +\displaystyle\frac{2}{x^3}} {1-\displaystyle\frac{1}{x^3}} = \frac{0}{1} = 0. \]
Por tanto:
\[ \lim_{x\to-\infty}\frac{3x^2+2}{x^3-1}=0. \]
El denominador tiene mayor grado que el numerador. Crece, pues, en valor absoluto, más deprisa que el numerador, y el cociente tiende a cero.
En particular, para valores negativos de \(x\) suficientemente grandes en valor absoluto, el numerador es positivo y el denominador es negativo. El cociente se aproxima, por consiguiente, a cero tomando valores negativos, pero el valor del límite sigue siendo simplemente \(0\).
Ejercicio 9 — nivel ★★★☆☆
Calcular el siguiente límite:
\[ \lim_{x\to-\infty}\frac{2x^3-x}{x^2+4}. \]
Resultado
\[ \lim_{x\to-\infty}\frac{2x^3-x}{x^2+4}=-\infty. \]
Resolución
Cuando \(x\to-\infty\), el término dominante del numerador es \(2x^3\). Puesto que \(x^3\to-\infty\), se tiene:
\[ 2x^3-x\to-\infty. \]
El término dominante del denominador es, en cambio, \(x^2\). Puesto que \(x^2\to+\infty\), se tiene:
\[ x^2+4\to+\infty. \]
Se presenta, pues, una forma del tipo
\[ \frac{-\infty}{+\infty}, \]
que debe estudiarse comparando los órdenes de crecimiento del numerador y del denominador.
El numerador tiene grado \(3\), mientras que el denominador tiene grado \(2\). El numerador crece, por tanto, en valor absoluto, más deprisa que el denominador. Para hacer explícito este comportamiento, dividimos numerador y denominador por \(x^2\):
\[ \frac{2x^3-x}{x^2+4} = \frac{\displaystyle\frac{2x^3}{x^2} -\displaystyle\frac{x}{x^2}} {\displaystyle\frac{x^2}{x^2} +\displaystyle\frac{4}{x^2}}. \]
Simplificando obtenemos:
\[ \frac{2x^3-x}{x^2+4} = \frac{2x-\displaystyle\frac{1}{x}} {1+\displaystyle\frac{4}{x^2}}. \]
Cuando \(x\to-\infty\) se tiene:
\[ 2x\to-\infty, \qquad \frac{1}{x}\to 0, \qquad \frac{4}{x^2}\to 0. \]
En consecuencia, el numerador
\[ 2x-\frac{1}{x} \]
tiende a \(-\infty\), mientras que el denominador
\[ 1+\frac{4}{x^2} \]
tiende a \(1\).
Además, el denominador es siempre positivo, ya que
\[ 1+\frac{4}{x^2}>0 \]
para todo \(x\neq 0\). Dividir una cantidad que tiende a \(-\infty\) por una cantidad positiva que tiende a \(1\) no modifica, por tanto, el signo de la divergencia.
Por tanto:
\[ \lim_{x\to-\infty}\frac{2x^3-x}{x^2+4}=-\infty. \]
El resultado también puede interpretarse observando que el cociente se comporta asintóticamente como
\[ \frac{2x^3}{x^2}=2x, \]
y \(2x\to-\infty\) cuando \(x\to-\infty\).
Ejercicio 10 — nivel ★★★☆☆
Calcular el siguiente límite:
\[ \lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+4x}-x\right). \]
Resultado
\[ \lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+4x}-x\right)=2. \]
Resolución
Cuando \(x\to+\infty\) se tiene:
\[ \sqrt{x^2+4x}\to+\infty \qquad\text{y}\qquad x\to+\infty. \]
La sustitución formal conduce, por tanto, a la forma indeterminada
\[ \infty-\infty. \]
No podemos concluir que el límite sea cero, ya que la diferencia entre dos cantidades divergentes depende de la velocidad con que crecen. Es preciso transformar la expresión.
Racionalizamos multiplicando y dividiendo por el conjugado:
\[ \sqrt{x^2+4x}+x. \]
Obtenemos:
\[ \sqrt{x^2+4x}-x = \frac{(\sqrt{x^2+4x}-x)(\sqrt{x^2+4x}+x)} {\sqrt{x^2+4x}+x}. \]
En el numerador aparece una diferencia de cuadrados:
\[ (\sqrt{x^2+4x})^2-x^2 = x^2+4x-x^2 = 4x. \]
Por tanto:
\[ \sqrt{x^2+4x}-x = \frac{4x}{\sqrt{x^2+4x}+x}. \]
Para estudiar el límite, dividimos numerador y denominador por \(x\). Puesto que \(x\to+\infty\), en particular \(x>0\) para valores suficientemente grandes, y por consiguiente
\[ \sqrt{x^2}=|x|=x. \]
Podemos escribir entonces:
\[ \frac{4x}{\sqrt{x^2+4x}+x} = \frac{4} {\displaystyle\frac{\sqrt{x^2+4x}}{x}+1}. \]
En el radicando factorizamos \(x^2\):
\[ \sqrt{x^2+4x} = \sqrt{x^2\left(1+\frac{4}{x}\right)} = x\sqrt{1+\frac{4}{x}}. \]
En consecuencia:
\[ \frac{\sqrt{x^2+4x}}{x} = \sqrt{1+\frac{4}{x}}. \]
La expresión se convierte, pues, en:
\[ \frac{4} {\sqrt{1+\displaystyle\frac{4}{x}}+1}. \]
Puesto que
\[ \frac{4}{x}\to 0, \]
se tiene:
\[ \sqrt{1+\frac{4}{x}}\to 1. \]
El denominador tiende, por tanto, a:
\[ 1+1=2. \]
Por consiguiente:
\[ \lim_{x\to+\infty} \frac{4} {\sqrt{1+\displaystyle\frac{4}{x}}+1} = \frac{4}{2} = 2. \]
Concluimos, pues, que:
\[ \lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+4x}-x\right)=2. \]
La racionalización ha transformado la forma \(\infty-\infty\) en un cociente de límite determinado.
Ejercicio 11 — nivel ★★★☆☆
Calcular el siguiente límite:
\[ \lim_{x\to 0}\frac{\sin(3x)}{x}. \]
Resultado
\[ \lim_{x\to 0}\frac{\sin(3x)}{x}=3. \]
Resolución
Al sustituir formalmente \(x=0\), el numerador tiende a:
\[ \sin(3\cdot 0)=\sin 0=0, \]
mientras que el denominador tiende a cero. Se presenta, pues, la forma indeterminada
\[ \frac{0}{0}. \]
Para calcular el límite utilizamos el límite notable:
\[ \lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1. \]
En la expresión propuesta, el argumento del seno no es \(x\), sino \(3x\). Debemos, por tanto, hacer que aparezca \(3x\) también en el denominador.
Multiplicamos y dividimos por \(3\):
\[ \frac{\sin(3x)}{x} = 3\frac{\sin(3x)}{3x}. \]
Esta igualdad es válida para \(x\neq 0\), condición compatible con el cálculo del límite cuando \(x\to 0\).
Cuando \(x\to 0\), también \(3x\to 0\). Podemos, por consiguiente, aplicar el límite notable tomando
\[ t=3x. \]
Se obtiene:
\[ \lim_{x\to 0}\frac{\sin(3x)}{3x}=1. \]
En consecuencia:
\[ \lim_{x\to 0}\frac{\sin(3x)}{x} = 3\lim_{x\to 0}\frac{\sin(3x)}{3x} = 3\cdot 1 = 3. \]
Por tanto:
\[ \lim_{x\to 0}\frac{\sin(3x)}{x}=3. \]
En términos de equivalencia asintótica, puesto que
\[ \sin(3x)\sim 3x \qquad\text{cuando }x\to 0, \]
el cociente se comporta como
\[ \frac{3x}{x}=3. \]
Ejercicio 12 — nivel ★★★☆☆
Calcular el siguiente límite:
\[ \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}. \]
Resultado
\[ \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}. \]
Resolución
Al sustituir formalmente \(x=0\), el numerador tiende a:
\[ 1-\cos 0=1-1=0, \]
mientras que el denominador tiende a:
\[ 0^2=0. \]
Se presenta, pues, la forma indeterminada
\[ \frac{0}{0}. \]
Podemos aplicar directamente el límite notable:
\[ \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}. \]
Para comprender de dónde procede este resultado, podemos reducirlo al límite notable del seno mediante la identidad trigonométrica:
\[ 1-\cos x=2\sin^2\left(\frac{x}{2}\right). \]
Sustituyendo esta identidad en el cociente obtenemos:
\[ \frac{1-\cos x}{x^2} = \frac{2\sin^2\left(\displaystyle\frac{x}{2}\right)}{x^2}. \]
Para hacer que aparezca el cociente notable, observamos que:
\[ x^2=4\left(\frac{x}{2}\right)^2. \]
Por tanto:
\[ \frac{2\sin^2\left(\displaystyle\frac{x}{2}\right)}{x^2} = \frac{2\sin^2\left(\displaystyle\frac{x}{2}\right)} {4\left(\displaystyle\frac{x}{2}\right)^2}. \]
Simplificando el factor numérico:
\[ \frac{1-\cos x}{x^2} = \frac{1}{2} \frac{\sin^2\left(\displaystyle\frac{x}{2}\right)} {\left(\displaystyle\frac{x}{2}\right)^2}. \]
El segundo factor puede escribirse como el cuadrado de un cociente:
\[ \frac{\sin^2\left(\displaystyle\frac{x}{2}\right)} {\left(\displaystyle\frac{x}{2}\right)^2} = \left( \frac{\sin\left(\displaystyle\frac{x}{2}\right)} {\displaystyle\frac{x}{2}} \right)^2. \]
En consecuencia:
\[ \frac{1-\cos x}{x^2} = \frac{1}{2} \left( \frac{\sin\left(\displaystyle\frac{x}{2}\right)} {\displaystyle\frac{x}{2}} \right)^2. \]
Cuando \(x\to 0\), también \(\displaystyle\frac{x}{2}\to 0\). Por el límite notable del seno:
\[ \lim_{x\to 0} \frac{\sin\left(\displaystyle\frac{x}{2}\right)} {\displaystyle\frac{x}{2}} = 1. \]
Por tanto:
\[ \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2} = \frac{1}{2}\cdot 1^2 = \frac{1}{2}. \]
Concluimos, pues, que:
\[ \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}. \]
El mismo resultado puede leerse a través de la equivalencia asintótica
\[ 1-\cos x\sim\frac{x^2}{2} \qquad\text{cuando }x\to 0. \]
Ejercicio 13 — nivel ★★★☆☆
Calcular el siguiente límite:
\[ \lim_{x\to 0}\frac{e^{2x}-1}{x}. \]
Resultado
\[ \lim_{x\to 0}\frac{e^{2x}-1}{x}=2. \]
Resolución
Al sustituir formalmente \(x=0\), el numerador tiende a:
\[ e^{2\cdot 0}-1=e^0-1=1-1=0, \]
mientras que el denominador tiende a cero. Se presenta, pues, la forma indeterminada
\[ \frac{0}{0}. \]
Para calcular el límite utilizamos el límite notable:
\[ \lim_{t\to 0}\frac{e^t-1}{t}=1. \]
En la expresión propuesta, el exponente es \(2x\). Para aplicar el límite notable, debemos, por tanto, hacer que aparezca \(2x\) también en el denominador.
Para \(x\neq 0\) podemos escribir:
\[ \frac{e^{2x}-1}{x} = 2\frac{e^{2x}-1}{2x}. \]
Cuando \(x\to 0\), también \(2x\to 0\). Tomando
\[ t=2x, \]
el límite notable proporciona:
\[ \lim_{x\to 0}\frac{e^{2x}-1}{2x}=1. \]
Por tanto:
\[ \lim_{x\to 0}\frac{e^{2x}-1}{x} = 2\lim_{x\to 0}\frac{e^{2x}-1}{2x} = 2\cdot 1 = 2. \]
Concluimos, pues, que:
\[ \lim_{x\to 0}\frac{e^{2x}-1}{x}=2. \]
El mismo resultado puede obtenerse mediante la equivalencia asintótica
\[ e^{2x}-1\sim 2x \qquad\text{cuando }x\to 0. \]
En consecuencia, en el cociente puede sustituirse el numerador por su equivalente:
\[ \frac{e^{2x}-1}{x} \sim \frac{2x}{x} = 2. \]
Ejercicio 14 — nivel ★★★☆☆
Calcular el siguiente límite:
\[ \lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+5x)}{x}. \]
Resultado
\[ \lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+5x)}{x}=5. \]
Resolución
Antes de proceder, observemos que la función está definida cuando
\[ 1+5x>0. \]
Esta condición equivale a:
\[ x>-\frac{1}{5}. \]
En particular, la función está definida en todo un entorno de \(x=0\), de modo que el límite bilateral tiene sentido.
Al sustituir formalmente \(x=0\), el numerador tiende a:
\[ \ln(1+5\cdot 0)=\ln(1)=0, \]
mientras que el denominador tiende a cero. Se presenta, pues, la forma indeterminada
\[ \frac{0}{0}. \]
Utilizamos el límite notable:
\[ \lim_{t\to 0}\frac{\ln(1+t)}{t}=1. \]
En la expresión propuesta, la cantidad añadida a \(1\) es \(5x\). Para aplicar el límite notable, hacemos que aparezca \(5x\) también en el denominador:
\[ \frac{\ln(1+5x)}{x} = 5\frac{\ln(1+5x)}{5x}. \]
Cuando \(x\to 0\), también \(5x\to 0\). Tomando
\[ t=5x, \]
se obtiene:
\[ \lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+5x)}{5x}=1. \]
Por tanto:
\[ \lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+5x)}{x} = 5\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+5x)}{5x} = 5\cdot 1 = 5. \]
Concluimos, pues, que:
\[ \lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+5x)}{x}=5. \]
En términos de equivalencia asintótica, puesto que
\[ \ln(1+5x)\sim 5x \qquad\text{cuando }x\to 0, \]
el cociente se comporta como:
\[ \frac{5x}{x}=5. \]
Ejercicio 15 — nivel ★★★★☆
Calcular el siguiente límite:
\[ \lim_{x\to 0} \frac{\bigl(1-\cos x\bigr)\ln(1+2x)} {x\sin(3x)}. \]
Resultado
\[ \lim_{x\to 0} \frac{\bigl(1-\cos x\bigr)\ln(1+2x)} {x\sin(3x)} =0. \]
Resolución
Al sustituir formalmente \(x=0\), todos los factores presentes en el numerador y en el denominador tienden a cero:
\[ 1-\cos x\to 0, \qquad \ln(1+2x)\to 0, \qquad x\to 0, \qquad \sin(3x)\to 0. \]
El cociente adopta, por tanto, la forma indeterminada
\[ \frac{0}{0}. \]
En este caso resulta conveniente utilizar las equivalencias asintóticas fundamentales:
\[ 1-\cos x\sim\frac{x^2}{2}, \qquad \ln(1+2x)\sim 2x, \qquad \sin(3x)\sim 3x, \]
válidas cuando \(x\to 0\).
Las equivalencias pueden sustituirse directamente dentro de productos y cocientes. El cociente propuesto es, por tanto, equivalente a:
\[ \frac{\displaystyle\frac{x^2}{2}\cdot 2x} {x\cdot 3x}. \]
Simplifiquemos el numerador:
\[ \frac{x^2}{2}\cdot 2x=x^3. \]
Simplifiquemos también el denominador:
\[ x\cdot 3x=3x^2. \]
Por tanto:
\[ \frac{\bigl(1-\cos x\bigr)\ln(1+2x)} {x\sin(3x)} \sim \frac{x^3}{3x^2} = \frac{x}{3}. \]
Puesto que
\[ \lim_{x\to 0}\frac{x}{3}=0, \]
se sigue que el límite propuesto también es igual a cero:
\[ \lim_{x\to 0} \frac{\bigl(1-\cos x\bigr)\ln(1+2x)} {x\sin(3x)} =0. \]
Es importante observar que las equivalencias se han utilizado dentro de productos y cocientes, donde la sustitución por funciones equivalentes es correcta.
No sería lícito, en cambio, sustituir automáticamente un término por un equivalente dentro de una suma o de una diferencia, ya que en tales situaciones podrían producirse cancelaciones entre los términos principales.
Ejercicio 16 — nivel ★★★★☆
Calcular el siguiente límite:
\[ \lim_{x\to 0}x^2\cos\left(\frac{1}{x}\right). \]
Resultado
\[ \lim_{x\to 0}x^2\cos\left(\frac{1}{x}\right)=0. \]
Resolución
La función
\[ \cos\left(\frac{1}{x}\right) \]
no admite límite cuando \(x\to 0\). En efecto, cuando \(x\) se aproxima a cero, la cantidad \(\displaystyle\frac{1}{x}\) se hace arbitrariamente grande en valor absoluto y el coseno sigue oscilando entre \(-1\) y \(1\).
No podemos, por tanto, aplicar directamente la propiedad del límite de un producto, ya que uno de los dos factores carece de límite.
Podemos, sin embargo, utilizar el hecho de que, para todo número real \(t\),
\[ -1\leq\cos t\leq 1. \]
Tomando
\[ t=\frac{1}{x}, \]
obtenemos, para todo \(x\neq 0\):
\[ -1\leq\cos\left(\frac{1}{x}\right)\leq 1. \]
Multiplicamos todos los miembros por \(x^2\). Puesto que
\[ x^2\geq 0, \]
el sentido de las desigualdades no cambia:
\[ -x^2 \leq x^2\cos\left(\frac{1}{x}\right) \leq x^2. \]
Calculamos ahora los límites de las dos funciones que acotan la expresión:
\[ \lim_{x\to 0}(-x^2)=0 \qquad\text{y}\qquad \lim_{x\to 0}x^2=0. \]
La función central queda, por tanto, comprendida entre dos funciones que tienden ambas al mismo límite \(0\).
Por el teorema de compresión se sigue que:
\[ \lim_{x\to 0}x^2\cos\left(\frac{1}{x}\right)=0. \]
El factor oscilante carece de límite, pero permanece acotado entre \(-1\) y \(1\). El factor \(x^2\), en cambio, tiende a cero y hace cada vez menor la amplitud de las oscilaciones del producto.
El mismo razonamiento puede expresarse también mediante el valor absoluto:
\[ \left| x^2\cos\left(\frac{1}{x}\right) \right| = x^2\left| \cos\left(\frac{1}{x}\right) \right| \leq x^2. \]
Puesto que \(x^2\to 0\), también el valor absoluto de la expresión tiende a cero y, por consiguiente, la propia expresión tiende a cero.
Ejercicio 17 — nivel ★★★★☆
Calcular los dos límites laterales:
\[ \lim_{x\to 2^-}\frac{1}{x-2} \qquad\text{y}\qquad \lim_{x\to 2^+}\frac{1}{x-2}, \]
y determinar si existe el límite cuando \(x\to 2\).
Resultado
\[ \lim_{x\to 2^-}\frac{1}{x-2}=-\infty, \qquad \lim_{x\to 2^+}\frac{1}{x-2}=+\infty. \]
Puesto que los dos límites laterales son distintos, el límite
\[ \lim_{x\to 2}\frac{1}{x-2} \]
no existe.
Resolución
La función
\[ f(x)=\frac{1}{x-2} \]
no está definida para \(x=2\), ya que en dicho punto el denominador se anula.
Para estudiar el comportamiento de la función cerca de \(2\) no basta con observar que el denominador tiende a cero. Es necesario determinar además el signo con el que se aproxima a cero.
Consideremos en primer lugar el límite por la izquierda:
\[ \lim_{x\to 2^-}\frac{1}{x-2}. \]
La notación \(x\to 2^-\) significa que \(x\) toma valores menores que \(2\) y cada vez más próximos a \(2\). En consecuencia:
\[ x-2<0. \]
Además, cuando \(x\) se aproxima a \(2\) por la izquierda, la diferencia \(x-2\) se aproxima a cero tomando valores negativos. Se escribe abreviadamente:
\[ x-2\to 0^-. \]
El inverso de un número negativo muy próximo a cero es un número negativo muy grande en valor absoluto. Por ejemplo:
\[ \frac{1}{-0{,}1}=-10, \qquad \frac{1}{-0{,}01}=-100, \qquad \frac{1}{-0{,}001}=-1000. \]
Por tanto:
\[ \lim_{x\to 2^-}\frac{1}{x-2}=-\infty. \]
Consideremos ahora el límite por la derecha:
\[ \lim_{x\to 2^+}\frac{1}{x-2}. \]
La notación \(x\to 2^+\) significa que \(x\) toma valores mayores que \(2\) y cada vez más próximos a \(2\). En consecuencia:
\[ x-2>0. \]
Cuando \(x\) se aproxima a \(2\) por la derecha, la diferencia \(x-2\) se aproxima a cero tomando valores positivos:
\[ x-2\to 0^+. \]
El inverso de un número positivo muy próximo a cero es un número positivo arbitrariamente grande. Por ejemplo:
\[ \frac{1}{0{,}1}=10, \qquad \frac{1}{0{,}01}=100, \qquad \frac{1}{0{,}001}=1000. \]
Por tanto:
\[ \lim_{x\to 2^+}\frac{1}{x-2}=+\infty. \]
Hemos obtenido, pues:
\[ \lim_{x\to 2^-}\frac{1}{x-2}=-\infty \qquad\text{y}\qquad \lim_{x\to 2^+}\frac{1}{x-2}=+\infty. \]
Para que el límite bilateral exista, los dos límites laterales deben existir y ser iguales. En este caso tienen signos opuestos, de modo que:
\[ \lim_{x\to 2}\frac{1}{x-2}\text{ no existe}. \]
Puesto que al menos uno de los límites laterales es infinito, la recta
\[ x=2 \]
es una asíntota vertical de la gráfica de la función.
Ejercicio 18 — nivel ★★★★☆
Calcular el siguiente límite:
\[ \lim_{x\to 0}\frac{x^2+x}{|x|}. \]
Resultado
\[ \lim_{x\to 0^-}\frac{x^2+x}{|x|}=-1, \qquad \lim_{x\to 0^+}\frac{x^2+x}{|x|}=1. \]
Puesto que los dos límites laterales son distintos,
\[ \lim_{x\to 0}\frac{x^2+x}{|x|} \]
no existe.
Resolución
Al sustituir formalmente \(x=0\), el numerador tiende a:
\[ 0^2+0=0, \]
mientras que el denominador tiende a:
\[ |0|=0. \]
Se presenta, pues, la forma indeterminada
\[ \frac{0}{0}. \]
La presencia del valor absoluto exige distinguir el comportamiento de la función a la derecha y a la izquierda de \(0\).
Recordemos, en efecto, que:
\[ |x|= \begin{cases} x, & x\geq 0,\\ -x, & x<0. \end{cases} \]
Empecemos por el límite por la derecha. Si \(x\to 0^+\), entonces \(x>0\) y, por tanto:
\[ |x|=x. \]
Para \(x>0\), la expresión se convierte en:
\[ \frac{x^2+x}{|x|} = \frac{x^2+x}{x}. \]
Sacamos factor común \(x\) en el numerador:
\[ x^2+x=x(x+1). \]
Puesto que \(x\neq 0\), podemos simplificar:
\[ \frac{x(x+1)}{x}=x+1. \]
Por tanto:
\[ \lim_{x\to 0^+}\frac{x^2+x}{|x|} = \lim_{x\to 0^+}(x+1) = 1. \]
Consideremos ahora el límite por la izquierda. Si \(x\to 0^-\), entonces \(x<0\) y, por tanto:
\[ |x|=-x. \]
Para \(x<0\), la expresión se convierte en:
\[ \frac{x^2+x}{|x|} = \frac{x^2+x}{-x}. \]
Sacando factor común \(x\) en el numerador obtenemos:
\[ \frac{x(x+1)}{-x}. \]
Puesto que \(x\neq 0\), podemos simplificar el factor \(x\):
\[ \frac{x(x+1)}{-x}=-(x+1). \]
Por tanto:
\[ \lim_{x\to 0^-}\frac{x^2+x}{|x|} = \lim_{x\to 0^-}\bigl(-(x+1)\bigr) = -1. \]
Los dos límites laterales son, pues:
\[ \lim_{x\to 0^-}\frac{x^2+x}{|x|}=-1, \qquad \lim_{x\to 0^+}\frac{x^2+x}{|x|}=1. \]
Puesto que son distintos, el límite bilateral no existe:
\[ \lim_{x\to 0}\frac{x^2+x}{|x|}\text{ no existe}. \]
El ejercicio muestra que, en presencia de un valor absoluto, una misma expresión puede adoptar formas algebraicas diferentes a uno y otro lado del punto considerado.
Ejercicio 19 — nivel ★★★★☆
Calcular el siguiente límite:
\[ \lim_{x\to 0}(1+2x)^{\frac{3}{x}}. \]
Resultado
\[ \lim_{x\to 0}(1+2x)^{\frac{3}{x}}=e^6. \]
Resolución
Comprobemos en primer lugar que la potencia esté definida en un entorno de \(x=0\). La base debe ser positiva:
\[ 1+2x>0. \]
Esta condición equivale a:
\[ x>-\frac{1}{2}. \]
La base es, por tanto, positiva en todo un entorno de \(0\), y el límite bilateral tiene sentido.
Cuando \(x\to 0\), la base tiende a:
\[ 1+2x\to 1. \]
El exponente, en cambio, se comporta de manera distinta a uno y otro lado:
\[ \frac{3}{x}\to+\infty \quad\text{cuando }x\to0^+, \qquad \frac{3}{x}\to-\infty \quad\text{cuando }x\to0^-. \]
Se presenta, pues, una forma indeterminada exponencial: \(1^{+\infty}\) en el límite por la derecha y \(1^{-\infty}\) en el límite por la izquierda. En ambos casos es necesario estudiar el producto del exponente por el logaritmo neperiano de la base.
Para estudiarla, definimos:
\[ y(x)=(1+2x)^{\frac{3}{x}}. \]
Puesto que \(1+2x>0\) en un entorno de \(0\), se tiene \(y(x)>0\), por lo que podemos aplicar el logaritmo neperiano:
\[ \ln\bigl(y(x)\bigr)=\ln\left((1+2x)^{\frac{3}{x}}\right). \]
Utilizando la propiedad
\[ \ln(a^b)=b\ln(a), \qquad a>0, \]
obtenemos:
\[ \ln\bigl(y(x)\bigr)=\frac{3}{x}\ln(1+2x). \]
Reescribimos el segundo miembro haciendo que aparezca el límite notable del logaritmo:
\[ \frac{3}{x}\ln(1+2x)=6\frac{\ln(1+2x)}{2x}. \]
Cuando \(x\to 0\), también \(2x\to 0\). Por el límite notable
\[ \lim_{t\to 0}\frac{\ln(1+t)}{t}=1, \]
se tiene:
\[ \lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+2x)}{2x}=1. \]
Por tanto:
\[ \lim_{x\to 0}\ln\bigl(y(x)\bigr)=6. \]
Puesto que
\[ y(x)=e^{\ln(y(x))}, \]
la continuidad de la función exponencial permite concluir que:
\[ \lim_{x\to 0}y(x)=e^{\displaystyle\lim_{x\to 0}\ln(y(x))}=e^6. \]
Concluimos, pues, que:
\[ \lim_{x\to 0}(1+2x)^{\frac{3}{x}}=e^6. \]
El resultado también puede reconocerse reduciendo la expresión al límite fundamental
\[ \lim_{t\to 0}(1+t)^{1/t}=e, \]
pero el procedimiento mediante el logaritmo hace explícitos todos los pasos y se aplica de manera sistemática a las formas indeterminadas exponenciales.
Ejercicio 20 — nivel ★★★★★
Determinar todas las asíntotas de la función:
\[ f(x)=\frac{2x^2+3x-1}{x-1}. \]
Resultado
La función admite:
\[ x=1 \]
como asíntota vertical y
\[ y=2x+5 \]
como asíntota oblicua, tanto cuando \(x\to+\infty\) como cuando \(x\to-\infty\).
No hay asíntotas horizontales.
Resolución
La función es racional:
\[ f(x)=\frac{2x^2+3x-1}{x-1}. \]
El denominador se anula cuando:
\[ x-1=0, \]
es decir, para:
\[ x=1. \]
El dominio de la función es, por tanto:
\[ \mathbb{R}\setminus\{1\}. \]
Para determinar si la recta \(x=1\) es una asíntota vertical, debemos estudiar el comportamiento de la función cuando \(x\) tiende a \(1\).
Calculamos el valor al que tiende el numerador:
\[ 2\cdot 1^2+3\cdot 1-1 = 2+3-1 = 4. \]
El numerador tiende, pues, a un número positivo distinto de cero, mientras que el denominador tiende a cero.
Consideremos por separado los dos lados.
Si \(x\to 1^-\), entonces:
\[ x-1\to 0^-. \]
El numerador se mantiene positivo para \(x\) suficientemente próximo a \(1\), ya que tiende al número positivo \(4\). El cociente entre una cantidad positiva próxima a \(4\) y una cantidad negativa próxima a cero tiende, por tanto, a \(-\infty\):
\[ \lim_{x\to 1^-}\frac{2x^2+3x-1}{x-1} = -\infty. \]
Si, en cambio, \(x\to 1^+\), entonces:
\[ x-1\to 0^+. \]
El cociente entre una cantidad positiva próxima a \(4\) y una cantidad positiva próxima a cero tiende a \(+\infty\):
\[ \lim_{x\to 1^+}\frac{2x^2+3x-1}{x-1} = +\infty. \]
Puesto que al menos uno de los dos límites laterales es infinito, la recta
\[x=1 \]
es una asíntota vertical.
Estudiemos ahora el comportamiento de la función cuando \(x\to+\infty\) y cuando \(x\to-\infty\).
El numerador tiene grado \(2\), mientras que el denominador tiene grado \(1\). Puesto que el grado del numerador supera en una unidad al del denominador, es posible que exista una asíntota oblicua.
Efectuamos la división entre los polinomios:
\[ 2x^2+3x-1=(x-1)(2x+5)+4. \]
Comprobemos el producto:
\[ (x-1)(2x+5) = 2x^2+5x-2x-5 = 2x^2+3x-5. \]
Añadiendo el resto \(4\), obtenemos:
\[ 2x^2+3x-5+4 = 2x^2+3x-1, \]
como se pretendía.
Dividiendo ambos miembros por \(x-1\), para \(x\neq 1\), obtenemos:
\[ \frac{2x^2+3x-1}{x-1} = 2x+5+\frac{4}{x-1}. \]
Para comprobar que la recta
\[ y=2x+5 \]
es una asíntota oblicua, calculamos la diferencia entre la función y la ecuación de la recta:
\[ f(x)-(2x+5) = \frac{4}{x-1}. \]
Cuando \(x\to+\infty\) se tiene:
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{4}{x-1}=0. \]
Por tanto:
\[ \lim_{x\to+\infty}\bigl[f(x)-(2x+5)\bigr]=0. \]
También cuando \(x\to-\infty\) se tiene:
\[ \lim_{x\to-\infty}\frac{4}{x-1}=0, \]
y, por consiguiente:
\[ \lim_{x\to-\infty}\bigl[f(x)-(2x+5)\bigr]=0. \]
Puesto que la diferencia \(f(x)-(2x+5)\) tiende a cero en ambas direcciones, la gráfica de la función se aproxima a la recta \(y=2x+5\) cuando \(x\to\pm\infty\).
Por tanto:
\[ y=2x+5 \]
es una asíntota oblicua tanto cuando \(x\to+\infty\) como cuando \(x\to-\infty\).
La función no posee asíntotas horizontales. En efecto, cuando \(x\to\pm\infty\), el término dominante es \(2x\), por lo que la función no tiende a un número real finito.
En conclusión, las asíntotas de la función son:
\[ x=1 \qquad\text{y}\qquad y=2x+5. \]